Entscheidungen in der Bayes-Statistik und Sequentialanalyse bei unscharfer Information

Am Beispiel unscharfer Stichproben von Poisson-verteilten stochastischen Größen und unscharfer A-posteriori-Gamma-Verteilungen


Doktorarbeit / Dissertation, 2006

441 Seiten, Note: 1,0


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Entscheidungen in der
Bayes-Statistik und
Sequentialanalyse bei unscharfer
Information
Am Beispiel unscharfer Stichproben von
Poisson-verteilten stochastischen Gr¨
oßen
und unscharfer
A-posteriori-Gammaverteilungen
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades einer
Doktorin der Naturwissenschaften
an der Fakult¨at f¨
ur Mathematik, Informatik und Physik
Leopold-Franzens-Universit¨at Innsbruck
Dissertationsgebiet: Mathematik
Eingereicht von:
Mag. Mag. Petra Comploj
Innsbruck
Betreuer:
O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Viertl
Institut f¨
ur Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Fakult¨at f¨
ur Mathematik und Geoinformation
Technische Universit¨at Wien
September 2006


Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
I
Abbildungsverzeichnis
IV
1
Einleitung
1
2
Motivation und begleitendes Beispiel
7
2.1
Problemstellung des begleitenden Beispiels . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Stochastische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Problematik der Unsch¨
arfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Unscharfe Mengen oder Fuzzy-Mengen
14
3.1
Definition von Fuzzy-Mengen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.1.1
Fuzzy-Mengen und ihre Zugeh¨
origkeitsfunktion
. . . . . . . . .
14
3.1.2
Die -Schnitte von Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.3
Wichtige Fuzzy-Mengen und deren Darstellung . . . . . . . . . .
17
3.2
Rechnen mit Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2.1
Mengenarithmetik und Cartesisches Produkt f¨
ur Fuzzy-Mengen
19
3.2.2
Das Extensionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.3
Unscharfe Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2.4
Reelle Fuzzy-Mengen-R¨
aume und topologische Eigenschaften . .
29
3.2.5
Folgen, Reihen und Konvergenz von Fuzzy-Mengen . . . . . . .
32
3.2.6
Ordnungsrelationen und Rangordnungsverfahren f¨
ur Fuzzy-Mengen 34
3.2.7
Defuzzifikation von Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3
Konstruktion von Fuzzy-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.1
Unscharfe Zugeh¨
origkeit durch physikalische Eigenschaften und
charakteristische Funktion unscharfer Randpunkte . . . . . . . .
44
3.3.2
Unscharfe Z¨
ahlung von unscharfen Ereignissen . . . . . . . . . .
48
3.3.3
Unsch¨
arfe aufgrund subjektiver Einsch¨
atzung
. . . . . . . . . .
51
4 Unscharfe stochastische Modellierung
56
4.1
Fuzzy-Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.1.1
Zufallsvariablen und zuf¨
allige Mengen . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.1.2
Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2
Fuzzy-Zufallsvariablen und ihre unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilung
66
4.2.1
Die unscharfe Verteilung von Fuzzy-Zufallsvariablen . . . . . . .
66
4.2.2
Unscharfe parametrische Verteilungen von Fuzzy-Zufallsvariablen
76
I

II
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
4.3
Mehrdimensionale Gebilde aus Fuzzy-Zufallsvariablen . . . . . . . . . .
85
4.3.1
Fuzzy-Zufallsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.3.2
Folgen von Fuzzy-Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.3.3
Unscharfe stochastische Prozesse
. . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.3.4
Unscharfe Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5
Klassische Inferenzstatistik f¨
ur unscharfe Daten
104
5.1
Statistiken, Entscheidungsregeln und ihre unscharfen Erweiterungen . . 105
5.2
Wichtige Grenzwerts¨
atze der Statistik unter Unsch¨
arfe . . . . . . . . . 107
5.2.1
Starkes Gesetz der großen Zahlen f¨
ur Fuzzy-Zufallsvariablen . . 107
5.2.2
Schwaches Gesetz der großen Zahlen f¨
ur Fuzzy-Zufallsvariablen . 109
5.2.3
Bernoulli's Gesetz der großen Zahlen f¨
ur unscharfe Daten . . . . 110
5.2.4
Die empirische Verteilungsfunktion und der Fundamentalsatz der
Statistik f¨
ur unscharfe Daten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3
Punktsch¨
atzung f¨
ur unscharfe Verteilungsparameter . . . . . . . . . . . 115
5.4
Sch¨
atzung unscharfer Konfidenzbereiche
. . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5
Statistische Tests mit unscharfen Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.1
Hypothesen und Testfunktionen unter Unsch¨
arfe . . . . . . . . . 127
5.5.2
Unscharfe Teststatistiken und Vergleich mit kritischen Werten . 134
5.5.3
Unscharfe Inklusion in unscharfen Konfidenzintervallen . . . . . 139
5.5.4
Unscharfe Wahrscheinlichkeitswerte . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.5
Weitere Ans¨
atze f¨
ur Unsch¨
arfe bei statistischen Tests . . . . . . 149
6 Bayes'scher Ansatz und Bayes'sche Analyse f¨
ur unscharfe Daten
151
6.1
Fuzzy A-posteriori-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.1.1
Bayes-Theorem f¨
ur unscharfe Stichproben
. . . . . . . . . . . . 152
6.1.2
Unscharfe suffiziente Statistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.1.3
Unscharfe konjugierte Verteilungsfamilien . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.4
Unscharfe A-priori-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2
Unscharfe Pr¨
adiktivverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3
Unscharfe A-posteriori-Bayes-Punktsch¨
atzer . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.3.1
Fuzzy-A-posteriori-Erwartungswert-Sch¨
atzer . . . . . . . . . . . 198
6.3.2
Fuzzy-A-posteriori-Median-Sch¨
atzer . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3.3
Fuzzy-A-posteriori-Modus-Sch¨
atzer . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.4
Unscharfe HPD-Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5
Unscharfe A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten von statistischen Hypothesen211
7 Unscharfe Bayes-Entscheidungen unter Verlustbetrachtung
219
7.1
Unscharfe Entscheidungen und Verluste aufgrund unscharfer Daten . . 220
7.2
Unscharfe Bayes-Entscheidungsfunktionen und unscharfe Bayes-Entschei-
dungen aufgrund unscharfer Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3
Fuzzy-Bayes-Punktsch¨
atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.3.1
Fuzzy-Bayes-Punktsch¨
atzung bei quadratischer Verlustfunktion
231
7.3.2
Fuzzy-Bayes-Punktsch¨
atzung bei linearer Verlustfunktion . . . . 234
7.4
Fuzzy-Bayes-Bereichsch¨
atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.5
Fuzzy-Bayes-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

INHALTSVERZEICHNIS
III
8
Sequentielle statistische Entscheidungen unter Unsch¨
arfe
248
8.1
Sequentielle statistische Entscheidungen f¨
ur unscharfe Daten . . . . . . 249
8.1.1
Sequentielle statistische Entscheidungsverfahren . . . . . . . . . 250
8.1.2
Unscharfe Entscheidungen und unscharfe Stoppzeiten . . . . . . 252
8.1.3
Scharfe Stoppzeiten und scharfe Abbruchregeln f¨
ur unscharfe Daten256
8.1.4
Vereinfachte scharfe Stoppzeiten f¨
ur unscharfe Daten . . . . . . 269
8.2
Sequentielle Bayes'sche Entscheidungen f¨
ur unscharfe Daten . . . . . . 274
8.3
Verk¨
urzte sequentielle Bayes-Entscheidungsverfahren f¨
ur unscharfe Daten 281
8.3.1
Verk¨
urzte sequentielle Bayes-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 281
8.3.2
Verk¨
urzte sequentielle Bayes-Verfahren f¨
ur unscharfe Daten . . . 291
8.3.3
Verk¨
urztes sequentielles Punktsch¨
atzverfahren f¨
ur unscharfe Daten300
8.4
Modifizierte verk¨
urzte sequentielle Bayes-Entscheidungsverfahren f¨
ur un-
scharfe Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.4.1
Modifizierte verk¨
urzte sequentielle Bayes-Verfahren . . . . . . . 314
8.4.2
Modifizierte verk¨
urzte sequentielle Bayes-Verfahren f¨
ur unscharfe
Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.4.3
Modifiziertes verk¨
urztes sequentielles Punktsch¨
atzverfahren f¨
ur
unscharfe Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.5
Vorausschauende sequentielle Bayes-Verfahren und modifizierte voraus-
schauende sequentielle Bayes-Verfahren f¨
ur unscharfe Daten
. . . . . . 331
8.5.1
Vorausschauende und modifizierte vorausschauende sequentielle
Bayes-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.5.2
Vorausschauende und modifizierte vorausschauende sequentielle
Bayes-Verfahren f¨
ur unscharfe Daten . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.5.3
Vorausschauendes und modifiziertes vorausschauendes sequenti-
elles Punktsch¨
atzverfahren f¨
ur unscharfe Daten
. . . . . . . . . 339
8.6
Der unscharfe sequentielle Likelihood-Quotienten-Test (Fuzzy-SPRT) . 354
8.6.1
Der SPRT als klassisches sequentielles Testverfahren
. . . . . . 356
8.6.2
Der SPRT als Bayes'sches sequentielles Testverfahren . . . . . . 361
8.6.3
Der Fuzzy-SPRT als klassisches sequentielles Testverfahren f¨
ur
unscharfe Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
8.6.4
Der Fuzzy-SPRT als Bayes'sches sequentielles Testverfahren f¨
ur
unscharfe Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
9 Zusammenfassung und Ausblick
385
9.1
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.2
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
9.2.1
Trends und Verteilungsmodelle f¨
ur Naturkatastrophen . . . . . . 388
9.2.2
Unscharfe Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
9.2.3
Implikationen f¨
ur weitere Forschungsarbeit . . . . . . . . . . . . 392
Literaturverzeichnis
VII
Symbolverzeichnis
XXXVIII

Abbildungsverzeichnis
2.1
Hoch- und Niedrigwasserst¨
ande am Pegel Cuxhaven 1999 . . . . . . . .
10
2.2
Sturmflut Pegelkurven Cuxhaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Flutwelle (Tsunami) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.1
Fuzzy-Menge und gew¨
ohnliche Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
-Schnitte von ~
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Grautonbild einer zweidimensionalen Fuzzy-Menge . . . . . . . . . . . .
22
3.4
Flutwelle und ihr oberer Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.5
Grautonbild bzw. Fuzzy-Menge der auf die H¨
ohe projizierten Flutwelle
46
3.6
Unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle nach der Steigungsmethode . . . . . . .
47
3.7
Unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle nach der Komplementmethode . . . . .
48
3.8
Unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle und kritische H¨
ohe
. . . . . . . . . . .
49
3.9
Unscharfe Einordnung einer Flutwelle unscharfer H¨
ohe . . . . . . . . .
50
4.1
Fuzzy-Schar von Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktionen . . . . . . . . .
79
4.2
Fuzzifizierende Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion: -Niveaukurven
. . . .
81
4.3
Unscharfe Poisson-Verteilungsfunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.1
Unscharfe empirische Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2
Unscharfer gesch¨
atzter Verteilungsparameter und konvexe H¨
ulle . . . . 119
5.3
Unscharfes Konfidenzintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4
Unscharfe Teststatistik und unscharfer kritischer Wert . . . . . . . . . . 137
5.5
Klassische Hypothese und unscharfes Konfidenzintervall . . . . . . . . . 141
5.6
Unscharfer Wahrscheinlichkeitswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1
Fuzzy-Schar von A-posteriori-Gammadichtefunktionen
. . . . . . . . . 169
6.2
-Niveaukurven der konvex-fuzzifizierenden A-posteriori-Gammadichte
171
6.3
-Niveaukurven der fuzzifizierenden A-posteriori-Gammadichte . . . . . 173
6.4
Fuzzy-Schar von A-priori-Gammadichtefunktionen . . . . . . . . . . . . 180
6.5
-Niveaukurven der konvex-fuzzifizierenden A-priori-Gammadichte . . . 182
6.6
-Niveaukurven der fuzzifizierenden A-priori-Gammadichte . . . . . . . 183
6.7
Fuzzy-A-posteriori-Bayes-Erwartungswert-Sch¨
atzer und konvexe H¨
ulle . 201
6.8
Fuzzy-HPD-Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.9
Fuzzy-A-posteriori-Wahrscheinlichkeitenquotient und konvexe H¨
ulle . . 218
7.1
Lineare Fuzzy-Verlustfunktion (Fuzzy-Extension)
. . . . . . . . . . . . 221
7.2
Fuzzy-Bayes-Punktsch¨
atzung bei linearer Verlustfunktion . . . . . . . . 239
7.3
Fuzzy-Bayes-Intervallsch¨
atzung bei linearer Verlustfunktion . . . . . . . 243
IV

ABBILDUNGSVERZEICHNIS
V
7.4
Fuzzy-Bayes-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.1
Stoppzeitsituation bei unscharfen Daten
. . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.2
Teilbereiche des Stichprobenraums
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.3
Stoppzeit nach der Tr¨
agertangentialmethode . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.4
Stoppzeit nach der Tr¨
agerinklusionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.5
Stoppzeit nach der Kerntangentialmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.6
Stoppzeit nach der Kerninklusionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.7
Stoppzeit nach der -Niveautangentialmethode
. . . . . . . . . . . . . 264
8.8
Stoppzeit nach der -Niveauinklusionsmethode . . . . . . . . . . . . . . 265
8.9
Stoppzeit nach der Kardinalit¨
atsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.10 Stoppzeit nach der vereinfachten Kardinalit¨
atsmethode . . . . . . . . . 273
8.11 Fuzzy-Risikovergleich beim verk¨
urzten sequentiellen Verfahren . . . . . 313
8.12 Fuzzy-Risikovergleich beim modifizierten verk¨
urzten Verfahren . . . . . 330
8.13 Fuzzy-Risikovergleich beim vorausschauenden sequentiellen Verfahren . 351
8.14 Fuzzy-Risikovergleich beim modifizierten vorausschauenden Verfahren . 353
8.15 Ausgangssituation beim Bayes'schen SPRT . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.16 Situation beim Fuzzy-SPRT nach n Beobachtungen . . . . . . . . . . . 370
8.17 Vorgangsweise beim Fuzzy-SPRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.1
Anzahl großer Naturkatastrophen in Deutschland . . . . . . . . . . . . 389
9.2
Anzahl der Flutkatastrophen weltweit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.3
Rasterkarte der Werteverteilung in der Gemeinde Timmendorfer Strand 391


Kapitel 1
Einleitung
Sowohl im t¨
aglichen Leben, als auch in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft (Tech-
nik, Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften und ¨
Okonomie) geh¨
ort die Bew¨
altigung
von unterschiedlichsten Formen der Ungewissheit bei Entscheidungsproblemen unter-
schiedlichster Art zu den t¨
aglichen Aufgaben. Bei der Erfassung der Probleme in Model-
len, die dann mathematisch gel¨
ost werden sollen wird in der klassischen Mathematik
meist so vorgegangen, dass Exaktheit der auszuwertenden Daten angenommen und
Unsch¨
arfe im Allgemeinen gleich einem Sch¨
onheitsfehler weggelassen wird. Meist ist
Variabilit¨
at, also stochastische Unsicherheit, die einzige in klassischen mathematischen
Modellen einzige ber¨
ucksichtigte Form der Unbestimmtheit, und diese wird mit Hilfe
von wahrscheinlichkeitstheoretischen Ans¨
atzen in den Modellen verarbeitet. Vereinfa-
chungen und Abstraktionen bei der Generierung von Modellen sind durchaus legitim,
denn ein Modell kann und soll niemals die Realit¨
at in ihrer Gesamtheit erfassen, an-
sonsten ist das Modell sinnlos. In der Modelltheorie wird ein Problem so vereinfacht,
dass es mit vertretbarem Aufwand einfach zu l¨
osen ist. In Modellen wird Komplexit¨
at
reduziert: von allem, was vorerst nicht relevant ist, wird abstrahiert, um die relevan-
ten Aspekte besser analysieren zu k¨
onnen. Dennoch kann diese Vernachl¨
assigung von
Unsch¨
arfe durchaus zu ungenauen und unvollst¨
andigen Ergebnissen f¨
uhren. "Vage Fak-
ten", die sich aufgrund von Unsch¨
arfe nur schwer fixieren lassen, k¨
onnen f¨
ur die L¨
osung
von Entscheidungsproblemen aber oft von Bedeutung sein und d¨
urfen daher im Modell
nicht einfach weggelassen werden.
1
Daher ist es wichtig, ein Modell bereitzustellen,
welches die Modellannahme der Exaktheit der Daten fallen l¨
asst und das Verhalten
der Modellvariablen unter der Pr¨
amisse der Unsch¨
arfe untersucht. Statistiker haben
sich in Zukunft auf die Analyse von Daten zu konzentrieren, die Realit¨
at beschrei-
ben, um die Anwendbarkeit der entwickelten Methoden auf Entscheidungsprobleme zu
gew¨
ahrleisten und der Gefahr, den Anschluss an die Realit¨
at zu verlieren, zu entgehen.
2
In den letzten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts wurden Ans¨
atze zur differenzierte-
ren Analyse unterschiedlicher Dimensionen des Begriffes Unbestimmtheit entwickelt.
3
Der erste Schritt zu einer Distanzierung von der idealisierenden Sichtweise ist die Inter-
vallmodellierung, bei welcher geringf¨
ugige Abweichungen vom exakten Wert zugelassen
sind, d.h. anstatt eines exakten Wertes a wird ein Intervall [a
-
, a
+
] angegeben. Ein Mo-
1
Vgl. Schneeweiß (1991), S. 40.
2
Vgl. Viertl (2002b), S. 242.
3
Vgl. Viertl (2002a), S. 105.
1

2
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
dell zur Kombination von Wahrscheinlichkeit und als Intervall dargestellter Unsch¨
arfe
wird von Dempster und Shafer vorgeschlagen.
4
An der Intervallmodellierung l¨
asst sich
jedoch kritisieren, dass jeder Wert innerhalb der scharfen Intervallgrenzen denselben
Akzeptanzgrad besitzt. Alternative Konzepte sind erforderlich.
Bereits zu Beginn der 1950er Jahre wurde von K. Menger der Begriff des "ensemble
flou" f¨
ur eine neue Idee zur mathematischen Erfassung von Unsch¨
arfe als einer von der
stochastischen Unsicherheit verschiedenen Art der Unbestimmtheit verwendet.
5
Mitte
der 1960er Jahre ver¨
offentlichte L.A. Zadeh seinen Artikel ¨
uber das Konzept der "fuzzy
sets", welcher oft aufgrund seines Bekanntheitsgrades als Ursprung der Theorie der un-
scharfen Mengen oder Fuzzy-Mengen angesehen wird.
6
Der Unterschied zwischen einer
Fuzzy-Menge ~
A und einer gew¨
ohnlichen Menge A besteht darin, dass zwischen einem
Element x und einer gew¨
ohnlichen Menge A im Sinne der klassischen Cantor'schen
Mengenlehre nur die Beziehungen x
A und x / A erlaubt sind, w¨ahrend bei einer
Fuzzy-Menge ~
A eine graduelle Zugeh¨
origkeit m¨
oglich ist. Diese graduelle Zugeh¨
origkeit
wird mittels einer Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
A
(.) mit Funktionswerten in [0, 1] beschrie-
ben.
Zadehs Konzept fand zun¨
achst bei Mathematikern und Technikern in Europa und
in den U.S.A. nur wenig Anklang. Es besch¨
aftigten sich zwar zahlreiche Forscher mit
Fuzzy-Mengen und entwickelten Fuzzifikationen von einigen Theorien aus der Mathe-
matik, doch man zweifelte allgemein an der Anwendbarkeit der Theorie der Fuzzy-
Mengen in Bereichen wie k¨
unstliche Intelligenz oder Regelungstechnik. Erste Meldun-
gen ¨
uber erfolgreiche Anwendung von Fuzzy-Techniken kamen um 1990 aus Japan, so
wurde "fuzzy" in Japan 1990 zum Wort des Jahres gew¨
ahlt. Trotz der anf¨
anglichen
Skepsis hat sich in der Zwischenzeit eine umfassenden Theorie entwickelt.
7
Zahlreiche Methoden f¨
ur die Konstruktion von Zugeh¨
origkeitsfunktionen unscharfer
Mengen wurden entworfen. Viele Gebiete der Mathematik wurden so verallgemeinert,
dass sie auf Fuzzy-Mengen anwendbar sind. Ausgangspunkt f¨
ur diese Verallgemeine-
rung bilden die Definition von elementaren Mengenoperationen (Durchschnitt, Ver-
einigung, Komplement) f¨
ur Fuzzy-Mengen und die Extension elementarer arithmeti-
scher Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) auf Fuzzy-Zahlen,
welche ihrerseits eine Verallgemeinerung der Minkowski-Operationen f¨
ur gew¨
ohnli-
che Mengen darstellt. Auf Fuzzy-Mengen ausgedehnt wurden unter anderem die Ge-
biete Toplogie
8
, Gruppentheorie
9
, Graphentheorie
10
, Vektorr¨
aume
11
, Optimierung
12
,
Spieltheorie
13
und Differentialgleichungen, dabei insbesondere die Methode der finiten
4
Vgl. Dempster (1967), Shafer (1976), Shafer (1987), vgl. auch Comploj (1994), S. 181 ff.
5
Menger (1951).
6
Zadeh (1965).
7
Einen ¨
Uberblick ¨
uber die grundlegende Ideen und Entwicklung der Fuzzy-Theorie bringen die
Artikel in Seising [Ed.] (1999), S. 1-181.
8
Lowen (1976), Wong (1975).
9
Rosenfeld (1971).
10
Rosenfeld (1975), Lessmann / M¨
uhl¨
ogger / Oberguggenberger (1994).
11
Katsaras / Liu (1977), Biswas (1991).
12
Zimmermann (1991), Rommelfanger (1992), Ram´ik (1992), Inguichi / Ichihasi / Kume (1993),
Hauke (1998), Wagner (2003).
13
Ragade (1976), Butnariu (1978), Zimmermann (1991).

