Differentialgleichungen 1. Ordnung. Einführung, Lösung and Anwendungen

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung
1.1 Auswahl des Themas
1.2 Inhalt und Schwerpunktsetzung
1.3 Allgemeine Bezeichnungen und Besonderheiten

2. Definition und Terminologie
2.1 Was ist eine Differentialgleichung?
2.2 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
2.3 Lineare Differentialgleichungen
2.4 Explizite und implizite Differentialgleichungen
2.5 Homogene und inhomogene Differentialgleichungen

3. Lösungsverfahren für Differentialgleichungen
3.1 Was ist die Lösung einer Differentialgleichung?
3.2 Das Anfangswertproblem
3.3 Algebraische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen
3.3.1 Direkte Integration
3.3.2 Separation der Variablen
3.3.3 Variation der Variablen
3.4 Spezielle Differentialgleichungen
3.4.1 Bernoulli Differentialgleichung
3.4.2 Riccati-Differentialgleichung
3.5 Näherungsverfahren
3.5.1 Das Richtungsfeld
3.5.2 Der Euler-Cauchy-Polygonzug
3.5.3 Das Runge-Kutta-Verfahren

4. Anwendungen
4.1 Orthogonale Trajektorie
4.2 Vom exponentiellen zum logistischen Wachstum
4.2.1 Das exponentielle Wachstum
4.2.2 Das logistische Wachstum
4.3 Aufladung und Entladung eines Kondensators

5. Schlussbemerkung

1. Einführung

1.1 Auswahl des Themas

„ Wie verstanden die Alten das Naturgesetz? Für sie war es eine innere Harmonie, sozusagen statisch und unver ä nderlich; oder es war ein Idealbild, dem nachzustre- ben die Natur sich bemühte. Für uns hat ein Gesetz nicht mehr diese Bedeutung; es ist eine unver ä nderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen; mit einem Wort: es ist eine Differentialgleichung. “

Henri Poincar é - „ Der Wert der Wissenschaft “

Jules Henri Poincaré, einer der bedeutendsten Naturwissenschaftler der Moderne, nimmt mit diesem Zitat schon beinahe die grundlegendste Aussage dieser Facharbeit vorweg. Eine Differentialgleichung - für Poincaré ist sie "eine unver ä nderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen" - ermöglicht es, die komplexesten Vorgänge, sei es in der Physik, in der Biologie oder auch in der Wirtschaft, zu erfassen und so genauer zu verstehen.

Obwohl das Gebiet der Differentialgleichungen eines der wahrscheinlich wichtigsten und mächtigsten Instrumente der Naturwissenschaften ist, wird ihre Lehre im Lehrplan an bayrischen Schulen kaum berücksichtigt. Aus diesem Grund kam ich zu dem Entschluss, mich tiefer mit dem Thema zu beschäftigen und schlussendlich die hier vorliegende Facharbeit anzufertigen.

1.2 Inhalt und Schwerpunktsetzung

Selbstverständlich kann ein Werkzeug, das der Wissenschaft so viele Türen öffnet, in einer Facharbeit nicht vollständig erschlossen werden. Hierfür bräuchte es ein Studium mit mathematischem Schwerpunkt, dennoch bietet diese Facharbeit einen Einstieg in die Tiefen dieser Thematik. Die folgenden Seiten definieren wichtige Be- griffe, zeigen erste Lösungsmöglichkeiten und bieten einen kleinen Einblick auf an- wendungsorientierte Aufgabestellungen. Die in der Facharbeit besprochenen Model- le werden durch ausgewählte Grafiken, ausführlich durchgerechnete Herleitungen und Beispiele, sowie durch ein selbst geschriebenes Java-Programm vertieft.

Um den Anforderungshorizont nicht zu sprengen, wird der Schwerpunkt auf „gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung“ gesetzt.

1.3 Allgemeine Bezeichnungen und Besonderheiten

In dieser Facharbeit treten vereinzelt mathematische Bezeichnungen auf, die in der Schulmathematik nicht gelehrt werden.

Der Ausdruck „ x: a “ steht für: „ x wird definiert als a “

Funktionen können auch von mehreren Variablen, ja sogar nochmals eigenen Funk- tionen und deren Ableitungen abhängig sein. Ein Beispiel einer solchen Funktion

ist: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Aus Gründen der Übersicht und des Anspruches, die Facharbeit schülergerecht zu schreiben, wird auf gewisse mathematische Besonderheiten nicht genauer eingegangen. Die für das Verständnis und die mathematische Korrektheit notwendigen Bedingungen werden jedoch ausreichend formuliert.

