Bewertung von Collateralized Debt Obligations mit Hilfe verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle


Diplomarbeit, 2014

97 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Collateralized Debt Obligation
2.1 Kreditderivate
2.2 Credit Defauls Swap
2.3 synthetischer CDO
2.4 iTraxx

3 Kreditrisikomodellierung
3.1 mathematische Grundlagen
3.2 Heavy-Tail-Verteilungen
3.3 Portfolio-Modellierung
3.4 Intensitätsmodell
3.5 Verlustverteilung eines CDOs
3.6 Bewertung von CDOs

4 Modellierung von Abh ängigkeitsstrukturen
4.1 Korrelation
4.2 Copula-Funktionen
4.2.1 Gauss-Copula
4.2.2 Gumbel-Copula
4.2.3 Tail Dependence
4.3 Faktor-Copula-Modelle
4.3.1 Grundlagen
4.3.2 Gauss-Copula-Modell
4.3.3 Student-t-Copula-Modell
4.3.4 NIG-Copula-Modell
4.4 Modellvergleich
4.5 Innovationen zum 1-Faktor-Copula-Modell .
4.5.1 Gamma-Verteilung
4.5.2 Alpha-stabile Verteilungen
4.6 Zusammenfassung

5 alternative Modellans ätze
5.1 Erweiterungen des 1-Faktor-Copula-Modells
5.1.1 Erhöhung der stochastischen Faktoren
5.1.2 Regime Switching
5.1.3 HFP-Ansatz
5.2 Alternative Berechnungsmodelle

6 Fazit

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abk ürzungsverzeichnis

Literaturverzeichnis

Anh änge
A Zusammensetzung des iTraxx Europe Serie 15
B Durchschnittliche CDS-Werte
C Berechnungen der Upfront-Zahlungen 2011
D Berechnungen der Upfront-Zahlungen 2013
E Matlab-Codes zur Berechnung der Upfront-Zahlungen
F Matlab-Codes zur Erstellung der Abbildungen

1 Einleitung

Kreditderivate und alle damit im Zusammenhang stehenden Komponenten wurden seit je her kritisch betrachtet und galten oft als Sinnbild für spekulative und undurchschaubare Finanz- geschäfte. Die weltweite Wirtschaftskrise, welche 2007 ihren Anfang nahm, verschlechterte diesen Ruf zusätzlich. Die platzende Immobilienblase der USA weitete sich zu einer schweren Rezession in vielen Ländern aus. Besonders den synthetischen Collateralized Debt Obligations wird daran eine große Mitschuld gegeben. Der Grund hierfür ist, dass diese ohnehin schwer be- wertbaren Finanzinstrumente oft durch aufwändige Konstrukte weiter in einander verschachtelt wurden, so dass eine realistische Einschätzung des tatsächlichen Risikos nahezu unmöglich ist.

Auch wenn sich die Weltwirtschaft und insbesondere der mitteleuropäische Raum nach und nach wieder von diesem Schlag erholt, bleibt die Tatsache bestehen, dass sich in der Vergangenheit zu wenig mit adäquaten Modellen zur Bewertung von synthetischen Collateralized Debt Obligations befasst wurde. Besonders die Tatsache, dass zwar der Ruf dieser Finanzinstrumente auf einem neuen Tiefpunkt, das entsprechende Handelsvolumen aber so hoch ist wie nie zuvor, belegt die Aktualität dieses Themas.

In den letzten Jahren wurden hierzu einige neue mathematische Verfahren entwickelt und be- stehende Modelle weiter verfeinert. Der hierbei aktuell am häufigsten verwendete Ansatz ist das von Oldrich Vasicek vorgestellte Faktor-Copula-Modell. Ziel dieser Diplomarbeit ist es, dieses genauer zu behandeln und zu beleuchten. Hierzu sollen, nach einer kurzen Einführung in die benötigten Kapitalmarktprodukte, zunächst stochastische Grundlagen zur Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen geschaffen werden. Darauf aufbauend kann die Funktionsweise des Faktor-Copula-Modells verständlich gemacht und aktuelle Variationen vorgestellt werden. Anschließend sollen zwei neue Erweiterungen zu diesem Modell entwickelt und mit den be- kannten Anwendungen verglichen werden.

Die qualitative Bewertung solcher Modelle kann nur anhand von real existierenden Daten erfol- gen. Daher werden im Rahmen dieser Diplomarbeit zu allen behandelten Verfahren möglichst realitätsnahe Berechnungen durchgeführt und die Ergebnisse mit aktuellen Marktwerten aus den Jahren 2011 und 2013 verglichen. Neben dem Fazit wird diese Arbeit mit einem Ausblick auf aktuelle Weiterentwicklungen und Perspektiven zu diesem Bereich abgeschlossen.

2 Collateralized Debt Obligation

Ein Collateralized Debt Obligation, im Folgendem kurz CDO genannt, ist eine spezielle Form eines Kreditderivats. Um dieses näher erklären und untersuchen zu können, sollen zunächst einige Grundlagen vermittelt werden. Die anschließenden Kapitel werden sich dann auf die konkrete mathematische Bewertung konzentrieren. Hierzu wird zunächst die Klasse der Kredit- derivate an sich beleuchtet, bevor anschließend auf die Sonderformen der Credit Default Swaps (CDS) und schließlich auf die CDOs eingegangen wird. Abgeschlossen wird dieses Kapitel mit dem iTraxx-Index, welcher für die anschließenden Bewertungen noch eine wichtige Rolle spielen wird.

