Leseprobe
Stochastik für Lehrämtler
Mitschrift von Lukas Baumanns
26. Juli 2014
Vorwort
Dies ist eine Mitschrift der Vorlesung ,,Stochastik für Lehrämtler". Ich habe ausschließlich die Tafelschrift
des Dozenten mitgetippt, ohne weitere Kommentare in diese Mitschrift einzubeziehen. Diese Mitschrift kann
und soll also nicht den ganzen Wortlaut der Vorlesung wiedergeben. Sie soll das Nacharbeiten des Inhalts der
Vorlesung erleichtern. Damit ich für die Übungsblätter dem Skript besser folgen kann und für den besseren
roten Faden, habe ich am Rand die Daten der jeweiligen Vorlesung geschrieben. Teilweise kommen nach
diesen Daten Wiederholungen der letzten Vorlesung. Auch möchte ich anmerken, dass diese Mitschrift trotz
einmaligen Korrekturlesens Fehler beinhalten wird.
25. Juli 2014
Lukas Baumanns
Literatur
Schmitz, Norbert: Stochastik für Lehramtsstudenten, Lit Verlag, Münster 1997.
1
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung: ,,Was ist Stochastik"
5
I
Wahrscheinlichkeitstheorie
6
1 Laplace-Experiment
6
1.1
Motivierendes Beispiel: ,,Das drei Würfel Problem" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Weiteres Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Definition: ,,Laplace-Experiment" (LE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Sprechweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
Schreibweise: ,,Disjunkte Vereinigung" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Die vier Grundprobleme der Kombinatorik
8
2.1
Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Beispiel: ,,Paradoxon des Chevalier de Méré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Beispiel: Lotto ,,6 aus 49" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
Lemma: ,,Rechenregeln für Binomialkoeffizienten" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Satz: ,,Binomische Formeln" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8
Beispiel:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.9
Kombination mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.10 Beispiel:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.11 Beispiel: ,,Rote und schwarze Kugeln in einer Urne"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.12 Stirling'sche Formel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.13 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
14
3.1
Definition: Endliches Zufallsexperiment (EZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.5
motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.6
Definition + Satz: ,,n-fach unabhängige Durchführung" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.7
Anmerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.8
motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.9
Definition: Abzählbar-unendliches ZE (AUZE)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.12 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.13 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.14 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.16 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.17 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.18 Definition: diskretes Zufallsexperiment (DZE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.19 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.20 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.21 Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.22 Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.24 Satz (Inklusions-Exklusions-Formel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.25 Anwendung (,,Wichteln"; fixpunktfreie Permutation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.26 Sprachgebrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
4 Zufallsgrößen
25
4.1
motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2
Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3
Bezeichnungen und Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.5
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.6
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.7
Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.8
motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.9
Definition (Erwartungswert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.10 Beispiel für eine ZG ohne Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.11 Würfeln mit ,,großem Würfel" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.12 Erwartungswert der Binomial-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.13 Erwartungswert der Poisson-Verteilung zum Parameter > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.14 EW für hypergeometrisch verteilte ZG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.15 EW für negative Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.16 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.18 Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.19 Rechenregeln für EW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.20 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.21 Hinreichendes Kriterium für die Existenz von Erwartungswerten (Majorantenkriterium) . . .
