Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten

Gliederung

0. Vorbemerkungen

1. Definition
1.0. Definition 1 (Potenzfunktion)
1.1. Definition 2 (Potenz)
1.2. Definition 3 (Definitionsbereich)
1.3. Festsetzungen
1.4. Satz 0 (Exponentenvertauschung)
1.5. Bemerkungen
1.6. Satz 1 (Umkehrfunktion)
1.7. Erweiterung

2. Eigenschaften
2.0. Rechengesetze
2.0.0. Satz 2 (Potenzgesetzte)
2.1. Gleichungen
2.1.0. Satz 3 (Näherungsformel
2.1.1. Satz 4. (unendliche Binomialreihe)
2.2. Ungleichungen
2.2.0. Satz 5 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Basen)
2.2.1. Satz 6 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Exponenten)
2.2.2. Satz 7 (Bernoulli-Ungleichung)

3. Symmetrie - Monotonie - Periodizität
3.0. Satz 8 (Symmetrie)
3.1. Satz 9 (Monotonie)
3.2. Satz 10 (Periodizität)

4. Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph
4.0. Satz 11 (Stetigkeit) Se ite
4.1. Satz 12. (spezielle Grenzwerte)
4.2. Satz 13 (Wertebereich)
4.3. Satz 14 (Konvexität/ Konkavität)
4.4. Satz 15 (Quadranten)
4.5. Spezielle Graphen der Potenzfunktion
4.6. Spezielle Werte

5. Differenzierbarkeit
5.0. Satz 16 (Differenzierbarkeit und Ableitung)

6. Integrierbarkeit
6.0. Satz 17 (Integrierbarkeit)
6.1. Satz 18 (Stammfunktion)

7. Literatur

0. Vorbemerkungen

1. Um von einer einheitlich basierten Angabe der Menge der (positiven/ ne­gativen) reellen, rationalen, ganzen und natürlichen Zahlen ausgehen zu können, möchte ich für diese Arbeit die folgenden Bezeichnungen nut­zen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Weiter werde ich mich bei einigen Satz-Beweisen auf Sätze des vorange­gangenen Vortrages von Prof. Dr. Bergmann stützen und diese dann ein­fach nur kennzeichnen, indem ich unter das entsprechende (Gleichheits-, Ungleichheits-, Implikations- oder Äquivalenz-) Zeichen „Satz" schreibe.

1. Definition

Da wir im Vortrag von Prof. Dr. Bergmann die Potenzfunktion mit ganzem Ex­ponenten kennen gelernt haben, möchte ich nun die Frage klären, ob die Po­tenzfunktion auch mit rationalem Exponenten existiert.

Die Antwort dazu lautet „Ja"!

Wir erweitern in diesem Fall ganz einfach die Definition der Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten:

1.0. Definition 1

> Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten ist die Bezeichnung für eine Funktion der Art f : x ^ xr, wobei reine rationale Zahl ist.

> Wir definieren die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten, indem wir für rationale [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

setzen und dies als die n-te Wurzel der m-ten Potenz interpretieren.

> Dabei nennen wir x die Basis und r den Exponenten der Funktion /.

1.1. Definition 2 (Potenz)

> Die Definition von a = xm übernehmen wir dabei aus BERGMANN¹.

> Die n-te Wurzel b = rfx definieren wir als die nichtnegative (ggf. positive) Lösung der Gleichung bn = x

Damit wir an bestimmten Stellen (z.B. bei Beweisen) auf bestimmte Gegeben­heiten zurückgreifen können, treffe ich nach der Definition noch folgende Fest­legungen:

1.3. Festsetzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit wir spätere Sätze beweisen können, ist erst eine Feststellung vonnöten, die ich mit dem folgenden Satz nennen und beweisen will.

1.4. Satz 0

Für alle positiven reellen Basen xgilt :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis zu Satz 0:

Nach Definition ist die positive Lösung der Gleichung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Nehmen wir beide Seiten dieser Gleichung in die n-te Potenz, so erhalten wir

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und nehmen wieder beide Gleichungsseiten in die n-te Potenz, so können wir wie folgt rechnen, indem wir u.a. die schon gewonnene Erkenntnis aus der De­finition anwenden:

Ziehen wir nun aus der linken und rechten Seite der Gleichung die n-te Wurzel, so erhalten wir für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Setzen wir jetzt noch das vorausgesetzte a und das neu ausgerechnete a gleich, so erhalten wir den gesuchten Beweis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als nächstes möchte ich auf gewisse Kleinigkeiten aufmerksam machen, die zum Lösen von Potenzialgleichungen vonnöten, aber auch sehr irritierend sein können und daher auch nicht so oft betrachtet werden

1.5. Bemerkungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist also immer wichtig, darauf zu achten, dass die Wurzel eine nichtnegative Zahl ist und auch nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden kann (denn wir sprechen hier im Bereich der reellen Zahlen.)

