Entwicklung, Struktur und Eigenschaften von Infinite Impulse Response (IIR)-Operatoren im Vergleich mit Finite Impulse Response (FIR)-Operatoren für die digitale Bildverarbeitung

Inhalt

Vorwort

1. Grundlagen
1.1. Die Bildmatrix
1.2. Signalbeschreibung (Bildbeschreibung) im Orts-, Ortsfre- 2 quenz- u. Z-Bereich
1.2.1. Beschreibung im Ortsbereich
1.2.2. Beschreibung durch Fourier- u. Z-Transformation
1.2.2.1. Die diskrete Fouriertransformation
1.2.2.2. Beschreibung im Z-Bereich und Z-Transformation
1.3. Ziele der digitalen Bildverarbeitung und die Bedeutung 6 lokaler Operatoren
1.4. Struktur und Eigenschafen von FIR-Operatoren
1.4.1. Lokaler FIR-Operator und diskrete Faltung
1.4.2. Besonderheiten und Probleme bei der Faltung von Bildern 9 mit lokalen Operatoren
1.4.3. Faltung (Filterung) im Orts- und Ortsfrequenzbereich

2. IIR-Operatoren
2.1. Struktur und Eigenschaften von IIR-Operatoren
2.1.1. Die Zweckmäßigkeit des Einsatzes rekursiver Operatoren in 12 digitalen Bildbearbeitung
2.1.2. Definition und Klassifikation rekursiver Operatoren
2.1.2.1. Viertelebenen-Filter (Quarter-Plane (QP)-Filters)
2.1.2.2. Nichtsymmetrische Halbebenenfilter (Nonsymmetric 13 Half-Plane (NSHP)-Filters)
2.2. Kausale rekursive QP-Filter
2.2.1. Struktur und Eigenschaften
2.2.2. Stabilität rekursiver QP-Filter
2.2.2.1. Sätze und Theoreme zur Stabilität
2.2.2.2. Test der Stabilitätsbedingungen
2.2.2.2.1. Test von HUANG-ANSELL
2.2.2.2.2. Stabilitätstest von ANDERSON und JURY
2.2.2.2.3. Stabilitätstest mit Hilfe von Abbildungen in der zweidimensio- 22 nalen Z-Ebene
2.2.2.3. Beispiele zur Stabilitätsüberprüfung
2.2.2.3.1. Stabiles Filter
2.2.2.3.2. Instabiles Filter
2.2.2.4. Andere Stabilitätstests
2.3. Entwurf kausaler rekursiver QP-Filter
2.3.1. Allgemeine Bemerkungen zum Filterentwurf
2.3.2. Entwurfsverfahren für rekursive Filter erster und zweiter 30 Ordnung
2.3.3. Ergebnisse und Erkenntnisse hinsichtlich der Anwendung 35 des Optimierungsverfahrens aus 2.3.2
2.3.3.1. Optimales Tiefpaßfilter
2.3.3.2. Breitband-Differenzierer
2.3.3.3. Lineares Hochpaßfilter
2.3.4. Andere Entwurfsverfahren im Überblick
2.3.4.1. Transformation der Optimierungsvariablen
2.3.4.2. Ermitteln von Näherungslösungen im Ortsbereich
2.4. Applikationen der behandelten Filter
2.5. Diskussion der Ergebnisse und Schlußfolgerungen für den

Einsatz rekursiver Operatoren in der digitalen Bildverarbei- tung

Anhang

Literaturverzeichnis

Vorwort

Die digitale Bildverarbeitung hat sowohl speziell in der medizinischen Diagnostik als auch allgemein in den verschiedensten technischen Bereichen eine große Bedeutung erlangt. Diese Bedeutung der Bildverarbeitung innerhalb der Kette des Bildentstehungsprozesses ist in der Adaption des „Rohbildes“ an visuelle Zielstellungen des Betrachters (Mensch) sowie in der Aufbereitung bzw. Modifikation der Bildinformation für ein automatisches Bildverarbeitungssystem zu sehen.