33
4.22 motivierendes Beispiel (Varianz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.23 Definition der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.24 Kriterium für die Existenz der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.25 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.26 Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.27 Verschiebungssatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.28 Varianz der Laplace-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.29 Varianz der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.30 weitere Varianzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.31 Lemma (Rechenregeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.32 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.33 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.34 Definition (Kovarianz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.35 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.36 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.37 Definition + Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5 Das schwache Gesetz der großen Zahlen
41
5.1
Das empirische Gesetz der großen Zahlen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Lemma (Abschätzung von Tschebyscheff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.3
Beispiel: Der n-fache Würfelwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.4
Satz (Das schwache Gesetz der großen Zahlen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.5
Beispiel: Bernoulli-Kette der Länge n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.6
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.7
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.8
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit
45
6.1
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2
Definition (Bedingte Wahrscheinlichkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.3
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.4
Satz (totale Wahrscheinlichkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.5
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.6
Anmerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.7
Formel von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.8
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.9
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.10 Anmerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
6.12 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.13 Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.14 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.15 Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.16 Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.17 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.18 Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.19 Multiplikationssatz für Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.21 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7 Der zentrale Grenzwertsatz und die Näherungsformel von Moivre-Laplace
52
7.1
motivierendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.2
Die Apprixomation von Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.3
Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.4
Zurück zu Beispiel 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.5
Konfidenzintervalle angeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.6
Zentralen Grenzwertsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.7
Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8 Stetig verteilte Zufallsgrößen
58
8.1
Definition (Kolmogoroff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
8.2
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
8.3
Definition (Erwartungswert und Varianz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
8.4
Definition und Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
II
Beurteilende Statistik
61
1 Statistische Testverfahren
61
1.1
Beispiel: Ein Glücksspielanbieter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.2
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1.3
Begrifflichkeiten der Schätztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
1.4
zweiseitige Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1.5
Testplanung für einen einseitigen Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2 Parameter schätzen
65
2.1
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.2
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.3
Beispiel (zurück zu Beispiel 2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.4
Motivation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.5
(offizielle) Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.6
Definition (Schätzer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.7
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.8
Definition (Kriterien für Schätzgrößen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.9
Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.11 Definition (empirische Stichprobenvarianz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3 Intervalle schätzen
68
3.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2
Zusammenfassung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.3
Die Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4
0
EINLEITUNG: ,,WAS IST STOCHASTIK"
0
Einleitung: ,,Was ist Stochastik"
08.04.2014
·
Mathematik des Zufalls
·
Mathematisierung des Zufalls
·
Einstellung und Untersuchung von mathematischen Modellen, die zufällige Phänomene gut beschreiben
Was sind ,,zufällige Phänomene"
einfaches Paradebeipiel: Münzwurf
·
mögliche Ergebnisse sind bekannt: Kopf oder Zahl
·
Der Ausgang ist nicht vorhersehbar
·
Im Prinzip beliebig oft wiederholbar unter gleichen Voraussetzungen
·
Bei einer fairen Münze sagen wir, das Kopf die Wkt. 0,5 hat, d.h. bei großer Anzahl an Wiederholungen
n erwarten wir, dass die relative Häufigkeit von Kopf r
n
=
Anzahl der Köpfe bei n Würfen
n
sich
1
2
annähert.
,,Empirisches Gesetz der großen Zahlen".
·
weitere Fragen:
wie wahrscheinlich sind 5 Köpfe hintereinander
wie wahrscheinlich sind 8 Köpfe bei 10 Würfen
Vorgehen: Aufstellung eines mathmatischen Modells, Beantwortung der Fragen durch Rechnen und Argu-
mentieren im Modell. Diesen Bereich ausgehend von apriori gegebenen Wkt. auf den Ausgang
von zufälligen Phänomenen zu schließen nennt man Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Münze sei nun verbeult.
Frage:
Mit welche Wkt. sei sie Zahl?
Vorgehen: Große Anzahl von Würfen durchführen. Man schätzt die wahre Wkt. durch die relative Häufig-
keit von Zahl.
Frage:
Wie gut/sicher/zuverlässig ist diese Schätzung? Diesen Bereich nennt man beurteilende oder
schließende Statistik: Aus erhobenen Daten wird auf zugrundeliegende Wkten geschlossen.
Stochastik: Wahrscheinlichkeitstheorie + beurteilende Statiktik
5
1
LAPLACE-EXPERIMENT
Teil I
Wahrscheinlichkeitstheorie
1
Laplace-Experiment
1.1
Motivierendes Beispiel: ,,Das drei Würfel Problem"
Chevaliere de Méré (1607-1684):
Drei faire Spielwürfel werden gleichzeitig geworfen und man bildet die Augensumme.
