Arithmetik, Funktionen und ihre Didaktik II. Zusammenfassung der Vorlesung


Prüfungsvorbereitung, 2014

30 Seiten


Leseprobe

1
11.1 ­ Mathematik im Vorschulalter
Ich kann kurz darstellen, was man
über die Mengenwahrnehmung von
Säuglingen weiß und wie man diese
Erkenntnisse gewonnen hat
Mengenwahrnehmung bei Säuglingen möglich; erprobt an
Versuch mit Puppe und Vorhang: Puppe verschwindet hin-
ter Vorhang, weitere Puppe kommt hinzu. Vorhang wird
angehoben, bei erwarteter Anzahl kein Erstaunen, bei un-
erwarteter Anzahl Erstaunen und längeres Hinsehen; gilt
auch bei Wegnahme von Puppen
Ich kann erläutern, inwiefern Kinder
in ihrem Alltag schon vor der Schule
Erfahrungen mit Zahlen, Raum und
Form, Größen sowie Daten und Zufall
machen.
Hausnummern, Telefonnummern, Schritte der Spielpuppe
bei Brettspielen, Körper erkennen, einfache Wege be-
schreiben, Alter kennen, Münzen und Scheine kennen,
nach Länge ordnen, Würfelergebnisse
Ich kann erläutern, inwiefern manche
vermeintlichen Lernhilfen eher zur
Lernhürde werden können.
Überfrachtung von irrelevanten Inhalten lenken von der
Mathematik ab; Kindgemäßheit nicht mit Über-
Didaktisierung gleichsetzen; Fehler des Materials als Fehler
des Kindes auslegen;
Ich kann erläutern, wie eine angemes-
sene Frühförderung aussehen sollte
und Beispiele für geeignete Situatio-
nen im Alltag nennen.
anregen, sich mit mathematischen Inhalten auseinanderzu-
setzen; keine "Verpackung" von Mathematik; spielerischer
Umgang; aktive Auseinandersetzung, handlungsorientiert;
Spiele: z.B. Räumer und Goldschatz, Rot gegen Blau,
Tangram
Ich kann erläutern, nach welchen
Grundsätzen das Kleine Zahlenbuch
mathematische Frühförderung orga-
nisiert und hierzu exemplarische Akti-
vitäten oder Spiele beschreiben.
Gesamtkonzept vom KiGa bis zum Abitur; zwanglos aber
nicht konzeptlos; keine künstliche Verpackung; Förderung
von Motorik (Plättchen legen), Wahrnehmung (Spielfelder)
und Gedächtnis; spielerische Begegnung mit Zahlen (Voll
besetzt) und Formen (Spiegel-Tangram); Schulung struktu-
rierte Zahlerfassung (Abräumen)
Ich kann begründet erläutern, ob ich
ein gegebenes Frühfördermaterial für
angemessen halte.
keine Verpackung, wirkliche mathematische Inhalte; spiele-
rische Auseinandersetzung; Untersuchung auf die geförder-
ten Kompetenzen (fördert das Material z.B. auch Motorik,
Sprache etc.)
11.2 ­ Mathematiklernen am Schulanfang
Ich kann an Beispielen erläu-
tern, wieso Schulanfänger keine
Lernanfänger sind.
Stunde 0 fiktiv, heterogene Vorerfahrungen
Zahlwortreihe bis fünf ohne Mengenvorstellung (auswendig wie
Gedicht) vs. Zählen in Fünferschritten, mit Mengenvorstellung bis
30
Ich kann erläutern, was mit
Heterogenität des Vorwissens
gemeint ist
vielfältiges Vorwissen: Zählfähigkeiten, Mengenerfassung, Re-
chenkompetenzen
Ich kann erläutern, wie man die
geometrischen Kompetenzen
von Schulanfängern erheben
kann.
Formen ausmalen lassen (Quadrate, Dreiecke etc.), Grö-
ßen/Mengenvergleich (längeren Bleistift anmalen, in welcher
Flasche ist mehr?), Würfel pro Würfelgebäude angeben, Orientie-
rung Straßenverkehr (Welch es Auto biegt nach recht ab?)
Ich kann erläutern, inwiefern
und wann eine frühe Diagnose
sinnvoll ist.
Kinder da abholen, wo sie stehen, unterschiedliche Bedürfnisse;
wichtig für die Unterrichtsplanung und das Vorgehen der Vermitt-
lung
Ich kann erläutern, was eine
mündl. bzw. eine schriftl.
Standortbestimmung ist, worin
mündlich: individuell, aber zeitaufwändig, alleine beinahe unmög-
lich durchzuführen
schriftlich: mehr Daten, aber wenig individuell, Fragen verstan-