KAPITEL 1 EINLEITUNG
3
Elemente
14
. Unter den "fuzzifizierten" Gebieten der Mathematik besondere Bedeutung
erlangt hat die Fuzzy-Logik. Fuzzy-Logik f¨
allt in den Bereich der mehrwertigen Logik,
welche neben den Wahrheitswerten
{wahr, falsch} bzw. {0, 1} das gesamte Intervall
[0, 1] als Menge der m¨
oglichen Wahrheitswerte zul¨
asst. Basierend auf Fuzzy-Logik wur-
den unter Anwendung modernster Computer-Technologie Fuzzy-Systeme konstruiert,
die insbesondere in Japan Anwendung fanden in Gebieten wie k¨
unstliche Intelligenz
(Expertensysteme) oder Regelungstechnik (Kraftfahrzeuge, Kameras). Zum Gebiet der
Fuzzy-Logik gibt es umfangreiche Literatur.
15
Unsch¨
arfe kann auch in die Wahrscheinlichkeitstheorie einfließen.
16
Dies kann auf
drei Arten geschehen. Ein Ansatz, der scharfe Wahrscheinlichkeiten f¨
ur Fuzzy-Mengen
definiert, wurde von Zadeh
17
S. 422 ff., entworfen und von vielen Autoren
18
aufgegriffen
und weiterentwickelt. Unterschiedliche Modelle f¨
ur Wahrscheinlichkeiten, bei denen die
Unsch¨
arfe von Ereignissen sich auf ihre Wahrscheinlichkeit ¨
ubertr¨
agt, wurden ebenfalls
von zahlreichen Autoren
19
entwickelt. Dazu kommen noch M¨
oglichkeiten der Definition
von unscharfen Wahrscheinlichkeiten f¨
ur klassische Ereignisse.
20
Ein weiteres Anwendungsgebiet der Fuzzy-Mengentheorie ist die Modellierung von
Unsch¨
arfe in der Statistik.
21
Unscharfe schließende Statistik wurde ausf¨
uhrlich in den
Monographien von Kruse und Meyer
22
und von Viertl
23
und einigen Aufs¨
atzen von
Kruse und von Viertl behandelt.
24
Die hier besprochenen Teilgebiete sind unscharfe
Sch¨
atzung von Parametern und unscharfe Sch¨
atzung nicht-parametrischer Verteilun-
gen, sowie unscharfe Konfidenzbereiche und statistische Tests bei Unsch¨
arfe. Auch
Ans¨
atze f¨
ur die unscharfe Verallgemeinerung der Bayes-Statistik wurden bereits in den
14
Oberguggenberger (1997), Fetz (1997), Oberguggenberger / Pittschmann (1998), Fetz / J¨
ager
et al. (1999), Fetz / Oberguggenberger / Pittschmann (2000), Oberguggenberger / Russo (2001),
Oberguggenberger (2003b), M¨
oller / Beer / Graf / Sickert (2002), Sickert / Graf / Beer / M¨
oller
(2003), M¨
oller / Beer (2004), S. 135 ff.
15
Einige der deutschsprachigen Werke zur Fuzzy-Logik sind Rommelfanger (1988), B¨
ohme (1993),
Kruse / Gebhardt / Klawonn (1993), Schulte (1993), Traeger (1993), Gottwald (1993). Kurzeinf¨
uhrung
bieten Gottwald (1999), S. 185 ff., Klement / Mesiar / Pap (1999), S. 205 ff., und Oberguggenberger
(2003a).
16
Eine ausf¨
uhrliche Zusammenstellung der unterschiedlichen Methoden zur Kombination von Fuz-
ziness und Wahrscheinlichkeit findet sich bei Comploj (2002), S. 93 ff.
17
Vgl. Zadeh (1968).
18
Z.B. Nov´
ak (1989), S. 89 f., Dubois / Prade (1992a), S. 141 ff., Bandemer / Gottwald (1993), S.
160 ff., Rommelfanger (1994), S. 58, Casals / Gil (1986), S. 371 ff., Casals / Salas (1988), S. 314 ff.,
Casals (1993), S. 189 ff., Casals / Gil (1994), S.283 ff., Taheri / Behboodian (1999), S. 3 ff., Taheri /
Behboodian (2001), S. 39 ff., Taheri / Behboodian (2002), S. 527 ff. Torabi / Behboodian (2005), S.
25 ff.
19
Etwa Yager (1979), S. 114 ff., Dubois / Prade (1992a), S. 143 f., Klement (1982), S. 211 ff., Yager
(1982), S. 275 f., Yager (1984a), S. 276 ff., und Yager (1984b), S. 3 ff.
20
Etwa Dubois / Prade (1992a), S. 145., Bandemer / Gottwald (1993), S. 171 f.
21
Eine Zusammenfassung wichtiger Beitr¨
age zur unscharfen Statistik bietet Taheri (2003), S. 239 ff.
22
Kruse / Meyer (1987).
23
Viertl (1996), Viertl / Hareter (2006).
24
Die wichtigsten grundlegenden Ideen werden in Borgelt / Gebhardt / Kruse (1999), S. 370 ff.,
bzw. Viertl (1999b), S. 244 ff., dargelegt.

4
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
1990ern von Viertl
25
pr¨
asentiert und in j¨
ungerer Zeit von Viertl und Hareter
26
weiter-
entwickelt.
Auf der Basis der Fuzzy-Mengen-Theorie l¨
asst sich auch die multivariate Daten-
analyse auf unscharfe Daten verallgemeinern. Unscharfe Datenanalyse wurde insbe-
sondere in der Monographie von Bandemer und N¨
ather
27
und etlichen Aufs¨
atzen
28
behandelt. Die Ans¨
atze der unscharfen Datenanalyse
29
sind aber eher L¨
osungen f¨
ur
bestimmte Probleme als durchgehende Konzepte.
30
Unterschiedliche Ans¨
atze gibt es
etwa f¨
ur die Einbeziehung unscharfer Daten in die Regressionsanalyse
31
oder unscharfe
Clusteranalyse.
32
Die vorliegende Arbeit entstand im Wesentlichen bereits im Jahre 1995 in Fortset-
zung meiner 1994 abgeschlossenen Diplomarbeit aus Mathematik, welche sich mit der
Modellierung von unscharfen Daten f¨
ur die statistische Analyse besch¨
aftigt.
33
Zahlrei-
che R¨
uckschl¨
age beruflicher und privater Natur zwangen mich immer wieder zur Un-
terbrechung des Vorhabens. Ein Teil des erarbeiteten Materials konnte im Jahre 2002
ur die Diplomarbeit aus Betriebswirtschaftslehre, die sich mit der Ber¨
ucksichtigung
von unscharfen Daten bei risikobehafteten Unternehmensentscheidungen befasst,
34
ver-
wendet werden. Im ¨
Ubrigen wartete das Manuskript aber im Keller, bis im Zuge eines
Zusammentreffens mit meinem Betreuer Univ.-Prof. Dr. Reinhard Viertl von der Tech-
nischen Universit¨
at Wien anl¨
asslich seines Gastvortrages in Innsbruck im Mai 2003
schließlich der Entschluss fiel, die begonnene Arbeit wieder aufzunehmen.
Die Arbeit versteht sich als Beitrag zur Entscheidungsunterst¨
utzung beim kom-
binierten Vorliegen von Variabilit¨
at, also stochastischer Unsicherheit, und Unsch¨
arfe,
also Datenunsicherheit. Insbesondere werden Methoden zur Findung von verlustmini-
mierenden Entscheidungen der Bayes-Statistik bei unscharfer Dateininformation sowie
oglichkeiten zur (notwendigerweise scharfen) Entscheidung ¨
uber Fortsetzung oder
Abbruch einer Beobachtungsserie mit unscharfen Daten bei sequentiellen Entschei-
25
Vgl. Viertl (1990), S. 168 ff. (erste Auflage zu Viertl (2003), erschienen unter dem Titel:
"Einf¨
uhrung in die Stochastik - mit Elementen der Bayes-Statistik und Ans¨
atzen f¨
ur die Analyse
unscharfer Daten"), Viertl / Hule (1991), S. 115 ff., Viertl (1992), S. 127 ff., Viertl (1996), S. 133 ff.
26
Vgl. Viertl (2003), Viertl / Hareter (2004a), S. 263 ff., Viertl / Hareter (2006), S. 87 ff.
27
Vgl. Bandemer / N¨
ather (1992).
28
Vor allem die Aufs¨
atze bei Bandemer [Ed.] (1988) und Bandemer [Ed.] (1990), eine Zusammen-
fassung einiger Basisideen bringt Bandemer (1999), S. 251 ff.
29
Etwa Bandemer / Otto (1988), Bandemer / Kraut / Vogt (1988), Bandemer / Kudra (1988),
Albrecht / N¨
ather (1988), Schmerling / Bandemer (1988), N¨
ather / Welle (1990), N¨
ather (1999).
30
Vgl. Comploj (1994), S. 163.
31
Vgl. etwa Diamond (1988), Bandemer / N¨
ather (1988), Sakawa / Yano (1992), die Aufs¨tze in
Kacprzyk/Fedrizzi [Eds.] (1992), Redden / Woodall (1996), Chang / Lee (1996), Diamond / K¨
orner
(1997), K¨
orner / N¨
ather (1998), Yen / Ghoshray / Roig (1999), Buckley / Feuring (2000), Wang /
Tsaur (2000), W¨
unsche / N¨
ather (2002), Tran / Duckstein (2002a), Wu (2003b), Wu (2003c).
32
Etwa Bandemer (1990), Bandemer / N¨
ather (1992), Bandemer / Gottwald (1993), Yeh / Bang
(1975), Rosenfeld (1975), Sandbrink (1997), Yang / Shih (2002), Tao (2003), M¨
oller / Beer (2004),
S. 273 ff., Rao / Srinivas (2006), einige Grundideen werden bei Runkler (1999) vorgestellt. In der
unscharfen Clusteranalyse werden Fuzzy-Methoden h¨
aufig als Alternative zu stochastischen Methoden
gesehen.
33
Comploj (1994).
34
Comploj (2002).

KAPITEL 1 EINLEITUNG
5
dungen vorgestellt.
35
Um den Bezug zur realen Datensituation hervorzuheben wer-
den s¨
amtliche Analysen am Beispiel einer durchgehenden Fallstudie pr¨
asentiert. Die
Fragestellung des begleitenden Beispiels stammt aus dem Naturkatastrophenrisikoma-
nagement, ein Teil der Arbeit ist der Modellierung der unscharfen Zahlen aufgrund
der vorliegenden realen Datensituation gewidmet. Weitere interessante Aspekte erge-
ben sich aus der Analyse der unscharfen Poisson- bzw. Gammaverteilung, die f¨
ur das
begleitende Beispiel gew¨
ahlt wurde.
Mein besonderer Dank gilt meinem Betreuer Herrn Prof. Dr. Reinhard Viertl vom
Institut f¨
ur Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie an der Technischen Universit¨
at
Wien, der mir durch die Betreuung der Arbeit und seine Geduld die M¨
oglichkeit gab,
diese Arbeit zu vollenden. Er war es auch, der in dem im Wintersemester 1992/93 am
Institut f¨
ur Statistik in Innsbruck abgehaltenen Seminar ¨
uber "Statistische Analyse mit
unscharfen Daten" mein Interesse f¨
ur dieses Thema weckte, und der mir die M¨
oglichkeit
gab, bereits im August 1993 an dem Kongress zum Thema "Statistics with Non-precise
Data" in Innsbruck teilzunehmen und dabei erstmals Forscher, die sich mit dem Thema
befassen, kennen zu lernen. Auch danke ich ihm f¨
ur die Zur-Verf¨
ugung-Stellung von
Literatur, die mir ansonsten nicht zug¨
anglich gewesen w¨
are.
Mein fortgesetzter Dank gilt Prof. Dr. Norbert Netzer vom Institut f¨
ur Mathematik
an der Universit¨
at Innsbruck f¨
ur die Betreuung meiner Mathematik-Diplomarbeit von
1994, sowie Prof. Dr. Gilg Seeber am Institut f¨
ur Statistik an der Universit¨
at Innsbruck,
ur die Betreuung meiner betriebswirtschaftlichen Diplomarbeit. Ferner gilt mein Dank
Prof. Dr. Gerhard Marinell und Ass.-Prof. Dr. Christian Traweger vom Institut f¨
ur
Statistik an der Universit¨
at Innsbruck, da ich im Rahmen des Akademikertrainings
an diesem Institut mein besonderes Interesse f¨
ur Statistik entdeckte, sowie Prof. Dr.
Rudolf Kruse von der Fakult¨
at f¨
ur Informatik an der Universit¨
at Magdeburg und Prof.
Dr. Hans Bandemer vom Fachbereich Mathematik an der Technischen Universit¨
at-
Bergakademie Freiberg / Sachsen, die mir wertvolle Literatur f¨
ur meine Diplomarbeit
aus Mathematik zukommen ließen.
Nach den Vorschriften des Studienplans zum Doktorat der Naturwissenschaften
wurden Teile der Arbeit ¨
offentlich vorgestellt. So durfte ich beim 16. Internationa-
len Kongress der ¨
Osterreichischen Mathematischen Gesellschaft und der Jahrestagung
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung von 15.-23. September 2005 an der Alpen-
Adria Universit¨
at Klagenfurt in der Sektion "Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik"
am 23.09.2005 einen Vortrag zum Thema "Sequentielle Statistische Entscheidungsver-
fahren bei unscharfer Information" halten. Mein besonderer Dank gilt dabei zuerst
Prof. Dr. Manfred Borovcnik vom Institut f¨
ur Mathematik der Universit¨
at Klagenfurt
ur die nachtr¨
agliche Aufnahme des versp¨
atet angek¨
undigten Vortrags ins Programm.
Prof. Dr. Reinhard Viertl danke ich f¨
ur die M¨
oglichkeit einer außerplanm¨
aßigen Kurz-
pr¨
asentation des Vortrags im Rahmen des Minisymposions ¨
uber "Unscharfe Daten und
Fuzzy-Modelle" am 15.09.2005, wo es gelang, Interesse f¨
ur meinen Vortrag zu wecken,
und wo ich wieder die Gelegenheit hatte, Wissenschafter kennen zu lernen. So danke
35
Alternative Ans¨
atze zur Erweiterung von sequentiellen Bayes-Verfahren (insbesondere Bayes-
Tests), werden bei Casals / Salas (1988), S. 314 ff., bzw. Casals / Gil (1994), S. 283 ff., gezeigt,
eine Erweiterung des Sequential Probability Ratio Tests wird bei Torabi / Behboodian (2005), S. 25
ff., vorgestellt.

6
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
ich Prof. Dr. Erich Peter Klement vom Institut f¨
ur Wissensbasierte Mathematische
Systeme an der Johannes Kepler Universit¨
at Linz f¨
ur sein Interesse an meiner Ar-
beit. Prof. Dr. Michael Oberguggenberger vom Institut f¨
ur Technische Mathematik,
Geometrie und Bauinformatik der Universit¨
at Innsbruck danke ich f¨
ur die Zusage der
Zweitbegutachtung der Dissertation und f¨
ur sein Interesse an meinem Vortrag. Mein
besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. J¨
urgen Pilz vom Institut f¨
ur Mathematik der
Universit¨
at Klagenfurt f¨
ur den Vorsitz w¨
ahrend meines Vortrags und die anregende
Diskussion im Anschluss an den Vortrag. Ferner danke ich Prof. Dr. J¨
urgen Franz vom
Institut f¨
ur Mathematische Stochastik an der Technischen Universti¨
at Dresden f¨
ur sein
Interesse an meiner Arbeit und die ¨
Uberlassung von interessanter Literatur. Prof. Dr.
Lothar Heinrich vom Institut f¨
ur Mathematik an der Universit¨
at Augsburg danke ich
ur die Anregungen w¨
ahrend der Diskussion im Anschluss an meinen Vortrag und f¨
ur
den Hinweis auf die M¨
oglichkeit bei den Stochastik-Tagen erneut vorzutragen.
So durfte ich im Rahmen der Frankfurter Stochastik-Tage 2006 bei der 7th German
Open Conference on Probability and Statistics vom 14.-17. M¨
arz 2006 an der Goethe
Universit¨
at Frankfurt am Main einen weiteren Vortag halten, und zwar zum Thema
"The Fuzzy Number of Critically High Flood-Waves per Time Period - a Fuzzy Poisson
Process" am 17.03.2006 in der "Offenen Sektion". Mein Dank gilt Herrn Dr. Ralph
Neininger vom Institut f¨
ur Mathematische Statistik an der Unversit¨
at Frankfurt f¨
ur
die Annahme des Vortrags in der "Offenen Sektion" und den Vorsitz w¨
ahrend des
Vortrags.
Auf weitere M¨
oglichkeiten f¨
ur Vortr¨
age freue ich mich.

Kapitel 2
Motivation und begleitendes
Beispiel
2.1
Problemstellung des begleitenden Beispiels
Ein ¨
uberflutungsgef¨
ahrdetes K¨
ustengebiet soll gegen Hochwassersch¨
aden optimal ge-
sch¨
utzt werden, damit Hochw¨
asser nicht zu Katastrophen f¨
uhren. Hochwasser ist zwar
per se ein extremes Naturereignis, ein extremes Naturereignis allein ist jedoch noch
nicht als Naturkatastrophe zu bezeichnen. Erst wenn Menschen durch das Naturer-
eignis Schaden erleiden, kann von einer Katastrophe gesprochen werden. Nach Ehret
und B´
ardossy
1
wird ein extremes Naturereignis zur Katastrophe, wenn menschliche
Besitzt¨
umer Schaden erleiden.
Um zu verhindern, dass aus einer ¨
Uberschwemmung eine Katastrophe wird, k¨
onnen
unterschiedliche Maßnahmen des Hochwasserschutzes ergriffen werden. Hochwasser-
schutzmaßnahmen k¨
onnen in vier Teilbereiche gegliedert werden:
2
- Raumordnerische Maßnahmen bestehen darin, dem Hochwasser aus dem Weg zu
gehen und ¨
uberflutungsgef¨
ahrdete Gebiete zu meiden.
- Baulicher Hochwasserschutz zielt darauf ab, Teile einer Hochwasserwelle abzu-
halten und von sch¨
utzenswerten Objekten fernzuhalten.
- Organisatorische Maßnahmen dienen dazu, im Falle von Hochwasser rechtzeitig
zu warnen, um den Einwohnern des ¨
Uberflutungsgebietes ausreichend Zeit zu
geben, sich und ihr Hab und Gut in Sicherheit zu bringen.
- Risikovorsorge besteht in einem ausreichenden Versicherungsschutz f¨
ur den Fall
eines eingetretenen Schadens.
Alle Maßnahmen stehen im Spannungsfeld zwischen maximalem Schutz, ¨
Okonomie und
¨
Okologie. Der ¨
okologische Aspekt fordert vor allem die gr¨
oßtm¨
ogliche Naturbelassenheit
der Landschaft. Der ¨
okonomische Aspekt beinhaltet vor allem die Aufgabe, erwartete
Sch¨
aden und Kosten f¨
ur Schutzmaßnahmen gemeinsam zu minimieren.
1
Vgl. Ehret / B´
ardossy (2003), S. 54.
2
Vgl. Ehret / B´
ardossy (2003), S. 54 ff., Mertsch (2004), S. 40 ff.
7

8
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Das Kernproblem l¨
asst sich somit auf die wichtige Frage der Anzahl der Flut-
wellen kritischer H¨
ohe im Jahr verdichten. Um eine Aussage ¨
uber diese wesentliche
Gr¨
oße treffen zu k¨
onnen, muss ein geeignetes mathematisches Modell gefunden wer-
den. Ausgehend von diesem Modell sollen dann alle damit verbundenen Entscheidun-
gen getroffen werden. Diese Anzahl soll so bestimmt werden, dass der Verlust aus einer
Fehleinsch¨
atzung m¨
oglichst gering ist.
Dar¨
uber hinaus soll der Beobachtungszeitraum m¨
oglichst kurz sein, da durch jedes
Jahr, in dem die Schutzmaßnahme noch nicht eingef¨
uhrt ist, aufgrund der Suboptima-
lit¨
at des Zustands vor der Beobachtung wirtschaftliche Verluste entstehen, sei es durch
die Nichtnutzung des Gebietes, sei es durch unzureichenden baulichen Schutz, sei es
durch zu geringen Versicherungsschutz oder ¨
uberh¨
ohte Versicherungspr¨
amien.
2.2
Stochastische Modellierung
Um ein Modell aufzustellen, welches zur Beschreibung unseres Problems geeignet ist,
ussen zur Reduktion der Komplexit¨
at einige Annahmen getroffen werden.
- Die Sturmfluten, welche die ¨
Uberschwemmungen verursachen, werden als punk-
tuelle Ereignisse angesehen.
3
Im Modell wird daher von einer Gef¨
ahrdung durch
Flutwellen gesprochen.
- Das Ausmaß der Gefahr h¨
angt ausschließlich von der Anzahl der Flutwellen in
einer Beobachtungsperiode, deren H¨
ohe einen vorgegebenen kritischen Wert ¨
uber-
schreitet, ab.
4
- Es wird davon ausgegangen, dass kein aufsteigender oder absteigender Trend
hinsichtlich der interessierenden Variablen vorliegt. Die durchschnittliche Anzahl
der Flutwellen kritischer H¨
ohe in gleich langen Zeitintervallen wird also als ein
im Lauf der Zeit als konstanter Wert angesehen.
5
Da beim vorliegenden Problem die zuf¨
allig in einem Zeitintervall eintretenden Er-
eignisse gez¨
ahlt werden, kann der Sachverhalt durch einen Poisson-Prozess beschrieben
werden. Der Poisson-Prozess wird h¨
aufig mit einem Z¨
ahlprozess identifiziert, der ¨
uber
die Zeit verteilte, zu zuf¨
alligen Zeitpunkten eintretende Ereignisse z¨
ahlt. Ein Poisson-
Prozess liegt dann vor, wenn die folgenden Bedingungen erf¨
ullt sind:
6
3
Diese Sichtweise, Naturkatastrophen als punktuelle Ereignisse zu sehen und ihre H¨
aufigkeit zu
ahlen ist eine in der Naturkatastrophenforschung h¨
aufig ge¨
ubte Praxis. Vgl. etwa die Z¨
ahlungen der
Katastrophenereignisse bei Nussbaumer / Winkler (1996), S. 3 f., oder die Z¨
ahlung der Hochwasse-
rereignisse bei Mudelsee / B¨
orngen / Tetzlaff / Feck-Yao (2002), S. 103 ff.
4
Vernachl¨
assigt wird bei dieser Methode die tats¨
achliche H¨
ohe der Flut. Diese wird ebenfalls in
vielen Untersuchungen betrachtet, etwa: Homagk (2002), S. 23 ff., M¨
uller / Navarra (2002), S. 34 ff.
oder Markau / Reese (2002), S. 82.
5
Mit m¨
oglichen Trends bei Naturkatastrophen und insbesondere bei ¨
Uberschwemmungen besch¨
afti-
gen sich unter anderem Nussbaumer / Winkler (1998), S. 3 ff., Berz (2002), S. 253 ff. Vgl. auch die
abschließenden Bemerkungen zu Trends in Abschnitt 9.2.
6
Vgl. etwa Viertl (2003), S. 117 f., Grimmett / Strizaker (1992), S. 228 f.

