Statistische Inferenz für das CAPM

1 Einleitung

In den Sechzigerjahren des 20. Jahrhunderts entwickelten die Ökonomen Sharpe, Lintner und Mossin unabhängig voneinander das Capital Asset Pricing Model (CAPM) als auf das Konzept der Portfolio-Diversifikation von Markowitz aufbauendes Kapitalmarktmodell.^[1]

Das CAPM stellt ein Gleichgewichtsmodell dar, das die Handlungen der Akteure auf den Finanzmärkten erklären soll. Dieses gesamtwirtschaftliche Gleichgewicht entsteht aus der Annahme gleicher Erwartungen bei den Anlegern, und ermöglicht es, den Marktpreis einer Aktie mit seinen Renditeerwartungen, in Abhängigkeit von seinem Risiko, in Verbindung zu bringen.^[2]

Dieses Risiko einer Aktie stellt die Schwankung der Rendite der Aktie im Verhältnis zur Schwankung der Rendite auf dem Gesamtmarkt, der zumeist durch einen Aktienindex repräsentiert wird, dar. Diese Beziehung wird durch den Betafaktor ausgedrückt, der in der Praxis als Indikator für die erwartete Rendite einer Aktie fungiert, da ein hohes Risiko, ausgedrückt durch einen hohen Beta-Faktor, eine hohe Rendite erwarten lässt und umgekehrt.^[3]

Ob ein solches Gleichgewichtsmodell wie das CAPM auch in der Praxis seine Gültigkeit behält, war bereits Gegenstand vieler Untersuchungen, u.a. auf dem deutschen und dem US-amerikanischen Aktienmarkt. Dabei wurde stets auf Grundlage der beobachteten Renditen geprüft, ob die, in Verbindung mit der Marktrendite geschätzten, Betafaktoren der Aktien tatsächlich die bestimmenden Faktoren für die Rendite der Aktien sind.

Diese ex-post Überprüfung des durch das CAPM geforderten Zusammenhangs zwischen Rendite und Risiko führte bisher zu eher negativen Ergebnissen, was einerseits in der fehlenden Modellhaftigkeit der Realität und andererseits in den verwendeten Testverfahren begründet sein mag.

Aus diesem Grund soll das Ziel dieser Untersuchung sein, eine Überprüfung für den US-Aktienmarkt durchzuführen, bei der mithilfe des bisher verwendeten Instrumentariums für die Schätzung von Betas und darüber hinausgehender statistischer Verfahren eine Schätzung und Analyse der Betafaktoren vorgenommen wird. Das CAPM dient hierbei eher als Grundgerüst für die empirische Untersuchung, seine Gültigkeit wird daher lediglich im Ansatz geprüft.

Diese empirische Untersuchung des US-Aktienmarktes ist darauf ausgerichtet, mithilfe von statistischen Tests eine konsistente Beta-Schätzung der betrachteten Unternehmen für bestimmte Zeiträume durchzuführen und auf Grundlage dieser Beta-Schätzungen zu prüfen, inwiefern sich weltwirtschaftliche Ereignisse auf die Unternehmen auswirken.

Dazu wird zunächst im 2. Kapitel die Portfoliotheorie erarbeitet, um, aufbauend auf der Idee der Risikodiversifikation, das CAPM herzuleiten. Dadurch wird das betrachtete Modell und damit die Grundlage der durchgeführten Beta-Schätzungen veranschaulicht.

Um in diesem Rahmen Beta-Schätzungen durchführen zu können, bzw. ein Verständnis von der Methodik der Validierung des CAPM zu erlangen, werden im darauf folgenden 3. Kapitel die ökonometrischen Grundlagen zur Schätzung von linearen Modellen, in diesem Fall zur Schätzung des linearen Zusammenhangs zwischen Aktien- und Marktrendite, erarbeitet.

Das 4. Kapitel widmet sich einem speziellen, dieser Untersuchung zugrundegelegten Verfahren zur Validierung des CAPM und gibt somit Aufschluss über die Technik der durchgeführten Beta-Schätzungen und der ex-post Überprüfung des durch das CAPM postulierten Zusammenhangs zwischen dem Beta einer Aktie und seiner Rendite.

Das 5. Kapitel stellt die eigene empirische Untersuchung des US-Aktienmarktes zwischen 1999 und 2010 dar. Dazu werden in einem ersten Schritt die verwendeten Modellgrößen vorgestellt, um darauf folgend ihre Vereinbarkeit mit den Annahmen des CAPM zu prüfen. Daraufhin werden die Ergebnisse der Beta-Schätzungen sowie der Überprüfung der Gültigkeit des CAPM auf dem betrachteten Markt dargestellt. Es erfolgt eine Validierung der durchgeführten Beta-Schätzungen, indem diese auf Annahmeverletzungen bezüglich der im 3. Kapitel vorgestellten Schätzmethode geprüft werden. Im abschließenden Teil dieses Kapitels erfolgt eine Analyse der Entwicklung der Betas im Zeitverlauf anhand statistischer Methoden, die Strukturbrüche aufdecken und damit weltwirtschaftlich bedeutende Ereignisse in den Betas der Unternehmen sichtbar machen soll.

2 Einführung in die untersuchten Kapitalmarktmodelle

Die Portfoliotheorie bildet die Grundlage des in dieser Arbeit untersuchten Kapitalmarktmodells, denn sie führt auf das CAPM, aus dem sich die Betas von Unternehmen herleiten, deren Schätzung und Analyse Inhalt dieser Arbeit ist.

Die Ökonomen Black und Tobin entwickelten das Modell weiter, sodass es möglich ist, dieses varianzminimale Portfolio mit einer risikofreien Anlage zu kombinieren.^[4]

Aus dieser Kombination ließ sich in der Folge das CAPM entwickeln, welches in Abschnitt 2.2 behandelt wird.

2.1 Portfoliotheorie

Die Portfoliotheorie geht auf einen im Journal of Finance veröffentlichen Aufsatz von Markowitz aus dem Jahre 1952 zurück.^[5]

Ihre Grundaussage ist, dass das Risiko eines Portfolios nicht etwa dem durchschnittlichen Risiko der einzelnen Bestandteile entsprechen muss, sondern entscheidend von deren Kovarianzen und Korrelationen untereinander abhängt.^[6] Somit kann aus mehreren Aktien ein Portfolio mit geringstmöglicher Varianz, also auch geringstmöglichem Risiko, generiert werden.

Um die Portfoliotheorie herleiten zu können, ist es zunächst notwendig, einige Annahmen zu treffen, die im Folgenden dargestellt werden.

2.1.1 Annahmen für den Modellmarkt

Diese Annahmen beziehen sich auf das Verhalten der Investoren und auf den Zeithorizont, der in diesem Modell betrachtet wird. Sie lauten wie folgt:^[7]

Die Investoren treffen ihre Entscheidungen allein auf Grundlage der Größen Erwartungswert der Renditen und der Varianz bzw. Standardabweichung der Renditen, mit .

- Sie verhalten sich risikoavers, d.h. sie versuchen stets, Risiken zu vermeiden. Bei gleichem Erwartungswert wird also dasjenige Portfolio mit der geringsten Varianz bzw. der geringsten Standardabweichung vorgezogen.
- Sie verhalten sich nutzenmaximierend, d.h. ein höherer Erwartungswert wird einem niedrigeren bei gleichem Risiko vorgezogen.
- Der Planungshorizont beträgt eine Periode.
Unter Berücksichtigung dieser Annahmen können nun die Grundlagen der Bildung effizienter Portfolios erarbeitet werden.

