Häufig kommt es vor, dass in den verschiedensten Bereichen Daten dargestellt werden
müssen, die einen periodischen Verlauf annehmen. Dies ist zum Beispiel in der Medizin – bei
der Darstellung von Fieberkurven, Herzfunktionen o.ä. – der Fall. Aber auch bei den
Oszillographen in der Physik oder bei der geschichtlichen Analogrechnung oder bei
Berechnungen durch das Messen von Strömen. Um diese Daten praktisch anschaulich
darstellen zu können, empfiehlt es sich, diese durch eine Kurve zu interpolieren – was in der
Praxis auch so gemacht wird. Hier kommt nun die Numerischen Mathematiker ins Spiel, zu
dessen Teilgebieten ja die Interpolation von Datenkurven/ Funktion gehört.
Die nächste Frage ist nun, auf welche Weise diese periodischen Datenkurven oder Funktionen
interpoliert werden sollen. Als Ausgangsfunktion wären hier Polynome, Splines oder auch
Winkelfunktionen denkbar. Welche am besten für die Interpolation solcher periodischer
Datenkurven oder Funktionen geeignet sind, soll im nächsten Kapitel erörtert werden.
Weiter möchte ich dann auf die theoretischen Grundlagen der Interpolation periodischer
Funktionen eingehen, im vierten Kapitel versuchen, ein Programm dazu zu erarbeiten und
zum Schluss ein selbstgewähltes Beispiel mit meinem Programm zu bearbeiten und
gegebenenfalls zu diskutieren.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Polynom-, Spline- oder trigonometrische Interpolation?
- Die Interpolation periodischer Funktionen
- Theoretische Grundlagen
- Alles aus diesem Gebiet zusammengefasst
- Programm zur Interpolation periodischer Funktionen
- Beispiel zur Interpolation periodischer Funktionen
- Literatur
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Hausarbeit behandelt die Interpolation periodischer Funktionen. Sie untersucht die Eignung verschiedener Interpolationsmethoden für periodische Daten und stellt die trigonometrische Interpolation als die geeignetste Methode heraus. Die Arbeit beleuchtet die theoretischen Grundlagen der trigonometrischen Interpolation, entwickelt ein Programm zur Berechnung der Interpolation und demonstriert deren Anwendung anhand eines Beispiels.
- Vergleich verschiedener Interpolationsmethoden (Polynom-, Spline- und trigonometrische Interpolation)
- Theoretische Grundlagen der trigonometrischen Interpolation
- Entwicklung eines Programms zur Interpolation periodischer Funktionen
- Anwendung der trigonometrischen Interpolation an einem konkreten Beispiel
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung
Die Einleitung erläutert die Bedeutung der Interpolation periodischer Funktionen in verschiedenen Anwendungsbereichen, wie z. B. Medizin, Physik und Ingenieurwesen. Sie stellt die Problematik der Interpolation periodischer Daten dar und motiviert die Verwendung von trigonometrischen Funktionen für diese Aufgabe.
2. Polynom-, Spline- oder trigonometrische Interpolation?
Dieses Kapitel diskutiert die Eignung verschiedener Interpolationsmethoden für periodische Daten. Die Polynominterpolation wird aufgrund ihrer starken Oszillationen für periodische Daten als ungeeignet verworfen. Die Spline-Interpolation wird als eine potenzielle Alternative vorgestellt, jedoch wird die Notwendigkeit, die Periodizität explizit zu gewährleisten, hervorgehoben. Die trigonometrische Interpolation wird aufgrund ihrer intrinsischen Periodizität und Glattheit als die vorteilhafteste Methode für die Interpolation periodischer Daten identifiziert.
3. Die Interpolation periodischer Funktionen
3.1. Theoretische Grundlagen
Dieses Unterkapitel legt die theoretischen Grundlagen der trigonometrischen Interpolation dar. Es definiert die Periode und die N Stützpunkte (xk, fk) mit fk = f(x) und 0≤ x0 Dieses Unterkapitel fasst die wichtigsten Aspekte der trigonometrischen Interpolation zusammen. Es definiert die Periodizität und stellt die Vorteile der trigonometrischen Interpolation für die Interpolation periodischer Funktionen heraus. Die Gleichungen (12) und (13) beschreiben die Berechnung der Koeffizienten des trigonometrischen Polynoms aus den Stützpunkten. Die Arbeit konzentriert sich auf die Interpolation periodischer Funktionen, wobei die trigonometrische Interpolation im Mittelpunkt steht. Zu den wichtigen Themen zählen die theoretischen Grundlagen der trigonometrischen Interpolation, die Entwicklung eines Programms zur Berechnung der Interpolation, die Anwendung der Methode an einem Beispiel sowie die Diskussion der Vorteile der trigonometrischen Interpolation gegenüber anderen Interpolationsmethoden. Die Arbeit bezieht sich auf wichtige mathematische Konzepte wie die diskrete Fouriertransformation (DFT), die Fouriersynthese und die Approximationseigenschaften von trigonometrischen Polynomen.3.2. Alles aus diesem Gebiet zusammengefasst
Schlüsselwörter
- Quote paper
- Thomas Schrowe (Author), 2002, Interpolation periodischer Funktionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/22689