Für beide Zwecke stehen zum heutigen Zeitpunkt eine Anzahl von Hilfsmitteln zur Verfügung, die in den verschiedensten Bildverarbeitungsprogrammen implementiert sind. Da das Bild, welches zur Verarbeitung dem Rechner zugeführt wird, aus systemtheoretischer Sicht ein digitales Signal darstellt, ist die Systemtheorie der diskreten Signale und Systeme in vielen Fällen das Hilfsmittel zur Entwicklung von Werkzeugen der Bildverarbeitung. Eine wesentliche Gruppe solcher Werkzeuge sind lokale Operatoren (Filter). Dabei werden momentan fast ausschließlich nichtrekursive Systeme verwendet.

Ziel der vorliegenden Arbeit soll es sein, das Wesen der rekursiven Operatoren zu untersuchen und ihren praktischen Nutzen für die Bildverarbeitung zu beurteilen. Dabei wurde auf Nachvollziehbarkeit der Ausführungen sowie die Relevanz des praktischen Einsatzes besonderer Wert gelegt. Dementsprechend erfolgte auch die Auswahl der Verfahren und Methoden, welche im Detail dargestellt sind.

Zur Konsolidierung des Grundgedankens der praktischen Anwendbarkeit wurden zwei Tools rechentechnisch umgesetzt. Dies ist zum einen ein Optimierungsalgorithmus für den Filterentwurf sowie eine Routine zur Durchführung der Faltung mit rekursiven Operatoren im Bildverarbeitungs-Rahmenprogramm IPFRAME*.

Dresden, Juli 1995 Steffen Petzold

1. Grundlagen

1.1. Die Bildmatrix

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist das bereits digitalisierte Bild, welches in Form einer zweidimensionalen Rechteckmatrix mit rechteckigen,äquidistanten Basiszellen (Pixel) vor- liegt.

Der durch die Digitalisierung diskretisierte Definitionsbereich wird durch Pixelkoordinaten in Form eines Zahlenpaares (Spaltenindex m und Zeilenindex n) beschrieben. Die Zeilenzahl sei mit N, die Spaltenzahl mit M bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.1

Wenn vorausgesetzt wird, daß zwischen den Pixeln kein Zwischenraum vorhanden ist, kann die Pixelausdehnung dem Pixelabstand (Rasterabstand, Gitterabstand) gleichgesetzt werden. Die geometrische Ausdehnung des Bildes läßt sich folgendermaßen berechnen :

Ausdehnung in Zeilenrichtung: lM = ∆xm⋅M (1.1)

Ausdehnung in Spaltenrichtung: lN = ∆xn⋅N (1.2)

∆xm Pixelabstand (Gitterabstand) der Bildspalten

∆xn Pixelabstand (Gitterabstand) der Bildzeilen

Wichtig für die Beurteilung und Bearbeitung des Bildes ist die Analyse benachbarter Pixel, besonders in Hinblick auf die Objekterkennung. Bei der rechteckigen Basiszelle besteht nun das Problem, daß zwischen einer 4er-Nachbarschaft (zwei Pixel gelten als benach- bart, wenn sie eine Kante gemeinsam haben) und einer 8er-Nachbarschaft (zwei Pixel gel- ten als benachbart, wenn sie eine Kante oder eine Ecke gemeinsam haben) unterschieden werden muß.

1.2. Signalbeschreibung (Bildbeschreibung) im Orts-, Ortsfrequenz- und Z-Bereich

1.2.1. Beschreibung im Ortsbereich

Die Funktionswerte f (m, n) der Koordinaten (m, n) sind in der Regel quantisierte Grauwerte (z.B. die natürlichen Zahlen von 0 (schwarz) bis 255 (weiß)). Somit läßt sich das Bild allgemein als zweidimensionale diskrete Funktion mit folgenden Eigenschaften der einzelnen Funktionswerte (Pixel) auffassen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Systemtheoretisch stellt das Bild ein Signal dar, welches einen Definitionsbereich (Menge

T) und einen Wertebereich (Menge X) besitzt. Dabei stellt f (kennzeichnet jetzt das ge-

samte Signal bzw. Bild) eine Abbildung von T in X dar:

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Dabei ist f ein Element aller möglichen Signale (Bilder):

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Die Gitterpunkte (m, n) stehen mit den Ortskoordinaten (x, y) im folgenden Zusammenhang:

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Die Funktionswerte f können auch als Elemente einer das Bild beschreibenden Matrix F betrachtet werden:

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1.2.2. Beschreibung durch Fourier- und Z-Transformation

Durch geeignete Transformationen können Signale, welche gewissen Bedingungen hin- sichtlich Beschränktheit und Stetigkeit genügen, von einem Originalraum (Zeitbereich, Ortsbereich) in einen anderen Raum, den Bildraum (Frequenzbereich, Z-Bereich, Ortsfre- quenzbereich) transformiert und in diesem wie im Originalbereich vollständig dargestellt werden.