KAPITEL 2 MOTIVATION UND BEGLEITENDES BEISPIEL
9
(i) Die Anzahlen der in disjunkten Zeitintervallen eintretenden Ereignisse sind von-
einander unabh¨
angige Zufallsvariablen.
7
Die Zufallsvariablen (X
t
)
t
[0,)
ahlen
die bis zum Zeitpunkt t eingetretenen Ereignisse. (Nachwirkungsfreiheit)
(ii) Die Zufallsvariablen Y
[t
0
,t
0
+t)
, welche die Anzahl der zuf¨
alligen Ereignisse im In-
tervall [t
0
, t
0
+ t) f¨
ur beliebiges t
0
> 0 z¨
ahlen, haben die gleiche Verteilung, wie
X
t
= Y
[0,t)
(Translationsivarianz)
(iii) Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses in einem kleinen Zeitin-
tervall t ist im Wesentlichen proportional zur L¨
ange des Zeitintervalls, d.h. es
gibt eine Konstante > 0, so dass gilt
lim
t
0
P (
{X
t+t
= x + 1
|X
t
= x
})
t
=
(Proportionali¨
at im Kleinen)
(iv) Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mehrerer Ereignisse w¨
ahrend eines infini-
tesimal kleinen Zeitintervalls t ist vernachl¨
assigbar klein, d.h.
lim
t
0
P (
{X
t+t
x + 2|X
t
= x
})
t
= 0
(Koinzidenzfreiheit)
ist die konstante durchschnittliche Zahl der Ereignisse bzw. die konstante Ereignis-
zuwachsrate und heißt Intensit¨
at des Prozesses.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Flutwellen kritischer H¨
ohe wird
daher beschrieben durch
p(x
|) =
x
· e
-
x!
· 1
IN
0
(x),
ist die (hier als konstant angenommene) durchschnittliche Anzahl der Flutwellen
kritischer H¨
ohe im Jahr.
Es ist nun zu ¨
uberpr¨
ufen, inwiefern die Beschr¨
ankung auf punktuelle, durch Flutwel-
len ausgel¨
oste ¨
Uberschwemmungen eine Einschr¨
ankung darstellt, und ob das interessie-
rende Problem mit diesem Modell noch ausreichend beschrieben wird. Die Abbildung
2.1 zeigt die gemessenen Hoch- und Niedrigwasserh¨
ohen am Pegel Cuxhaven im Jah-
re 1999.
8
Es zeigt sich deutlich, dass extreme Hochwasserst¨
ande punktuelle Ereignisse
sind. (Hier stechen vor allem die Hochw¨
asser am 5. Februar und am 3. Dezember ins
Auge.) Eine Betrachtung der Entwicklung des Pegelstandes in den letzten 24 Stunden
vor und in den ersten 24 Stunden nach dem H¨
ochststand zeigt ebenfalls, dass extre-
mes Hochwasser an Meeresk¨
usten durchaus als punktuelles Ereignis aufgefasst werden
kann.
9
Im Folgenden wird daher stets von der H¨
aufigkeit von "Flutwellen" die Rede
sein.
7
Eine exakte mathematische Definition des Begriffs der Zufallsvariablen folgt in Abschnitt 4.1.1.
Vorerst soll eine Zufallsvariable lediglich eine Gr¨
oße sein, die mit berechenbarer Wahrscheinlichkeit
bestimmte Werte annimmt.
8
Quelle: M¨
uller / Navarra (2002), S. 37.
9
Quelle: M¨
uller / Navarra (2002), S. 40.

10
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Abbildung 2.1: Hoch- und Niedrigwasserst¨
ande am Pegel Cuxhaven 1999
2.3
Problematik der Unsch¨
arfe
Eine genauere Betrachtung des Problems zeigt, dass die zu l¨
osende Fragestellung durch
das Modell noch nicht exakt beschrieben wird, da keine Kriterien daf¨
ur vorliegen,
wie die H¨
ohe einer Flutwelle zu messen ist. W¨
ahrend in den unteren Bereichen noch
große Wassermassen und hoher Druck gemessen werden, werden Wassermenge und
Druck nach oben hin immer geringer. Die Abbildung 2.3, welche eine Flutwelle zeigt,
10
macht dies deutlich. Eine Flutwelle hat keinen nach oben hin scharf abgegrenzten Rand,
sondern geht von unten nach oben hin bei immer geringer werdenden Wassermengen
¨
uber in immer d¨
unner werdenden Spr¨
uhnebel. Auch diese Unsch¨
arfe soll im Modell
ber¨
ucksichtigt werden.
Ein Vorschlag, der von Gegnern der Fuzzy-Set-Theorie immer wieder zur Mo-
dellierung von Unsch¨
arfesachverhalten vorgeschlagen wird, ist die Beschreibung von
Unsch¨
arfe mit Hilfe wahrscheinlichkeitstheoretischer Modelle. Dieser Vorschlag ist ab-
zulehnen, da Unsch¨
arfe nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
ist. Da diese Diskussion nicht Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist, folgt nur eine
kurze Darstellung der wichtigsten Unterschiede zwischen Unsch¨
arfe und Wahrschein-
10
Zwecks besserer Anschaulichkeit wurde hier das Bild eines Tsunamis gew¨
ahlt.
Quelle: Grade 7 Natural Disasters Project, Tsunami - The Big Wave,
http://www.germantown.k12.il.us/html/tsunami.html

KAPITEL 2 MOTIVATION UND BEGLEITENDES BEISPIEL
11
Abbildung 2.2: Sturmflut Pegelkurven Cuxhaven
lichkeit.
11
Zur Sch¨
atzung der Wahrscheinlichkeiten von Zufallsvariablen sind immer mehrere
Beobachtungen erforderlich, deren relative H¨
aufigkeiten dann als Sch¨
atzwerte f¨
ur die
Wahrscheinlichkeiten angegeben werden. Unsch¨
arfe ist dagegen eine jeder einzelnen
Beobachtung von kontinuierlichen Gr¨
oßen innewohnende Eigenschaft, welche bereits
bei einer einzelnen Beobachtung modelliert werden kann bzw. f¨
ur jede einzelne Beob-
achtung gesondert zu erfolgen hat. Der obere Rand einer jeden einzelnen Flutwelle ist
unscharf.
Zufallsvariablen haben die Eigenschaft, dass sie einem Gesetz der großen Zahlen
folgen (vgl. Abschnitt 5.2), was bedeutet, dass der Mittelwert aus Realisationen ei-
ner Stichprobe einer Zufallsvariablen bei immer gr¨
oßer werdendem Stichprobenumfang
gegen einen festen Wert konvergiert. Anders verhalten sich unscharfe Sachverhalte,
auch der Grenzwert von unendlich vielen unscharfen Beobachtungen ist unscharf. Die
Unsch¨
arfe verringert sich bei zunehmendem Stichprobenumfang nicht. Auch bei Be-
obachtung von unendlich vielen Flutwellen wird ihr oberer Rand niemals durch eine
scharfe Grenzziehung gekennzeichnet sein, der fließende ¨
Ubergang ist unabh¨
angig von
der Anzahl der Beobachtungen.
Von der Wahrscheinlichkeit des Eintritts eines Ereignisses kann nur ex ante gespro-
chen werden, ex post herrscht dagegen Sicherheit ¨
uber den Eintritt des Ereignisses.
Unsch¨
arfe besteht dagegen sowohl ex ante, als auch bei ex post Betrachtung. Es be-
11
Vgl. auch Comploj (2002), S. 11 f., Viertl / Hareter (2006), S. 4 f.
Weitere Gedanken zu unscharfer Information finden sich bei Zimmermann (1999), S. 287 ff., Viertl
(2002a), S. 105 ff.

12
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Abbildung 2.3: Flutwelle (Tsunami)
steht nicht nur vor dem Eintreffen der Flutwelle unscharfe Erwartung ¨
uber ihre H¨
ohe,
auch im Nachhinein ist die gemessene H¨
ohe der Flutwelle unscharf.
Insgesamt l¨
asst sich sagen, dass Unsch¨
arfe eine Form der Unbestimmtheit ist, welche
sich nicht durch statistische Variation erkl¨
aren l¨
asst, sondern deren Ursachen anderer
Natur sind. Etwa im Fall der Flutwellen liegt ein naturwissenschaftlich-technisches
Ph¨
anomen zugrunde, ebenso sind etwa die Lebensdauer einer Batterie
12
oder eines
biologischen Organismus
13
oder die Wirkungsdauer eines Medikaments
14
unscharfe
Gr¨
oßen. Auch subjektives menschliches Empfinden wird h¨
aufig als unscharfe Gr¨
oße
beschrieben.
15
Wichtig ist, dass bei der Modellierung der Unsch¨
arfe diese als gewichtete Bandbrei-
te erfasst und als solche weiteren Analysen zug¨
anglich gemacht wird. Wie eben darge-
stellt, ist Unsch¨
arfe keine Wahrscheinlichkeit. Grunds¨
atzlich ist die Modellierung von
Unsch¨
arfe mit Hilfe wahrscheinlichkeitstheoretischer Modelle zwar dennoch m¨
oglich,
aber nicht zu empfehlen, da die strikte Axiomatik, welche zur Beschreibung stochasti-
scher Sachverhalte erforderlich ist, zu sehr komplizierten Modellen f¨
uhrt, was einerseits
den Rechenaufwand unn¨
otig erh¨
oht und andererseits als Fehlerquelle einzustufen ist. Es
ist nicht einzusehen, wozu ein hochkompliziertes Modell zur Beschreibung eines Sach-
12
Vgl. Comploj (1994), S. 10 u. S. 70 ff., Hwang (2000), S. 239 ff.
13
Vgl. Viertl (1992), S. 122 f., Viertl (1996), S. 23 ff., Viertl (1997), S. 547 f., Viertl (2002d), S. 199
f.
14
Vgl. Viertl / Hareter (2006), S. 4.
15
Vgl. Viertl / Hareter (2006), S. 3, R¨
odder / Zimmermann (1977), S. 2, Rommelfanger (1994), S.
4 f. Zahlreiche Beipiele f¨
ur unscharfe Daten im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsindikatoren f¨
uhrt
Viertl (2001a), S. 2 f., an.

KAPITEL 2 MOTIVATION UND BEGLEITENDES BEISPIEL
13
verhaltes eingesetzt werden soll, welcher ebenso gut durch ein wesentlich einfacheres
Modell beschrieben wird.
16
Als weiteres Argument gegen eine Modellierung der Unsch¨
arfe mit probabilistischen
Modellen ist das oftmals gemeinsame Auftreten von Unsch¨
arfe und Zuf¨
alligkeit bei ei-
nem einzigen Sachverhalt.
17
Die Modellierung von unterschiedlichen Ph¨
anomenen in
einem Modell durch denselben Ansatz kann zu Verwechslungen und irref¨
uhrenden Er-
gebnissen f¨
uhren.
18
Auch bei der Fragestellung des vorliegenden Beispiels ist einerseits
die Anzahl der Flutwellen eine stochastische Gr¨
oße, andererseits ist die H¨
ohe der Flut-
wellen eine unscharfe Gr¨
oße. In der vorliegenden Arbeiten kommt daher ein Modell zur
Anwendung, welches beide Ph¨
anomene getrennt ber¨
ucksichtigt. Damit wird versucht,
die wesentlichen Fragen zu dem Problem zu beantworten.
16
Vgl. Nauck / Kruse (1997), S. 3, Hauke (1998), S. 73.
17
Vgl. Kutterer (2002), S. 96 ff.
Bei M¨
oller / Graf / Beer / Sickert (2001), S. 2 f., M¨
oller / Graf / Beer (2003), S. 1568 f., und M¨
oller
/ Beer (2004), S. 6 ff., wird unterschieden zwischen Zuf¨
alligkeit (randomness), Unsch¨
arfe (fuzziness)
und unscharfer Zuf¨
alligkeit (fuzzy randomness).
18
Vgl. Comploj (2002), S. 12.

Kapitel 3
Unscharfe Mengen oder
Fuzzy-Mengen
In Abschnitt 2.3 wurde auf das Problem der Unsch¨
arfe bei der mathematischen For-
mulierung von zahlreichen mittels formaler Methoden l¨
osbarer Fragestellungen hinge-
wiesen. Im der vorliegenden Arbeit wird der Ansatz der Modellierung von Unsch¨
arfe
mit Hilfe von Fuzzy-Mengen verwendet. Im folgenden Kapitel soll ein ¨
Uberblick ¨
uber
die wichtigsten Grundbegriffe und Rechenregeln f¨
ur Fuzzy-Mengen vorgestellt und eine
Modellierung f¨
ur das Ausgangsproblem aus Kapitel 2 vorgeschlagen werden, auf welche
sich dann der Rest der Arbeit beziehen wird.
3.1
Definition von Fuzzy-Mengen
3.1.1
Fuzzy-Mengen und ihre Zugeh¨
origkeitsfunktion
Eine gew¨
ohnliche (scharf abgegrenzte) Menge ist als Teilmenge einer gegebenen Grund-
menge durch ihre Indikatorfunktion (charakteristische Funktion) eindeutig charakteri-
siert. Ist also U eine beliebige Grundmenge (auch Universum genannt), dann ist f¨
ur
A
U die Abbildung
1
A
: U
{0, 1}
x
1
A
(x) =
1 f¨
ur x
A
0 f¨
ur x /
A
die Indikatorfunktion von A.
Die Idee der unscharfen Mengen geht davon aus, neben Zugeh¨
origkeitswerten aus
{0, 1} weitere Werte aus [0, 1] als graduelle Zugeh¨origkeitswerte zuzulassen. Eine solche
unscharfe Menge soll mit ~
A bezeichnet werden.
Definition: Ist U eine Grundmenge (Universum),
(i) dann heißt
~
A :=
{(x,
~
A
(x))
|x U} ,
~
A
(x)
[0, 1]
(3.1)
14

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
15
unscharfe (Teil-)Menge oder Fuzzy-(Teil-)Menge oder Fuzzy Set von U.
1
(ii) Die Abbildung
~
A
: U
[0, 1]
x
~
A
(x)
(3.2)
heißt Zugeh¨
origkeitsfunktion (charakteristische Funktion) von ~
A.
(iii)
F(U) bezeichnet die Menge aller Fuzzy-(Teil-)Mengen von U.
Bemerkung: F¨
ur die Potenzmenge
P(U) von U gilt: P(U) F(U) mit
A =
{(x, 1
A
(x))
|x U}, 1
A
(x)
{0, 1} f¨ur A P(U).
Abbildung 3.1: Fuzzy-Menge und gew¨
ohnliche Menge
Definition: Gegeben ist ~
A
F(U) mit Zugeh¨origkeitsfunktion
~
A
(.).
(i) Die folgende Teilmenge von U
supp( ~
A) :=
{x U|
~
A
(x) > 0
}
(3.3)
heißt Tr¨
ager von ~
A.
(ii) Die Gr¨
oße
hgt( ~
A) := sup
{
~
A
(x)
|x U}
(3.4)
heißt H¨
ohe von ~
A.
(iii) Ist ~
A eine Fuzzy-Menge mit hgt( ~
A)=1, dann heißt die folgende Teilmenge von U
ker( ~
A) :=
{x U|
~
A
(x) = 1
}
(3.5)
Kern von ~
A.
1
Zadeh (1965), S. 339, bringt in seiner Urschrift ¨
uber Fuzzy-Mengen keine mathematisch exakte
Definition, sondern gibt lediglich an, dass Fuzzy-Mengen durch ihre Zugeh¨
origkeitfunktion eindeutig
bestimmt sind. Dieser Formulierung schließen sich Viertl (vgl. etwa Viertl (1996), S. 7, Viertl (2002c),
S. 354, Viertl (2003), S. 10, Viertl / Hareter (2006), S. 8) an. Doch finden sich in der Literatur
mehrere Definitionsvarianten. Die hier verwendete Definition der Fuzzy-Menge durch den Graphen
der Zugeh¨
origkeitsfunktion ist die h¨
aufigste (z.B. Zimmermann (1991), S. 11 f., Zimmermann (1993),
S. 11, Bandemer / N¨
ather (1992), S. 10, Rommelfanger (1994), S. 8, Comploj (1994), S. 9, Comploj
(2002), S. 13, Mißler-Behr / Lechner (1996), S. 3, Wu (1998), S. 111, Hauke (1998), S. 18, M¨
oller /
Beer (2004), S. 19 f.). Andere (z.B. Kruse / Meyer (1987), S. 10, Kruse / Gebhardt / Klawonn (1993),
S. 10, Oberguggenberger / Pitschmann (1998) S. 184) definieren die Zugeh¨
origkeitsfunktion als die
unscharfe Menge.

16
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(iv) Die Gr¨
oße
card( ~
A) :=
x
U
~
A
(x)
falls U abz¨
ahlbare Menge
U
~
A
(x)dx falls U ¨
uberabz¨
ahlbare Menge
(3.6)
heißt Kardinalit¨
at von ~
A.
3.1.2
Die -Schnitte von Fuzzy-Mengen
Das in der Literatur allgemein verwendete Konzept der Schnitte geht davon aus,
dass man alle jene Elemente der Grundmenge U betrachten m¨
ochte, die mindestens
den Zugeh¨
origkeitsgrad
(0, 1] zur unscharfen Menge ~A haben.
Definition: Ist ~
A
F(U) mit Zugeh¨origkeitsfunktion
~
A
(.),
(0, 1], dann heißt
A
=:
{x U|
~
A
(x)
}
(3.7)
der -Schnitt von ~
A (zum Niveau ). Oft schreibt man auch A
statt A
. Die -
Schnitte heißen auch -Niveaumengen.
Graphisch erh¨
alt man den -Schnitt von ~
A, indem man in der H¨
ohe eine Waag-
rechte (parallel zur Abszisse) zieht und jenen Teil des Graphen von
~
A
(.), der oberhalb
der -Geraden liegt, auf die x-Achse projiziert.
Abbildung 3.2: -Schnitte von ~
A
Definition: Ist ~
A
F(U) mit Zugeh¨origkeitsfunktion
~
A
(.), dann heißt
(i) die Teilmenge von U
A
>
:=
{x U|
~
A
(x) >
}
(3.8)
der strikte -Schnitt von ~
A f¨
ur
[0, 1), und
(ii) die Teilmenge von U
A
=
:=
{x U|
~
A
(x) =
}
(3.9)
die Menge der -Komponenten von ~
A f¨
ur
(0, 1].

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
17
(iii) Die Randpunkte a
und a
der -Schnitte sind definiert durch
a
= min
{x U|
~
A
(x)
}
(3.10)
a
= max
{x U|
~
A
(x)
}.
(3.11)
Bemerkung: <
A
A
Der folgende Satz (Repr¨
asentationssatz, Darstellungssatz)
2
garantiert, dass sich je-
de Fuzzy-Menge eindeutig durch ihre -Schnitte charakterisieren l¨
asst, und dass ihre
Zugeh¨
origkeitsfunktion eindeutig aus ihren -Schnitten rekonstruiert werden kann.
Satz: Ist ~
A
F(U) mit Zugeh¨origkeitsfunktion
~
A
(.) und -Schnitten
{A
|(0, 1]},
dann gilt f¨
ur x
U
~
A
(x) = sup
(0,1]
{min {, 1
A
(x)
}} = sup { · 1
A
(x)
| (0, 1]} .
(3.12)
Definition: Ein Mengensystem, das (3.12) erf¨
ullt, heißt Mengenrepr¨
asentation von ~
A.
Insbesondere sind das System der -Schnitte A
| (0, 1] von ~A und das System
der strikten -Schnitte
{A
>
| [0, 1]} von ~A Mengenrepr¨asentationen von ~A.
3.1.3
Wichtige Fuzzy-Mengen und deren Darstellung
In den folgenden Untersuchungen werden einige spezielle Klassen von unscharfen Men-
gen vorgestellt, die in Bezug auf mathematische Operationen besonders g¨
unstige Ei-
genschaften aufweisen. F¨
ur solche bequem handhabbare Fuzzy-Mengen gibt es meist
auch vereinfachte Darstellungsformen.
Definition: Ist U eine Grundmenge, ~
A
F(U) mit Zugeh¨origkeitsfunktion
~
A
(.), dann
werden die folgenden Bezeichnungen eingef¨
uhrt:
(i)
~
A heißt normal oder normiert :
hgt(~A) = 1
(3.13)
(ii)
~
A heißt subnormal :
hgt(~A) < 1
Bemerkung: hgt( ~
A) = 0
~A =
(iii)
~
A heißt konvex oder fuzzy-konvex
:
x
1
, x
2
, x
3
U: x
1
x
2
x
3
~
A
(x
2
)
min {
~
A
(x
1
),
~
A
(x
3
)
}
x
1
, x
2
U, [0, 1]:
~
A
(x
1
+ (1
- )x
2
min {
~
A
(x
1
),
~
A
(x
2
)
}
(3.14)
(iv)
~
A heißt unimodal :
!x
0
U :
~
A
(x
0
) = hgt( ~
A)
(3.15)
2
Der Beweis findet sich unter anderem bei Comploj (1994), S. 13, vgl. auch Viertl (1996), S. 10,
Viertl / Hareter (2006), S. 13, Kruse / Meyer (1987), S. 10 ff., Kruse / Gebhardt / Klawonn (1993),
S. 35 f.