2
sich die beiden Formen unter-
scheiden und welche Vor- und
Nachteile sie aufweisen.
den? Lesefähigkeit bereits vorhanden?
Ich kann erläutern, was eine
formelle bzw. eine informelle
Aufgabe ist, zu beiden Typen
Beispiele nennen und erläutern,
wieso man solche Aufgaben
einsetzt.
informell: mit Handlungsanweisung; kann zählend gerechnet
werden
formell: Abstraktion notwendig, kann aber auch bereits von eini-
gen Schülern gerechnet werden. BEIDES einsetzen, um der Hete-
rogenität gerecht zu werden
Formell entsteht aus informell
Beispiel informell: Susi hat 5 Bonbons und verschenkt zwei. Wie
viele hat sie jetzt noch?
Beispiel formell: Bello wurden 3 Knochen geklaut. Jetzt hat er nur
noch 4. Wie viele hatte er vorher?
Ich kann die sechs Typen von
Schachtelaufgaben beschreiben
und erläutern, wie und warum
sie eingesetzt werden.
A+x=c a+b=x x+b=c
a-x=c a-b=x x-b=c
Feststellung der Rechenfähigkeiten, Diagnose
Ich kann begründet erläutern,
welche der Schachtelaufgaben
sich besonders gut zur Feststel-
lung von Rechenfähigkeiten
eignen.
Keine sprachlichen Fähigkeiten notwendig
Eignung: a+b=x, a-b=x, a-x=c, weil informelle Rechenstrategie
anwendbar (abzählend), die anderen liefern Ergebnis!
Ich kann erläutern, welche Ty-
pen von offenen Aufgaben es
für den Anfangsunterricht gibt,
wodurch sie sich auszeichnen
und passende Beispiele nen-
nen.
Natürliche Differenzierung: Lösung nach eigenem Leistungsstand
Offene Aufgaben: 2 Typen
-
Mehr als eine plausible Lösung, mehrere Rechenwege
möglich
-
Keine Werte vorgegeben, schätzen oder ermitteln, Expe-
rimentier-, Probier-, Schätzaufgaben
Bsp Typ 1: Finde drei Zahlen, die gut zusammen passen und
schreibe auf, warum.
Bsp Typ 2: Ich zähle 22 Beine. Wie viele Hasen und wie viele Hüh-
ner sind im Stall?
Kapitel 11.3 Orientierung in neuen Zahlräumen
Ich kann die ver-
schiedenen Zahl-
aspekte aufzäh-
len, beschreiben
und passende
(lebensweltliche)
Beispiele sowie
die Bedeutung
der Zahlaspekte
im Rahmen der
Addition und
Subtraktion nen-
nen.
Aspekt Beschreibung
Bsp
Add
Sub
Kardinal Mächtigkeit
der
Menge, Anzahl
der Elemente
3 Äpfel, 9
Zahlen, 10³
Möglichkei-
ten
Zusammen-
legen
Wegnehmen,
Unterschied
berechnen,
ergänzen
Ordinal
Zählzahl
Folge der nat
Zahlen, die
durchlaufen
wird
Eins, zwei
drei, vier
Zehn, neun,
acht
Weiter-
zählen
Rückwärts
zählen
Ordinal
Ordnungs
Rangplatz in
Reihe
Fünfte im
Wartezim-
mer
- -
Maßzahl Maßzahl
für
Größe
10 Minu-
ten, 3 Euro,
2 Meter
Repräsentan-
ten aneinan-
der legen
Abtrennen
Repräsentan-
ten, Unter-
schied

