Die Bedeutung offener Aufgaben im Mathematikunterricht der Realschule

INHALTSVERZEICHNIS

I. TEIL: THEORETISCHE GRUNDLAGEN
1. EINLEITUNG
2. QUALITÄT IM MATHEMATIKUNTERRICHT
2.1 SINUS - BLK-MODELLVERSUCHSPROGRAMM
2.2 SINUS-TRANSFER
2.3 PISA-STUDIE
3. QUALITÄTSSTEIGERUNG IM MATHEMATIKUNTERRICHT
DURCH AUFGABEN
3.1 DIE ROLLE VON AUFGABEN IM MATHEMATIKUNTERRICHT
3.2 WAS IST EINE „GUTE AUFGABE“?
3.2.1 Authentizität 16
3.2.2 Differenzierungsvermögen 18
3.2.3 Offenheit 21
4. OFFENE AUFGABEN IM MATHEMATIKUNTERRICHT
4.1 BEGRIFFSERKLÄRUNG
4.2 AUFGABENTYPEN
5. ARTEN VON OFFENEN AUFGABEN
5.1 FRAGEN STELLEN
5.2 EIGENSCHAFTEN ENTDECKEN
5.3 STELLUNG NEHMEN
5.4 ABSCHÄTZEN
5.4.1 Ein Bild als Ausgangspunkt 30
5.4.2 Informationen weglassen 31
5.4.3 Fermi-Aufgaben 32
5.5 AUFGABEN ERFINDEN
5.6 AUFGABEN VARIIEREN
6. MODELLIEREN UND PROBLEMLÖSEN
6.1 MODELLIEREN
6.2 PROBLEMLÖSEN
7. CHANCEN UND GRENZEN OFFENER AUFGABEN
7.1 VORTEILE OFFENER AUFGABEN
7.2 NACHTEILE OFFENER AUFGABEN

II TEIL: PLANUNG UND DURCHFÜHRUNG DER
UNTERRICHTSSTUNDE
1. OFFENE AUFGABEN IM UNTERRICHT EINER 6. KLASSE
1.1 LERNVORAUSSETZUNGEN
1.1.1 in Bezug auf die Klassensituation 54
1.1.2 in Bezug auf die Arbeits- und Sozialformen 55
1.1.3 in Bezug auf den Leistungsstand 55
1.1.4 in Bezug auf die Inhalte 56
1.2 SACHANALYSE
1.3 DIDAKTISCHE ÜBERLEGUNGEN
1.3.1 Fachrelevanz 58
1.3.2 Schüler- und Gesellschaftsrelevanz 58
1.3.3 Didaktische Analyse in Bezug auf die Stunde 60
1.4 LERNZIELE
1.4.1 Grobziel 62
1.4.2 Feinziele 62
1.5 METHODISCHE ÜBERLEGUNGEN
1.6 VERLAUFSPLANUNG
1.7 REFLEXION DER STUNDE
2. GESAMTREFLEXION
3. SCHLUSSBEMERKUNG
4. LITERATURVERZEICHNIS
5. EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG
6. ANHANG

I. Teil: Theoretische Grundlagen

1. Einleitung

Meine Aufmerksamkeit bezüglich der offenen Aufgaben wurde bereits in einem Seminar an der Universität geweckt, als ich einen Vortrag zu diesem Stoffgebiet erarbeitete. Je ausgiebiger ich mich mit der Thematik beschäftigte, desto stärker wurde mein Interesse geweckt und beeinflusste letztendlich meine Themenauswahl für die Zulassungsarbeit.

In dieser Arbeit sollen offene Aufgaben näher erläutert werden und eine Vielzahl an Beispielen dieses Aufgabenformats vorgestellt werden. Des Weiteren soll geprüft werden, ob der Einsatz offener Aufgaben im konkreten Schulalltag die Unterrichtsqualität verbessern wie auch sichern kann.

Schon bereits durch kleine Veränderungen von stereotypen Aufgaben, kann eine neue Form des Mathematikunterrichts angeregt werden, sodass Schüler motiviert sind Mathematik zu betreiben. Gleichzeitig können durch das Öffnen von Mathe- matikaufgaben Differenzierungsmöglichkeiten geschaffen werden. Sowohl der allseitig geforderten Beachtung der Heterogenität sowie der hiermit einhergehen- den individuellen Förderung der Schüler wird dadurch Aufmerksamkeit ge- schenkt. Jene Punke werden an dieser Stelle allerdings nicht näher vertieft, da sie im weiteren Verlauf der Arbeit nochmals aufgegriffen und ausführlich beleuchtet werden.

Nach einem komprimierten Überblick über die derzeitige Qualität des Mathema- tikunterrichts befasst sich diese Arbeit mit verschiedenen Aspekten offener Auf- gaben: Zunächst soll die zentrale Rolle der Mathematikaufgaben im Unterricht näher erläutert werden. Sodann werden die Merkmale, welche eine gute Mathe- matikaufgabe auszeichnen, betrachtet. Anschließend wird der Terminus der offe- nen Aufgabe definiert, unterschiedliche Typen werden vorgestellt und jeweils anhand eines Beispiels verdeutlicht. Angesichts dessen, dass offene Aufgaben Kompetenzen wie das Modellieren und Problemlösen fördern, sollen diese Begrif- fe ebenfalls konkretisiert werden. Im weiteren Verlauf werden die aus dem Ein- satz offener Aufgaben im Unterricht resultierenden Chancen und Grenzen im Fach Mathematik dargelegt. Im darauffolgenden zweiten Teil der Arbeit werden zunächst die planungsrelevanten Aspekte zu der von mir referierten Unterrichts- stunde beschrieben und anschließend die konkrete Stunde mit zugehöriger Ge- samtreflexion präsentiert. Schließlich gehe ich darauf ein, ob die in der Stunde verwendeten offenen Aufgaben erfolgreich von den Schülern bearbeitet und die damit angestrebten Ziele erreicht werden konnten. Ein Resümee über meine individuell gewonnenen Erfahrungen und Eindrücke komplettieren den praktischen Teil. Den Abschluss meiner Arbeit bildet eine zusammenfassende Schlussfolgerung einschließlich persönlicher Stellungnahme bezüglich der offenen Aufgaben. Letztlich sei noch erwähnt, dass in meiner Arbeit, zugunsten eines lesbaren Stils, meist das generische Maskulinum verwendet wird, wobei ich mich sowohl auf Personen weiblichen wie auch männlichen Geschlechts beziehe.