Weiterhin ist noch zu klären, ob die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten im Gegensatz zu der mit ganzem Exponenten eine Umkehrfunktion besitzt. Da wir bei der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten den Reziproken im Expo­nenten bilden dürfen - was bei der Potenzfunktion mit ganzem Exponenten nicht möglich war, da das Reziproke einer ganzen Zahl keine ganze Zahl mehr ist, sofern es sich nicht um die Zahl 1 oder -1 handelt - und damit die Bedin­gungen aus der Definition 1 noch erfüllt sind, ist die Potenzfunktion mit rationa­lem Exponenten umkehrbar und es gilt:

1.6. Satz 1 Umkehrfunktion)

Die Umkehrfunktion f~l der Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit dem dazugehörigen Definitionsbereich

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Beweis zu Satz 1:

Nach der Definition einer Umkehrfunktion² ist der Funktionswert g(X der Funk­tion g, die bei der Verkettung der Funktion f mit ihrer Umkehrfunktion f-¹ ent­steht, gleich dem Definitionswert x.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.7. Erweiterung:

Im Allgemeinen findet man auch oft die Potenzfunktion in der Form: f (x) = axn = arfx^Vf e R л n e N л m e Z \ {0})

Bisher haben wir die Funktion nur für den Fall a = 1 betrachtet. Um die allge­meine Form in die Diskussion einschließen zukönnen muss man von der uns diskutierten Funktion nur wie folgt abstrahieren

1. Für den Fall, dass a > 1 ist, wird die von uns diskutierte Funktion in Richtung der y-Achse um den Faktor a gestreckt.

2. Für den Fall, dass 0 < a < 1, wird die von uns diskutierte Funktion in Richtung der y-Achse um den Faktor a gestaucht.

3. Für den Fall, dass -1 < a < 0, wird die von uns diskutierte Funktion in Richtung der y-Achse um den Faktor a gestreckt und dann an der x- Achse gespiegelt.

4. Für den Fall, dass -1 > a ist, wird die von uns diskutierte Funktion in Richtung der y-Achse um den Faktor a gestaucht und dann an der x- Achse gespiegelt.

2. Eigenschaften 2.0. Rechenaesetze

Um weitere Eigenschaften der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten nen­nen, diskutieren und beweisen zu können, müssen wir zu aller erst auf die Po­tenzregeln oder auch Rechengesetze genannt, eingehen:

2.0.0. Satz 2 (Potenzaesetzte)

Für alle positiv-reellen x, y und alle rationalen r, s gelten die bekannten Potenzregeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis zu Satz 2: [Sätze, die in diesem Beweis verwendet und nicht weiter bezeichnet sind, ent­stammen aus BERGMANN (Kapitel 2, Abschnitt 2, Teil 1: Rechengesetze - Satz 2.1)]

Für den Beweis setzen wir r - m und 5 = 4 Daraus folgt dann für die einzel­n n -J

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die zweite Regel lässt sich einfach herleiten, indem wir Nr. 4 aus Ab­schnitt 1.2. (Festsetzungen) auf die Potenz im Nenner und dann die erste (schon bewiesene) Regel anwenden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn wir nun die Definition auf die Ausgangsgleichung anwenden, um die Exponenten aufzuteilen, und sie dann wieder anwenden, um die Ex­ponenten anders zu verknüpfen, so erhalten wir folgende Rechnung:

Nach der Definition der Umkehrfunktion gilt für alle Lösungen x dieser Gleichung, dass x = (r“') .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenden wir nun wieder wie oben die Definition an und splitten den Ex­ponenten, um ihn neu anders verknüpfen zu können, so erhalten wir:

Da wir nur mit äquivalenten Umformungen via Definition gearbeitet ha

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ben, sind die Lösungsmengen der Gleichungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auch äquivalent. Setzen wir diese nun gleich so entsteht folgende Aussa ge

Da dies für alle nichtnegativen reellen a gilt, gilt es auch für alle nichtne­gativen reellen xund wir erhalte:

=x

Wie wir wissen gilt: xmym = (xy)r‘

Zu zeigen ist also nur noch, dass gilt: xnyn = (xy)'n

Um dies zu beweisen substituieren wir [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Die Lösungen der beiden Gleichungen sind damit x = an und y = bn.

Nun multiplizieren wir diese Lösungen miteinander und wenden darauf das bekannte Rechengesetz für Potenzen mit ganzen Exponenten an. So entsteht für uns

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ziehen wir nun aus der rechten und der linken Seite der Gleichung die n- te Wurzel und substituieren die entstandene rechte Seite wieder zurück, dann erhalten wir:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die fünfte Regel lässt sich wieder einfach herleiten, indem wir Nr. 4 aus Abschnitt 1.2. (Festsetzungen) auf die Potenz im Nenner und dann die vierte (schon bewiesene) Regel und erneut Nr. 4 aus Abschnitt 1.2. (Festsetzungen) anwenden:

2.1. Gleichungen

Um eine Potenz mit rationalem Exponenten möglichst genau berechnen zu kön­nen, gibt es für hinreichend kleine Exponenten rund Basen xnahe 1 eine Nä-

[...]

¹ Vgl. BERGMANN (Kapitel 2, Abschnitt 1: Definition)

² Vgl. BERGMANN (Kapitel 1, Abschnitt 3: Bekanntes)