3
Operator Vielfachheit
der
Handlung
Fünfmal
schlafen
Vervielfachen Umkehropera-
tor: Wie oft
noch?
Rechenzahl
algebraisch
Struktur mit
bestimmten
Eigenschaften
Kommuta-
tiv
Assoziativ
Schriftliche bzw halbschriftli-
che Verfahren
Rechenzahl
algorith-
misch
Rechnen als
Ziffernmanipula-
tion nach festen
Regeln
Schriftliche
Addition
z.B.
Kodierung Bezeichnung
Objekt
Telefon-
nummer,
Hausnum-
mer
-
Ich kann gegebene Beispiele einem Zahlaspekt zuordnen ;)
Ich kann Beispie-
le für typische
Zählfehler von
Schulanfängern
nennen.
Zehnerübergang (einszig, zweizig(20), dreizehn (30)), Stellenwertübergang
(99,100,200, 300,...), Schnapszahlen (30,31,32,34)
Ich kann die fünf
Zählprinzipien
nennen und an-
hand von Beispie-
len ihre Bedeu-
tung erläutern
Eindeutigkeitsprinzip: Eins-zu-eins-Zuordnung Zahl Gegenstand, keins vergessen,
keins doppelt, Hilfe: anfassen
Kardinalzahlprinzip: zuletzt genutzte Zahl gibt Mächtigkeit der Menge an
Prinzip der festen Reihenfolge: Zahlwortreihe fester Ablauf
Abstraktionsprinzip: Merkmale der Elemente irrelevant
Prinzip der beliebigen Reihenfolge: Zahlwörter nicht Eigenschaft der Zählobjek-
te, Reihenfolge, in der die Elemente gezählt werden, irrelevant, Zählergebnis
gleich
Ich kann zu je-
dem der fünf
Zählprinzipien
einen Fehler
nennen, der ent-
stehen könnte,
wenn man das
entsprechende
Zählprinzip nicht
beachten würde.
Eindeutigkeitsprinzip: doppelt zählen / berühren, eins vergessen
Kardinalzahlprinzip: vorheriges oder folgendes Zahlwort sagen
Feste Reihenfolge (Zahlwortreihe): Wortdreher in der Zahlenreihe, Silben der
Zahlworte den Objekten zuordnen
Abstraktionsprinzip: Zählen Centstücke: 2 Cent als 2 Objekte zählen
Beliebige Reihenfolge (Abzählreihenfolge): einmal durchzählen, jedes Objekt mit
Zahlwort als Eigenschaft belegen, nochmal anders ,,zählen" ­ vorher zugeordne-
te Objekteigenschaft benennen, ggf. andere ,,Objekteigenschaft" zuletzt nennen
-> andere Mächtigkeit der Menge
Ich kann erläu-
tern, in welchen
Darstellungsfor-
men und mit
welchen Darstel-
lungsmitteln
mathematische
Sachverhalte
beschrieben
werden können,
und dies an Bei-
spielen veran-
schaulichen
Handlung: an Naturmaterialien (Nüsse, Steine etc.) oder didaktischem Material
(Plättchen)
Bildliche Darstellungen: lebensweltlich (Kinder kommen auf andere zu) oder mit
didaktischem Material (10er-Feld)
Symbolische Darstellungen: Umgangssprache (Text) oder formal (7+1=)

