Kurzfristige Richtungs-Prognose für den Aktienindex DAX mit Fuzzy-Control


Hausarbeit, 2004
51 Seiten, Note: 1,2

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Zusammenfassung

Abstract

1. Einleitung

2. Theorie der unscharfen Mathematik
2.1 Unscharfe Mengen
2.2 Die Zugehörigkeitsfunktion
2.3 Unscharfe Logik

3. Fuzzy-Control
3.1 Fuzzifizierung
3.2 Inferenz
3.3 Defuzzifizierung

4. Prognose der DAX-Entwicklung mit dem Fuzzy-Control-Manager
4.1 Der Deutsche Aktienindex
4.2 Kurzfristige Einflussgrößen auf die Entwicklung des DAX
4.3 Verwendete Zugehörigkeitsfunktionen und Regeln
4.3.1 Fuzzy-Regler A – nur Index-Vorgaben
4.3.2 Fuzzy-Regler B – nur Index-Vorgaben (weniger Terme)
4.3.3 Fuzzy-Regler C – Index-Vorgaben (weniger Terme) – mit Euro
4.4 Ablauf der Prognose mit den Fuzzy-Reglern

5 Auswertung des Tests
5.1 Die Prognosegenauigkeit der Fuzzy-Regler
5.2 Konnte man mit der Prognose tatsächlich Geld verdienen?
5.3 Kritische Beurteilung und Ansatzpunkte zur weiteren Untersuchung

6. Fazit

Abkürzungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis der Abbildungen im Text
Literaturverzeichnis/Quellenverzeichnis
Anlagenverzeichnis

Zusammenfassung

Die Grundlage menschlicher Erfahrung ist meist verbales und damit un­genaues Expertenwissen, welches mit Hilfe der modernen Datenverarbei­tung nur schlecht verarbeitet werden kann. Der Grund ist, dass ein Computer exakte Eingangs­variab­len benötigt, um damit rechnen zu können. Somit war die Verarbeitung von Expertenwissen mit Hilfe der EDV lange Zeit nicht zufrieden stellend möglich. Erst die Entwicklung der unscharfen Logik (fuzzy logic) und der auf ihr auf­bauenden Reglungstechnik Fuzzy-Control brachte die Wende. Mit ihrer Hilfe konnten erstmals ungenaue verbale Begriffe wie z.B. viel, wenig oder hoch mit dem Computer verarbeitet werden und zur Regelung technischer Systeme verwendet werden. Das in so genannten „Wenn ... dann ...“ Regeln vorlie­gende unscharfe Expertenwissen konnte nun vom Computer verarbeitet werden.

Bisher wurde dieses Verfahren meist nur in der Technik eingesetzt. Anwen­dungen im wirtschaftlichen Bereich sind selten. Mit dieser Ausarbeitung soll gezeigt werden, wie sich Fuzzy-Control auch auf wirtschaftlichem Gebiet einsetzen lässt. Hier ist der Aktienmarkt, der von Natur aus durch Un­schärfe gekennzeichnet ist, Gegenstand der Untersuchung. Mit Fuzzy-Control soll prognostiziert werden in welche Richtung sich der DAX am nächsten Handelstag entwickeln wird und untersucht werden inwieweit dies sinnvoll und praktikabel ist. Dabei wird mit Hilfe von Fuzzy-Control einfach­stes Experten­wissen angewandt und umgesetzt. Die verbal vorliegende Erfahrung über das Börsengeschehen, die auf Beobachtungen beruht und unscharf, d.h. nicht exakt ist, wird unter Einsatz von Fuzzy-Control zur Prog­nose genutzt.

Im Laufe des Tests konnte überraschender Weise gezeigt werden, dass einfachste Prognosen mit relativ hoher Treffsicherheit möglich sind, was ein Anstoß für weitere Untersuchungen sein sollte.

Der Test der aufgestellten Regelbasis und die Durchführung der Prognose erfolgten mit dem Programm Fuzzy-Control-Manager der Firma TransferTech GmbH Braunschweig.

Abstract

The basis of human experience often is knowledge of experts which is expressed in spoken words and therefore it is inexactly. Modern data processing can hardly work with it, because a computer needs exact values to calculate with them. That’s why the using of the knowledge of experts by computers was not possible satisfyingly for a long time. The development of fuzzy logic and fuzzy control that uses fuzzy logic was the turning point. Inexact and verbal terms like much, little and high could be used by computers because the help of fuzzy control for the first time. They could also be used by computers to control technical systems. It was possible to use inexact knowledge of experts which was expressed in “What … if” rules by the computer, now.