Für diskrete Signale sind folgende Transformationen von Bedeutung:

- Diskrete Laplacetransformation
- Diskrete Fouriertransformation
- Z-Transformation

Die beiden letzteren sollen im folgenden mit dem Ziel weiterer Betrachtungen erläutert

werden, ohne dabei auf die (den Systemen mit diskreter Zeit analogen) Rechenregeln und Korrespondenzen einzugehen.

1.2.2.1. Die diskrete Fouriertransformation

Für ein unendlich ausgedehntes, kontinuierliches Bild mit den Quantisierungswerten f (x, y) und der Bedingung

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existiert die Fouriertransformierte des Ortssignals entsprechend

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sowie die Rücktransformation in den Ortsbereich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Bildraum erfolgt also die Signaldarstellung durch ein komplexes, kontinuierliches Spekt- rum.

Bedingt durch die Spezifik der in 1.1. beschriebenen Bildstruktur sind die Spektren entsprechender Bilder folgendermaßen charakterisiert:

- die endliche Ausdehnung des Bildes und die (gedankliche) periodische Fortsetzung in der Ebene bedingt eine Diskretisierung des Spektrums mit den Frequenzabständen

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- Diese Frequenzen sind auch gleichzeitig die kleinsten (neben dem Gleichanteil) im Spektrum auftretenden Frequenzen (Grundfrequenzen).

- durch die Diskretisierung ist das Frequenzband nach oben beschränkt, die höchste Frequenz entspricht der Änderung des Quantisierungswertes von Pixel zu Pixel im Ortsbereich :

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Eine Periodenlänge dieser höchsten Frequenz umfaßt also ein Linienpaar (zwei Pixel). Die Transformationsformeln der diskreten Fouriertransformation sind gegeben durch:

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Die Variablen u und v werden als Wellenzahlindizes bezeichnet und stehen mit den Orts- frequenzen im folgenden Zusammenhang:

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wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Transformierten des Ortssignals sind komplexe Zahlen:

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Die Beträge aller Transformierten bilden das Amplitudenspektrum

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die Phasenwinkel das Phasenspektrum

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Spezifiziert man die Rücktransformationsgleichung (1.17) für reelle f (m, n) (was ja für die Quantisierungswerte zutrifft), erkennt man deutlich die Darstellung des Bildes aus Sinus- u. Kosinuswellen (Basisfunktionen der (diskreten) Fouriertransformation) unterschiedlicher Frequenz:

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Aus den Transformationsgleichungen (1.16), (1.17) und (1.22) und den allgemeinen Ei- genschaften der diskreten Fouriertransformation, welche an dieser Stelle nicht vollständig aufgeführt werden sollen, können wichtige Eigenschaften des fouriertransformierten Signals abgelesen werden:

- Das Spektrum (Fouriertransformierte) enthält dieselbe Anzahl von Stützstellen pro Peri- ode wie das Originalsignal (Quantisierungswerte), es setzt sich ebenso wie das Origi- nalsignal (gedanklich) periodisch fort
- durch Einsetzen von u =1 bzw. v =1 in die Gleichungen (1.16) und (1.17) identifiziert man die Grundfrequenzen entsprechend Gleichung (1.14), durch Einsetzen von u =M/2 bzw. v =N/2 die Maximalfrequenzen nach Gleichung (1.15)
- der Punkt (u, v)=(0,0) bildet das Symmetriezentrum des periodischen Spektrums mit den Symmetrieeigenschaften

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- der Punkt (u, v)=(M/2,N/2) bildet das Symmetriezentrum bei der Beschreibung des Spektrums in den Grundintervallen u ∈ [0,M-1] und v ∈ [0,N-1] mit den Symmetrieeigen- schaften

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie im Verlaufe dieser Arbeit noch gezeigt werden wird, spielt die diskrete Fouriertransformation für die spektrale Analyse von Bildern wie auch beim Entwurf lokaler Operatoren eine erhebliche Rolle.