2. Qualität im Mathematikunterricht

„In den letzten Jahren sind Ziele und Wirksamkeit des Mathematikunterrichts kritisch in den Fokus des öffentlichen Interesses gerückt“ (Leuders 2005, S.7). Ausschlaggebend für die Debatten über den Mathematikunterricht sind die Ergeb- nisse der populären TIMS- und PISA-Studien (TIMS = Third International Scien- ce and Mathematic; PISA = Programme for International Student Assessment). Zwar versicherte das deutsche Bildungssystem stets eine hohe Qualität des Unter- richts, „[s]eitdem uns [aber] 1997 verbrieft wurde, dass der deutsche Mathematik- unterricht im weltweiten Vergleich der Industrienationen im unteren Mittelfeld rangiert, kann man wohl von einem ‚TIMSS-Schock’ sprechen“ (Leuders 2005, S.8). Die Berichte der international vergleichenden Schulleistungsuntersuchung TIMSS brachten die deutlichen Schwächen der deutschen Schülerinnen und Schü- ler im mathematisch und naturwissenschaftlichen Verständnis ans Licht: Es man- gelt ihnen sowohl an Grundwissen als auch an mathematischem Grundverständ- nis. Bei der Bearbeitung von anspruchsvolleren Aufgaben und Problemstellungen zeigten die Lernenden erhebliche Schwächen auf. Ebenfalls konnten bei diesen Studien lediglich geringe Kompetenzzuwächse bei deutschen Schülern verzeich- net werden. Präzise Gründe für die mangelnden Leistungen der Lernenden können zwar nicht gegeben werden, dennoch lassen sich einige plausible Ursachen für deren Defizite im naturwissenschaftlichen Unterricht anführen: Als problematisch erweist sich vor allem das hierzulande vorherrschende Grundmuster des soge- nannten fragend-entwickelnden Unterrichts (vgl. Universität Bayreuth/BLK, BLK-Programm). Dabei versucht der Lehrer den Schülern das Lernen zu erleich- tern und den Unterricht zu ökonomisieren, indem er ein Problem in kleine Einzel- schritte aufgliedert und dieses in leicht zu beantwortende Fragen transformiert. Schritt für Schritt werden die Schüler so an das gewünschte Ziel herangeführt, ohne dabei Umwege oder Irrwege einzuschlagen. Zwar bietet sich dieses Verfah- ren einerseits bei der Vermittlung von komplexen, schwierigen Themengebieten an, doch bedingt dies andererseits eine „[...] Engführung auf das Erarbeiten einer einzigen richtigen Lösung“ (Universität Bayreuth/BLK, BLK-Programm). Auch wenn das aktive Zuhören innerhalb des Unterrichts gewährleistet ist, so bleibt den Lernenden bei dieser Unterrichtsform oftmals der logische Gedankengang der Lehrperson unverständlich. Darüber hinaus lässt diese Konzeption den Schülern wenig Raum für ein selbstständiges Erarbeiten von Problemen. Die behandelten Unterrichtsinhalte werden dadurch nicht fest genug in das eigene Wissen inte- griert. Diese ungenügende Kumulativität und Kohärenz der mathematisch- naturwissenschaftlichen Inhalte führt bei den Schülern zu trägem Wissen. „Träges Wissen kann nur in einer der konkreten Unterrichtssituation sehr ähnlichen Situa- tion angewandt werden, jedoch nicht auf veränderte Situationen übertragen wer- den“ (Selters, Projekt KIRA, Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht). Dadurch gelingt es nur einer geringen Menge an Schülern „[...] in den vielen Jah- ren Mathematikunterricht ein solides, gut organisiertes Wissensfundament aufzu- bauen und ein mathematisches Grundverständnis zu entwickeln, das zu problem- lösendem Anwenden mathematischer Konzepte in variablen Kontexten befähigt“ (Ulm 2008, S.11).

Auch stellt die Automatisierung bestimmter mathematischer Methoden und Ver- fahren durch die überwiegende Bearbeitung von Routineaufgaben im Unterricht eine Schwierigkeit dar. Im deutschen Mathematikunterricht wird laut verschie- denster Fachverbände - wie beispielsweise DMV oder MNU (DMV = Deutsche Mathematiker-Vereinigung; MNU = Deutscher Verein zur Förderung des mathe- matischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts e.V.) - zu viel Wert gelegt auf das „[...] routinemäßige, manchmal gar schematische Lösen innermathematischer Standardaufgaben“ (Herget 2001, Aufgaben - nicht nur nach „Schema F“! S.15). Sowohl das Interesse an Mathematik als auch die Lernmotivation der Schüler sin- ken dadurch. Da jene nach konstruktivistischer Lernauffassung nur von selbst lernen können - d.h. Lernen ist ein aktiver, individueller Konstruktionsprozess, der von außen nur bedingt steuerbar ist - muss ihnen ein aktiv-entdeckendes Ler- nen ermöglicht werden. Dies meint, dass einem selbstständigen Arbeiten an Auf- gaben, welche die Lerner mit Hilfe ihrer eigenen Fähigkeiten und Fertigkeiten lösen können, Raum gegeben werden muss. Dabei sollen die Schüler individuelle Lernwege und mathematische Zusammenhänge entdecken. Natürlich können nicht alle mathematischen Inhalte durch eigenständiges Erarbeiten von den Schülern erfasst werden. So gibt es im Mathematikunterricht bestimmte Bezeichnungen, Sprech- und Schreibweisen oder auch Rechenvorschriften, bei denen das nur in Ansätzen gelingt. Dennoch ist die Schaffung von Freiräumen für selbstgesteuertes Lernen eine „[...] notwendige Voraussetzung für eine aktive Konstruktion flexibel abrufbaren Wissens“ (ISB - Staatsinstitut für Schulpädagogik und Bildungsforschung München 1999, S.3).

Demzufolge „[...] kommen insbesondere das selbstständige, aktive Problemlösen, das inhaltliche, nicht-standardisierte Argumentieren sowie das Herstellen von Verbindungen mathematischer Begriffe mit Situationen aus Alltag und Umwelt [zu kurz]“ (Herget 2001, Aufgaben - nicht nur nach „Schema F“! S.15). Als Reaktion auf dieses unbefriedigende Abschneiden deutscher Schüler bei den internationalen Vergleichsstudien wie TIMSS und PISA beschloss die deutsche Kultusministerkonferenz im Dezember 2003 (KMK 2003) die Einführung soge- nannter Bildungsstandards für das Fach Mathematik - für den mittleren Schulab- schluss. Den Kern der Bildungsstandards Mathematik stellen bestimmte allgemei- ne mathematische Kompetenzen dar, welche von den Schülern bis zu einer be- stimmten Jahrgangsstufe verbindlich erworben werden sollen (vgl. Prediger 2007, S.2).

Durch die Einführung der Bildungsstandards wurde ein wichtiges Steuerungsin- strument für die Qualitätssicherung im Mathematikunterricht geschaffen, das zu- sammen mit substanziellen Tests und Vergleichsarbeiten einen Paradigmenwech- sel hin zur sogenannten Outputorientierung statt der bis zu diesem Zeitpunkt übli- chen Inputorientierung anstrebte (vgl. Prediger 2007, S.2). Demnach soll der „[...] Output von Lernprozessen geregelt (die Anforderungen an die Ergebnisqualität also überhaupt festgelegt) werden, während Schulen und Lehrkräfte bzgl. des In- puts (etwa der Auswahl der Inhalte und der methodisch-didaktischen Gestaltung der Lernprozesse) mehr Freiräume erhalten“ (Prediger 2007, S.3).

