Kreditderivate und alle damit im Zusammenhang stehenden Komponenten wurden seit je her kritisch betrachtet und galten oft als Sinnbild für spekulative und undurchschaubare Finanzgeschäfte. Die weltweite Wirtschaftskrise, welche 2007 ihren Anfang nahm, verschlechterte diesen Ruf zusätzlich. Die platzende Immobilienblase der USA weitete sich zu einer schweren Rezession in vielen Ländern aus. Besonders den synthetischen Collateralized Debt Obligations wird daran eine große Mitschuld gegeben. Der Grund hierfür ist, dass diese ohnehin schwer bewertbaren Finanzinstrumente oft durch aufwändige Konstrukte weiter in einander verschachtelt wurden, so dass eine realistische Einschätzung des tatsächlichen Risikos nahezu unmöglich ist.
Auch wenn sich die Weltwirtschaft und insbesondere der mitteleuropäische Raum nach und nach wieder von diesem Schlag erholt, bleibt die Tatsache bestehen, dass sich in der Vergangenheit zu wenig mit adäquaten Modellen zur Bewertung von synthetischen Collateralized Debt Obligations befasst wurde. Besonders die Tatsache, dass zwar der Ruf dieser Finanzinstrumente auf einem neuen Tiefpunkt, das entsprechende Handelsvolumen aber so hoch ist wie nie zuvor, belegt die Aktualität dieses Themas.
In den letzten Jahren wurden hierzu einige neue mathematische Verfahren entwickelt und bestehende Modelle weiter verfeinert. Der hierbei aktuell am häufigsten verwendete Ansatz ist das von Oldrich Vasicek vorgestellte Faktor-Copula-Modell. Ziel dieser Diplomarbeit ist es, dieses genauer zu behandeln und zu beleuchten. Hierzu sollen, nach einer kurzen Einführung in die benötigten Kapitalmarktprodukte, zunächst stochastische Grundlagen zur Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen geschaffen werden. Darauf aufbauend kann die Funktionsweise des Faktor-Copula-Modells verständlich gemacht und aktuelle Variationen vorgestellt werden. Anschließend sollen zwei neue Erweiterungen zu diesem Modell entwickelt und mit den bekannten Anwendungen verglichen werden.
Die qualitative Bewertung solcher Modelle kann nur anhand von real existierenden Daten erfolgen. Daher werden im Rahmen dieser Diplomarbeit zu allen behandelten Verfahren möglichst realitätsnahe Berechnungen durchgeführt und die Ergebnisse mit aktuellen Marktwerten aus den Jahren 2011 und 2013 verglichen. Neben dem Fazit wird diese Arbeit mit einem Ausblick auf aktuelle Weiterentwicklungen und Perspektiven zu diesem Bereich abgeschlossen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Collateralized Debt Obligation
2.1 Kreditderivate
2.2 Credit Defauls Swap
2.3 synthetischer CDO
2.4 iTraxx
3 Kreditrisikomodellierung
3.1 mathematische Grundlagen
3.2 Heavy-Tail-Verteilungen
3.3 Portfolio-Modellierung
3.4 Intensitatsmodell
3.5 Verlustverteilung eines CDOs
3.6 Bewertung von CDOs
4 Modellierung von Abhangigkeitsstrukturen
4.1 Korrelation
4.2 Copula-Funktionen
4.2.1 Gauss-Copula
4.2.2 Gumbel-Copula
4.2.3 Tail Dependence
4.3 Faktor-Copula-Modelle
4.3.1 Grundlagen
4.3.2 Gauss-Copula-Modell
4.3.3 Student-t-Copula-Modell
4.3.4 NIG-Copula-Modell
4.4 Modellvergleich
4.5 Innovationen zum 1-Faktor-Copula-Modell
4.5.1 Gamma-Verteilung
4.5.2 Alpha-stabile Verteilungen
4.6 Zusammenfassung
5 alternative Modellansatze
5.1 Erweiterungen des 1-Faktor-Copula-Modells
5.1.1 Erhohung der stochastischen Faktoren
5.1.2 Regime Switching
5.1.3 HFP-Ansatz
5.2 Alternative Berechnungsmodelle
6 Fazit
A Zusammensetzung des iTraxx Europe Serie 15
B Durchschnittliche CDS-Werte
C Berechnungen der Upfront-Zahlungen 2011
D Berechnungen der Upfront-Zahlungen 2013
E Matlab-Codes zur Berechnung der Upfront-Zahlungen
F Matlab-Codes zur Erstellung der Abbildungen
Zielsetzung & Themen
Ziel dieser Arbeit ist die detaillierte mathematische Untersuchung und Bewertung synthetischer Collateralized Debt Obligations (CDOs) unter Verwendung verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle, um eine realitätsnahe Risikoeinschätzung zu ermöglichen und die Performance aktueller Bewertungsansätze anhand von Marktdaten zu analysieren.
- Methodische Grundlagen der Kreditrisikomodellierung und Verlustverteilung.
- Analyse verschiedener Copula-Funktionen und deren Eignung für Abhängigkeitsstrukturen.
- Einsatz von 1-Faktor-Copula-Modellen mit unterschiedlichen Verteilungsannahmen (Gauss, Student-t, NIG).
- Empirischer Vergleich der Modellgüte mittels aktueller iTraxx-Marktdaten.