2.1.2 Portfoliobildung

Ein Aktien-Portfolio im Sinne dieser Arbeit ist eine Kombination aus zwei (oder mehr) Aktien, in der Aktie 1 mit dem Anteil und Aktie 2 mit dem Anteil enthalten ist.

Der Ertrag einer einzelnen Aktie berechnet sich aus der Differenz zwischen dem Kurs der Vorperiode und dem aktuellen Kurs der Periode . Die Periodenrendite über einen bestimmten Zeitraum bestimmt sich somit durch die Division dieser Differenz durch den Kurs der Vorperiode, also durch den Quotienten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[8]

Investiert ein Marktteilnehmer in die Aktien 1 und 2, so berechnet sich die Rendite dieses Zwei-Aktien-Portfolios durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und die erwartete Rendite durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Berechnung des Erwartungswertes bezeichnet die Eintrittswahrscheinlichkeit der Rendite . ^[9]

Für den -Aktien-Fall gilt analog

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[10]

Das Risiko einer Anlage wird durch seine Varianz bzw. seine Standardabweichung bemessen. Die Varianz einer Aktie ist definiert durch die mittlere quadratische Abweichung der Renditen von ihrem Erwartungswert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Varianz eines Portfolios ergibt sich somit analog zu [2.5] durch den Ausdruck

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Verwendung von [2.2] und [2.3] lässt sich die Varianz auch wie folgt schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter Einbeziehung der Kovarianz zwischen zwei Aktien, die definiert ist durch ergibt sich für die Varianz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[11]

Die Kovarianz kann durch den Korrelationskoeffizienten ersetzt werden, der durch seine Normierung auf einen Wert zwischen und intuitiv verständlicher ist. Dieser ist definiert durch und verändert die Formel für die Portfoliovarianz zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[12]

Die Standardabweichung des Portfolios wird ausgedrückt durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch diese Schreibweise wird deutlich, durch welche Variablen das Risiko eines Portfolios bestimmt wird, und zwar durch die Risiken der einzelnen Aktien, die Anteile der Aktien des Portfolios und deren Korrelationskoeffizienten.

Da das Risiko eines Portfolios durch eine Funktion der eben genannten drei Elemente bestimmt wird, ist es möglich, diese Funktion zu minimieren und somit ein varianzminimales Portfolio durch Variation der jeweiligen Anteile und zu erreichen. Der Vorgang der Risikominimierung durch geeignete Zusammenstellung von Anlagetiteln wird als Risiko-Diversifikation bezeichnet, die erstmals von Markowitz spezifiziert wurde.^[13]

2.1.3 Markowitz-Diversifikation

Durch die Markowitz-Diversifikation ist es möglich zu zeigen, dass das Risiko des Portfolios unter das gewichtete Durchschnittsrisiko beider Aktien gesenkt werden kann.

Markowitz hat nachgewiesen, dass der Korrelationskoeffizient entscheidend zum Risiko eines Portfolios beiträgt. Um die Wirkung des Korrelationskoeffizienten auf das Gesamtrisiko zu veranschaulichen, werden nun die drei Fälle a) , b) und c) betrachtet und dargestellt, wie sich der Korrelationskoeffizient jeweils auf das Risiko des Portfolios auswirkt.^[14]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Falle der vollständig positiven Korrelation ergibt sich für die Varianz des Portfolios

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. für die Standardabweichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus wird deutlich, dass das Risiko eines Portfolios aus perfekt positiv korrelierten Aktien mindestens so hoch sein muss wie das der Aktie mit dem niedrigsten Risiko. Es berechnet sich als gewichteter Durchschnitt der einzelnen Risiken, eine Senkung des Risikos unter diesen Wert ist daher nicht möglich. Diese Beziehung wird durch die Gerade in Abbildung 1 dargestellt, die die Punkte für die Aktien 1 und 2 verbindet.

b) Sind beide Aktien perfekt negativ korreliert, ergibt sich Gleichung [2.9] zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und Gleichung [2.10] wird zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Differenzieren und Nullsetzen von [2.12] erhält man den Wert für , bei dem das Risiko 0 beträgt. Das optimale Gewicht von Aktie 1 lautet in diesem Fall

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass , ergibt sich für die Standardabweichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei perfekt negativer Korrelation zweier Aktien kann demnach ein risikoloses Portfolio gebildet werden, das einen sicheren Ertrag liefert. Eine solche Beziehung dürfte auf dem Aktienmarkt jedoch kaum existieren. Punkt in Abbildung 1 stellt ein solches risikoloses Portfolio dar.

c) Sind beide Aktien des Portfolios unkorreliert, so ergibt sich für die Varianz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und für die Standardabweichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch in diesem Fall kann durch Differenzieren und Nullsetzen ein optimales Gewicht berechnet werden. Es lässt sich zeigen, dass das Risiko, welches unter Verwendung von entsteht, unter dem gewichteten Durchschnittsrisiko beider Aktien liegt. Ein Beweis dazu findet sich in der Literatur, sodass in dieser Arbeit darauf verzichtet werden kann.^[15]

Für den Fall unkorrelierter Aktien entsteht zwischen den beiden Aktien grafisch eine Hyperbel, was in Abbildung 1 noch einmal verdeutlicht wird.

Abbildung 1: Rendite-Risiko-Kombinationen für den Zwei-Aktien-Fall bei verschiedenen Korrelationskoeffizienten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für jeden Wert des Korrelationskoeffizienten zwischen 0 und 1, was den am häufigsten auftretenden Fall darstellt, wird mit ansteigender Korrelation die Krümmung des Graphen schwächer und nähert sich immer weiter der Gerade an. Das Portfolio am äußerst linken Rand der Hyperbel nennt sich Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) und ist dadurch gekennzeichnet, dass es unter allen Kombinationsmöglichkeiten das geringste Risiko aufweist. Abbildung 1 zeigt das MVP für den Fall unkorrelierter Aktien. Des Weiteren ist es wichtig festzustellen, dass nur Portfolios oberhalb des MVP effizient sind, da diejenigen unterhalb bei gleichem Risiko einen geringeren Erwartungswert aufweisen. Investoren werden jedoch annahmegemäß bei gleichem Risiko immer das mit dem höheren Erwartungswert wählen, was dazu führt, dass nur Portfolios oberhalb des MVP als effizient bezeichnet werden.^[16]

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass ein Portfolio aus mehreren Aktien, abhängig von der Korrelation, so gewählt werden kann, dass das Risiko des Portfolios im Falle nicht perfekt positiver Korrelation unter das gewichtete Durchschnittsrisiko der einzelnen Aktien gesenkt werden kann.

Aufbauend auf diesen Erkenntnissen hat Tobin das Modell um eine risikolose Anlage erweitert, sodass durch Einbeziehung dieser risikolosen Anlage eine sogenannte Effizienzlinie entsteht. Die Anleger positionieren sich somit zwischen dem effizienten Portfolio und dieser Anlagemöglichkeit. Die Herleitung dieser Effizienzlinie wird im Abschnitt 2.2.2 vorgenommen, da Tobin’s Effizienzlinie im Rahmen des CAPM zur Kapitalmarktlinie wurde.^[17]

Zuvor wird das CAPM in seinen Grundlagen und zentralen Annahmen dargestellt, um darauf folgend auf die Herleitung der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiermarktlinie einzugehen.

