In dieser Arbeit wollen wir uns mit einem Teilgebiet der Funktionentheorie beschäftigen. Wir werden uns den unendlichen Produkten, ihren Eigenschaften und ihrer Anwendung widmen.
Schüler lernen bereits, wie sie eine dierenzierbare Funktion (in der Schule nur größtenteils reellwertige Polynomfunktionen ab 2. Grades) in ein Produkt ihrer Linearfaktoren zerlegen, sodass ihre Nullstellen aus diesem Produkt direkt ablesbar sind. Doch auch andersherum wird in der Schule gelehrt, wie anhand von vorgegebenen Nullstellen bestimmten Grades eine solche differenzierbare Funktion "gebastelt" werden kann. Diese dort noch sehr simple Theorie wird in der Funktionentheorie oder auch komplexen Analysis auf komplexwertige Funktionen erweitert. Mit ebendiesem Thema werden wir uns in dieser Arbeit beschäftigen.
Karl Theodor Wilhelm Weierstra (1815- 1897), ein bedeutsamer Mathematiker aus dem Münsterland, widmete sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts der Theorie der Produktentwicklung einer Funktion anhand ihrer Nullstellen. Sein Ergebnis, dass es ganze Funktionen (Definition folgt) mit willkürlich vorgegebenen Nullstellen gibt, veränderte das mathematische Denken der Funktionentheoretiker im 19. Jahrhundert grundlegend. Man konnte mit dieser Erkenntnis auf einmal neue Funktionen "bauen", die im damaligen Funktionenvorrat noch nicht vorgekommen waren.
Der Satz, der das Fundament dieser Theorie von Weierstra darstellt, ist der sogenannte Weierstrasche Produktsatz über C. Er wird den Mittelpunkt dieser Arbeit darstellen. Wir werden uns in diesem Kapitel grundlegenden Denitionen und Sätzen der Funktionentheorie zuwenden. Es soll als knappe (wiederholende) Einführung für den Leser in die Funktionentheorie dienen.
Im anschlieenden zweiten Kapitel werden wir die unendlichen Produkte in
C näher betrachten. Verschiedene Arten von Konvergenz sollen de
niert und umschrieben werden. Im dritten Teil, dem wichtigsten dieser Arbeit, werden wir uns dem Weierstraschen Produktsatz mit Hilfe der vorigen Kapitel nähern und ihn beweisen, sowie ein Beispiel für seine Anwendung anführen.
Abschließend wollen wir im letzten Kapitel den Weierstraschen Produktsatz
auf die Ebene C = R2 anwenden. Wir werden die sogenannte Weierstrasche
-Funktion herleiten und aus ihr noch zwei weitere Weierstraßsche Funktionen entwickeln.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Grundlagen
1.1 Grundlegende Definitionen und Sätze
1.1.1 Definition: komplex differenzierbar
1.1.2 Definition: analytisch
1.1.3 Definition: ganze Funktion
1.1.4 Definition: holomorph
1.1.5 Definition: Gebiet
1.1.6 Definition und Satz: Ordnung an der Stelle a
1.1.7 Definition: isolierte Singularität
1.1.8 Definition: Pol
1.1.9 Satz: Charakterisierung von Polen
1.1.10 Definition: meromorphe Funktion
1.1.11 Definition: logarithmische Ableitung
1.1.12 Definition: periodische Funktion
2 Unendliche Produkte in C
2.1 Unendliche Produkte komplexer Zahlen
2.1.1 Definition: Konvergenz
2.1.2 Satz: Konvergenz
2.1.3 Konvention
2.1.4 Defintion: absolute Konvergenz
2.1.5 Satz: absolute Konvergenz
2.1.6 Beispiel: Konvergenz
2.2 Unendliche Produkte komplexer Funktionen
2.2.1 Definition: gleichmäßige Konvergenz
2.2.2 Satz: gleichmäßige Konvergenz
2.2.3 Definition: kompakte Konvergenz
2.2.4 Eigenschaften unendlicher Funktionenprodukte
2.2.5 Satz: kompakte Konvergenz
3 Der Weierstraßsche Produktsatz
3.1 Problemstellung
3.1.1 Endliche Nullstellenmenge
3.1.2 Unendliche Nullstellenmenge
3.2 Konvergenzerzeugende Faktoren: Weierstraßfaktoren
3.2.1 Definition: Weierstraßfaktoren
3.2.2 Abschätzung der Weierstraßfaktoren
3.3 Der Weierstraßsche Produktsatz über C
3.3.1 Satz: Weierstraßscher Produktsatz über C
3.3.2 Definition: Charakteristik einer Folge
3.3.3 Definition: Kanonisches Weierstraßprodukt
3.3.4 Produktentwicklung einer ganzen Funktion
3.3.5 Beispiel: Produktentwicklung der Sinusfunktion
4 Die Weierstraßsche σ- Funktion
4.1 Das Gitter und die Weierstraßsche σ-Funktion
4.1.1 Definition: Diskrete Teilmenge von R2
4.1.2 Satz: diskrete Untergruppen von C = R2
4.1.3 Definition: Gitter
4.1.4 Charakteristik des Gitters
4.1.5 Herleitung der Weierstraßschen σ- Funktion
4.2 Weitere Weierstraßsche Funktionen
4.2.1 Die Weierstraßsche ζ-Funktion
4.2.2 Die Weierstraßsche ℘-Funktion
5 Schlussbemerkung
Zielsetzung & Themen
Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der Theorie der unendlichen Produkte in der Funktionentheorie, wobei der Weierstraßsche Produktsatz als zentraler Gegenstand untersucht und auf die Weierstraßsche Sigma-Funktion sowie weitere Weierstraßsche Funktionen angewendet wird.