2. Definition und Terminologie

2.1 Was ist eine Differentialgleichung?

In der Einleitung wurde bereits eine Eigenschaft von Differentialgleichungen erwähnt; sie beschreiben Vorgänge. Doch was ist eine Differentialgleichung überhaupt und wie kann man sie mathematisch auffassen?

Aus der Schulmathematik kennt man bereits „normale Gleichungen“, Gleichungen zwischen Zahlen und Variablen. Eine Differentialgleichung verhält sich ähnlich. Wie ihr Name schon erahnen lässt, ist sie eine Beziehung zwischen einer Funktion, de- ren Differentialquotienten und ihren abhängigen Variablen. Im Gegensatz zu den Schülern bereits bekannten Gleichungen ist die gesucht Lösung keine Zahl mehr, sondern eine Funktion. Ein Beispiel ist die Differentialgleichung ist y y. Sie wurde bereits in der Oberstufe bei der Herleitung der allgemeinen Exponentialfunktion grob angeschnitten und hat die aus dem Unterricht bekannte allgemeine Exponential- x funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Lösung.

2.2 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Differentialgleichungen werden nach dem Typ der gesuchten Funktion benannt. Ist die gesuchte Funktion von genau einer Variablen abhängig, nennt man die Differentialgleichung gewöhnlich. Treten mehrere unabhängige Variablen auf, nennt man sie partielle Differentialgleichung. Mehrstellige Funktionen werden in der Schule jedoch nicht gelehrt und sind damit in dieser Facharbeit irrelevant.

2.3 Lineare Differentialgleichungen

Treten die gesuchte Funktion y (x)und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz auf und sind nur durch Addition miteinander verknüpft, wird die Differentialgleichung als linear bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.4 Explizite und implizite Differentialgleichungen

Weiterhin unterscheidet man zwischen expliziten und impliziten Differentialgleichun- gen. Diese Darstellungsform existiert auch bei normalen Gleichungen. Explizite Gleichungen sind bereits nach der gesuchten Variablen aufgelöst, implizite nicht.

Beispiel: Explizit: y 2 x 1, Implizit: 0 2 x y 1

Dies lässt sich auf Differentialgleichungen übertragen. Bei einer expliziten Darstellung wurde bereits nach der höchsten Ableitung umgeformt.

Bei impliziten Differentialgleichungen spalten sich die Meinungen der Autoren. Einige bezeichnen Differentialgleichungen nur dann als implizit, wenn sie nicht nach der höchsten Ableitung auflösbar sind. Anderen genügt eine „abgeschwächte“ Darstellungsform. In dieser ist noch nicht nach der höchsten Ableitung umgeformt. Dabei ist es egal, ob nach dieser Ableitung aufgelöst werden kann oder nicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

explizite Differentialgleichung n-ter Ordnung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

implizite Darstellung einer Differentialgleichung

Die in dieser Facharbeit angesprochenen Gleichungen 1. Ordnung werden diese Form haben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5 Homogene und inhomogene Differentialgleichungen

Zusätzlich werden homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterschieden. Inhomogene Differentialgleichungen (Dgl.) besitzen ein Störglied, eine Funktion abhängig von x, das als Summand in der Differentialgleichung vorliegt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹

3. Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Der Leser ist nun in der Lage, Differentialgleichungen zu erkennen und sie zu klassifizieren. Das wohl wichtigste Problem bei der Behandlung von Differentialgleichungen wird in diesem Kapitel geklärt: Der Suche nach Lösungen.

Im ersten Teil werden algebraische Lösungsverfahren vorgestellt, die speziell auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zugeschnitten sind, jedoch auch bei Gleichungen höheren Grades Anwendung finden. Der zweite Teil beschäftigt sich mit numerischen Lösungsverfahren, da für viele Differentialgleichungen kein analytischer Lösungsweg existiert beziehungsweise bekannt ist.

3.1 Was ist die Lösung einer Differentialgleichung?

Ziel jeder Differentialgleichung ist es, einen Gesamtvorgang, der von Wissenschaft- lern in winzige Teilstücke zerlegt worden ist, wiederherzustellen. Wiederherstellen heißt im lateinischen integrieren (lat. integrare). Dies ist der Grund, warum die Lö- sung einer Differentialgleichung in älterer Literatur oft auch als „ Integral “ bezeichnet wird, obwohl im Lösungsweg das mathematische Integral nicht zwingend verwendet werden muss.