2.2 Capital Asset Pricing Model

Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) stellt eine Erweiterung der Portfoliotheorie, die sich auf das Entscheidungsverhalten eines Investors beschränkt, zu einem Modell dar, das den gesamten Markt betrachtet.

Die Ökonomen Sharpe, Lintner und Mossin entwickelten das CAPM unabhängig voneinander, aufbauend auf den Erkenntnissen aus der Portfoliotheorie.^[18]

Den ersten Schritt bildet die Spezifizierung und Erweiterung des Annahmenkomplexes aus Abschnitt 2.1.1. Daraufhin wird die Kapitalmarktlinie, welche die Steigung einer Geraden zwischen einem effizienten Portfolio und der risikolosen Anlage darstellt, hergeleitet. Auf dieser Geraden befinden sich alle erreichbaren Risiko-Rendite-Kombinationen eines Investors, der dieses effiziente Portfolio mit der risikolosen Anlage mischt. Aus dieser leitet sich das Marktportfolio als effizientestes Portfolio ab.

Um Rendite-Risiko-Beziehungen einer einzelnen Aktie in Abhängigkeit vom Marktportfolio darzustellen, wurde die in Abschnitt 2.2.3 folgende Wertpapiermarktlinie entwickelt.

2.2.1 Annahmen des CAPM

Zusätzlich zu den in Abschnitt 2.1.1 getroffenen Annahmen, müssen für das CAPM noch einige weitere eingeführt werden. Es wird über die Annahmen der Portfoliotheorie hinaus postuliert, dass

- Informationen kostenlos und zeitnah verfügbar sind
- Investoren als Preisnehmer agieren
- Die Renditen (Log-)normalverteilt sind
- Anlagetitel unbegrenzt teilbar sind

Geldmittel zu sowohl aufgenommen als auch verliehen werden können

- keine Steuern und Transaktionskosten existieren. ^[19]

Unter Annahme der Gültigkeit dieser sehr restriktiven und daher für reale Märkte als unerfüllbar geltenden Annahmen, können nun die Konzepte der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiermarktlinie vorgestellt werden.

2.2.2 Kapitalmarktlinie

Die Portfoliotheorie hat die Bildung effizienter Portfolios aus zwei oder mehreren Aktien zum Inhalt. Zusätzlich zur Investition in ein Portfolio hat ein Investor im Rahmen des CAPM auch die Möglichkeit, eine risikolose Anlage zu tätigen. Er investiert also den Anteil in das Portfolio und den Anteil wird zu angelegt. Somit ist die erwartete Rendite der Kombination gegeben durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Varianz von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

kann vereinfacht werden, da die risikolose Anlage keine Varianz und somit auch keine Korrelation mit dem Portfolio aufweist. Durch

lauten die Formeln für Varianz und Standardabweichung nun

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Kapitalmarktgeraden in einem -Diagramm darzustellen wird der Ausdruck [2.22] nach umgeformt und man erhält

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

welches eingesetzt in die Formel [2.19] für die erwartete Rendite

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt. In dieser Geradengleichung ist der Achsenabschnitt und die Steigung, sodass die erwartete Rendite eines Portfolios unter Einbeziehung einer risikolosen Anlage eine lineare Funktion ihres Risikos ist.^[20]

Diese drei Fälle sind in Abbildung 2 noch einmal veranschaulicht und zeigen alle Möglichkeiten des Investors, seine Position auf dem Anlagemarkt zu gestalten. Er kann entweder nur in das Portfolio investieren , sein Vermögen zwischen der Anlage und dem Portfolio aufteilen oder sich zu verschulden .^[21]

Abbildung 2: Rendite-Risiko-Kombinationen einer Mischung der risikofreien Anlage mit einem Portfolio^[22]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun stellt sich die Frage, welches Portfolio für eine Kombination mit in Frage kommt. Dazu müssen alle möglichen Kombinationen zweier Aktien betrachtet werden.

Dadurch entstehen unendlich viele Geraden zwischen dem Achsenabschnitt und den möglichen Portfolios. Die Gerade mit der höchsten Steigung, also diejenige zwischen und dem Tangentialpunkt der Hyperbel, dominiert alle anderen Geraden und wird somit annahmegemäß von den Investoren präferiert, da sie zu jedem Risiko die höchste erwartete Rendite bietet.^[23]

Auf eine Herleitung der Effizienz dieser Gerade und der Tatsache, dass genau der Tangentialpunkt das zu wählende Portfolio darstellt, wird an dieser Stelle verzichtet, findet sich jedoch in der Literatur.^[24]

Dieses Tangentialportfolio wird auch Marktportfolio () genannt. Die entstehende Gerade zwischen und M wird als Kapitalmarktlinie () bezeichnet und kann analog zu [2.24] durch folgende Gleichung beschrieben werden, indem und durch und ersetzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[25]

Die Gleichung der Kapitalmarktlinie wird in Abbildung 3 noch einmal verdeutlicht. Es ist ersichtlich, dass der Achsenabschnitt ist und die Gerade eine Linearkombination des Risikos ist.

Abbildung 3: Kapitalmarktlinie^[26]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um diese Beziehung in der Praxis, z.B. bei statistischen Tests, so wie sie in dieser Arbeit verwendet werden soll, zu nutzen, ist es notwendig, zwei Punkte zu klären: Zuerst könnte davon ausgegangen werden, dass ein Investor auch auf das Marktportfolio verzichten und sein Vermögen lediglich zu anlegen könnte. Des Weiteren ist noch unklar, was auf dem realen Kapitalmarkt als das Marktportfolio gelten soll.

Ersteres ist im sogenannten Separationstheorem nach Tobin begründet, dessen Grundaussage ist, dass Investoren ihre Portfolios unabhängig von ihren Risikopräferenzen zusammenstellen. Die Risikoeinstellung drückt sich erst in der Wahl des Anteils an der risikofreien Anlage aus. Alle, annahmegemäß rational handelnden, Investoren wählen also zunächst das Marktportfolio und entscheiden dann, welchen Anteil ihres Vermögens sie risikolos anlegen. Somit ist sichergestellt, dass auch bei risikoaversen Investoren zumindest ein kleiner Teil des Vermögens in das Portfolio investiert wird.^[27]

Die Antwort auf die zweite Frage ist weit komplizierter, da das Marktportfolio auf dem realen Kapitalmarkt die optimale Kombinationsmöglichkeit aller auf dem Markt verfügbaren Titel darstellen sollte. Ein solcher Aktienfonds ist eher als ein gedankliches Konstrukt zu bewerten.^[28]

Wie sich in der Praxis an dieses Marktportfolio angenähert werden kann und welche Konsequenzen dies für die empirische Kapitalmarktforschung hat, wird in Abschnitt 4.2 bei der Darstellung der Kritik von Roll bezüglich der empirischen Kapitalmarktforschung erneut aufgegriffen.

Die in diesem Abschnitt hergeleitete Kapitalmarktlinie zeigt die Rendite-Risiko-Kombinationen aller handelnden Akteure gemeinsam. Es ist damit möglich, die Rendite einer Mischung aus einer risikofreien Anlage und dem Marktportfolio in Abhängigkeit von ihrem Risiko darzustellen. Im folgenden Abschnitt soll dieses Konzept nun so verändert werden, dass die Rendite einer einzelnen Aktie in Beziehung zu ihrem Risiko gebracht werden kann.