Die Bildungsstandards dienen einerseits allen Beteiligten zur Orientierung über verbindliche Anforderungen und andererseits für Auswertungen auf Schul- und Systemebene. Die Aufgabe dieser Tests besteht im Sichtbarmachen von notwen- digen Förderungsmaßnahmen (vgl. Leiß 2005, S.1). Zwar sind „Bildungsstan- dards [...] keine Unterrichtsstandards, ihr wesentliches Ziel ist aber eine Verbesse- rung der Unterrichtsqualität und letztlich der Leistungen und Einstellungen der Schüler“ (Leiß 2005, S.1). Jedoch sind viele Wissenschaftler der Ansicht, dass eine Regulierung und Messung von Output alleine nicht zu einer Verbesserung der Unterrichtsqualität führen kann. Sie muss gestützt werden durch weitere Stra- tegien der Unterrichtsentwicklung, „[...] die stärker auf den Prozess bezogen sind“ (Prediger 2007, S.3).

Infolgedessen wurde auf die vielseitige Forderung nach einer Weiterentwicklung der Schule auch mit Hilfe von zahlreichen Initiativen und Projekten „[...] eine ungeheure Bewegung in die mathematisch-naturwissenschaftliche Bildungslandschaft gebracht [...]“ (Leuders 2005, S.8).

Um einen genaueren Eindruck davon zu erhalten, wie die Vorhaben zur Qualitätssteigerung in den mathematisch, naturwissenschaftlichen Fächern in die Realität umgesetzt wurden, sollen nun anschließend einige ausgewählte Programme vorgestellt werden - darüber hinaus besteht eine Vielzahl an weiteren internationalen sowie nationalen Vergleichsstudien und Initiativen, wie etwa „QuaSUM“, „MARKUS“, „PALMA“ oder „Mathe PLUS“.

2.1 SINUS - BLK-Modellversuchsprogramm

Im April 1998 wurde der zunächst auf fünf Jahre angelegte BLK-Modellversuch SINUS (BLK = Bund-Länder-Kommission für Bildungsplanung; SINUS = Stei- gerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts) an 180 ausgewählten Schulen bundesweit ins Leben gerufen. Programmträger des bereits im März 2003 ausgelaufenen Projekts ist das Leibniz-Institut für die Päd- agogik der Naturwissenschaften und Mathematik (IPN) an der Universität in Kiel in Zusammenarbeit mit dem Staatsinstitut für Schulpädagogik und Bildungsfor- schung (ISB) in München unter der Leitung von Prof. Dr. Manfred Prenzel.

Gefördert wurde beim BLK-Modellversuch „[...] die wissenschaftlich begleitete Entwicklung von Maßnahmen zur Qualitätsverbesserung des mathematisch- naturwissenschaftlichen Unterrichts auf der Ebene der Schule, d.h. durch die in den Schulen tätigen Lehrerinnen und Lehrer“ (IPN - Universität Kiel, BLK- Programm). Kennzeichnend für das Projekt war die stetige Kooperation und enge Interaktion der Lehrkräfte einer Fachgruppe, sowohl regional als auch überregio- nal. „In Schulverbünden, den Sets, entwickelten Lehrerinnen und Lehrer unter wissenschaftlicher Begleitung ihre Unterrichtsmethodik weiter. Reflexion und Evaluation des eigenen Unterrichts waren zentrale Elemente“ (Universität Bay- reuth, SINUS-Transfer). Hinter diesem Konzept steht die Erkenntnis, dass „sich Veränderungen auf Schulebene nur dann durchsetzen und Bestand haben, wenn sie von den Lehrenden erfolgreich in ihre eigenen stabilen Handlungsroutinen integriert werden können“ (IPN - Universität Kiel, BLK-Programm). Im Rahmen des fünfjährigen Modellprogramms sollten sich Routinen zur Quali- tätssicherung und -entwicklung an den Schulen fest etablieren, der mathematisch- naturwissenschaftliche Unterricht didaktisch verbessert werden und Schülerinnen und Schüler in ihrer Kompetenz- und Interessenentwicklung gefördert werden (vgl. IPN - Universität Kiel, BLK-Programm). „Langfristig sollen innovative Entwicklungen auch über den Kreis der Programmschulen hinaus in die Breite wirken“ (IPN - Universität Kiel, BLK-Programm). Als Grundlage für das Pro- gramm erarbeitete eine Expertengruppe im Auftrag der BLK-Projektgruppe „In- novationen im Bildungswesen“ ein „Gutachten zur Vorbereitung eines Pro- gramms zur Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts“ (IPN - Universität Kiel, BLK-Programm). Darin wurden elf Module zu spezifischen Problembereichen des Unterrichts konkretisiert, welche im Rah- men der Qualitätsentwicklung verbessert werden sollten. Diese Module sind als Grundlage des SINUS Programms anzusehen. Ziel des ersten Moduls, das den Titel „Weiterentwicklung der Aufgabenkultur“ trägt, ist beispielweise „[...] die Entwicklung und der Einsatz von Aufgaben, die unterschiedliche Lösungswege ermöglichen, früher Gelerntes systematisch wiederholen und mit neuem Stoff verknüpfen und zur Übertragung auf neue Problemstellungen anregen“ (Universi- tät Bayreuth, SINUS-Transfer). Zwar sind die Module in ein festes Gesamtkon- zept eingebettet, dennoch lassen sie Raum für Ergänzungen und für die individu- elle Interpretation durch den Lehrer. Das Setzen von unterschiedlichen Schwer- punkten ist hierbei nicht nur erlaubt sondern ausdrücklich erwünscht. „Das SINUS-Programm gilt inzwischen als Referenzprogramm. Der erfolgreiche Ansatz von SINUS wird stufenweise verbreitet. Dazu legte die BLK ein überre- gionales Transfer-Programm auf“ (Universität Bayreuth, SINUS-Transfer), den SINUS-Transfer.

2.2 SINUS-Transfer

Das Programm SINUS-Transfer ist die Weiterentwicklung des Modellversuchs SINUS. Ziel ist die nachhaltige Qualitätsverbesserung des Unterrichts und die Förderung der mathematisch-naturwissenschaftlichen Kompetenz auf Seiten der Schüler sowie die Entwicklung von Ergebnissen (z.B. Materialien, Konzepte, Methoden) und Strukturen, die eine flächendeckende Verbreitung des Programms begünstigen (vgl. Universität Bayreuth, SINUS-Transfer).

Die Durchführung des Projekts vollzog sich in drei Wellen, welche jeweils zwei Jahre dauerten. „Zu Beginn des Schuljahres 2003/04 startete die erste Welle in 13 Bundesländern und ca. 700 Schulen“ (Universität Bayreuth, SINUS-Transfer). In der 2005 gestarteten zweiten Welle des SINUS-Transfer waren bereits über 1800 Schulen eingebunden. Die zentrale Direktion und Koordination des SINUS- Transfer wurde bis zu diesem Zeitpunkt - wie auch schon der BLK- Modellversuch SINUS - vom Leibniz-Institut für die Pädagogik der Naturwissen- schaften und Mathematik in Kiel unter der Leitung von Prof. Dr. Manfred Prenzel geführt. 2007 startete eine dritte Welle. Seit August des gleichen Jahres geschieht die Organisation und beabsichtigte Verbreitung der Ansätze zur Unterrichtsent- wicklung in Eigenverantwortung der einzelnen Länder.

