Portfoliooptimierungsanalyse. Theorie und empirische Untersuchung


Akademische Arbeit, 2006

36 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Inhalt

1. EINLEITUNG

2. PORTFOLIOOPTIMIERUNGSANALYSE
2.1 Moderne Portfoliotheorie
2.1.1 Portfolio Selection-Modell
2.1.2 Tobin-Separationstheorem
2.1.3 Kritische Würdigung
2.2 Empirische Untersuchung
2.2.1 Annahmen und Datengrundlagen
2.2.2 Die verwendeten Assetklassen
2.2.3 Portfoliooptimierung durch Rohstoffe

ANHANG

4. Literaturverzeichnis (inklusive weiterführender Literatur)

1. EINLEITUNG

Im Zuge der stetig zunehmenden weltweiten Verflechtungen wandeln sich auch Finanzmärkte zu global integrierten, stark vernetzten Märkten.[1] Dieser Trend ist Ursache dafür, dass in den letzten Jahrzehnten steigende Korrelationen[2] der Renditen der traditionellen Assetklassen Aktien, Renten und Immobilien festgestellt werden konnten.[3]

Ein zunehmender Gleichlauf von Aktien-, Renten- und Immobilienmärkten ist gleichzeitig mit einem Rückgang des Diversifikationseffektes eines Portfolios auf Basis der traditionellen Anlagen verbunden.[4] Konsequenzen dieses Zusammenhangs zeigen sich insbesondere in Phasen schwacher Aktienmärkte. So löste der Zusammenbruch der New Economy-Hausse im Frühjahr 2000 im Anschluss an zwei goldene (Anlage-)Jahrzehnte der achtziger und neunziger Jahre, die durch überdurchschnittlich hohe Renditen an den Aktien- und Rentenmärkten gekennzeichnet waren, Ernüchterung bei den Kapitalanlegern aus. Die Baisse an den weltweiten Aktienmärkten und niedrige Anleiherenditen führten im Zeitraum von 2000 bis 2003 dazu, dass ein klassisch zusammengestelltes Portfolio nicht mehr die in der Vergangenheit für selbstverständlich gehaltene Verzinsung des eingesetzten Kapitals erwirtschaften konnte.[5] Dies hat gezeigt, dass eine Vermögensaufteilung nach den bisherigen Kriterien nicht mehr zeitgemäß ist. Auch gegenwärtig wird aufgrund der Tatsache, dass die Gefahren an den Finanzmärkten in jüngster Zeit deutlich zugenommen haben, ein Anstieg der Volatilität und damit des Risikos an den Finanzmärkten erwartet.[6]

Das Grundmodell, auf welchem die Arbeit aufbaut, stellt die Portfolio Selection-Theorie von Markowitz dar. Neben dieser Theorie wird zudem die Modellmodifikation durch Tobin betrachtet, da diese den Anforderungen und Gegebenheiten in der Praxis gerechter zu werden scheint. Der zweite Abschnitt bildet die empirische Untersuchung. Dabei erfolgt einleitend eine Beschreibung der Annahmen und Datengrundlagen, auf denen die später dargestellte Optimierungsrechnung basiert. In einem weiteren Schritt werden die in der Untersuchung berücksichtigten Assetklassen, welche durch verschiedene Indizes abgebildet werden, vorgestellt. Neben der Ermittlung der Risiko- und Ertragscharakteristika werden die Korrelations-Profile der Assets analysiert und hinterfragt. Von diesen empirischen Erkenntnissen ausgehend wird modellhaft untersucht, wie sich das Risiko/Ertrags-Profil eines traditionellen Portfolios durch die Beimischung von Rohstoffen verändert. Weiter wird der Frage nachgegangen, wie hoch die optimalen Allocation-Gewichte theoretisch sein sollten. Einige Anmerkungen zu den getroffenen Annahmen schließen die Arbeit ab.

2. PORTFOLIOOPTIMIERUNGSANALYSE

2.1 Moderne Portfoliotheorie

Grundlage der Modernen Portfoliotheorie ist die im Jahr 1952 von Markowitz entwickelte Portfolio Selection-Theorie[7]. Das sog. Markowitz-Modell wurde zwischenzeitlich in verschiedener Weise modifiziert wie bspw. von Tobin, Black und Dyl.[8] Im Folgenden wird das Grundmodell nach Markowitz und dessen Erweiterung durch Tobin dargestellt.