Frage: Sind 11 oder 12 Augen wahrscheinlicher?
Möglichkeiten für 11 Augen
Möglichkeiten für 12 Augen
6 4 1
6 5 1
6 3 2
6 4 2
5 5 1
6 3 3
5 4 2
5 5 2
5 3 2
5 4 3
4 4 3
4 4 4
6 Möglichkeiten
6 Möglichkeiten
also sind 11 und 12 gleichwahrscheinlich
Bei häufiger Wiederholung des Experiments bemerkte de Méré jedoch, dass die relative Häufigkeit von 11
durchgängig größer war, als die von 12.
·
Lösung dieses Widerspruchs durch Blaise Pascal (1623-1662)
Denke die drei Würfel unterscheidbar:
6 4 1: (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6)
5 5 1: (5,5,1), (5,1,5), (1,5,5)
4 4 4: (4,4,4)
·
Möglichkeiten für 12: 25
Möglichkeiten für 11: 27
Möglichkeiten insgesamt: 6
· 6 · 6 = 216
·
Wkt. von 11:
27
216
=
1
8
= 0, 125
Wkt. von 12:
25
216
0, 116
1.2
Weiteres Beispiel
,,Force majeure Ein Teilungsproblem"
Zwei Spiele, A und B, werfen eine faire Münze. Bei Kopf gewinnt A, bei Zahl B. Gewinner ist, wer als erster
5-mal eine Runde gewonnen hat. Durch höhere Gewalt muss das Spiel beim Stand von 4:3 für A abgebrochen
werden.
Frage: In welchem Verhältnis soll der Einsatz aufgeteilt werden?
Vorschläge
·
Fra Luca Pacioli (1445-1514)
Franziskanermönch und Mathematikdozent; 4:3
·
Nicole Tartaglia (1499-1557)
Mathematiklehrer; (5 + 4
- 3) : (5 + 3 - 4) = 6 : 4 = 3:2
·
Blaise Pascal: Was muss passieren, damit B gewinnt? Die nächsten beiden Würfe müssen Zahl sein mit
der Wkt.
1
2
·
1
2
=
1
4
, also Verhältnis 3:1
·
Pierre de Fermat (1607-1665)
Spiel ist spätestens nach zwei weiteren Runden beendet:
1. Runde
2. Runde
Sieger
K
K
A
K
Z
A
Z
K
A
Z
Z
B
also 3:1.
6
1.3
Definition: ,,Laplace-Experiment" (LE)
1
LAPLACE-EXPERIMENT
gemeinsamer Hintergrund:
10.04.2014
·
endliche Menge möglicher Ergebnisse, die gleich wahrscheinlich sind
·
interessierende Ereignisse (z. B. Augensumme 11) setzen sich durch mehrere Ergebnisse zusammen
·
Wahrscheinlichkeit für Ereignis =
Anzahl g ¨
unstiger Ergebnisse
Anzahl m¨
oglicher Ergebnisse
1.3
Definition: ,,Laplace-Experiment" (LE)
Ein LE ist ein Paar (, p) aus einer endlichen nicht leeren Menge und einer Abbildung
p :
[0, 1] mit p() =
1
||
,
Die Abbildung
ist kleines
Omega
P :
P() [0, 1] mit P (E) =
|E|
||
,
E P()
heißt Laplace-Verteilung (LV) über . p nennen wir die Laplace-Zählerdichte über .
1.4
Sprechweise
Ein Element
nennen wir Ergebnis, eine Teilmenge E nennen wir Ereignis.
Welche Mengen haben wir in den Beispielen 1.1 und 1.2 benutzt?