1.2.2.2. Beschreibung im Z-Bereich und Z-Transformation

Wie in den folgenden Kapiteln noch gezeigt werden wird, ist die zweidimensionale Z- Transformation ein geeignetes Hilfsmittel, um die Stabilität von rekursiven Filtern, deren Betrachtung Gegenstand dieser Arbeit sein soll, zu beurteilen. Im Gegensatz zur Fou- riertransformation ist die Z-Transformation ausschließlich auf diskrete Signale und Syste- me anwendbar.

Diskreten Signalen (hier den Quantisierungswerten) mit den Eigenschaften

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kann (analog zu eindimensionalen diskreten Zeitsignalen) eine Laurent-Reihe außerhalb des Konvergenzkreises der komplexen Ebenen von z 1 und z 2 zugeordnet werden:

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Umgekehrt kann das Signal mit oben genannten Eigenschaften an jedem Ortspunkt durch ein komplexes Integral mit geschlossenem Weg im Konvergenzgebiet dargestellt werden:

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Gleichung (1.28) heißt Inverse Z-Transformation:

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1.3. Ziele der digitalen Bildverarbeitung und die Bedeutung lokaler Operato- ren

Der Bildverarbeitung innerhalb des Bildgewinnungsprozesses ist bekanntlich eine recht

große Bedeutung unter verschiedenen Zielsetzungen beizumessen. Allgemein besteht die Aufgabe, das vorliegende digitalisierte Bild f mit den Quantisierungswerten f (m, n) durch geeignete Transformationen in ein formatgleiches neues Bild g mit den Quantisierungswerten g (m, n) zu überführen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Struktur und Eigenschaften von T hängen vom Ziel der beabsichtigten Modifikation des Bildes f ab. Einige wichtige seien hier mit Angabe der Hilfsmittel zur Transformation ge- nannt:

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1.4. Struktur und Eigenschaften von FIR-Operatoren

1.4.1. Lokaler FIR-Operator und diskrete Faltung

Lokale Operatoren nehmen, wie in 1.3 gezeigt, einen großen Raum innerhalb der verwendeten Werkzeuge in der digitalen Bildverarbeitung ein. Dabei handelt es sich gegenwärtig fast ausschließlich um nichtrekursive FIR- (Finite Impulse Response) Operatoren. Aus diesem Grunde ist es sinnvoll, vor dem Übergang zu den rekursiven Systemen die nichtrekursiven kurz zu betrachten. Damit wird auch das Verständnis für die Sinnfälligkeit und die Theorie der rekursiven Systeme verbessert.

Der lokale Operator ist als Maske mit einer gewissen Ausdehnung in Zeilen- u. Spaltenrichtung vorstellbar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.2.

Übliche Werte für K und L sind beispielsweise 3;5 oder 7. Aus Symmetriegründen werden für K und L immer ungerade und gleiche Werte angestrebt. In diesem Falle wird der Mittelpunkt des Operatorfensters auf den Faltungspunkt gelegt (s. Abb. 1.3).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.3

Es gilt dann : r = (L-1)/2 = (K-1)/2.

Die Inhalte der Filtermasken werden als Filterkoeffizienten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie l ∈ [0,L-1] bezeichnet. Diese sind, wie man sich durch Einsetzen der δ-Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in (1.32) bzw. (1.33) überzeugen kann, mit der Impulsantwort des Filters identisch.

Die betrachteten Filter sollen, wenn nicht anders erwähnt, folgende Eigenschaften haben:

- Linearität

Daraus folgt die Gültigkeit des Überlagerungsprinzips:

Wenn H die Wirkung des Operators h auf die Bilder f 1 bzw. f 2 ist, so gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Damit läßt sich der Operator durch seine Impulsantwort (Filterkoeffizienten) oder durch seine Übertragungsfunktion (Fouriertransformierte) darstellen, da die Fouriertransforma- tion eine lineare Transformation ist.

- Verschiebungsinvarianz

Die Wirkung des Operators bzw. Filters ist unabhängig von der Position einer Bildstruk- tur.

Diese beiden Eigenschaften charakterisieren die aus der Systemtheorie bekannten LSI-(linear shift invariant) Systeme.