4
Ich kann anhand
von Beispielen
erläutern, wieso
Darstellungsmit-
tel zum einen
Lernhilfe und
zum anderen
auch Lernstoff
sind und daraus
eine Schlussfol-
gerung für den
Einsatz von Dar-
stellungsmitteln
im Unterricht
ziehen.
20-erFeld / Rechenschieber: Struktur muss erkannt werden, weggeschobene
Kugeln nicht ,,weg"; Hilfe: bessere Anzahlerfassung durch Struktur
100er-Feld: Wie aufgebaut? Struktur erarbeiten; Hilfe: Orientierung im 100er-
Raum
Rechenstrich: Einteilung, Umgang damit; Hilfe: Veranschaulichung im selbst ge-
wählten Zahlenraum
Schlussfolgerung für den Einsatz von Darstellungsmitteln im Unterricht: Darstel-
lungsmittel sind auch Lernstoff! Müssen eingeführt und Umgang mit ihnen erläu-
tert werden.
Ich kann den
Unterschied zwi-
schen struktu-
rierten und un-
strukturierten
Darstellungsmit-
teln sowie Misch-
formen erklären
und jeweils Bei-
spiele nennen.
strukturiert Mischform Unstrukturiert
Rechenstäbe,
Cuisinare-Stäbe
Rechenschiff-
chen, Rechen-
rahmen, 20er-
Feld, 20er-Kette
Wendeplättchen,
Steckwürfel,
Naturmaterialien
Zusammenfas-
sung Einzelobjek-
te zu größeren
Einheiten
Handlung als
Ganzheit, mit
einzelnen Bau-
steinen operie-
ren
Merkmalsarm
Ich kann Quali-
tätskriterien für
Darstellungsmit-
tel im Anfangsun-
terricht nennen.
(quasi)simultane Zahlauffassung, Handlung zum Aufbau des Verständnisses ma-
thematischer Operationen (operatives Prinzip), Handlungen in Bilder und Symbo-
le übersetzen, Ablösung vom zählenden Rechnen, heuristische (Problemlöse-)
bzw. operative Strategieentwicklung im Zahlenraum bis 20 ermöglichen, Hand-
habbarkeit, Schülermaterial - Demo-Material, Preis
Ich kann erklä-
ren, was mit Kon-
tinuität von Dar-
stellungsmitteln
gemeint ist, und
dies an Beispie-
len verdeutli-
chen.
Vom 20er zum 100er-Feld
-> Einführung von Darstellungsmitteln lohnt sich, Übertragung in neue Zahlen-
räume schafft Sicherheit durch Bekanntes im Unbekannten
Beispiel Addition, lineares Fortschreiten:
Spiel Räuber und Goldschatz ­ NIM-Spiel: Spielerischer Einstieg
Addition im 20er-Raum mittels 20er-Kette oder 20er-Reihe
Addition im 100er-Raum mittels 100er-Reihe oder Rechenstrich , Rechenstrich
auch in hohen Zahlräumen verwendbar
Ich kann erläu-
tern, was sub-
stantielle Aufga-
benstellungen
sind, und Beispie-
le für solche
nennen.
Substantielle Aufgabenformate
- reichhaltige Aufgabenstellung, die verschiedene mathem. Aktivitäten erlauben
(reproduzieren, entdecken, darstellen, argumentieren)
- ermöglichen natürliche Differenzierung (individueller Lernzuwachs bei unter-
schiedlichen Vorkenntnissen und Entwicklungsständen)
- orientieren sich an fundamentalen Ideen und fördern kumulatives Lernen (Spi-
ralprinzip)
- selbstgesteuertes Lernen ermöglichen und Problemlösekompetenz fördern
- fördern ganzheitliches, vernetztes Lernen
- unterstützen kooperatives Lernen
Beispiele: Minus-Türme, Forscher-Aufgaben zu ANNA-Zahlen oder Zahlenmauern