1.1:
=
{1, ..., 6} × {1, ..., 6} × {1, ..., 6} = {1, ..., 6}
3
=
{(
1
,
2
,
3
) :
i
1, ..., 6, i = 1, 2, 3}
p() = p((
1
,
2
,
3
)) =
1
||
=
1
216
1.2:
=
{(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} = {Z, K}
3
=
{(
1
,
2
) :
i
Z, K, i = 1, 2}
1.5
Schreibweise: ,,Disjunkte Vereinigung"
Es seien
eine nicht leere Menge und A, B, M, A
i
mit i=1,...,m Teilmengen von
. Wir sagen M ist die
disjunkte Vereinigung von A und B,
A
B = M M = A B A B =
Gilt A
i
A
j
=
für alle i,j=1,...,n mit i = j, dann schreiben wir
m
j=1
A
j
anstelle von
n
j=1
A
j
.
1.6
Bemerkung
Es sei (
,p) ein LE mit LV P. Dann gilt
i) 0
P (E) 1, E
ii) P (
) = 0, P ()=1
iii) P (A
B) = P (A) + P (B)
Beweis
i) 0
|E| || 0 =
0
||
|E|
||
||
||
= 1
P (E) =
|E|
||
ii)
|| = 0 P () =
0
||
= 0, P (
)=
||
||
=1
iii)
|A B| = |A| + |B| P (A B) =
|A B|
||
=
|A|+|B|
||
= P (A) + P (B)
1.7
Folgerungen
Für A
definieren wir
A =
{ :
/
A}
i) P (A) = 1
- P (A)
ii) Isotomie: A
B P (A) P (B)
iii) P (A
B) = P (A) + P (B) - P (A B)
iv) A
i
, i = 1, ..., m. P (
m
i=1
A
i
m
i=1
P (A
i
)
7
2
DIE VIER GRUNDPROBLEME DER KOMBINATORIK
Beweis
i)
= ( A) ( A) 1 = P ()
1.6 iii)
=
P (
A) + P ( + A) = P (A) + P (A). Durch Umstellen
erhalten wir i).
ii) B = (B
A) (B \ A)
1.6 iii)
P (B) = P (B A) + P (B \ A) = P (A) +
0
P (B
\ A) P (A)
B
\ A = {
B : /
A}
iii) A
B = A (B \ A)
B = (B
A) (B\A)P(B)=P(AB)+P(B\A)
P (A
B)
1,6 iii)
=
P (A) + P (B
\ A) = P (A) + P (B) - P (A B)
iv) Induktion über m:
(IA) m = 1
P (A
1
) =
1
i=1
P (A
i
)
(IS) m
m + 1
D :=
m
i=1
A
i
P (
m+1
i=1
A
i
) = P (D
A
m+1
)
1.7 iii)
P (D)+P (A
m+1
)
1,7 iii)
m
i=1
P (A
i
)+P (A
m+1
) =
m+1
i=1
P (A
i
)
2
Die vier Grundprobleme der Kombinatorik
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse, haben wir auf die Berechnung der Mächtigkeit
bestimmter Mengen zurückgeführt. Dazu betrachten wir jetzt einige Standardsituationen:
2.1
Proposition
Wir besetzen die Stellen eines k-Tupels (a
1
, ..., a
k
) nacheinander von links nach rechts. Dabei gebe es für die
Besetzung der j-ten Stelle in dem k-Tupel i
j
Möglichkeiten. Dann gibt es insgesamt i
1
· ... · i
k
Möglichkeiten.
Beweis: Per Induktion über k.
2.2
Folgerung
i) ,,Permutation mit Wiederholung"
Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus eine n-elementigen Menge k Elemente herauszuziehen,
wenn nach jedem Zug zurückgelegt wird und es auf die Reihenfole ankommt?
(,,geordnete Probe der Länge k mit Zurücklegen")
Antwort: P mW (n, k) = n
k
Permutation
mit
Wiederholung
={(
1
, ...,
k
) :
i
M, i = 1, ..., k} = M
k
ii) ,,Permutation ohne Wiederholung"
Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine geordnete Probe der Länge k aus einer n-elementigen
Menge ohne Zurücklegen zu ziehen?