Die Wirkung der Systeme (Operatoren, Filter) auf das Bild f korrespondiert mit den entsprechenden Gesetzen der Systemtheorie eindimensionaler Signale und Systeme und wird im Ortsraum durch die zweidimensionale diskrete Faltung beschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Berechnung der Faltung am Punkt g(m,n) kann im Falle einer Faltung mit einem 3×3-Operator entsprechend (1.33) folgendermaßen veranschaulicht werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.4

1.4.2. Besonderheiten und Probleme bei der Faltung von Bildern mit lokalen Operatoren

Kausalit ä tsproblematik

Bei der Betrachtung der Faltungssumme (1.33) bzw. der Abb. 1.4 fällt auf, daß zur Be- rechnung der Faltung am Punkt (m, n) nicht nur vorangegangene, sondern auch folgende Ortspunkte (p, q) mit p > m bzw. q > n verwendet werden. Man nennt dies eine akausale Struktur. Im Gegensatz zu eindimensionalen Zeitsignalen ist bei Bildern bereits zu Beginn der Faltung am Punkt (0,0) das gesamte Signal (Bild) bekannt und verfügbar, das heißt, am Ortspunkt (m,n) sind bereits die Signalwerte von Ortspunkten angebbar, die erst „spä- ter“ (das heißt ,mit der Morphologie des Bildes gesprochen, weiter rechts und/oder weiter unten) im Signal (Bild) enthalten sind.¹ Somit kann (wie auch geschehen) das Faltungser- gebnis am Ortspunkt (m, n) von „späteren“ Ortspunkten abhängen. Solche punktsymmetri- schen akausalen Strukturen tragen den Eigenschaften der natürlichen Bilder besser Rechnung als eine Faltung mit kausaler Struktur.

Unvollst ä ndige Faltung an den Bildr ä ndern

Wiederum durch Betrachten der Gleichung (1.33) sowie der Abb. 1.4. ist festzustellen, daß bei der Berechnung der Faltung an Punkten (m,n) mit m,n<r , m>M-r bzw. n>N-r formal Punkte mit negativen Ortskoordinaten auftreten, welche also gar nicht im Bild auftauchen. Die Faltung an solchen Punkten entspricht einem Einschwingvorgang bei Zeitsystemen und liefert nicht die Ergebnisse, die bei einer vollständigen Faltung an den anderen Punkten erzielt werden. Die Randgebiete (in Abb. 1.4 ein 1 Pixel breiter Rand) müssen deshalb durch eine der folgenden Maßnahmen behandelt werden:

1. Einfaches Weglassen der Randpunkte mit dem Ergebnis eines reduzierten Bildfeldes.
2. Kopieren des Randes des alten Bildes in das neue Bild.
3. Gedankliche periodische Fortsetzung des Bildes (wie bei der Betrachtung der Fou-

riertransformation geschehen) und Durchführen der vollständigen Faltung auch an den Randpunkten.

1.4.3. Faltung (Filterung) im Orts- und Ortsfrequenzbereich

Eine der wichtigsten Rechenregeln der (diskreten zweidimensionalen) Fouriertransformation ist die Transformation des Faltungsintegrals bzw. der Faltungssumme. Diese wichtige Grundkorrespondenz lautet:

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Die Operation Faltung im Ortsbereich entspricht der Operation Multiplikation (Filterung) im Ortsfrequenzbereich. Damit eröffen sich prinzipiell zwei Möglichkeiten der Bearbeitung eines Bildes mit mit einem lokalen Operator:

Direkte Faltung

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Abb. 1.5

Filterung im Ortsfrequenzbereich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.6

Bei dieser Art der Verarbeitung ist die Fouriertransformation des lokalen Operators not- wendig. Dafür ist der lokale Operator in eine Matrix zu legen, welche die gleiche Ausdeh- nung wie das Bild f hat. Alle Matrixelemente, die nicht zum Operator gehören, sind mit dem Wert 0 zu belegen. Anschließend kann die Transformation von h analog Gleichung (1.16) erfolgen.

Welche Art der Verarbeitung angewendet wird, hängt von verschiedenen Gesichtspunkten ab:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit sollen die Betrachtungen zu den nichtrekursiven FIR-Filtern im Rahmen dieser Ar- beit zunächst beendet und zu den hier interessierenden rekursiven IIR-Filtern übergegan- gen werden.