18
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(v)
Eine Fuzzy-Menge heißt Fuzzy-Singleton, wenn ihr Tr¨
ager nur aus einem
einzigen Element besteht:
~
A = (x,
~
A
(x))
(3.16)
Ein scharfes Element x
U ist ein normiertes Fuzzy-Singleton mit
~
A
(x) = 1.
ur eine nicht-konvexe Fuzzy-Menge ~
A
F(U) mit Zugeh¨origkeitsfunktion
~
A
(.) und
-Schnitten A
,
(0, 1], kann die konvexe H¨ulle co ~A definiert werden durch die
Zugeh¨
origkeitsfunktion
co ~
A
(x) := sup
(0,1]
{ · 1
co A
(x)
} ,
(3.17)
wobei
co A
:=
{x U|x
1
A
,
x
2
A
,
[0, 1] : x = x
1
+ (1
- )x
2
} .
(3.18)
Die Definition (3.18) ist gerade die Definition der konvexen H¨
ulle einer gew¨
ohnlichen
(scharfen) Teilmenge von U.
Betrachtet man speziell IR als Grundmenge, so erh¨
alt man folgende interessanten
unscharfen Mengen:
3
(i) ~
A
F(IR) mit
~
A
(.) heißt unscharfes Intervall oder Fuzzy-Intervall
:
~A ist normal und konvex nach (3.13) und (3.14)
(ii) ~
A
F(IR) mit
~
A
(.) heißt unscharfe Zahl oder Fuzzy-Zahl
:
~A ist normal, konvex und unimodal nach (3.13), (3.14) und (3.15)
Speziell f¨
ur diskrete Grundmengen (z.B. IN, ZZ) gibt es die folgende g¨
unstige Re-
pr¨
asentationsform (Niveautabelle) f¨
ur Fuzzy-Mengen mit supp( ~
A) =
{x
1
, x
2
, ..., x
i
, ..., x
n
}:
~
A =
~
A
(x
1
)
~
A
(x
2
)
...
~
A
(x
i
)
...
~
A
(x
n
)
x
1
x
2
...
x
i
...
x
n
(3.19)
3
Die Unterscheidung wird insbesondere bei Dubois / Prade (1992a), S. 21, Nov´
ak (1989), S. 91,
Bandemer / N¨
ather (1992), S. 20 f., Bandemer / Gottwald (1993), S. 60, Hauke (1998), S. 39 f.
getroffen, bei Comploj (1994), S. 14, ¨
ubernommen wurde sie von diesen Autoren ¨
ubernommen. Bei
Kaufmann / Gupta (1991), S. 43 findet sich lediglich die Einteilung in unimodale und nicht-unimodale
Fuzzy-Zahlen, bei Kruse / Meyer (1987), S. 10, Kruse / Gebhardt / Klawonn (1993), S. 33, oder Bo-
djanova (2003), S. 241 ff., etwa wird ¨
uberhaupt nicht zwischen unimodalen und nicht-unimodalen
Fuzzy-Mengen unterschieden. Viertl (vgl. Viertl (1996), S. 7 ff., Viertl (1997), S. 543, Viertl (2001a),
S. 2, Viertl / Hareter (2006), S. 10.) bezeichnet Fuzzy-Mengen, welche durch unscharfe Messungen
von unscharfen Beobachtungen zustande kommen, allgemein als unscharfe Zahlen, und ihre Zugeh¨
orig-
keitsfunktion als charakterisierende Funktion, w¨
ahrend als unscharfes Intervall eine unscharfe Menge
bezeichnet wird, die den unscharfen Bereich, der von zwei unscharfen Zahlen (im Viertl'schen Sinn)
begrenzt wird, umfasst (vgl. Viertl (1996), S. 112).

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
19
3.2
Rechnen mit Fuzzy-Mengen
3.2.1
Mengenarithmetik und Cartesisches Produkt f¨
ur
Fuzzy-Mengen
Die Basisverkn¨
upfungen in der Mengenlehre, Durchschnitt, Vereinigung, Komplement
und Teilmengenbeziehung, k¨
onnen in verallgemeinerter Form auf Fuzzy-Mengen ange-
wendet werden. F¨
ur reelle Fuzzy-Mengen kann durch Verallgemeinerung des Cartesi-
schen Produkts auch der Begriff des Fuzzy-Vektors eingef¨
uhrt werden.
Definition:
4
Gegeben sind zwei unscharfe Mengen ~
A und ~
B, definiert durch ihre Zu-
geh¨
origkeitsfunktionen
~
A
(.) und
~
B
(.) auf einem allgemeinen Universum U.
(i) Der Durchschnitt ~
A
~B von ~A und ~B ist gegeben durch
~
A
~B
(x) := min
{
~
A
(x),
~
B
(x)
}
x U.
(3.20)
Allgemein kann der Durchschnitt von Fuzzy-Mengen mit Hilfe beliebiger so ge-
nannter t-Normen definiert werden.
5
Die in (3.20) beschriebene t-Norm heißt
Minimumnorm. Eine weitere wichtige t-Norm, welche zwar in den Ans¨
atzen der
vorliegenden Arbeit nicht verwendet wird, die aber von Bedeutung ist f¨
ur zahlrei-
che alternative Ans¨
atze, die hier auch beschrieben werden, ist die Produktnorm
oder algebraische Norm
~
A
alg
~
B
(x) :=
~
A
(x)
·
~
B
(x)
x U.
(3.21)
(ii) Die Vereinigung ~
A
~B von ~A und ~B ist gegeben durch
~
A
~B
(x) := max
{
~
A
(x),
~
B
(x)
}
x U.
(3.22)
Die Vereinigung von Fuzzy-Mengen kann prinzipiell mit jeder t-Conorm gebildet
werden.
6
Die t-Conorm (3.22) heißt Maximumconorm.
4
Diese Definition orientiert sich an den urspr¨
unglich von Zadeh (1965), S. 340 f., eingef¨
uhrten Defi-
nitionen von Durchschnitt, Vereinigung und Komplement von Fuzzy-Mengen, da diese f¨
ur die weiteren
Berechnungen in dieser Arbeit die g¨
unstigsten Eigenschaften aufweisen. Ausf¨
uhrliche Zusammenstel-
lungen von t-Normen und t-Conormen findet sich unter anderem bei Kruse / Gebhardt / Klawonn
(1993), S.23ff., Bandemer / N¨
ather (1992), S. 15 ff., Bandemer / Gottwald (1993), S. 43 ff., Comploj
(1994), S. 18 ff., Hauke (1998), S. 49 ff., Gottwald (1999), S. 185 ff., Klement / Mesiar / Pap (1999),
S. 205 ff., Klement / Mesiar / Pap (2000).
5
Eine t-Norm
ist eine Funktion
: [0, 1]
× [0, 1] [0, 1] ist mit
(i)
(a, 1) = a (neutrales Element)
(ii)
a
b (a, c) (b, c) (Monotonie)
(iii)
(a, b) =
(b, a) (Kommutativit¨
at)
(iv)
(a,
(b, c)) =
( (a, b), c) (Assoziativit¨
at)
ur a, b, c
[0, 1].
6
Eine t-Conorm
ist eine Funktion [0, 1] × [0, 1] [0, 1] mit
(i)
(a, 0) = a (neutrales Element)
(ii)
a
b (a, c) (b, c) (Monotonie)
(iii)
(a, b) = (b, a) (Kommutativit¨at)
(iv)
(a, (b, c)) = ((a, b), c) (Assoziativit¨at)
ur a, b, c
[0, 1].

20
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(iii) Das Komplement ~
A
C
von ~
A ist gegeben durch
~
A
C
(x) := 1
-
~
A
(x)
x U.
(3.23)
Allgemein kann das Komplement einer Fuzzy-Menge mit Hilfe jeder Negation
gebildet werden.
7
(iv) ~
A heißt Teilmenge von ~
B, wenn f¨
ur die Zugeh¨
origkeitsfunktionen gilt:
~
A
(x)
~
B
(x)
x U.
(3.24)
Um allgemein Fuzzy-Mengen h¨
oherer Dimension und speziell Fuzzy-Vektoren kon-
struieren zu k¨
onnen, wird zun¨
achst das Konzept der zylindrischen Extension zu erl¨
autert.
Im Anschluss wird das Cartesische Produkt aus zwei Fuzzy-Mengen als der Durch-
schnitt zweier zylindrischer Extensionen definiert.
8
Definition: Auf den Grundmengen U
1
und U
2
sind die Fuzzy-Mengen ~
A
1
F(U
1
) mit
Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
A
1
(.), ~
A
2
F(U
2
) mit Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
A
2
(.) gegeben.
(i) Die Menge ~
A
1
× U
2
heißt zylindrische Extension oder Zylindererweiterung von
~
A nach U
1
× U
2
:
(x
1
, x
2
)
U
1
× U
2
:
~
A
1
× U
2
(x
1
, x
2
) =
~
A
1
(x
1
).
(3.25)
Umgekehrt erh¨
alt man die Zylindererweiterung U
1
×
~A
2
von ~
A
2
nach U
1
durch
U
1
×
~
A
2
(x
1
, x
2
) =
~
A
2
(x
2
).
(ii) ~
A
1
~A
2
heißt unscharfes Cartesisches Produkt aus ~
A
1
und ~
A
2
:
~A
1
~A
2
= ~
A
1
× U
2
U
1
×
~A
2
(x
1
, x
2
)
U
1
× U
2
(3.26)
mit
~
A
1
~
A
2
(x
1
, x
2
) = min
~
A
1
(x
1
),
~
A
2
(x
2
) .
(3.27)
Bemerkung:
(i) Nicht jede mehrdimensionale Fuzzy-Menge ist Cartesisches Produkt aus eindi-
mensionalen Fuzzy-Mengen.
7
Eine Negation ist eine Abbildung n : [0, 1]
[0, 1] mit
(i)
n(0) = 1, n(1) = 0
(ii)
a
b n(a) n(b) (Monotonie)
ur a, b
[0, 1].
¨
Uber Negationen werden auch Beziehungen zwischen t-Normen und t-Conormen hergestellt. Eine t-
Conorm
wird als die zur t-Norm
bez¨
uglich der Negation n duale t-Conorm bezeichnet, wenn
(a, b) = n( (n(a), n(b)))
gilt.
8
Siehe auch Bandemer / N¨
ather (1992), S. 21 ff.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
21
(ii) Auch mit Hilfe anderer t-Normen ist eine Kombination von mehreren unschar-
fen Zahlen zu einem unscharfen Vektor m¨
oglich.
9
Allerdings hat die Minumum-
Kombinationsregel die g¨
unstigsten Eigenschaften f¨
ur weitere Rechenoperationen,
so erm¨
oglicht nur sie eine einfache Berechung der -Schnitte des Fuzzy-Vektors.
10
Definition: Eine Fuzzy-Menge ~
A
F(IR
n
) mit Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
A
(...) heißt
unscharfer Vektor (Fuzzy-Vektor) auf IR
n
:
~A ist normal (3.13), konvex (3.14) und
unimodal (3.15).
11
Bemerkung: Manchmal werden unscharfe Vektoren auch als unscharfe Punkte be-
zeichnet.
Eine sehr wichtige Form von unscharfen Vektoren ist das Cartesische Produkt aus
unscharfen Zahlen. Schreibweise:
~
A = ~
A
1
~A
2
... ~A
n
:
~
A
(x
1
, ..., x
n
) = min
~
A
1
(x
1
), ...,
~
A
n
(x
n
)
(x
1
, ..., x
n
)
U
1
× ... × U
n
.
(3.28)
Zweidimensionale Fuzzy-Mengen werden graphisch h¨
aufig als Grautonbilder darge-
stellt.
12
Der Kern ist schwarz und die verschiedenen Graut¨
one geben die verschiede-
nen Zugeh¨
origkeitsgrade wieder. Sie k¨
onnen als "R¨
ontgenbilder" der dreidimensionalen
Darstellung von zweidimensionalen Fuzzy-Mengen interpretiert werden. Die ¨
Uberset-
zung erfolgt nach folgenden Regeln:
x ist schwarz
~
A
(x) = 1
x ist weiß
~
A
(x) = 0
x
1
ist heller grau als x
2
~
A
(x
1
) <
~
A
(x
2
)
Die Abbildung 3.3 zeigt ein Grautonbild, welches eine zweidimensionale Fuzzy-Menge
repr¨
asentiert.
3.2.2
Das Extensionsprinzip
ur gew¨
ohnliche (scharfe) Mengen sind arithmetische Operationen ¨
uber die so genann-
ten Minkowski-Operationen definiert. F¨
ur eine bin¨
are Operation
auf einer Grund-
menge U, ist f¨
ur zwei (scharfe) Teilmengen A und B von U:
A
B :=
{a b|a A b B}
9
Vgl. etwa Viertl (1992), S. 124, Viertl (1996), S. 33 f., Viertl (1997), S. 551, Viertl (2002c), S. 356
f., Viertl (2003), S. 11 f., Viertl (2004), S. 654, Viertl / Hareter (2006), S. 26 f.
10
Vgl. Viertl / Hareter (2006), S. 29. Die Berechnung der -Schnitte von Fuzzy-Vektoren, die mit
der Produktregel kominiert wurden, wird bei R¨
omer / Kandel (1995), S. 5 ff., gezeigt.
11
In der Literatur gibt es mehrere Definitionen von unscharfen Vektoren, so fordert etwa Viertl (vgl.
etwa Viertl (2001b), S. 20, Viertl (2002c), S. 355 f., Viertl / Hareter (2004b), S. 44, Viertl / Hareter
(2006), S. 23) nicht die Eigenschaft der Unimodalti¨
at.
12
Vgl. Kraut (1992), S. 116 ff.

22
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Abbildung 3.3: Grautonbild einer zweidimensionalen Fuzzy-Menge
ur eine n-stellige Operation
: U
n
V, (a
1
, ..., a
n
)
(a
1
, ..., a
n
) und n Teilmengen
A
1
, ..., , A
n
U, n 1 lautet die Minkowski-Operation:
(A
1
, ..., A
)
=
{ (a
1
, ..., a
n
)
|a
1
A
1
, ..., a
n
A
n
}
=
{ (a
1
, ..., a
n
)
|(a
1
, ..., a
n
)
A
1
× ... × A
n
}
Die Verallgemeinerung der Minkovski-Operationen auf unscharfe Mengen f¨
uhrt zum
Extensionsprinzip:
Zun¨
achst ist : U
V, a b = (a), eine einstellige Abbildung der Grundmenge
U in die Grundmenge V. Anstelle des scharfen Elementes a
U ist eine unscharfe
Teilmenge ~
A von U gegeben. Ist (.) injektiv, so ist es naheliegend, als Zugeh¨
origkeits-
funktion des Bildes ~
B = ( ~
A) jene des Urbildes heranzuziehen:
~
B
(y) =
-1
( ~
B)
(
-1
(y)) =
~
A
(x)
(3.29)
sofern
-1
(
{y}) = ist, ansonsten wird
~
B
(y) = 0 gesetzt.
13
Die Schreibweise (.)
wird bei Anwendung einer Operation (.) auf eine scharfe oder auf eine unscharfe
Menge gebraucht.
Bei einer nicht-injektiven Abbildung (.) wird als unscharfes Urbild eines jeden
Fuzzy-Singletons (y,
~
B
(y)) die Vereinigung nach (3.22) aller Fuzzy-Singletons betrach-
tet, f¨
ur die (x) = y gilt. Da nicht immer ein Maximum existiert, gibt man allgemeiner
das Supremum der Zugeh¨
origkeitsgrade als Zugeh¨
origkeitsgrad der Vereinigung an, man
spricht daher auch von der sup-Vereinigung. Man erh¨
alt also:
~
B = ( ~
A)
(3.30)
13
Der Fall
-1
(
{y}) = wird in der Literatur nur von Viertl ber¨ucksichtigt (vgl. etwa Viertl
(1997), S. 554, Viertl (2001a), S. 4, Viertl (2002a), S. 357, Viertl (2004), S. 652, Viertl / Hareter
(2004a), S. 23, Viertl / Hareter (2004b), S. 45, Viertl / Hareter (2004c), S. 732, Viertl / Hareter
(2006), S. 31). In der vorliegenden Arbeit wird in weiterer Folge auf diesen Fall auch nicht mehr
weiter eingegangen.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
23
mit
~
B
(y) =
( ~
A)
(y) =
sup
{
~
A
(x)
|x U: (x) = y} falls
-1
(
{y})=
0
falls
-1
(
{y})=
y V. (3.31)
Ist allgemein (.) eine n-stellige Operation, so bedeutet dies, dass mit n-dimensionalen
Fuzzy-Mengen bzw. Fuzzy-Vektoren operiert wird. Man bildet also zun¨
achst das Car-
tesische Produkt (3.28) aus den entsprechenden eindimensionalen Fuzzy-Mengen und
wendet dann (.) auf die unscharfen Einzelpunkte der entstandenen n-dimensionalen
Fuzzy-Menge an und bildet schließlich die sup-Vereinigung (3.31) aus den unscharfen
Bildpunkten. So erh¨
alt man das Extensionsprinzip oder Erweiterungsprinzip:
Definition: Ist : U
n
V, (x
1
, ..., x
n
)
y = (x
1
, .., x
n
) eine Funktion, dann wird
(.) zu : (
F(U))
n
F(V), (~A
1
, ..., ~
A
n
)
~B = (~A
1
, ..., ~
A
n
) erweitert durch:
~
B
(y) =
( ~
A
1
,..., ~
A
n
)
(y)
=
sup
(x1,...xn)supp( ~
A1)×...×supp( ~
An):
(x1,...,xn)=y
min
~
A
1
(x
1
), ...,
~
A
n
(x
n
)
falls
-1
(
{y})=
0
falls
-1
(
{y})=
y V.
(3.32)
Die durch (3.32) definierte Funktion (.) heißt die Extension oder Erweiterung von
(.). Man spricht auch von erweiterten Minkowski-Operationen.
Insbesondere erh¨
alt man durch Anwendung des Extensionsprinzips die vier Grund-
rechnungsarten auf
F(IR):
~
A
~B :
~
A
~B
(y) =
sup
x1supp( ~
A),x2supp(~
B):
x1+x2=y
min
{
~
A
(x
1
),
~
B
(x
2
)
}
y V,
~
A
~
B :
~
A
~
B
(y) =
sup
x1supp( ~
A),x2supp(~
B):
x1-x2=y
min
{
~
A
(x
1
),
~
B
(x
2
)
}
y V,
~
A
~
B :
~
A
~
B
(y) =
sup
x1supp( ~
A),x2supp(~
B):
x1·x2=y
min
{
~
A
(x
1
),
~
B
(x
2
)
}
y V,
~
A
~
B :
~
A
~
B
(y) =
sup
x1supp( ~
A),x2supp(~
B)
\0:
x1/x2=y
min
{
~
A
(x
1
),
~
B
(x
2
)
}
y V.
Eine starke Vereinfachung der Arithmetik mit unscharfen Mengen bringt der folgen-
de Satz, der die Reduzierbarkeit der Operationen mit Fuzzy-Mengen auf Operationen
mit ihren -Schnitten reduziert.
Satz:
14
Sind ~
A
1
, ..., ~
A
n
F(IR) mit Zugeh¨origkeitsfunktionen
~
A
1
(.), ...,
~
A
n
(.), und ist
(.) eine Abbildung : IR
n
IR, (x
1
, ..., x
n
)
y = (x
1
, ..., x
n
) mit der Extension
: (
F(IR))
n
F(IR), (~A
1
, ..., ~
A
n
)
~B = (~A
1
, ..., ~
A
n
), dann gilt:
(i)
[0, 1):
B
>
=
A
1
>
, ..., A
n
>
(3.33)
14
Beweis siehe Kruse / Gebhardt / Klawonn (1993), S. 36 ff., Comploj (1994), S. 35, Viertl / Hareter
(2006), S. 32 f.