Auszug aus dem Buch
3.1 mathematische Grundlagen
Als Grundlage aller folgenden mathematischen Berechnungen dient ein klassisches Finanzmarktmodell in stetiger Zeit. Dies bedeutet, dass alle darin enthaltenen Finanzinstrumente zu jedem Zeitpunkt t ∈ [0, T] gehandelt werden konnen, wobei T > 0 ublicherweise eine naturliche Jahreszahl ist. In diesem Finanzmarktmodell werden d ∈ Basisinstrumente (Wertpapiere, Devisen, Rohstoffe usw.) betrachtet. Der zugehorige Marktpreis des i − ten Basisinstruments zum Zeitpunkt t wird mit mit Si(t) bezeichnet, wobei i = {0, ..., d} sei. Es ist zu beachten, dass alle Si(t) stochastische Prozesse sind. Hierbei sei S0(t) der Preis des sog. Numeraires zum Zeitpunkt t. Dies ist das Finanzinstrument, an welchem der Preis aller anderen Finanzinstrumente in Relation gemessen wird. (Vgl. [REITZ 2011], S. 112 ff.) Es gibt in der Finanzmathematik verschiedene Arten eines Numeraires. Im Rahmen des hier vorgestelltem Finanzmarktmodells wird es als ein Sparbuch mit stetiger risikoloser Verzinsung angesehen. Dies bedeutet also fur den Preis des Numeraires zum Zeitpunkt t:
S0(t) = exp ( t 0 r(u)du ), (3.1.0.1)
wobei r : [0, T] → [0, ∞) den sog. Momentanzins bezeichnet, also den Zinssatz einer sicheren Geldanlage fur einen unendlich kleinen Zeitraum. (Vgl. [B RANGER UND SCHLAG 2004], S. 105 ff.) Der relative Wert des i − ten Basisinstruments zum Zeitpunkt t betragt damit also:
Si(t) S0(t) = Si(t) exp ( t 0 r(u)du ). (3.1.0.2)
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung thematisiert die kritische Wahrnehmung und Komplexität von Kreditderivaten sowie die Relevanz adäquater Bewertungsmodelle im Kontext der Finanzkrise.
2 Collateralized Debt Obligation: In diesem Kapitel werden die Grundlagen von Kreditderivaten, Credit Default Swaps (CDS), synthetischen CDOs und dem iTraxx-Index als Vorbereitung für die mathematische Analyse vermittelt.
3 Kreditrisikomodellierung: Das Kapitel behandelt die finanzmathematischen Grundlagen, Stoppzeiten, Intensitätsmodelle und die Herleitung von Verlustverteilungen, die für die Bewertung von CDO-Tranchen notwendig sind.
4 Modellierung von Abhangigkeitsstrukturen: Hier werden Korrelationsmaße und Copula-Funktionen eingeführt, gefolgt von einer tiefgehenden Analyse verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle und deren Kalibrierung mittels Marktdaten.
5 alternative Modellansatze: Dieses Kapitel diskutiert fortgeschrittene Erweiterungen wie die Erhöhung stochastischer Faktoren, Regime-Switching-Modelle und HFP-Ansätze als Alternativen zum Standardmodell.
6 Fazit: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und bestätigt die Überlegenheit des 1-Faktor-NIG-Copula-Modells bei der Bewertung synthetischer CDOs.
Schlüsselwörter
Synthetische CDOs, Kreditderivate, 1-Faktor-Copula-Modelle, Kreditrisikomodellierung, Verlustverteilung, Gauss-Copula, Student-t-Verteilung, NIG-Verteilung, Korrelation, Tail Dependence, iTraxx, Asset Pricing, Finanzmathematik, Ausfallwahrscheinlichkeit.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Diplomarbeit befasst sich mit der mathematischen Bewertung von synthetischen Collateralized Debt Obligations (CDOs) mittels verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle, um präzisere Preisfindungen unter Berücksichtigung von Marktdaten zu ermöglichen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Modellierung von Kreditrisiken, die Darstellung von Abhängigkeitsstrukturen durch Copula-Funktionen sowie der empirische Vergleich unterschiedlicher statistischer Verteilungsansätze zur Preisbildung von CDO-Tranchen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das primäre Ziel ist es, ein mathematisch fundiertes Modell zu identifizieren und zu verfeinern, das die Bewertung von synthetischen CDOs realistischer gestaltet, indem es die Limitationen einfacher Modelle durch fortgeschrittene statistische Ansätze überwindet.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden stochastische Finanzmarktmodelle, Zeitreihenanalysen und numerische Verfahren verwendet, um die Verlustverteilungen verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle zu bestimmen und diese an realen Marktdaten des iTraxx Europe zu kalibrieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der Modellgrundlagen (Kreditderivate, Verlustverteilung), die mathematische Modellierung von Abhängigkeiten (Copulas, Tail Dependence) sowie die konkrete Anwendung und den Vergleich von Gauss-, Student-t- und NIG-Copula-Modellen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich primär durch Begriffe wie synthetische CDOs, 1-Faktor-Copula-Modelle, Kreditrisikomodellierung, NIG-Verteilung und Ausfallwahrscheinlichkeiten charakterisieren.
Warum ist das 1-Faktor-NIG-Copula-Modell laut Autor besonders relevant?
Das NIG-Modell wird als besonders relevant hervorgehoben, da es durch seine Heavy-Tail-Eigenschaften und zusätzliche Parameter zur flexiblen Kalibrierung die genauesten Ergebnisse liefert und somit Marktdaten besser approximiert als die Standard-Gauss-Variante.
Was besagt das "Correlation Smile" Phänomen?
Das "Correlation Smile" beschreibt die Beobachtung, dass der Korrelationsparameter nicht konstant ist, sondern je nach betrachteter Tranche des Portfolios variiert und typischerweise in Abhängigkeit vom "Detachment Point" einen U-förmigen Verlauf (ein Lächeln) aufweist.
- Citar trabajo
- Jonas Koegler (Autor), 2014, Bewertung von Collateralized Debt Obligations mit Hilfe verschiedener 1-Faktor-Copula-Modelle, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/273167
