Die digitale Bildverarbeitung hat sowohl speziell in der medizinischen Diagnostik als auch
allgemein in den verschiedensten technischen Bereichen eine große Bedeutung erlangt.
Diese Bedeutung der Bildverarbeitung innerhalb der Kette des Bildentstehungsprozesses
ist in der Adaption des „Rohbildes“ an visuelle Zielstellungen des Betrachters (Mensch)
sowie in der Aufbereitung bzw. Modifikation der Bildinformation für ein automatisches Bildverarbeitungssystem
zu sehen.
Für beide Zwecke stehen zum heutigen Zeitpunkt eine Anzahl von Hilfsmitteln zur Verfügung,
die in den verschiedensten Bildverarbeitungsprogrammen implementiert sind. Da
das Bild, welches zur Verarbeitung dem Rechner zugeführt wird, aus systemtheoretischer
Sicht ein digitales Signal darstellt, ist die Systemtheorie der diskreten Signale und Systeme
in vielen Fällen das Hilfsmittel zur Entwicklung von Werkzeugen der Bildverarbeitung.
Eine wesentliche Gruppe solcher Werkzeuge sind lokale Operatoren (Filter). Dabei werden
momentan fast ausschließlich nichtrekursive Systeme verwendet.
Ziel der vorliegenden Arbeit soll es sein, das Wesen der rekursiven Operatoren zu untersuchen
und ihren praktischen Nutzen für die Bildverarbeitung zu beurteilen. Dabei wurde
auf Nachvollziehbarkeit der Ausführungen sowie die Relevanz des praktischen Einsatzes
besonderer Wert gelegt. Dementsprechend erfolgte auch die Auswahl der Verfahren und
Methoden, welche im Detail dargestellt sind.
Zur Konsolidierung des Grundgedankens der praktischen Anwendbarkeit wurden zwei
Tools rechentechnisch umgesetzt. Dies ist zum einen ein Optimierungsalgorithmus für den
Filterentwurf sowie eine Routine zur Durchführung der Faltung mit rekursiven Operatoren
im Bildverarbeitungs-Rahmenprogramm IPFRAME.
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen
1.1. Die Bildmatrix
1.2. Signalbeschreibung (Bildbeschreibung) im Orts-, Ortsfrequenz- u. Z-Bereich
1.2.1. Beschreibung im Ortsbereich
1.2.2. Beschreibung durch Fourier- u. Z-Transformation
1.2.2.1. Die diskrete Fouriertransformation
1.2.2.2. Beschreibung im Z-Bereich und Z-Transformation
1.3. Ziele der digitalen Bildverarbeitung und die Bedeutung lokaler Operatoren
1.4. Struktur und Eigenschafen von FIR-Operatoren
1.4.1. Lokaler FIR-Operator und diskrete Faltung
1.4.2. Besonderheiten und Probleme bei der Faltung von Bildern mit lokalen Operatoren
1.4.3. Faltung (Filterung) im Orts- und Ortsfrequenzbereich
2. IIR-Operatoren
2.1. Struktur und Eigenschaften von IIR-Operatoren
2.1.1. Die Zweckmäßigkeit des Einsatzes rekursiver Operatoren in digitalen Bildbearbeitung
2.1.2. Definition und Klassifikation rekursiver Operatoren
2.1.2.1. Viertelebenen-Filter (Quarter-Plane (QP)-Filters)
2.1.2.2. Nichtsymmetrische Halbebenenfilter (Nonsymmetric Half-Plane (NSHP)-Filters)
2.2. Kausale rekursive QP-Filter
2.2.1. Struktur und Eigenschaften
2.2.2. Stabilität rekursiver QP-Filter
2.2.2.1. Sätze und Theoreme zur Stabilität
2.2.2.2. Test der Stabilitätsbedingungen
2.2.2.2.1. Test von HUANG-ANSELL
2.2.2.2.2. Stabilitätstest von ANDERSON und JURY
2.2.2.2.3. Stabilitätstest mit Hilfe von Abbildungen in der zweidimensionalen Z-Ebene
2.2.2.3. Beispiele zur Stabilitätsüberprüfung
2.2.2.3.1. Stabiles Filter
2.2.2.3.2. Instabiles Filter
2.2.2.4. Andere Stabilitätstests
2.3. Entwurf kausaler rekursiver QP-Filter
2.3.1. Allgemeine Bemerkungen zum Filterentwurf
2.3.2. Entwurfsverfahren für rekursive Filter erster und zweiter Ordnung
2.3.3. Ergebnisse und Erkenntnisse hinsichtlich der Anwendung des Optimierungsverfahrens aus 2.3.2.
2.3.3.1. Optimales Tiefpaßfilter
2.3.3.2. Breitband-Differenzierer
2.3.3.3. Lineares Hochpaßfilter
2.3.4. Andere Entwurfsverfahren im Überblick
2.3.4.1. Transformation der Optimierungsvariablen
2.3.4.2. Ermitteln von Näherungslösungen im Ortsbereich
2.4. Applikationen der behandelten Filter
2.5. Diskussion der Ergebnisse und Schlußfolgerungen für den Einsatz rekursiver Operatoren in der digitalen Bildverarbeitung
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht das Wesen und den praktischen Nutzen rekursiver Operatoren (IIR-Filter) in der digitalen Bildverarbeitung. Das primäre Ziel besteht darin, deren Effizienz im Vergleich zu den gängigen nichtrekursiven Operatoren (FIR-Filter) zu bewerten, wobei besonderer Wert auf die Nachvollziehbarkeit der mathematischen Grundlagen und die praktische Anwendbarkeit gelegt wird.
