Inhalt dieser Arbeit sind die wichtigsten Theoreme mit Beweis zum Thema konvexe Funktionen. Weiterhin werden Beispiele von konvexen Funktionen aufgezeigt und veranschaulicht.
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Fachbereich Mathematik
SS 2007
Seminar: Analysis
Thema:
Konvexe Funktionen
Thomas Dörr
Studienziel: Staatsexamen (Lehramt)
Fachsemester: 10
Abgabetermin: 05.07.2007
2
Inhaltsverzeichnis
Hilfssatz ... 3
Theorem 1 ... 5
Theorem 2 ... 5
Theorem 3 ... 7
Theorem 4 ... 7
Anmerkungen ... 8
Literatur ... 12
3
Hilfssatz
( )
f a b
R
: ,
ist konvex
[strikt konvex], genau dann wenn es eine wachsende [streng
wachsende] Funktion
( )
g a b
R
: ,
und einen Punkt
( )
c
a b
, gibt, so dass für alle
( )
x
a b
,
( ) ( )
( )
f x
f c
g t dt
c
x
-
=
³
gilt.
Beweis:
Annahme: f ist konvex. Wähle
g
f
=
+
'
, dieser existiert und ist wachsend (siehe
Theorem 11B). Ausserdem sei
( )
c
a b
, ein beliebiger Punkt. Nach Theorem 11A gilt:
f ist absolut stetig auf [c,x]. Für ein elementares Argument für Riemann Integrale ist
( ) ( )
( )
( )
f x
f c
f t dt
g t dt
c
x
c
x
-
=
=
+
³
³
'
: Sei
}
{
c
x
x
x
x
x
n
=
=
0
1
2
...
eine Partition des Intervalls [c,x]. Dann ist
( ) ( )
( ) ( )
f x
f c
f x
f x
k
k
k
n
-
=
-
+
=
-
¦
1
0
1
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
=
-
+
-
+ +
-
+
-
-
-
-
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
n
n
n
n
1
0
2
1
1
2
1
...
( ) ( )
=
-
f x
f x
n
0
Weiter gelten folgende Abschätzungen:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x
f x
f x
f x
x
x
f x
f x
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
+
-
+
-
+
-
-
'
'
'
'
1
1
1
1
Nach umstellen dieser Ungleichungen erhält man
( ) ( ) ( )(
)
f x
f x
f x
x
x
k
k
k
k
k
+
+
+
+
-
-
1
1
1
'
( ) ( )
( )(
)
-
-
+
=
-
+
+
+
=
-
¦
¦
f x
f x
f x
x
x
k
k
k
n
k
k
k
k
n
1
0
1
1
1
0
1
'
Für n
ist diese Riemann Summe gleich dem Integral:
( )
( )
( )
f t dt
y
t
f y
f t
y
t
dt
c
x
c
x
+
³
³
=
-
-
'
lim
Ende der Leseprobe aus 12 Seiten
- nach oben
- Arbeit zitieren
- Thomas Dörr (Autor:in), 2007, Konvexe Funktionen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/268429
Blick ins Buch