2.3 PISA-Studie

PISA ist die internationale Schulleistungsstudie der OECD (Organisation for Eco- nomic Co-operation and Development) und gibt Auskunft darüber, inwieweit die Lernenden am Ende ihrer Pflichtschulzeit relevante Kenntnisse und Fähigkeiten für eine vollständige Teilhabe an der Gesellschaft erworben haben (vgl. OECD, PISA). Die Studien werden seit dem Jahr 2000 im Auftrag der Regierung in ei- nem dreijährigen Zyklus durchgeführt. „Untersucht werden die Leistungen von 15-jährigen Schülerinnen und Schülern sowie deren Lernmotivation, ihre Selbsteinschätzung und ihre Lernstrategien“ (OECD, PISA). Dabei steht nicht das sichere Beherrschen von Lerninhalten im Vordergrund, sondern die Fähigkeiten oder Kompetenzen der Schüler das vorhandene Wissen in der Praxis anzuwenden. Analysiert werden die drei Bereiche Lesekompetenz, mathematische Kompetenz sowie die naturwissenschaftliche Grundbildung. Weitere Untersuchungsgegen- stände der PISA-Studie stellen der Einfluss der sozialen Herkunft, des Ge- schlechts und des Migrationshintergrundes der Schüler auf deren Leistungsstand dar. „PISA bietet damit Orientierungspunkte zur Verwirklichung von Chancenge- rechtigkeit im Bildungssystem“ (OECD, PISA). Welche Schüler an den zweistündigen kognitiven Tests teilnehmen, wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Diese ausgewählten Schüler und Schülerinnen sind repräsentativ für alle 15- Jährigen der derzeitig 65 Teilnehmerländer.

Die Studien haben jeweils auf einem der drei Bereiche Lesekompetenz, Mathema- tik, Naturwissenschaften einen festgelegten Schwerpunkt, welcher im wiederkeh- renden Zyklus von neun Jahren verstärkt untersucht wird. Bei PISA 2003 sowie bei der Erhebung 2012 bildete die Erfassung der mathematischen Kompetenz den Kern der Analysen. Ziel hierbei war die Feststellung, in welchem Maße die Schü- ler über die sogenannte „Mathematical Literacy“ verfügen, welcher Ausdruck übersetzt „Mathematische Grundbildung“ bedeutet und die Entwicklung folgender Kompetenzen bei den Schülern meint:

-„Über eine tragfähige Basis an Grundwissen und -fertigkeiten verfügen,
-mathematische Konzepte flexibel und mit Einsicht auf kontextbezogene Probleme anwenden (modellieren),
-Sachverhalte nach mathematischen Gesichtspunkten beurteilen,
-mit Hilfe der Mathematik kommunizieren,
-die Rolle der Mathematik in der Welt erkennen“ (Ulm 2008, S.151).

Ob Schüler über mathematische Grundbildung verfügen, zeigt sich beim verstän- digen Umgehen mit Mathematik in inner- und außermathematischen Problemsi- tuationen und insbesondere beim Lösen von Aufgaben (vgl. IPN - Universität Kiel, PISA 2003).

Werfen wir also zunächst einen Blick auf die zentrale Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht und dessen Qualitätssteigerung durch die Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, welche aufgrund der Vergleichsstudien wie TIMSS oder PISA hervorgerufen wurde.

3. Qualitätssteigerung im Mathematikunterricht durch Aufgaben

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Bedeutsamkeit von Aufgaben im Mathematikunterricht. Einleitend soll hierzu auf die tragende Rolle von Mathematikaufgaben eingegangen und diese näher beleuchtet werden. Anschließend werden Merkmale vorgestellt, welche eine Aufgabe erfüllen sollte, um sie als „gute Mathematikaufgabe“ bezeichnen zu können.

3.1 Die Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht

Im Mathematikunterricht nehmen Aufgaben eine derart zentrale Stellung für das Lehren und Lernen ein, wie in kaum einem anderen Fach: Sei es „[...] als Anlass zum Entdecken mathematischer Zusammenhänge, zum Üben von Fertigkeiten, zum Vernetzen von Begriffen oder als Instrument der Leistungsbewertung“ (Büchter/Leuders 2009, S.9). Auch haben Mathematikaufgaben die Funktion, den Erwerb verschiedenster Kompetenzen, welche in den Bildungsstandards Mathe- matik gefordert werden, im Unterricht zu fördern. Das Fehlen oder Vorhanden- sein dieser mathematischen Kompetenzen auf Seiten der Schüler soll anhand von Aufgaben in Klassenarbeiten offengelegt werden. Wirft man einen Blick in die aktuellen Schulbücher für das Fach Mathematik, wird schnell ersichtlich, dass diese nahezu vollständig aus Aufgabensammlungen bestehen. Des Weiteren wer- den den Schülern neue Inhalte über Aufgaben nähergebracht. Meist wird unter Zuhilfenahme einer Beispielaufgabe in ein mathematisches Themengebiet einge- führt, welches dann durch das Bearbeiten einer Vielzahl an Übungs-, und Anwen- dungsaufgaben gefestigt werden soll (siehe Anhang S.85 f.). In gewisser Weise können Aufgaben also als Werkzeug zur Erschließung der Mathematik verstanden werden, weshalb sie auch als Ausgangspunkt zum Mathematiktreiben anzusehen sind. „Angesichts dieser umfassenden Bedeutung von Aufgaben für den Mathe- matikunterricht ist es nicht verwunderlich, dass viele Initiativen und Projekte der letzten Zeit den Hebel zur Sicherung der Unterrichtsqualität eben bei der Aufga- benkultur ansetzen“ (Leuders 2005, S.95).

Dabei ist allerdings nicht jede Aufgabe für jeden Zweck gleichermaßen geeignet. „Aufgaben können verschiedene Ziele haben und dementsprechend unterschiedliche didaktische Funktionen übernehmen“ (Demuth/Walther/Prenzel 2011, S.25). Für einen angemessenen Einsatz einer Aufgabe muss also nach der konkreten Unterrichtssituation und ihrer Funktion, welche die Aufgabe jeweils erfüllen soll, gefragt werden. „Soll die Aufgabe etwa

-zum Erkunden, Entdecken und Erfinden dienen?
-zum Sammeln, Sichern und Systematisieren dienen?
-zum Üben, Vernetzen und Wiederholen dienen?
-zur Diagnose von Fähigkeiten und Vorstellungen dienen?
-zum Überprüfen von Leistungen dienen?“ (Blum/Drüke- Noe/Hartung/Köller 2010, S.82).

„Eine solche Einteilung nach der spezifischen Funktion, die eine Aufgabe über- nehmen soll, kann helfen, diese konsequent ihrem Zweck entsprechend zu optimieren“ (Blum/Drüke-Noe/Hartung/Köller 2010, S.83).