2.1.1 Portfolio Selection-Modell

Die Portfolio Selection-Theorie stellt eine normative Theorie dar, die herleitet, wie ein Investor mit gegebenen Erwartungen unter bestimmten Annahmen und auf Basis seiner Risikopräferenz die Struktur seines Portfolios aus riskobehafteten Wertpapieren optimieren sollte.[9]

Ausgangspunkt ist der Nachweis von Markowitz, dass aus nicht perfekt-positiv korrelierten Einzelanlagen ein Portfolio erstellt werden kann, welches ein Gesamtrisiko aufweist, das kleiner als die Summe aller Einzelrisiken ist (sog. Diversifikationseffekt). Die Portfolio Selection-Theorie geht deshalb von der Erkenntnis aus, dass Überlegungen zur Allokation von Finanzmitteln auf verschiedene Assets nicht allein auf der Grundlage der erwarteten Renditen basieren, sondern vielmehr das Risiko im Entscheidungsprozess berücksichtigt werden muss.[10]

Im Grundmodell der Portfolio Selection-Theorie werden folgende Annahmen bezüglich des Anlageverhaltens und der Eigenschaften des Kapitalmarktes getroffen:[11]

- Einperioden-Modell: Der Planungszeitraum beträgt genau eine Periode.
- Erwartungswert/Varianz-Modell: Investoren beurteilen Portfolios ausschließlich anhand der erwarteten Rendite[12] und des Risikos. Als Risikomaß wird die Varianz[13] der Rendite verwendet.
- Risikoaversion: Investoren akzeptieren nur dann ein höheres Risiko, falls ihre Renditeerwartung überproportional zunimmt.
- Renditemaximierung: Investoren sind rational, d.h. sie ziehen bei identischem Risiko eine höher erwartete Rendite weniger hohen erwarteten Renditen vor.
- Renditeverteilung bzw. Nutzenfunktion: Entweder sind die Wertpapierrenditen normalverteilt[14] oder der Investor trifft seine Anlageentscheidungen anhand einer quadratischen Nutzenfunktion[15].
- Friktionsloser Kapitalmarkt: Sämtliche Wertpapiere sind beliebig teilbar und es existieren weder Transaktionskosten noch Steuern. Ebenso stehen allen Markt­teilnehmern alle Informationen gleichzeitig und kostenlos zur Verfügung. Investoren sind Preisnehmer, d.h. sie können durch Käufe und Verkäufe keinen Einfluss auf den Preis der Wertpapiere nehmen.
- Restriktionen: Das Kapital wird voll investiert. Leerverkäufe sind nicht erlaubt.
- Eigenschaften der Wertpapiere: Es existiert weder eine risikolose Anlage, noch gibt es zwei Wertpapiere, deren Korrelationskoeffizient[16] -1 beträgt. Zudem sind mind. zwei Wertpapiere durch eine unterschiedliche Rendite gekennzeichnet.

Gelten die genannten Annahmen bzw. handelt ein Investor danach, so wird sein Portfolio aus einer Mischung von verschiedenen Wertpapieren bestehen. Ziel der Portfolio Selection ist es, die Anteile der einzelnen Wertpapiere so zu wählen, dass das Risiko in optimaler Weise diversifiziert wird. Es ergeben sich drei Fälle, in denen effiziente Kombinationen von erwarteter Rendite und Risiko in einem Portfolio vorliegen:

Es gibt kein Portfolio, das

- bei gleicher erwarteter Rendite ein geringeres Risiko,
- bei gleichem Risiko eine höher erwartete Rendite,
- sowohl eine höher erwartete Rendite als auch gleichzeitig ein geringeres Risiko

besitzt.[17]

Die Lösung dieses Optimierungsproblems erfolgt über einen dreistufigen Ansatz. Zunächst wird die Menge aller zulässigen Portfolios bestimmt, um dann daraus die Teilmenge aller effizienten Portfolios auszuwählen. Aufgrund unterschiedlicher Ertrags- und Risikopräferenzen der einzelnen Investoren ist es in einem dritten Schritt erforderlich, aus dieser effizienten Menge das für den individuellen Investor optimale Portfolio zu ermitteln.[18]