2.1 Kreditderivate

Kreditderivate (im Englischen: Credit Derivates) sind Teil des allgemeinen Kapitalmarktes. Dieser beinhaltet alle mittelfristigen und langfristigen Transaktionen mit einer Laufzeit von mindes-tens einem Jahr. Die klassischen Vertreter hierbei sind die Aktien, also Beteiligungen an Aktiengesellschaften und Anleihen. Hinweise auf diese Art von verzinsten Geldgeschäften gibt es schon aus dem 18 Jh. n. Chr., wobei die älteste tatsächliche Aktie über 400 Jahre alt ist. (Vgl. [SCHIEFER 1995], S. 14) Im Gegensatz zu diesen Finanzinstrumenten bilden die Kre- ditderivate einen relativ neuen Bestandteil des Kapitalmarktes. Erste Formen hiervon traten demnach erst Anfang 1990 auf. (Vgl. [BURGHOF ET AL. 2005], S. 40) Seit dieser Zeit hat die Bedeutung von Kreditderivaten gemessen am gesamten weltweiten Handelsvolumen bis zur Finanzkrise im Jahre 2007 und darüber hinaus enorm an Bedeutung gewonnen. Abbildung 1 zeigt diese Entwicklung im Vergleich zum weltweiten Bruttoinlandsprodukt (BIP). Der Begriff

Derivat stammt von dem lateinischem Wort

”derivare“ab,wassovielwie ”ableiten“bedeutet.

Derivate umfassen alle Produkte, die sich aus den oben genanten klassischen Bestandteilen des Kapitalmarktes, wie Aktien, Anleihen, Fondsanteilen usw. ableiten lassen. Die bekanntesten und gleichzeitig bedeutendsten Vertreter sind:

- unbedingte Termingeschäfte wie z.B. Forwards und Futures
- bedingte Termingeschäfte wie z.B. Optionen
- Credit Default Swaps, Collateralized Debt Obligation und sonstige Derivate

(Vgl. hierzu und im Folgendem [REITZ 2011], S. 2-13). Im Allgemein bezeichnet ein Derivat einen Vertrag zwischen zwei Parteien (meist Käufer und Verkäufer) über den zukünftigen Kauf bzw. Verkauf eines Finanzinstrumentes. Er kann allerdings auch über den Austausch von noch ausstehenden Zahlungen abgeschlossen werden. Ein großer Teil dieser Geschäfte wird hierbei ”Over-the-counter“(engl.:überdenTresen;OTC),alsoaußerhalbderBörsegetätigt.Amdeut- lichsten lässt sich ein Derivat am Beispiel des bereits erwähnten Forward demonstrieren. Hier- bei vereinbaren zwei Parteien ein festgelegtes Produkt (das sog. Underlying) in einer bestimm- ten Menge (die sog. Kontraktgöße) zu einem festen Preis und Zeitpunkt (dem sog. Terminpreis und Fälligkeitstermin) zu kaufen bzw. zu verkaufen. Wird ein solcher Vertrag an der Börse ge- schlossen, so handelt es sich um ein Future. Das Underlying kann hierbei aus einer Vielzahl unterschiedlicher Produkte bestehen, wie z. B. Aktien oder Anleihen, Rohstoffe, Zinssätze oder Fremdwährungen. Aber auch Ereignisse, wie z. B. Naturkatastrophen sind potenzielle Underly- ings. Aus diesem Umstand ergibt sich in natürlicher Weise die Möglichkeit von Spekulationen, welche den Kreditderivaten oftmals einen schlechten Ruf verleihen. Bei einem CDS handelt es sich um eine bestimmte Form eines Kreditderivates, welches einen Kreditausfall als Underlying besitzt. Auf diesen speziellen Fall soll im Folgendem eingegangen werden.

Abbildung 1 : Vergleich des Handelsvolumens aller gehandelten Kreditderivate mit der weltwei- ten BIP. Nach: [PRINCE 2012].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Credit Defauls Swap

Ein CDS gehört, wie der Name schon sagt, zu der Familie der Swaps, welche eine spezielle Untergruppe der Kreditderivate bilden. Das Wort Swap stammt aus dem Englischen, ist mit ”Tausch“zuübersetzenundistmeisteinOTCGeschäft.HierbeivereinbarenbeideVertragspar- teien den Austausch von Zahlungen zu festgelegten zukünftigen Terminen. Die Art der Berech- nung dieser Zahlungen wird ebenfalls in dem Vertrag festgelegt. Swaps dieser Art tauchten erst- mals in den 1980 er Jahren auf. (Vgl. [HULL 2012a], S. 199) Das geläufigste Beispiel hierfür ist ein sog.

”Fixed-For-Floating-Zinsswap“.IndiesemKonstruktvereinbarenbeideVertragspart- ner Zinszahlungen auf einen fiktiven Nominalbetrag zu bestimmten Terminen für einen festen Zeitraum. Hierbei ist der Zinssatz der einen Partei fix, wohingegen der andere Zinssatz variabel ist. Für den variablen Teil wird oft die sog.

”LondonInterbankOfferedRate“(LIBOR)verwen- det, welche angibt zu welchem Zinssatz Banken bereit sind Beträge bei anderen gut bewerteten Banken anzulegen. LIBOR-Sätze gibt es jeweils in verschiedenen Währungen zu unterschied- lichen Laufzeiten. Üblicherweise wird bei einem Swap vereinbart, dass lediglich die Differenz beider ausstehenden Beträge überwiesen wird. Dieser Vorgang sei an folgendem Beispiel ver- anschaulicht.

Beispiel: Partei A verpflichtet sichüber einen festen Zeitraum von 3 Jahren alle 6 Monate einen Zinssatz von 5,00 % auf einen festen Nominalbetrag von 1 Mio EUR an eine Partei B zu zah len. Im Gegenzug zahlt B an A den LIBOR-Satz auf denselben Nominalbetrag zu denselben Terminen. Liegt dieser nun z. B. bei 4,80 % zu einem der Zahlungstermine erh ä lt B zu diesem Zeitpunkt eine Zahlung von 200.000 EUR (= 0,05 · 1.000.000 EUR - 0,048 · 1.000.000 EUR). A würde also zu diesem Zeitpunkt Verlust machen. (Vgl. Abbildung 2)

Neben dieser sehr einfachen Konstruktion, existieren noch zahlreiche weitere Formen von Swaps. Zu diesen zählt auch der bereits mehrfach genannte CDS, auf welchen im Folgendem näher eingegangen werden soll.