2.2.3 Wertpapiermarktlinie

Die Wertpapiermarktlinie (WPML) ist insofern ein zentrales Konzept für diese Arbeit, weil sich aus ihr die Betas von Aktien herleiten, deren Schätzung und Analyse zentrale Bestandteile dieser Untersuchung sind.

Um die Steigung der Wertpapiermarktlinie (Security Market Line)^[29] zu bestimmen, betrachtet man zunächst ein Portfolio aus einer Aktie und dem Marktportfolio mit den Anteilen an der Aktie und am Marktportfolio. Die erwartete Rendite dieses nicht effizienten Portfolios beträgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und die Varianz und die Standardabweichung dieses Portfolios sind

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[30]

Eine Hyperbel zwischen der Aktie und dem Marktportfolio stellt alle Kombinationsmöglichkeiten der beiden Anlagemöglichkeiten dar. Um nun die Rendite der Aktie in Abhängigkeit von , also dem Risiko, das aus der Veränderung der Aktienrendite in Abhängigkeit von der Rendite des Marktportfolios entsteht, darzustellen, nutzt man die Tatsache aus, dass die Kapitalmarktlinie und die verbindende Hyperbel zwischen der Aktie und dem Marktportfolio im Punkt M dieselbe Steigung aufweisen.^[31]

Die Steigung der Hyperbel errechnet sich durch die Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass im Punkt M keine Investition in Aktie stattfindet und somit gilt, verkürzt sich die Standardabweichung des nichteffizienten Portfolios auf . Dies vereinfacht [2.29] zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird die Steigung der Kapitalmarktgeraden mit diesem Term gleichgesetzt, so lässt sich die Gleichung umformen zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[32]

Ausdruck [2.33] stellt nun eine Beziehung dar, die es erlaubt, die erwartete Rendite einer Aktie in Abhängigkeit von zu errechnen. Diese Kovarianz mit der Rendite des Marktportfolios stellt das systematische Risiko dar. Dieses bezeichnet denjenigen Teil des Gesamtrisikos, der nicht durch Diversifizierung (wie in Abschnitt 2.1.3 dargestellt) eliminiert werden kann. Das systematische ist damit vom unsystematischen Risiko abzugrenzen, das sich in der Varianz des Marktportfolios ausdrückt. Beide Formen des Risikos sind im Beta einer Aktie zusammengefasst, welches definiert ist als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und angibt, wie stark die Rendite der Aktie im Verhältnis zur Marktrendite schwankt.^[33]

Die Gleichung der Wertpapiermarktlinie lässt sich folglich auch schreiben als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[34]

Nachfolgende Abbildung 4 illustriert die Wertpapiermarktlinie und somit den Zusammenhang zwischen dem Beta einer Aktie und ihrer Rendite. Da das Beta aufgrund der Division zweier Korrelationen im Unterschied zur Standardabweichung eines Portfolios auch negative Werte aufweisen kann, beginnt die Wertpapiermarktlinie nicht in , sondern führt durch diesen Punkt hindurch.

Abbildung 4: Wertpapiermarktlinie^[35]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird deutlich, dass ein höheres Beta, also eine überproportional starke Schwankung im Vergleich zur Marktrendite, mit einer höheren Renditeerwartung einhergeht. Ein Investor, der in eine Aktie mit einem höheren Beta investiert, erwartet somit auch eine höhere Entlohnung.^[36]

Die Betas wurden in diesem Kapitel im Rahmen der Wertpapiermarktlinie eingeführt. Diese stellt die Rendite einer Aktie ihrem Risiko, ausgedrückt durch das Beta, gegenüber. Die Wertpapiermarktlinie konnte aus der Kapitalmarktlinie hergeleitet werden, wobei letztere auf den Erkenntnissen aus der Portfoliotheorie aufbaut, die am Anfang des Kapitels erarbeitet wurden.

Ob der Zusammenhang der Wertpapiermarktlinie zwischen Rendite und Risiko einer Aktie für ein bestimmtes Beobachtungsumfeld gilt und vor allem, wie stabil die jeweiligen Betas dabei über einen längeren Zeitraum bleiben, soll Gegenstand dieser Arbeit sein. Dazu werden im folgenden Kapitel die ökonometrischen Grundlagen erarbeitet, die eine Schätzung der Betas und damit die Überprüfung des CAPM ermöglichen.

3 Ökonometrische Grundlagen zur Beta-Schätzung anhand des Zusammenhangs zwischen Aktien- und Marktrendite

Um das im zweiten Kapitel vorgestellte CAPM in einer empirischen Untersuchung validieren und Betas anhand seiner Grundgleichungen schätzen zu können, ist es zunächst notwendig, die Methode der kleinsten Quadrate (KQ) darzustellen und ihre Funktionsweise zu veranschaulichen. Dies soll anhand der Schätzungen für die Beta-Werte geschehen, die im weiteren Verlauf für jedes Unternehmen durchgeführt werden (s. Abschnitt 4.1.2). Dabei wird von einem linearen Zusammenhang zwischen der Rendite der Aktie und die des Marktportfolios ausgegangen.

3.1 Formulierung eines ökonometrischen Modells

Am Anfang einer jeden Schätzung steht zunächst die Entscheidung, welches lineare Modell den vorliegenden Zusammenhang am besten beschreibt. Daher muss zunächst ein ökonomisches Modell formuliert werden, das den Wirkungszusammenhang zwischen der exogenen Variable und der endogenen Variable beschreibt.

Zunächst steht fest, dass die beobachteten Werte eine Funktion des gegebenen Wertes sein sollen, man schreibt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[37]

Bei der einfachen linearen Regression, so wie sie in diesem Falle durchgeführt werden soll, wird davon ausgegangen, dass der Zusammenhang linear mit Achsenabschnitt und Steigung ist. Somit erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[38]

Um diesen Zusammenhang für die Beta-Schätzungen zu nutzen, wird auf das Markt-Modell von Sharpe aus dem Jahre 1963 zurückgegriffen. In diesem geht der Autor, bezugnehmend auf die zuvor von Markowitz^[39] vorgeschlagene Reduktion von Renditeinformationen auf einen einzigen Index, davon aus, dass die Rendite einer Aktie linear an die Rendite eines Index gebunden ist.

Dieser Index sei nun das vorgestellte Marktportfolio. Die Rendite der Aktie steht also in einer linearen Beziehung zur Marktrendite , so wie zu in [3.2]. Man schreibt also für diesen Fall

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[40]

Um dieses ökonomische Modell in ein schätzbares ökonometrisches Modell mit beobachtbaren Daten zu transformieren, müssen nun noch ein Beobachtungsindex und eine Störgröße hinzugefügt werden.^[41] Das ökonometrische Modell lautet damit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit als nicht beobachtbarer Störgröße, die den Fehler im unterstellten Zusammenhang zwischen der Rendite einer Aktie und der Rendite des Marktportfolios darstellt.^[42]

Die Bedeutung der Störgröße für die lineare Regression soll anhand der folgenden Abbildung 5 illustriert werden.