This procedure was used so far only in technique. Utilizations in business are rare. The use of fuzzy control in business will be shown in this text. The equity market, which is immanently marked with fuzziness, will be analyzed. The direction of the development of the DAX will be prognosticated with fuzzy control for the next trading day. It will be tested whether this is sensible and practical. Simple knowledge of experts is used and transferred by fuzzy control in that procedure. Fuzzy control uses the verbal formulated experience about the equity market for the prognosis. This experience is fuzzy and based on observation.

During the test it could be shown surprisingly that simple prognoses are possible with high exactness. This should be an impulse for further analysis.

The program Fuzzy-Control-Manager, developed by TransferTech GmbH in Braunschweig, was used for the test of the rule basis and the prognosis.

1. Einleitung

Fuzzy-Control, die Reglungstechnik der die Fuzzy-Logik zugrunde liegt, ist seit Anfang der 90er Jahre auch in Deutschland ein Thema der Wissenschaft und Industrie geworden. Die Japaner entwickelten bereits in den 80er Jahren anwendungsreife Produkte[1]. Die Fuzzy-Logik fand Anwendung in Waschma­schinen und Staubsaugern und übertraf dadurch herkömmliche Geräte durch bessere Funktionalität und Bedienungs­komfort[2]. Bei Camcordern konnte das „Verwackeln“ ausgeglichen werden und auch in großtechnischen Anwen­dungen, wie der automatischen U-Bahn im japanischen Sendai, wurde die Fuzzy-Logik erfolgreich eingesetzt. Dort ermög­lichte sie das völlig ruckfreie Anfahren und Abbremsen[3].

Die Idee der Fuzzy-Logik wurde bereits 1965 von Lotfi A. Zadeh von der Universität Berkeley in Kalifornien entwickelt. Die beste Übersetzung für das englische Wort „fuzzy“ (dt. flaumig, fusselig, wuschelig) ist in diesem Zusam­menhang „unscharf“[4]. Die Fuzzy-Logik basiert auf unscharfen Mengen („fuzzy sets“). Die genauso wie ein wuscheliger Wollpullover keine exakte, scharfe Begrenzung haben. Mit der unscharfen Mathematik und der Fuzzy-Logik lassen sich nicht nur die exakten Zustände 0 oder 1, wahr oder falsch und ja oder nein verarbeiten, sondern auch alle möglichen Zustände die genau zwischen diesen Werten liegen[5]. Daher kennt sie auch Aussagen die „ziemlich“ oder „etwas“ wahr sind und entspricht daher eher dem menschlichen Denken und Vorgehen beim erfahrungsbasierten Arbeiten[6].

Der große Vorteil ist, dass mit Fuzzy-Control solche unscharfen Begriffe vom Computer verarbeitet werden können. Aus unscharfen Eingangsdaten kann der Computer unter Verwendung von „Wenn ... dann ...“-Regeln wieder scharfe Ausgangsdaten erzeugen, um einen Prozess zu steuern oder zu regulieren. Das von menschlichen Experten über Jahre erlernte unscharfe Erfahrungs­wissen, das qualitativ bzw. linguistisch formuliert ist, kann so vom Computer verwendet und genutzt werden. Dies wird erreicht, indem menschliche Aus­drücke durch das Fuzzy-Konzept und unscharfe Mengen auf die physikalisch-numerische Skala des Computers übertragen werden[7].

Ziel dieser Arbeit ist die Anwendung von Fuzzy-Control Techniken zur Prog­nose der Entwicklung des DAX für den nächsten Börsenhandelstag. Es soll die Tendenz, d.h. in welche Richtung sich der DAX entwickeln wird, prog­nostiziert werden. Da praktische Anwendungen von Fuzzy-Control auf wirt­schaftlichem Gebiet im Vergleich zu technischen Anwenungen kaum vorhan­den sind, soll hier ein weiteres Anwendungsfeld erschlossen und auf seine Wirksamkeit und Funktionalität untersucht werden. Dabei wird die kurzfristige Prognose mit Expertenwissen, d.h. einer menschlichen Prognose, verglichen.

