Wie es Johann Wolfgang von Goethe in Faust I schreibt, versucht der Mensch, zu erkennen, was die Welt im Innersten zusammenhält. Im vergangenen Jahrhundert sind sehr viele Aufwendungen getätigt worden, diese metaphorische Frage zu beantworten, also die grundlegenden Bestandteile der Natur zu identifizieren. Die Teilchen und die sie beschreibenden Kräfte werden im sogenannten Standardmodell (SM) zusammengefasst, welches stetig ausgeweitet und verbessert wird. Teil dieses Modells ist die Beschreibung von flavourändernden Zerfällen von aus Quarks zusammengesetzten Hadronen im Zuge der schwachen Wechselwirkung. Der hierbei auftretende Teilchenstrom der Quarks wird durch ein Matrixelement beschrieben, welches sich durch den großen Einfluss der starken Wechselwirkung nicht mehr störungstheoretisch bestimmen lässt und deshalb eine Darstellung von Formfaktoren verwandt wird. Diese einheitenlosen Größen enthalten sämtliche theoretisch nicht zugängliche Parameter und sind durch die Verwendung
experimenteller Daten berechenbar. Die Bestimmung der Formfaktoren ist Ziel dieser Arbeit.
Zu Beginn dieser Arbeit werden die theoretischen Grundlagen der Relativistik, der Quantenmechanik sowie des Standardmodells mit spezieller Betrachtung der schwachen Wechselwirkung und schließlich einer näher diskutierten Parametrisierung für Formfaktoren vertieft. Hier ermittelte Ergebnisse umfassen die Bestimmung des physikalisch relevanten Bereichs des betrachteten Zerfalls sowie die Vorstellung des zum Fit des
Formfaktors benutzten Skripts und die daraus resultierenden Größen der Formfaktoren.
Formfaktoren des
semileptonischen
D Kl
+
Zerfalls
Bachelorarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades
Bachelor of Science
vorgelegt von
Dimitrios Skodras
Lehrstuhl f¨
ur Theoretische Physik IV
Fakult¨
at Physik
Technische Universit¨
at Dortmund
2014
Datum des Einreichens der Arbeit: 14. Juli, 2014
"
Es gibt nichts Praktischeres, als eine gute Theorie."
- Kant, Immanuel
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
V
Tabellenverzeichnis
VI
1
Einleitung
1
2
Theorie
2
2.1
Voraussetzungen moderner Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1.1
Relativistische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1.2
Dirac-Gleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.3
Fermis Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Standardmodell der Elementarteilchenphysik
. . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.1
Teilcheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.2
Schwache Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.2.1
Parit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.2.2
Fermi-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.2.3
CKM-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Parametrisieren von Formfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3
Ergebnisse
15
3.1
Kinematische Gr¨
oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Die Axialvektorformfaktoren und f
-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Fit des Formfaktors f
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3.1
Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3.2
Der Minimierungsprozess durch
Minuit . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3
Resultate unter Variation von t
0
und der Polynomordnung
. . .
19
4
Zusammenfassung und Ausblick
24
Literaturverzeichnis
25
IV
Abbildungsverzeichnis
2.1
Feynman-Diagramme f¨
ur GSW-Theorie (l.) und Fermi-Wechselwirkung
(r.).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Feynmangraph zum D
¯
Kl
+
l
Zerfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.1
Zwei Zerfallsm¨
oglichkeiten des D
+
-Mesons mit extremalen q
2
-Werten. .
16
3.2
D
0
K
-
l
+
: t
0
= 0,
O = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3
D
0
K
-
l
+
: t
0
= 0,
O = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4
D
0
K
-
l
+
: t
0
= t
opt
,
O = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5
D
0
K
-
l
+
: t
0
= t
opt
,
O = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6
D
+
¯
K
0
l
+
: t
0
= 0,
O = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7
D
+
¯
K
0
l
+
: t
0
= 0,
O = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.8
D
+
¯
K
0
l
+
: t
0
= t
opt
,
O = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.9
D
+
¯
K
0
l
+
: t
0
= t
opt
,
O = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
V
Tabellenverzeichnis
2.1
Kenndaten elementarer Fermionen (ohne Antiteilchen). . . . . . . . . . .
8
2.2
Kenndaten der im Zerfall beteiligten Mesonen.
. . . . . . . . . . . . . .
8
3.1
Maximalwerte des
|z|-Polynoms f¨ur verschiedene t
0
.
. . . . . . . . . . .
16
3.2
Reihenkoeffizienten, das minimierte
2
, sowie der Startwert des Form-
faktors f
+
(0)
|V
cs
|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3
Vergleich der gefitteten Formfaktoren mit denen der CLEO Collaborati-
on bei ¨
ahnlichen Parametrisierungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
VI
Kapitel 1
Einleitung
Wie es Johann Wolf
g
ang von Goethe in Faust I schreibt, versucht der Mensch, zu erken-
nen, was die Welt im Innersten zusammenh¨
alt. Im vergangenen Jahrhundert sind sehr
viele Aufwendungen get¨
atigt worden, diese metaphorische Frage zu beantworten, also
die grundlegenden Bestandteile der Natur zu identifizieren. Die Teilchen und die sie be-
schreibenden Kr¨
afte werde
n
im sogenannten Standardmodell (SM) zusammengefasst,
welches stetig ausgeweitet und verbessert wird. Teil dieses Modells ist die Beschreibung
von flavour¨
andernden Zerf¨
allen von aus Quarks zusammengesetzten Hadronen im Zu-
ge der schwachen Wechselwirkung. Der hierbei auftretende Teilchenstrom der Quarks
wird durch ein Matrixelement beschrieben, welches sich durch den großen Einfluss der
starken Wechselwirkung nicht mehr st¨
orungstheoretisch bestimmen l¨
asst und deshalb
eine Darstellung von Formfaktoren verwandt wird. Diese einheitenlosen Gr¨
oßen enthal-
ten s¨
amtliche theoretisch nicht zug¨
angliche Parameter und sind durch die Verwendung
experimenteller Daten berechenbar. Die Bestimmung der Formfaktoren ist Ziel dieser
Arbeit.
Zu Beginn dieser Arbeit werden die theoretischen Grundlagen der Relativistik, der
Quantenmechanik sowie des Standardmodells mit spezieller Betrachtung der schwachen
Wechselwirkung und schließlich einer n¨
aher diskutierten Parametrisierung f¨
ur Form-
faktoren vertieft. Hier ermittelte Ergebnisse umfassen die Bestimmung des physikalisch
relevanten Bereichs des betrachteten Zerfalls sowie die Vorstellung des zum Fit des
Formfaktors benutzten Skripts und die daraus resultierenden Gr¨
oßen der Formfakto-
ren.
1
Kapitel 2
Theorie
Um Kenntnis ¨
uber die Formfaktoren zu erlangen, ist es zuvor erforderlich, beteiligte
Zusammenh¨
age zu beleuchten. Ein Einblick in die historische Physik des 20. Jahrhun-
derts soll die Grundlage f¨
ur die den Zerfall entscheidende schwache Wechselwirkung
schaffen. Zuletzt wird eine Parametrisierung von Formfaktoren vorgestellt.
2.1
Voraussetzungen moderner Physik
Die physikalischen Errungenschaften aus der ersten H¨
alfte des 20. Jahrhunderts stel-
len aus heutiger Sicht, aufgrund ihrer Richtigkeit und Exaktheit, die Bedingung ihrer
G¨
ultigkeit an moderne Theorien. Hiermit sind die Spezielle Relativit¨
atstheorie (SRT)
und die Quantenmechanik gemeint. Davon sind im Rahmen dieser Arbeit die relativi-
stische Kinematik, die Dirac-Gleichung sowie die st¨
orungstheoretische
"
Goldene Regel"
von Fermi von Bedeutung.