={(
1
,...,
k
)
M
k
:
|{
1
, ...,
k
}| = k}
Alle
Ele-
mente
sind
unterschiedlich
=
{(
1
, ...,
k
)
M
k
:
1
=
j
,
i, j = 1, ..., k, i = j}
Antwort:
|| = P oW (n, k) =
0
für k > n
n
· (n - 1)...(n - k + 1) für k n
=
0
für k > n
n!
(n
-k)!
für k
n
2.3
Folgerung
,,Kombination ohne Wiederholung"
Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es aus einer n-elementigen Menge eine ungeordnete Probe der Länge k
ohne Zurücklegen zu ziehen?
Antwort: KoW (n, k) =
0
für k > n
n!
(n
-k)!k!
=:
n
k
=
n
n
-k
für k
n
Beweis: Nach 2.2 ii) lässt sich eine ungeordnete Probe der Länge k auf P oW (k, k) = k! viele Art und Weisen
in eine geordnete Probe verwandeln. Nach 2.2 ii) wissen wir, wie viele geordnete Proben es ohne Zurücklegen
gibt:
P oW (n, k) =
n!
(n
-k)!
= KoW (n, k)
· k!
umstellen
KoW (n, k) =
n!
k!(n
-k)!
8
2.4
Beispiel: ,,Paradoxon des Chevalier de Méré
2
DIE VIER GRUNDPROBLEME DER KOMBINATORIK
2.4
Beispiel: ,,Paradoxon des Chevalier de Méré
15.04.2014
Wir betrachten die beiden folgenden Ereignisse:
A: ,,Beim 4-fachen Würfelwurf mindestens eine 6 zu werfen"
B: ,,Beim 24-fachen Wurf mit 2 Würfeln mindestens eine Doppelsechs zu werfen"
,,naiv" hat man sich das folgende gedacht:
p(6) =
1
6
, beim vierfachen Wurf: P (A) =
4
6
=
2
3
p((6, 6)) =
1
36
, beim 24-fachen Wurf: P (B) =
24
36
=
2
3
also sind A und B gleichwahrscheinlich.
Die Praxis zeigt aber: P (A) >
1
2
und P (B) <
1
2
Die Idee bei
muss falsch sein, da sonst die Wahrscheinlichkeit bei 12 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln
bereits bei 2 läge.
Wie geht es richtig?
·
zunächst zu A
= {1, ..., 6} × {1, ..., 6} × {1, ..., 6} × {1, ..., 6} = {1, ..., 6}
4
;
|| = 6
4
¯
A =
{1, ..., 5}
4
;
| ¯
A
| = 5
4
P ( ¯
A) =
5
4
6
4
; P (A) = 1
- (
5
6
)
4
0, 581
·
zu B:
= {1, ..., 6}
2
24 mal
×...× {1, ..., 6}
2
= (
{1, ..., 6}
2
)
24
|| = 36
24
¯
B =
{(
1
, ...,
24
) :
i
{1, ..., 6
2
}
i
= (6, 6),
i = 1, ..., 24}
| ¯
B
| = 35
24
, denn für jedes
i
gibt es 35 Möglichkeiten
P ( ¯
B) = (
35
36
)
24
; P (B) = 1
- (
35
36
)
24
0, 491
2.5
Beispiel: Lotto ,,6 aus 49"
a) ohne Zusatzzahl: KoW (49, 6) =
49
6
=
49!
6!43!