- Grundlagen der komplexen Analysis und Konvergenz unendlicher Produkte
- Konvergenzerzeugende Faktoren und der Weierstraßsche Produktsatz
- Konstruktion ganzer Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen
- Herleitung der Weierstraßschen Sigma-Funktion für Gitter
- Untersuchung der Weierstraßschen Zeta- und P-Funktionen
Auszug aus dem Buch
3.3.1 Satz: Weierstraßscher Produktsatz über C
Sei eine Folge (ak)k mit ak ∈ C ∀ k und mit limk→∞ ak = ∞ gegeben. Weiterhin sei (mk)k eine beliebige Folge natürlicher Zahlen mit Σ[k=1 bis ∞] (R/|ak|)^(mk+1) konvergent für jedes R > 0.
Dann haben wir durch Produktbildung der entsprechenden Weierstraßfaktoren (vgl. 3.2.1) mit der Funktion f(z) = z^n0 * Π[k=1 bis ∞] Emk(z/ak) eine ganze Funktion f, dessen Nullstellen gerade bei den Punkten ak der vorgegebenen Zahlenfolge liegen. n0 = ord0(f) stellt hier die Nullstellenordnung im Nullpunkt dar und kommt die Nullstelle ak genau nk-mal in der Zahlenfolge (ak)k vor, so kommt dann der Faktor Emk(z/ak) genau nk-mal in dem unendlichen Produkt vor. Es ist also nk = ordak(f). (Es ist trivial, dass die Faktoren Emk(z/ak) die Nullstellenordnung 1 haben, da Emk(z/ak) = (1 - z/ak) * e^(Lmk(z/ak))).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung und Grundlagen: Einführung in das Themengebiet der unendlichen Produkte und Bereitstellung der für die Arbeit notwendigen Definitionen und Sätze der Funktionentheorie.
2 Unendliche Produkte in C: Detaillierte Untersuchung und Definition der Konvergenz unendlicher Produkte komplexer Zahlen und Funktionen sowie Beweis wichtiger Sätze zu Konvergenzarten.
3 Der Weierstraßsche Produktsatz: Hauptteil der Arbeit, der die Problemstellung ganzer Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen behandelt und den Weierstraßschen Produktsatz sowie Weierstraßfaktoren einführt und beweist.
4 Die Weierstraßsche σ- Funktion: Anwendung des Produktsatzes auf Gitter in C zur Herleitung der Sigma-Funktion und Vorstellung weiterer Funktionen wie der Zeta- und P-Funktion.
5 Schlussbemerkung: Zusammenfassung der erzielten Ergebnisse und kurzer Ausblick auf weiterführende Themen wie den Produktsatz von Hadamard und elliptische Funktionen.
Schlüsselwörter
Funktionentheorie, Unendliche Produkte, Weierstraßscher Produktsatz, Komplexe Analysis, Ganze Funktionen, Nullstellen, Konvergenz, Weierstraßfaktoren, Sigma-Funktion, Gitter, Zeta-Funktion, P-Funktion, Holomorphe Funktionen, Meromorphe Funktionen, Komplexe Ebene.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit einem Teilgebiet der Funktionentheorie, insbesondere mit unendlichen Produkten und ihrer Anwendung zur Konstruktion ganzer Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Die zentralen Felder sind die Konvergenztheorie unendlicher Produkte, der Weierstraßsche Produktsatz sowie die Anwendung dieser Theorie auf Gitter zur Ableitung spezieller Funktionen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist die theoretische Durchdringung des Weierstraßschen Produktsatzes und seine Anwendung, um ganze Funktionen mittels ihrer Nullstellen zu definieren und so die Sigma-Funktion zu gewinnen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine mathematische Arbeit, die auf Basis von Definitionen, Sätzen und Beweisen (unter anderem stützend auf Falko Lorenz' "Funktionentheorie") die Thematik strukturiert herleitet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Problemstellung von Nullstellenmengen, der Definition konvergenzerzeugender Weierstraßfaktoren und dem Beweis des Weierstraßschen Produktsatzes.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind der Weierstraßsche Produktsatz, Gitter, Sigma-Funktion, ganze Funktionen und die Konvergenz unendlicher Produkte.
Was genau ist ein Weierstraßfaktor?
Ein Weierstraßfaktor ist eine ganze Funktion, die dazu dient, ein unendliches Produkt von Funktionen in ein konvergentes Produkt zu verwandeln, ohne das Nullstellenverhalten der ursprünglichen Funktion zu verändern.
Warum ist das Gitter für die Arbeit so wichtig?
Das Gitter dient als spezielle Nullstellenmenge im Kapitel 4, um durch den Weierstraßschen Produktsatz eine ganze Funktion, die Sigma-Funktion, herzuleiten, die exakt an den Gitterpunkten Nullstellen hat.
Was ist die Besonderheit der Weierstraßschen P-Funktion?
Die P-Funktion ist eine meromorphe Funktion, die Pole zweiter Ordnung an den Gitterpunkten besitzt und aus der logarithmischen Ableitung der Sigma-Funktion gewonnen wird.
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- Jessika Wedemeyer (Author), 2012, Der Weierstraßsche Produktsatz und die Weierstraßsche Sigma-Funktion, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/233388