2.1.1
Relativistische Kinematik
Die SRT stellt die fundamentale Forderung, dass die Form der Naturgesetze unabh¨
angig
vom Inertialsystem gleich ist. Die Lichtgeschwindigkeit c als gr¨
oßte vorkommende Ge-
schwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich groß und wird in nat¨
urlichen Einheiten
von nun an c = 1 gesetzt. Die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E
2
= m
2
+ p
2
beschreibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Energie E, der Masse m
und dem Impuls p. Zur Beschreibung der Bewegung von relativistischen Teilchen wird
wegen der Energie-Impuls-Beziehung und der Verkn¨
upfung von Raum x und Zeit t
(x = t) das Konzept der Vierer-Vektoren eingef¨
uhrt. Es gestaltet sich so, dass die Zeit
als nullte Komponente des Raums und die Energie als nullte Komponente des Impulses
2
2.1. Voraussetzungen moderner Physik
angesehen werden kann, was die 4-Dimensionalit¨
at zeigt [1].
x
= (t, x, y, z)
Vierer-Ort
(2.1)
p
= (E, p
x
, p
y
, p
z
)
Vierer-Impuls
(2.2)
Der Index kann ganzzahlige Werte zwischen 0 und 3 annehmen und steht f¨
ur die
jeweilige Komponente des Vektors. Im Gegensatz zu euklidischen R¨
aumen kann ein
Skalarprodukt zweier Vierer-Vektoren nur dann beschrieben werden, wenn einer kova-
riant (Index unten) und der andere kontravariant (Index oben) ist. Diese ¨
Uberf¨
uhrung
geschieht durch die Minkowskimetrik , die die Norm unter Lorentz-Transformationen
invariant l¨
asst
p
2
= p
p
= p
p
= E
2
- p
2
= m
2
,
(2.3)
was wiederum die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ist. Die Einsteinsche Sum-
menkonvention wird hierbei angewandt.
2.1.2
Dirac-Gleichung
Die bekannte Schr¨
odinger-Gleichung zur Beschreibung quantenmechanischer Prozesse
zeigt keine Invarianz unter Lorentztransformationen, da sie nicht der relativistischen
Energie-Impuls-Beziehung gen¨
ugt. Eine Gleichung, die lorentzinvariant ist und deren
L¨
osung zudem eine positive Wahrscheinlichkeitsdichte aufweist, ist die Dirac-Gleichung,
die f¨
ur Spin
1
/
2
-Teilchen, die Fermionen, gilt. Um dies zu gew¨
ahrleisten, m¨
ussen die
partiellen Zeit- und Ortsableitungen in jeweils erster Ordnung sein und damit folgender
Schr¨
odinger-Form gen¨
ugen [3]:
i
t
=
-i
k
k
+ m =
H
D
,
(2.4)
mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum in nat¨
urlichen Einheiten
= 1
und
H
D
, dem diracschen Hamiltonian. Die
k
=
0
k
und =
0
sind die historischen
Dirac-Matrizen. Gel¨
ost wird diese Schr¨
odinger-Form von der Dirac-Gleichung
(/p
- m) = 0,
(2.5)
mit /p als Impulsoperator in der Feynman-Slash-Notation, allgemein f¨
ur einen beliebigen
Operator A
/
A :=
A
=
0
A
0
-
i
· A
i
(2.6)
3
Kapitel 2. Theorie
und als Wellenfunktion. Die -Matrizen in der Dirac-Pauli-Notation lauten
0
=
1
0
0
-1
,
i
=
0
i
-
i
0
und
5
=
0
1
1 0
mit
1 als 2x2-Einheitsmatrix und den
i
als Paulimatrizen
1
=
0
1
1
0
,
2
=
0
-i
i
0
und
3
=
1
0
0
-1
.
Die L¨
osungen der freien Dirac-Gleichung sind Wellenfunktionen
+
(x) = u(p)
(1,2)
e
-ip
x
und
-
(x) = v(p)
(1,2)
e
+ip
x
,
(2.7)
die eingesetzt in (2.5) die Gleichungen f¨
ur die Spinoren u und v
(/p
- m)u
(1,2)
= ¯
u
(1,2)
(/p
- m) = 0
(2.8)
(/p + m)v
(1,2)
= ¯
v
(1,2)
(/p + m) = 0,
(2.9)
ergeben, wobei /p hier nun kein Operator, sondern der Eigenwert des Viererimpulses der
ebenen Welle (2.7) ist und ¯
a = a
0
, mit
als komplexe Konjugation und Transpo-
nierung. Die Energieeigenwerte der freien L¨
osungen f¨
ur Teilchen
+
sind positiv und
die der Antiteilchen
-
negativ, was mit der L¨
ochertheorie interpretiert wird. Wie be-
reits erw¨
ahnt, existiert bei der Dirac-Gleichung ein Wahrscheinlichkeitsstrom j
, der
der lorentzinvarianten Kontinuit¨
atsgleichung
j
= 0
(2.10)
gen¨
ugt. Zur Ermittlung wird (2.4) von links mit der komplex konjugierten Wellenfunk-
tion und die komplex konjugierte Form von (2.4) von rechts mit der nicht komplex
konjugierten Wellenfunktion multipliziert. Hierzu dient die Gleichheit (
)
=
0
0
.
Die daraus resultierenden Gleichungen voneinander abgezogen ergeben die eben ge-
nannte Kontinuit¨
atsgleichung. Der Wahrscheinlichkeitsstrom lautet somit
j
= ¯
.
(2.11)
4
2.1. Voraussetzungen moderner Physik
2.1.3
Fermis Goldene Regel
In der Elementarteilchenphysik werden unter anderem Zerf¨
alle untersucht, deren Eduk-
te im betrachteten Zerfall sehr kurze Lebenszeiten (vgl. Tabelle 2.2) haben und diese
sich daher nicht sehr pr¨
azise bestimmen lassen. Die Relation zwischen der mittleren
Lebensdauer und der Zerfallsrate , einer experimentell bestimmbaren Gr¨
oße, lautet
= 1
=
1
.
(2.12)
F¨
ur einen beliebigen Zerfall ist es von Interesse, eben diese Zerfallsrate auszurechnen
und dazu ben¨
otigt man im Allgemeinen eine Zerfallsamplitude M (auch Matrixelement
genannt) und einen verf¨
ugbaren lorentzinvarianten Phasenraum [2][4]. Die Amplitu-
de, die mithilfe der Feynman Regeln berechenbar ist, enth¨
alt hierbei die dynamischen
Informationen, der Phasenraum die kinematischen, also die Massen, Energien und Im-
pulse der beteiligten Teilchen. Nach Fermis goldener Regel l¨
asst sich die differentielle
Zerfallsbreite durch
d(D
Kl) =
|M|
2
2m
D
d(K, l, )
(2.13)
ausdr¨
ucken, mit m
D
, der Masse des D-Mesons. Der Phasenraum l¨
asst sich als
d = (2)
4
d
3
p
K
2(2)
3
E
K
d
3
k
l
2(2)
3
E
l
d
3
k
2(2)
3
E
4
(p
D
- p
K
- k
l
- k
)
(2.14)
schreiben, wobei k
i
fortan Leptonimpulse, p
i
Hadronimpulse, P die Summe p
D
+ p
K
und q kurz die Differenz p
D
- p
K
bezeichnet. Dabei ist die diracsche Deltafunktion,
deren Aufgabe die Erhaltung von Energie und Impuls ist. Mit diesen Informationen,
soll (2.13) berechnet werden. Das hierzu ben¨
otigte Matrixelement wird ¨
uber den Er-
wartungswert eines Hamiltonians berechnet, der sich in einen Quark- und einen Lep-
tonenstrom aufteilen l¨
asst. Deren Struktur wird durch (2.11) und die V-A-Theorie aus
Abschnitt 2.2.2.2 vorgegeben. Da der leptonische Anteil nicht stark wechselwirkt, ist ei-
ne explizite Darstellung des Erwartungswerts m¨
oglich. Anders hingegen verh¨
alt es sich
beim Quarkstrom, der nach Abschnitt 2.3 durch Formfaktoren f
±
ausgedr¨
uckt werden
kann.