Abbildung 2: Beispiel eines einfachen Zinsswaps. Nach: ([HULL 2012a], Seite 200)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Gegensatz zu einem klassischen Zinsswap, stellt ein CDS keinen Austausch von zeitlich fixierten Zahlungsströmen dar. Es handelt sich hierbei vielmehr um eine Absicherung gegen das Ausfallrisiko eines bestimmten Unternehmens. Dieses wird im Folgendem ternehmen“ und der eintretende Ausfall ”Referenzun- ”Kreditereignis“genannt.DerVerkäufereinesCDS verpflichtet sich nun im Falle eines Kreditereignisses, eine vorher festgelegte Anzahl von An- leihen des Referenzunternehmens vom Käufer des CDS zum Nennwert zu kaufen. Der Gesamt- nennwert der Anleihen wird als Nominalbetrag des CDS bezeichnet. (Vgl. [SCHOENBUCHER 2003], S. 27 ff.) Somit ist ein CDS mit einer Versicherung vergleichbar, in der der Käufer sich vor dem Ausfallrisiko eines bestimmten Schuldners absichert. Ein wichtiger Unterschied da- zu ist jedoch, dass der CDS-Käufer keine Anleihen des Referenzunternehmens besitzen muss. Dies bietet folglich Spielraum für Spekulation. Im Gegenzug zu der Sicherungsleistung des Verkäufers erhält dieser feste Zinszahlungen auf den Nominalbetrag bis zu einem evtl. Krediter- eignis oder alternativ bis zum Ende der Vertragslaufzeit. Eine solche Zinszahlung wird Spread (engl.: Differenz) genannt und erfolgt meist vierteljährlich. Dieser Vorgang wird in Abbildung

3 verdeutlicht.

Abbildung 3: Schematische Darstellung eines klassischen CDS. Nach: [HULL 2012a], Seite 682.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein wichtiger Bestandteil eines CDS ist die genaue Festlegung des Kreditereignisses. Stan- dardmäßig wird dieses als Zahlungsausfall oder Insolvenz des zugrundeliegenden Unterneh- mens definiert, kann aber auch andere Formen annehmen. Zusätzlich zu den genannten Faktoren spielt noch die sog. Wiederverwertungsrate R (im Englischen: Recovery Rate) eine entschei- dende Rolle für die spätere Bewertung eines CDS. Sie gibt den prozentualen Wert einer Anleihe unmittelbar nach einem Zahlungsausfall des zugehörigen Unternehmens an. Liegt diese z. B. bei R = 0 , 3, zahlt der Verkäufer eines CDS beim Eintreten des Kreditereignisses lediglich 70 % des Nominalbetrags. In der Literatur wird dieser Wert meistens mit R = 0 , 4 geschätzt.

Aufgrund der vorgestellten Eigenschaften ist es also möglich, mit Hilfe eines CDS, Anleihen und Darlehen abzusichern. Ein wichtiger Unterschied zu den üblichen Versicherungen ist hier- bei, dass keiner der Vertragspartner Anleihen des Referenzunternehmens tatsächlich besitzen muss. Besonders Banken nutzen diesen Vorteil, um vergebene Kredite aus der eigenen Bilanz auszugliedern. Grund hierfür sind u. a. die speziellen Auflagen für Banken bezüglich der Bil- dung von Kapitalrücklagen. Zu den Verkäufern von CDSs zählen hingegen in beträchtlichem Umfang die großen Versicherungsunternehmen. Für diese gelten andere Regulierungen bzgl. der Buchhaltung als für Banken, was das Tragen von Krediten teilweise deutlich attraktiver macht. Das Resultat hieraus ist, dass das Risiko oft nicht von der Bank getragen wird, wel- che einen Kredit vergibt, sondern direkt an andere Finanzinstitute weitergegeben wird. Ähnlich wie der gesamte Handel mit Kreditderivaten (siehe Abbildung 1) hat auch der CDS-Markt die

Finanzkrise 2007 relativ schadlos überstanden, wobei die Spreads jedoch teilweise drastisch angestiegen sind. Als Konsequenz der Finanzkrise wurden CDS, wie viele andere Instrumente auch, seitdem stärker unter behördliche Aufsicht gestellt und strenger reglementiert. Trotz die- ser erhöhten Kontrolle bleibt allerdings die Tatsache bestehen, dass ein CDS im Gegensatz zu anderen Derivaten wie klassische Swaps nicht an allgemeine Daten, wie etwa Zinssätze oder Rohstoffpreise gebunden ist. Hierdurch entsteht eine gewisse Unsicherheit, welche nie aus- schließen lässt, dass Käufer oder Verkäufer einen Informationsvorteil besitzen. (Vgl. [HULL 2012a], S. 680-689)

2.3 synthetischer CDO

Eine wichtige Eigenschaft aller Kreditderivate ist es, dass sie sich nahezu beliebig kombinieren und erweitern lassen. So liegt es nahe, die vorgestellten CDSs zusammen mit anderen Finanzin- strumenten zu nutzen. Eine Möglichkeit hierzu sind z. B. die sog. Foward-CDSs. Diese stellen eine vertragliche Verpflichtung dar zu einem festgelegten Termin einen bestimmten CDS zu kaufen bzw. zu verkaufen. Dasselbe Vorgehen ist mit Optionen auf CDSs möglich. Im Folgen- den wird auf ein spezielles, auf CDSs basierendes Konstrukt eingegangen, die bereits genannten synthetischen CDOs, deren Bewertung das Hauptthema dieser Arbeit darstellt.

Um die Struktur eines CDO verstehen zu können, wird zunächst der Begriff der Asset Backed Securities (ABS) eingeführt. Hierbei handelt es sich um Verbriefungsprozesse (im Englischem: Securitization), in dem verschiedene Zahlungsströme erzeugende Finanzinstrumente zu einem Portfolio zusammengefasst werden. Diese werden an eine eigens hierzu angelegte Zweckge- sellschaft (im Englischem: Special Purpose Vehicle; SPV) verkauft und die Zahlungsströme aus dem Portfolio auf sog. Tranchen verteilt. Somit werden neue, handelbare Wertpapiere er- zeugt. Die Aufteilung besteht hierbei typischerweise aus maximal fünf Tranchen, welche wie folgt bezeichnet werden:

- Senior Tranche
- Senior Mezzanine
- Mezzanine
- Junior Mezzanine
- Equity Tranche

Die Verteilung der Zahlungsströme ist hierbei nach dem sog. Wasserfallprinzip aufgebaut. Dem- nach werden Gewinne aus dem Portfolio zuerst an die obersten Tranchen (Senior Tranche, Se- nior Mezzanine, usw.) weitergegeben. Entsprechend besteht für die Equity Tranche das höchste

Risiko, dass ein Teil der investierten Beträge ausfällt und die geringste Wahrscheinlichkeit, dass die erwartet Rendite eingehalten wird. (Vgl. [KOTHARI 2006], S. 297 ff.) Diese Schema wird in Abbildung 4 verdeutlicht.