= 13.983.816
= { {1, ..., 49} : || = 6}, || =
49
6
b) mit Zusatzzahl:
= {0, ..., 9} × { {1, ..., 49} : || = 6}
|| = 10 · 13.983.816
2.6
Lemma: ,,Rechenregeln für Binomialkoeffizienten"
(a)
n
k
=
n
n
-k
,
k {0, ..., n}
(b)
n
0
=
n
n
= 1,
n
1
= n,
n
2
=
n
·(n-1)
2
·1
(c)
n+1
k+1
=
n
k
+
n
k+1
; Rekursionsformel
Beweis
(a) klar nach Definition
(b) klar nach Definition, beachte dabei: 0! = 1
9
2.6
Lemma: ,,Rechenregeln für Binomialkoeffizienten"
2
DIE VIER GRUNDPROBLEME DER KOMBINATORIK
(c) Verschiedene Fälle
k<n:
n
k
+
n
k + 1
=
n!
k!(n
- k)!
+
n!
(k + 1)!(n
- k - 1)!
=
1
(k + 1)!(n
- k)!
(k
2
+ 1 + n
- k
2
)
=
(n + 1)!
(k + 1)!(n
- k)!
=
(n + 1)!
(k + 1)!(n + 1
- (k + 1))!
=
n + 1
k + 1
k=n:
n + 1
k + 1
=
n
n
+
n
n + 1
1
=
1 + 0
n
k
= 0 für
k>n
k>n:
n + 1
k + 1
=
n
k
+
n
k + 1
0
=
0 + 0
Lemma 2.6(c) lässt sich gut am Pascal'schen Dreieck darstellen
Der Binomialkoeffizient hat seinen Namen von der binomischen Formel:
10
2.7
Satz: ,,Binomische Formeln"
2
DIE VIER GRUNDPROBLEME DER KOMBINATORIK
2.7
Satz: ,,Binomische Formeln"
a, b R, n N
0
: (a + b)
n
=
n
j=0
n
j
a
j
b
n
-j
Beweis
Üblich: Induktion über n.
Wir führen den Beweis jetzt mit kombinatorischen Methoden:
(a + b)
n
= (a + b)
· (a + b) · ... · (a + b)
\a
b/,
\a
b/,...,\a b/ (n
Urnen)
Das n-fache Produkt wird ausmultipliziert und man erhält 2
n
Summanden. Jeder Summand hat die Form
a
j
b
n
-j
mit einem j
{0, ..., n}.
Wir fassen zusammen und erhalten:
(a + b)
n
=
n
j=0
c
j
a
j
b
n
-j
, dabei gibt c
j
an, wie oft der Summand a
j
b
n
-j
vorkommt.
c
j
= Anzahl der Möglichkeiten aus n Töpfen, die jeweils ein a und ein b enthalten j a's zu entnehmen.
Antwort: c
j
= KoW (n, j) =
n
j
2.8
Beispiel:
\1 2 3 4/ Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen, die Reihenfolge ist egal. Wie groß ist die Wahrschein-
lichkeit, dass beide gezogenen Zahlen gerade sind?
Ansatz 1: (ohne Reihenfolge) KoW (4, 2)
= { {1, 2, 3, 4} : || = 2}
|| = KoW (4, 2) =
4
2
=
4
·3
2
·1
= 6
A =
{{2, 4}}; |A| = 1; P (A) =
1
6
Ansatz 2: (mit Reihenfolge)
= {(a, b) {1, ..., 4}
2
: a = b
} = {1, ..., 4}
2
;
|| = P oW (4, 2) = 4 · 3 = 12
A =
{(2, 4), (4, 2)}; |A| = 2; P (A) =
2
12
=
1
6
Ansatz 3: man leert das Gefäß mit Reihenfolge
=
{(a, b, c, d) {1, ..., 4}
4
:
|{a, b, c, d}| = 4
|| = P oW (4, 4) = 4! = 24
A =
{(a, b, c, d) : {a, b} = {4, 2} {c, d} = {1, 3}}
|A| = P oW (2, 2) · P oW (2, 2) = 2! · 2! = 4
P (A) =
4
24
=
1
6
2.9
Kombination mit Wiederholung
22.04.2014
Frage: Gegeben sei eine n-elementige Menge M . Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine
ungeordnete Probe
der Länge k zu ziehen?