M = Kl
|H|D
5
Kapitel 2. Theorie
=
G
F
V
cs
2
K j
quark
D
· l j
lepton
0
=
G
F
V
cs
2
K(p
K
) ¯
s
(1
-
5
)c D(p
D
)
· ¯u(k
l
)
(1
-
5
)v(k
)
=:
G
F
V
cs
2
K(p
K
) V
- A
D(p
D
)
· ¯u(k
l
)
(1
-
5
)v(k
)
=
G
F
V
cs
2
f
+
(q
2
)P
+ f
-
(q
2
)q
¯
u
(1
-
5
)v
(2.15)
In den Vorfaktor gehen die Fermikonstante G
F
und ein in 2.2.2.3 wiederkommendes
Matrixelement V
cs
ein. ¯
s und c sind quantenfeldtheoretische Vernichtungs- bzw. Erzeu-
gungsoperatoren der jeweiligen Quarks. V
und A
sind der vektorielle und axialvek-
torielle Anteil des Quarkstroms, der in Abschnitt 2.2.2.2 beschrieben wird. Weiterhin
sind f
±
die noch zu diskutierenden Formfaktoren, von denen an dieser Stelle nur f
+
weiter betrachtet werden soll, da in Abschnitt 3.2 gezeigt werden wird, dass dieser der
einzig verbleibende ist. Nach der Quadrierung von M wird der leptonische Anteil ¨
uber
Casimirs Trick [4] umgeformt
M
2
=
G
2
F
|V |
2
2
|f
+
(q
2
)
|
2
P
P
· 8 k
l,
k
,
- g
k
l
k
+ k
l,
k
,
= 4G
2
F
|V |
2
|f
+
(q
2
)
|
2
2P
P
- P
2
g
k
l,
k
,
,
(2.16)
wobei die Indizes k
lepton,lorentzindex
bedeuten. F¨
ur die Phasenraumbetrachtung sind im
Ruhesystem des D-Mesons die Gleichheiten
d
3
p
K
2E
K
= 2
|p
K
| dE
K
und
|p
K
| =
(m
2
D
,m
2
K
,q
2
)
2m
D
,
(2.17)
mit der K¨
all´
en-Funktion
(a,b,c) = a
2
+ b
2
+ c
2
- 2(ab + ac + bc) ,
(2.18)
sowie die Integration
d
3
k
l
2E
l
d
3
k
2E
4
(q
- k
l
- k
)k
k
=
24
(q
2
g
+ 2q
q
)
(2.19)
6
2.2. Standardmodell der Elementarteilchenphysik
gegeben [4]. Es ergibt sich f¨
ur das Phasenraumvolumen mit ¨
Ubernahme von k
l,
und
k
,
aus (2.16) somit
d = (2)
4
dp
k
(2)
9
2E
d
3
k
l
2E
l
d
3
k
2E
4
(q
- k
l
- k
)k
k
=
|p
K
| dE
(2)
4
24
(q
2
g
+ 2q
q
) .
(2.20)
Um nun schließlich die differentielle Zerfallsbreite zusammenzufassen, werden (2.16)
und (2.20) zusammengef¨
uhrt. Im folgenden Ausdruck wird die Gleichheit
2P
P
- P
2
g
2q
q
+ q
2
g
) = 4(m
2
D
,m
2
K
,q
2
) = 16m
2
D
|p
K
|
2
(2.21)
und der aus der Kinematik ableitbare Zusammenhang dE = dq
2
/2m
D
benutzt. Die
zu Beginn genannte Gleichung (2.13) wird nun abschließend als
d =
G
2
F
|V |
2
24
3
|f
+
(q
2
)
|
2
|p
K
|
3
dq
2
(2.22)
ausgedr¨
uckt. Da im weiteren Verlauf
|f
+
(q
2
)
|V berechnet werden soll, jedoch die kom-
plette von q
2
abh¨
angige Zerfallsbreite gemessen wird, ist der eben hergeleitete Zusam-
menhang dieser Gr¨
oßen von Bedeutung.
2.2
Standardmodell der Elementarteilchenphysik
Das SM setzt sich aus zwei definierenden Eigenschaften zusammen, den Teilchen und
den Eichtheorien, die diese beschreiben. Die sichtbare Materie wird aus Fermionen
zusammengesetzt. Zu den Quantenfeldtheorien des SMs, denen jeweils Bosonen als
Austauschteilchen zugeordnet werden, geh¨
oren die Quantenelektrodynamik (QED), die
Quantenchromodynamik (QCD) und die schwache Wechselwirkung, die hier n¨
aher be-
leuchtet wird.
2.2.1
Teilcheninhalt
Seit Langem ist bekannt, dass die als unteilbar angenommenen Atome aus Konstituen-
ten bestehen. Die Elektronenh¨
ulle und der Atomkern, der seinerseits aus Protonen und
Neutronen zusammengesetzt ist, die ihrerseits wiederum aus Quarks bestehen. Nach
derzeitigem Stand gelten Elektronen und die anderen geladenen Leptonen l sowie die
Quarks q als punktf¨
ormige Teilchen, die keine Substruktur aufweisen. Zu jedem Teil-
chen gibt es Antiteilchen. Sie gleichen sich zwar in ihrer Masse, tragen jedoch in allen
7
Kapitel 2. Theorie
ladungsartigen Quantenzahlen, wie der Leptonenzahl oder der elektrischen Ladung und
Parit¨
at, ein entgegengesetztes Vorzeichen. Die stabilen, sehr leichten Neutrinos exi-
stieren zwar nicht in gebundenen Zust¨
anden, gelten jedoch als elementar und sind daher
ebenfalls im elementaren Teilchenzoo [5] in Tabelle 2.1 aufgef¨
uhrt.
Generation
m in MeV
in s
q in e
m in MeV
q in e
1
e
0,511
stabil
-1
u
2,3
+
2
/
3
e
<10
-6
0
d
4,8
-
1
/
3
2
105,7
2,2
· 10
-6
-1
c
1275
+
2
/
3
0
s
95
-
1
/
3
3
1777
2,9
· 10
-13
-1
t
173500
+
2
/
3
0
b
4180
-
1
/
3
Tabelle 2.1:
Kenndaten elementarer Fermionen (ohne Antiteilchen).
Aus Quarks und ihren Partnern, den Antiquarks ¯
q, ist es nun m¨
oglich, verschiedenste
Kombinationen zu bilden, die jedoch nach außen hin immer eine ganzzahlige Ladung
tragen m¨
ussen. Diese Quarkkombinationen, Hadronen genannt, werden durch die An-
zahl an Valenzquarks in (Anti-)Baryonen (¯
q ¯
q ¯
q/qqq) und Mesonen (q ¯
q) unterklassifiziert.
Hier sind die Mesonen interessant, die je aus mindestens einem Quark der 2. Generati-
on bestehen. Speziell f¨
ur diese Arbeit das D-Meson und das K-Meson, das aus einem
schwachen Zerfall des D-Mesons unter Abstrahlung eines W -Bosons entsteht. Das W
zerstrahlt anschließend in ein Leptonenpaar. In Tabelle 2.2 sind ihre Attribute [5] auf-
gef¨
uhrt.
q ¯
q
m in MeV
in s
I(J
P
)
I
z
S
C
D
+
c ¯
d
1869
1,0
· 10
-12
1
/
2
(0
-
)
+
1
/
2
0
+1
D
0
c¯
u
1865
4,1
· 10
-13
1
/
2
(0
-
)
-
1
/
2
0
+1
¯
K
0
s ¯
d
497
-
1
1
/
2
(0
-
)
+
1
/
2
-1
0
K
-
s¯
u
493
1,2
· 10
-8
1
/
2
(0
-
)
-
1
/
2
-1
0
1
Das K
0
hat keine eindeutige, mittlere Lebensdauer
Tabelle 2.2:
Kenndaten der im Zerfall beteiligten Mesonen.
Die hier neu auftauchenden Gr¨
oßen sind die Parit¨
at P , der Gesamtdrehimpuls J und
die Flavourquantenzahlen des starken Isospins I mit seiner dritten Komponenten I
z
sowie der Strangeness S und der Charmness C. Da es sich beim Spectatorquark, dem
am schwachen Zerfall unbeteilgten Quark, um ein Teilchen der 1. Generation handelt
(¯
u, ¯
d), gilt I =
1
2
. Mesonen tragen ganzzahligen Gesamtdrehimpuls und da hier die Spin-
8
2.2. Standardmodell der Elementarteilchenphysik
richtungen ihrer Valenzquarks entgegengesetzt ausgerichtet sind, verschwindet dieser.
Weil D
+
und ¯
K
0
pseudoskalar sind, also unter Raumspiegelung ihre Wellenfunktion
das Vorzeichen ¨
andern, ergibt sich P =
-1.
2.2.2
Schwache Wechselwirkung
Die schwache Wechselwirkung gilt als die Einzige der vier fundamentalen Kr¨
afte, die bei-
spielsweise Parit¨
ats- und Flavoureigenschaften von Teilchen ver¨
andert. Als niederener-
getischen Grenzfall der modernen, quantenfeldtheoretischen Glashow-Weinberg-Salam
Theorie (GWS), wird die klassische Theorie von Fermi reproduziert. Diese beinhaltet
die sogenannte Vier-Fermionen-Punkt-Wechselwirkung (oder Fermi-Wechselwirkung),
die Zerf¨
alle mit vier beteiligten Fermionen beschreiben kann. Bei solchen flavour¨
an-
dernden ¨
Uberg¨
angen gibt die unit¨
are 3
×3-CKM-Matrix die Wahrscheinlichkeit dazu
an.
2.2.2.1
Parit¨
at
Wenn ein Prozess vor und nach einer Symmetrieoperation dieselben physikalischen
Eigenschaften zeigt, gilt dieser als diesbez¨
uglich invariant. Die Parit¨
at, als diskrete
Symmetrie, wechselt bez¨
uglich eines beliebigen Ursprungs das Vorzeichen vektorieller
und pseudoskalarer Gr¨
oßen eines physikalischen Zustands [6]. Axialvektorielle und ska-
lare Gr¨
oßen bleiben hingegen unber¨
uhrt. Somit ergeben die Werte =
±1 sich als
Quantenzahlen f¨
ur den Parit¨
atsoperator
P. Bei zweifacher Ausf¨uhrung entsteht der
urspr¨
ungliche Zustand, da Eigenwerte diskreter Symmetrien multiplikativ sind. Unter
Ber¨
ucksichtigung einer sogenannten Eigenparit¨
at, die eine feste Teilcheneigenschaft ist,
zeigt sich experimentell die Erhaltung der Parit¨
at bei elektromagnetischen und starken
Wechselwirkungen.
2.2.2.2
Fermi-Wechselwirkung
Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung wird eine hadronische Stromdichte
V
c
eingef¨
uhrt [6], die eine Form wie (2.11) besitzt. Das c steht hierbei f¨
ur charged und
bedeutet, dass elektrische Ladung ¨
ubertragen wird. Die hier nicht n¨
aher beschriebenen
Austauschteilchen m¨
ussen daher selbst eine Ladung tragen und werden W
±
-Bosonen
genannt, an die zwei geladene Str¨
ome koppeln. Durch ihre hohe Masse von 82 GeV
kommt die kurze Reichweite zustande, was die Fermi-Wechselwirkung in einem Punkt
erkl¨
art. In Abbildung 2.1 sind die Feynman-Diagramme beider Darstellungen gezeigt.
9
Kapitel 2. Theorie
Abbildung 2.1:
Feynman-Diagramme f¨
ur GSW-Theorie (l.) und Fermi-Wechselwirkung (r.).
Zum hadronischen Strom kommt auch ein leptonischer Strom l
c
, der im Aussehen
seinem Pendant gleicht. Aus ihnen wird ¨
uber eine Kopplungskonstante ein hermitescher
Hamiltonian konstruiert, der bereits in Abschnitt 2.1.3 vorweg genommen wurde
H =
G
F
2
V
c,
l
c
+ l
c,
V
c
,
(2.23)
dessen Raumzeitstruktur als Vektor-Vektor-Kopplung (VV) bezeichnet wird. Die auf-
tretenden Str¨
ome verhalten sich unter Lorentz-Transformationen wie ein Raumzeit-
Vektor. Es zeigt sich, dass diese Art der Kopplung nicht die einzig lorentzinvariante
ist. Aus bilinearen Kombinationen 4-komponentiger Spinoren ergeben sich 16 Freiheits-
grade, die sich auf vektorielle (V), skalare (S), tensorielle (T), pseudoskalare (P) und
axialvektorielle (A) Str¨
ome verteilen. Bei den m¨
oglichen Kombinationen, Strom-Strom-
Kopplungen zu erzeugen, gilt zu beachten, dass der Hamiltonian (pseudo-)skalar sein
muss, was die Kontrahierbarkeit beider Str¨
ome erfordert. Eine dieser Kopplungen (VA)
w¨
urde eine Parit¨
atsverletzung erfordern, da der Hamiltonian pseudoskalar ist und daher
nicht mit dem Parit¨
atsoperator vertauscht. Nach langem wissenschaftlichen Widerstand
ist die Parit¨
atsverletzung jedoch best¨
atigt worden.
Der Helizit¨
atsoperator f¨
ur Fermionen H als Skalarprodukt des Impulsoperators ¯
p, der
eine vektorielle Gr¨
oße ist, und des Spinoperator , der seinerseits ein Axialvektor ist,
zeigt gerade f¨
ur Neutrinos die Parit¨
atsverletzung. Positive und negative Helizit¨
at w¨
aren
unter Parit¨
atsinvarianz gleich wahrscheinlich, jedoch ergibt sich stets eine Helizit¨
at von
H
=
-1. F¨ur relativistische Invarianz muss ein entsprechender Operator gefunden
werden. Bei masselosen, wie auch bei massiven Teilchen ergibt sich ein Projektionsope-
rator P , der aus Spinoren die linksh¨
andige Komponente extrahiert:
P =
1
2
(1
-
5
).
(2.24)
Hieraus ergibt sich eine Erweiterung des bisher benutzten Leptonenstroms um links-
10
2.2. Standardmodell der Elementarteilchenphysik
h¨
andige Neutrinos, die sich, wie in Abschnitt 2.1.3, als
l
c
= ¯
l
(1
-
5
)
(2.25)
schreiben l¨
asst. Ebenfalls folgt eine Erweiterung des gesamten hadronischen Stroms h
c
in gleicher Form, wie die des leptonischen als
h
c
= ¯
p
(1
- c
A
5
)
n
,
(2.26)
mit c
A
als ein von der inneren Struktur der nicht punktf¨
ormigen Hadronen abh¨
angi-
ger Faktor, der durch Renormierungseffekte der starken Wechselwirkung entsteht. Der
Faktor 1/2 f¨
allt bei beiden schwachen Str¨
omen nach Konvention weg. Beide Str¨
ome
enthalten neben dem urspr¨
unglich allein gedachten Vektoranteil nun noch einen Axial-
vektoranteil, was sich in der Bezeichnung V-A-Struktur niederschl¨
agt.
2.2.2.3
CKM-Matrix
Durch die Parit¨
atsverletzung zeigt sich, dass die geladenen, schwachen Str¨
ome an links-
h¨
andige Teilchen und rechtsh¨
andige Antiteilchen koppeln [7][8]. So liegt der Schluss
nahe, Dubletts von Teilchen zu erzeugen, die in gleicher St¨
arke koppeln. Diese werden
aus den zwei Leptonen aus je einer Generation (e und
e
, sowie und
) und dem Up-
und Down-Quark gebildet. Das zu Beginn der CKM-Matrix-Entwicklung (Cabibbo,
Kobayashi, Maskawa) bereits bekannte Strange-Quark mit einem damals noch hypo-
thetischen Charm-Quark zu einem Dublett zusammenzufassen, birgt Schwierigkeiten,
da Mesonen mit einem s bei einem leptonischen Zerfall, beispielsweise K
+
(u¯
s)
+
,
dem damaligen Verst¨
andnis widersprechen. Mit der von Cabibbo entworfenen Idee, das
d- und das s-Quark als gedrehte Quarkzust¨
ande
d
s
=
d cos
c
+ s sin
c
-d sin
c
+ s cos
c
(2.27)
zu betrachten, ist die Erkl¨
arung dieses Flavourwechsels m¨
oglich und l¨
asst sich in fol-
gendem Strom ausdr¨
ucken
j
= (¯
u ¯
c)
(1
-
5
)U
d
s
,
(2.28)
U =
cos
c
sin
c
- sin
c
cos
c
.
(2.29)
11
Kapitel 2. Theorie
Die Univeralit¨
at der Zerfallsamplitude M aus (2.15), die bisher nur die Kopplungskon-
tante G
F
besessen hat, enth¨
alt nun noch den neuen Parameter
c
, der Cabibbo-Winkel
genannt wird. Dieser Winkel beschreibt den zus¨
atzlichen Kopplungsfaktor der W
±
-
Bosonen an die schwachen Wechselwirkungseigenzust¨
ande u, d , c, s des u-,d-,s-, bzw.
c-Quarks. Aus der Betrachtung von Zerf¨
allen u
d und c d l¨asst sich
c
13
bestimmen. Die zweidimensionale Matrix U ist zwar wegen Erhaltung der euklidischen
Norm unit¨
ar, kann jedoch nicht die gefundene CP-Verletzung (Charge, Parity) erkl¨
aren.
Nach Kobayashi und Maskawa muss folglich eine dritte Fermionengeneration existieren,
die U in eine 3
×3-Matrix erweitert, die zwar weiterhin unit¨ar ist, aber nun zus¨atzlich
eine komplexe Phase e
i
enth¨
alt. Die Matrix V
CKM
ist in der Standardparametrisie-
rung ausdr¨
uckbar, bei der die vier freien Parameter die eben genannte komplexe Phase
und drei Eulerwinkel
12
=
c
,
13
und
23
sind. Die Wolfenstein-Parametrisierung be-
schreibt die CKM-Matrix ihrerseits mit den vier Parametern , A, und , welche die
Verbindungen = sin
12
, A
2
= sin
23
und A
3
(
- i) = sin
13
e
-i
haben.
V
CKM
=
V
ud
V
us
V
ub
V
cd
V
cs
V
cb
V
td
V
ts
V
tb
=
1
-
1
2
2
3
A(
- i)
-
1
-
1
2
2
2
A
3
A(1
- - i)
-
2
A
1
+ O(
4
)
(2.30)
Sollte die CP-Verletzung einzig aus der komplexen Phase kommen, l¨
asst sich zeigen,
dass CP-verletzende Amplituden proportional zur Fl¨
ache des sogenannten Unitarit¨
ats-
dreiecks sind. Es handelt sich hierbei um ein Dreieck in der komplexen Ebene mit
und als Achsen. Die Seiten werden durch Komponenten von V
CKM
repr¨
asentiert.
2.3
Parametrisieren von Formfaktoren
Der wie in Abschnitt 2.2.2.2 dargestellte hadronischen Strom h
c
l¨
asst sich aufgrund von
starken Wechselwirkungen zwischen den Hadronkonstituenten nicht so einfach schrei-
ben, sondern wird, wie in Abschnitt 2.1.3 bereits vorweggenommen, durch einheitenlose
Formfaktoren ausgedr¨
uckt [9]. Dieser Sachverhalt wird am f¨
ur den betrachteten Zer-
fall relevanten Feynmangraphen in Abbildung 2.2 dargestellt. Da die Austauschbosonen
der QCD, die Gluonen g, einen st¨
orungstheoretisch nicht ermittelbaren Einfluss auf den
schwachen zerfall haben, ist die Betrachtung einer Vier-Fermionen-Wechselwirkung un-
zureichend. In einem Zweik¨
orper-Zerfall E
P Q sind zwei Freiheitsgrade m¨oglich, die
den Prozess charakterisieren. Dies sind die Viererimpulse des Eduktteilchens p
E
und
des Produktteilchens p
P
, da der Viererimpuls des verbliebenen Produktteilchens q von
12
2.3. Parametrisieren von Formfaktoren
Abbildung 2.2:
Feynmangraph zum D
¯
Kl
+
l
Zerfall.
den vorigen determiniert wird. Da der vektorielle Anteil des schwachen Stroms V
aus
(2.15) nicht erhalten ist, gibt es hierbei zwei Formfaktoren f
±
, die der Beschreibung
der allgemeinsten Form dienen
K(p
K
) V
D(p
D
) = f
+
(q
2
)(p
D
+ p
K
)
+ f
-
(q
2
)(p
D
- p
K
)
.
(2.31)
Es gibt viele Ans¨
atze, diese Formfaktoren zu bestimmen. Neben dem theoretischen
Weg ¨
uber die Gitterquantenchromodynamik, existieren einige Parametrisierungen, die
anhand experimenteller Daten einen Zugang erm¨
oglichen. Die Pol-Parametrisierungen
weisen ein schlechtes Konvergenzverhalten nahe der semileptonischen Bereiche des Im-
puls¨
ubertrags q
2
auf, was Zweifel an einer korrekten Berechnung des Formfaktors auf-
kommen l¨
asst [10]. Eine Darstellung, die ein solches Problem nicht hat, ist eine der
z-Reihenentwicklungen [11]
f (q
2
) =
1
1
-
q
2
m
2
D
i=0
a
i
z
i
(t
0
, q
2
).
(2.32)
Die Koeffizienten a
i
sind aus einem Fit zu bestimmende Gr¨
oßen. Die Konvergenz der
Reihe wird dadurch gesichert, dass
|z| < 1 im physikalischen Bereich. Der Ausdruck f¨ur
z wird dargestellt durch
z(t
0
, q
2
) =
t
+
- q
2
-
t
+
- t
0
t
+
- q
2
+
t
+
- t
0
,
(2.33)
worin t
±
durch t
±
= (m
D
± m
K
) bestimmt sind und 0
t
0
< t
+
als ein konstantes
Optimum gew¨
ahlt wird, was klassischerweise zu t
0
= t
+
(1
- (1 - t
-
/t
+
)
1/2
) =: t
opt
13
Kapitel 2. Theorie
bestimmt wird, da es den Maximalwert von
|z(t
0
, q
2
)
| minimiert.
Bei ¨
Uberg¨
angen mit nicht verschwindendem Axialvektorstrom A
, wie zum Beispiel
von einem pseudoskalaren zu einem vektoriellen Teilchen, treten weitere Formfaktoren
auf. Die Ausdr¨
ucke f¨
ur diesen Strom und die Abh¨
angigkeiten der Formfaktoren A
i
(q
2
)
sind teilweise sehr komplex, sodass, wegen der hier nicht bestehenden Relevanz, nicht
n¨
aher darauf eingegangen wird.
14
Kapitel 3
Ergebnisse
Die m¨
oglichen Formfaktoren des betrachteten Zerfalls werden im Folgenden diskutiert,
nachdem der physikalisch m¨
ogliche Bereich des Impuls¨
ubertrags berechnet worden ist.
So werden die Axialvektorformfaktoren unter Parit¨
atsbetrachtungen und f
-
aufgrund
von vernachl¨
assigbarer Leptonenmassen verschwinden. Schließlich wird der einzig ver-
bliebene Formfaktor f
+
unter Minimierung einer
2
-Funktion bestimmt.
3.1
Kinematische Gr¨
oßen
Die Formfaktoren werden allgemein in Abh¨
angigkeit des Impuls¨
ubertrags q
2
angege-
ben. Da dieser nicht beliebige Werte annehmen kann, ist es sinnvoll, den m¨
oglichen
Wertebereich zu ermitteln. In Abbildung 3.1 sind die beiden Randbereiche dargestellt.
Im linken Teil des Bildes (q
2
= q
2
min
) befindet sich das entstehende Kaon wieder in Ruhe
und im rechten Teil (q
2
= q
2
max
) nimmt es die gleiche Menge an Impuls auf, wie das Lep-
tonenpaar. Zur Berechnung wird, entsprechend den Regeln der Vierer-Impuls-Algebra,
die Vierer-Impuls-Erhaltung im Ruhesystem des D-Mesons betrachtet
p
D
= p
K
+ p
l
+ p
p
D
- p
K
= q
= p
l
+ p
p
D
- p
K
2
= q
2
= (p
l
+ p
)
2
m
2
D
+ m
2
K
- 2m
D
E
K
= q
2
= m
2
l
+ m
2
+ E
l
E
- |p
l
||p
| cos().
(3.1)
An diesem Ausdruck l¨
asst sich der in Abschnitt 2.1.3 verwandte Zusammenhang zwi-
schen Energie und Impuls¨
ubertrag dE = dq
2
/2m
D
erkennen. Sollte das Kaon sich
nach dem Zerfall in Ruhe befinden, so ist E
K
= m
K
, woraufhin q
2
= (m
D
- m
K
)
2
15
Kapitel 3. Ergebnisse
Abbildung 3.1:
Zwei Zerfallsm¨
oglichkeiten des D
+
-Mesons mit extremalen q
2
-Werten.
w¨
are. F¨
ur vernachl¨
assigbare Leptonmassen (m
l
= m
= 0), gilt E =
|p| und q
2
ver-
schwindet, falls die Impulsrichtungen der Leptonen in die gleiche Richtung zeigen, also
der Zwischenwinkel = 0. Es resultiert ein Wertebereich von
0
q
2
(m
D
- m
K
)
2
.
(3.2)
Mit diesen Randwerten f¨
ur den physikalischen Bereich kann man nun den Wertebe-
reich der z-Entwicklung (2.33) f¨
ur beliebige t
0
bestimmen. Da eine hinreichend schnelle
Konvergenz zur Fehlerminimierung f¨
orderlich ist, ist es w¨
unschenswert, dass ihr Be-
trag immer m¨
oglichst gering ist. In folgender Tabelle sind f¨
ur drei Wahlen von t
0
die
Randwerte angegeben
t
0
|z(t
0
, q
2
)
|
max
0
0,102
t
opt
0,051
t
+
1,000
Tabelle 3.1:
Maximalwerte des
|z|-Polynoms f¨ur verschiedene t
0
. t
opt
nach Abschnitt 2.3.
3.2
Die Axialvektorformfaktoren und
f
-
Wie an manchen Stellen bereits erw¨
ahnt und vorausgesetzt, verschwinden die Form-
faktoren des Axialvektorstroms. Formfaktoren beschreiben starke Wechselwirkungen
16
3.2. Die Axialvektorformfaktoren und f
-
zwischen dem zerfallenden Quark (hier c) und dem Spectatorquark (hier ¯
d, ¯
u), was
heißt, dass die Parametrisierung des Vektor- bzw. des Axialvektorstroms dasselbe Pari-
t¨
atstransformationsverhalten haben m¨
ussen. Die Str¨
ome besitzen ein Parit¨
atsverhalten
von
P ¯
K
0
V
| D
+
= (
-1) · (-1) · (-1) = -1
P ¯
K
0
A
| D
+
= (
-1) · (+1) · (-1) = +1.
Aus den beiden einzigen Freiheitsgraden des Zerfalls, den Impulsen p und p , und dem
Levi-Civita-Symbol
lassen sich alle m¨
oglichen Darstellungen von Str¨
omen mit
unbestimmten Vorfaktoren schreiben als
p
V
;
p
V
;
p
p
S
;
p
p
T
,
(3.3)
wobei die Gr¨
oßen unter den Klammern das entsprechende Transformationsverhalten an-
geben. Daraus ergibt sich, dass die einzigen vektoriellen Beitr¨
age wie Vektoren V und
nicht wie Axialvektoren A transformieren. Damit ein solcher Beitrag existieren k¨
onne,
m¨
usse er aufgrund seiner Eigenschaft J
P
= 1
+
eine Struktur, wie A
=
p
p
p
haben, mit einem weiteren Freiheitsgrad p . Da dieser zur Konstruktion jedoch nicht
vorhanden ist, verschwindet der Axialvektoranteil.
Um nachzuvollziehen was mit f
-
geschieht, wird das Matrixelement aus (2.15) ohne f
+
betrachtet. Der Impuls¨
ubertrag q ist nicht nur die Differenz der mesonischen Viererim-
pulse, sondern auch die Summe der leptonischen
M
-
=
G
F
V
cs
2
f
-
(q
2
)(p
D
- p
K
)
¯
u
(1
-
5
)v
l
=
G
F
V
cs
2
f
-
(q
2
)(k
+ k
l
)
¯
u
(1
-
5
)v
l
.
Unter Einbeziehung des leptonischen Stroms ersetzt die Dirac-Gleichung (2.5) die k
i
durch die zugeh¨
origen Massen
=
G
F
V
cs
2
f
-
(q
2
)¯
u
(/
k
+ /
k
l
)(1
-
5
)v
l
=
G
F
V
cs
2
f
-
(q
2
)¯
u
(m
+ m
l
)(1
-
5
)v
l
,
die im Verh¨
altnis zur D-Mesonmasse f¨
ur l = oder l = e vernachl¨
assigbar sind, wo-
raufhin M
-
verschwindet.
17
Kapitel 3. Ergebnisse
3.3
Fit des Formfaktors
f
+
In Abschnitt 2.1.3 ist ein kompakter Ausdruck f¨
ur den Zusammenhang der differenti-
ellen Zerfallsrate und dem Formfaktor f
+
hergeleitet worden. Da der Formfaktor nicht
analytisch berechenbar ist, wird er entsprechend der Parametrisierung (2.32) nach der
Methode der kleinsten Quadrate an den experimentell erhobenen Daten f¨
ur die parti-
ellen Zerfallsraten gefittet. Im Rahmen der Messmethoden, ist es nicht m¨
oglich, eine
genaue Zuordnung eines gemessenen Zerfalls zum entsprechenden Impuls¨
ubertrag zu
erreichen, weshalb die Zerfallsraten f¨
ur diskrete Bereiche angegeben werden.
3.3.1
Methode der kleinsten Quadrate
Es ist praktisch nie der Fall, dass eine Fitfunktion alle Messwerte genau erfasst. Die ent-
stehenden Diskrepanzen zwischen Messpunkt und Fitfunktion werden quadriert, damit
sie immer einen positiven Wert haben und bei der Methode der kleinsten Quadrate geht
es darum, eben die Funktion zu extrahieren, die die kleinsten quadratischen Abweichun-
gen zu den Messpunkte hat. Die zu minimierende Funktion wird als
2
bezeichnet, die
durch die Summe ¨
uber die Anzahl diskreter Intervalle m vom Produkt aus Differenzen
experimenteller Daten und zugeh¨
origen, theoretischen Vorhersagen g, verkn¨
upft
¨
uber die Inverse einer Kovarianzmatrix C, gegeben ist:
2
=
m
i,j=1
(
i
- g
i
(f
+
))C
-1
ij
(
j
- g
j
(f
+
)).
(3.4)
Durch die nie ganz abschirmbare Hintergrundst¨
orung, Strahlungen der Endteilchen
(FSR) oder Monte Carlo Simulationen (MC), die zur Rekonstruktion von Teilchenpfa-
den in Detektoren genutzt werden, entstehen unter anderem und neben statistischen
Unsicherheiten Fehlerquellen f¨
ur die individuellen Zerfallsraten, die, ebenso wie die
Messwerte in [10] mit den zugeh¨
origen q
2
-Intervallen angegeben sind. Die Zuord-
nung der Zerfallsraten zu den q
2
i
erfolgt leider ebenfalls nicht fehlerfrei. Die dadurch
entstehenden Korrelationen zwischen diesen Intervallen sind teils statistischer und teils
systematischer Natur, deren Matrixdarstellungen ebenfalls in [10] zu finden sind. Die
zu invertierende Kovarianzmatrix setzt sich additiv aus den Kovarianzmatrizen mit den
statistischen bzw. den systematischen Beitr¨
agen zusammen
C = C
stat
+ C
sys
.
(3.5)
18
3.3. Fit des Formfaktors f
+
Ihre jeweiligen Eintr¨
age ergeben sich aus den kennzeichnenden Korrelationsmatrixein-
tr¨
agen
ij
und den entsprechenden Kovarianzen
C
ij
=
i
j
·
ij
,
= stat, sys.
(3.6)
Die Funktion des hier verwandten, theoretischen Modells stellt das Integral der diffe-
rentiellen Zerfallsbreite ¨
uber q
2
dar und berechnet sich aus (2.22) zu
g
i
(f
+
) =
theo,i
=
G
2
F
|V
cs
|
2
24
3
|p
K
(q
2
i
)
|
3
· |f
+
(q
2
i
)
|
2
dq
2
i
,
(3.7)
das sich zwar nicht analytisch, jedoch aufgrund der guten Konvergenzeigenschaften der
beitragenden Terme auf numerischem Weg l¨
osen l¨
asst.
3.3.2
Der Minimierungsprozess durch
Minuit
Nun da alle Gr¨
oßen zur Bestimmung der
2
-Funktion bekannt sind, wird ein Algo-
rithmus ben¨
otigt, der unter der Minimierung die Reihenkoeffizienten des in (3.7) auf-
tauchenden und in (2.32) definierten Formfaktors berechnet. Wegen der komplizierten
Zusammenh¨
ange, die hier existiteren, wird der Computer diesen Prozess durchf¨
uhren,
welcher in einem
Python-Skript unter Zuhilfenahme des am CERN erstellten Mini-
mierungswerkzeug
Minuit [12] dargestellt ist. Aus diesem Modul werden zudem die
Unsicherheiten der Koeffizienten berechnet und f¨
ur den Verlauf des Formfaktors an je-
dem Punkt eine Standardabweichung durchgef¨
uhrt, die zu den in den Abbildungen aus
Abschnitt sichtbaren "Schl¨
auchen" um den Funktionsgraphen f¨
uhren.
3.3.3
Resultate unter Variation von
t
0
und der Polynomordnung
Mit dem eben dargestellten Skript, ist es nun m¨
oglich, den Fit der Formfaktoren durch-
zuf¨
uhren. Der als Optimum frei w¨
ahlbare Parameter t
0
und die Ordnung des Polynoms,
bis zu der die Reihenkoeffizienten berechnet werden gelten hier als Gr¨
oßen, die variert
werden k¨
onnen, um ihren Einfluss auf das Ergebnis zu pr¨
ufen. Aus [10] werden die n¨
o-
tigen Werte entnommen, also die Zerfallsraten mit den zugeh¨
origen q
2
-Bins, sowie
die entsprechenden statistischen und systematischen Kovarianzen und die Korrela-
tionsmatrizen . In den folgenden Bildern sind nacheinander f¨
ur beide Zerfallskan¨
ale
gleiche t
0
-Werte nebeneinander aufgetragen, w¨
ahrend die Polynomordnung
O entweder
eins oder zwei ist.
19
Kapitel 3. Ergebnisse
Abbildung 3.2:
D
0
K
-
l
+
:
t
0
= 0,
O = 1.
Abbildung 3.3:
D
0
K
-
l
+
:
t
0
= 0,
O = 2.
Abbildung 3.4:
D
0
K
-
l
+
:
t
0
= t
opt
,
O = 1.
Abbildung 3.5:
D
0
K
-
l
+
:
t
0
= t
opt
,
O = 2.
Abbildung 3.6:
D
+
¯
K
0
l
+
:
t
0
= 0,
O = 1.
Abbildung 3.7:
D
+
¯
K
0
l
+
:
t
0
= 0,
O = 2.
20
3.3. Fit des Formfaktors f
+
Abbildung 3.8:
D
+
¯
K
0
l
+
:
t
0
= t
opt
,
O = 1.
Abbildung 3.9:
D
+
¯
K
0
l
+
:
t
0
= t
opt
,
O = 2.
Die Reihenkoeffizienten, das Ergebnis f¨
ur
2
und der Startwert des Formfaktors sind in
Tabelle 3.2 aufgef¨
uhrt. F¨
ur die Wahl t
0
= 0 entspricht a
0
exakt dem Formfaktorstart-
wert, wie man mit (2.33) nachvollziehen kann.
t
0
-Variation:
F¨
ur die Variation in t
0
sind die Null und t
opt
verwandt worden. Abh¨
angig von der
Polynomordnung kann man erkennen, dass f¨
ur t
0
= t
opt
die Fehler deutlich schw¨
acher
im Verlauf der q
2
-Achse zunehmen, als im Fall f¨
ur t
0
= 0. Besonders im Zerfallskanal
D
+
¯
K
0
l
+
in den Abbildungen 3.7 und 3.5 l¨
asst sich das sehr gut erkennen, wo
die Ordnung
O = 2 ist. Aufgrund der Minimierung des Maximums von |z(t
0
q
2
)
| durch
t
0
= t
opt
ist der Fehler im gesamten Verlauf des Formfaktors verglichen mit der Wahl
t
0
= 0 gering. F¨
ur den Wert von f
+
(0)
|V
cs
jedoch ist die Varianz geringer f¨
ur t
0
= 0,
da hier nur die Unsicherheit des ersten Reihenkoeffizienten beitr¨
agt, die die Geringste
ist.
O-Variation:
Die Ver¨
anderung der Ordnung hat eine ¨
ahnliche Auswirkung. So nimmt die Standard-
abweichung f¨
ur h¨
ohere q
2
-Werte teils deutlich zu. Dies zeigt sich am deutlichsten im
selben Zerfallskanal, da seine Messwerte weniger einer monoton steigenden Funktion
entsprechend verteilt sind, f¨
ur die Abbildungen 3.6 und 3.7. Die Erkl¨
arung liegt da-
rin, dass die sehr hohe Varianz des Koeffizienten a
2
nach Tabelle 3.2 f¨
ur den h¨
oher
energetischen Bereich zunehmend an Gewicht gewinnt. Weiterhin kann man feststellen,
dass die Polynomordnung f
+
(0) nur geringf¨
ugig manipuliert. Wie Tabelle 3.2 eben-
21
Kapitel 3. Ergebnisse
D
0
K
-
l
+
O
t
0
a
0
a
1
a
2
2
f
+
(0)
|V
cs
|
1
0
0.718(7)
-0.541(166)
-
t
opt
0.746(7)
-0.540(165)
-
4,3
0,718
2
0
0.725(9)
0.038(519)
7.915(6.712)
t
opt
0.744(7)
-0.775(257)
7.876(6.691)
2,9
0,725
D
+
¯
K
0
l
+
O
t
0
a
0
a
1
a
2
2
f
+
(0)
|V
cs
|
1
0
0.718(12)
-0.422(208)
-
t
opt
0.739(10)
-0.421(207)
-
14,0
0,718
2
0
0.707(14)
-1.356(685)
-12.580(8.808)
t
opt
0.744(10)
-0.071(324)
-12.560(8.780)
12,0
0,707
Tabelle 3.2:
Reihenkoeffizienten, das minimierte
2
, sowie der Startwert des Formfaktors
f
+
(0)
|V
cs
| mit t
opt
nach Abschnitt 2.3. Die statistischen Fehler werden in Klammern ange-
geben.
falls entnehmbar ist, sind Ver¨
anderungen des Formfaktorstartwerts durch Erh¨
ohung
der Ordnung erst in der zweiten Nachkommastelle feststellbar.
Formfaktorvergleich und Extraktion des CKM-Elements
Der Vergleich der ermittelten Formfaktoren mit denen der CLEO Collaboration [10]
zeigt, dass die hier verwandte Parametrisierung die Formfaktoren sehr gut beschreibt.
Eine Gegen¨
uberstellung mit einer ¨
ahnlichen Parametrisierung (3 par. series) mit einem
anderen Vorfaktor befindet sich in Tabelle 3.3
f
+,fit
|V
cs
| f
+,CLEO
|V
cs
|
D
0
K
-
l
+
0,725
0,726
D
+
¯
K
0
l
+
0,707
0,707
Tabelle 3.3:
Vergleich der gefitteten Formfaktoren mit denen der CLEO Collaboration bei
¨
ahnlichen Parametrisierungen.
22
3.3. Fit des Formfaktors f
+
Mit den Ergebnissen der LQCD [10] l¨
asst sich das CKM-Element V
cs
durch Division aus
dem gefitteten Wert errechnen, wodurch sich mit der hier verwandten Parametrisierung
ein Wert von
V
cs,D
+
= 0,97
bzw.
V
cs,D
0
= 0,99
(3.8)
ergibt, was gemittelt f¨
ur den Zerfall verglichen mit dem Wert des PDG [5] sehr gut
¨
ubereinstimmt.
23
Kapitel 4
Zusammenfassung und Ausblick
Nach einer Einf¨
uhrung in die Relativistik und die Quantenmechanik ist die differen-
tielle Zerfallsrate f¨
ur den betrachteten Zerfall als Ausdruck der Formfaktoren explizit
ausgerechnet worden. In der Beschreibung des hadronischen Matrixelements ist der
Begriff des Formfaktors eingef¨
uhrt worden, der im weiteren Verlauf immer wieder auf-
taucht und gegen Ende der theoretischen Grundlagen eine Parametrisierung erf¨
ahrt.
Diese stellt eine Reihenentwicklung in einer Funktion dar, die recht kompliziert vom
variablen Impuls¨
ubertrag q
2
abh¨
angt und verglichen mit anderen Parametrisierungen
gute Konvergenzeigenschaften aufweist. Im physikalischen Bereich dieser Variablen ist
der Formfaktor stetig und l¨
auft außerhalb davon auf einen Pol zu. Nach der Ermittlung
dieses Bereichs sind die meisten, allgemein auftauchenden Formfaktoren nicht weiter
betrachtet worden, da sie f¨
ur die vorliegende Struktur keinen Beitrag liefern, sodass
ein einzielner ¨
ubrig bleibt. Dieser wird durch ein
Python-Skript durch Minimierung
einer
2
-Funktion mithilfe des Moduls
Minuit vom CERN an Messwerten der CLEO-
Collaboration gefittet und ergibt einen Wert von f
+
(q
2
= 0)
|V
cs
| = 0,707 f¨ur den Zerfall
des D
+
-Mesons und einen Wert von f
+
(0)
|V
cs
| = 0,725 f¨ur ein zerfallendes D
0
-Meson.
Das hierbei auftauchende Matrixelement
|V
cs
| l¨asst sich hierbei durch Division eines
Formfaktors ermitteln, der durch ein Verfahren der Gitterquantenchromodynamik be-
stimmt wird.
Da es ein Ziel der Elementarteilchenphysik ist, die Unitarit¨
at der CKM-Matrix zu
bestimmen, ist es erforderlich, die anderen Elemente durch ¨
ahnliche Operationen zu
bestimmen. Diese stellen die Gr¨
oßen, die n¨
otig sind, um die Seitenl¨
angen und Winkel
des Unitarit¨
atsdreiecks, gebildet aus freien Parametern der CKM-Matrix, auszurechnen.
Der Fl¨
achenihalt dieses Dreiecks gibt ein Maß f¨
ur die CP-Verletzung an und dient
der ¨
Uberpr¨
ufung, ob sie ausgereicht hat, das Materie-Antimaterie-Ungleichgewicht zu
Beginn des Universums zu erzeugen.
24
Literaturverzeichnis
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http://www-hera-b.desy.de/people/nedden/lectures/05 06/dettph/dettph cont.pdf
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Grotz, K., Klapdor H.V.: Die schwache Wechselwirkung in Kern-, Teilchen- und
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http://d-nb.info/987811061
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ISBN-13: 978-3519032526
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ISBN-13: 978-3540636670
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[12]
James, F.: MINUIT Tutorial - Function Minimization, 1972,
seal.web.cern.ch/seal/documents/minuit/mntutorial.pdf
25
Danksagung
Ich m¨
ochte mich bei Herrn Stefan de Boer daf¨
ur bedanken, dass er sich sehr viel Zeit
genommen hat und mich bei inhaltlichen und konzeptionellen Fragen stets unterrichtet
hat.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit mit dem Titel "Formfaktoren des semileptonischen D → Kl+ Zerfalls"?
Diese Bachelorarbeit analysiert die Formfaktoren des semileptonischen D → Kl+ Zerfalls. Sie untersucht theoretische Grundlagen wie relativistische Kinematik, die Dirac-Gleichung, das Standardmodell der Elementarteilchenphysik und die schwache Wechselwirkung. Ein Schwerpunkt liegt auf der Parametrisierung von Formfaktoren und der Anpassung eines Formfaktors unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und des Minuit-Minimierungswerkzeugs.
Welche theoretischen Grundlagen werden in der Arbeit behandelt?
Die Arbeit behandelt Voraussetzungen moderner Physik, einschließlich relativistischer Kinematik, der Dirac-Gleichung und Fermis Goldene Regel. Es wird auch das Standardmodell der Elementarteilchenphysik, die schwache Wechselwirkung (einschließlich Parität, Fermi-Wechselwirkung und CKM-Matrix) behandelt.
Was sind Formfaktoren im Kontext dieser Arbeit?
Formfaktoren sind einheitenlose Größen, die sämtliche theoretisch nicht zugängliche Parameter enthalten und durch experimentelle Daten berechenbar sind. Sie dienen zur Beschreibung des Teilchenstroms der Quarks und der starken Wechselwirkung.
Welche Ergebnisse werden in der Arbeit präsentiert?
Die Arbeit präsentiert Ergebnisse zur Bestimmung des physikalisch relevanten Bereichs des betrachteten Zerfalls, zur Vorstellung des zum Fit des Formfaktors benutzten Skripts und die daraus resultierenden Größen der Formfaktoren. Es werden Fits des Formfaktors f+ vorgestellt, die Minimierungsprozesse mit Minuit, die Variation von t0 und die Variation der Polynomordnung beinhalten. Auch werden die Ergebnisse mit denen der CLEO Collaboration verglichen.
Was ist das Ziel der Arbeit?
Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, die Formfaktoren des semileptonischen D → Kl+ Zerfalls zu bestimmen und zu analysieren, sowie die relevanten theoretischen Grundlagen darzustellen.
Welche Methoden wurden verwendet, um die Formfaktoren zu bestimmen?
Die Formfaktoren wurden durch Anpassung an experimentelle Daten unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und des Minuit-Minimierungswerkzeugs bestimmt. Dabei wurde eine z-Reihenentwicklung verwendet, und die Reichenkoeffizienten wurden an die experimentell erhobenen Daten gefittet.
Welche Programme wurden für die Arbeit verwendet?
Für die Datenanalyse und die Bestimmung der Formfaktoren wurde ein Python Skript mit dem Minimierungswerkzeug Minuit vom CERN benutzt.
Was ist die CKM-Matrix und welche Rolle spielt sie in dieser Arbeit?
Die CKM-Matrix (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix) beschreibt die Mischung der Quark-Flavours im Standardmodell der Elementarteilchenphysik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für flavourändernde Zerfälle im Rahmen der schwachen Wechselwirkung an. In der Arbeit wird die CKM Matrix zum Vergleich verwendet.
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- Dimitrios Skodras (Author), 2014, Formfaktoren des semileptonischen D zu Klv Zerfalls, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/278356
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