Abbildung 5: Zusammenhang zwischen wahrem Wert , geschätztem Wert und Störgröße

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[43]

Es wird ersichtlich, dass die Störgröße den senkrechten Abstand des beobachteten Datenpunktes zur Regressionsgerade darstellt. Die Methode der kleinsten Quadrate zielt im Folgenden darauf ab, die Summe der einzelnen quadrierten Störterme zu minimieren und somit eine Regressionsgerade zu generieren, die den linearen Zusammenhang zwischen der endogenen Variable und der exogenen Variable bestmöglich wiedergibt.^[44]

Um und in diesem Modell mit den in Abschnitt 3.2 folgenden KQ-Schätzern ermitteln zu können und deren Erwartungstreue und Unverzerrtheit sicherzustellen, ist es nötig, dass folgende Annahmen bezüglich der Störgrößen, der Variablen und des funktionalen Zusammenhangs des Modells erfüllt sind.^[45]

3.2 Annahmen zur Schätzbarkeit des linearen Modells

Die Annahmen der KQ-Methode werden für die Störgrößen, die Variablen und den funktionalen Zusammenhang im Allgemeinen getroffen. Folgende drei Abschnitte stellen diese Annahmen kurz dar. Abschnitt 5.4 wird diese erneut aufgreifen, um Annahmeverletzungen dieser Untersuchung aufzudecken und zu analysieren.

3.2.1 Annahmen bezüglich der Störgrößen

Die folgenden vier Annahmen betreffen die Eigenschaften der aus der Schätzung resultierenden Störgrößen.

a) Die Störgröße hat für alle Beobachtungen einen Erwartungswert von 0.

Diese Annahme besagt, dass die Störgrößen sich ober- und unterhalb der Regressionsgerade gleichmäßig verteilen und somit im Mittel 0 ergeben sollten. Dies ist Voraussetzung für den Ausschluss eines konstanten Messfehlers. Dieser hätte zur Folge, dass der wahre Zusammenhang nicht korrekt, sondern beispielsweise parallel nach unten oder oben verschoben dargestellt wird.^[46]

b) Die Varianz der Störgröße ist für alle Beobachtungen konstant.

Die Annahme der Homoskedastizität der Störgrößen stellt sicher, dass die mittlere quadratische Abweichung der Störgrößen von der Regressionsgerade im Verlauf der exogenen Variable konstant bleibt. Eine Annahmeverletzung hätte keine Konsequenzen für den Wert des geschätzten Parameters, es träten lediglich Probleme bei den in Abschnitt 3.4 folgenden Hypothesentests auf.^[47]

c) Freiheit von Autokorrelation, d.h. die Störgrößen dürfen nicht korreliert sein.

Dies besagt, dass die Störgrößen sich nicht gegenseitig beeinflussen dürfen. Eine Annahmeverletzung hätte hierbei dieselben Folgen wie eine Verletzung der Annahme der Homoskedastizität.^[48]

d) Die Störgrößen sind normalverteilt mit und .

Die Abstände der Störgrößen von der Regressionsgerade müssen einer Normalverteilung folgen. Eine Verletzung dieser Annahme beeinflusst ebenfalls das Ergebnis von Hypothesentests, nicht aber den Wert des Schätzers.^[49]

3.2.2 Annahmen bezüglich der Variablen

In diesem Abschnitt werden zwei Annahmen bezüglich der exogenen Variable getroffen.

e) Die exogene Variable ist wie in einem Experiment kontrollierbar und stellt somit keine Zufallsvariable dar.

Diese Forderung wirkt zunächst unerfüllbar, da die Marktrenditen gänzlich unbeeinflussbar sind. Eine Abwandlung dieser Annahme wird jedoch im weiteren Verlauf vorgenommen.^[50]

f) Die Variation der exogenen Variable ist größer als 0.

Wenn sich die exogene Variable (in Abbildung 6 auf der horizontalen Achse) nicht verändert, ist eine Regression nicht sinnvoll, da sonst alle beobachteten Datenpunkte auf einer senkrechten Linie über dem einzigen Wert für lägen. Eine Regressionsgerade, die die Bewegung von anhand der Bewegung von erklärt, wäre unter diesen Bedingungen obsolet.^[51]

3.2.3 Annahmen bezüglich des funktionalen Zusammenhangs

Der letzte Annahmenkomplex stellt sicher, dass der gewählte lineare Zusammenhang zutreffend und über den Betrachtungszeitraum stabil ist.

g) Die exogenen Variablen aus Gleichung [3.5] sind sowohl relevant als auch vollständig.

Dies bedeutet in diesem Fall, dass die einzige Variable ist, von der abhängt. Da dies eine Aussage des Markt-Modells ist, auf dessen Grundlage das Beta geschätzt wird, wird die Vollständigkeit und Relevanz hier nicht in Frage gestellt, wenngleich es durchaus plausibel ist, dass die Aktienrendite nicht allein von der Marktrendite abhängt. Sollte es noch andere relevante Faktoren geben oder sollte die Marktrendite nicht relevant sein, dann müsste das Modell um so viele Dimensionen erweitert werden, wie es weitere relevante Variablen gibt. Im Falle der Irrelevanz der gewählten Variable gäbe es keinen linearen Zusammenhang zwischen den Variablen und die Schätzung könnte nicht vorgenommen werden. ^[52]

h) Der wahre Zusammenhang zwischen und ist linear.

Die Erfüllung dieser Annahme kann mit der gleichen Begründung wie a) bestätigt werden, obwohl die Linearität dieser Beziehung nicht selbstverständlich ist, jedoch die Grundaussage des Markt-Modells darstellt. Für alle anderen Fälle, z.B. den eines exponentiellen Zusammenhangs, könnte die lineare Regression nicht mehr angewendet werden.^[53]

i) Die Parameter und sind für alle Beobachtungen konstant.

Im betrachteten Modell muss davon ausgegangen werden, dass sich die Parameter über den Zeitablauf innerhalb der betrachteten Periode nicht verändern. Sollte dies der Fall sein, stellen die ermittelten Schätzer für die Steigung und den Achsenabschnitt der Regression keine geeigneten Schätzer für den wahren Zusammenhang in der Periode dar.^[54]

Die Tests auf Strukturbrüche im 5. Kapitel sind darauf ausgelegt, signifikante Veränderungen der Parameter zu erkennen und somit Perioden und Zeitpunkte zu identifizieren, in denen die meisten Strukturbrüche, z.B. aufgrund politischer und wirtschaftlicher Geschehnisse, stattfinden. Somit wird diese Annahme zunächst als wahr vorausgesetzt, ob dies berechtigt geschieht wird sich im weiteren Verlauf zeigen.

Die Verletzung einer oder mehrerer Annahmen kann sich auf die Schätzbarkeit des Modells bzw. die Aussagekraft der Ergebnisse auswirken. Tests, ob die geforderten Annahmen erfüllt sind, sowie Konsequenzen einer Annahmeverletzung werden für den Einzelfall anhand der empirischen Untersuchungen im 5. Kapitel für jede der Annahmen erörtert.

3.3 Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf das ökonometrische Modell

Geht man zunächst einmal davon aus, dass für den vorliegenden Fall des Markt-Modells alle Annahmen erfüllt sind, können der Achsenabschnitt und die Steigung aus Gleichung [3.5] nach der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt werden. Das Verfahren der Schätzungen und die Möglichkeit zur Überprüfung ihrer Geeignetheit werden in diesem Abschnitt dargestellt.