Die zulässige Menge aller Portfolios entspricht sämtlichen Portfoliokombinationen, welche durch Variation der Gewichtungen der einzelnen Wertpapiere und unter den genannten Restriktionen generiert werden können.[19] Das Optimierungsproblem der Portfolio Selection zielt dabei auf die Rendite/Risiko-Profile der einzelnen Portfolios ab. Zunächst wird somit für jede Portfoliokombination die erwartete Portfoliorendite sowie auch das Portfoliorisiko berechnet. Die erwartete Rendite eines Portfolios ergibt sich durch Addition der mit den jeweiligen Portfolioanteilen gewichteten Einzelrenditen:[20]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Im Unterschied zur Portfoliorendite stimmt das Portfoliorisiko, gemessen durch die Varianz als Streuungsmaß der Rendite, in der Regel jedoch nicht mit der gewichteten Summe der einzelnen Varianzen überein. Die Streuung der Rendite eines Portfolios hängt neben den Streuungen der Renditen der einzelnen Wertpapiere und der Anteile, mit denen diese Wertpapiere im Portfolio gewichtet sind, zudem von den Kovarianzen[21] der Einzelrenditen untereinander ab.[22] Die allgemeine Formel zur Ermittlung der Portfoliovarianz lautet wie folgt:[23]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Das Portfoliorisiko nimmt - mit Ausnahme eines absoluten Gleichlaufs der einzelnen Wertpapierrenditen - stets einen geringeren Wert als das arithmetische Mittel der Einzelrisiken der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere an.[24] Das Grundprinzip der Diversifikation als Quintessenz der Portfolio Selection-Theorie äußert sich somit in einer Streuung des Anlagevermögens über mehrere Wertpapiere. Bei einer steigenden Anzahl von Wertpapieren im Portfolio haben die Kovarianzen zwischen den einzelnen Wertpapierrenditen einen immer bedeutenderen Einfluss auf das Portfoliorisiko, während die Varianzen der einzelnen Wertpapierrenditen immer mehr vernachlässigt werden können.[25] Je geringer dabei die Kovarianzwerte eines Wertpapiers zu den anderen im Portfolio sind, desto mehr kann diese Komponente zur Diversifikation beitragen.[26] Da die Kovarianz jedoch eine absolute Kennzahl ist, sagt sie für sich allein nichts über die Stärke des linearen Zusammenhangs der beteiligten Renditen aus. Dieser Mangel wird dadurch beseitigt, indem man zu der Maßzahl der Korrelation übergeht. Sie ist eine Kennzahl für den Zusammenhang zweier Variablen und wird durch den Korrelationskoeffizienten ρ, dessen Wertigkeiten sich im Intervall zwischen -1 und +1 bewegen, gemessen. Der Extremwert +1 stellt sich ein, falls ein streng linear positiver Zusammenhang zwischen zwei Renditen besteht, d.h. dass sich die beiden Renditen stets im gleichen Verhältnis in die gleiche Richtung bewegen. Handelt es sich jedoch um eine genau gegenläufige Entwicklung, so nimmt der Korrelationskoeffizient den Wert -1 an. Besteht kein systematischer Zusammenhang zwischen beiden Renditen, so ist der Korrelationskoeffizient gleich null und man spricht von Unkorreliertheit.[27] Abbildung 1 verdeutlicht die Auswirkung der Korrelation auf das Rendite/Risiko-Profil zweier Anlagen A und B.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Auswirkungen der Korrelation auf das Rendite/Risiko-Profil

Quelle: In Anlehnung an GARZ et al. (2004), S. 34

Die Verbindungslinien zwischen A und B stehen für die Portfoliolinien der möglichen Mischungen aus den Wertpapieren A und B bei beliebiger Teilbarkeit.[28] Diese Darstellung demonstriert, dass sich das Gesamtrisiko bei vollkommener Korrelation (ρ = +1) beider Wertpapierrenditen nicht vermindern lässt. Ertrag und Risiko des Portfolios liegen in diesem Fall zwischen den Erträgen und Risiken beider Wertpapiere. Der maximale Diversifikationseffekt kann bei einer vollkommen negativen Korrelation (ρ = -1) der Wertpapierrenditen realisiert werden. In diesem theoretischen Extremfall ist durch entsprechende Gewichtung der beiden Wertpapiere eine risikolose Rendite im Punkt Rf möglich. In der Regel liegt die Korrelation jedoch zwischen den beiden Extremwerten -1 und +1.[29]