Die hier angeführten Bereiche sollen allerdings nicht als strikt voneinander ge- trennte Unterrichtsphasen verstanden werden; es können sehr wohl Überschnei- dungen vorliegen. Dies ist sogar überaus begrüßenswert: Beispielsweise ist ein Üben, das mit eigenen Erkundungen und Entdeckungen der Schüler verbunden ist weitaus wirksamer, als ein Üben ohne diese selbsttätigen Erfahrungen. Da der Mathematikunterricht in zwei Grundsituationen gegliedert werden kann, die des Lernens und in die des Prüfens - diese Trennung wird auch im BLK- Gutachten zur Vorbereitung von SINUS stark gefordert - ist es nur sinnvoll, dass auch Aufgaben hinsichtlich dieser Bereiche in Lern- und Leistungsaufgaben diffe- renziert werden: Die drei ersten der bereits genannten fünf zentralen Situationen - das Erkunden, das Sammeln und das Üben - können als Lernsituationen angese- hen werden, wohingegen die letzteren zwei Situationen - die Diagnose und das Überprüfen - Leistungssituationen beschreiben. „Beide Situationen stellen unter- schiedliche Anforderungen an die Lehrkraft und die Lernenden. [Die nachfolgen- de Tabelle] zeigt einige grundsätzliche Anforderungen an Aufgaben in diesen beiden Situationen“ (Demuth/Walther/Prenzel 2011, S.25).

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Tabelle 1: Unterschiedliche Anforderungen an Aufgaben (Demuth/Walther/Pren- zel 2011, S.25)

Innerhalb der Lernsituationen muss den Schülern Gelegenheit gegeben werden, eigenständig an Aufgaben zu arbeiten und selbstständig Neues entdecken zu kön- nen, wobei auch Fehler gemacht werden dürfen. Geeignete Aufgaben hierfür müssen also ein eigenständiges Lernen ermöglichen und vielfältige Lösungen sowie individuelle Lernwege zulassen, damit gewisse Kompetenzen und Fertig- keiten aufgebaut werden können. In Leistungssituationen hingegen ist der sichere Umgang und das richtige Anwenden der erworbenen Kompetenzen der Schüler von Belang. Aufgaben für das Leisten „[...] müssen entsprechend klare Anforde- rungen stellen und möglichst objektiv Rückschlüsse auf das Leistungsvermögen der Schülerinnen und Schüler ermöglichen“ (Büchter/Leuders 2009, S.14).

Hierzulande werden Lern- und Leistungssituationen häufig miteinander vermischt. „Das hat für den Lernprozess unheilvolle Auswirkungen, weil beide unterschiedlichen psychologischen Gesetzmäßigkeiten unterliegen:

-Wer sich in einer Lernsituation wähnt, will Neues lernen, Lücken schlie- ßen, etwas verstehen.

-Wer sich in einer Leistungssituation wähnt, will Erfolge erzielen und Misserfolge vermeiden“ (Leisen 2010, S.5 f.).

Ebenso lässt sich die Notwendigkeit diese beiden Aspekte voneinander zu trennen aus lernpsychologischer, neurobiologischer sowie auch aus fachdidaktischer Sicht begründen. „Aus der Lernpsychologie und Neurobiologie ist bekannt, dass es Rahmenbedingungen gibt, die Lernprozesse hemmen“ (Büchter/Leuders 2009, S.165): In Situationen, in denen die Schüler Leistungsdruck, Zeitdruck oder Angst verspüren, kann nicht effektiv und optimal gelernt werden. „Lernpsychologisch und fachdidaktisch lässt sich zeigen, dass Lernprozesse in vielen Phasen divergent verlaufen und Fehler ausdrücklich zugelassen werden sollen“ (Büchter/Leuders 2009, S.165). Von den Schülern begangene Fehlversuche und unterschiedliche Vorgehensweisen können sogar die Auslöser bestimmter Unterrichtsprozesse sein. Besonders hinsichtlich dieses Aspekts unterscheiden sich Lernsituationen demnach stark von Leistungssituationen, in welchen das Vermeiden von Fehlern angestrebt wird und als oberste Priorität die richtige Lösung der Aufgabe anzuse- hen ist (vgl. Büchter/Leuders 2009, S.165).

Daraus erwächst die Konsequenz, Lernsituationen von Leitungssituationen abzu- grenzen. Schon Franz Emanuel Weinert forderte 1999: „ ‚ Erfolgreicher Unterricht braucht beides, und zwar im Bewusstsein der Schüler möglichst separiert: viele entspannte Gelegenheiten zum intensiven Lernen und genügend anspruchsvolle Leistungssituationen ’ “ (Leisen 2010, S.6).

In Deutschland liegt der Fokus im Unterricht derzeit vermehrt auf Leistungssitua- tionen und weniger auf Lernsituationen (vgl. Leisen 2010, S.5). Bevor die ma- thematischen Kompetenzen der Schüler und Schülerinnen in Leistungsuntersu- chungen gemessen bzw. gewertet werden können, muss jenen allerdings zunächst die Gelegenheit gegeben werden, die angestrebten Kompetenzen in Lernsituatio- nen zu erwerben oder die bereits bestehenden Kompetenzen weiterzuentwickeln. Für einen guten Unterricht sind also gute Lernaufgaben erforderlich. Zwar sind gute Mathematikaufgaben noch keine Garantie für einen guten Mathematikunter- richt. „Das Potenzial, das in einer Aufgabe steckt, kann durch einen falschen Ein- satz zunichte gemacht werden. Umgekehrt ist ein guter Unterricht aber darauf angewiesen, für die unterschiedlichen Funktionen und die vielfältigen mathemati- schen Tätigkeiten über geeignete Aufgaben zu verfügen“ (Büchter/Leuders 2009 S.13 f.). Aufgaben sind also unverzichtbare Bestandteile für ein erfolgreiches und vielschichtiges Lernen in einem guten Unterricht. Somit hängt die Qualität des Unterrichts in erheblichem Maße von der Art der Aufgabe ab, welche nur gestei- gert werden kann, wenn an einer weiterentwickelten Aufgabenkultur angeknüpft wird (vgl. Selter, Projekt PIK AS, Haus 7: Gute Aufgaben 2010, S.1).

Da Aufgaben folglich eine solch zentrale Rolle im Mathematikunterricht spielen, liegt die Frage nach der „guten Aufgabe“ nahe.

3.2 Was ist eine „gute Aufgabe“?

Was versteht man unter einer „guten Mathematikaufgabe“? Diese auf den ersten Blick doch so simpel erscheinende Frage ist bei genauerer Überlegung allerdings gar nicht so einfach zu beantworten. Aufgaben erfüllen, wie in Kapitel 3.1 bereits erwähnt wurde, die verschiedensten Funktionen, weshalb eine Aufgabe im Hin- blick darauf auch beurteilt werden muss. „In diesem Sinn muss die Frage nach der ‚guten Aufgabe’ verstanden werden als Frage nach der für einen bestimmten Zweck geeigneten Aufgabe“ (Büchter/Leuders 2009, S.9). Wie im vorausgegan- genen Kapitel ausführlich erläutert wurde, kann eine Aufgabe, die ideal dazu ge- eignet ist bei den Schülern Lernprozesse anzuregen, zur Wiederholung und eben- falls zur Leistungsüberprüfung völlig ungeeignet sein. In gleicher Weise kann aber auch eine, für eine Klassenarbeit bewährte Aufgabe unbrauchbar sein, damit Schüler daran neue Methoden und Konzepte entwickeln. „Das Potential einer Aufgabe entfaltet sich erst im methodischen Umgang mit ihr“ (Leuders 2005, S.96).