Abbildung 4: Schematische Darstellung einer klassischen ABS-Verbriefung. Quelle: [RIEDL 2010], Seite 18.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es sei darauf hingewiesen, dass die Regelungen zur Verteilung der Zahlungsströme auf die Tranchen in der Praxis weitaus komplizierter sein kann, als oben beschrieben. Ein ABS, des- sen zugrundeliegendes Portfolio aus Anleihen besteht, wird nun Collateralized Debt Obligation oder auch Cash-CDO genannt. Die Kritikpunkte die hierbei vor allem im Rahmen der Finanz- krise auftraten sind folgende: Zum einen ist es möglich untere Tranchen aus verschiedenen ABSs oder Cash-CDOs erneut in einem Portfolio zusammenzufassen und abermals zu verbrie- fen. Die hieraus entstehenden Verkettungen sind kaum noch zu überblicken bzw. einzuschätzen. Zum anderen ist die Bewertung der Tranchen schwierig und oft irreführend. So wurden Senior Tranchen regelmäßig sehr gut bewertet, auch wenn sie einen Großteil (oft über 90 %) des No- minalbetrags des ABS oder Cash-CDO ausmachten. Hierdurch wurde das tatsächliche Risiko der ursprünglichen Titel im Portfolio stark verzehrt.

Im Vergleich zu dem Cash-CDO besteht die größte Besonderheit bei einem synthetischem CDO nur darin, dass die Zweckgesellschaft keine tatsächlichen Anleihen der zugrundeliegenden Un- ternehmen des Portfolios besitzt. Hier verkauft die SPV CDS-Sicherheiten der ausgewählten Unternehmen einer vorher festgelegten Laufzeit. Die Summe der Nominalbeträge dieser CDSs ist dabei der Nominalbetrag des synthetischen CDO. Nun werden erneut Tranchen gebildet, auf welche die Zu- und Abflüsse verteilt werden. Zuflüsse entstehen durch die einzelnen CDS- Spreads und Abflüsse durch die verpflichtenden Ausgleichszahlungen bei evtl. Kreditereignis- sen. (Vgl. [KOTHARI 2006], S. 559 - 561) Dieses Prinzip soll an einem Beispiel verdeutlicht werden.

Beispiel: Betrachtet wird ein synthetischer CDO mit einer Laufzeit von 5 Jahren und einem Nominalbetrag von 100 Mio EUR, welcher sich folgendermaß en auf drei Tranchen aufteilt: Superior Tranche (80 Mio EUR), Mezzanine Tranche (15 Mio EUR) und Equity-Tranche (5 Mio EUR). Die Zahlungsströme sind dabei jeweils wie folgt definiert: 1000 bps pro Jahr (100 bps = 1 % ) auf das Kapital der Equtiy Tranche, 100 bps pro Jahr auf das Kapital der Mezzanine Tranche und 10 bps pro Jahr auf das Kapital der Senior Tranche. Betrachtet werden nun zwei mögliche F ä lle die jeweils nach einem Jahr Laufzeit eintreten:

1. Fall: Verbucht das zugrundeliegende Portfolio aus CDSs nun einen Verlust von 2 Mio EUR wird dieser von den Inhabern der Equity Tranche ausgeglichen. Gleichzeitig verringert sich de- ren Kapital von 5 Mio auf 3 Mio EUR, was einen Zahlungsfluss von 300.000 EUR (1000 bps · 3 Mio EUR) anstatt 500.000 EUR (1000 bps · 5 Mio EUR) zur Folge hat.

2. Fall: Wird ein Ausfallverlust von 8 Mio EUR verbucht, werden 5 Mio EUR davon von den Inhabern der Equity Tranche getragen. Somit ist das gesamte Kapital dieser Tranche aufge braucht, so dass keine weiteren Zahlungen erfolgen. Die restlichen 3 Mio EUR des Ausfallver lustes des Portfolios wird durch die Mezzanine Tranche gezahlt. Hierdurch reduziert sich der Zahlungsfluss, ä hnlich wie im ersten Fall, von 150.000 EUR auf 120.000 EUR.

Hierbei sind keine Zahlungen vor und nach diesem Datum berücksichtigt. Bleibt es bei diesem einen Zahlungsausfall, h ä tten die Inhaber der Equity Tranche in beiden F ä llen und die Inhaber der Mezzanine Tranche im zweiten Fall deutliche Verluste hinnehmen müssen. (Beispiel nach: [ HULL 2012a], S. 294-295)

Damit Cash-CDOs finanziert werden können, ist es notwendig, dass die Anleger eine bestimm- te Summe zum Erwerb der Anleihen investieren. Dies ist bei synthetischen CDOs nicht nötig, da hier CDS-Absicherungen verkauft und keine Anleihen erworben werden. Es ist allerdings üblich, dass der Investor eines synthetischen CDOs einen Betrag zur Sicherheit hinterlegt, aus dem evtl. Ausfallzahlungen entnommen werden können. Die Probleme die nun beim synthe- tischen CDO auftreten sind dieselben, wie die bei einem Cash-CDO. Allerdings kommt er- schwerend hinzu, dass die besondere Form von synthetischen CDOs und die Tatsache, dass keine Anleihen der Referenzunternehmen vorhanden seien müssen Spekulationen noch einfa- cher machen. Um Finanzinstrumente wie diese bewerten zu können, ist es immer notwendig Vergleichsdaten zu haben. Hierbei soll der Index aus nachfolgendem Abschnitt dienen.

