Theorie der Windräder: Ansätze von Betz und Gall. Vergleich mit dem Impulserhaltungssatz

Theorie der Windräder: Ansätze von Betz und Gail. Vergleich mit dem Impulserhaltungssatz

Die theoretische Grundlage der Gewinnung von Windenergie ist das Betzsche Gesetz, das von dem deutschen Ingenieur Albert Betz (1885-1968) stammt. Er formulierte es erstmals im Jahr 1919. Sieben Jahre später erschien es in seinem Buch Wind-Energie und ihre Ausnutzung durch Windmühlen. Der britische Ingenieur Frederick W. Lanchester (1868­1946) publizierte schon 1915 ähnliche Überlegungen.

Das Gesetz besagt, dass eine Windkraftanlage theoretisch maximal 16/27 (knapp 60 Prozent) jener mechanischen Leistung, die der Wind ohne den bremsenden Rotor durch dessen Projektionsfläche transportieren würde, in Nutzleistung umwandeln kann. Die Geschwindigkeit hinterdem Rotor sinkt bei maximaler Umwandlung auf 1/3.

DerGrund ist, dass die Energieabgabe mit einer Verringerung der Strömungsgeschwindig­keit und einem Luftstau einhergeht, der einen Teil der heranströmenden Luft der Rotorfläche ausweichen lässt.

Zwei weitere Ansätze werden mitgeteilt.

1. Ansatz von Betz (Energieerhaltungssatz)

Die Überlegungen von Betz sind folgende:

Die Anströmleistung des Windes im Windradquerschnitt ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Index 0 vor dem Windrad

Index 1 hinter dem Windrad

P Windleistung

p Dichte der Luft, als konstant angenommen

V Volumendurchsatz der Luft

A Querschnitt des Windrades

w Windgeschwindigkeit

Die zu maximierende Leistung des Windrades beträgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Die unabhängige Variable w1 ist so zu bestimmen, dass P0 - P1 ein Maximum wird. Vorher ist V noch zu substituieren, da es eine Funktion von w1 ist.

Betz setzt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Er nimmt also an, dass die Durchströmgeschwindigkeit durch das Windrad dem arithmetischen Mittel der Zu- und Abströmgeschwindigkeit entspräche.

Er erhält dann

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man W = w1/ w0als dimensionslose Optimierungsvariable, so ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Differentiation und Nullsetzen ergibt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Ansatz von Gail (Energieerhaltungssatz)

Bei der Substitution von V in der Gleichung für die Leistung des Windrads wird nicht V = A (wo+ Wi)/2, sondern V = A wi gesetzt. Es wird angenommen, dass die Durchströmgeschwindigkeit gleich derAbströmgeschwindigkeit ist.

Damit wird

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man W = wi/ wo als dimensionslose Optimierungsvariable, so ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Differentiation und Nullsetzen ergibt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Ansatz entsprechend Impulserhaltungssatz

Nach dem Impulssatz ist[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Ferner die Leistungen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Damit wird

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn bei den Ansätzen von Betz und Gall die Durchströmgeschwindigkeit gleich der Zuströmgeschwindigkeit gesetzt wird.

blau: Betz gelb: Gall grün: Impulssatz

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