24
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(ii)
(0, 1]:
B
A
1
, ..., A
n
(3.34)
Wenn das Supremum in der betreffenden Fuzzy-Mengen-Operation (.) ange-
nommen wird, also wenn sup = max, dann gilt auch in (3.34) die Identit¨
at statt
der Inklusion. Insbesondere wird das Supremum angenommen, wenn (.) stetig
ist.
3.2.3
Unscharfe Funktionen
Je nach Auftreten der Unsch¨
arfe innerhalb einer Funktion muss unterschieden werden
zwischen Fuzzy-Extensionen von Funktionen, fuzzifizierende Funktionen und Fuzzy-
Scharen von Funktionen.
15
Bei Fuzzy-Extensionen von Funktionen handelt es sich um Funktionen, die selbst
nicht unscharf sind, sondern die die Unsch¨
arfe ihrer Argumente tragen.
Definition: Zu einer gegebenen scharfe Funktion f : U
V, x y = f(x) und einer
unscharfe Menge ~
X
F(U) mit
~
X
(.) heißt
f :
F(U) F(V)
~
X
~Y = f (~X)
(3.35)
die Fuzzy-Extension oder unscharfe Extension von f , falls
f ( ~
X)
(y) =
sup
x
U: y=f(x)
~
X
(x)
y V.
(3.36)
ur die strikten -Schnitte gilt gem¨
aß (3.33) und (3.34) f¨
ur
[0, 1):
f (X)
>
= f (X
) = f (
{x|x X
>
}) = {f(x)|x X
>
}
(3.37)
ur stetiges f gilt auch f¨
ur die -Schnitte f¨
ur
(0, 1]:
f (X)
= f (X
)
(3.38)
Im Gegensatz zu den Fuzzy-Extensionen hat man es bei fuzzifizierenden Funktionen
mit Funktionen zu tun, die scharfe Argumente x
U auf unscharfe Mengen abbilden.
Definition: Eine Funktion
~
f : U
F(V)
x
~Y = ~
f (x)
(3.39)
15
Vgl. auch Dubois / Prade (1992a), S. 64 ff., Bandemer / N¨
ather (1992), S. 40 ff., Bandemer /
Gottwald (1993), S. 36 ff., Comploj (1994), S. 42 ff. Viertl (vgl. Viertl (1996), S. 37 ff., Viertl (1997),
S. 554 ff., Viertl / Hareter (2004a), S. 264 ff.) unterscheiden zwischen Funktionen von unscharfen Va-
riablen und Funktionen mit unscharfen Werten. M¨
oller / Beer (2004), S. 41 ff., unterscheiden zwischen
scharfen Abbildungen von unscharfen Variablen, unscharfen Abbildungen von scharfen Variablen und
unscharfen Abbildungen von unscharfen Variablen. Unscharfe Scharen werden als Repr¨
asentationsform
ur unscharfe Funktionen mit unscharfen Parametern angesehen.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
25
mit Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
Y
(y) =
~
f (x)
(y)
(3.40)
y V heißt fuzzifizierende Funktion.
Eine fuzzifizierende Funktion ist h¨
aufig durch unscharfe Funktionsparameter gegeben:
Sind ~
A
1
F(U
1
), ..., ~
A
n
F(U
n
) mit
~
A
1
(.), ...,
~
A
n
(.) und
~
f (x) = ~
f (x
|~A
1
, ..., ~
A
n
),
(3.41)
dann sind ~
A
1
, ..., ~
A
n
die fuzzifizierenden Funktionsparameter.
ur die Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
f (x)
(.) gilt f¨
ur festes x:
~
f (x)
(y) =
sup
a1supp( ~
A1),...,ansupp( ~
An):
f (x|a1,...,an)=y
min
~
A
1
(a
1
), ...,
~
A
n
(a
n
)
y V.
(3.42)
ur Analysen wichtig sind die (scharfen) -Niveaukurven f
(.), also die -Komponenten
der fuzzifizierenden Funktion, die definiert sind durch:
y = f
(x) :
~
f (x)
(y) =
(3.43)
Wenn scharfe Zahlen auf unscharfe Zahlen oder auf unscharfe Intervalle abgebildet
werden, erh¨
alt man zwei Funktionen f
(.) und f
(.) mit f
(x)
f
(x)
x U f¨ur
(0, 1) und im Fall eines unimodalen unscharfen Bildes f¨ur alle x U eine Funktion
f
1
(x) = f
1
(x) = f
1
(x)
x U f¨ur = 1.
16
s F¨
ur die -Niveaukurven der durch
fuzzifizierende Parameter charakterisierten unscharfen Funktion ~
f (.) = ~
f (.
|~A
1
, ..., ~
A
n
)
erh¨
alt man f¨
ur x
U:
f
(x) = f
(x
|~A
1
, ..., ~
A
n
) =
inf
a
1
A
1
,...,a
n
A
n
f (x
|a
1
, ..., a
n
)
f
(x) = f
(x
|~A
1
, ..., ~
A
n
) =
sup
a
1
A
1
,...,a
n
A
n
f (x
|a
1
, ..., a
n
)
(3.44)
ur die strikten -Schnitte erh¨
alt man f¨
ur
[0, 1) f¨ur x U:
f(x)
>
= f
>
(x) = f
>
(x
|~A
1
, ..., ~
A
n
) = f(x
|A
1
>
, ..., A
n
>
)
= f (x
|a
1
, ..., a
n
) a
1
A
1
>
, ..., a
n
A
n
>
(3.45)
und im Fall, dass f (.) stetig ist, auch f¨
ur die -Schnitte f¨
ur
(0, 1] f¨ur x U:
f(x)
= f
(x) = f
(x
|~A
1
, ..., ~
A
n
) = f(x
|A
1
, ..., A
n
)
= f (x
|a
1
, ..., a
n
) a
1
A
1
, ..., a
n
A
n
(3.46)
Bemerkung: Fuzzifizierende Funktionen k¨
onnen auch auf unscharfe Argumente ~
X an-
gewendet werden. Man erh¨
alt dann die Fuzzy-Extension der fuzzifizierenden Funktion.
Den dritten Typ von unscharfen Funktionen stellen unscharfe Funktionenscharen
dar. Bezeichnet man mit V
U
:=
{f(.)|f : U V} die Menge aller klassischen Funktio-
nen von U nach V, so kann eine Fuzzy-Schar von Funktionen, die mit
~~
f (.) bezeichnet
16
Bei M¨
oller / Beer (2004), S. 45, wird diese Funktion als Trendfunktion bezeichnet.

26
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
werden soll, als unscharfe Menge ¨
uber V
U
interpretiert werden.
~~
f (.)
F(V
U
) hat die
Zugeh¨
origkeitsfunktion
~~
f (.)
:
V
U
[0, 1]
f (.)
~~
f (.)
(f (.)),
(3.47)
wobei
x U:
~~
f (.)
(f (.)) (x) :=
~~
f (x)
(f (x))
(3.48)
Die einzelnen Funktionen innerhalb der Fuzzy-Schar, auch Trajektorien gennannt,
17
onnen entweder unterschiedliche Funktionstypen sein oder durch unscharfe Funktions-
parameter gegeben sein. Wird eine unscharfe Funktionenschar aufgrund ihrer unschar-
fen Funktionsparameter ~
A
1
, ..., ~
A
n
definiert, so wird jede unscharfe Menge ~
A
i
als Ver-
einigung ~
A
i
=
a
i
supp( ~
A
i
)
a
i
,
~
A
i
(a
i
) , i = 1, ..., n, von Fuzzy-Singletons im Sinne von
(3.16) aufgefasst. F¨
ur jeden scharfen Vektor
a = (a
1
, ..., a
n
)
supp(~A
1
)
×...×supp(~A
n
)
ergibt sich eine scharfe Funktion f (x) = f (x
|a
1
, ..., a
n
) = f (x
|a) Daraus erh¨alt man
wiederum eine Fuzzy-Funktionenschar. Als Zugeh¨
origkeitsgrad
~~
f (.)
(f (.)) der Funktion
f (.) zur Schar
~~
f (.) =
~~
f (.
|~A
1
, ..., ~
A
n
) wird der des Vektors
a zum Cartesischen Produkt
~
A
1
... ~A
n
der unscharfen Parameter definiert:
~~
f (.)
(f (.)) =
~~
f (.
| ~
A
1
,..., ~
A
n
)
(f (.
|a))
:=
~
A
1
... ~
A
n
(a
1
, ..., a
n
) = min
~
A
1
(a
1
), ...,
~
A
n
(a
n
)
(3.49)
In Fuzzy-Scharen von Funktionen kann f¨
ur f (.), g(.)
supp(
~~
f (.))
V
U
ur x
U gelten
f (x) = g(x), aber
~~
f (.)
(f (.)) =
~~
f (.)
(g(.)). Gem¨
aß (3.42) kann man aus der unscharfen
Funktionenschar
~~
f (.) die von der Funktionenschar induzierte fuzzifizierende Funktion
~
f (.) ableiten:
~
f (x)
(y) :=
sup
f (.)supp(
~
~
f (.)):
f (x)=y
~~
f
(f )
y V
(3.50)
bzw., wenn die Fuzzy-Schar aufgrund unscharfer Parameter definiert wurde:
~
f (x)
(y) :=
sup
a
supp( ~
A1...otimes ~
An):
f (x|
a
)=y
~~
f (x
| ~
A
1
,..., ~
A
n
)
(f (x
|a))
=
sup
a1supp( ~
A1),...,ansupp( ~
An):
f (x|a1,...,an)=y
min
~
A
1
(a
1
), ...,
~
A
n
(a
n
)
y V
(3.51)
ur die von der Fuzzy-Funktionenschar
~~
f (.) induzierte fuzzifizierende Funktion ~
f (.)
onnen wiederum die -Niveaukurven f
(.) und f
(.),
(0, 1] von ~
f (.) bestimmt
werden durch:
f
(x) =
inf
f
supp(
~~
f ):
~~
f (f )
f (x)
f
(x) =
sup
f
supp(
~~
f ):
~~
f (f )
f (x)
(3.52)
Der folgende Satz stellt eine wichtige Vereinfachung bei der Formulierung der -
Niveaukurven von stetigen monotonen Funktionen dar.
17
Vgl. M¨
oller / Beer (2004), S. 43.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
27
Satz: Ist f : IR
IR, x f(x) eine reelle stetige und monontone Funktion, und ist
f :
F(IR) F(IR), ~A f (~A) die Fuzzy-Extension von f(.), dann gilt
f (co ~
A) = co f ( ~
A)
(3.53)
Beweis: Es ist zu zeigen, dass f¨
ur A
= [a
, a
] gilt
f (co A
) = co f (A
), d.h.
f ([a
, a
])
{[f(a
), f (a
)], [f (a
), f (a
)]
}.
Aus der Monotonie von f (.) folgt entweder (monoton wachsend)
f (a
) = f (inf
a
A
a) = inf
f (a)
f (A
)
f (a) = f (a)
und
f (a
) = f (sup
a
A
a) = sup
f (a)
f (A
)
f (a) = f (a)
oder (monoton fallend)
f (a
) = f (inf
a
A
a) = sup
f (a)
f (A
)
f (a) = f (a)
und
f (a
) = f (sup
a
A
a) = inf
f (a)
f (A
)
f (a) = f (a)
.
Die Stetigkeit von f (.) auf [a
, a
] besagt schließlich, dass
x
0
[a
, a
] lim
x
x
0
f (x)
existiert und lim
x
x
0
f (x) = f (x
0
). Es gibt also keine Sprungstellen in der Funktion
auf dem Intervall [a
, a
].
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Folgerung: Zu einer Funktion f (.
|a) : IR IR mit Funktionsparameter a IR be-
zeichne ~
f (.
|~A) die entsprechende fuzzifizierende Funktion bei Vorliegen eines unscharfen
Parameters ~
A
F(IR). Ist f(x|.) bei fixem x IR in a auf IR stetig und monoton, so
gilt:
~
f (x
|co ~A) = co ~
f (x
|~A),
(3.54)
bzw.
f
(x
|~A) =
f (x
|a
) falls f monoton wachsend
f (x
|a
) falls f monoton fallend
f
(x
|~A) =
f (x
|a
) falls f monoton wachsend
f (x
|a
) falls f monoton fallend
(3.55)
und
~
f (x
|co ~A)
=
[f (x
|a
), f (x
|a
)] falls f monoton wachsend
[f (x
|a
), f (x
|a
)] falls f monoton fallend .
(3.56)
Beweis: Die Aussage ergibt sich, wenn man x
IR als fix annimmt und den Satz (3.53)
auf die Funktion f
x
: IR
IR, a f
x
(a) := f (x
|a) bzw. deren Fuzzy-Extension
f :
F(IR) F(IR), ~A f
x
( ~
A) = f (x
|~A) anwendet.
Eine unscharfe Funktion ~
f : T
U; t ~A
t
:= ~
f (t), deren Definionsmenge T die
Zeitachse [0,
) oder eine Folge von diskreten Zeitpunkten {t
0
, t
1
, ...
} ist, wird auch
als unscharfer Prozess
18
oder als (normale) dynamische Fuzzy-Menge
19
bezeichnet.
Sollen von unscharfen Funktionen Ableitung und Stammfunktion gebildet werden,
so erweist sich diese Aufgabe bei Fuzzy-Extensionen als unproblematisch, da die Funk-
tion selbst nicht unscharf ist, sondern nur auf unscharfe Argumente angewendet wird.
18
Vgl. M¨
oller / Beer (2004), S. 43.
19
Vgl. Viertl / Hareter (2004b), S. 51.

28
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Liegt eine Fuzzy-Funktionenschar mit unterschiedlichen Funktionstypen oder mit
als Vereinigung von Fuzzy-Singletons aufgefassten unscharfen Parametern vor, so muss
ur jede Funktion aus der Schar Ableitung bzw. Stammfunktion gebildet werden. Als
Zugeh¨
origkeitsgrad der Ableitung bzw. Stammfunktion einer Funktion zur Fuzzy-Schar
der Ableitungen bzw. Stammfunktionen wird der Zugeh¨
origkeitsgrad der urspr¨
ungli-
chen Funktion zur urspr¨
unglichen unscharfen Funktionenschar gew¨
ahlt.
20
Somit gilt
~~
f (.) =
d
~~
f
dx
(.) = (f (.),
~~
f (.)
(f (.))
|
~~
f (.)
(f (.)) =
~~
f (.)
(f (.))
=
df
dx
(.),
d
~
~
f
dx
(.)
(
df
dx
(.))
d
~
~
f
dx
(.)
(
df
dx
(.)) =
~~
f (.)
(f (.))
(3.57)
und
~
~
F (.) = (F (.),
~
~
F (.)
(F (.))
|
~
~
F (.)
(F (.)) =
~~
f (.)
(f (.))
(3.58)
mit
~
~
F (x) =
~~
f (x)dx
=
f (x)dx,
~~
f (x)dx
( f (x)dx)
~~
f (x)dx
( f (x)dx) =
~~
f (.)
(f (.))
(3.59)
ur x
IR.
ur die Differentiation und Integration von fuzzifizierenden Funktionen mit fuzzi-
fizierenden Paramtern ist es zweckm¨
aßig, diese als Fuzzy-Schar im Sinne von (3.49) zu
interpretieren und die Fuzzy-Schar nach (3.57) bzw. (3.58) zu differenzieren bzw. zu in-
tegrieren. Aus der so erhaltenen Fuzzy-Schar von Ableitungen bzw. Stammfunktionen
kann wiederum nach (3.51) die induzierte fuzzifizierende Ableitungs- bzw. Stammfunk-
tion gebildet werden.
Das bestimmte Integral einer fuzzifizierenden Funktion ¨
uber einen scharfen Bereich
b
a
~
f (x)dx, a, b
IR, kann dann durch Integration der zugh¨origen Fuzzy-Schar
~~
f (.) nach
(3.59) und
b
a
~
f (x)dx
(c) =
sup
f (.)
supp(
~~
f (.)):
b
a
f (x)dx=F (b)
-F (a)=c
min
~~
f (.)
(f (.))
(3.60)
bestimmt werden. Insbesondere im Fall konvexer unscharfer Funktionswerte der fuzzi-
fizierenden Funktion, k¨
onnen die -Komponenten
b
a
f (x)dx
und
b
a
f (x)dx
des
unscharfen bestimmten Integrals
b
a
~
f (x)dx durch Integration der -Niveaukurven f
(.)
und f
(.) von ~
f (.)
b
a
f (x)dx
=
b
a
f
(x)dx
b
a
f (x)dx
=
b
a
f
(x)dx
(3.61)
bestimmt werden. Letztere Vorgehensweise ist m¨
oglich aufgrund der Monotonie des
bestimmten Integrals.
21
20
Zur Differenzierbarkeit von fuzzifizierenden Funktionen siehe auch Rodr´iguez-Mu~
niz (2002), S.
104 ff.
21
Vgl. auch Viertl / Hareter (2006), S. 40 f. Weitere Aspekte zum Riemann-Integral von unscharfen
Funktionen behandelt Wu (1998), S. 115 ff.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
29
3.2.4
Reelle Fuzzy-Mengen-R¨
aume und topologische
Eigenschaften
Im Anschluss sollen einige wichtige Teilmengen von
F(IR) definiert und in Bezug auf
topologische Eigenschaften untersucht werden.
22
Definition: Ist
F(IR) die Menge aller Fuzzy-Mengen ¨uber IR, dann k¨onnen folgende
Teilmengen von
F(IR) definiert werden:
(i)
F
c
(IR) :=
~
A
F(IR) x
1
, x
2
IR, [0, 1]
~
A
(x
1
+ (1
- )x
2
)
min{
~
A
(x
1
),
~
A
(x
2
)
}
(3.62)
ist die Menge aller konvexen Fuzzy-Mengen ¨
uber IR.
(ii)
F
b
(IR) :=
~
A
F(IR) card(supp(~A)) =
-
1
supp( ~
A)
(x)dx <
=
~
A
F(IR)|a
0
>
- a
0
<
(3.63)
ist die Menge aller Fuzzy-Mengen ¨
uber IR mit beschr¨
anktem Tr¨
ager.
(iii)
F
cb
(IR) :=
~
A
F(IR)|(~A F
c
(IR))
(~A F
b
(IR)) =
F
c
(IR)
F
b
(IR)
(3.64)
ist die Menge aller konvexen Fuzzy-Mengen ¨
uber IR mit beschr¨
anktem Tr¨
ager.
(iv)
F
cc
(IR) :=
~
A
F(IR)|~B
1
, ..., ~
B
n
F
c
(IR) : ~
A =
n
i=1
~
B
i
(3.65)
ist die Menge aller Fuzzy-Mengen ¨
uber IR, die sich als endliche Vereinigung von
konvexen Fuzzy-Mengen ¨
uber IR darstellen l¨
asst.
(v)
F
ccb
(IR) :=
F
cc
(IR)
F
b
(IR)
(3.66)
ist die Menge aller Fuzzy-Mengen ¨
uber IR mit beschr¨
anktem Tr¨
ager, die sich als
endliche Vereinigung von konvexen Fuzzy-Mengen ¨
uber IR darstellen l¨
asst.
Es gilt f¨
ur ~
A
F(IR):
(co ~
A)
= co A
.
(3.67)
Beweis: 1
(co ~
A)
(x) =
1 falls
co ~
A
(x)
0 falls
co ~
A
(x) <
=
1 falls sup
· 1
co A
(x)
| (0, 1]
0 falls sup
· 1
co A
(x)
| (0, 1] <
= 1
co A
(x)
22
Diese topologischen Eigenschaften werden bei Kruse-Meyer (1987), S. 50 ff., und Diamond (1988),
S. 142 ff., beschrieben. Weiterentwicklungen und Modifikationen finden sich unter anderem bei Chaud-
huri / Rosenfeld (1999), S. 159 ff., Grzegorzewski (1998), S. 84 ff.