5
Kapitel 12: Operatives Prinzip
Ich kann die wesentli-
chen Aspekte von
Piagets Äquilibrations-
theorie beschreiben
und sie an Beispielen
veranschaulichen.
Denken als verinnerlichtes Handeln
Wissen entwickelt sich in der und durch die Interaktion mit der Umwelt
Äquilibration: Gleichgewicht Umweltanforderung und kogn. Struktur des
Individuums
Adaption: anpassende Interaktion, umfasst Elemente Assimilation und Ak-
komodation
Assimilation: Anpassung Gegenstand an vorh. kognitive Struktur
Akkomodation: Veränderung, Erweiterung der kogn. Struktur auf
Umweltanforderung
Ich kann Piagets Sta-
dientheorie in ihren
Grundzügen beschrei-
ben und sie
an Bei-
spielen veranschauli-
chen
.
Stadientheorie
Prä-Operationale Phase: an konkrete Handlung gebunden , aspektzentriert-
Plättchen legen und wegnehmen
Operationale Phase: von konkreten Handlungen lösen, Handlungen vorstel-
len ­
formale Additionsaufgabe lösen
Formal-Operationale Phase: ohne konkrete Handlung, Hypothesen bilden,
vorausdenken ­
Funktionszuordnungen analysieren
Ich kann erklären,
wieso Denken als
verinnerlichtes Han-
deln beschrieben
wird.
Konkrete Handlungen werden zu intellektuellen Operationen, da sich
Handlung von konkreten Objekten lösen und durch Vorstellungen ersetzt
werden (Verinnerlichung). Handeln bedeutet nicht nur agieren mit Händen,
sondern in konkret erfahrbaren Situationen. Verinnerlichung nicht automa-
tisch, sondern durch Nachdenken über (Reflexion von) Handlungen
Ich kann erklären,
wieso Aebli Lehren als
Anregung zum Ord-
nen des Tuns be-
schreibt
Vorbereitete Lernumgebung, die zur Aktivität anregt, aber nicht planlos,
sondern geordnet, nicht Aktivität an sich, sondern Einsicht in innewohnen-
de Beziehung erlangen, Verständnis über Nachdenken ermöglichen
Ich kann erklären,
wieso Fricke & Besu-
den Lernen als Knüp-
fen eines Netzes be-
schreiben und welche
Forderung sich
dadurch für den Ma-
thematikunterricht
ergibt.
Operative Erfassung nicht am Ende eines Lernvorgangs, sondern Lernpro-
zess besteht in der Ausbildung beweglicher Denkoperationen
an Bekanntes ansetzen, weiteres Ausbauen des Wissens
Forderung: operative Gesamtbehandlung und operative Variation
Ich kann erklären, was
das operative Prinzip
aussagt und welche
Bedeutung es für den
Mathematikunterricht
hat.
Wittmann: Erkennen als Untersuchen von Zusammenhängen
welche Operationen ausführbar, wie verknüpft?
Operatives Prinzip: Objekte erforschen, Konstruktion erfassen, Operatio-
nen (Handlungen) ausführen, Verhalten beobachten. Eigenschaften und
Beziehungen zwischen Objekten herausfinden, Wirkungen der Verände-
rungen auf Eigenschaften und Beziehungen beobachten.
Bedeutung Matheunterricht: durch handelnde Tätigkeiten Erkenntnisse
gewinnen.
Ich kann erklären, was
Wittmann unter Ob-
jekten, Operationen
und Wirkungen ver-
steht.
Objekt: materiell, konkret, aber auch abstrakt, strukturierte Menge oder
Kategorie von Struktur, alles, woran man die Eigenschaften erforschen will
Operation: Handlung, (systematische) Veränderung
Wirkung: Was geschieht mit ..., wenn...?

6
Ich kann begründet
Beispiele für Frage-
stellungen im Sinne
des operativen Prin-
zips (auch für die
Grundschule) nennen.
Nim-Spiel: Wie gewinne ich das Spiel?
Objekt: Spielsteine, Spielplan
Operation: Auslegen der Steine, erreichen von bestimmten Feldern
Wirkung: Gewinne ich, wenn ich das Feld (2,3,4,7,...) belegt habe?
100er-Tafel, 2x2-Felder:
Objekt: Tafel, Feld, Gesamtsumme
Operation: Verschiebung des Feldes
Wirkung: Wie ändert sich die Summe, wenn ich das Feld nach links, rechts,
oben, unten verschiebe?
Ich kann exemplarisch
erläutern, wie eine
operative Behandlung
des Einspluseins zu
realisieren ist.
Entdeckerpäckchen ­ Entdeckungen machen lassen, Entdeckungen be-
schreiben lassen
Ich kann erläutern,
wie man Kinder bei
ihren Beschreibungen
und Begründungen
der operativen Zu-
sammenhänge unter-
stützen kann.
Sprachförderung, z.B. Wortspeicher, Lückentext, Textpuzzle, Fehlersuche,
Darstellungen zuordnen
Ich kann erläutern,
wie man operatives
Denken in der Geo-
metrie anregen kann.
Figuren spiegeln ­ Tangram-Material+Spiegel, Ziel: vorgegebene Figur mit
Material erzeugen
Fragestellungen zum Würfel: Seitenlänge verdoppeln, was passiert mit
Oberfläche?
Perspektivwechsel eines Fotografen auf Insel, Würfelgebäude
Ich kann gegebene
mathematische Prob-
lemstellungen opera-
tiv bearbeiten.
Untersuchung auf Objekt, Operation und Wirkung!
Ich kann - unter Rück-
bezug auf die voran-
gehend erklärten
Theorien - erklären
welche Rolle Fehler
innerhalb des Lern-
prozesses spielen.
Aus Fehlern lernen! Fehler als Selbstüberprüfung der durchgeführten
Handlung: sind Operationen korrekt durchgeführt? Sind Entdeckungen
machbar?
Ich kann erläutern,
wie mit Fehlern des-
halb im Unterricht
umgegangen werden
sollte.
Fehlertoleranz und Fehlernutzung! Nachdenken über Fehler, dafür Zeit
einräumen
Systematik der Fehler analysieren
Ich kann zu einem
gegebenen fehlerhaf-
ten Schülerdokument
beschreiben, wie man
darauf im Unterricht
reagieren könnte.
Systematik des Fehlers analysieren, was kann der Schüler, was kann er
noch nicht? Wo liegt das Problem? Darauf eingehen

