Zahlentheorie und Strings. Mathematik in Tabellenkalkulationssystemen


Seminararbeit, 2013

22 Seiten, Note: 15,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung in verschiedene Stellenwertsysteme
1.1 Entstehung und Verwendung Verschiedener zahlensysteme
1.2 Allgemeine Darstellung einer Zahl im Zahlensystem
1.3 Umrechnung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen

2. Größter Gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
2.1 GrößtergemeinsamerTeilerzweier Zahlen
2.1.1 Definition und Bestimmung durch Primfaktorzerlegung
2.1.2 Der Euklidische Algorithmus
2.1.3 Anwendung: Vollständiges Kürzen von Brüchen
2.2 Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen
2.2.1 Definition und Bestimmung durch Primfaktorzerlegung
2.2.2 Anwendung: Hauptnenner zweierBrüche
2.3 Mathematischer Zusammenhang zwischen ggT und kgV

3. Folgen und Reihen
3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen und Reihen
3.2 Geometrische Reihen

4. Strings in Tabellenkalkulationsprogrammen
4.1 Definition und Darstellung von Strings
4.2 Einführung in eine Auswahl nützlicher Textfunktionen
4.3 Anwendung: Trennen von zwei Textteilen in einerZelle

5. Umrechnung der Darstellungsformen komplexerZahlen
5.1 Die algebraische Form
5.2 Die Polarform
5.3 Umrechnung zwischen den Darstellungen

Quellenverzeichnis

1. Einführung in verschiedene Stellenwertsysteme

1.1 Entstehung und Verwendung verschiedener Zahlensysteme

Wenn wir heutzutage etwas abzählen, berechnen oder messen wollen, so ge­schieht dies im Normalfall fast ausschließlich durch die Darstellung einer oder mehrerer Zahlen im sogenannten Dezimalsystem oder Zehnersystem, einem Stellenwertsystem, also mithilfe der zehn Ziffern 0...9. Jedoch ist diese so be­kannte und weit verbreitete Art der Darstellung von Zahlen bei weitem nicht das einzig denkbare und in der Praxis Anwendung findende System. Doch wie kommt es also, dass sich eben dieses System fast überall auf der Welt so großer Bekannt- und Beliebtheit erfreut, warum liegen ihm ausgerechnet zehn Ziffern zugrunde und welche weiteren Systeme gibt es?

Hinweise auf Vorläufer des heutigen Dezimalsystems finden sich bereits bei bronzezeitlichen Kulturen wie der Minoischen, der frühesten Hochkultur Euro­pas (ca. 1500 v. Chr.). Dort wurden verschiedene Symbole zur Darstellung der Stufenzahlen 1, 10, 100 und 1000 verwendet. Diese Stufenzahlen als Potenzen von 10 beruhen auf der Tatsache, dass die menschliche Hand zehn Finger be­sitzt und das Abzählen an diesen zur menschlichen Gewohnheit geworden war. Eine Zahl konnte somit durch Kombination von einem oder mehreren Symbolen pro Stufenzahl dargestellt werden, beispielsweise ergibt sich die Zahl 2013 aus einer Aneinanderreihung von zwei „Tausender“-Symbolen, einem „Zehner“- Symbol und drei „Einer“-Symbolen. Diese Zahlen wurden dann für einfache Rechnungen und Zählungen sowie Handelsgeschäfte genutzt (nach [1]).

Weiterentwickelt wurde das Dezimalsystem schließlich in Indien im 5. Jahrhun­dert n. Chr., als das bestehende System um die nun neu eingeführten Ziffern 0...9 zu einem Stellenwertsystem ergänzt wurde. Im Gegensatz zur bisherigen Methode, bei der die einzelnen Stellen noch keine Werte besaßen (diese wur­den lediglich durch die Anzahl gleicher Symbole dargestellt), konnten nun die Werte der einzelnen Stellen durch die neu entwickelten Ziffern ausgedrückt wer­den. Verbreitung fand diese neuartige Zahlendarstellung zunächst durch den arabischen Mathematiker Al-Chwarizmi [2], der ein Buch über das neue indi­sche Zahlensystem und dessen Rechenregeln veröffentlichte und es somit im arabischen Raum bekannt machte. Im europäischen Raum verbreitet wurde es im 13. Jahrhundert durch Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, sowie im 16. Jahrhundert durch den Mathematiker und „Rechenmeister“ Adam Ries (nach [3, S. 338] sowie [1]).