30
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Um topologische Eigenschaften auf
F(IR) angeben zu k¨onnen, wird zun¨achst eine
Pseudometrik
23
auf
P(IR) eingef¨uhrt.
24
Satz: Ist A
IR, B IR, A = , B = ,
(i) dann ist die Abbildung
d
H
: (
P(IR))
2
IR
+
0
(A, B)
d
H
(A, B) := max sup
a
A
inf
b
B
|a - b|, sup
b
B
inf
a
A
|a - b|
(3.68)
eine Pseudometrik auf
P(IR). (P(IR), d
H
(.)) ist also ein pseudometrischer Raum.
|x - y| bezeichnet dabei die gew¨ohnliche Distanzbetragsfunktion auf IR.
(ii) Sind A und B speziell kompakte Intervalle auf IR, dann gilt:
d
H
(A, B) = 0
A = B
d
H
(.) ist also eine Metrik
25
auf
I
k
(IR), wenn mit
I
k
(IR) die Menge aller kompakten
Intervalle auf IR bezeichnet wird. (
I
k
(IR), d
H
(.)) ist also ein metrischer Raum.
Definition: Die in (3.68) beschriebene Pseudometrik heißt Haussdorff-Distanz oder
Hausdorff-Pseudometrik.
Beruhend auf der Hausdorff-Distanz (3.68) k¨
onen eine Metrik auf
F
b
(IR) und eine
Pseudometrik auf
F(IR) definiert werden:
Satz: Ist ~
A, ~
B
F
b
(IR) mit den -Schnitten A
, B
P(IR), (0, 1], dann ist die
Abbildung
d
1
: (
F
b
(IR))
2
IR
+
0
( ~
A, ~
B)
d
1
( ~
A, ~
B) :=
1
0
d
H
(A
, B
)d
(3.69)
eine Metrik auf
F
b
(IR), wobei d
H
(A, B) die Hausdorff-Distanz (3.68) auf
P(IR) ist.
Somit ist (
F
b
(IR), d
1
(.)) ein metrischer Raum.
Satz: Ist ~
A, ~
B
F(IR) mit den -Schnitten A
, B
P(IR) und den strikten -
Schnitten A
>
, B
>
P(IR), (0, 1], dann ist Abbildung
d
: (
F(IR))
2
IR
+
0
( ~
A, ~
B)
d
( ~
A, ~
B) := max
sup
(0,1]
d
H
(A
, B
), sup
[0,1)
d
H
(A
>
, B
>
)
(3.70)
23
Eine Pseudometrik auf einer Menge U ist eine Abbildung d : U × U IR
+
0
, (x, y)
d(x, y) mit
den Eigenschaften:
(i)
d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
(ii)
d(x, y) = d(y, x)
(iii)
d(x, y) 0, d(x, x) = 0
Das Paar (U, d(.)) heißt dann pseudometrischer Raum.
24
Vgl. Kruse-Meyer (1987), S. 50
25
Eine Metrik auf einer Menge U ist eine Abbildung d : U × U IR
+
0
, (x, y)
d(x, y) mit den
Eigenschaften:
(i)
d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
(ii)
d(x, y) = d(y, x)
(iii)
d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y
Das Paar (U, d(.)) heißt dann metrischer Raum.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
31
eine Pseudometrik auf
F(IR), wobei d
H
(A, B) die Hausdorff-Distanz (3.68) auf
P(IR)
ist. Somit ist (
F(IR), d
(.)) ein pseudometrischer Raum.
Die G¨
ultigkeit der beiden vorhergehenden S¨
atze wird bei Kruse / Meyer
26
gezeigt.
d
1
(.) und d
(.) sind keine Metriken auf
F(IR). Der metrische Raum F(IR)) hat die
angenehme Eigenschaft, dass er separabel
27
ist, was bei Kruse / Meyer (1987)
28
nachge-
wiesen wird. Die R¨
aume (
F
b
(IR), d
), (
F
cb
(IR), d
(.)) und (
F
ccb
(IR), d
(.)) sind nicht
separabel.
Die wichtigsten Konvergenzbegriffe in R¨
aumen von Fuzzy-Mengen werden in Ab-
schnitt 3.2.5 im Anschluss an die Erkl¨
arung der Grundbegriffe des Rechnens mit Fuzzy-
Mengen vorgestellt.
Eine spezielle Distanzfunktion, um die Distanz von unscharfen Mengen auf diskreten
Teiluniversen von IR, d.h. etwa auf IN, ZZ oder I
Q, von unscharfen reellen Fuzzy-Mengen
angeben zu k¨
onnen, formulieren Niculescu / Viertl.
29
Definition: Sind U
IR eine abz¨ahlbare Teilmenge von IR, ~A F(U) eine Fuzzy-
Menge auf U, und ~
B
F(IR) eine reelle Fuzzy-Menge, dann ist die Distanz d
V
( ~
A, ~
B)
definiert durch:
d
V
( ~
A, ~
B) := max
max
(0,1]:x:a0xa1
~
A
(x)=
|a
- b
| ,
max
(0,1]:x:a1xa0
~
A
(x)=
a
- b
.
(3.71)
Bei der Distanz d
V
(.) werden also die Tr¨
agerelemente x
supp(~A) nur einmal be-
trachtet, und zwar mit demjenigen , welches auch tats¨
achlich als Zugeh¨
origkeitsgrad
~
A
(x) = angenommen wird. Bei der Distanz d
(.) werden die x
supp(~A) auch mit
denjenigen
(0, 1] als relevant in Betracht gezogen, f¨ur welche gilt:
~
A
(x) > und
x
A
, < . Es ist einsichtig, dass die folgende Beziehung gilt:
d
V
( ~
A, ~
B)
d
( ~
A, ~
B),
denn d
( ~
A, ~
B) = max
{ sup
(0,1]
d
H
(A
, B
), sup
[0,1)
d
H
(A
>
, B
>
)
} sup
(0,1]
d
H
(A
, B
) =
max
{ sup
(0,1]:xsupp( ~
A):
~
A
(x)=
d
H
(A
, B
), sup
(0,1]:xsupp( ~
A):
~
A
(x)=
d
H
(A
, B
)
}
max
(0,1]:xsupp( ~
A):
~
A
(x)=
d
H
(A
, B
) = d
V
( ~
A, ~
B).
Problematisch wird das Arbeiten mit dieser Distanzfunktion, wenn damit der Abstand
zwischen zwei diskreten Fuzzy-Mengen ~
A und ~
B gemessen werden soll, f¨
ur die f¨
ur einige
x
supp(~A) mit
~
A
(x) = gilt:
y supp(~B) :
~
B
(y) = und umgekehrt. In diesem
Fall muss auf die Pseudometrik d
(.) zur¨
uckgegriffen werden.
26
Vgl. Kruse / Meyer (1987), S. 53 f.
27
Ein Raum (U, d(.)) heißt separabel, wenn er eine abz¨ahlbare in U dichte Teilmenge A enth¨alt,
d.h. f¨
ur den Abschluss von A von A muss gelten: A = U, wobei der Abschluss A die Menge aller
Ber¨
uhrungspunkte von A ist, also die Menge aller Punkte x
U, f¨ur die jede Umgebung wenigstens
einen Punkt von A enth¨
alt.
28
Vgl. Kruse / Meyer (1987), S. 55 ff.
29
Vgl. Niculescu / Viertl (1992b), S. 169, Viertl (1996), S. 96.

32
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
3.2.5
Folgen und Reihe von Fuzzy-Mengen, Konvergenzbe-
griffe f¨
ur Fuzzy-Mengen
Die einfachste M¨
oglichkeit zur Definition eines Konvergenzbegriffes auf
F(IR) besteht
in der Einf¨
uhrung des Begriffs der Folge von unscharfen Zahlen. Weitere Konvergenzbe-
griffe werden aufgrund der in Abschnitt 3.2.4 vorgestellten topologischen Eigenschaften
von Fuzzy-Mengen-R¨
aumen definiert.
Eine Folge von unscharfen Zahlen ( ~
A
n
)
n
IN
, ~
A
n
F
cb
(IR)
n IN, ist definiert
durch die Zugeh¨
origkeitsfunktionen
~
A
n
(.))
n
IN
bzw. die -Schnitte (A
n
)
n
IN(0,1]
=
([a
, a
])
n
IN(0,1]
Eine Folge von unscharfen Zahlen ( ~
A
n
)
n
IN
konvergiert, wenn
lim
n
~
A
n
, man setzt
~
A := lim
n
~
A
n
und
~
A
(x) =
lim
n
~
A
n
(x) = lim
n
~
A
n
(x)
x IR.
(3.72)
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Folgen aller -Schnitte konvergieren, und d.h.
wenn die Folgen ihrer oberen und unteren Intervallgrenzen konvergieren:
A
= lim
n
A
n
=
lim
n
a
n
, lim
n
a
n
= [a
, a
]
(0, 1]
In der Analysis ist eine Reihe als die Folge der Partialsummen einer Folge definiert.
Im unscharfen Fall ist die Vorgangsweise analog. F¨
ur eine Folge von unscharfen Zahlen
( ~
A
n
)
n
IN
mit den Zugeh¨
origkeitsfunktionen
~
A
n
(.)
n
IN
lautet die n-te Partialsumme
~
S
n
:=
n
=1
~
A
= ~
A
1
... ~A
n
,
(3.73)
mit Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
S
n
(y) =
~
A
1
... ~
A
n
(y) =
sup
x
1
+...+x
n
=y
min
~
A
1
(x
1
), ...,
~
A
n
(x
n
)
y IR, (x
1
, ..., x
n
)
supp(~A
1
)
× ... × supp(~A
n
), und -Schnitten
S
n
=
n
=1
A
= A
1
... A
n
=
n
=1
a
,
n
=1
a
.
Die entsprechende Reihe von unscharfen Zahlen ist dann
~
S
n
n
IN
:=
n
=1
~
A
n
IN
=
n=1
~
A
n
(3.74)
Die Reihe
n=1
~
A
n
heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen
~
S
n
n
IN
konvergiert, und
lim
n
~
S
n
= lim
n
n
=1
~
A
n
IN
=
n=1
~
A
n
=: ~
S
(3.75)

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
33
heißt der unscharfe Wert der Reihe. Dabei ist
~
S
(y) =
lim
n
~
S
n
(y) = lim
n
~
S
n
(y)
y IR
und S
= lim
n
S
n
=
lim
n
n
=1
a
, lim
n
n
=1
a
=
n=1
a
n
,
n=1
a
n
(0, 1].
Bemerkung: Man beachte (analog zur Bezeichnung in der klassischen Analysis die
zweifache Bedeutung der Schreibweise
n=1
~
A
n
: Einerseits wird damit die unscharfe
Reihe selbst, d.h. die unendliche Folge der unscharfen Partialsummen, und andererseits
der unscharfe Wert der Reihe, also der unscharfe Grenzwert der Folge der unscharfen
Partialsummen, sofern er existiert, bezeichnet.
Neben diesem allgemeinen Konvergenzbegriff werden f¨
ur die Formulierung der un-
scharfen Versionen von wichtigen Konvergenztheoremen der Statistik in Abschnitt 5.2
weitere Konvergenzbegriffe ben¨
otigt.
30
In Abschnitt 3.2.4 wurden bereits die Metriken
und Pseudometriken d
H
(.) (3.68), d
1
(.) (3.69) und d
(.) (3.70) eingef¨
uhrt.
Definition: Ist ( ~
A
n
)
n
IN
, ~
A
n
F(IR) n IN, eine Folge von unscharfen Mengen, und
ist ~
A
F(IR), dann k¨onnen die folgenden Konvergenzbegriffe eingef¨uhrt werden:
(i) Die Hausdorff-Konvergenz bez¨
uglich d
(.) ist definiert durch:
( ~
A
n
)
n
IN
d
- ~A : lim
n
d
( ~
A
n
, ~
A) = 0
(3.76)
(ii) Die Hausdorff-Konvergenz bez¨
uglich d
1
(.) ist definiert durch:
( ~
A
n
)
n
IN
d
1
- ~A : lim
n
d
1
( ~
A
n
, ~
A) = 0
(3.77)
(iii) Die Hausdorff-Konvergenz bez¨
uglich d
H
(.) und I
Q ist definiert durch:
( ~
A
n
)
n
IN
d
H
, I
Q
- ~A : lim
n
d
H
(A
n
>
, A)
>
) = 0
[0, 1) IQ
(3.78)
ur fuzzifizierende Funktionen kann der Begriff der uniformen Hausdorff-Konvergenz
bez¨
uglich d
H
(.) und I
Q definiert werden:
31
Definition: Ist U
IR, und ist ( ~
f
n
(.))
n
IN
eine Folge von fuzzifizierenden Funktionen
~
f
n
: U
F(IR) n IN und ~
f (.) eine fuzzifizierende Funktion ~
f : U
F(IR), dann
ist die uniforme Konvergenz bez¨
uglich d
H
(.) und I
Q definiert durch:
~
f
n
(.)
n
IN
d
H
, I
Q
- ~
f (.) :
lim
n
sup
x
U
d
H
((f
n
(x))
>
, (f (x))
>
) = 0
[0, 1) IQ (3.79)
In der Literatur werden noch weitere Konvergenzbegriife f¨
ur Fuzzy-Mengen pr¨
asentiert,
auf die hier aber nicht mehr eingegangen werden soll.
32
30
Die Darstellung st¨
utzt sich vor allem auf Kruse / Meyer (1987), S. 58 ff.
31
Vgl. Kruse / Meyer (1987), S. 61.
32
Vgl. etwa Savas (2001), S. 277 ff.

34
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
3.2.6
Ordnungsrelationen und Rangordnungsverfahren f¨
ur
Fuzzy-Mengen
ahrend zwischen gew¨
ohnlichen, scharfen Zahlen durch eine Ordnungsrelation ">"
immer festgelegt ist, welche die gr¨
oßere von zweien bzw. die gr¨
oßte von mehreren Zahlen
ist, ist eine solche Aussage f¨
ur Fuzzy-Zahlen bzw. Fuzzy-Mengen im Allgemeinen nicht
oglich. Eine eindeutige Rangordnung zwischen zwei Fuzzy-Mengen ~
A und ~
B auf
F(IR)
besteht nur in dem Ausnahmefall, dass ~
A > ~
B
inf supp(~A) > sup supp(~B). Da aber
ur bestimmte Anwendungen doch eine Aussage ¨
uber die Gr¨
oßenrelation von Fuzzy-
Mengen gemacht werden muss, wurden verschiedene Ans¨
atze f¨
ur die Festlegung von
Ordnungsrelationen und Rangordnungsverfahren von Fuzzy-Mengen fomuliert.
33
Die Ans¨
atze lassen sich im wesentlichen in zwei Gruppen einteilen: die einen ver-
suchen, eine unscharfe Erweiterung der Relation ">" zu einer Fuzzy-Relation " ~
>" zu
finden, w¨
ahrend die anderen zuerst Defuzzifikationsverfahren auf die Fuzzy-Mengen an-
wenden und anschließend die gew¨
ohnliche Relation ">" auf die defuzzifizierten Werte
anwenden.
Geht man vom einfachsten Fall aus, dass nur zwei reelle Fuzzy-Mengen miteinander
verglichen werden sollen, so kann dies mit Hilfe einer bin¨
aren Fuzzy-Relation erfolgen.
Eine scharfe bin¨
are Relation R auf U
× V, mit U, V IR, die eine Beziehung xRy
zwischen zwei scharfen Zahlen x
U, y V wiedergibt, ist definiert als eine Teil-
menge R
U × V, gegeben durch die Indikatorfunktion 1
R
(x, y) =
1 f¨
ur xRy
0 sonst
.
Eine Verallgemeinerung zur Fuzzy-Relation ~
R ist m¨
oglich durch die Annahme einer
graduellen Zugeh¨
origkeit
~
R
(x, y)
[0, 1] zu ~
R im Sinne von (3.2),
34
d.h.
~
R =
{((x, y),
~
R
(x, y))
| (x, y) U × V} ,
~
R
(x, y)
[0, 1].
Auf den allgemeinen n-dimensionalen Fall kann der Begriff der Fuzzy-Relation ebenfalls
erweitert werden. Jede n-dimensionale Fuzzy-Menge auf einem n-dimensionaler Uni-
versum U
1
× ... × U
n
kann als n dimensionale Fuzzy-Relation ~
R angesehen werden:
35
~
R =
{((x
1
, ..., x
n
),
~
R
(x
1
, ..., x
n
))
| (x
1
, ..., x
n
)
U
1
× ... × U
n
} ,
~
R
(x
1
, ..., x
n
)
[0, 1]
Bei der Definition einer unscharfen Ordnungsrelation muss zus¨
atzlich in Betracht gezo-
gen werden, dass die Fuzzy-Relation nicht auf einem Universum von scharfen Elementen
U
1
×...×U
n
, sondern auf einem Universum von Fuzzy-Mengen (
F(U))
n
(F(IR))
n
de-
finiert werden muss. Es liegt nahe, die Zugeh¨
origkeitsfunktionen der zu vergleichenden
Fuzzy-Mengen ~
A
1
, ..., ~
A
n
bei der Bestimmung der Zugeh¨
origkeitsfunktion der Fuzzy-
Relation zu ber¨
ucksichtigen. Eine allgemein anerkannte einheitliche Methode zur Be-
stimmung einer solchen Fuzzy-Relation gibt es bisher nicht, anstatt dessen wurden
zahlreiche Vorschl¨
age entwickelt.
33
Eine ausf¨
uhrliche Zusammenstellung verschiedener Ans¨
atze findet sich bei Rommelfanger (1994),
S. 72 ff. Weitere ¨
Ubersichten ¨
uber weitere Verfahren bringen Lubiano / Gil (2002), S. 45 f., Wagner
(2003), S. 68 ff.
34
Vgl. Zadeh (1971), S. 421 ff., Zadeh (1975a), S. 2 ff., Bandemer / N¨
ather (1992), S. 64 f., Kruse
/ Gebhardt / Klawonn (1993), S. 48 ff., Bandemer / Gottwald (1993), S. 34 f., Comploj (1994), S. 49
ff. und S. 65 ff., Comploj (2002), S. 60.
35
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 67.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
35
Eine erste M¨
oglichkeit zur Definition einer Ordnungsrelation auf (
F(U))
2
(F(IR))
2
bietet sich ¨
uber die -Pr¨
aferenz
36
~
A
~
B
inf A
sup B
[, 1] bzw.
~
( ~
A, ~
B) = ,
und die strikte -Pr¨
aferenz bzw.
~
A >
~
B
inf A
> sup B
(, 1] bzw.
~
>
( ~
A, ~
B) = .
Diese beiden Relationen stellen Verallgemeinerungen des oben angef¨
uhrten Spezialfalls
dar, dieser kann n¨
amlich insbesondere dann auch als ~
A >
=0
~
B geschrieben werden. Die
Ordnungsrelationen der -Pr¨
aferenz sind zwar allgemeiner anwendbar als der Spezial-
fall, in sehr vielen F¨
allen f¨
uhren sie aber ebenfalls nicht zu einem Vergleich zwischen
zwei Fuzzy-Mengen.
Eine Rangfolge zwischen n reellen Fuzzy-Mengen ~
A
1
, ..., ~
A
n
auf Basis der -Pr¨
afe-
renz kann dann schrittweise bestimmt werden. Zuerst muss durch paarweisen Vergleich
der ~
A
i
, ~
A
j
, (i, j)
{1, ..., n}
2
, i = j, f¨
ur jedes Paar entweder (i, j) =
~
( ~
A
i
, ~
A
j
)
oder (j, i) =
~
( ~
A
j
, ~
A
i
) festgelegt werden, sofern ein solcher Wert existiert. Unter
Ausnutzung der min-Transitivit¨
at von
37
onnen diejenigen Fuzzy-Mengen, f¨
ur wel-
che der paarweise Vergleich zu einem -Wert f¨
uhrt, leicht in eine Rangfolge gebracht
werden.
Die -Pr¨
aferenz ~
A
~
B versucht den Nachteil der -Transitivit¨
at, dass f¨
ur viele
Paare von Fuzzy-Mengen kein Vergleich zustande kommt, auszugleichen. Sie ist defi-
niert durch
38
~
A
~
B
(inf A
inf B
)
(sup A
sup B
)
[, 1] bzw.
~
( ~
A, ~
B) = .
Wiederum ist eine Verallgemeinerung f¨
ur den Vergleich von n reellen Fuzzy-Mengen
oglich.
Sofern es nicht darauf ankommt, Fuzzy-Mengen miteinander zu vergleichen, sondern
das m¨
ogliche Maximum oder Minimum zu erreichen, so kann der Ansatz des Fuzzy-
Maximum bzw. Fuzzy-Minimum, der auf der ¨
Aquivalenz der beiden Aussagen a > b
max
{a, b} = a beruht, herangezogen werden. Fuzzy-Maximum bzw. Fuzzy-Minimum
von Fuzzy-Zahlen oder Fuzzy-Intervallen, also konvexen Fuzzy-Mengen auf IR sind,
wie folgt, definiert:
39
Sind ~
A und ~
B zwei Fuzzy-Intervalle auf
F(IR), gegeben durch
A
= [a
, a
] und B
= [b
, b
] f¨
ur
(0, 1], dann gilt:
max
{~A, ~B} :
max
{~A, ~B}
:= [max
{a
, b
}, max{a
, b
}]
min
{~A, ~B} :
min
{~A, ~B}
:= [min
{a
, b
}, min{a
, b
}].
(3.80)
36
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 74 f.
37
Unter der min-Transitivit¨
at einer Fuzzy-Relation wird die folgende Eigenschaft verstanden:
min
{
~
R
(i, j),
~
R
(j, k)
}
~
R
(i, k) (vgl. Bandemer / N¨
ather (1992), S. 65, Comploj (1994), S. 66).
Diese Eigenschaft l¨
asst sich f¨
ur die -Pr¨
aferenz sehr leicht nachweisen.
38
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 76 f.
39
Vgl. etwa Viertl / Hareter (2006), S. 64 f.