3.3.1 Beta-Schätzung

Ziel der KQ-Methode ist es, eine Regressionsgerade durch eine Punktewolke zu legen, die die Summe der mittleren quadrierten Abweichungen der Residuen von dieser Gerade minimiert. Als Residuum wird die Abweichung des beobachteten Werts vom vermuteten Wert, durch den die Regressionsgerade verläuft, bezeichnet.^[55]

Das geschätzte Modell lautet, analog zu [3.4],

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Residuum ist definiert durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die zu minimierende Summe der Residuenquadrate lautet damit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach und ergeben sich nach einigen Umformungen, deren Herleitung an dieser Stelle nicht vorgenommen wird, die Formeln für die Schätzer

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[56]

Auf den Fall des Markt-Modells bezogen bedeutet dies, dass die Schätzer für und in Verbindung mit Gleichung [3.5] durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

berechnet werden. gibt dabei die Steigung, den Achsenabschnitt der Regressionsgeraden an.^[57] Folgende Abbildung 6 soll diesen Zusammenhang illustrieren.

Sie zeigt eine Regressionsgerade durch eine Punktwolke, die die vertikale Achse im Punkt schneidet und eine Steigung von besitzt.

Abbildung 6: Steigung und Achsenabschnitt der Regressionsgeraden

An dieser Stelle ist es angebracht zu diskutieren, ob ein Achsenabschnitt in einer solchen Regression überhaupt sinnvoll ist. Dieser gäbe die Rendite der Aktie an, die systematisch immer dann auftritt, sobald mit dem Marktportfolio keine Rendite erzielt wird. Eine solche Konstellation ist durchaus denkbar, spätere Tests werden jedoch zeigen dass zu einem Signifikanzniveau von 5% nicht signifikant von 0 verschieden ist. Ungeachtet dessen wird für alle Beta-Schätzungen dieses Modell mit Achsenabschnitt verwendet, um eine Konsistenz mit dem Markt-Modell zu gewährleisten.

Um die Güte einer KQ-Schätzung zu messen, um also eine Aussage darüber zu treffen, wie gut die Regressionsgerade den wahren Zusammenhang zwischen exogener und endogener Variable beschreibt, sollte das Bestimmtheitsmaß berechnet werden.

3.3.2 Bestimmtheitsmaß zur Messung der Güte der Beta-Schätzung

Die Idee des Bestimmtheitsmaßes ist es, die erklärte Variation der endogenen Variable ihrer gesamten Variation gegenüberzustellen. Die Vorschrift für dieses Maß lautet

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[58]

Für den Fall der Beta-Schätzungen anhand des Markt-Modells wird das Bestimmtheitsmaß nach folgender Formel, auf deren Herleitung aus Gründen der Übersichtlichkeit verzichtet wird, berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Je näher dieser Wert an 1 liegt, desto besser erklärt die Regressionsgerade den wahren Zusammenhang. Durch seine Normierung auf Werte zwischen 0 und 1 ist das Bestimmtheitsmaß eine intuitiv verständliche Maßzahl. Dabei gibt ein Wert von 0 an, dass die gesamte Variation nicht durch die Regression erklärbar ist, während ein Wert von 1 eine perfekte Erklärbarkeit der gesamten Variation ausdrückt.^[59]

Mit den Formeln für die Schätzer und das Bestimmtheitsmaß sind nun die ersten Grundlagen der KQ-Methode erarbeitet. Darüber hinaus ist es möglich, einen geschätzten Parameter daraufhin zu testen, ob er zu einem bestimmten Signifikanzniveau von einem Wert abweicht. Um dieses Vorgehen zu beleuchten wird im folgenden Abschnitt kurz auf die Methode eines solchen Tests eingegangen, die das 3. Kapitel abschließt.

3.4 Test auf Abweichung des Schätzers von einem bestimmten Wert

Um zu prüfen, ob der wahre Wert von mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit einem angenommenen Wert von entspricht, kann ein Hypothesentest (auch zweiseitiger t-Test) durchgeführt werden. Dabei wird angenommen, dass der geschätzte Wert normalverteilt ist, mit dem hypothetischen Wert als Erwartungswert und einer Varianz von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei T die Anzahl der Beobachtungen angibt. Formal ausgedrückt bedeutet dies:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[60]

Abbildung 7 zeigt ein normalverteiltes mit Erwartungswert q zum Signifikanzniveau 5%. Die Flächen links und rechts geben die Ablehnungsbereiche an. Sie können je nach gewünschtem Signifikanzniveau beliebig groß gewählt werden. Soll dieses 5% betragen, so müssen beide Flächen, wie abgebildet, zusammen eine Wahrscheinlichkeitsmasse von 5% beinhalten.^[61]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Normalverteilung von mit Erwartungswert q zum Signifikanzniveau 5%^[62]

Um nun einen solchen Hypothesentest durchzuführen, muss zunächst eine Nullhypothese aufgestellt werden. Die Alternativhypothese bezeichnet das Gegenteil der Nullhypothese. Für den vorliegenden Test, ob ist, lautet das Hypothesenpaar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraufhin muss die Standardabweichung von anhand der Formeln [3.15] und [3.16] ermittelt werden, wobei in Verbindung mit [3.15] gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als nächstes wird der Wert ermittelt. Da als Zufallsvariable aufgefasst wird, wird sie standardisiert mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die standardisierte Zufallsvariable folgt nun einer t-Verteilung mit Freiheitsgraden. Dadurch ist es möglich, die kritischen Werte für die Ablehnungsbereiche zu ermitteln. Bei einem Signifikanzniveau von beispielsweise ist der kritische Wert auf der rechten Seite der Verteilung, bezeichnet mit , das 0,975-Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden. Der Wert gibt dabei die linke Grenze des Annahmebereichs an. Als letzter Schritt wird der ermittelte t-Wert aus [3.21] mit den Werten für und verglichen. Liegt der t-Wert zwischen diesen beiden Werten, so kann die Nullhypothese angenommen werden, liegt er außerhalb, so muss die Hypothese verworfen werden. Eine Annahme der Nullhypothese würde in diesem Fall jedoch nicht bedeuten, dass der wahre Wert für erwiesenermaßen bei liegt. Es wird durch den Hypothesentest lediglich ausgesagt, dass bei 95 von 100 Stichproben dem wahren Wert von entspricht. Ein solcher Hypothesentest kann auch für den geschätzten Achsenabschnitt erfolgen. Das Verfahren bleibt gleich, lediglich die Standardabweichung des Schätzers verändert sich zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[63]

Im diesem Kapitel wurde die KQ-Methode kurz dargestellt, um einen Überblick über den mathematischen Hintergrund empirischer Tests des CAPM zu geben. Es muss beachtet werden, dass die KQ-Methode mit einer exogenen Variable die einfachste Methode zur Schätzung darstellt und darüber hinaus einige, weitaus kompliziertere und genauere Testverfahren entwickelt wurden, auf die in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen wird.^[64]

Nichtsdestotrotz orientieren sich die eigenen empirischen Untersuchungen in dieser Arbeit an dieser Methode, da sie praktisch zu handhaben ist und das Markt-Modell in seiner linearen Form damit durchaus schätzbar ist. Daher ist es umso interessanter, inwiefern Verletzungen der in Abschnitt 3.2 dargestellten Annahmen auftreten und welche Folgen diese für die Güte der Untersuchungen haben.