2.4 iTraxx

Im finanzwirtschaftlichen Zusammenhang bezeichnet ein Index immer eine Kennzahl zur Be- wertung bestimmter Finanzinstrumente. Auch im speziellen Fall der Kreditderivate spielen In- dizes eine wichtige Rolle. Zu diesem Zweck wurde im Jahre 2004 die International Index Com- pany (IIC) gegründet, welche vollständig zu dem Finanzunternehmen Markit Group gehört. Die ICC gründete wiederum den ”DowJonesiTraxx“alsIndex-FamiliefürKreditderivate,welche den europäischen und asiatischen Markt abdeckt. Zu dieser zählen allein für Europa elf ver- schiedene Indizes, die alle zu unterschiedlichen Laufzeiten angeboten werden. (Vgl. [FELSEN- HEIMER ET AL. 2005], S. 2) Eine Übersicht der iTraxx Indices für Europa bietet Tabelle 1.

Der wichtigste Index hierbei ist der iTraxx Europe, welcher in den Laufzeiten drei, fünf, sie- ben und zehn Jahre angeboten wird. Er besteht - bis auf einige Einschränkungen - aus den 125 meistgehandelten CDS-Titeln Europas. Zu diesen Einschränkungen gehört z. B., dass aus festgelegten Branchen eine bestimmte Anzahl an Unternehmen vertreten sein muss und keine durch Rating-Agenturen schlecht bewerteten CDS aufgenommen werden. Nach diesen Krite- rien wird alle sechs Monate, immer zum 20. März und 20. September, ein sog. ”Roll“(engl.: Wirbel) durchgeführt, wobei Unternehmen, die den Anforderungen nicht mehr entsprechen, durch andere ersetzt werden. Das so neu entstandene Portfolio wird anschließend als neue Serie aufgenommen. So wurde z. B. am 20 . 9 . 2010 der iTraxx Europe Serie 14 und am 20 . 3 . 2011 der iTraxx Europe Serie 15 gestartet. Die Portfolios aller Serien werden dabei bis zum Ende ihrer Laufzeit getrennt voneinander weiter gehandelt. Als Beispiel für die Zusammensetzung des iTraxx Europe Serie 15 , welcher auch im späteren Verlauf weiter behandelt wird, sei auf Anhang [A] hingewiesen.

Der Wert eines jeweiligen Index berechnet sich nun als Mittelwert des Spreads zu dem ein Börsenmakler bereit ist jede CDS-Absicherung des Portfolios zu kaufen bzw. zu verkaufen. So lag der Index Spread des iTraxx Europe Serie 8 am 31 . Januar 2008 z. B. bei 77 bps. Dies bedeutet, dass ein Unternehmer, der jedes der 125 Unternehmen zu einem Betrag von 800 . 000 EUR absichern lassen möchte, jährlich einen Betrag von 770 . 000 EUR (= 77 bps · 125 · 800.000 EUR) zahlen muss. Fällt ein Unternehmen des Portfolios aus, erhält dieser dann die normale CDS-Auszahlung und die jährliche Zahlung reduziert sich um 1 / 125. Die Index-Familie Dow Jones iTraxx gilt insgesamt als sehr liquide und bietet sowohl Käufern wie auch Verkäufern eine Plattform. (Vgl. [HULL 2012a], S. 690)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Darstellung der aktuell angebotenen iTraxx-Indices. Nach: [RIEDL 2010], Seite 26

Für den Fall der Bewertung und des Vergleichs von synthetischen CDOs anstatt CDSs, wird ebenfalls auf den Dow Jones iTraxx zurückgegriffen. Hierbei verwendet der Markt die Stan- dardtranchen von 0-3 %, 3-6 %, 6-9 %, 9-12 % und 12-22 %. Finanzdienstleister wie Cre- ditex und Markit Group ermitteln und veröffentlichen regelmäßig den Index Spread für die- se jeweiligen Tranchen. Dieser gibt im Allgemeinen an, zu welchem Spread die jeweiligen CDO-Tranchen von Marktteilnehmern gekauft werden würden. (Vgl. hierzu das Beispiel aus Abschnitt 2.3). Zur besseren Vergleichbarkeit von Marktdaten wird oft eine alternative Form gewählt. So können die Spreads einzelner oder aller Tranchen auch als fix gewählt und der Wert der einzelnen Tranchen durch sog. Upfront Payments ausgedrückt werden. Dies sind Zah- lungen, welche entweder vom Käufer oder Verkäufer einmalig bei Vertragsabschluss gezahlt werden. Upfront Payments werden ebenfalls in Basispunkten (bps) ausgedrückt und beziehen sich genau wie die Spreads auf den Nominalwert der Tranche. Es ist offensichtlich, dass diese Marktpreise das Risiko und den erwarteten Verlust von einzelnen CDSs des Portfolios enthalten. Je höher die Ausfallwahrscheinlichkeit ist, umso höher ist der Spread bzw. das Upfront Payment, welches der Käufer erhält.

3 Kreditrisikomodellierung

Um einen synthetischen CDO bewerten zu können, ist es immer notwendig einen fairen Preis bzw. einen fairen Spread für diesen zu berechnen. Dieser hängt zum Großteil von dem Ausfall- risiko der zugrundeliegenden Schuldner ab. Die durch den iTraxx gegebenen Marktdaten ent- halten diesen Faktor bereits, so dass es das Ziel sein muss, die Ausfallwahrscheinlichkeit auch mathematisch ausdrücken zu können. Zu diesem sollen daher nun die benötigten finanzmathe- matischen Grundlagen bereitgestellt werden. Hierzu wird zu Beginn der Rahmen definiert, auf welchen sich der Großteil der folgenden Wahrscheinlichkeitsrechnungen stützt. Weiterhin wer- den einige speziellere Verfahren vorgestellt, mit deren Hilfe unter anderem Ausfallwahrschein- lichkeiten dargestellt werden können. Schließlich wird näher auf die konkrete Berechnung und Bewertung eines synthetischen CDO eingegangen, worauf hin sich das dritte Kapitel explizit auf den Kernpunkt dieser Arbeit konzentrieren kann.