36
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Das Fuzzy-Maximum oder Fuzzy-Minimum ist aber nur in den seltensten F¨
allen iden-
tisch mit einer der zu vergleichenden Fuzzy-Mengen, n¨
amlich nur dann wenn ~
A
=0
~
B
ist (oder umgekehrt).
Wichtig f¨
ur die weitere Vorgangsweise in der Arbeit (vgl. vor allem Abschnitt 7.2) ist
eine allgemeine Definition des Fuzzy-Minimum bzw. Fuzzy-Maximum, wobei nicht nur
von zwei Fuzzy-Mengen, sondern von einer endlichen oder unendlichen, abz¨
ahlbaren
oder ¨
uberabz¨
ahlbaren Menge von konvexen reellen Fuzzy-Mengen
{~A
i
}
i
I
, ~
A
i
F
c
(IR)
i I, ausgegangen wird, I ist dabei eine allgemeine (abz¨ahlbare oder ¨uberabz¨ahlbare)
Indexmenge. Dann gilt:
max
i
I
{~A
i
}
i
I
:
max
i
I
{~A
i
}
i
I
:= [max
i
I
a
i
, max
i
I
a
i
]
min
i
I
{~A
i
}
i
I
:
min
i
I
{~A
i
}
i
I
:= [min
i
I
a
i
, min
i
I
a
i
]
(3.81)
Ein weiterer Vorschlag zur Definition einer unscharfen Relation, welche eine un-
scharfe Ordnung auf von Fuzzy-Mengen auf einer geordneten Menge darstellt, ist der
Versuch der Anwendung des Erweiterungsprinzips auf die gew¨
ohnliche Relation ">".
Der Zugeh¨
origkeitsgrad des Fuzzy-Mengen-Paars ( ~
A, ~
B) zur Fuzzy-Relation ~
R
~
>
ist
dann im zweidimensionalen Fall definiert als
40
~
R
~
>
( ~
A, ~
B) =
sup
x
supp( ~
A),y
supp(~B):x>y
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
} ,
(3.82)
und kann auf den allgemeinen n-dimensionalen Fall f¨
ur ~
A
i
F(IR), i = 1, ..., n, erwei-
tert werden durch
41
~
R
~
>
( ~
A
i
,
{~A
j
}
j=i
) =
sup
(x1,...,xn)supp( ~
A1)×...×supp( ~
An):
j=i:xi>xj
min
~
A
1
(x
1
), ...,
~
A
n
(x
n
) .
Naheliegend ist es, die zweistellige Fuzzy-Ordnungsrelation (3.82) dahingehend zu
erweitern, dass der Zugeh¨
origkeitsgrad des Fuzzy-Mengen-Paares ( ~
A, ~
B) zur Fuzzy-
Relation ~
R
~
>
um einen Zugeh¨
origkeitsgrad zur entgegen gesetzten Fuzzy-Relation ~
R
~
erg¨
anzt wird. Man erh¨
alt somit eine Fuzzy-Ordnungsrelation ~
R
~
>
, welche als unscharfe
Gr¨
oßer-Kleinergleich-Relation bezeichnet werden soll. Diese ist gegeben durch:
~
R
~
>
( ~
A, ~
B) :=
~
R
~
>
( ~
A, ~
B), ~
R
~
( ~
A, ~
B) := ( ~
A, ~
B),
~
R
~
>
( ~
A, ~
B),
~
R
~
( ~
A, ~
B)
=
( ~
A, ~
B),
sup
xsupp( ~
A),
ysupp( ~
B):
x>y
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
} , sup
xsupp( ~
A),
ysupp( ~
B):
xy
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
}
(3.83)
Dabei findet also ein Vergleich der beiden Fuzzy-Mengen dahingehend statt, dass ~
A
sowohl unscharf gr¨
oßer als auch unscharf kleiner/gleich ~
B ist. Als Spezialfall der un-
scharfen Gr¨
oßer-Kleinergleich-Relation ~
R
~
>
( ~
A, ~
B) kann der unscharfe Vergleich einer
40
Vgl. Zadeh (1965), S. 345, Rommelfanger (1994), S. 76.
41
Vgl. Baas / Kwakernaak (1977), S. 48 ff., Rommelfanger (1994), S. 79.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
37
Fuzzy-Menge mit einer scharfen Zahl angesehen werden. Es ist:
~
R
~
>
( ~
A, y) =
~
R
~
>
( ~
A, y), ~
R
~
( ~
A, y) = ( ~
A, y),
~
R
~
>
( ~
A, y),
~
R
~
( ~
A, y)
=
( ~
A, y),
sup
xsupp( ~
A):
x>y
~
A
(x),
sup
xsupp( ~
A):
xy
~
A
(x)
(3.84)
Nat¨
urlich ist es auch m¨
oglich, umgekehrt eine unscharfe Kleiner-Gr¨
oßergleich-Relation
~
R
~
>
( ~
A, ~
B) zu definieren durch:
~
R
~
<
( ~
A, ~
B) :=
~
R
~
<
( ~
A, ~
B), ~
R
~
( ~
A, ~
B) := ( ~
A, ~
B),
~
R
~
<
( ~
A, ~
B),
~
R
~
( ~
A, ~
B)
=
( ~
A, ~
B),
sup
xsupp( ~
A),
ysupp( ~
B):
x<y
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
} , sup
xsupp( ~
A),
ysupp( ~
B):
xy
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
}
Ebenfalls mehrwertige Rangordnungen f¨
ur Paare von unscharfen Zahlen oder un-
scharfen Intervallen, welche große ¨
Ahlichkeit mit den hier vorgeschlagenen Relationen
aufweisen, werden von Dubois und Prade vorgestellt.
42
Diese Rangbeziehungen basieren
auf der von Zadeh eingef¨
uhrten M¨
oglichkeitstheorie
43
, in der die Zugeh¨
origkeitsfunkti-
on einer Fuzzy-Menge als M¨
oglichkeitdichte, d.h. als M¨
oglichkeit der Zugeh¨
origkeit zur
Fuzzy-Menge interpretiert wird, also
poss
~
A
(x) :=
~
A
(x)
x U.
Die M¨
oglichkeitstheorie ist ein Teilbereich der Fuzzy-Maß-Theorie. Als Mengenfunktion
interpretiert, also
P oss(
{x}) := poss(x) x U,
ist ein M¨
oglichkeitsmaß auf einer Grundmenge U gegeben durch die Eigenschaften:
44
(i)
P oss(
) = 0
(ii)
0
P oss(A) 1 A U (Nichtnegativit¨at)
(iii)
P oss(U) = 1 (Regularit¨
at)
(iv)
P oss (
i
I
A
i
) = sup
i
I
P oss(A
i
) (Fuzzy-Additivit¨
at)
Das zum M¨
oglichkeitsmaß P oss(.) duale Fuzzy-Maß ist gegeben durch
N ec(A) := 1
- P oss(A
C
)
A U,
wobei A
C
das Komplement U
\A von A ist, und heißt Notwendigkeitsmaß. Es hat die
Eigenschaften:
45
42
Vgl. Dubois / Prade (1983), S. 189 ff.
43
Vgl. Zadeh (1978), S. 3 ff.
44
An sich sind M¨
oglichkeits- und Notwendigkeitsmaß nur f¨
ur messbare Mengen, also Elemente einer
-Algebra
A, definiert. Der Begriff der Messbarkeit wir aber erst in Kapitel 4 eingef¨uhrt.
45
Eine ausf¨
uhrliche Beschreibung der Fuzzy-Maß-Theorie findet sich in der Monographie von Wang
/ Klir (1992), auch bei Comploj (1994), S. 74 ff., findet sich eine Zusammenfassung zu Fuzzy-Maß-
Theorie und M¨
oglichkeitstheorie.

38
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(i)
N ec(
) = 0
(ii)
0
Nec(A) 1 A U
(iii)
N ec(U) = 1
(iv)
N ec (
i
I
A
i
) = inf
i
I
N ec(A
i
)
Aus diesen Fuzzy-Maßen definieren Dubois und Prade vier Rangordnungsbegriffe
ur reelle Fuzzy-Intervalle ~
A, ~
B
F(IR):
46
(i)
oglichkeit der Dominanz:
P oss( ~
A
~B) =
sup
x
supp( ~
A),y
supp(~B):xy
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
}
(ii)
oglichkeit der strikten Dominanz:
P oss( ~
A > ~
B) =
sup
x
supp( ~
A)
inf
y
supp(~B):yx
min
{
~
A
(x), 1
-
~
B
(y)
}
(iii)
Notwendigkeit der Dominanz:
N ec( ~
A
~B) =
inf
x
supp( ~
A)
sup
y
supp(~B):yx
min
{1 -
~
A
(x),
~
B
(y)
}
(iv)
Notwendigkeit der strikten Dominanz:
N ec( ~
A > ~
B) = 1
-
sup
x
supp( ~
A),y
supp(~B):xy
min
{
~
A
(x),
~
B
(y)
}
Diese Rangrelationen werden von Dubois und Prade auch noch auf den allgemeineren
Fall von Vergleichen einer Fuzzy-Menge ~
A
i
mit den Fuzzy-Mengen ~
A
1
, ..., ~
A
i
-1
, ~
A
i+1
, ..., ~
A
n
erweitert.
47
Auf Basis der Isomorphie zwischen zuf¨
alligen Mengen und Fuzzy-Mengen
48
wur-
den von Chanas und anderen sogar acht verschiedene unscharfe Ordnungsrelationen
definiert.
49
Vorschl¨
age f¨
ur m¨
ogliche Rangordnungen zwischen unscharfen Zahlen auf Basis ih-
rer Entfernungen von vorgegebenen scharfen oder unscharfen Zahlen finden sich bei
Grzegorzewski
50
und bei Tran und anderen.
51
Ist zu zwei Fuzzy-Mengen ~
A, ~
B
F(IR)
eine reelle Fuzzy-Menge ~
L mit sup(supp(~
L))
min{inf(supp(~A)), inf(supp(~B))} gege-
ben, dann ist eine Ordnungsrelation >
~
L
gegeben durch
~
A >
~
L
~
B
d(~A, ~L) d(~B, ~L),
wobei d(.) eine Metrik im Sinne von Abschnitt 3.2.4 ist. Ebenso kann f¨ur eine reelle
Fuzzy-Menge ~
R mit inf(supp(~
L))
max{sup(supp(~A)), sup(supp(~B))} eine Ordnungs-
relation >
~
R
angegeben werden durch
~
A >
~
R
~
B
d(~A, ~R) d(~B, ~R).
Einige weitere Vorschl¨
age zur Verbesserung der vorgeschlagenen Ordnungsrelatio-
nen wurden immer wieder vorgebracht, auf welche hier nicht mehr eingegangen werden
soll.
52
46
Vgl. Dubois / Prade (1983), S. 189 ff.
47
Vgl. Dubois / Pread (1983), S. 195 ff.
48
Vgl. Abschnitt 3.3.3.
49
Vgl. Chanas / Delgado / Verdegay / Vila (1993), S. 204 ff, Chanas / Zieli´
nski (1999), S. 191 ff.
50
Vgl Grzegorzewski (1998), S. 87 ff.
51
Vgl. Tran / Duckstein (2002b), S. 331 ff., Tran / Knight et al (2002), S. 850 ff.
52
Vgl. die Zusammenfassung von Rommelfanger (1994), S. 79 ff.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
39
Die zweite Gruppe von Rangordnungsverfahren f¨
ur Fuzzy-Mengen wendet die ge-
ohnliche Ordnungsrelation ">" auf defuzzifizierte Werte von Fuzzy-Mengen an. Die
wichtigsten Defuzzifikationsverfahren werden im folgenden Abschnitt 3.2.7 besprochen.
Dennoch ist an dieser Stelle anzumerken, dass die Defuzzifikationsverfahren zwar ange-
wendet, aber nicht als solche bezeichnet werden. So wird etwa die Rangordnungsmetho-
de, welche Fuzzy-Mengen nach der Schwerpunktmethode defuzzifiziert und dann die
Schwerpunkte der Gr¨
oße nach ordnet, als "Erwartungswert"-Verfahren bezeichnet.
53
Ein anderes Verfahren, welches ebenfalls defuzzifizierte Werte betrachtet, aller-
dings eine Defuzzifikationsmethode anwendet, welche in der Literatur nicht als solche
vorgeschlagen wird, ist das -Niveau-Maximum-Verfahren (Verfahren von Adamo).
54
Nach diesem Vorschlag soll f¨
ur ein vom Entscheidungstr¨
ager vorzuschlagendes Niveau
[0, 1] f¨ur jede Fuzzy-Zahl ~A F(U), U) IR, der Wert
a
= max
{x supp(~A)|
~
A
(x)
}
bestimmt werden. Die Rangfolge der a
der Fuzzy-Zahlen soll auch als Rangfolge f¨
ur
die Fuzzy-Zahlen selbst herangezogen werden. An diesem Verfahren l¨
asst sich kritisie-
ren, dass die ermittelte Rangfolge allzu sehr von dem willk¨
urlich gew¨
ahlten Niveau
abh¨
angt, und außerdem nur ein einziger Zugeh¨
origkeitswert, n¨
amlich die Obergrenze
des gew¨
ahlten -Schnitts, ber¨
ucksichtigt wird.
55
Diese beiden Kritikpunkte greift Rommelfanger bei der Entwicklung seines Niveau-
ebenen-Rangordnungsverfahrens auf. Dabei wird ein Defuzzifikationsverfahren ange-
wendet, welches bei Rommelfanger nicht als solches beschrieben wird, aber durchaus
in die Liste m¨
oglicher Defuzzifikationsverfahren aufzunehmen ist, n¨
amlich das Niveau-
ebenenverfahren.
56
Die Defuzzifikation nach der Niveauebenenmethode, wird daher im
folgenden Abschnitt 3.2.7 unter den Defuzzifikationsverfahren Aufnahme finden. Viertl
und Hareter schlagen eine Rangordnung nach dem Steiner'schen Punkt vor,
57
der eben-
falls unter den Defuzzifikationsmethoden im n¨
achsten Abschnitt erw¨
ahnt werden wird.
Das Rangordnungsverfahren nach dem Steiner'schen Punkt ist ein Spezialfall des
-Durchschnitts-Rangordnungsverfahrens, welches von Campos und Gonz´
alez vorge-
schlagen wurde. Der -Durchschnitt (-average) einer Fuzzy-Zahl ~
A, deren -Schnitte
abgeschlossenene Intervalle [a
, a
] auf IR sind, ist gegeben durch
AoA( ~
A) :=
1
0
(a
+ (1
- )a
) d,
ur einen Parameter
[0, 1], der vom Entscheidungstr¨ager aufgrund seiner subjekti-
ven Einsch¨
atzung zu w¨
ahlen ist.
58
53
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 83. Eine weitere "Erwartungswert"-Defuzzifikationsmethode zur
Bestimmung von Rangordnungen schl¨
agt Grzegorzewski (1998), S. 91 f., vor.
54
Vgl. Adamo (1980), S. 208 ff., Rommelfanger (1994), S. 84.
55
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 84.
56
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 84 f., Yao / Wu (2000), S. 275 ff.
57
Vgl. Viertl / Hareter (2006), S. 99 f.
58
Vgl. Campos / Gonz´
alez (1989), S. 145 ff.

40
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
3.2.7
Defuzzifikation von Fuzzy-Mengen
In zahlreichen Anwendungen der Fuzzy-Logik wird im Anschluss an die Bestimmung
einer unscharfen Ausgangsgr¨
oße aus unscharfen Eingangsgr¨
oßen auch noch eine scharfe
Ausgangsgr¨
oße berechnet, dieser Schritt wird als Defuzzifikation bezeichnet. Dabei wird
versucht, m¨
oglichst viel Information der unscharfen Ausgangsgr¨
oße auf einen einzigen
scharfen Wert zu verdichten,
59
eine Defuzzifikation ohne Informationsverlust ist aber
nicht m¨
oglich.
60
Sofern es um unscharfe Zwischenergebnisse geht, welche in weitere
Berechnungsverfahren Eingang finden, sollte aber von einer Defuzzifikation Abstand
genommen werden, da dadurch die Errungenschaft der Fuzzy-Mengen-Theorie, die in
der Ber¨
ucksichtigung von Unsch¨
arfe besteht, wieder verloren geht.
61
Implizit liegt jeder
scharfen Angabe eines Messergebnisses ein Defuzzifikationsschritt zugrunde, da die
meisten Vorg¨
ange ja tats¨
achlich unscharf sind.
Da aber manche Rechenoperationen f¨
ur Fuzzy-Mengen nur eingeschr¨
ankt (wie et-
wa Rangordnungsverfahren, vgl. Abschnitt 3.2.6) oder gar nicht (wie etwa die Be-
stimmung von Stichprobenumf¨
angen in sequentiellen statistischen Entscheidungsver-
fahren, vgl. Abschnitt 8.1.1) durchf¨
uhrbar sind, sind Defuzzifikationsmethoden erfor-
derlich. Auch um den Schritt, der einer klassischen scharfen Modellierung von unscharf
messbaren Vorg¨
angen bewusst zu machen, ist die Auseinandersetzung mit Defuzzifika-
tionsverfahren hilfreich. Hier soll auf die Schwerpunktmethode und auf die Maximum-
Mittelwertmethode, welche ihrerseits als Spezialfall der -Niveauebenenmethode an-
zusehen ist, eingegangen werden.
Die bekannteste und gebr¨
auchlichste Defuzzifikationsmethode ist die Schwerpunkt-
methode, welche auch als Fl¨
achenschwerpunktmethode oder Center of Gravity-Methode
(CoG-Methode) bezeichnet wird. Bei der Schwerpunktmethode wird als Repr¨
asentant
der Fuzzy-Menge der Abszissenwert des Schwerpunkts der Fl¨
ache unter dem Graphen
der Zugeh¨
origkeitsfunktion der Fuzzy-Menge gew¨
ahlt. Bei der Bestimmung dieses Wer-
tes ist zwischen Fuzzy-Mengen auf kontinuierlichen und auf diskreten Universen zu
unterscheiden.
(i) F¨
ur eine Fuzzy-Menge ~
A
F(U) auf einem ¨uberabz¨ahlbaren kontinuierlichen
Universum, etwa U = IR, wird der Schwerpunkt (Center of Gravity) definiert
nach
CoG( ~
A) =
U
x
·
~
A
(x)dx
U
~
A
(x)dx
(3.85)
bzw.
CoG( ~
A) =
supp( ~
A)
x
·
~
A
(x)dx
supp( ~
A)
~
A
(x)dx
,
sofern die Zugeh¨
origkeitsfunktion der Fuzzy-Menge eine integrierbare Funktion
59
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 89 ff., Jaanineh / Maijohann (1996), S.262 ff.
60
Vgl. M¨
oller / Beer (2004), S. 41.
61
Vgl. auch Rommelfanger (1994), S. 165.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
41
ist.
62
Im Falle eine st¨
uckweise stetigen Zugeh¨
origkeitsfunktion mit n integrierba-
ren Teilst¨
ucken zwischen x
i
-1
und x
i
, i = 1, ..., n, wird (3.85) ersetzt durch
CoG( ~
A) =
n
i=1
x
i
x
i-1
x
·
~
A
(x)dx
n
i=1
x
i
x
i-1
~
A
(x)dx
.
(ii) F¨
ur eine Fuzzy-Menge ~
A
F(U) auf einem abz¨ahlbaren diskreten Universum,
etwa U = IN, ZZ, wird der Schwerpunkt (Center of Gravity) definiert nach
CoG( ~
A) =
x
U
x
·
~
A
(x)
x
U
~
A
(x)
(3.86)
bzw.
CoG( ~
A) =
x
supp( ~
A)
x
·
~
A
(x)
x
supp( ~
A)
~
A
(x)
.
Da die (x,
~
A
(x))
F(U) Fuzzy-Singletons nach (3.16) sind, wird die Metho-
de (3.86) auch als Schwerpunktmethode f¨
ur Singletons bezeichnet. Im Falle von
Problemen bei der Integration von
U
~
A
(x)dx oder
U
x
·
~
A
(x)dx in (3.85) wird
(3.86) auch als Approximation angewendet.
63
Kritisiert wird an der Schwerpunkt-Defuzzifikation vor allem, dass sie eine starke Ori-
entierung in Richtung der Mitte der defuzzifizierten Fuzzy-Menge aufweist, Randberei-
che bleiben weniger ber¨
ucksichtigt. Daf¨
ur wurden Korrekturverfahren vorgeschlagen,
auf die hier nicht n¨
aher eingegangen werden soll.
64
Neben der Schwerpunktmethode in diversen Auspr¨
agungen wird auch die Maximum-
Mittelwert-Methode oder Mean of Maximum-Methode (MoM-Methode) vorgeschlagen.
Bei dieser Methode wird als verdichteter Wert der Fuzzy-Menge das arithmetische
Mittel aus allen Werten der Fuzzy-Menge ~
A mit dem h¨
ochsten Zugeh¨
origkeitsgrad
angegeben:
65
MoM( ~
A) =
U
x
· 1
{xU|
~
A
(x)=hgt( ~
A)
}
(x)dx
U
1
{xU|
~
A
(x)=hgt( ~
A)
}
(x)dx
=
~
A
(x)=hgt( ~
A)
x dx
~
A
(x)=hgt( ~
A)
dx
(3.87)
wobei hgt( ~
A) die H¨
ohe von ~
A (3.4) ist. Falls ~
A nach (3.13) normiert ist mit hgt( ~
A) = 1,
dann ist:
MoM( ~
A) =
U
x
· 1
{xU|
~
A
(x)=1
}
(x)dx
U
1
{xU|
~
A
(x)=1
}
(x)dx
=
~
A
(x)=1
x dx
~
A
(x)=1
dx
62
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 98 ff., Jaanineh / Maijohann (1996), S. 265 ff., M¨
oller / Beer
(2004), S. 38.
63
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 101 f., Jaanineh / Maijohann (1996), S. 273 f.
64
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 103 f., Jaanineh / Maijohann (1996), S. 271 ff.
65
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 93 ff., Jaanineh / Maijohann (1996), S. 263 ff.