Ein weiteres historisches und heute bekanntes Zahlensystem ist das Vigesimal- system der Maya, das auf der Basis 20 beruht und somit 20 verschiede Ziffern zur Verfügung stellt (0...19), die jeweils durch eine Kombination aus Punkten und Strichen bzw. durch eine stilisierte Muschel für die Zahl Null dargestellt wer­den. Die Verwendung der Zahl 20 als Basis lässt sich womöglich mit der Zuhil­fenahme der zehn Zehen (zusätzlich zu den zehn Fingern) für Zählvorgänge er­klären. Da in diesem „Zwanzigersystem“ vergleichsweise große Zahlen relativ einfach dargestellt werden konnten, eignete es sich hervorragend für die bis heute geschätzten astronomischen Berechnungen der Maya. Aufgrund der Ab­geschiedenheit dieses Volkes fand ihr Zahlensystem jedoch keine weitere Ver­breitung (nach [3, S. 336] sowie [4]).

Ein Stellenwertsystem, das etwas später zu großer Bekanntheit gelangt ist, ist das sogenannte Binärsystem, auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt, dessen Ursprünge sich zwar wiederum bereits in Indien bzw. bei dem Leipziger Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716, siehe [5]) finden lassen, dessen erster wirklich praktischer Einsatz jedoch erst 1941 in dem von Konrad Zuse (1910 - 1995) entwickelten universell programmierbaren Rechner des Mo­dells Z3 stattfand. Das Binärsystem basiert dabei auf der Zahl 2, zur Darstel­lung einerZahl stehen folglich die beiden Ziffern 0 und 1 zur Verfügung. Da sich durch diese Ziffern in elektronischen Schaltungen die beiden Zustände „elektri­sche Spannung“ (1) sowie „keine elektrische Spannung“ (0) realisieren lassen, bildet das Binärsystem heute (abgesehen von wenigen Ausnahmen) die Grund­lage fürjegliche digitale Informationsverarbeitung (siehe [3, S. 128, S. 341]).

1.2 Allgemeine Darstellung einerZahl im Zahlensystem

Doch wie genau funktioniert nun die Darstellung einer Zahl in einem Stellen­wertsystem? Sei zunächst eine Dezimalzahl z1= 2013 gegeben, so ist uns intui­tiv klar, dass dies genau genommen eine abkürzende Schreibweise für den Term

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

z oder mit Potenzen der Basis 10 formuliert

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ist (die Klammersetzung dient in beiden Fällen lediglich der besseren Veran­schaulichung der Summanden).

Man sieht, dass die Basis des Stellenwertsystems (hier 10) gleichzeitig die Ba­sis der Potenzen bildet und der Exponent je nach Stelle in- bzw. dekrementiert wird. Gleiches gilt auch für Dezimalbrüche unter Hinzunahme von negativen ganzzahligen Exponenten, so ist beispielsweise die Zahl z2= 12,84 eine abkür­zende Schreibweise für den Term:

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Wiederum mithilfe von Potenzen der Basis 10 formuliert:

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Bringt man dieses Prinzip zur Verallgemeinerung, so ergibt sich für eine Zahl z im Dezimalsystem

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wobei zwischen к0 und к^ ein Trennzeichen, je nach Sprachraum meist ein Komma oder ein Dezimalpunkt, zur eindeutigen Kennzeichnung verwendet wird (nachfolgend wird hierfür vereinfachend die Bezeichnung „Komma“ gebraucht). Hierbei bezeichnet 10' den Stellenwert, к die jeweilige Ziffer (nach [6] sowie [7, S. 49]).

Verallgemeinert man diese Summe wiederum für ein Stellenwertsystem zur Ba­sis В (> 2), so ergibt sich für eine Zahl zB in diesem System analog die Darstel­lung:

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Ist die verwendete Basis В > 10, geht also die Ziffernfolge über 9 hinaus, so wird diese üblicherweise durch Buchstaben des Alphabetes ergänzt (A ent­spricht 10,B entspricht 11 usw.).

1.3 Umrechnung zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen

Unter Verwendung dieser verallgemeinerten Darstellung ist es nun einfach, eine Zahl zu einer beliebigen Basis В in eine Dezimalzahl umzurechnen. Dazu wird je Stelle der Ziffernwert der Stelle mit ihrem Stellenwert, d.h. mit der Potenz der Basis В und dem Exponenten entsprechend der jeweiligen Stelle, multipliziert und schließlich die Summe über diesen Produkten gebildet. Als Beispiel wird die Binärzahl 100111 in ihre dezimale Darstellung (39) umgerechnet. Dies soll in der nachfolgenden Abbildung veranschaulicht werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 Umrechnung einer Binärzahl in das Dezimalsystem

Aus Abb. 1 ist ersichtlich, dass gilt: [100111 ]2 = [39]ю , wobei die Zahl im Index die Basis des jeweiligen Stellenwertsystems angibt (nach [7, S. 48 ff.]).