- Analyse und Vergleich von FIR- und IIR-Operatoren in der digitalen Bildverarbeitung.
- Untersuchung der Stabilitätsbedingungen für rekursive zweidimensionale Filter.
- Entwicklung und Implementierung von Optimierungsalgorithmen für den Filterentwurf.
- Praktische Erprobung der Filteranwendungen und Diskussion ihrer Eignung als Standardwerkzeug.
- Evaluierung der rechnerischen Komplexität und numerischen Stabilität bei der Filteroptimierung.
Auszug aus dem Buch
1.4.2. Besonderheiten und Probleme bei der Faltung von Bildern mit lokalen Operatoren
Kausalitätsproblematik
Bei der Betrachtung der Faltungssumme (1.33) bzw. der Abb. 1.4 fällt auf, daß zur Berechnung der Faltung am Punkt (m,n) nicht nur vorangegangene, sondern auch folgende Ortspunkte (p,q) mit p>m bzw. q>n verwendet werden. Man nennt dies eine akausale Struktur. Im Gegensatz zu eindimensionalen Zeitsignalen ist bei Bildern bereits zu Beginn der Faltung am Punkt (0,0) das gesamte Signal (Bild) bekannt und verfügbar, das heißt, am Ortspunkt (m,n) sind bereits die Signalwerte von Ortspunkten angebbar, die erst „später“ (das heißt ,mit der Morphologie des Bildes gesprochen, weiter rechts und/oder weiter unten) im Signal (Bild) enthalten sind.¹ Somit kann (wie auch geschehen) das Faltungsergebnis am Ortspunkt (m,n) von „späteren“ Ortspunkten abhängen. Solche punktsymmetrischen akausalen Strukturen tragen den Eigenschaften der natürlichen Bilder besser Rechnung als eine Faltung mit kausaler Struktur.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Grundlagen: Vermittelt die systemtheoretischen Basiskenntnisse der digitalen Bildverarbeitung, inklusive Bildmatrix, Transformationen und nichtrekursiver Filter.
2. IIR-Operatoren: Erläutert die Struktur, Stabilitätskriterien und Entwurfsverfahren für rekursive Operatoren sowie deren praktische Anwendung und Evaluation.
Schlüsselwörter
Digitale Bildverarbeitung, FIR-Operatoren, IIR-Operatoren, Rekursive Filter, Faltung, Systemtheorie, Z-Transformation, Stabilitätskriterien, Optimierungsalgorithmus, Filterentwurf, Ortsbereich, Ortsfrequenzbereich, Bildsignal, Impulsantwort, Bildglättung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Studienarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Untersuchung und dem Vergleich von rekursiven (IIR) und nichtrekursiven (FIR) Operatoren im Kontext der digitalen Bildverarbeitung.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die Schwerpunkte liegen auf der mathematischen Systemtheorie von Bildsignalen, dem Entwurf und der Stabilitätsprüfung rekursiver Filter sowie der praktischen Implementierung und Optimierung dieser Filteralgorithmen.
Welches primäre Ziel verfolgt der Autor?
Das Ziel ist es, das Wesen rekursiver Operatoren zu ergründen und ihren praktischen Nutzen sowie ihre Effizienz gegenüber herkömmlichen FIR-Filtern kritisch zu bewerten.
Welche wissenschaftliche Methode wird zur Filteroptimierung verwendet?
Es wird ein auf Optimierung basierendes Verfahren angewendet, das auf einem Algorithmus zur Minimierung eines Fehlerkriteriums (mittleres Fehlerquadrat) mittels Hessematrix und Gradientenvektor beruht.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretischen Grundlagen der Signalbeschreibung, die Definition und Klassifikation rekursiver Operatoren sowie eine detaillierte Auseinandersetzung mit Stabilitätstests und Entwurfsverfahren.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Die Arbeit ist durch Begriffe wie digitale Bildverarbeitung, IIR-Filter, Stabilitätstests (Huang-Ansell, Anderson/Jury), Faltung, Optimierungsalgorithmen und Frequenzgang-Approximation geprägt.
Was ist das spezifische Problem bei der Faltung von Bildern mit lokalen Operatoren?
Die Arbeit beschreibt die Kausalitätsproblematik, da die Faltung akausale Strukturen aufweisen kann, bei denen das Ergebnis von Werten abhängt, die morphologisch "später" im Bild auftreten.
Warum haben sich IIR-Operatoren in der Bildverarbeitung nicht als Standard etabliert?
Der Autor schlussfolgert, dass die Vorteile gegenüber den Herausforderungen bei Entwurf, Stabilitätsgarantie und Randbehandlung gering sind und sie für viele Anwendungen keinen qualitativen Vorteil gegenüber einfachen FIR-Filtern bieten.
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- Steffen Petzold (Author), 1995, Entwicklung, Struktur und Eigenschaften von Infinite Impulse Response (IIR)-Operatoren im Vergleich mit Finite Impulse Response (FIR)-Operatoren für die digitale Bildverarbeitung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/25647