Im Folgenden wird für jede Portfoliokombination das Rendite/Risiko-Profil berechnet und mit anderen Kombinationen verglichen. Dieses sog. Opportunity-Set, welches der Menge aller zulässigen Portfolios entspricht, lässt sich grafisch bestimmen, indem man alle Portfoliokombinationen in ein Rendite/Risiko-Diagramm einträgt. Die Darstellung derart ermittelter Punktemengen zeigt eine konvexe[30] Menge von Portfolios (siehe Abb. 2). Die Menge aller effizienten Portfolios wird im Rahmen des Rendite/Risiko-Diagramms durch eine sog. Effizienzgrenze („Efficient Frontier“) begrenzt. Sie ist als geometrischer Ort sämtlicher Portfolios definiert, die für ein bestimmtes Risiko die höchste Rendite aufweisen.[31] Risikoaverse und rationale Anleger werden nur in solche Portfolios investieren, die auf dieser Effizienzgrenze liegen. Alle darunter liegenden zulässigen Portfolios sind ineffizient und lassen sich bei der Wahl des optimalen Portfolios sofort ausschließen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Efficient Frontier

Quelle: In Anlehnung an FABOZZI et al. (2002), S. 34

Zur mathematischen Bestimmung der effizienten Menge ergeben sich die Optimierungsprobleme:

- Maximiere Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzu jedem möglichen Wert für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenoder
- Minimiere Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzu jedem möglichen Wert für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Während der erste Ansatz zu Schwierigkeiten führt, kann der zweite mit Standardmethoden der Optimierung gelöst werden.[32] Hierbei stellt die bereits eingeführte Portfoliovarianz die zu minimierende Zielfunktion dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Optimierung erfolgt unter den Nebenbedingungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Zur Lösung dieses quadratisch konvexen Optimierungsproblems gibt es verschiedene Ansätze. Markowitz entwickelte bereits 1956 den sog. Critical Line Algorithmus.[33] Dabei handelt es sich um ein rechentechnisch extrem effizientes Verfahren zur Berechnung von Efficient Frontiers unter Nebenbedingungen.[34] Da die Beschreibung der diversen Ansätze den Rahmen diese Arbeit sprengen würde, wird hierfür auf die Spezialliteratur verwiesen.[35]

Um nun das für den jeweiligen Investor optimale Portfolio zu bestimmen, ist dasjenige Portfolio auf der Efficient Frontier zu wählen, das den Ertrags- und Risikopräferenzen dieses Anlegers entspricht. Die Ermittlung der Präferenzen des einzelnen Anlegers erfolgt mit Hilfe von Nutzenfunktionen, welche im Rendite/Risiko-Diagramm durch sog. Nutzenindifferenzkurven dargestellt werden. Eine Nutzenindifferenzkurve ist der geometrische Ort aller Rendite/Risiko-Kombinationen, die aus Sicht des Investors gleichwertig sind.[36] Die Stelle, an der eine der Indifferenzkurven die Efficient Frontier tangiert, entspricht dem für den Anleger optimalen Portfolio (siehe Abb. 3). Das Nutzenniveau ist dabei umso größer, je weiter der Tangentialpunkt oben links liegt.[37] Formal ergibt sich das optimale Portfolio des einzelnen Investors in dem Punkt, in welchem die Grenzrate der Substitution (Steigung der Nutzenindifferenzkurve) mit der Grenzrate der Transformation (Steigung der Efficient-Frontier) übereinstimmt.[38]

[...]


[1] Vgl. BESSER (1996), S. 3.

[2] Eine Erläuterung zur Kennzahl der Korrelation findet sich in Kapitel 3.1.1 dieser Arbeit.

[3] Vgl. BAIERL et al. (1999), S. 2.

[4] Vgl. Credit Suisse (2000), S. 10.

[5] Zum vorangegangenen Abschnitt vgl. Credit Suisse (2002), S. 4, 9.

[6] Vgl. RETTBERG (2006), S. 32.

[7] Vgl. MARKOWITZ (1952), S. 77 - 91.

[8] Vgl. GÜGI (1995), S. 66.

[9] Vgl. ZIMMERMANN (1997), S. 11.

[10] Vgl. MARKOWITZ (1952), S. 77.

[11] Vgl. LEUPOLD (1996), S. 13, 16, 21, 30/31, 33, 40/41 u. GÜGI (1995), S. 7, 46.

[12] Die zukünftige Rendite kann zu Beginn der Periode nicht mit Sicherheit angegeben werden. Sie wird viel- mehr als zufällige Größe modelliert, indem ihr eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet wird.