2. Theorie der unscharfen Mathematik

2.1 Unscharfe Mengen

Im Gegensatz zur scharfen Menge der klassischen Mathematik bei der ein Element eindeutig entweder zu einer Menge gehört oder nicht, gibt es bei der unscharfen Menge Zwischenstufen. Das Element einer unscharfen Menge kann dieser auch nur zu einem bestimmten Grad angehören. Die unscharfe Menge wird durch eine linguistische Variable, d.h. einem umgangssprach­lichen Begriff, wie z.B. groß, klein, hoch oder flach bezeichnet. Als Beispiel kann man hier die Menge der teuren Autos nennen. Die linguistische Variable bzw. der Name der Menge ist „teuer“[8]. In diesem Beispiel ist ein Mercedes eher zur Menge der teuren Autos zu zählen als ein VW. Wo genau aber die Grenze für ein teures Auto ist, d.h. wo fängt ein teures Auto an und wo hört ein billiges Auto auf, lässt sich nicht eindeutig sagen und hängt subjektiv vom jeweiligen Be­trachter ab. Genau an diesem Punkt setzt die unscharfe Menge an. Das be­trachtete Element (hier das Auto) kann einer unscharfen Menge entweder ganz oder nur zu einem gewissen Grad angehören. Dieser sogenannte Zugehörig­keitsgrad wird als quantitatives Maß dafür verwendet, inwieweit das Element die Eigenschaften einer unscharfen Menge erfüllt[9]. Der Unterschied zur klassi­schen, scharfen Mengenlehre besteht darin, dass ein Element einer scharfen Menge immer alle Eigenschaften zu 100% erfüllt oder gar nicht. Als Symbolik für den Zugehörigkeitsgrad wird der griechische Buchstabe m verwendet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bedeutet, dass x einen Zugehörigkeitsgrad von 0,8 bzw. 80% zur Menge A hat.

Diese Schreibweise kann auch auf die linguistische Bezeichnung angewen­det werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie man im Alltag leicht feststellen kann, ist ein Mercedes sicher zu 90% ein teures Auto, wohingegen ein VW-Polo nicht besonders teuer ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 1: normale und subnormale un- scharfe Menge

Liegen die Zugehörigkeitsgrade aller Elemente einer unscharfen Menge zwischen null und eins, dann heißt sie normalisiert oder normal. Alle an­deren unscharfen Mengen werden als subnormal bezeichnet. Sie können durch Umrechnung (Division aller Zuge­hörigkeitsgrade durch den maxi­malen Zugehörigkeitsgrad) jederzeit in eine normalisierte un­scharfe Menge umgewandelt wer­den[10]. Theoretisch sind auch negative Zugehörigkeitsgrade denk­bar, bisher haben sie jedoch kaum praktische Bedeutung gehabt. Für den Praxisteil dieser Arbeit sind sie allerdings von Bedeutung, wie in Kapitel 4 noch gezeigt wird.

2.2 Die Zugehörigkeitsfunktion

Zur Beschreibung und Darstellung von unscharfen Mengen werden Zugehörig­keitsfunktionen verwendet. Beispielsweise haben die Außentemperaturen zwischen 20°C und 30°C für die unscharfe Menge „es ist heiß“ unterschied­liche Zugehörigkeitsgrade. Durch die Funktion wird jeder Temperatur ein Wert zwischen 0 und 1 zugeordnet, der ihre Zugehörigkeit zur Menge „es ist heiß“ ausdrückt (siehe Bild 2, nächste Seite).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 2: Zugehörigkeitsfunktion der unschar- fen Menge "es ist heiß“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 3: Zugehörigkeitsfunktion der schar- fen Menge "es ist heiß ab 28°C"

Während eine Temperatur ab 30°C unstrittig als heiß angesehen werden kann (m = 1), wird man dies bei 28°C, wenn auch abgestuft (m = 0,8) ebenfalls behaupten können. Die Temperatur von 25°C kann dagegen als Grenzfall betrachtet werden (m = 0,55). Zum Vergleich zeigt Bild 3 die scharfe Menge „es ist heiß ab 28°C“, bei der jeder positiven Antwort der Wert 1 und jeder nega­tiven Antwort der Wert 0 zugeordnet wird. Hier gibt es keine Zwischenstufen. Ein Wert von 27,99°C gehört im Gegensatz zu einem Wert von 28,01°C nicht zu dieser Menge, obwohl vom menschlichen Empfinden kaum ein Unterschied zwischen beiden Werten festgestellt werden kann.

Aufgrund der Unschärfe lassen sich Terme einer linguistischen Variable durch Fuzzy-Mengen (unscharfe Mengen) definieren. Jedem Term wird eine Fuzzy-Menge mit einer bestimmten Zugehörigkeitsfunktion zugeordnet[11]. Der linguisti­schen Variable „Berghöhe“ können z.B. die Terme „sehr niedrig“, „niedrig“, „mittel“, „hoch“ sowie „sehr hoch“ zugeordnet werden (siehe Bild 4).