2. IIR - Operatoren

2.1. Struktur und Eigenschaften von IIR-Operatoren

2.1.1. Die Zweckmäßigkeit des Einsatzes rekursiver Operatoren in der Bildbearbeitung

Aus den Darstellungen in 1.4 ist ersichtlich, daß die Ausdehnung der Impulsantwort eines nichtrekursiven Filters auf die Ausdehnung des Filters (Operators) begrenzt ist - deshalb auch FIR- (finite impulse response) Filter genannt. Im Gegensatz dazu können IIR- (infinite impulse response) Filter bei einer endlichen Anzahl von Koeffizienten eine unendlich aus- gedehnte Impulsantwort haben. Dies wird, analog zu rekursiven Filtern für elektrische Sig- nale, durch die teilweise Rückführung des Ausgangssignals auf das Eingangssignal er- reicht, das heißt, für die Berechnung des Punktes b(m,n) werden bereits früher berechnete Punkte b(p,q) mit p<m bzw. q<n verwendet.

Mit rekursiven Filtern lassen sich schon bei geringer Filterlänge (geringer Rechenauf- wand) sehr verschiedene Übertragungsfunktionen (Fourierspektrum des Filters) realisie- ren. Nichtrekursive FIR-Filter müssen beispielsweise für die Unterdrückung kleiner Fre- quenzen eine entsprechend große Anzahl von Koeffizienten, d.h. eine große Ausdehnung mit entsprechend großem Rechenaufwand, haben. Weiterhin lassen sich mit rekursiven IIR-Filtern unter Verwendung wiederum weniger Koeffizienten große Steilheiten im Fre- quenzverlauf des Operators in einem entsprechend schmalen Toleranzband der Frequenz synthetisieren.

2.1.2. Definition und Klassifikation rekursiver Operatoren

Zur allgemeinsten Darstellung des Input-Output-Verhaltens rekursiver Filter eignet sich die entsprechende Differenzengleichung:

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Diese Gleichung charakterisiert, analog zu den FIR-Operatoren, ein LSI-System. Durch Umstellen von (2.1) erhält man die Ausgabe am Ort g (m,n):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der Vielfalt denkbarer rekursiver Filter, die sich durch die möglichen Definitionsberei- che der Filterkoeffizienten ergeben, hat sich im wesentlichen eine Klassifikation in zwei Typen, die Viertel- und Halbebenenfilter, herausgebildet, welche im folgenden erläutert werden.

2.1.2.1. Viertelebenen-Filter (Quarter-Plane (QP)-Filters)

Ein rekursives Filter wird als Viertelebenen-Filter bezeichnet, wenn die Koeffizienten a(k,l) und b(k,l) nur in einem Quadranten definiert sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Einzugsbereich beispielsweise eines R+ + -Operators kann folgendermaßen dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.1

Sind die Koeffizienten nur für nichtnegative k und l definiert (R+ +-Filter), wird das entsprechende rekursive Filter als kausal bezeichnet, da nur „weiter zurückliegende“ Ortspunkte für die Berechnung des aktuellen Punktes b(m,n) verwendet werden. Dieser Typ rekursiver Filter soll auch bei der weiteren Betrachtung im Mittelpunkt stehen.

Durch die Wahl anderer Definitionsbereiche für die Koeffizienten a(k,l) und b(k,l) lassen sich weitere spezielle Klassen von QP-Filtern ableiten.

2.1.2.2. Nichtsymmetrische Halbebenenfilter (Nonsymmetric Half-Plane (NSHP)-Filters)

Ein rekursives Filter wird als nichtsymmetrisches Halbebenen-Filter bezeichnet, wenn die Koeffizienten a(k,l) und b(k,l) nur in zwei benachbarten Quadranten in folgender Weise de- finiert sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Einzugsbereich beispielsweise eines R⊕ + - Operators kann folgendermaßen dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.2

Man erkennt, daß ein NSHP-Filter in jedem Falle akausal ist. Ein R⊕ + -Filter ist beispielsweise kausal in der Richtung von l und akausal in der Richtung von k.

2.2. Kausale rekursive QP-Filter

2.2.1. Struktur und Eigenschaften

Mit den Ausführungen in 2.1.2.1. kann ein kausales Viertelebenen-Filter durch folgende Gleichung für die Berechnung des Bildpunktes g(m,n) beschrieben werden:

[...]

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¹ In der Systemtheorie der Zeitsignale und -systeme wäre die analoge Formulierung : „ Zum Taktzeitpunkt T sind bereits Signalwerte von Taktzeitpunkten T+T’ (T,T’ ∈ N) angebbar und für das System verfügbar.