Antwort: KmW (n, k) =
n
-1+k
k
Beweis:
Man zieht z. B. e
2
, macht für e
2
einen Punkt, legt die Kugel zurück und zieht erneut. Man endet bei einem
Muster:
11
2.10
Beispiel:
2
DIE VIER GRUNDPROBLEME DER KOMBINATORIK
Die Gesamtzahl der Kugeln ist k. Anstatt der n ,,Schubladen", können wir auch n
- 1 Trennstriche machen
und erhalten das folgende Muster: |..|...|.| ... |..
Wie viele Möglichkeiten hat man für solche Muster aus k Punkten und n-1 Trennstrichen?
Wir denken uns die Punkte durchnummeriert P
1
, ..., P
k
und die Striche durchnummeriert S
1
, ..., S
n
-1
. Man
hat n
- 1 + k Objekte, die auf n - 1 + k Plätze ohne Zurücklegen verteilt werden. Dafür gibt es: P oW (n -
1 + k, n
- 1 + k) = (n - 1 + k)! Möglichkeiten. Z.B.: P
7
S
3
S
4
P
5
P
1
S
6
, also .||..|
Um die Anzahl der Punkt-Strich-Muster zu erhalten, muss noch durch die Anzahl der Permutation der
Punkte untereinander und der Striche untereinander geteilt werden:
KmW (n, k) =
(n
- 1 + k)!
k!(n
- 1)!
=
n
- 1 + k
k
Bemerkung
Die Menge der Kombinationen mit Wiederholung lässt sich folgendermaßen notieren:
b
1
gibt an, wie
oft
die
erste
Kugel gezogen
wurde
= {(b
1
, b
2
, ..., b
n
) : b
i
N
0
i {1, ..., n}
n
i=1
b
i
= k
}
|| = KmW (n, k)
2.10
Beispiel:
Wie viele Zahlentripel
(a, b, c)
N
3
0
gibt es, deren Summe 100 ergibt?
Antwort: KmW (3, 100) =
102
100
=
102
2
=
102
·101
2
·1
= 51
· 101 = 5151
Variante
Wie viele Tripel (a, b, c)
N
3
gibt es mit a + b + c = 100?
Trick:
a = a + 1, b = b + 1, c = c + 1
Dann gilt: (a , b , c )
N
3
0
und a + b + c = a + b + c
- 3 = 97
KmW (3, 97) =
99
97
=
99
2
=
99
·98
2
= 99
· 49
2.11
Beispiel: ,,Rote und schwarze Kugeln in einer Urne"
In einer Urne seien r rote Kugeln und s schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Zug
ohne Zurücklegen von n Kugeln k rote Kugeln zu ziehen? Wir nummerieren die N = r + s Kugeln durch,
so dass die Kugeln 1, ..., r rot sind und die Kugeln r + 1, ..., N schwarz sind. Das zugrunge liegende (LE) ist
dann
= { {1, ..., N} : || = n}
|| = KoW (N, n) =
N
n
E
=
{ : | {1, ..., r}| = k}
Sei nun
E, also | {1, ..., r}| = k (dann gibt es
r
k
Möglichkeiten), dann gilt
| {r + 1, ..., N}| = n - k
(dann gibt es
N
-r
n
-k
Möglichkeiten)
|E| =
n
k
·
N
-r
n
-k
f alls k
r und k n
0
sonst
P (E) =
(
r
k
)
·
(
N-r
n-k
)
(
N
n
)
f alls k
r und k n
0
sonst
12
2.12
Stirling'sche Formel
2
DIE VIER GRUNDPROBLEME DER KOMBINATORIK
Wichtige Anwendung
N :
Anzahl der produzierten Güter
r :
Anzahl der defekten Artikel
n :
Größe einer Probe/Lieferung
k :
Anzahl der defekten Artikel in der Probe/Lieferung
(
r
k
)
·
(
N-r
n-k
)
(
N
n
)
= H
N,r,n
(k) nennt sich dann die ,,Hypergeometrische Verteilung"
Appendix zum Kapitel ,,Kombinatorik"
Um Binomialkoeffizienten zu berechnen, benötigt man die Fakultät von eventuell sehr großen Zahlen. Das
ist numerisch aufwendig, z.B. mit Excel: 170!