Bild 4: Linguistische Terme der unscharfen Menge „Berghöhe“ mit Zugehörigkeits-
funktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Hilfe der Definition von Termen durch unscharfe Mengen wird die maschi­nelle Verarbeitung von linguistischen Variablen ermöglicht. Als Beispiele können dafür Expertensysteme, Zeichenerkennung, Entschei­dungstheorie, Steuerung und Regelung genannt werden[12]. Beispiele für verschiedene Zu­gehörigkeitsfunktionen befinden sich in der Anlage 1.

2.3 Unscharfe Logik

Alle möglichen logischen Verknüpfungen von Aussagen können auf die drei Grundoperationen Negation, UND und ODER zurückgeführt werden. Dies gilt genauso für die Fuzzy-Logik. Sie bedient sich ebenfalls dieser drei Operatoren, die allerdings eine Verallgemeinerung der klassischen Booleschen Operatoren dar­stellen, da sie Zugehörigkeitsgrade m Î [0,1] verarbeiten können müssen[13].

Der UND-Operator für Fuzzy-Mengen wird definiert als Durchschnitt der Flächen unter dem Graphen ihrer Zugehörigkeitsfunktion. Mathematisch wird die Verknüpfung als Minimum gebildet[14] (siehe Bild 5):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der ODER-Operator für Fuzzy-Mengen wird definiert als Vereinigung der Flächen unter dem Graphen der Zugehörigkeitsfunktionen. Mathematisch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 5: UND-Operator der Fuzzy-Mengen niedrig und mittel der Berghöhe m

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 6: ODER-Operator der Fuzzy-Mengen niedrig und mittel der Berghöhe m

wird die Verknüpfung als Maximum gebildet[15] (siehe Bild 6):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Negation (Komplement) einer unscharfen normierten Menge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird wie folgt gebildet: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Neben diesen Operatoren gibt es kompensatorische Operatoren, da das „linguistische UND“ nicht in allen Fällen dem „logischen UND“ entspricht[16]. Oft verwendet der Mensch Verknüpfungen die zwischen UND und ODER liegen[17]. Dazu wurde von Zimmermann und Zysno der Gamma-Operator vorgeschla­gen. Durch die Wahl des Parameters g (siehe Anlage 2) lässt er sich stufenlos zwischen dem „logischen UND“ und dem „logischen ODER“ an den jeweiligen Kontext an­passen[18]. Der Operator liegt zwischen dem reinen UND (keine Kompen­sation, beide Eigenschaften müssen erfüllt werden, d.h. beide m > 0) und dem reinen ODER (volle Kompensation, nur eine Eigenschaft muss erfüllt sein, d.h. min­destens ein m > 0)[19].

3. Fuzzy-Control

Fuzzy-Control, die unscharfe Reglungstechnik, gliedert sich in drei Bausteine: Fuzzifizierung, Inferenz und Defuzzifizierung (siehe Anlage 3). Die Erklär­ung wird in Anlehnung an ein Beispiel von Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 80 ff. durchgeführt.

3.1 Fuzzifizierung

Als Fuzzifizierung (Unscharfmachen) wird die eindeutige Zuordnung von scharfen Daten zu Werten linguistischer Variablen und damit zu Fuzzy-Mengen bezeichnet[20]. Exakte Werte werden unscharfen Mengen zugeordnet und deren Zugehörigkeitsgrade bestimmt[21].

Beispielsweise kommt die Fuzzifizierung der Badewassertemperatur von 32°C zu folgenden Zugehörigkeitsgraden (siehe Anlage 4):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Temperatur von 32°C ist also zu 60% als warm, zu 40% als heiß und überhaupt nicht als kühl (0%) einzustufen. Die somit unscharf gemachten exakten Werte werden im Inferenz-Prozeß ver­arbeitet.

3.2 Inferenz

Als Inferenz (unscharfes Schließen) bezeichnet man das Ziehen von Schluss­folgerungen auf der Grundlage von Fuzzy-Mengen als Eingangsvariablen mit Hilfe einer Regel­basis[22]. Am Ende dieser Operation stehen die Zugehörigkeits­grade der Ergebnisteilmengen der Ausgangsgrößen[23].