7
Kapitel 13.1 Quadratzahlen und Beweise
Ich kann Quadratzah-
len auf verschiedene
Weisen anschaulich
darstellen (z.B. Punk-
tefelddarstellung,
flächige Darstellung
oder Malkreuz) und
die Zusammenhänge
zwischen den einzel-
nen Darstellungen
erläutern.
O...O -> wichtig: kleine Punkte zwischen den großen, um zu zeigen, dass es
unendlich weiter geht!
Flächige Darstellung: Flächen, Kanten beschriften!
Malkreuz:
mal 10x 5
10x 100x² 50x
5 50x 25
100x²+100x+25
Zusammenhang: aus einzelnen Punkten entsteht flächige Darstellung
Malkreuz: algebraische Darstellung der symbolischen Darstellungen, Be-
schreiben UND Begründen in einem
Ich kann die in der
Vorlesung aufgewor-
fenen Fragestellungen
zu den Entdeckungen
an der Quadratzahlta-
belle beantworten
(z.B. Eigenschaften
der Einerziffer) und
jeweils erklären, wa-
rum das so ist.
In den Spalten der Quadratzahltabelle stehen immer Zahlen mit der glei-
chen Einerziffer untereinander
Erläuterung:
mal Zehner=10x
Einer
=y
Zehner=10x 100X²
10xy
Einer =y
10xy
100x²+20xy+
Die Einerziffer ist deshalb gleich, da in jeder Spalte die Zehner mehr wer-
den, die einer aber gleich bleiben. Die Rechnung der Quadratzahl der höhe-
ren Zahlen enthält aber die Rechnung der Einerzahl (siehe Malkreuz). Da-
her ist die Einerziffer in jeder Spalte gleich.
Abstand zwischen Quadratzahlen immer um 2 mehr (+3, +5, +7, +9)
Erklärung
(x+1)²-x²= x²+2x+1-x²=2x+1
X=1, da nur ein schritt gegangen wird zwischen benachbarten Zahlen ->
2x+1=2*1+1=2
Unterschied von Reihe zu Reihe monoton ansteigend.
Erklärung:
mal Zehner=10x
Einer
=y
Zehner=10x 100X²
10xy
Einer =y
10xy
100x²+20xy+y²
Da der Abstand beim Zehner größer wird, ist hier der Anstieg begründet.
Der Abstand wird mit jedem Schritt um eins im Zehner, hier also x größer.
Gerade Basis = gerade Quadratzahl
Ungerade Basis = ungerade Quadratzahl
Erklärung:
Gerade Quadratzahl: 2x*2x= 4x²= -> Vielfaches von 2, damit gerade
Ungerade Quadratzahl: (2x+1)²=4x²+4x+1 -> immer plus 1, damit ungerade
Ich kenne verschiede-
ne Möglichkeiten,
Quadratzahlen durch
Addition anderer Zah-
len zu erzeugen, und
kann diese durch
Terme beschreiben
Summe aufeinander folgender ungerader Zahlen: 1+3+5+7+9+...=Q
n
Term: 2*
(1+2+3+...+n)-
n=2
(
)
- = ( + 1) - = ²
Dreieckszahl eingesetzt!
Summe aufeinanderfolgender Dreieckszahlen Q
n
=D
n
+D
n-1
:

8
sowie beweisen, dass
die Terme gelten.
( + 1)
2
+
( - 1)( - 1 + 1)
2
=
( + 1) + ( - 1)
2
=
² +
+ ² -
2
=
2 ²
2
= ²
Summe auf- und absteigender Zahlen: 1+2+3+2+1
1+2+3= D
3
; 1+2= D
2
=D
3-1
Term siehe oben!
Quadratzahl als Multiplikation: 4*1, 4*4n 4*9 -> 4n²
Ich kenne die in der
Vorlesung genannten
Sätze zu Quadratzah-
len und kann sie je-
weils beweisen.
Zusätzlich zu oben:
Differenz von Quadratzahlen
Für aufeinanderfolgende ungerade: (x+1)²-x²=2x+1
Für aufeinanderfolgende gerade: (x+2)²-x² = x²+4x+4-x²=4x+x= 4(x+1) ->
nur Vielfache von Vier als Ergebnis!
Ich kann allgemein
beschreiben, was ein
Direkter Beweis ist
und einen solchen bei
passenden zu bewei-
senden mathemati-
schen Aussagen an-
wenden.
Satz: Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade
Beweisform: direkter Beweis
Beweis durch Umformung: 2 Zahlen m und n, beide gerade, also Vielfache
von 2 -> m+n = 2x + 2y = 2(x+y) Ergebnis durch Zwei teilbar, Aussage
stimmt
Ich kann allgemein
beschreiben, was ein
Widerspruchsbeweis
ist und einen solchen
bei passenden zu be-
weisenden mathema-
tischen Aussagen an-
wenden.
Satz:
2 ist irrational
Beweisform: indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis)
Annahme:
2 ist rational
->
2=p/q, wobei p und q teilerfremd
-> 2= p²/q² -> p²=2q²
-> p² ist gerade, -> p ist gerade und kann durch 2x ersetzt werden
-> (2x)²= 2q² -> 4x²=2q² -> q²=2x² -> q ist gerade, ebenso wie p. Dadurch
sind sie beide durch 2 teilbar, was zur Folge hat, dass sie nicht teilerfremd
sind. Daher ist die Behauptung falsch und der Satz bewiesen.
Ich kann allgemein
beschreiben, wie ein
Beweis mittels voll-
ständiger Induktion
funktioniert und dabei
insbesondere die drei
Beweisschritte (Induk-
tionsanfang, Indukti-
onsschritt und Induk-
tionsbeweis) erläu-
tern.
Satz:
Beweisform: vollständige Induktion
Induktionsanfang: (n=1) in Satz einsetzen
Induktionsschritt: setzt sich zusammen aus
Induktionsvoraussetzung: (Satz wiederholen)
Induktionsbehauptung: (Satz für Nachfolger n+1 aufstellen)
Induktionsbeweis: Umformen und versuchen, Induktionsvoraussetzung
wiederzufinden
Ich kann das Beweis-
verfahren der Voll-
ständigen Induktion
bei passenden zu be-
weisenden mathema-
tischen Aussagen an-
wenden.
Satz:
n³-6n²+14n
ist durch 3 teilbar
Beweisform: vollständige Induktion
Induktionsanfang: n=1 einsetzen
1³-6*1²+14*1=1-6+14=-5+14=9 -> ist durch 3 teilbar, gilt also
Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
n³-6n²+14=3x
Induktionsbehauptung: Da er für n=1 gilt, gilt der Satz auch für den Nach-
folger
Ende der Leseprobe aus 30 Seiten

Details

Titel
Arithmetik, Funktionen und ihre Didaktik II. Zusammenfassung der Vorlesung
Hochschule
Technische Universität Dortmund  (IEEM)
Veranstaltung
Arithmetik, Funktionen und ihre Didaktik II
Autor
Jahr
2014
Seiten
30
Katalognummer
V279957
ISBN (eBook)
9783656738138
ISBN (Buch)
9783656738121
Dateigröße
4252 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Mathematik, Grundschule, Selter, Satz von Sylvester, Figurierte Zahlen, Mathematikdidaktik, Schachtelaufgaben, Anfangsunterricht Mathematik, Mathematische Frühförderung, Kriterien Didaktisches Material, Lernstandsbestimmung, Arithmetische Reihe, Arithmetische Folge, Beweis, Induktionsbeweis, Direkter Beweis, Indirekter Beweis, Funktionen, Variablen
Arbeit zitieren
Stefanie Rahder (Autor), 2014, Arithmetik, Funktionen und ihre Didaktik II. Zusammenfassung der Vorlesung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/279957

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