Als Lösung bezeichnet man alle Funktionen y (x) , die, in die Gleichung eingesetzt, eine wahre Aussage ergeben. Da durch das Einsetzen die Funktion differenziert werden muss, ist es offensichtlich, dass die gesuchte Funktion eine differenzierbare und damit stetige Funktion sein muss. Weil auf dem Lösungsweg meist integriert wird, erhält man eine Lösung mit einer, oder je nach Grad der Differentialgleichung, mehreren additiven Konstanten. Diese Schar von Funktionen nennt man allgemeine Lösung. Eine Funktion aus dieser Schar, die bestimmte Bedingungen erfüllt, nennt man partikul ä re Lösung oder spezielle Lösung.

3.2 Das Anfangswertproblem

Das sogenannte Anfangswertproblem ist Voraussetzung, um eine Differentialglei- chung exakt zu lösen. Das Anfangswertproblem setzt sich aus der Gleichung und einer Anfangsbedingung, einem festen Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bei einem bestimmten Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sammen. Die zur exakten Bestimmung der Lösung notwendige Anzahl der An- fangsbedingungen hängt vom Grad der Differentialgleichung ab. Sie haben die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung benötigt man dementsprechend auch n Anfangsbedingungen.

Um diesen Gedankengang ein wenig greifbarer zu machen, nehme man das Bei- spiel eines Federpendels² mit der aus dem Physikunterricht bekannten Differential- gleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Um den weiteren Verlauf exakt zu beschreiben, reicht es je- doch nicht aus, nur den Ort des Federpendels zu kennen, denn mit dieser Informati- on allein lässt sich nicht der weitere Verlauf bestimmen, sondern man benötigt noch die zweite Bedingung, die Angabe der Momentangeschwindigkeit, um die Richtung des schwingenden Pendels zu kennen. Dieser Gedankengang ist analog auf das Anfangswertproblem übertragbar. Bei den in dieser Facharbeit vorkommenden Dif- ferentialgleichungen 1. Ordnung müssen demnach für eine exakte Lösung die Glei- chung und die Anfangsbedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] angegeben werden.

3.3 Algebraische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

3.3.1 Direkte Integration

Der einfachste Weg, an die Lösung einer Differentialgleichung zu gelangen, ist die direkte Integration, dessen Lösungsweg Schülern der Oberstufe seit Einführung der Integralrechnung bekannt ist. Diese ist jedoch nur bei sehr einfachen Gleichungen der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durchführbar, weshalb andere Lösungsmethoden gefunden werden müssen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3.2 Separation der Variablen

Eine Differentialgleichung, die sich auf die Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bringen lässt, heißt Gleichung mit getrennten Variablen oder separierbare Differentialgleichung. Durch leichte Umformung lassen sich Terme mit x und y auf die beiden Seiten der Gleichung bringen - man "trennt" sie.

Um diese Gleichung zu lösen, wird die Separation oder zu Deutsch Trennung der Variablen verwendet. Dieses Verfahren funktioniert nach folgendem Algorithmus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten³

Der vierte Schritt gibt bereits die Lösung der Differentialgleichung in impliziter Form an. Diese muss durch geeignete Umformungen in die explizite Form überführt wer- den. Im letzen Schritt müssen auftretende Konstanten an das Anfangswertproblem angepasst werden.

Mit dieser Methode lässt sich das Anfangswertproblem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sehr einfach lösen:

Auf den ersten Blick scheint dies keine separierbare Gleichung zu sein. Doch nach kurzer Umformung erkennt man schnell: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun muss das Anfangswertproblem gelöst werden. Dafür wird in die allgemeine Lö- sung die Anfangsbedingung eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit lautet die Lösung des Anfangswertproblems y ln (0.5 x ² x e)

Die Lösung lässt sich durch Einsetzen schnell überprüfen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mithilfe der Separation der Variablen lässt sich eine allgemeine Lösungsformel für homogene Differentialgleichungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit dem Sonderfall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf- stellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. g (y) ist hier eine beliebige Funktion abhängig von x bzw. y

² Zur Theorie des Federpendels vergleiche Metzler Physik S. 115ff

³ Nicht ganz korrekte Schreibweise. Konstanten entstehen erst nach dem Integrieren.