Dies ist eine Mitschrift der Vorlesung „Stochastik für Lehrämtler“. Ich habe ausschließlich die Tafelschrift
des Dozenten mitgetippt, ohne weitere Kommentare in diese Mitschrift einzubeziehen. Diese Mitschrift kann
und soll also nicht den ganzen Wortlaut der Vorlesung wiedergeben. Sie soll das Nacharbeiten des Inhalts der
Vorlesung erleichtern. Damit ich für die Übungsblätter dem Skript besser folgen kann und für den besseren
roten Faden, habe ich am Rand die Daten der jeweiligen Vorlesung geschrieben. Teilweise kommen nach
diesen Daten Wiederholungen der letzten Vorlesung. Auch möchte ich anmerken, dass diese Mitschrift trotz
einmaligen Korrekturlesens Fehler beinhalten wird.
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung: „Was ist Stochastik“
I Wahrscheinlichkeitstheorie
1 Laplace-Experiment
1.1 Motivierendes Beispiel: „Das drei Würfel Problem“
1.2 Weiteres Beispiel
1.3 Definition: „Laplace-Experiment“ (LE)
1.4 Sprechweise
1.5 Schreibweise: „Disjunkte Vereinigung“
1.6 Bemerkung
1.7 Folgerungen
2 Die vier Grundprobleme der Kombinatorik
2.1 Proposition
2.2 Folgerung
2.3 Folgerung
2.4 Beispiel: „Paradoxon des Chevalier de Méré
2.5 Beispiel: Lotto „6 aus 49“
2.6 Lemma: „Rechenregeln für Binomialkoeffizienten“
2.7 Satz: „Binomische Formeln“
2.8 Beispiel:
2.9 Kombination mit Wiederholung
2.10 Beispiel:
2.11 Beispiel: „Rote und schwarze Kugeln in einer Urne“
2.12 Stirling’sche Formel
2.13 Anwendung
3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.1 Definition: Endliches Zufallsexperiment (EZ)
3.2 Bemerkung
3.3 Lemma
3.4 Beispiel
3.5 motivierendes Beispiel
3.6 Definition + Satz: „n-fach unabhängige Durchführung“
3.7 Anmerkung
3.8 motivierendes Beispiel
3.9 Definition: Abzählbar-unendliches ZE (AUZE)
3.10 Bemerkung
3.11 Satz
3.12 Bemerkung
3.13 Bemerkung
3.14 Beispiel
3.15 Beispiel
3.16 Satz
3.17 Anwendung
3.18 Definition: diskretes Zufallsexperiment (DZE)
3.19 Bemerkung
3.20 Beispiele
3.21 Lemma
3.22 Lemma
3.23 Satz
3.24 Satz (Inklusions-Exklusions-Formel)
3.25 Anwendung („Wichteln“; fixpunktfreie Permutation)
3.26 Sprachgebrauch
4 Zufallsgrößen
4.1 motivierendes Beispiel
4.2 Lemma
4.3 Bezeichnungen und Schreibweisen
4.4 Beispiel
4.5 Beispiel
4.6 Beispiel
4.7 Bemerkung
4.8 motivierendes Beispiel
4.9 Definition (Erwartungswert)
4.10 Beispiel für eine ZG ohne Erwartungswert
4.11 Würfeln mit „großem Würfel“
4.12 Erwartungswert der Binomial-Verteilung
4.13 Erwartungswert der Poisson-Verteilung zum Parameter λ > 0
4.14 EW für hypergeometrisch verteilte ZG
4.15 EW für negative Binomialverteilung
4.16 Beispiel
4.17 Satz
4.18 Transformationssatz
4.19 Rechenregeln für EW
4.20 Bemerkung
4.21 Hinreichendes Kriterium für die Existenz von Erwartungswerten (Majorantenkriterium)
4.22 motivierendes Beispiel (Varianz)
4.23 Definition der Varianz
4.24 Kriterium für die Existenz der Varianz
4.25 Beispiel
4.26 Lemma
4.27 Verschiebungssatz
4.28 Varianz der Laplace-Verteilung
4.29 Varianz der Binomialverteilung
4.30 weitere Varianzen
4.31 Lemma (Rechenregeln)
4.32 Beispiel
4.33 Satz
4.34 Definition (Kovarianz)
4.35 Satz
4.36 Beispiel
4.37 Definition + Satz
5 Das schwache Gesetz der großen Zahlen
5.1 Das empirische Gesetz der großen Zahlen
5.2 Lemma (Abschätzung von Tschebyscheff)
5.3 Beispiel: Der n-fache Würfelwurf
5.4 Satz (Das schwache Gesetz der großen Zahlen)
5.5 Beispiel: Bernoulli-Kette der Länge n
5.6 Definition
5.7 Satz
5.8 Satz
6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit
6.1 Beispiel
6.2 Definition (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
6.3 Satz
6.4 Satz (totale Wahrscheinlichkeit)
6.5 Beispiel
6.6 Anmerkung
6.7 Formel von Bayes
6.8 Beispiel
6.9 Definition
6.10 Anmerkung
6.11 Beispiele
6.12 Definition
6.13 Multiplikationssatz
6.14 Bemerkung
6.15 Lemma
6.16 Schreibweise
6.17 Definition
6.18 Lemma
6.19 Multiplikationssatz für Erwartungswerte
6.20 Korollar
6.21 Beispiel
7 Der zentrale Grenzwertsatz und die Näherungsformel von Moivre-Laplace
7.1 motivierendes Beispiel
7.2 Die Apprixomation von Moivre-Laplace
7.3 Bemerkungen
7.4 Zurück zu Beispiel 7.1
7.5 Konfidenzintervalle angeben
7.6 Zentralen Grenzwertsatzes
7.7 Anmerkungen
8 Stetig verteilte Zufallsgrößen
8.1 Definition (Kolmogoroff)
8.2 Definition
8.3 Definition (Erwartungswert und Varianz)
8.4 Definition und Lemma
II Beurteilende Statistik
1 Statistische Testverfahren
1.1 Beispiel: Ein Glücksspielanbieter
1.2 Beispiel
1.3 Begrifflichkeiten der Schätztheorie
1.4 zweiseitige Hypothesentests
1.5 Testplanung für einen einseitigen Test
2 Parameter schätzen
2.1 Beispiel
2.2 Beispiel
2.3 Beispiel (zurück zu Beispiel 2.1)
2.4 Motivation
2.5 (offizielle) Definition
2.6 Definition (Schätzer)
2.7 Beispiele
2.8 Definition (Kriterien für Schätzgrößen)
2.9 Satz
2.10 Satz
2.11 Definition (empirische Stichprobenvarianz)
3 Intervalle schätzen
3.1 Definition
3.2 Zusammenfassung
3.3 Die σ–Regeln
Zielsetzung & Themen
Das Ziel der Arbeit ist die fundierte Einführung in die stochastischen Methoden, die mathematische Modellierung von Zufallsphänomenen sowie die Anwendung statistischer Testverfahren und Schätzmethoden. Die Arbeit adressiert Lehramtsstudierende und deckt dabei sowohl theoretische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie als auch praktische Aspekte der beurteilenden Statistik ab.
- Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Laplace-Experimente
- Kombinatorische Problemstellungen und Verteilungsmodelle
- Umgang mit Zufallsgrößen, Erwartungswerten und Varianzen
- Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz
- Statistische Testverfahren und Methoden zur Intervallschätzung
Auszug aus dem Buch
2.4 Beispiel: „Paradoxon des Chevalier de Méré
Wir betrachten die beiden folgenden Ereignisse:
A: „Beim 4-fachen Würfelwurf mindestens eine 6 zu werfen“
B: „Beim 24-fachen Wurf mit 2 Würfeln mindestens eine Doppelsechs zu werfen“
„naiv“ hat man sich das folgende gedacht:
p(6) = 1/6 , beim vierfachen Wurf: P(A) = 4/6 = 2/3 ⊗
p((6, 6)) = 1/36 , beim 24-fachen Wurf: P(B) = 24/36 = 2/3
also sind A und B gleichwahrscheinlich.
Die Praxis zeigt aber: P(A) > 1/2 und P(B) < 1/2
Die Idee bei ⊗ muss falsch sein, da sonst die Wahrscheinlichkeit bei 12 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln bereits bei 2 läge.
Wie geht es richtig?
• zunächst zu A
Ω = {1, ..., 6}×{1, ..., 6}×{1, ..., 6}×{1, ..., 6} = {1, ..., 6}4; |Ω| = 64
A¯ = {1, ..., 5}4; |A¯| = 54
P(A¯) = 54/64 ; P(A)=1 − ( 5/6 )4 ≈ 0, 581
• zu B:
Ω = {1, ..., 6}2 24 mal ×...× {1, ..., 6}2 = ({1, ..., 6}2)24
|Ω| = 3624
B¯ = {(ω1, ..., ω24) : ωi ∈ {1, ..., 62} ∧ ωi = (6, 6), ∀i = 1, ..., 24}
|B¯| = 3524, denn für jedes ωi gibt es 35 Möglichkeiten
P(B¯)=( 35/36 )24; P(B)=1 − ( 35/36 )24 ≈ 0, 491
Zusammenfassung der Kapitel
0 Einleitung: „Was ist Stochastik“: Dieser Abschnitt führt in die Mathematik des Zufalls ein und definiert die Stochastik als Kombination aus Wahrscheinlichkeitstheorie und beurteilender Statistik.