Dennoch gibt es eine Reihe von Aspekten, durch deren Variation man auf die Eignung einer Aufgabe einwirken kann.

Nach Büchter und Leuders zeichnen sich „gute Aufgaben“ dadurch aus, dass die Schüler anhand dieser, vielfältige entdeckende Erfahrungen machen können und ihnen ein handelnder Zugang ermöglicht wird. Dabei ist es wichtig, dass beson- ders den schwächeren Schülern der Weg zum Einstieg in eine Aufgabe geebnet wird, damit sich auch diese aktiv in den Unterricht einbringen können. Die Auf- gaben sollen außerdem nicht künstlich konstruiert wirken, sodass die Lernenden die Bearbeitung als sinnloses Unterfangen erleben. Des Weiteren sollen die Schü- ler anhand der Aufgaben zum aktiven Problemlösen angeregt werden. Zwar sollen bei den Lernern dadurch verschiedene mathematische Tätigkeiten angeregt wer- den, auf eine reine Wissensabfrage muss allerdings verzichtet werden. Daneben ermöglichen gute Aufgaben Lösungen und Ansätze auf unterschiedlichen Ni- veaus. Die erarbeiteten Ergebnisse sollen von den Lernenden anschließend argu- mentativ begründet werden können. Hierbei kann auch einem Austausch der Er- gebnisse zwischen den Schülern Platz gegeben werden, damit diese ihre sozialen wie auch kommunikativen Fähigkeiten erweitern und lernen mathematische Ge- danken zu verbalisieren. Das anhand der Aufgaben erworbene Wissen sollte ver- netzt werden, damit es den Lernenden auch in anderen Kontexten zur Verfügung steht und angewendet werden kann (vgl. Büchter/Leuders 2009, S.9 ff.).

Diesen Aspekten übergeordnet sind einige übergreifende Merkmale, die jeweils einen spezifischen Beitrag zur Aufgabenqualität leisten. Hierzu gehören die Authentizität einer Aufgabe, ihre Offenheit und ihr Differenzierungsvermögen. „Jede Aufgabe lässt sich anhand eines jeden dieser Merkmale einordnen, ihre Charakteristika und Qualität hiermit besser verstehen“ (Büchter/Leuders 2009, S.73). Auch wenn es als erstrebenswert erscheint, dass eine Aufgabe all diese Merkmale enthält, so ist es jedoch weder möglich noch sinnvoll, dass jede Aufgabe alle drei auf einmal trägt (vgl. Büchter/Leuders 2009, S.73).

Im Folgenden werden nun die Begriffe der Authentizität und des Differenzie- rungsvermögen als Merkmale einer Aufgabe näher erläutert. Da das Merkmal der Offenheit von Aufgaben den Kernpunkt dieser Arbeit darstellt, wird dieses der Vollständigkeit halber nur knapp erwähnt und findet in einem separaten Kapitel besondere Beachtung (vgl. Kapitel 4, S.21 ff.).

3.2.1 Authentizität

An dieser Stelle ist es zunächst von Interesse zu klären, was es überhaupt bedeu- tet, wenn eine Aufgabe als authentisch bezeichnet wird: Schlägt man im Duden den Begriff „authentisch“ einmal nach, so findet man dafür folgende Erklärung „echt; den Tatsachen entsprechend und daher glaubwürdig“ (Bibliographisches Institut GmbH, Duden online). Dies meint, dass eine Mathematikaufgabe als au- thentisch angesehen werden kann, wenn diese den Schülern als echt, also als rea- listisch und glaubwürdig erscheint. Außerdem müssen sie die „[...] Schülerinnen und Schüler zu mathematischen Tätigkeiten anregen, die typisch für die Entste- hung und Anwendung von Mathematik sind“ (Büchrer/Leuders 2009, S.86). Dar- über hinaus sind „[i]n einem authentischen Kontext die verwendeten Daten einer wirklichen Situation entnommen und das Problem entspricht einer relevanten Fra- gestellung“ (Möwes-Butschko 2010, S.23).

Eine Vielzahl an Mathematikaufgaben, die in den Schulbüchern zu finden sind, werden zwar zum Teil in realistisch wirkende Kontexte eingekleidet, sind jedoch in keiner Hinsicht authentisch. Es reicht für die Authentizität einer Aufgabe nicht aus, diese mit fiktiven Personen und Dingen zu bestücken (vgl. Leuders 2005, S.101).

Beispiel 1: Tintenkleckse

„Ein Handwerkermeister hat seinem Lehrling auf der Baustelle die Maße für eine dreieckige Holzplatte aufgeschrieben. Als der Lehrling den Zettel in der Werkstatt auspackt, bemerkt er, dass sein Stift ausgelaufen ist und nun einige Stellen nicht mehr lesbar sind. Berechne die fehlenden Größen!“ (Leuders 2005, S.100)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwar ist diese Aufgabe in eine kreative Geschichte verpackt, doch wirkt sie bei genauerer Betrachtung alles andere als realistisch. Diese oberflächliche Einklei- dung bleibt auch den meisten Schülern nicht verborgen: „ ‚Wozu soll so ein Holz- dreieck überhaupt gut sein? Hätte der Meister wirklich die Winkel aufgeschrieben und nicht vielleicht eher die Höhe? Braucht man überhaupt die anderen Größen, das Dreieck kann man doch schon mit drei Angaben aufs Holz zeichnen? Der Lehrling soll doch einfach den Meister auf seinem Handy anrufen!’“ (Leuders 2005, S.101). Mit Verweigerung der Aufgabenbearbeitung wird man allerdings kaum rechnen müssen, da die Lernenden an das Lösen solch künstlich konstruier- ter Aufgaben gewohnt sind. Der zu bearbeitende Auftrag wird von ihnen aus dem „Pseudokontext“ (Büchter/Leuders 2009, S.87) herausgefiltert, berechnet und in einer entsprechenden Antwort formuliert. Werden vorherrschend solche unau- thentischen Aufgaben im Unterricht behandelt, entwickeln die Schüler mit der Zeit ein verzerrtes Bild von Mathematik. „Das Lösen von Mathematikaufgaben gerät zu einem künstlichen und irrelevanten Spiel, dessen Regeln gelernt, aber nicht verstanden werden müssen“ (Büchter/Leuders 2009, S.75). Die Lernenden sehen Mathematikaufgaben als lediglich für die Schule konstruiert an, welche auch nur dort zum Tragen kommen. Dies sollte aber nicht der Fall sein! Mathema- tikaufgaben sollen einen glaubwürdigen Lebensbezug zur realen Welt der Schüler herstellen, sodass diese in der Bearbeitung einen Nutzen sehen und die Mathema- tik als ein nützliches Werkzeug zum Lösen von Alltagsproblemen anerkennen. „Der [...] Idealfall liegt dann vor, wenn die Fragestellung von Schülern aufge- bracht oder zu ihrer eigenen gemacht wird, und die Ergebnisse der Beschäftigung die Lebenswelt der Schüler verändern“ (Leuders 2005, S.108). Damit bei den Lernern ein stimmiges Mathematikbild entsteht, müssen „[...] die mit der Aufgabe vermittelten Inhalte und Methoden die Bedeutsamkeit der Mathematik für die Gegenstände und Prozesse des täglichen Lebens angemessen wiedergeben“ (Leu- ders 2005, S.101).

