Da wir im Vortrag von Prof. Dr. Bergmann die Potenzfunktion mit ganzem Ex-ponenten kennen gelernt haben, möchte ich nun die Frage klären, ob die Po-tenzfunktion auch mit rationalem Exponenten existiert. Die Antwort dazu lautet „Ja“! Wir erweitern in diesem Fall ganz einfach die Definition der Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten.
Inhaltsverzeichnis
0. Vorbemerkungen
1. Definition
1.0. Definition 1 (Potenzfunktion)
1.1. Definition 2 (Potenz)
1.2. Definition 3 (Definitionsbereich)
1.3. Festsetzungen
1.4. Satz 0 (Exponentenvertauschung)
1.5. Bemerkungen
1.6. Satz 1 (Umkehrfunktion)
1.7. Erweiterung
2. Eigenschaften
2.0. Rechengesetze
2.0.0. Satz 2 (Potenzgesetzte)
2.1. Gleichungen
2.1.0. Satz 3 (Näherungsformel)
2.1.1. Satz 4. (unendliche Binomialreihe)
2.2. Ungleichungen
2.2.0. Satz 5 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Basen)
2.2.1. Satz 6 (Monotonie-Ungleichung bezüglich der Exponenten)
2.2.2. Satz 7 (Bernoulli-Ungleichung)
3. Symmetrie – Monotonie – Periodizität
3.0. Satz 8 (Symmetrie)
3.1. Satz 9 (Monotonie)
3.2. Satz 10 (Periodizität)
4. Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph
4.0. Satz 11 (Stetigkeit)
4.1. Satz 12. (spezielle Grenzwerte)
4.2. Satz 13 (Wertebereich)
4.3. Satz 14 (Konvexität/ Konkavität)
4.4. Satz 15 (Quadranten)
4.5. Spezielle Graphen der Potenzfunktion
4.6. Spezielle Werte
5. Differenzierbarkeit
5.0. Satz 16 (Differenzierbarkeit und Ableitung)
6. Integrierbarkeit
6.0. Satz 17 (Integrierbarkeit)
6.1. Satz 18 (Stammfunktion)
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die Eigenschaften der Potenzfunktion mit rationalen Exponenten, um festzustellen, ob sich die bekannten Definitionen und Sätze der Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten auf den rationalen Bereich erweitern lassen. Dabei stehen die mathematische Fundierung, Beweisführung und die analytische Charakterisierung im Vordergrund.
- Mathematische Definition der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten.
- Herleitung und Beweis grundlegender Rechengesetze und Ungleichungen.
- Untersuchung analytischer Eigenschaften wie Stetigkeit, Monotonie, Symmetrie und Konvexität.
- Diskussion der Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit dieser Funktionenklasse.
Auszug aus dem Buch
2.2.0. Satz 5
Für alle positiven reellen Basen x, y gilt:
1. x^r < y^r ⇔ x < y ∀r > 0
2. x^r < y^r ⇔ x > y ∀r < 0
Beweis zu Satz 5:
Für diesen Beweis setzten wir wieder: r = m/n ∀(m,n ∈ N)
Aus einer Folgerung folgt:
x^m < y^m ⇔ x < y ∀(x,y > 0 ∧ m ∈ N)
Daraus wiederum folgt für uns: x^(m/n) < y^(m/n) ⇔ x^(1/n) < y^(1/n) ⇔ x < y
Um die zweite Behauptung zu beweisen substituieren wir r_1 = -r > 0 und erhalten somit:
x^r < y^r ⇔ x^(-r_1) < y^(-r_1) ⇔ 1/x^(r_1) < 1/y^(r_1) ⇔ x > y
Zusammenfassung der Kapitel
0. Vorbemerkungen: Definition der verwendeten Zahlenmengen und Festlegung der Notation für die Beweise.
1. Definition: Erweiterung der Potenzfunktion auf rationale Exponenten und Festlegung von Definitionsbereichen und Hilfssätzen.
2. Eigenschaften: Herleitung der Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten sowie Beweis von Ungleichungen.
3. Symmetrie – Monotonie – Periodizität: Analyse der grundlegenden Kurveneigenschaften bezüglich Symmetrie, Monotonie und dem Nachweis der Nicht-Periodizität.
4. Stetigkeit, Grenzwert, Wertebereich, Graph: Untersuchung der Stetigkeit, Bestimmung von Grenzwerten und Wertebereichen sowie Charakterisierung der Konvexität und der Graphen.
5. Differenzierbarkeit: Nachweis der Differenzierbarkeit und Bestimmung der Ableitungsfunktion für rationale Exponenten.
6. Integrierbarkeit: Diskussion der Integrierbarkeit und Bestimmung der Stammfunktionen.
Schlüsselwörter
Potenzfunktion, rationaler Exponent, Analysis, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, Rechengesetze, Bernoulli-Ungleichung, Monotonie, Konvexität, Konkavität, Grenzwert, Stammfunktion, Wurzelfunktion, Definitionsbereich.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Definition und die analytischen Eigenschaften der Potenzfunktion, wenn der Exponent keine ganze, sondern eine rationale Zahl ist.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Im Zentrum stehen die Erweiterung der Potenzdefinition, die Ableitung von Rechenregeln, die Analyse der Kurveneigenschaften und die Bestimmung von Ableitungen sowie Stammfunktionen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Es soll geklärt werden, ob und wie die bereits für ganzzahlige Exponenten bekannten Potenzfunktionen auf den Bereich rationaler Exponenten erweitert werden können und welche spezifischen Eigenschaften sich daraus ergeben.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit basiert auf mathematischen Definitionen und Beweisen. Dabei werden Sätze aus der Analysis (z.B. nach Bergmann) herangezogen, um die Eigenschaften formal zu verifizieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Definition, Eigenschaften (Rechengesetze/Ungleichungen), Kurvendiskussion (Symmetrie/Monotonie/Stetigkeit) sowie Differenzial- und Integralrechnung der entsprechenden Funktionen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Potenzfunktion, rationaler Exponent, Analysis, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit.
Was besagt die Bernoulli-Ungleichung in diesem Kontext?
Sie wird hier auf rationale Exponenten erweitert und liefert wichtige Abschätzungen für Funktionen der Form (1+h)^r.
Warum ist die Potenzfunktion laut der Arbeit asymmetrisch?
Da der Definitionsbereich für nicht-ganze Exponenten auf den nicht-negativen Bereich beschränkt ist, existiert kein f(-x) im Definitionsbereich, weshalb keine Symmetrie vorliegt.
- Citation du texte
- Thomas Schrowe (Auteur), 2001, Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/22571