Die verwendeten Regeln haben folgende Grundstruktur:

WENN <Prämisse 1> UND/ODER/GAMMA <Prämisse 2> UND/ODER/GAM­MA <Prämisse 3> ... DANN <Schlussfolgerung>.

Auf das Badewannenbeispiel bezogen könnte eine Regel wie folgt lauten: WENN Badewasser warm ODER Badewasser heiß DANN zulaufendes Was­ser kühl.

Bei der Aufstellung der Regeln ist gesunder Menschenverstand ge­fragt anstatt komplizierter mathematischer Modelle[24]. Somit kann vorhandenes Erfahrungs- und Expertenwissen mit Fuzzy-Control durch den Computer verstanden und umgesetzt werden.

Werden mehrere Prämissen verwendet, werden die einzelnen Zugehörigkeits­grade nach den Regeln der unscharfen Logik (siehe Punkt 2.3) miteinander verbunden (siehe Anlage 4).

Es werden mehrere Inferenzmethoden unterschieden. Hier sollen kurz die Max/Min-Methode und die Max/Prod-Methode vorgestellt werden.

Die Zugehörigkeitsfunktionen der einzelnen unscharfen Mengen der Aus­gangs- bzw. Ergebnisgrößen werden bei der Max/Min-Methode in Höhe des jeweiligen Zugehörigkeitsgrades (der sich aus der Verknüpf­ung der einzelnen Prämissen der Regeln mit dem jeweiligen Operator ergibt) abgeschnitten. Bei der Max/Prod-Methode wird der jeweilige Wert des Zugehörigkeitsgrades mit der Zugehörigkeitsfunktion der unscharfen Mengen der Ausgangs- bzw. Ergeb­nisgrößen multipliziert. Die so entstehenden Teilflächen werden zur Ergebnis­fläche zusammengefasst (siehe Anlage 5)[25]. Aus dieser Fläche wird die konkrete Temperatur des zulaufenden Wassers, d.h. der konkrete exakte Ausgangszahlenwert, der einzustellen ist, bei der Defuzzifizierung ermittelt[26].

3.3 Defuzzifizierung

Die Defuzzifizierung ist die Rücktransformation des unscharfen Inferenzergeb­nisses in eine scharfe Stellgröße[27]. Zur Defuzzifizierung der Ergebnisflächen der Inferenz kann u.a. die Methode „Mean of Maximum“ und die Schwerpunkt­methode („Center of Gravity“) verwendet werden[28].

Beim „Mean of Maximum“ wird der Wert der x-Achse unter der Mitte des Maxi­malwertes der Ergebnismenge und bei der Schwerpunktmethode der Wert der x-Achse des Flächenschwerpunktes der Ergebnismenge als Wert für die Ausgangsgröße verwendet (siehe Anlage 6)[29].

4. Prognose der DAX-Entwicklung mit dem Fuzzy-Control-Manager

4.1 Der Deutsche Aktienindex

Der Deutsche Aktienindex (DAX) ist der Index für die deutschen Standardwerte und kann als Indikator für die Entwicklung des deutschen Aktienmarktes be­zeichnet werden (siehe Anlage 7)[30]. Er wurde von der Deutschen Börse AG 1988 eingeführt und misst die Wertentwicklung der nach Freefloat-Marktkapi­tali­sierung und Order­buchumsatz 30 größten deutschen börsennotierten Unter­nehmen des Prime Standard (siehe Anlage 8)[31]. Damit deckt er mehr als 80%[32] der Markt­kapitalisierung des deut­schen Aktienmarktes ab. Er ist somit der Leitindex für Deutschland und spie­gelt die Marktsituation an der Frankfurter Wertpapierbörse wieder.

Der DAX wird, wie alle Indizes der Deutschen Börse AG (siehe Anlage 9), nach der Indexformel von Laspeyres berechnet (siehe Anlage 10 und 11). Die Berechnung basiert auf den Kursen des elektronischen Handelssystems Xetra in der Zeit von 9.00 Uhr bis 17.30 Uhr[33]. Den DAX gibt es als Kurs- und als Performance-Index. Der Unter­schied zwischen beiden Arten des Index ist, dass beim Performance­index die laufenden Dividendenerträge der Aktien mit in den Index einberech­net werden, während beim Kursindex dies nicht ge­schieht. Der Performance­index spiegelt daher die Wertentwicklung eines DAX-Aktienportfolios wieder, während der Kursindex nur die reine Kursentwick­lung zeigt. Der Performance­index, der aus diesem Grund immer einen höheren Punktestand hat als der Kursindex, ist der Index der für diese Arbeit untersucht wird und der in der Öffentlichkeit auch allgemein als „der DAX“ bekannt ist.

