Unter- und Obersumme als Herleitung zur Integralrechnung

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten
a. Die Vorgehensweise mit Hilfe der Untersumme
b. Die Vorgehensweise mit Hilfe der Obersumme
c. Zusammenfassung

Grenzwertbestimmung bei Ober-und Untersumme
a. Berechnung bei der Untersumme
b. Berechnung bei der Obersumme
c. Zusammenfassung

Integralrechnung

Die Herleitung zum Hauptsatz der Integralrechnung

Anhang

Quellverweis

Bildverweis

Einleitung

Die in Abbildung 1 markierte Fläche soll berechnet werden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Doch wie berechnet man so etwas?

Keine aus der Mittelstufe bekannten Formeln und/oder Verfahren könnten die Lösung sein.

Das Problem ist die Form der Funktion und die daraus resultierende Form der Fläche die berechnet werden soll.

In dieser Ausarbeitung wird ein Verfahren vorgestellt und erklärt mit dem man genau solche Flächen berechnen kann.

Der Grundgedanke dabei ist, die farbig markierte Fläche in Rechtecke zu unterteilen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2

Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten

In diesem Kapitel erläutere ich die näherungsweise Berechnung einer Fläche mit Hilfe der Ober- und Untersumme, die in einem bestimmten Intervall unter einem Graphen liegt.

Die unter der Funktion markierte Fläche soll näherungsweise berechnet werden.

Die markierte Fläche stellt dabei ein Intervall dar, welches durch zwei x-Werte () eingegrenzt wird(siehe Abbildung 2).

a. Die Vorgehensweise mit Hilfe der Untersumme an dem konkreten Beispiel: im Intervall , d.h.

Dafür unterteilt man die markierte Fläche innerhalb des gegebenen Intervalls (1; 4) in vier Rechtecke, die unter der Funktion liegen (siehe Abbildung 3).

Um die Fläche der einzelnen Rechtecke zu berechnen, geht man nach der allgemeinen Flächeninhaltsformel A = Grundseite*Höhe vor.

Dabei berechnet man die Grundseite, die in diesem Fall die Breite darstellt, indem man folgende Formel verwendet:

Dabei bezeichnet das „n“ die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.

Daraus ergibt sich für unser Beispiel: = 0,75

Somit ergibt sich, dass 0,75 unsere Breite der Rechtecke ist. Diese Breite wird auch für die Obersumme gelten, da egal für welche Summe, d.h. die Ober-oder Untersumme, man die Breite berechnet hat, die errechnete Breite gilt immer für beide Summen.

Als Höhe verwendet man jeweils den Funktionswert .

Daraus ergibt sich wiederum für unser konkretes Beispiel:

Um den Flächeninhalt der Rechtecke nun zu berechnen, setzt man bestimmte x-Werte ( in die Funktion ein. Diese „bestimmten“ x-Werte sind vom Monotonieverhalten der Funktion abhängig. Dies kann man sich folgendermaßen vorstellen:

Ist eine Funktion in dem gekennzeichneten Intervall steigend, so benutzt man bei der Untersumme die linken x-Werte der Rechtecke, ist die Funktion in dem gekennzeichneten Intervall fallend, so benutzt man deren rechten x-Werte.

Da in unserem konkreten Beispiel die Funktion innerhalb des gegebenen Intervalls steigend ist, benutzen wir hier die linken x-Werte.

Für die Berechnung ergibt sich daraus folgendes:

1. Man nimmt den ersten linksseitigen x-Wert ( des Intervalls und setzt diesen in die Funktion ein. Das Ergebnis multipliziert man mit der zuvor errechneten Breite. So erhält man als Ergebnis den Flächeninhalt A des ersten Rechteckes.
2. Nun addiert man den ersten x-Wert ( und die errechnete Breite. Das Ergebnis stellt den zweiten x-Wert ( dar, den man nun in die Funktion einsetzt und wiederum mit der Breite multipliziert. Dies ergibt den zweiten Flächeninhalt usw., je nach Anzahl der vorhandenen Rechtecke.
3. Die Anzahl der zu berechnenden x-Werte lässt sich aus der Anzahl der Rechtecke in dem Intervall ableiten. Da man jedoch bei der Untersumme mit dem linkseitigen x-Wert arbeitet, gilt hier (siehe Abbildung 4).

Aus den oben genannten Schritten lassen sich folgende Formeln ableiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergibt sich für unser Beispiel:

1.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wäre in unserem Beispiel 4 und entfällt, da dieser Wert bei der Untersumme auf der linken Seite des Rechtecks liegt und die 4 aber bereits die Intervallgrenze darstellt.)

2. Da wir hier die Untersumme berechnet haben lautet die Schreibweise: „U“ steht dabei für Untersumme und „4“ für die Anzahl der Rechtecke.

b. Die Vorgehensweise mit Hilfe der Obersumme an dem konkreten Beispiel: im Intervall , d.h.

Dafür unterteilen wir die markierte Fläche ebenfalls in Rechtecke innerhalb des Intervalls (1; 4). Diese liegen jedoch über der Funktion. (Siehe Abbildung 5).

Bei der Berechnung der Breite für die Obersumme geht man genauso vor wie bei der Untersumme. Jedoch gibt es einen entscheidenden Unterschied bei der Berechnung der Höhe.

Wie bei der Untersumme benötigt man auch hier „bestimmte“ x-Werte, die man in die Funktion einsetzen kann. Diese x-Werte sind ebenfalls vom Monotonieverhalten der Funktion abhängig. Ist eine Funktion in dem gekennzeichneten Intervall steigend, so benutzt man bei der Obersumme die rechtsseitig liegenden x-Werte der Rechtecke. Ist eine Funktion in dem gekennzeichneten Intervall fallend, so benutzt man die linksseitig liegenden x-Werte der Rechtecke.

Da in dem gegebenen Beispiel die Funktion innerhalb des Intervalls steigend ist, benutzt man die rechten x-Werte (siehe Abbildung 6).

Anstatt 1; 1,75; 2,5 und 3,25, die sich aus der Linksseitigkeit der x-Werte für die Untersumme ergeben haben, ergeben sich aufgrund der Rechtsseitigkeit der x-Werte bei der Obersumme folgende x-Werte zur Berechnung der einzelnen Flächeninhalte: 1,75; 2,5; 3,25 und 4 ein.

Daraus ergibt sich durch die Addition derselben ein neuer und logischerweise auch größerer Flächeninhalt.

Daher gilt:

In unserem Beispiel sieht dies dann folgendermaßen aus:

Da man gerade die Obersumme berechnet hat, lautet die Schreibweise nun:

„O“ ist dabei die Abkürzung für die Obersumme und die „4“ steht für die Anzahl der Rechtecke.

Hat man nun die beiden Ergebnisse aus Ober- und Untersumme, nutzt man diese zur Ermittlung des Mittelwerts, der den Näherungswert der zu berechnenden Fläche darstellt.

Die Formel hierfür lautet allgemein:

Daraus ergibt sich für unser Beispiel:

Aus den in a. und b. gezeigten Rechnungen lässt sich für den Flächeninhalt allgemein folgende Aussage treffen (siehe Abbildung 7):

[...]