I Wahrscheinlichkeitstheorie: Dieser Teil legt die theoretische Basis mit dem Laplace-Experiment und der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie.
1 Laplace-Experiment: Grundlagen zu Ereignismengen und die Definition der Laplace-Verteilung werden hier behandelt.
2 Die vier Grundprobleme der Kombinatorik: Hier werden zentrale kombinatorische Techniken wie Permutationen und Kombinationen zur Bestimmung von Mächtigkeiten untersucht.
3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Fokus auf die Modellierung von Zufallsexperimenten mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse.
4 Zufallsgrößen: Behandlung von Zufallsgrößen inklusive Erwartungswert, Varianz und Korrelation zwischen Zufallsvariablen.
5 Das schwache Gesetz der großen Zahlen: Untersuchung der empirischen Gesetzmäßigkeiten bei der Wiederholung von Zufallsexperimenten.
6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit: Analyse der Abhängigkeitsstrukturen zwischen Ereignissen und die Anwendung der Bayes-Formel.
7 Der zentrale Grenzwertsatz und die Näherungsformel von Moivre-Laplace: Erklärung der Normalverteilung als Grenzwert von Binomialverteilungen für große Fallzahlen.
8 Stetig verteilte Zufallsgrößen: Übergang von diskreten zu stetigen Verteilungsmodellen mittels Dichtefunktionen.
II Beurteilende Statistik: Anwendung statistischer Methoden zur Parameterschätzung und Testplanung.
1 Statistische Testverfahren: Einführung in die Hypothesenprüfung sowie Fehler erster und zweiter Art.
2 Parameter schätzen: Untersuchung von Schätzverfahren wie dem Maximum-Likelihood-Prinzip zur Bestimmung unbekannter Parameter.
3 Intervalle schätzen: Methoden der Intervallschätzung, um Parameter mit einem bestimmten Konfidenzniveau einzugrenzen.
Schlüsselwörter
Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Laplace-Experiment, Kombinatorik, Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz, Gesetz der großen Zahlen, zentraler Grenzwertsatz, Normalverteilung, Hypothesentest, Schätztheorie, Konfidenzintervall, stochastische Unabhängigkeit.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit bietet eine mathematische Mitschrift der Vorlesung „Stochastik für Lehrämtler“. Sie strukturiert die Wahrscheinlichkeitstheorie und die beurteilende Statistik von den Grundlagen bis zur Intervallschätzung.
Welche zentralen Themenfelder werden abgedeckt?
Die Arbeit deckt Laplace-Experimente, Kombinatorik, diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sowie statistische Testverfahren ab.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Bereitstellung eines strukturierten Begleitmaterials zur Vorlesung, das bei der Nacharbeitung der stochastischen Inhalte und der Vorbereitung auf Übungen unterstützt.
Welche wissenschaftlichen Methoden finden Anwendung?
Es werden mathematische Modellierungen, analytische Herleitungen von Wahrscheinlichkeitsdichten, das Maximum-Likelihood-Prinzip sowie diverse Approximationsmethoden (wie die Moivre-Laplace-Näherung) genutzt.
Welche Inhalte stehen im Hauptteil im Fokus?
Der Hauptteil befasst sich mit der formalen Definition von Zufallsgrößen, deren Kennwerten, dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, dem zentralen Grenzwertsatz und der theoretischen Fundierung der beurteilenden Statistik.
Welche Schlagworte charakterisieren das Dokument?
Wahrscheinlichkeitstheorie, diskrete Zufallsexperimente, stochastische Unabhängigkeit, Parameterschätzung, Normalverteilung und Konfidenzintervalle.
Wie definiert das Skript eine Zufallsgröße?
Eine Zufallsgröße wird als Abbildung definiert, die einem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Wert zuordnet, mit dem gerechnet werden kann.
Warum ist das Gesetz der großen Zahlen wichtig?
Es besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei hinreichend häufiger Wiederholung des Experiments der zugrunde liegenden theoretischen Wahrscheinlichkeit annähert.
Was ist der Unterschied zwischen einem Fehler 1. und 2. Art?
Ein Fehler 1. Art ist die fälschliche Verwerfung der Nullhypothese, während ein Fehler 2. Art die fälschliche Beibehaltung der Nullhypothese beschreibt, obwohl die Alternative wahr wäre.
- Arbeit zitieren
- Lukas Baumanns (Autor:in), 2014, Stochastik für Lehrämtler, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/277935