[...]


[1] Vgl. Altrock, Constantin von: Fuzzy Logic, Band 1 Technologie, München/Wien 1993, S. 8

[2] Vgl. Kiendl, Harro: Fuzzy Control methodenorientiert, München 1997, S. 1

[3] Vgl. Traeger, Dirk H.: Einführung in die Fuzzy Logik, 2. vollständig überarbeitete und erwei-
terte Auflage, Stuttgart 1994, S. 1

[4] Vgl. Bothe, Hans-Heinrich: Neuro-Fuzzy-Methoden. Einführung in Theorie und Anwen-
dungen, Berlin/Heidelberg 1998, S. 17

[5] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 1

[6] Vgl. Kiendl, Harro: a.a.O., S. 4

[7] Vgl. Grauel, Adolf: Fuzzy-Logik. Einführung in die Grundlagen mit Anwendungen,
Mannheim 1995, S. 1

[8] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 6

[9] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 7

[10] Vgl. Mayer, Andreas/Mechler, Bernhard/Schlindwein, Andreas/Wolke, Rainer: Fuzzy Logik. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung, Bonn 1993, S. 14 f.

[11] Vgl. Strietzel, Roland: Fuzzy-Regelung, München 1996, S. 12

[12] Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 13

[13] Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 18

[14] Vgl. Kahlert, Jörg/Frank, Hubert: Fuzzy-Logik und Fuzzy Control: Eine anwendungs-orientierte Einführung mit Begleitsoftware, Braunschweig/Wiesbaden 1993, S. 21 f.

[15] Vgl. Kahlert, Jörg/Frank, Hubert: a.a.O., S. 22 f.

[16] Vgl. Zimmermann, Hans-Jürgen: Fuzzy Technologien: Prinzipien, Werkzeuge, Potentiale, Düsseldorf 1993, S. 18

[17] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 35

[18] Vgl. Mayer, Andreas/Mechler, Bernhard/Schlindwein, Andreas/Wolke, Rainer: a.a.O., S. 44

[19] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 38

[20] Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 65

[21] Vgl. Bothe, Hans-Heinrich: a.a.O., S. 38; Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 80

[22] Vgl. Strietzel, Roland: a.a.O., S. 48

[23] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 86

[24] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 87

[25] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 93 ff.

[26] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 96

[27] Vgl. Zimmermann, Hans-Jürgen: a.a.O., S. 99

[28] Vgl. Zimmermann, Hans-Jürgen: Neuro + Fuzzy, Düsseldorf 1995, S. 16

[29] Vgl. Traeger, Dirk H.: a.a.O., S. 104 f.

[30] Vgl. Geck, Rolf: Börsenindizes als Stimmungsbarometer, in Frei, Norbert/ Schlienkamp, Christoph (Hrsg.): Aktie im Aufwind. Von der Kursprognose zum Shareholder Value, Wiesbaden 1998, S. 71

[31] Vgl. http://deutsche-boerse.com/dbag/dispatch/s/C62B4DD92DE1ED07D178928 6A91E2C5D/de/isg/gdb_navigation/home?module=InOverview_Index&wp=DE0008469008&foldertype=_Index&wplist=DE0008469008&active=overview&view= (21.01.2004)

[32] Vgl. http://www.germanycash.de/index.html?boerse/dax.html (21.01.2004)

[33] Vgl. http://deutsche-boerse.com/dbag/dispatch/s/C62B4DD92DE1ED07D178928 6A91E2C5D/de/isg/gdb_navigation/home?module=InOverview_Index&wp=DE0008469008&foldertype=_Index&wplist=DE0008469008&active=overview&view= (21.01.2004)

Ende der Leseprobe aus 51 Seiten

Details

Titel
Kurzfristige Richtungs-Prognose für den Aktienindex DAX mit Fuzzy-Control
Hochschule
Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig  (Fachbereich Wirtschaftswissenschaften)
Note
1,2
Autor
Jahr
2004
Seiten
51
Katalognummer
V26301
ISBN (eBook)
9783638286800
ISBN (Buch)
9783638713566
Dateigröße
1415 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Kurzfristige, Richtungs-Prognose, Aktienindex, Fuzzy-Control
Arbeit zitieren
Fabian Otto (Autor), 2004, Kurzfristige Richtungs-Prognose für den Aktienindex DAX mit Fuzzy-Control, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/26301

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