[13] Die Varianz misst die Streuung möglicher Realisierungen der Portfoliorendite um ihren theoretischen Mit- telwert. Alternativ kann das Risiko durch die Standardabweichung, die als positive Quadratwurzel der Va- rianz definiert ist, gemessen werden.

[14] Die Normalverteilung wird vollständig durch den Erwartungswert u. die Standardabweichung beschrieben Daher ist es aus theoretischer Sicht ausreichend, wenn sich die Investoren ausschließlich an der erwarte- ten Rendite u. deren Varianz orientieren.

[15] Im Falle der quadratischen Nutzenfunktion ist der individuelle Erwartungsnutzen lediglich eine Funktion von Erwartungswert u. Varianz der Portfoliorendite, wodurch die Verwendung eines μ/σ-Modells auch be einer unbestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen begründet sein kann.

[16] Eine Erläuterung zur Kennzahl des Korrelationskoeffizienten findet sich im Folgenden dieses Kapitels.

[17] Vgl. PODDING et al. (2003), S. 162/163.

[18] Zum vorangegangenen Abschnitt vgl. SHARPE et al. (1999), S. 172 - 174.

[19] Vgl. MARKOWITZ (1959), S. 130 - 133.

[20] Vgl. COPELAND et al. (2005), S. 128.

[21] Die Kovarianz ist ein statistisches Maß zur Beschreibung des Grades der linearen Abhängigkeit zwischen zwei Zufallsvariablen. Bei einem positiven Wert der Kovarianz bewegen sich die Variablen in die gleiche Richtung u. bei einem negativen Wert entwickeln sie sich entgegengesetzt. Nimmt die Kovarianz den Wert Null an, so besteht eine lineare Unabhängigkeit zwischen den betrachteten zwei Variablen; vgl. MARKO- WITZ (1959), S. 84.

[22] Vgl. MARKOWITZ (1952), S. 80/81.

[23] Vgl. STEINER/BRUNS (2002), S. 8, 10.

[24] Vgl. GARZ et al. (2004), S. 32.

[25] Vgl. GÜGI (1995), S. 43.

[26] Vgl. FABOZZI et al. (2002), S. 29, 31.

[27] Zum vorangegangenen Abschnitt vgl. BERTSCH et al. (1998), S. 43.

[28] Vgl. SHARPE (2000), S. 46.

[29] Vgl. FABOZZI et al. (2002), S. 31 u. GARZ et al. (2004), S. 34.

[30] Die Konvexität der zulässigen Menge von Portfolios ist darauf zurückzuführen, dass die einzelnen Wert- papierrenditen nicht vollständig negativ korreliert sind; vgl. SHARPE et al. (1999), S. 180 u. Abb. 1 dieser Arbeit.

[31] Vgl. FABOZZI et al. (2002), S. 34.

[32] Zum vorangegangenen Abschnitt vgl. HAUSMANN et al. (2002), S. 23 u. SERF (1995), S. 49/50.

[33] Vgl. MARKOWITZ (1956), S. 111 - 133.

[34] Vgl. RUDOLF (1994), S.14/15.

[35] Eine umfassende Monographie zur Thematik des Critical Line Algorithmus findet sich in MARKOWITZ (1992), S. 299 - 346. Für eine Übersicht über diverse Algorithmen der quadratischen Programmierung vgl. bspw. EISELT et al. (1987), S. 481 - 654.

[36] Unter der Annahme, dass es sich um rationale u. risikoaverse Investoren handelt, sind die Indifferenz- kurven streng monoton steigend u. konkav; vgl. BREUER et al. (2004), S. 15, 19.

[37] Zum vorangegangenen Abschnitt vgl. SHARPE et al. (1999), S. 144 - 148, 173/174.

[38] Vgl. COPELAND et al. (2005), S. 122, 132.

Ende der Leseprobe aus 36 Seiten

Details

Titel
Portfoliooptimierungsanalyse. Theorie und empirische Untersuchung
Hochschule
Duale Hochschule Baden-Württemberg, Ravensburg, früher: Berufsakademie Ravensburg
Note
1,0
Autor
Jahr
2006
Seiten
36
Katalognummer
V277502
ISBN (eBook)
9783656701262
ISBN (Buch)
9783656716471
Dateigröße
696 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
portfoliooptimierungsanalyse, theorie, untersuchung
Arbeit zitieren
Carmen Bless (Autor), 2006, Portfoliooptimierungsanalyse. Theorie und empirische Untersuchung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/277502

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: Portfoliooptimierungsanalyse. Theorie und empirische Untersuchung



Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden