Ce travail est consacré à l’étude des transformations locale et globale de Jauge du modèle de Yang-Mills. Nous avons montré qu’à partir de la géométrie non commutative munies des algèbres d’endomorphismes, que les notions de connexions et courbures pouvaient bien substituer les formulations fibrées pour des raisons purement physiques : la description directe des champs de Jauge. Mais, cependant, cette approche souffrait de l’incapacité à fournir une expression globale (symétrie globale) combinée à une expression locale (symétrie locale) des transformations de Jauge, ce qui est nécessaire pour la généralisation des transformations de Jauge.
Ainsi, il a été proposé dans ce travail une approche en topologie algébrique obtenue à partir de fibrés vectoriels en algèbres de Weil dans un espace topologique, qui construit également de manière naturelle les courbures et les connexions. De telles sortes que, les connexions sont considérées comme des invariants cohomologiques des fibrés vectoriels, et toutes transformations de Jauge devient une application continue entre plusieurs topologies. Enfin, chaque courbure est exprimée au moyen d’un polynôme invariant développé à un degré de liberté propre à la courbure.
Grâce à cette nouvelle structure topologique, certains objets deviennent plus facilement manipulables et/ou caractérisés de manière plus directe. Enfin notons que le fait d’avoir une présentation algébrique des théories de jauge permet de se rapprocher des techniques utilisées en théorie quantique des champs. Ce modèle peut aussi être considérer comme une généralisation du théorème de Gauss-Bonnet, qui établit un lien remarquable entre une courbure locale et un invariant topologique global.
Les apports de cette approche sont :
o La transformation générale de jauge tenant compte de la courbure locale (symétrie locale) et la courbure globale (symétrie globale) en un seul mécanisme;
o L’apparition de la courbure de jointure entre deux courbures baptisé «courbure caractéristique » ;
o Reformulation de l’action de Yang-Mills topologique ;
o Construction des algorithmes de simulation de chaque courbure (locale et globale) ;
Ce travail ouvre une perspective de la théorie de Yang-Mills topologie dans l’algèbre de Clifford enfin d’incorporer dans les transformations, les notions de spineurs dans notre modèle.
Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
0.1. Problématique
0.2. Hypothèse
0.3. Objectifs et Intérêts
0.4. Méthodes
0.5. Plan du Memoire et Description des Chapitres
CHAPITRE I : OUTILS MATHEMATIQUES
1.1. Espace Topologique
1.1.1. Notions Fondamentales
1.1.1.1. Applications continues
1.1.1.2. Homéomorphismes et plongements
1.1.1.3. Compacité
1.2. Groupes d’Homotopies
1.2.1. Définitions
1.2.2. Structures d’homotopie
1.3. Homologie et Cohomologie
1.3.1. Homologie simpliciale
1.3.1.1. Simplexes de
1.3.1.2. Complexe simplicial
1.3.2. Homologie singulière
1.3.2.1. Complexe singulier
1.3.2.1.1. Simplexes singuliers
1.3.2.1.2. Nombres de Betti, caractéristique d’Euler-Poincaré, polynôme de Poincaré
1.3.2.1.3. Propriétés de l’homologie singulière
1.3.2.1.4. Application pull-back induite en homologie
1.3.3. Cohomologie singulière
1.3.3.1. Définition et propriétés
1.3.3.2. Cohomologie de De Rham
1.4. Conclusion
CHAPITRE II : THEORIES DE JAUGE ET GEOMETRIE NON COMMUTATIVE
2.1. CONNEXION SUR LES FIBRES
2.1.1. Connexions
2.1.1.1. Modules à droite
2.1.1.2. Connexion duale
2.1.1.3. Connexion hermitienne
2.1.2. Transformations de jauge
2.1.3. Connexions sur un bimodule
2.2. L’algèbre des endomorphismes
2.2.1. Motivations
2.2.2. Les matrices
2.2.3. L’algèbre des fonctions à valeurs matricielles
2.2.4. L’algèbre des endomorphismes d’un fibré vectoriel
2.2.5. Connexions ordinaires
2.2.6. Courbure
2.2.7. Transformations de jauge ordinaires
2.2.8. Relations entre ΩDer(A) et les formes sur un fibré principal
2.2.9. Connexion symétrique
2.3. Conclusion
CHAPITRE III : THEORIE DE JAUGE ET TOPOLOGIE ALGEBRIQUE
3.1. Algèbres d’opérateurs
3.1.1. C*-Algèbres
3.1.2. Algèbres topologiques localement convexes
3.1.3. Opérations algébriques
3.1.3.1. Différentielle graduée commutative
3.2. Opérations de Cartan
3.2.1. DéFinitions
3.2.2. Cohomologies associées
3.3. Connections et courbures en topologies algébriques
3.3.1. Notations
3.3.2. Connexion algébrique
3.3.3. Courbure algébrique
3.4. L’algèbre des formes sur un fibré principal
3.4.1. L’opération de g sur Λ • g *
3.4.2. L’algèbre de Weil
3.4.2.1. Construction de l’algèbre de Weil
3.4.2.2. Transformation de Jauge
3.5. Fibrés et classes caractéristiques
3.5.1. Fibré universel classifiant
3.5.2. Classes caractéristiques
3.5.2.1. Définitions et propriétés générales
3.5.2.2. Classes caractéristiques et polynômes invariants
3.5.2.2.1. Classes caractéristiques d’un groupe de Lie compact connexe
3.5.2.3. Connexions et classes caractéristiques
3.5.2.4. Classes caractéristiques et algèbre de Weil
3.5.2.5. Classes caractéristiques et polynômes symétriques
3.5.2.5.1. Transformation de jauge associées à Weil
3.5.2.5.2. Transformation généralisée de Jauge
3.6. Conclusion
CHAPITRE IV : MODELE DE YANG-MILLS
4.1. Modèles de Yang-Mills et géométrie non commutative
4.1.1. Algèbres matricielles
4.1.2. Connexions sur Mn
4.1.3. Fonctions à valeurs matricielles
4.1.4. Action de Yang-Mills
4.1.5. Théories de jauge pour les algèbres d’endomorphismes
4.1.5.1. Décomposition des degrés de liberté
4.1.5.1.1. Dérivations
4.1.5.1.2. Formes
4.2. Modèles de Yang-Mills et topologie algébrique
4.2.1. Théorie Topologique
4.2.2. Différence entre Yang-Mills ordinaire et Yang-Mills topologique
4.2.2.1. Action Yang-Mills Ordinaire
4.2.2.2. Action Yang-Mills Topologie
4.2.3. Action de Yang-Mills dans L’algebre de Weil
4.2.4. Action de Yang-Mills d’une Classe Caracteristique
4.3. Conclusion
CHAPITRE V : APPROCHE NUMERIQUE
5.1. Rappels sur les champs de jauge
5.2. Construction de Connexion et Courbure en Topologie Algebrique
5.3. Algorithme de Calcul
5.3.1. Algorithme premier:
5.3.2. Algorithme deuxième :
5.3.3. Algorithme troisième :
5.4. Application Analytique
5.4.1. Transformation de Jauge globale
5.4.2. Transformation de Jauge locale
5.4.3. Construction de Dirac
5.4.4. Construction du Modèle de Yang-Mills
5.4.5. Résultat de La Simulation
5.4.6. Discussion
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Objectifs et thèmes de l'étude
L'objectif principal de ce mémoire est de construire un modèle topologique de Yang-Mills en unifiant les transformations de jauge locales et globales. Le travail explore la manière dont les outils de la topologie algébrique et de la géométrie non commutative permettent de reformuler les théories de jauge classiques, en remplaçant notamment les fibrés principaux par des structures basées sur des endomorphismes et des classes caractéristiques.
- Construction d'un mécanisme unique pour les transformations de jauge locale et globale.
- Application de la topologie algébrique pour la formulation des théories de jauge.
- Étude des algèbres d'endomorphismes et de leur rôle dans la description des champs physiques.
- Développement d'algorithmes de calcul pour les invariants topologiques de Yang-Mills.
- Reformulation algébrique de l'action de Yang-Mills topologique.
Auszug aus dem Buch
0.1. PROBLEMATIQUE
Le terme “jauge” fut introduit pour la première fois par Hermann Weyl en 1919 dans une tentative d’unifier l’électromagnétisme et la gravitation. Cette terminologie fut empruntée à celle des tablettes de jauge utilisées comme étalons de longueur dans les ateliers d’usinage. Ainsi, dans la théorie de Weyl, la jauge est une référence de mesure permettant d’étalonner l’échelle qui va servir à mesurer une quantité physique. Les quantités physiques, ou observables, sont supposées être invariantes sous des transformations locales d’échelle (ou de jauge). L’invariance de jauge, telle qu’elle fut introduite par Weyl, était directement inspirée de la théorie des connexions linéaires utilisée par Albert Einstein dans sa théorie de la relativité générale et avait donc, dès sa première formulation, un statut géométrique.
Par la suite, on a put mettre en évidence d’autres types d’interactions en observant la conservation de certains nombres quantiques dans les réactions nucléaires. Ainsi, en 1954, C.N. Yang et R. Mills introduisirent une jauge non abélienne généralisant de manière directe la théorie de Maxwell. Ils remplacèrent le groupe U(1) par un groupe non abélien SU(2) et la connexion de Maxwell, prescrivant aux phases de la fonction d’onde la relation qui existe entre elles en chaque point par une connexion à valeurs dans une algèbre non abélienne. Bien que la notion de connexion fut présente dès l’introduction des théories de jauge par Hermann Weyl, ce modèle permit de mettre en évidence une généralisation de la théorie des connexions, utilisée en relativité générale pour les repères linéaires, à une théorie des connexions pour un groupe de Lie compact arbitraire assimilé en physique à un groupe de symétries internes.
Résumé des chapitres
CHAPITRE I : OUTILS MATHEMATIQUES : Ce chapitre présente les bases nécessaires en topologie, homotopie et homologie, tout en faisant une synthèse de la notion des fibrés.
CHAPITRE II : THEORIES DE JAUGE ET GEOMETRIE NON COMMUTATIVE : Cette section explore la généralisation des connexions en géométrie non commutative, remplaçant l'espace par des algèbres et les fibrés par des modules projectifs.
CHAPITRE III : THEORIE DE JAUGE ET TOPOLOGIE ALGEBRIQUE : Ce chapitre généralise le concept de connexion vers des polynômes invariants et détaille les classes caractéristiques comme outil de description des champs.
CHAPITRE IV : MODELE DE YANG-MILLS : Présentation d'un modèle de Yang-Mills construit dans le cadre des classes caractéristiques, offrant une interprétation géométrique et topologique.
CHAPITRE V : APPROCHE NUMERIQUE : Cette partie est consacrée à la recherche d'algorithmes permettant le calcul des invariants topologiques liés à la théorie de jauge de Yang-Mills.
Mots-clés
Yang-Mills, théorie de jauge, topologie algébrique, géométrie non commutative, algèbres d'endomorphismes, classes caractéristiques, connexion, courbure, invariants, symétrie locale, symétrie globale, espaces fibrés, cohomologie, algèbre de Weil.
Foire aux questions (FAQ)
Quel est le sujet principal de ce mémoire ?
Le mémoire porte sur la construction d'un modèle de Yang-Mills topologique en utilisant la topologie algébrique et la géométrie non commutative pour lier les symétries locales et globales.
Quels sont les domaines scientifiques abordés ?
La physique théorique des champs, la géométrie différentielle, la topologie algébrique et l'algèbre des opérateurs sont les piliers de cette étude.
Quel est l'objectif visé par l'auteur ?
Le but est de proposer un mécanisme unifié pour décrire les théories de jauge, remplaçant les approches classiques basées sur les fibrés par des formulations algébriques plus directes.
Quelle méthode est privilégiée ?
L'approche privilégie la topologie algébrique et l'utilisation de classes caractéristiques et d'algèbres d'endomorphismes pour formuler les théories de jauge.
Qu'est-ce qui est traité dans le corps de l'ouvrage ?
Le document détaille les outils mathématiques, la théorie de jauge en géométrie non commutative, les connexions en topologie algébrique et la construction effective du modèle de Yang-Mills.
Quels sont les mots-clés essentiels ?
Yang-Mills, jauge, topologie, géométrie non commutative, invariants, symétrie, connexion, courbure.
Quelle est l'originalité de l'approche dans le chapitre 4 ?
Le chapitre 4 introduit des modèles de Yang-Mills basés sur les classes caractéristiques, une situation qui est peu décrite dans la littérature classique.
À quoi servent les algorithmes présentés dans le chapitre 5 ?
Ils permettent le calcul numérique des invariants topologiques (courbures locales et globales) attribués à la théorie de jauge de Yang-Mills développée dans le modèle.
- Citation du texte
- Patrick Ngosse (Auteur), 2014, Modèle de jauge de Yang-Mills par les transformations locale et globale associées à l’algèbre de Weil, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/278517