3.1 mathematische Grundlagen

Als Grundlage aller folgenden mathematischen Berechnungen dient ein klassisches Finanz- marktmodell in stetiger Zeit. Dies bedeutet, dass alle darin enthaltenen Finanzinstrumente zu jedem Zeitpunkt t ∈ [0 , T ] gehandelt werden können, wobei T > 0 üblicherweise eine natürli- che Jahreszahl ist. In diesem Finanzmarktmodell werden d ∈ Basisinstrumente (Wertpapiere, Devisen, Rohstoffe usw.) betrachtet. Der zugehörige Marktpreis des i − ten Basisinstruments zum Zeitpunkt t wird mit mit Si (t) bezeichnet, wobei i = { 0 , ..., d} sei. Es ist zu beachten, dass alle Si (t) stochastische Prozesse sind. Hierbei sei S 0(t) der Preis des sog. Numéraires zum Zeit- punkt t. Dies ist das Finanzinstrument, an welchem der Preis aller anderen Finanzinstrumente in Relation gemessen wird. (Vgl. [REITZ 2011], S. 112 ff.) Es gibt in der Finanzmathematik verschiedene Arten eines Numéraires. Im Rahmen des hier vorgestelltem Finanzmarktmodells wird es als ein Sparbuch mit stetiger risikoloser Verzinsung angesehen. Dies bedeutet also für den Preis des Numéraires zum Zeitpunkt t:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei r: [0 , T ] [0 , ∞) den sog. Momentanzins bezeichnet, also den Zinssatz einer siche- ren Geldanlage für einen unendlich kleinen Zeitraum. (Vgl. [BRANGER UND SCHLAG 2004],

S. 105 ff.) Der relative Wert des i − ten Basisinstruments zum Zeitpunkt t beträgt damit also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Wert kann auch als diskontierter Wert des i − ten Basisinstruments betrachtet werden.

Die im weiterem Verlauf zu berechnenden Wahrscheinlichkeiten werden über einen filtrier- tem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω , (Ft) t ≥ 0 ,) ermittelt. (Vgl. [WENGEROTH 2008], S. 125 ff.) Hierbei bezeichnet Ω die Menge aller möglichen Zustände der realen Marktwirtschaft, also ins- besondere die Kursentwicklungen der o. g. Basisfinanzinstrumente und Ft die zum Zeitpunkt t bekannten Zustände dieser Instrumente. (Vgl. [SCHOENBUCHER 2003], S. 85 ff.) Ft kann somit auch als Informationsverlauf gesehen werden. Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω ist wie üblich mit angegeben. Weiter sei angenommen, dass (Ft) t ≥ 0 die sog. usual conditions erfülle. Dies bedeutet, dass Ft =0 alle -Nullmengen enthält und die Filtration (Ft) t ≥ 0 rechtsstetig bezüglich des genannten Wahrscheinlichkeitsraums ist. (Vgl. [JACOD UND SHIRYAEV 1988], S. 2 f.)

Weiterhin sei die wichtige Annahme getroffen, dass der betrachtete Markt abritragefrei und vollständig sei. Aus betriebswirtschaftlicher Sichtweise heißt das, dass kein risikofreier Ge- winn erzielt werden kann, ohne den Einsatz von Eigenkapital und das jedes Derivat mit Hilfe einer Portfoliostrategie dargestellt werden kann. (Vgl. [REITZ 2011], S. 28 ff.) Hieraus folgt die

Existenz eines eindeutig bestimmten Martingalmaßes Si (t) (ST (t)

, so dass zusammen mit (3.1.0.2) gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Vgl. hierzu z. B. [HARRISON UND PLISKA 1983], S. 2.) In Worte gefasst bedeutet dies, dass der diskontierte Wert des i − ten Basisinstruments zum Zeitpunkt t genau dem erwarteten dis- kontierten Wert dieses Instruments zum Zeitpunkt der Fälligkeit entspricht unter der Bedingung des Informationsstandes im Zeitpunkt t. Im Folgenden wird der Erwartungswert über mit bezeichnet.

Da gemeinsame Verteilungsfunktionen und einzelne Randverteilungen in dieser Arbeit einen hohen Stellenwert einnehmen, seien sie an dieser Stelle noch einmal explizit definiert.

Definition 3.1.1. (Randverteilungen und gemeinsame Verteilungsfunktion)

Sei X = (X 1 , ..., Xn) ein n − dimensionaler Zufallsvektor. Die Verteilungsfunktionen F 1 , ..., Fn heiß en Randverteilungen von X wenn gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiterhin heiß t die Funktion FX: n → [0 , 1] gemeinsame Verteilungsfunktion von X , wenn

gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Funktion fX heiß t dann gemeinsame Dichtefunktion von X . (Vgl. [ SCHMID UND TREDE 2006], S. 66)

3.2 Heavy-Tail-Verteilungen

Eine besondere Rolle bei der Modellierung von Wahrscheinlichkeiten in der Finanz- und Versi- cherungsmathematik spielt die Klasse der sog. Heavy-Tail-Verteilungen. Diese beinhaltet Wahr- scheinlichkeitsverteilungen, deren Dichtefunktion besonders viel Gewicht auf den Ausläufern eben dieser Funktion besitzt. Im praktischen Fall bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit für ein extremes Ereignis hierbei größer ist als bei einer Verteilung, die keine Heavy-Tail- Eigenschaften besitzt.

Definition 3.2.1. (Heavy Tail)

Sei F : [0 , 1] eine eindimensionale Verteilungsfunktion gem. Definition 3.1.1. F heiß t Heavy-Tail-Verteilung, wenn gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Vgl. hierzu z. B. [ FOSS ET AL. 2011], S. 8.) Ist die Dichtefunktion f (x) der Verteilungsfunktion F (x) bekannt, so ist die Gleichung 3.2.0.7 ä quivalent zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bekannte Vertreter dieser Klasse sind u. a. die Cauchy-, die Longnormal- und die Student-t- Verteilung. (Vgl. [FOSS ET AL. 2011], S. 10-11) Sie finden besondere Anwendung in der Mo- dellierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten und spielen daher auch eine große Rolle im Bereich der CDO-Bewertung. Ausschlag gebend hierfür sind empirische Beobachtungen des Kapital- marktes über Jahrzehnte hinweg. Demnach ist der sog. Asset Return von Finanzinstrumenten z.

