Häufig kommt es vor, dass in den verschiedensten Bereichen Daten dargestellt werden
müssen, die einen periodischen Verlauf annehmen. Dies ist zum Beispiel in der Medizin – bei
der Darstellung von Fieberkurven, Herzfunktionen o.ä. – der Fall. Aber auch bei den
Oszillographen in der Physik oder bei der geschichtlichen Analogrechnung oder bei
Berechnungen durch das Messen von Strömen. Um diese Daten praktisch anschaulich
darstellen zu können, empfiehlt es sich, diese durch eine Kurve zu interpolieren – was in der
Praxis auch so gemacht wird. Hier kommt nun die Numerischen Mathematiker ins Spiel, zu
dessen Teilgebieten ja die Interpolation von Datenkurven/ Funktion gehört.
Die nächste Frage ist nun, auf welche Weise diese periodischen Datenkurven oder Funktionen
interpoliert werden sollen. Als Ausgangsfunktion wären hier Polynome, Splines oder auch
Winkelfunktionen denkbar. Welche am besten für die Interpolation solcher periodischer
Datenkurven oder Funktionen geeignet sind, soll im nächsten Kapitel erörtert werden.
Weiter möchte ich dann auf die theoretischen Grundlagen der Interpolation periodischer
Funktionen eingehen, im vierten Kapitel versuchen, ein Programm dazu zu erarbeiten und
zum Schluss ein selbstgewähltes Beispiel mit meinem Programm zu bearbeiten und
gegebenenfalls zu diskutieren.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Polynom-, Spline- oder trigonometrische Interpolation?
3. Die Interpolation periodischer Funktionen
3.1. Theoretische Grundlagen
3.2. Alles aus diesem Gebiet zusammengefasst
4. Programm zur Interpolation periodischer Funktionen
5. Beispiel zur Interpolation periodischer Funktionen
6. Literatur
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Interpolation periodischer Daten und Funktionen. Das primäre Ziel ist es, die theoretischen Grundlagen der trigonometrischen Interpolation zu erläutern und ein praktisches Programm zu entwickeln, welches periodische Datenmengen effizient interpolieren kann.
- Grundlagen der Interpolation (Polynom vs. Spline vs. trigonometrisch)
- Herleitung und mathematische Beschreibung periodischer Funktionen
- Diskretisierung mittels diskreter Fouriertransformation (DFT)
- Implementierung eines Interpolationsprogramms in Pascal
- Anwendung des Programms an einem praktischen Beispiel
Auszug aus dem Buch
3. Die Interpolation periodischer Funktionen
Ausgangspunkt ist die Periode 2p, das heißt f(x) = f(x + 2p). Gegeben sind N Stützpunkte (xk, fk) (k = 0,1,...,N-1) mit fk = f(xk) und xk unter der Voraussetzung, dass 0 ≤ x0 < x1 < ... < xN-1 < 2p.
y(xk) = fk (k = 0,1,...,N-1) stellt eine Linearkombination für die Stützstellen dar, für die folgendes gilt: (1a) Ist N ungerade, dann ist y(x) = A0/2 + Σ (h=1 bis M) [Ah cos(hx) + Bh sin(hx)] (1b) Ist N gerade, dann ist y(x) = A0/2 + Σ (h=1 bis M-1) [Ah cos(hx) + Bh sin(hx)] + AM/2 cos(Mx)
Im Folgenden möchte ich mich auf eine äquidistante Einteilung des Intervalls [0 , 2p] beschränken. Daraus folgt für die Stützstellen, xk = 2pk / N (k = 0,1,...,N-1). y(x) ist dann äquivalent zum Problem des trigonometrischen Polynom p(x) von N-ter Ordnung mit p(xk) = fk (k = 0,1,...,N-1), für das wiederum Folgendes gilt:
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Darstellung der Relevanz periodischer Daten in Fachgebieten wie Medizin und Physik sowie Einführung in die numerische Problemstellung.
2. Polynom-, Spline- oder trigonometrische Interpolation?: Kritische Gegenüberstellung verschiedener Interpolationsmethoden mit dem Ergebnis, dass die trigonometrische Interpolation aufgrund der Periodizität die vorteilhafteste Wahl darstellt.
3. Die Interpolation periodischer Funktionen: Mathematische Herleitung der theoretischen Grundlagen, einschließlich der DFT und der Definition von Fourierkoeffizienten.
4. Programm zur Interpolation periodischer Funktionen: Beschreibung der softwareseitigen Umsetzung des mathematischen Modells in Pascal.
5. Beispiel zur Interpolation periodischer Funktionen: Praktische Demonstration des entwickelten Programms anhand einer spezifischen trigonometrischen Funktion.
6. Literatur: Verzeichnis der verwendeten mathematischen Fachliteratur und Online-Quellen.
Schlüsselwörter
Interpolation, Periodische Funktionen, Numerische Mathematik, Trigonometrische Polynome, Fouriertransformation, DFT, Stützstellen, Oszillation, Funktionsapproximation, Datenkurven, trigonometrische Interpolation, Fourierkoeffizienten, Periodizität.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die numerische Methode zur Interpolation von Funktionen, die einen periodischen Verlauf aufweisen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Der Fokus liegt auf dem Vergleich zwischen Polynom-, Spline- und trigonometrischer Interpolation sowie deren mathematischer Implementierung.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Hauptziel besteht in der theoretischen Fundierung der trigonometrischen Interpolation und der praktischen Umsetzung in einem eigenentwickelten Programm.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die Methode der diskreten Fouriertransformation (DFT) genutzt, um Daten äquidistante Stützstellen zuzuordnen und durch trigonometrische Polynome anzunähern.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematische Theorie, die programmtechnische Realisierung mittels Pascal und die Validierung an einem konkreten Beispiel.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die zentralen Begriffe sind Interpolation, Periodizität, trigonometrische Polynome und Fouriertransformation.
Warum wird die Polynominterpolation ausgeschlossen?
Aufgrund des steigenden Oszillationsgrads bei zunehmender Datenmenge führt die Polynominterpolation zu ungenauen Ergebnissen zwischen den Stützstellen.
Wie genau ist das im Programm umgesetzte Verfahren?
Die Genauigkeit hängt laut Autor direkt von der Anzahl der eingegebenen Messwerte ab; je höher die Anzahl, desto präziser ist die Annäherung an die Ausgangsfunktion.
- Quote paper
- Thomas Schrowe (Author), 2002, Interpolation periodischer Funktionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/22689