7, 2574 · 10
306
2.12
Stirling'sche Formel
n N :
2n
n
e
n
· e
1
12n+1
< n! <
2n
n
e
n
· e
1
12n
d.h. n!
2n
n
e
n
für n
, d.h.
lim
n!
2n
·
n
e
n
= 1
Beweis
nur
für
eine
gröbere Versi-
on
Hauptidee: Logarithmus
ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n)
ln(n!) >
´
n
1
ln(x)dx
ln(2) <
´
3
2
ln(x)dx
ln(3) <
´
4
3
ln(x)dx
ln(n!) <
´
n+1
2
ln(x)dx
´
n
1
ln(x)dx < ln(n!) <
´
n+1
2
ln(x)dx
n
· ln(n) - n + 1 = [x · ln(x) - x]
n
1
und [x
· ln(x) - x]
n+1
2
= (n + 1)ln(n + 1)
- (n + 1) - 2ln(2) + 2
e
n
·ln(n)-n+1
= e
n
e
n
< n! < e
(n+1)ln(n+1)
-(n+1)-2ln(2)+2
=
n+1
e
n+1
·
e
2
4
13
2.13
Anwendung
3
DISKRETE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
2.13
Anwendung
Wie viele Dezimalstellen hat 1000!?
log
10
(1) = 0
log
10
(10) = 1
log
10
(100) = 2
log
10
(1000) = 3
a
(1, 10) log
10
(a)
(0, 1)
a
(10, 100) log
10
(a)
(1, 2)
Anzahl der Dezimalstellen = [log
10
(a)] + 1
log
10
(1000!)
log
10
2
· 1000 ·
1000
e
1000
=
1
2
log
10
(2000)+1000
·(log
10
(1000)
-log
10
(e)) =
1
2
log
10
(2000)+
1000
· (3 - log
10
(e))
2567, 604644
1000! hat also 2568 Dezimalstellen.
3
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
24.04.2014
Wir wollen nun auch Zufallsexperimente betrachten, in denen die Ergebnisse unterschiedliche Wahrschein-
lichkeiten haben dürfen., z. B. Werfen einer unfairen Münze.
3.1
Definition: Endliches Zufallsexperiment (EZ)
Ein endliches Zufallsexperiment (EZ) ist ein Paar (
,p) aus einer endlichen Menge = und einer Abbildung
p :
[0, 1], mit
p() = 1
Die Abbildung
P :
P() R
+
0
= [0,
), mit P (E) =
E
p(),
E
heißt die zu p gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung (WV) über
.
Es gilt:
3.2
Bemerkung
Ist (
, p) ein endliches Zufallsexperiment mit WV P , dann gilt:
i) 0
P (E) 1, E
ii) P (
) = 0, P () = 1
iii) P (A
B) = P (A) + P (B), A, B mit A B =
Beweis
i) P (E) =
E
0
p()
p() = 1
ii) P (
) =
p() = 0
P (
) =
p() = 1
iii) P (A
B) =
A B
p() =
A
p() +
B
p() = P (A) + P (B)
3.3
Lemma
Ist
eine endliche Menge, = und P : P()
1
R
+
0
eine Abbildung mit
2
P (A
B) = P (A) +
P (B),
A, B mit A B = und
3
P (
) = 1. Dann gibt es genau ein EZ (,p), sodass P die zu
p gehörende WV über
ist.
14
Ende der Leseprobe aus 71 Seiten
- Arbeit zitieren
- Lukas Baumanns (Autor:in), 2014, Stochastik für Lehrämtler, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/277935
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