Der harmonische Oszillator


Seminararbeit, 2011

16 Seiten, Note: 12 Punkte


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Harmonische Oszillatoren im Alltag

2. Der harmonische Oszillator in der klassischen Physik
2.1 Lösung der Differentialgleichung
2.2 Potential
2.3 Energiezustände(Hamilton-Funktion)

3. Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik
3.1 Behandlung der Schrödingergleichung für den Grundzustand des harmonischen Oszillators
3.2 Eigenfunktionen
3.3 Die Energieeigenwerte
3.4 Nullpunktschwingung

4. Geschichtliche Einordnung des quantisierten harmonischen Oszillators

5. Literaturverzeichnis

1. Harmonische Oszillatoren im Alltag

„Haben Sie sich schon einmal gefragt warum die normale Gehgeschwindigkeit von Menschen bei etwa 4 km/h liegt? Wenn wir mit dieser Geschwindigkeit gehen, strengen wir uns nicht sonderlich an - sie ergibt sich aus der Schrittlänge und der Frequenz der Eigenschwingung des „physikalischen Pendels“ Bein, dessen „Aufhängepunkt“ im Hüftgelenk liegt.“ (Kruisz, Christian; Hitzenberger, Regina: Physik verstehen, 2. Auflage, S.167) Dem Zitat der Autoren Christian Kruisz und Regina Hitzenberger ist also zu entnehmen, dass es sich beim menschlichen Bein um einen harmonischen Oszillator handelt. Aber was ist das eigentlich? Der Begriff „harmonischer Oszillator“ scheint zunächst, selbst für einigermaßen naturwissenschaftlich interessierte Menschen aufgrund der Tatsache, dass er mit einer ziemlich hohen Wahrscheinlichkeit noch nie gehört wurde, äußerst abschreckend. Jedoch handelt es sich bei diesem Begriff um nicht mehr als ein völlig banales, schwingungsfähiges System. So kann im groben Sinne von der Brücke bis zum Grashalm jedes Massestück, dass irgendwo befestigt ist und schwingt als harmonischer Oszillator bezeichnet werden. Natürlich ist dies beim Bein des Menschen etwas problematischer, da dessen Masse über die gesamte Länge des selbigen verteilt ist, was dem idealen harmonischen Oszillator, d.h. einem Massepunkt, der an einem masselosen Faden befestigt ist, widerspricht. Trotzdem erlaubt das System des harmonischen Oszillators eine grobe Annäherung und ist außerdem sehr leicht anzuwenden. In den folgenden Kapiteln werde ich Ihnen das Prinzip des harmonischen Oszillators an einem geläufigen Beispiel, dem Federpendel erläutern. Anschließend werde ich die Bedeutung des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik erklären, aber dazu später.

2. Der harmonische Oszillator in der klassischen Physik

2.1 Lösung der Differentialgleichung

Die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators lautet zunächst

Da die Eigenfrequenz verknüpft ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

folgendermaßen mit der obigen Federkonstante ݇

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

kann oben eingesetzt werden und man erhält

oder nach dem Kürzen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die klassische Lösung lautet bekanntermaßen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Korrektheit dieser Lösung zu überprüfen müssen wir[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]zunächst ableiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun können wir ݔ und ݔ in die Bewegungsgleichung einsetzen und erhalten…‘•[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Da die beiden Summanden immer betragsgleich sind, jedoch verschiedene

Vorzeichen haben, ist das Ergebnis immer Null und die Korrektheit der Gleichung bewiesen.

2.2 Potential

(nach Tipler, Paul A.: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure,3. Auflage, 1994, S. 1246f)

Im Folgenden ist der Graph der Potentialfunktion des harmonischen Oszillators dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

E

-A +A

Abbildung 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Potentialfunktion lautet zunächst einmal folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Am[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist zu erkennen, dass es sich beim Graph um eine Parabel handeln muss. ݔ steht also für den Ort in dem sich der Massepunkt des harmonischen Oszillators momentan befindet, während m seine Masse angibt und ߱ die Kreisfrequenz ist. Nun sind im Graph die beiden Umkehrpunkte -A und +A angegeben. Sie symbolisieren die maximale Auslenkung des schwingenden Systems. Veranschaulicht bedeutet das folgendes: Würde man bei einem Federpendel eine Auslenkung, die größer als +A ist, erzwingen, würde die Feder höchstwahrscheinlich reißen, oder zumindest überdehnen, weil die Maximalauslenkung überschritten wurde. Im klassischen Fall ist das Teilchen also im Bereich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eingeschlossen. Da die Kreisfrequenz ߱ mit der Federkonstante k eines Federpendels folgendermaßen zusammenhängt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

können wir zur Veranschaulichung nach ߱; auflösen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und in die obige Funktion einsetzen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier ist leicht zu erkennen, dass m gekürzt werden kann, weshalb wir

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

erhalten. Nun kann man zwischen zwei Fällen unterscheiden. Im ersten Fall ruht der Massepunkt an der Stelle ݔ ൌ Ͳ. Das Potential ist in diesem Zustand minimal, und die auf die Masse wirkende Kraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

somit gleich null. Im zweiten Fall oszilliert das Teilchen zwischen den beiden Umkehrpunkten -A und +A. Nun ersetzt man ݔଶ durch ܣଶ und erhält die Gesamt-, bzw. Maximalenergie des Teilchens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3 Energiezustände(Hamilton-Funktion)

Abbildung 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der obigen Grafik sind die Energiezustände veranschaulicht, die der klassische harmonische Oszillator annehmen kann. Zustand 1 zeigt ein Federpendel mit maximaler Auslenkung (wie in Kapitel 1: +A). Die potentielle Energie ist, da das Massestück am Pendel so weit wie möglich von der Ruhelage [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entfernt ist, maximal. Da die Geschwindigkeit des Massestücks gleich null ist, ist auch seine kinetische Energie gleich null. Nach Situation 1 wird das Pendel aufgrund der Lageenergie in Richtung Ruhelage beschleunigt. Situation 2 zeigt das Pendel in der Ruhelage. Das Massestück besitzt nun maximale Geschwindigkeit (und kinetische Energie) aber wegen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] keine potentielle Energie. Von Phase 2 auf 3 erfährt das Massestück aufgrund der Feder eine negative Beschleunigung, während die potentielle Energie durch Stauchen der Feder erneut zunimmt. Bei Erreichen des zweiten Umkehrpunkts -A ist die Lageenergie erneut maximal während aufgrund der fehlenden Bewegung keine kinetische Energie vorliegt.

[...]

Ende der Leseprobe aus 16 Seiten

Details

Titel
Der harmonische Oszillator
Hochschule
Adalbert-Stifter-Gymnasium, Passau  (Adalbert-Stifter-Gymnasium, Passau)
Note
12 Punkte
Autor
Jahr
2011
Seiten
16
Katalognummer
V264611
ISBN (eBook)
9783656539575
Dateigröße
641 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Oszillator, harmonisch, Schwingung
Arbeit zitieren
Kilian Köppl (Autor), 2011, Der harmonische Oszillator, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/264611

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