Beispiel 2: Schulfest

„ Ihr habt für das nächste Schulfest die Aufgabeübertragen bekommen, euch um die Getränkeversorgung zu kümmern. Wie viel Liter Getränke würdet ihr einkau fen? Was passiert, wenn plötzlich mehr Gäste als erwartet kommen und nicht nachgekauft werden kann? Wie viel bleibt für jedenübrig? Wie hängt das Ergeb nis von der Gästezahl ab? “ (Büchter/Leuders, 2009, S.122)

Die Ausgangssituation dieser Aufgabe kann als sehr authentisch angesehen wer- den. Feste gibt es in der Schullaufbahn eines jeden Schülers zu Genüge. Die Mit- wirkung der Lernenden ist dabei eine Selbstverständlichkeit. In diesem Fall sind die Schüler für die Versorgung der Gäste mit Getränken zuständig. Wie in der Realität gibt es keine präzisen Angaben für solche Überlegungen. Da also jegliche Daten der Aufgabenstellung fehlen, sind die Schüler dazu angehalten, eigene Re- cherchen zu betreiben und Entscheidungen über die Annahmen der Rechnung zu treffen. Die Lernenden müssen selbstständig das Modell, „[...] das die Situation beschreibt, erstellen und auf seine Tauglichkeit überprüfen“ (Büchter/Leuders 2009, S.122). Die gewonnen Ergebnisse sollen hierbei keine präzise genauen Zah- len sein, da die Schüler für diese Aufgabe lediglich eine Überschlagsrechnung anstellen können.

Neben gewöhnlichen Zeitungen und diversen Zeitschriften stellt auch das Internet eine wahre Fundgrube an authentischen Aufgaben dar. Hierbei ist die „[...] Au- thentizität so offensichtlich, dass die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass sie Dinge bearbeiten, die es tatsächlich in der Realität gibt und die gestellte Aufgabe oder das formulierte Problem somit eine wirkliche Fragestellung ist, die auch au- ßerhalb des Mathematikunterrichts ihre Berechtigung hat’“ (Möwes-Butschko 2010, S.25).

3.2.2 Differenzierungsvermögen

Das Differenzierungsvermögen stellt ein weiteres Qualitätsmerkmal von Aufgabenstellungen dar.

Eine Aufgabe mit Differenzierungsvermögen bietet den Schülern die Möglichkeit mit unterschiedlichen Fragestellungen auf unterschiedlichen Niveaus und mit ver- schiedenen Methoden mathematisch tätig zu werden (vgl. MUED e.V. 2009, S.5). Im Allgemeinen wird zwischen zwei schulorganisatorischen bzw. didaktischen Arten der Differenzierung unterschieden: Der äußeren und der inneren Differen- zierung. Mit dem Prinzip der äußeren Differenzierung - welches an dieser Stelle nur der Vollständigkeit halber knapp erwähnt und im nachfolgenden Kapitel ver- nachlässigt wird, da die Differenzierungsmöglichkeiten anhand von Aufgaben betrachtet werden sollen - innerhalb einer Schule ist gemeint, dass alle Schüler mit bestimmten Merkmalen, wie beispielsweise dem Alter, für eine festgesetzte Dauer in eine Jahrgangsstufe zusammengefasst werden. Als Intention dieser Stra- tegie ist die bessere Förderung leistungshomogener Schüler anzusehen. In der Realität ist die homogene Lerngruppe allerdings Fiktion (vgl. Büchter/Leuders 2009, S.103). „Ein guter Unterricht muss sich daher mit den individuellen Vor- aussetzungen und dem unterschiedlichen Leistungspotenzial in einer Klasse aus- einandersetzen“ (Büchter/Leuders 2009, S.103). Infolgedessen ist die innere Dif- ferenzierung, welche innerhalb eines Klassenverbandes stattfindet und die weit- gehende Anpassung des Unterrichts an die Schüler impliziert, eine logische Kon- sequenz. Aufgrund des unterschiedlichen Leistungsstands, der unter den Schülern besteht, scheint es nicht sinnvoll, an alle Lernenden die gleichen Anforderungen zu stellen. Für die Einen bedeutet dies eine Überforderung, für die Anderen eine Unterforderung. „ Eine Aufgabe für alle Schüler, die nur eine Lösung zulässt, die nur auf einem Weg gefunden werden kann, muss in dieser Hinsicht unweigerlich unproduktiv sein“ (Büchter/Leuders 2009, S.103). Die Differenzierung durch Aufgaben, den jeweiligen Leistungen und Fähigkeiten der Schüler entsprechend, ist eine pädagogische Maßnahme durch den Lehrer, um die Individualität der Ler- nenden zu berücksichtigen. Dabei gibt es unterschiedliche Formen dies zu reali- sieren: Eine Möglichkeit der Differenzierung durch Aufgaben stellt die der gestuf- ten Anforderung dar. „Hier wird eine Aufgabe derart in Teilaufgaben oder Einzel- aufträge zerlegt, dass das Anforderungsniveau kontinuierlich steigt“ (Büch- ter/Leuders 2009, S.104). Die vom Lehrer vorgegebenen Aufträge sollen trotz oftmals sehr hoher Anforderungen von allen Schülern bearbeitet werden. Dabei „[...] sollten die Aufgaben nicht einfach in ihren technischen Anforderungen schwieriger werden, sondern es sollte sowohl technische als auch verständnisori- entierte Aufgaben auf unterschiedlichen Niveaus geben“ (Büchter/Leuders 2009, S.105).

Beispiel 3: Berechne.

b * b2 ; b2 * b3 ; b5 * b3 * b4 ; b-2 * b-1 ; b-6 * b-4 * b-7

(vgl. Büchter/Leuders 2009, S.105)

Eine andere Methode ist das Differenzieren durch parallele Aufgaben: Die Schü- ler erhalten bei diesem Verfahren die Möglichkeit aus einer Anzahl von Aufgaben mit ähnlicher Struktur, selbst diejenigen auszuwählen, die sie entsprechend ihrer eigenen Fähigkeitseinschätzung bearbeiten wollen. Hierbei ist darauf zu achten, dass sich die einzelnen Aufgaben bezüglich ihrer Schwierigkeit voneinander un- terscheiden.