B. für Extremwerte nicht normalverteilt, obwohl dieses oft für Berechnungen impliziert wird. Für genauere Erläuterungen zu diesem Thema sei auf die einschlägige Literatur verwiesen. (Vgl z. B. [RESNICK 2007], S. 5 ff.)

3.3 Portfolio-Modellierung

Unter den Voraussetzungen des Abschnitts 3.1 werden nun einige allgemeine Begriffe und Variablen der Portfolio-Modellierung definiert. Ein Großteil dieser Definitionen wird insbesondere für die folgenden Kapitel benötigt. Für ein Portfolio Π gilt:

- n gibt die Anzahl der zugrunde liegenden Finanzinstrumente (Aktien, Anleihen, Dividen- den usw.) an.
- Ai beschreibt den Nennwert des i − ten Finanzinstruments.
- Ri beschreibt die Verwertungsrate des i − ten Finanzinstruments. ∑
- A = Ai beschreibt den Nennwert des gesamten Portfolios Π. i =1
- K 1 gibt die untere und K 2 die obere Grenze einer gegebenen Tranche an.
- N (t) gibt den absoluten Verlust des gesamten Portfolios Π an.

Ein weiterer wichtiger Begriff für die Modellierung von Portfolios, insbesondere für diejenigen, die zum Großteil aus Anleihen bestehen, ist die sog. Stoppzeit, welche wie folgt definiert wird:

Definition 3.3.1. (Stoppzeit)

Sei, (Ft) t ≥ 0 , ) wieder ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, wie in (3.1) definiert, mit

+

zugehörigem Martingalmaß Q . Sei weiter τ: Ω 0 ∪ { ∞ } eine Zufallsvariable. τ heiß t Stoppzeit, wenn gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Stoppzeit ist also die Wartezeit auf ein bestimmtes Ereignis, so dass zu jedem Zeitpunkt t bekannt ist, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist. (Vgl. [ IRLE 2012], S. 43)

Im Falle eines Portfolios beschreibt η i die Stoppzeit des i − ten Finanzinstrumentes. Sie gibt den Zeitpunkt an, zu dem ein Finanzinstrument ausfällt. Es gilt also genau dann η i ≤ t wenn der i − te Schuldner (meist eine Anleihe oder CDS) bereits ausgefallen ist. Da alle Ausfälle in endlicher Zeit stattfinden werden gilt: [0 ≤ η i ≤ ∞ ] = 1.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dementsprechend sei mit Qi (t) die Verteilungsfunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit definiert. Für diese gilt:

Qi (t) = [ η i < t ] (3.3.0.10)

Schließlich wird noch eine Sonderform eines Portfolios definiert, welche im weiteren Verlauf von großer Bedeutung ist.

Definition 3.3.2. (LHP)

Ein Portfolio wird Large-Homogenous-Porfolio (LHP) genannt, falls folgende Attribute bei jedem Finanzinstrument des Portfolios identisch sind: (Vgl. [ SCHLOESSER 2011], S. 100)

- der Nennwert, d. h.: ∀ i ∈ [0 ,n ] : Ai = A
- die Ausfallverteilung, d. h.: ∀ i ∈ [0 ,n ] : Qi (t) = Q (t)
- die Verwertungsrate, d. h.: ∀ i ∈ [0 ,n ] : Ri = R
- die Korrelation zum Gesamtmarkt (vgl. hierzu Kapitel 4)

3.4 Intensit ätsmodell

Das Intensitätsmodell ist eine relativ einfache und daher oft auch beliebte Methode, um z.

B. Ausfallwahrscheinlichkeiten von Single-Name-CDS zu modellieren, also von CDS, welche nur einen einzigen Schuldner als Referenzunternehmen haben. Zunächst werden hierzu einige benötigte Grundlagen definiert, die erneut auf den stochastischen Rahmen aus (3.1) basieren.

Definition 3.4.1. (Poisson-Verteilung)

Eine Zufallsvariable X heiß t poissonverteilt mit λ als positivem Parameter ( X ∼ P λ ) falls gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Erwartungswert gilt dann (X) = λ und für die Varianz (X) = λ . (Vgl. [ GEORGII 2000], S. 39 f. sowie S. 114)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

so wird der stochastische Prozess M = (M (t)) t ≥ 0 als Z ä hlprozess bezeichnet. (Vgl. [ WENGEROTH 2008], S. 127)

Definition 3.4.3. (Poisson-Prozess)

Sei X = (X (t)) t ≥ 0 ein stochastischer Prozess und λ > 0 , so dass Folgendes gilt:

1. X ist ein Z ä hlprozess.
2. X (0) = 0 fast-sicher.
3. Zuw ä chse von X sind station ä r und unabh ä ngig
4. X (t) ∼ P λ· t

So heiß t X homogener Poisson-Prozess mit Intensit ä t λ . (Vgl. [ REITZ 2011], S. 138 f.)

Grundlage des Intensitätsmodells ist es nun, dass sich ein Poisson-Prozess X = (Xt) t ≥ 0 beson- ders gut zur Modellierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten eines Single-Name-CDS eignet. (Vgl. [SCHOENBUCHER 2003], S. 111-128) In diesem Fall bezeichnet (X (t) = k) die Wahr- scheinlichkeit von exakt k Ausfällen innerhalb von t Jahren. Da Xt ∼ P λ· t (siehe 3.4.3) folgt aus (3.4.0.11) für die Wahrscheinlichkeit, dass kein Schuldner innerhalb von t Jahren ausfällt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog beträgt die Wahrscheinlichkeit von genau einem Ausfall innerhalb von t Jahren:

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Für die Bewertung von CDS ist besonders der Zeitpunkt des ersten Ausfalls von Interesse. Sei dieser Ausfallzeitpunkt τ eine stetige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion Q (t), dann gilt: ⎧

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Hierbei ist (τ > t) die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt t kein Ausfall stattfindet. Dementsprechend folgt aus (3.4.0.14):