Bevor die eigenen Erhebungen und Analysen dargestellt werden, soll zuvor noch ein kurzer Überblick über das verwendete Testverfahren zur Schätzung der Betas und zur Validierung des CAPM gegeben werden.

4 Das zweistufige Verfahren zur Beta-Schätzung und zur Validierung des CAPM

Um die Gültigkeit des CAPM zu testen, wurden seit den Sechzigerjahren des zwanzigsten Jahrhunderts bereits einige Untersuchungen durchgeführt. Eine umfassende Aufstellung dieser Methoden und eine Darstellung ihrer Ergebnisse würde über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehen. Daher sollen in diesem Kapitel lediglich kurz die in den eigenen empirischen Untersuchungen verwendeten Testverfahren vorgestellt werden und diese anhand eines kritischen Aufsatzes von Roll aus dem Jahre 1977 eingeordnet werden.

Obwohl diese weitaus komplexeren Tests nur unbefriedigende Ergebnisse liefern und die Testbarkeit des CAPM mit statistischen Methoden in Frage stellen, werden einige der verwendeten Testmethoden in dieser Arbeit aufgegriffen und u.a. dazu genutzt, anhand eines relativ einfachen Testverfahrens Strukturbrüche durch einschneidende Ereignisse auf dem Aktienmarkt zu identifizieren. Dies wird als sinnvoll angesehen, da nicht beabsichtigt wird, die Gültigkeit des CAPM in seiner allgemeinen Form nachzuweisen, sondern es sollen lediglich Ereignisse auf dem Aktienmarkt anhand der in den bisherigen Forschungen verwendeten Methoden quantifiziert werden.

Der folgende Abschnitt stellt das Vorgehen und die Testmöglichkeiten des zweistufigen Verfahrens dar, welches im darauf folgenden Abschnitt 4.2 kritisch betrachtet wird.

4.1 Vorgehen und Tests

Dieser Abschnitt widmet sich den in den eigenen empirischen Untersuchungen verwendeten Testverfahren. Dabei wird zunächst das Gleichgewichtsmodell des CAPM in seiner Grundform aus [2.35] so transformiert, dass auf seiner Grundlage Schätzungen der Parameter vorgenommen werden können.

Daraufhin wird das traditionelle zweistufige Verfahren vorgestellt, mit dem zuerst die Betas der untersuchten Unternehmen geschätzt werden und auf deren Grundlage ein Test zur allgemeinen Gültigkeit der CAPM-Gleichung durchgeführt wird.

4.1.1 Transformation des Grundmodells in ein testbares Modell

Das CAPM postuliert in seiner Grundform die Gültigkeit der Gleichung [2.35]

.

Um dieses Gleichgewichtsmodell, das u.a. aus nicht messbaren Größen besteht, in ein empirisch beobachtbares und messbares Modell zu überführen, ist es notwendig, einige weitere Annahmen zu treffen. Es muss zunächst davon ausgegangen werden, dass die beobachteten Renditen normalverteilt sind, im Mittel also den erwarteten Renditen entsprechen, welches aus der Annahme eines stationären Kapitalmarktes folgt.^[65] Des Weiteren wird gefordert, dass die Renditen über die Zeit stochastisch unabhängig sind. Diese Annahme bedeutet, dass aus vergangenen Kursen der Aktie keine Aussagen über Renditen in einer zukünftigen Periode getroffen werden können. Daraus folgt insgesamt, dass die untersuchten Renditen einer Normalverteilung folgen müssen und keine Autokorrelation aufweisen dürfen.^[66] Eine Überprüfung der Renditen im untersuchten Markt folgt in Abschnitt 5.2.

Im nächsten Schritt ist es nötig, den Renditen, wie im 3. Kapitel beschrieben, einen Beobachtungsindex und der gesamten Beziehung eine Störgröße hinzuzufügen, um das ökonomische Modell aus [2.35] in der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

zu schreiben, in dem die nicht beobachtbare Störgröße bezeichnet. Diese stellt den Fehler im unterstellten Zusammenhang zwischen der Rendite einer Aktie und ihrem Risiko dar.^[67]

Um die Gültigkeit dieses Modells allgemein zu prüfen, wird das zweistufige Verfahren^[68] angewendet: Im ersten Schritt müssen die Betas aller betrachteten Unternehmen geschätzt werden. Daraufhin wird im zweiten Schritt geprüft, ob die ermittelten Betas signifikant für die beobachteten (mittleren) Renditen sind. Dieses Verfahren wird im folgenden Abschnitt näher beleuchtet.

4.1.2 Tests nach dem zweistufigen Verfahren

Dieses Verfahren ist zwar umstritten, bietet aber dennoch eine praktikable Möglichkeit, die Beta-Werte der einzelnen Aktien zu schätzen und daraufhin die Gültigkeit des CAPM für den betrachteten Markt zu prüfen. Auf die Kritik an dieser Methode wird im nächsten Abschnitt eingegangen. Zunächst erfolgt die Darstellung der beiden Teststufen, von denen besonders die erste bedeutsam für die Ergebnisse dieser Arbeit ist.

1. Time-series regression

In dieser Stufe werden zunächst die Betas für die jeweiligen Unternehmen geschätzt. Dies geschieht nach der Methode der kleinsten Quadrate, die im 3. Kapitel vorgestellt wurde. Für jedes Unternehmen wird somit eine Regression nach folgender Vorschrift durchgeführt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ^[69]

Die Schätzer für und ermitteln sich nach den Formeln [3.11] und [3.12]. Das Bestimmtheitsmaß aus [3.14] sollte hinzugezogen werden, um eine Aussage über die Güte bzw. Sinnhaftigkeit der jeweiligen Regression treffen zu können.

2. Cross-section regression

In einem weiteren Schritt wird eine Regression durchgeführt, die die Parameter und für folgende Beziehung schätzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für .

Diese Regression überprüft, ob das CAPM in seiner Grundgleichung gilt, d.h. ob das Beta einer Aktie allein für ihre beobachtete (durchschnittliche) Rendite ausschlaggebend ist. Bei Betrachtung der Gleichung [2.35] fällt auf, dass durch und durch ersetzt wurden. Sollte das CAPM nun in dieser Form gültig sein, dürften die Nullhypothesen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in den meisten der untersuchten Fälle nicht abgelehnt werden.^[70]

Diese Beziehungen lassen sich mit den in Abschnitt 3.4 vorgestellten Hypothesentests zu beliebigen Signifikanzniveaus überprüfen. Diese Regression wird im empirischen Teil dieser Arbeit durchgeführt, ihre Ergebnisse finden sich ebenfalls im 5. Kapitel.

Der Fokus der Untersuchung liegt jedoch nicht auf der cross-section regression, da es nicht konsistent gelingt, dass CAPM mittels des zweistufigen Verfahrens nachzuweisen.^[71]

Einer der bedeutendsten Kritiker dieses Verfahrens ist Roll, dessen Kritik an der Nachweisbarkeit des CAPM mit den vorgestellten Methoden im nächsten Abschnitt kurz zusammengefasst wird.

4.2 Kritik am zweistufigen Verfahren

Die Kritik von Roll, die er im Jahre 1977 formulierte, nachdem die ersten Tests des CAPM durchgeführt wurden, zielt nicht auf die Gültigkeit des CAPM per se, sondern lediglich auf die verwendeten Testverfahren ab.^[72]

Der erste Teil eines zweistufigen Tests, die time-series regression, bleibt von seiner Kritik unberührt und ist problemlos anwendbar. Eine Studie von Winkelmann^[73] konnte zeigen, dass die Performance-Messung von Unternehmen, also die Beta-Schätzungen, weiterhin durchführbar sind.