Beispiel 4: Rechteckzahlen erforschen

-„organisiert euch in Partnerarbeit.
-Am Pult liegt je ein Briefumschlag für jede Zahl von 1 bis 50. Im Brief- umschlag mit der Nummer 39 finden sich z.B. 39 Pappquadrate. Wähle einen Briefumschlag.
-Versucht mit den Quadraten im Briefumschlag ein Rechteck zu legen. Wenn ihr eines gefunden habt, schreibt seine Breite und Höhe auf den Briefumschlag.
-Versucht dann noch andere Rechtecke zu bilden und notiert auch deren Breite und Höhe.
-Wenn ihr glaubt, dass ihr keine mehr findet, legt die Quadrate zurück in den Briefumschlag, legt ihn wieder ins Fünfzigerfeld am Pult und sucht euch einen neuen Umschlag.“ (Büchter/Leuders 2009, S.109)

Unter bestimmten Umständen kann auch schon eine einzelne Aufgabenstellung zu einem differenzierten Arbeiten führen. Bieten diese nämlich den Schülern die Gelegenheit, eine Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen anzugehen, so handelt es sich hierbei um selbstdifferenzierende Aufgaben. Bei der Bearbeitung von selbst- differenzierenden Aufgaben können „[...] alle Schülerinnen und Schüler mit un- terschiedlichen Fähigkeiten, Zugängen und Arbeitsweisen Ergebnisse erzielen und in den Unterrichtsprozess einbringen [...]“ (Büchter/Leuders 2009, S.111).

Beispiel 5: 35 Cent

Auf wie viele verschiedene Arten kann man 35 Cent aus nur 2-, 5- und 10-Cent- Stücken zusammensetzen? (vgl. Leuders 2010, S. 301)

Hinsichtlich der inneren Differenzierung kann außerdem noch zwischen der quali- tativen und der quantitativen Differenzierung unterschieden werden: Die qualita- tive Differenzierung ist dabei die Differenzierungsform, „[...] bei der die unter- schiedlichen intellektuellen Anlagen und Fähigkeiten der Schüler berücksichtigt werden [...]“ (Gerfen, Differenzierung, S.6). Sie orientiert sich also am individuel- len Leistungsniveau der Schüler. Zur Bearbeitung werden den Lernenden Aufga- ben gestuft nach dem Schwierigkeitsgrad angeboten. Die Aufgaben für leistungs- fähigere Schüler besitzen in der Regel eine höhere Komplexität und werden in Schulbüchern oftmals besonders gekennzeichnet. Durch die qualitative Differen- zierung können die Lernenden hinsichtlich des eigenen Leistungsvermögens indi- viduell gefördert werden.

„Unter quantitativer Differenzierung versteht man die Differenzierungsform, bei der die Schüler je nach ihrer Schnelligkeit im Lösen der Aufgaben eine unter- schiedliche Anzahl von Aufgaben bearbeiten“ (Gerfen, Differenzierung, S.7). Der Schwierigkeitsgrad wird hierbei also vernachlässigt. Stattdessen wird bei der quantitativen Differenzierung das unterschiedliche Arbeitstempo der Schüler be- rücksichtigt. „In der Unterrichtspraxis ist sie einfach zu realisieren, indem der Lehrer ein ausreichendes Aufgabenrepertoir, etwa aus dem Schulbuch, zur Verfü- gung stellt und die Schüler nach ihrem eigenen Arbeitstempo arbeiten lässt“ (Ger- fen, Differenzierung, S.7 f.). Ein Unterricht bestehend aus rein qualitativer Diffe- renzierung ist ebenso problematisch, wie ein Unterricht mit überwiegenden Pha- sen quantitativer Differenzierung. Anzustreben ist eine Kombination aus qualita- tiver und quantitativer Differenzierung.

3.2.3 Offenheit

Eine größere Offenheit von Aufgaben im Mathematikunterricht wird derzeit von vielen Ansätzen zur Weiterentwicklung der Aufgabenkultur gefordert (vgl. Büchter/Leuders 2009, S.88). Zu diesem Aspekt wird in den nachfolgenden Kapiteln vertieft Stellung bezogen.

4. Offene Aufgaben im Mathematikunterricht

Das folgende Kapitel soll Aufschluss über offene Aufgaben geben: Nach der begrifflichen Erklärung und Abgrenzung offener Aufgaben, sollen sowohl unterschiedliche Aufgabenvariationen wie auch verschiedene Möglichkeiten der Öffnung von bereits bestehenden Aufgaben vorgestellt werden.

4.1 Begriffserklärung

Im Gegensatz zu geschlossenen Aufgaben ist bei den offenen Aufgaben der Lö- sungsweg nicht vorgegeben und somit eine eindeutige Lösung nicht unbedingt erforderlich. Offene Aufgaben lassen mehrere Vorgehensweisen sowie Lösungs- wege zu und geben Raum für eigene Fragestellungen. Die Aufgaben sollen die Schüler zu wesentlichen Überlegungen anregen und als Diskussionsstoff dienen. Das Lösen erfordert inhaltliche sowie auch qualitative Argumentation. Somit fin- det eine vertiefende Auseinandersetzung mit dem Lehrstoff statt. Dabei dürfen auch scheinbare Irrwege eingeschlagen werden. Einen wichtigen Aspekt beim Umgang mit offenen Aufgaben stellt die Ermunterung der Schüler dar individuel- le Lösungswege zu finden, diese in eigene Worte zu fassen und dann mit den Mit- schülern wie auch der Lehrperson zu diskutieren (vgl. Landesbildungsserver Ba- den-Württemberg, Offene Aufgaben).

4.2 Aufgabentypen

In der Literatur findet man verschiedenste Klassifikationsschemata von offenen Aufgaben: Manchmal werden diese lediglich mit dem Überbegriff „offene Aufga- ben“ betitelt, einigen Autoren ist dies aber zu unpräzise, weshalb die Aufgaben von jenen noch einmal in - durch auszeichnende, einheitliche Merkmale - Unter- gruppen aufgliedert werden. Allerdings bestehen auch hier von Verfasser zu Ver- fasser teils große Unterschiede. Den meisten dieser Klassifizierungen ist jedoch gemein, dass sie die aus der Problemlösepsychologie bekannte Beschreibung ei- nes Problems durch Anfangszustand, Zielzustand und eine Transformation nut- zen. Dabei meint Transformation die Überführung des Anfangszustands in den Zielzustand (vgl. Greefrath 2010, S.73).

In nachfolgender Tabelle werden Aufgabentypen danach unterschieden, wie offen sie in Bezug auf die ebengenannten Unterscheidungsmerkmale sind. Die Aufgaben wurden hierbei nach Klarheit von Ausgangs- und Endzustand eingeteilt sowie nach Klarheit des Lösungsverfahrens. Der Übergang von einem Aufgabentyp zum anderen besitzt fließenden Charakter.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Klassifikationsschemata für Offenheit (vgl. Büchter/Leuders 2009, S.93; Greefrath 2010, S.75)

Die beiden ersten Typen sind die wohl bekanntesten Aufgabenformen des alltäglichen Mathematikunterrichts. Meist werden direkt nach dem Einstieg in ein neues Thema bereits gelöste Beispielaufgaben zur Veranschaulichung betrachtet, gefolgt von zu bearbeitenden geschlossenen Aufgaben, an denen ein bestimmtes Verfahren eingeübt und automatisiert werden soll.

Beispiel 6: Beispielaufgabe:

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