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Ist nun die unbedingte Wahrscheinlichkeit zu einem Zeitpunkt t bekannt, dass es zu keinem Ausfall kommt, so kann die Variable λ bestimmt werden und somit durch das Intensitätsmodell die Verteilungsfunktion Q (t). Das Modell in dieser Form berücksichtigt weder spezifische Eigenschaften des CDS noch spezielle Marktdaten. Daher ist es kaum für komplexe Modellierungen geeignet. Allerdings benötigt die Berechnung sehr wenig Zeit und wird dadurch an späterer Stelle noch von Nutzen sein. (Vgl. Abschnitt 4.4)

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass es verschiedene, weitaus komplexere Methoden zum Intensitätsmodell gibt. Wird z. B. ein inhomogener Poisson-Prozess betrachtet, d. h. ein Prozess wie in Definition 3.4.3, allerdings mit einer von t abhängiger Variable λ (t), so ergibt sich für τ eine um einiges genauere Verteilungsfunktion. Für den Zweck dieser Arbeit ist das vorgestellte Modell jedoch genügend.

3.5 Verlustverteilung eines CDOs

Ein grundlegender Bestandteil für die Bewertung von syntehtischen CDOs ist der erwartete Verlust einer gegebene K 1- K 2-Tranche. Hierzu seien wieder die Definitionen aus Abschnitt 3.3 gegeben. Es bezeichne also N (t) den kumulierten Verlust des gesamten zugrunde liegenden Portfolios. Wird von einem Portfolio von n Schuldnern ausgegangen mit einem jeweiligen Nennwert Ai und Verwertungsrate Ri, dann sei der Verlust des Schuldners i gegeben durch Bi = (1 − Ri) · Ai für i ∈ { 1 , 2 , ...,N}.(Vgl. [MENEGUZZO UND VECCHIATO 2004], S. 23 ff.) Sei weiter η i als die in (3.3) genannte Ausfallzeit des i − ten Schuldners gegeben und die Funktion Hi (t) wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch eine gegeben Verlustfunktion N (t) lässt sich nun der kumulierte, absolute Verlust einer gegebenen Tranche bestimmen. Dieser sei mit LK sprechend wie folgt:

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Demzufolge kann der prozentuale Tranchenverlust LK 1 ,K 2 (t) wie folgt dargestellt werden:

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In den meisten praktischen Fällen wird es sich hierbei um die Werte eines genormten LHP (vgl. 3.3) handeln, so dass gilt:

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Sei nun angenommen, dass es sich bei L (K 1 ,K 2)(t) um eine diskret verteilte Zufallsvariable mit m verschiedenen Zuständen k ∈ { 1 , ..., m} handelt. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten pi mit [ LR (K 1 ,K 2)(t)= k ]= p k seiengegeben.DanngiltfürdenerwartetenVerlustderTranche:

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Analog hierzu gestaltet sich der stetige Fall. Sei demnach L (K 1 ,K 2)(t) eine stetige verteilte Zu- fallsvariable mit Verteilungsfunktion F (x), so dass gilt [ L (K 1 ,K 2)(t) ≤ x ] = F (x), so berech-

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net sich der erwartete Verlust der Tranche wie folgt:

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Diese Gleichung kann durch folgenden Satz umgeformt werden.

Satz 3.5.1. Sei L (t) stetig verteilt, dann gilt für den erwarteten kumulativen Verlust der K 1 − K 2- Tranche:

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Beweis: (Vgl. [SCHLOESSER 2011], S. 257)

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Bisher wurde die Verwertungsrate R direkt durch die Verteilungsfunktion des Verlustes aus- gedrückt. Dieses Vorgehen ist in der Praxis jedoch oft unnötig umständlich. Daher wird zur Berechnung des erwarteten Verlusts oft von einer Verteilungsfunktion ausgegangen, der einer Verwertungsrate von R = 0 zugrunde liegt. Gilt nun R ∈ (0 , 1] wird der tatsächliche Verlust der jeweiligen Tranche mit (1 − R) multipliziert und damit verringert. Für die Senior-Tranche und einen gegebenen R bezeichne ELR (K 1 , 1) denerwartetenVerlust.Esgiltentsprechendden

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vorangegangenen Überlegungen:

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Dementsprechend bezeichne ELR (K 1 ,K 2) denerwartetenVerlusteinerbeliebigenTranche,die nicht die Senior-Tranche ist, zu einer gegebenen Verwertungsrate R. Hierbei muss K 21 − R ≤ 1 gelten, was bei den Standard-Tranchen (Vgl. (2.4)) und R ≤ 0 , 78 immer erfüllt ist. Es gilt analog zur vorherigen Gleichung:

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Zusammen mit Satz 3.5.1 gilt somit für alle Tranchen mit Ausnahme der Senior-Tranche:

ELR (3.5.0.26)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.6 Bewertung von CDOs

Im Folgenden sei ein synthetischer CDO mit den in (2.3) definierten Eigenschaften gegeben. Genau wie bei einem gewöhnlichem CDS existieren dann auch hier zwei Zahlungsströme. Zum einem das sog. Protecion Leg (engl. Ausgleichszahlungen), d. h. Zahlungen, die die SPV erhält und zum anderen das sog. Premium Leg (engl.: Prämienzahlungen), d.h. Zahlungen, die der Investor erhält.(Vgl. [SCHOENBUCHER 2003], S. 66 - 69) Das Premium Leg ist daher definiert als die Summe aller erwarteter Spread-Zahlungen und das Protection Leg als die Summe aller erwartetet Ausgleichszahlungen zum Zeitpunkt t = 0, so dass gilt:

[...]

Ende der Leseprobe aus 97 Seiten

Details

Titel
Bewertung von Collateralized Debt Obligations mit Hilfe verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle
Hochschule
Universität zu Köln  (Mathematisches Institut)
Note
1,3
Autor
Jahr
2014
Seiten
97
Katalognummer
V273167
ISBN (eBook)
9783656648826
ISBN (Buch)
9783656648819
Dateigröße
1284 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
bewertung, collateralized, debt, obligations, hilfe
Arbeit zitieren
Jonas Koegler (Autor), 2014, Bewertung von Collateralized Debt Obligations mit Hilfe verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/273167

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