Lediglich die cross-section regression, die den Zusammenhang zwischen den durchschnittlichen Renditen der Unternehmen und deren Betas überprüft, ist problematisch.^[74]

Das Problem liegt in der Wahl eines geeigneten Ersatzes für das Marktportfolio, dessen Beziehung zur Rendite einer Aktie durch das Beta ausgedrückt wird. Ein solches Marktportfolio müsste, wie in Abschnitt 2.2.2 dargestellt, alle auf einem Markt verfügbaren Anlageobjekte mit einer geeigneten Gewichtung umfassen. Da ein solches Portfolio in der Realität nicht existiert, wird angenommen, dass beispielsweise ein Aktien-Index wie der Dow Jones dieses Marktportfolio bestmöglich repräsentiert.^[75]

In diversen Studien zum CAPM ist dies die gängige Methode, daher werden auch in dieser Untersuchung solche Aktienindizes verwendet.

Roll konnte nachweisen, dass unter Verwendung eines Surrogates für das echte Marktportfolio der Nachweis der Linearität der oben genannten Beziehung nicht die Gültigkeit des CAPM bestätigt. Es konnte gezeigt werden, dass die Linearität gelten muss, solange das gewählte Portfolio nur effizient ist. Dies bedeutet somit, dass nicht die Gültigkeit des CAPM, sondern lediglich die Effizienz des Marktportfolios getestet wird.^[76]

Die Kritik wurde daraufhin insofern berücksichtigt, als dass in den folgenden Studien eher auf die cross-section regression verzichtet wurde und Wege gefunden werden mussten, diesen Test zu umgehen und das CAPM anderweitig zu validieren.^[77]

Auf eine umfassende Darstellung der bisher durchgeführten Analysen soll hier verzichtet werden, da die im nächsten Kapitel vorgestellte Untersuchung auf Basis der time-series regression durchgeführt wird und die zweite Stufe als eher sekundär zu betrachten ist.

Das 4. Kapitel hat einen Überblick über ein Verfahren gegeben, das es ermöglicht, die Betas von Unternehmen anhand von deren Renditen und den Renditen eines Aktienindex zu schätzen. Darauf aufbauend kann ein zweiter Test zur Validierung des CAPM im Allgemeinen durchgeführt werden, der jedoch in seiner Aussagekraft umstritten ist.

Im Folgenden werden diese Erkenntnisse auf eine empirische Studie des US-Aktienmarktes angewandt.

[...]

---

^[1] Vgl. Franke et al., 2004, S. 351.

^[2] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 282.

^[3] Vgl. Vgl Albrecht et al, 2005, S. 274.

^[4] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 21 – 24.

^[5] Vgl. Markowitz, 1952, S. 77 – 91.

^[6] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 238f.

^[7] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 237f.

^[8] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 7.

^[9] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 241.

^[10] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 8.

^[11] Vgl. Kruschwitz, 1999, S. 185.

^[12] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 241.

^[13] Vgl. Markowitz, 1952, S. 77 – 91.

^[14] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 241 – 247.

^[15] Vgl. Albrecht, 2005, S. 242f.

^[16] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 251 – 256.

^[17] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 22ff., 50ff.

^[18] Vgl. Lintner, 1965, S. 13 – 37; Mossin, 1966, S. 768 – 783; Sharpe, 1964, S. 425 – 442.

^[19] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 283; Francis et al., 1979, S. 148f.; Warfsmann, 1993, S. 7f.

^[20] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 22f.

^[21] Vgl Ulschmid, 1994, S. 24.

^[22] In Anlehnung an Ulschmid, 1994, S. 24.

^[23] Vgl. Kruschwitz, 1999, S. 188ff.

^[24] Vgl. Franke et al, 2004, S. 361f.

^[25] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 54.

^[26] In Anlehnung an Ulschmid, 1994, S. 51.

^[27] Vgl. Kruschwitz, 1999, S. 180f.

^[28] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 169f.

^[29] Vgl. Francis et al., 1979, S. 158ff.

^[30] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 53.

^[31] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 54; Ruppert, 2004, S. 237f.

^[32] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 55; Albrecht et al., 2005, S. 285.

^[33] Vgl Albrecht et al, 2005, S. 274.

^[34] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 56.

^[35] In Anlehnung an Ulschmid, 1994, S. 57.

^[36] Vgl. Francis et al., 1979, S. 160; Kruschwitz, 1999, S. 200.

^[37] Vgl. Auer, 2007, S. 18f.

^[38] Vgl. Auer, 2007, S. 18f.

^[39] Vgl. Markowitz, 1959, S. 97 – 99.

^[40] Vgl. Sharpe, 1963, S. 277 – 293.

^[41] Vgl. Auer, 2007, S. 19ff.

^[42] Vgl. Francis et al., 1979, S. 155.

^[43] In Anlehnung an Auer, 2007, S. 21.

^[44] Vgl. Auer, 2007, 51ff.

^[45] Vgl. Auer, 2007, S. 17 – 47.

^[46] Vgl. Auer, 2007, S. 339 – 362.

^[47] Vgl. Auer, 2007, S. 363 – 387.

^[48] Vgl. Auer, 2007, S. 389 – 417.

^[49] Vgl. Auer, 2007, S. 419 – 427.

^[50] Vgl. Auer, 2007, S. 429 – 477.

^[51] Vgl. Auer, 2007, S. 479 – 504.

^[52] Vgl. Auer, 2007, S. 247 – 283.

^[53] Vgl. Auer, 2007, S. 285 – 309.

^[54] Vgl. Auer, 2007, S. 311 – 338.

^[55] Vgl. Auer, 2007, S. 53 – 57.

^[56] s. dazu Auer, 2007, S. 55f.

^[57] Vgl. Albrecht et al., 2005, S. 275.

^[58] In Anlehnung an Ulschmid, 1994, S. 36.

^[59] Vgl. Auer, 2007, S. 59ff.

^[60] Vgl. Auer, 2007, S. 103ff.

^[61] Vgl. Auer, 2007, S. 105f.

^[62] In Anlehnung an Auer, 2007, S. 106.

^[63] Vgl. Auer, 2007, S. 104ff.

^[64] Einen tieferen Einblick in lineare statistische Modelle bietet eher mathematische geprägte Literatur: Vgl. Graybill, 1961; Bibby et al., 1977. Insbesondere im Hinblick auf Untersuchungen des Kapitalmarktes wurden die Testverfahren optimiert: Vgl. Campbell et al., 1997.

^[65] Vgl. Campbell et al., 1997, S. 183.

^[66] Vgl. Kruschwitz, 1991, S. 203.

^[67] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 94.

^[68] Vgl. Jensen, 1972, S. 357 – 398.

^[69] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 95.

^[70] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 96f.

^[71] Vgl. Jensen et al., 1972, S. 1 – 52.

^[72] Vgl. Roll, 1977, S. 129 – 176.

^[73] Vgl. Winkelmann, 1980, S. 475 – 487.

^[74] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 102.

^[75] Vgl. Hamerle et al., 1997, S. 862.

^[76] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 98ff.

^[77] Vgl. Ulschmid, 1994, S. 117ff.