Über Gruppen, deren irreduzible Charaktere sämtlich quasiprimitiv sind

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1 Einleitung

Viele zentrale Begriffe der Gruppentheorie, wie etwa Aufl¨ osbarkeit, Nilpotenz oder Regularit¨ at, sind Verallgemeinerungen des Begriffes der Kommutativit¨ at in dem Sinne, daß jede abelsche Gruppe die jeweils definierenden Bedingungen trivial erf¨ ullt. ¨ Ahnliches gilt f¨ ur den Begriff der einfachen Gruppe, der - insbesondere f¨ ur den nichtabelschen Fall - interessante Weiterungen wie charakteristische Einfachheit, vollst¨ andige Reduzibilit¨ at oder Vollkommenheit erfahren hat. Die vorliegende Arbeit besch¨ aftigt sich mit einer gemeinsamen Verallgemeinerung von Kommutativit¨ at und Einfachheit. Der Begriff der Quasiprimitivit¨ at einer Gruppe wird einleitend in naheliegender Weise charaktertheoretisch kurz motiviert und definiert. Ziel der Arbeit ist es, eine erste Einordnung der somit eingef¨ uhrten Eigenschaft in die vorhandene gruppentheoretische Systematik vorzunehmen.

Zu Beginn des 3. Abschnittes wird eine ¨ aquivalente Beschreibung quasiprimitiver Gruppen ohne direkten Bezug auf Gruppencharaktere gegeben, die stattdessen eine mit ” Konjugationsautonomie“ salopp skizzierte Eigenschaft aller Normalteiler innerhalb einer quasiprimitiven Gruppe etabliert. Unter Verwendung dieser Beschreibung wird gezeigt, daß sich Quasiprimitivit¨ at auf Normalteiler und Faktorgruppen ¨ ubertr¨ agt. In dem Bestreben, andere quasiprimitive Gruppen als abelsche und einfache zu finden, stellt sich heraus, daß eine nichtabelsche quasiprimitive Gruppe nicht einmal aufl¨ osbar sein kann. Im Zusammenhang mit den Vererbungseigenschaften der Quasiprimitivit¨ at und der grundlegenden Charakterisierung am Anfang der Arbeit f¨ uhrt dieser Umstand schließlich auf eine strukturelle Beschreibung quasiprimitiver Gruppen (Satz 25). Aus diesem Struktursatz folgt dann unmittelbar, daß sich Quasiprimitivit¨ at auch auf direkte Produkte ubertr¨ agt. Daß diese Beschreibung alle quasiprimitiven Gruppen umfaßt, beruht ¨

wesentlich auf einem Satz ¨ uber einfache Gruppen, den W.Feit und G.M.Seitz

(in [6]) 1988 bewiesen, und der eine Vermutung Burnside’s von 1897, die - wie Burnside selbst schon 1911 anhand eines Beispieles zeigte - nicht allgemein gilt, immerhin f¨ ur einfache Gruppen best¨ atigt.

Der 4. Abschnitt enth¨ alt ¨ Uberlegungen zu m¨ oglichen Abschw¨ achungen des Begriffes Quasiprimitivit¨ at und referiert im wesentlichen die zugeh¨ origen Modifikationen der im 3. Abschnitt gewonnenen Aussagen zur vollen Quasiprimitivit¨ at. Insbesondere sind auch hier aufl¨ osbare Gruppen von Interesse, da die betrachteten Abschw¨ achungen der Quasiprimitivit¨ at nicht unmittelbar die Kommutativit¨ at einer aufl¨ osbaren Gruppe zur Folge haben, aber z.B. Nilpotenz von kleiner Klasse erwirken.

Alle betrachteten Gruppen sind endlich, auch wenn das im Einzelfall nicht noch einmal betont wird.

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2 Grundlegende Def initionen und S¨ atze

2.1 Der Begriff der quasiprimitiven Gruppe

Die irreduziblen komplexen Charaktere einer Gruppe bilden bekanntlich eine Basis des Vektorraumes der komplexen Klassenfunktionen auf dieser Gruppe. Insbesondere ist also jeder Charakter der Gruppe eine Linearkombination der irreduziblen Charaktere mit eindeutig bestimmten (nichtnegativen ganzen) Koeffizienten. Umgekehrt ist jede derartige Summe ein Charakter der Gruppe. Darunter k¨ onnen wir diejenigen auszeichnen, die Vielfaches eines einzigen irreduziblen Charakters sind.

1. Def inition

Ist N eine Gruppe und ϑ ein Charakter auf N, so heißt ϑ homogen genau dann, wenn ϑ ein Vielfaches eines irreduziblen Charakters von N ist. Ein Charakter χ einer Gruppe G mit N ¢ G zerf¨ allt homogen ¨ uber N genau dann, wenn χ N homogen ist.

Nun mag ein beliebiger Charakter der Gruppe G ¨

malteiler von G homogen zerfallen und ¨ zuweilen Charaktere, die ¨ uber allen Normalteilern N einer Gruppe G homogen

zerfallen. Solche fallen in nat¨ urlicher Weise bei der Untersuchung induzierter Charaktere einer Gruppe G auf. Analog zu Permutationsgruppen kann man n¨ amlich versuchen, einen gegebenen Darstellungsmodul M von G in echte Untermoduln derart zu zerlegen, daß diese bei der Wirkung von G als Ganze permutiert werden. Ist eine solche Imprimitivit¨ atszerlegung nicht m¨ oglich, so heißt M und auch der von M auf G bewirkte Charakter primitiv. Existiert jedoch eine Imprimitivit¨ atszerlegung, so ist der von M auf G bewirkte Charakter genau derjenige, den man erh¨ alt, wenn man den von einer Komponente der Imprimitivit¨ atszerlegung auf deren Stabilisatorgruppe bewirkten Charakter nach G induziert. Umgekehrt l¨ aßt sich zeigen, daß jeder induzierte Charakter auf G zu einem Modul geh¨ ort, der eine Imprimitivit¨ atszerlegung gestattet (vgl. [11] Kap.5). Es gilt

2. Satz

Ist χ ∈ Irr(G) primitiv, so zerf¨ allt χ homogen ¨ uber jedem Normalteiler N ¢ G.

(Ein Beweis findet sich z.B. in [11], Kap.6.)

Die Umkehrung gilt freilich nicht, wie man beispielsweise am irreduziblen Charakter ψ vom Grade 5 der alternierenden Gruppe A 5 erkennt. Da die A 5 einfach ist, steht die Homogenit¨ at des Zerfalls ¨ uber jedem Normalteiler außer Frage, doch ψ ist imprimitiv.

3. Def inition

Ein irreduzibler Charakter χ einer Gruppe G heißt quasiprimitiv genau dann, wenn er ¨ uber jedem Normalteiler von G homogen zerf¨ allt.

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Dieser Definition gen¨ ugen alle irreduziblen Charaktere einfacher Gruppen G in trivialer Weise, da gar keine Normalteiler außer 1 und G vorliegen. Doch auch in abelschen Gruppen, in denen immerhin jede Untergruppe normal ist, gen¨ ugen alle irreduziblen Charaktere der Definition, denn als s¨ amtlich lineare Charaktere zerfallen sie nat¨ urlich ¨ uberhaupt nicht. Daß es also immerhin große Klassen von