Auch für die Transformation der Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem in ein anderes System gibt es eine einfache Möglichkeit, nachfolgend sollen die Dezi­malzahlen 365 und 0,15 in das sogenannte Hexadezimalsystem (Basis 16, hier­für wird die gewohnte Ziffernfolge 0...9 um die Buchstaben A...F in lexikalisch aufsteigender Reihenfolge ergänzt) umgewandelt werden. Zunächst hilft dabei die Überlegung, dass sich bei einer Zahl nach Multiplikation mit der Basis das Komma um eine Stelle nach rechts verschiebt, nach Division durch die Basis

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wiederum um eine Stelle nach links. Wiederholt man diesen Vorgang sukzessi­ve mit der Basis des Zielsystems, so erhält man mit den Resten der Division (für Vorkommastellen) bzw. mit den Überläufen der Multiplikation (für Nachkom­mastellen) die gesuchten Ziffernwerte für die jeweiligen Stellen im Zielsystem. Dieser Vorgang ist für die beiden Dezimalzahlen 365 und 0,15 in Abb. 2 bzw. Abb. 3 dargestellt (nach [7, S.50]).

Bei der Umwandlung von 0,15 in Abb. 3 wird deutlich, dass sich das Multiplikationsergebnis 0,4 sowie der Überlauf6 wiederholen, folglich ergibt sich in der hexadezimalen Darstellungsform die periodische Zahl 2,6.

Mithilfe von Kombination der in Abb. 2 sowie Abb. 3 veranschaulichten Metho­den lässt sich nun auch die Dezimalzahl 365,15 in das Hexadezimalsystem um­wandeln. Analog zu dieser Darstellung ist auch die Darstellung im Zielsystem eine Summe derVor- und Nachkommastellen, also 365,15 = 365 + 0,15.

Die beiden Zahlen 365 und 0,15 können folglich ebenso im Zielsystem einfach addiert werden. Es ergibtsich daher dje folgende Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Tabelle 1 „Stellenwertsysteme“ lässt sich eine wählbare ganze Zahl in Dezi­maldarstellung in Zelle B6 in das Hexadezimalsystem (Zelle C6, Basis 16), das Binärsystem (Zelle D6, Basis 2), das Oktalsystem (Zelle E6, Basis 8) sowie in ein Stellenwertsystem (Zelle F6) zu einer wählbaren Basis in Zelle F4 zwischen 2 und 36 (es können lediglich die 10 Ziffern des Dezimalsystems plus 26 Buch­staben zur Darstellung verwendet werden) umwandeln.

Dabei werden entsprechend die nativen Funktionen DEZINHEX(), DEZINBIN() sowie DEZINOKT() verwendet, die als ersten Parameter eine Dezimalzahl er­warten. Ist diese negativ, so wird zusätzlich das erste Bit von links zur Darstel­lung des Vorzeichens verwendet. Als optionaler zweiter Parameter steht die An­gabe der Anzahl darzustellenderZeichen zurVerfügung.

In Zelle F6 wird die Formel BASIS() verwendet, wobei die ersten beiden Para­meter zunächst die umzuwandelnde Dezimalzahl und dann die Basis des neu­en Stellenwertsystems erwarten. Als Basis sind wiederum Werte zwischen 2 und 36 erlaubt. Der optionale dritte Parameter gibt die Mindestlänge der Dar­stellung an.

In der nachfolgenden Abbildung ist das entsprechende Tabellendokument dar­gestellt, hierbei wird die in Zelle B6 eingegebene Dezimalzahl 100 in das Hexa­dezimal-, das Binär- und das Oktalsystem sowie in das System zur Basis 36 umgerechnet.

Hier, wie auch in den weiteren Tabellen, sind frei wählbare Zellen grün gefärbt, die Zellen zur Ausgabe eines Ergebnisses besitzen eine hellblaue Färbung.

Die Tabellenbezeichnungen und -nummern beziehen sich auf die beiliegende Datei „Zahlentheorie und Strings.ods“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4 Umrechnung zwischen verschiedenen Zahlensystemen am Beispiel der Dezimalzahl 100

[...]

Ende der Leseprobe aus 22 Seiten

Details

Titel
Zahlentheorie und Strings. Mathematik in Tabellenkalkulationssystemen
Hochschule
Finsterwalder Gymnasium Rosenheim
Note
15,0
Autor
Jahr
2013
Seiten
22
Katalognummer
V267884
ISBN (eBook)
9783656590958
ISBN (Buch)
9783656590910
Dateigröße
1064 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
zahlentheorie, strings, mathematik, tabellenkalkulationssystemen
Arbeit zitieren
Christian Falk (Autor), 2013, Zahlentheorie und Strings. Mathematik in Tabellenkalkulationssystemen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/267884

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