42
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Ist ~
A eine Fuzzy-Menge auf einem abz¨
ahlbaren, diskreten Universum, so reduziert sich
der Maximum-Mittelwert auf
MoM( ~
A) =
x
U
x
· 1
{xU|
~
A
(x)=hgt( ~
A)
}
(x)
x
U
1
{xU|
~
A
(x)=hgt( ~
A)
}
(x)
=
~
A
(x)=hgt( ~
A)
x
~
A
(x)=hgt( ~
A)
1
.
Im Spezialfall einer konvexen Fuzzy-Menge ~
A nach (3.14) reduziert sich der Maximum-
Mittelwert auf
MoM( ~
A) =
a
hgt( ~
A)
+ a
hgt( ~
A)
2
.
Ist ~
A unimodal nach (3.15), so reduziert sich die Maximum-Mittelwert-Methode auf
die Maxium-Methode
66
MoM( ~
A) = a
hgt( ~
A)
.
Kritisieren l¨
asst sich an diesem Verfahren insbesondere, dass nur Werte mit maxi-
malem Zugeh¨
origkeitsgrad in den verdichteten Wert Eingang finden, Werte mit ge-
ringf¨
ugig niedrigerem Zugeh¨
origkeitsgrad bleiben unber¨
ucksichtigt. Außerdem wird der
Zugeh¨
origkeitsgrad der zu mittelnden Werte selbst nicht ber¨
ucksichtigt.
67
Ein Verfahren, welches nur zur Bildung von Rangordnungen zwischen Fuzzy-Mengen
vorgeschlagen wurde,
68
welches aber als Defuzzifikationsverfahren anzusehen ist,
69
ist
das Niveauebenenverfahren, welches auch als Mean of Alpha-Levels-Verfahren (MoA-
Methode) bezeichnet werden kann. Insbesondere wird bei diesem Verfahren der erste
Kritikpunkt am Maximum-Mittelwert-Verfahren aufgegriffen. F¨
ur r auszuw¨
ahlende Ni-
veaus
1
, ...,
r
, r
IN wird f¨ur jede -Niveaumenge A
i
, i = 1, ..., r der Fuzzy-Menge
~
A eine Funktion MoA
i
(.) berechnet, welche alle Punkte ber¨
ucksichtigt, an denen die
Zugeh¨
origkeitsfunktion gerade den Wert
~
A
(x) =
i
annimmt. Da das Verfahren all-
gemein auch f¨
ur nicht-konvexe Fuzzy-Mengen in
F
ccb
(IR) anwendbar sein soll, wird die
Funktion MoA
i
(.) in der folgenden Form ausgedr¨
uckt:
MoA
i
( ~
A) =
a
i(1)
+a
i(1)
2
(a
i
(1)
- a
i
(1)
) + ... +
a
i(k)
+a
i(k)
2
(a
i
(k)
- a
i
(k)
)
(a
i
(1)
- a
i
(1)
) + ... + (a
i
(k)
- a
i
(k)
)
,
(3.88)
wobei wegen ~
A
F
ccb
(IR) unterstellt wird, dass A
i
= [a
i
(1)
, a
i
(1)
]
...[a
i
(k)
, a
i
(k)
].
ur den Spezialfall eines konvexen ~
A, bei dem alle -Schnitte Intervalle A
i
= [a
i
, a
i
]
auf U
IR konvex sind, hat MoA
i
( ~
A) die folgende Gestalt:
MoA
i
( ~
A) =
a
i
+ a
i
2
Die Funktion MoA
i
(.) l¨
asst sich somit beschreiben als das mit den L¨
angen der Teil-
intervalle gewogene arithmetische Mittel aus den arithmetischen Mitteln aus (Teil-)
66
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 89 ff., Jaanineh / Maijohann (1996), S. 262 f.
67
Vgl. Kahlert / Frank (1993), S. 95, Jaanineh / Maijohann (1996), S. 264.
68
Vgl. Rommelfanger (1994), S. 84 f.
69
Etwa bei M¨
oller / Beer (2004), S. 39.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
43
Intervallunter- und -obergrenze. Den Wert, durch den schließlich die Fuzzy-Menge re-
pr¨
asentiert werden soll, erh¨
alt man durch abermalige Bildung des arithmetischen Mit-
tels aus den MoA
i
( ~
A):
MoA( ~
A) =
1
r
r
i=1
MoA
i
( ~
A)
(3.89)
ur Zwecke der Rangordnung liefern bereits wenige
70
-Niveaus gute Ergebnisse. Bei
der Berechnung des Steiner'schen Punkts einer unscharfen Zahl kommt ein Integralan-
satz, der unendlich viele -Niveaus ber¨
ucksichtigt, zur Anwendung:
71
MoA( ~
A) =
1
0
MoA
( ~
A)d
(3.90)
Gegen¨
uber der Maximum-Mittelwert-Methode weist die Niveauebenenmethode den
Vorteil auf, dass mehrere -Niveaus ber¨
ucksichtigt werden. Nicht ins Kalk¨
ul einbezogen
werden die -Werte selbst. Dieses Manko l¨
asst sich durch den folgenden Korrekturan-
satz beheben:
CoA( ~
A) =
r
i=1
i
· MoA
i
( ~
A)
r
i=1
i
(3.91)
Da die vorgeschlagene Methode im Grenzfall unendlich vieler einbezogener -Niveaus
CoA( ~
A) =
1
0
· MoA
( ~
A)d
1
0
d
(3.92)
einem vertikal gebildeten Schwerpunkt entspricht, soll diese Methode auch als Niveau-
Ebenen-Schwerpunktmethode oder Center of Alpha-Levels-Methode (CoA-Methode)
bezeichnet werden.
3.3
Konstruktion von Fuzzy-Mengen
In den bisherigen Ausf¨
uhrungen wurde stets von bereits gegebenen Fuzzy-Mengen mit
fix vorgegebenen Zugeh¨
origkeitsfunktionen ausgegangen, auf welche bestimmte Ope-
rationen angewendet wurden. Die Frage, wie die Zugeh¨
origkeitsgrade der einzelnen
Elemente zur unscharfen Menge zustande kommen, wurde nicht aufgeworfen. Mit der
Frage nach der Konstruktion der Zugeh¨
origkeitsfunktion von Fuzzy-Mengen besch¨
aftigt
sich der folgende Abschnitt. Insbesondere wird auf die Darstellung der objektiv messbar
unscharfen H¨
ohe von Flutwellen und auf die subjektiv unscharfe A-priori-Einsch¨
atzung
der durchschnittlichen Anzahl von Flutwellen kritischer H¨
ohe und das ebenso subjektiv
zu beurteilende Gewicht dieser Information eingegangen.
72
70
Rommelfanger (1994), S. 85, schl¨
agt die drei -Niveaus = 0.3, 0.6, 0.9 vor, Hauke (1998), S.128,
spricht von guten Ergebnissen bei zehn -Niveaus.
71
Vgl. Yager (1981), S. 144 f., Viertl / Hareter (2006), S. 99 f.
72
Einige Methoden zur Beschreibung von unscharfen Sachverhalten werden bei M¨
oller / Beer (2004),
S. 90 ff., beschrieben.

44
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
3.3.1
Unscharfe Zugeh¨
origkeit durch physikalische
Eigenschaften und charakteristische Funktion
unscharfer Randpunkte
Zur Formulierung des Modells f¨
ur das Ausgangsproblem, wird der oberen Rand einer
Flutwelle genauer betrachtet. Die Abbildung 3.4 zeigt den obersten Teil der Flutwelle
von Abbildung 2.3.
Abbildung 3.4: Flutwelle und ihr oberer Rand
Es zeigt sich deutlich, dass eine Flutwelle keine scharfe Abgrenzung nach oben hin
hat. Aufgrund der sich nach oben hin verringernden Wassermenge geht die Flutwelle
nach oben hin fließend in die dar¨
uber befindliche Luft ¨
uber. Die H¨
ohe einer Flutwelle
kann keine scharfe Gr¨
oße sein. Die Abbildung 3.4 sieht aus wie ein Grautonbild im Sinne
von Abschnitt 3.2.1 zur Darstellung einer zweidimensionalen Fuzzy-Menge (Abbildung
3.3).
73
In Abschnitt 3.2.1 wurden die Regeln zur ¨
Ubersetzung einer unscharfen Menge
in ein Grautonbild angegeben. Die Vorschrift besagt, dass jedem Punkt mit einem
bestimmten Zugeh¨
origkeitsgrad zur Fuzzy-Menge ein Grauwert zugeordnet wird. Es
handelt sich dabei also um eine Abbildung des Intervalls [0, 1] in das Grauwertband
[weiß, schwarz]:
gray : [0, 1]
[weiß, schwarz]
gray()
73
Grautonbilder und daraus abgeleitete Fuzzy-Mengen sind eine h¨
aufig verwendete Methode zur
Beschreibung von unscharfen ¨
Uberg¨
angen in nat¨
urlichen Umgebungen, insbesondere kommen Fuzzy-
Methoden bei Geoinformationssystemen h¨
aufig zur Anwendung.
Vgl. etwa Fetz / Hofmeister et al. (1997), Fetz / J¨
ager et al. (1999), Oberguggenberger / Fetz /
Pittschmann (2000), Wang / Hall (1996), Peyke / Wolf (1999), ¨
Ozdamar / Demirhan / ¨
Ozpinar
(1999), Dai / Zong / Tang (2002), Jiang / Eastman (2000) Wagner (2003), S. 83 ff., Rao / Srinivas
(2006).

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
45
Geht man den umgekehrten Weg und interpretiert man ein Grautonbild als zweidi-
mensionale Fuzzy-Menge ~
A, so wird dem Punkt (x, y) als Zugeh¨
origkeitswert
~
A
(x, y)
die Farbintensit¨
at in (x, y) zugeordnet.
74
Da durch gray(.) jedem
[0, 1] genau
ein Grautonwert zugeordnet wird (Injektivit¨
at von gray) und das ganze Grautonband
getroffen wird (Surjektivit¨
at von gray(.)), ist gray(.) eine Bijektion mit der Umkehr-
abbildung:
gray
-1
: [weiß, schwarz]
[0, 1]
grau
gray
-1
(grau) =:
Grau
(grau)
wobei grau((x, y)) die Grauintensit¨
at im Punkt (x, y)
supp(~A) ist. Daher ergibt sich
die Fuzzy-Menge
Grau =
x,
Grau
(x, y)
Grau
(x, y) = gray
-1
(grau((x, y))) .
Um aus dieser zweidimensionalen Fuzzy-Menge Grau eine unscharfe H¨
ohe der Flut-
welle ableiten zu k¨
onnen, m¨
ussen noch alle Punkte, welche vertikal auf der gleichen
ohe liegen, horizontal auf einen einzigen Punkt projiziert werden. Zwei Prozeduren
kommen daf¨
ur in Frage:
Definition: Es liegt eine zweidimensionale Fuzzy-Menge Grau auf U
× IR
+
mit der
Zugeh¨
origkeitsfunktion
Grau
(., .) : U
× IR
+
[0, 1] ,(x, h)
Grau
(x, h) vor. U
IR
ist dabei (ein Teil-Universum von) IR.
(i) Die Abbildung
pr
sup
:
F(U × IR
+
)
F(IR
+
)
Grau
pr
sup
(Grau) =: PrGr
sup
(3.93)
mit
PrGr
sup
(h) := sup
x
U
Grau
(x, h)
(3.94)
heißt Projektion nach der Supremumsmethode.
(ii) Die Abbildung
pr
wsum
:
F(U × IR
+
)
F(IR
+
)
Grau
pr
wsum
(Grau) =: PrGr
wsum
(3.95)
mit
PrGr
wsum
(h) :=
xU
Grau
(x,h)
sup
hIR xU
Grau
(x,h)
falls U abz¨
ahlbar
U
Grau
(x,h)dx
sup
hIR U
Grau
(x,h)dx
falls U ¨
uberabz¨
ahlbar
(3.96)
heißt Projektion nach der gewichteten Summe.
74
Zur Beschreibung von Grautonbildern durch Fuzzy-Mengen, vgl. etwa Viertl (1997), S. 547 ff.,
Viertl (2002d), S. 199 f., Viertl / Hareter (2006), S. 3 und S. 21, Bandemer (1996), S. 585 ff., Bandemer
/ Lorenz (1998), S. 29 ff., Mignotte / Collet / P´
erez / Bouthemy (2000), S. 4 ff.

46
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
ahrend die Projektion nach der Supremumsmethode von einem "R¨
ontgenbild" aus-
geht, bei dem jeweils nur der Punkt mit der h¨
ochsten Farbdichte den Lichtabsorpti-
onsgrad bestimmt, absorbieren bei der Projektion nach der gewichteten Summe alle
Punkte Licht entsprechend ihrer Farbdichte, die Division durch das Maximum erfolg
ausschließlich zu Normierungszwecken. Die Projektion nach der Supremumsmethode
ist im Allgemeinen sehr leicht zu bestimmen, w¨
ahrend bei der Projektion nach der ge-
wichteten Summe der Rechenaufwand sehr hoch ist. Als weiterer Vorteil der Projektion
nach der Supremumsmethode l¨
asst sich anf¨
uhren, dass der Punkt mit der maximalen
Farbdichte jedes H¨
ohenpunktes, der den gef¨
ahrlichsten Aspekt der Flutwelle auf jedem
ohenpunkt darstellt, in die weiteren Berechnungen Eingang findet, w¨
ahrend es als
Nachteil anzusehen ist, dass zwischen H¨
ohenwerten, bei denen nur ein einziger Punkt
die Dichte 1 aufweist, und H¨
ohenwerten, auf denen alle Punkte die Dichte 1 aufweisen,
nicht differenziert wird. Im Allgemeinen wird man sich aber mit der Projektion nach
der Supremumsmethode zufrieden geben.
Durch die Projektion erh¨
alt man das in der Abbildung 3.5 dargestellte Bild als
Grautonbild bzw. Fuzzy-Menge. Die Fuzzy-Menge PrGr beschreibt die (unscharfe) Zu-
geh¨
origkeit eines H¨
ohenwertes zur Flutwelle.
Abbildung 3.5: Grautonbild bzw. Fuzzy-Menge der auf die H¨
ohe projizierten Flutwelle
Um die unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle bestimmen zu k¨
onnen, muss aus der Fuzzy-
Menge der unscharfen Zugeh¨
origkeit der H¨
ohenpunkte PrGr noch der unscharfe Rand-
punkt bestimmt werden. Dazu eignet sich einerseits das von Viertl
75
entwickelte Kon-
75
Vgl. Viertl (1992), S. 122 f., Viertl (1996), S. 23 ff., Viertl (1997), S. 547 f., Viertl (2002d), S. 199
f., vgl. auch Comploj (1994), S. 72 f. und Comploj (2002), S. 37 f. Viertl entwickelte das Konzept ur-
spr¨
unglich zur Berechnung der Zugeh¨
origkeitsfunktionen von unscharfen technischen und biologischen
Lebensdauern, wendet es aber auch zur Bestimmung von unscharfen R¨
andern von Bereichen unter-
schiedlicher Lichtintensit¨
at (vgl. Viertl (2002d), S., 199 f.) bzw. auch zur Bestimmung des unscharfen
Wasserstandes eines Flusses (vgl. Viertl (1997), S. 546 f., Viertl (2004), S. 647 ff.) an.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
47
zept der Steigungsmethode, andererseits kann der unscharfe Randpunkt nach der Kom-
plementmethode bestimmt werden.
Definition: Gegeben ist eine reelle Fuzzy-Menge PrGr
F(IR).
(i) Die Fuzzy-Menge auf
F(IR)
~
H
St
:=
h,
~
H
St
(h)
h
IR
+
~
H
St
(h) =
d
PrGr
(h)
dh
· min
h
IR
+
d
PrGr
(h)
dh
-1
=
d
PrGr
(h)
dh
· max
h
IR
+
d
PrGr
(h)
dh
-1
=
d
PrGr
(h)
dh
·sig
d
PrGr
(h)
dh
· max
h
IR
+
d
PrGr
(h)
dh
-1
(3.97)
heißt unscharfer Randpunkt von PrGr nach der Steigungsmethode.
Die Zugeh¨
origkeitsfunktion der unscharfen H¨
ohe der Flutwelle ~
H
St
nach der Stei-
gungsmethode erh¨
alt man also durch Differenzieren der Zugeh¨
origkeitsfunktion
der H¨
ohenpunkte und Multiplikation mit -1 (da die Ableitung negativ ist) und
anschließende Normierung durch Division durch ihr betragsm¨
aßiges Maximum.
Graphisch wird die Herleitung der charakterisierenden Funktion der unscharfen
ohe nach der Steigungsmethode durch in der Abbildung 3.6 veranschaulicht.
Abbildung 3.6: Unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle nach der Steigungsmethode

48
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(ii) Die Fuzzy-Menge auf
F(IR)
~
H
Ko
:=
h,
~
H
Ko
(h)
~
H
Ko
(h) = 2
· min
Prgr
(h), 1
-
Prgr
(h)
=
2
· (1 -
Prgr
(h))
ur
Prgr
(h) > 1
-
Prgr
(h)
1
ur
Prgr
(h) = 1
-
Prgr
(h) =
1
2
2
·
Prgr
(h)
ur
Prgr
(h) < 1
-
Prgr
(h)
= 2
· Prgr Prgr
C
(3.98)
heißt unscharfer Randpunkt von Prgr nach der Komplementmethode.
Die Zugeh¨
origkeitsfunktion der unscharfen H¨
ohe der Flutwelle ~
H
Ko
nach der Kom-
plementmethode erh¨
alt man also als die Zugeh¨
origkeitsfunktion des Durchschnitts
aus der Fuzzy-Menge der H¨
ohenwerte der Flutwelle und deren Komplement, wel-
che zu Normierungszwecken noch mit 2 multipliziert wird.
Graphisch wird die Herleitung der charakterisierenden Funktion der unscharfen
ohe nach der Komplementmethode durch in der Abbildung 3.7 veranschaulicht.
Abbildung 3.7: Unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle nach der Komplementmethode
3.3.2
Unscharfe Z¨
ahlung von unscharfen Ereignissen
Zur Modellierung des Ausgangsproblems muss nach der Definition der unscharfen H¨
ohe
einer Flutwelle noch eine Prozedur gefunden werden, welche es erlaubt, die unschar-
fe Anzahl der Flutwellen kritischer H¨
ohe zu bestimmen. Das Problem kann in zwei
Teilprobleme zerlegt werden, zun¨
achst muss festgestellt werden, ob eine Flutwelle un-
scharfer H¨
ohe den kritischen Punkt unscharf erreicht oder nicht, anschließend muss
eine Aggregation der unscharfen Erreichung der kritischen H¨
ohe durch die einzelnen
Flutwellen stattfinden.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
49
Betrachtet man die kritische H¨
ohe als scharfen Punkt h
kr
auf der H¨
ohenskala, so
ergibt sich aus einer Abbildung der unscharfen H¨
ohen und des kritischen Punktes auf
der H¨
ohenskala das in Abbildung 3.8 dargestellte Bild.
Abbildung 3.8: Unscharfe H¨
ohe einer Flutwelle und kritische H¨
ohe
Es muss nun ein Konzept zur Klassifizierung von Flutwellen scharfer H¨
ohe in kriti-
sche und unkritische Flutwellen gefunden werden, das auf Flutwellen unscharfer H¨
ohe
derart erweiterbar ist, dass eine unscharfe Z¨
ahlung der unscharf kritischen Flutwellen
unscharfer H¨
ohe m¨
oglich wird. Im Fall einer scharfen H¨
ohe liegt es nahe, eine Funktion
kr : IR
{0, 1}
h
kr(h) =
0 falls h < h
kr
1 falls h
h
kr
zur Klassifizierung in kritische und unkritische Flutwellen heranzuziehen. Wendet man
die Abbildung kr(.) auf unscharfe H¨
ohen ~
H F(IR) an, so ergibt sich die Fuzzy-
Extension kr(.) von kr(.)
kr :
F(IR) F({0, 1})
~
H
kr(~H)
(3.99)
mit
kr( ~
H)
(e) =
sup
hsupp(~
H):
kr(h)=e
~
H
(h) =
sup
h<h
kr
~
H
(h) f¨
ur e = 0
sup
h
h
kr
~
H
(h) f¨
ur e = 1
(3.100)
ur e
{0, 1}. Die in (3.99)-(3.100) definierte Abbildung kr(.) l¨asst sich auch interpre-
tieren als Abbildung einer unscharfen Kleiner-Gr¨
ossergleich-Relation ~
R
~
<
( ~
H, h
kr
) auf
eine Fuzzy-Menge kr( ~
H) F({0, 1}) mit
kr( ~
H)
(0) =
~
R
~
<
( ~
H, h
kr
) =
sup
hsupp(~
H):
h<hkr
~
H
(h),
kr( ~
H)
(1) =
~
R
~
( ~
H, h
kr
) =
sup
hsupp(~
H):
hhkr
~
H
(h)
(3.101)

50
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Graphisch l¨
asst sich die Abbildung kr(.), wie in der Abbildung 3.9 dargestellt, veran-
schaulichen.
Abbildung 3.9: Unscharfe Einordnung einer Flutwelle unscharfer H¨
ohe
Die Z¨
ahlung der Flutwellen scharfer H¨
ohe, welche den kritischen Punkt erreichen
bzw. ¨
uberschreiten, kann als Addition der Funktionswerte von kr(.) aufgefasst werden.
ur eine Folge von Flutwellen mit H¨
ohen h
1
, h
2
, ... = (h
k
)
k
IN
ergibt sich f¨
ur die Folge
der Anzahlen der Flutwellen kritischer H¨
ohe (x
k
)
k
IN
=
k
IN
kr(h
k
) =
k=1
kr(h
k
)
mit x
k
= kr(h
1
) + kr(h
2
) + ... + kr(h
k
) =
k
=1
kr(h
), x
k
IN k IN.
Dieses Konzept ist auf die unscharfen Werte der Fuzzy-Extension kr(.) erweiterbar.
Definition: Ist ~
E
1
, ~
E
2
, ... = (~
E
k
)
k
IN
, ~
E
k
F({0, 1}) k IN, eine Folge von unscharfen
Mengen ¨
uber
{0, 1}, dann heißt die unscharfe Reihe im Sinne von (3.74)
~
A
k
k
IN
=
k
=1
~
E
k
IN
=
k=1
~
E
k
= ~
E
1
~E
2
...
(3.102)
Folge der unscharfen Anzahlen der unscharfen Mengen, wobei ~
A
k
F(IN) k IN.
Durch (3.102) wird somit ein unscharfer Z¨
ahlprozess definiert.
ur die Anzahl der Flutwellen unscharf kritischer H¨
ohe nach dem Aufreten von k
Flutwellen insgesamt, unabh¨
angig von deren H¨
ohe, erh¨
alt man durch Anwendung von
(3.102) auf ( kr( ~
H
k
))
k
IN
:
~
A
k
= kr( ~
H
1
)
kr(~H
2
)
... kr(~H
k
) =
k
=1
kr( ~
H
)
(3.103)
ur k
IN.
Im Allgemeinen wird aber nicht die unscharfe Anzahl von Flutwellen kritischer
ohe nach k Flutwellen insgesamt interessieren, sondern die unscharfe Anzahl innerhalb
eines bestimmten Zeitraums. Liegen n relevante Zeitr¨
aume vor, und sind k
1
, k
2
, ..., k
n
die Anzahlen der Flutwellen, die sich unabh¨
angig von ihrer H¨
ohe, in den Zeitr¨
aumen

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
51
1, 2, ..., n ereignet haben, dann bezeichnet
~
A
i
=
k
i
i
=1
i
kr( ~
H
i
) = kr( ~
H
1
i
)
kr(~H
2
i
)
... kr(~H
k
i
)
(3.104)
~
A
i
F(IN) i {1, ..., n}, n IN, die Anzahl der Flutwellen kritischer H¨ohe im i-ten
Zeitraum. (Durch die Notation
i
bzw. 1
i
, 2
i
, ... soll hervorgehoben werden, dass in
jeder Periode i mit der Z¨
ahlung neu begonnen wird.)
3.3.3
Unsch¨
arfe aufgrund subjektiver Einsch¨
atzung
Neben den eben beschrieben nicht exakt messbaren Sachverhalten in der Natur, die
durch unscharfe Zahlen in mathematische Modelle einfließen, sind oft auch Umst¨
ande
zu ber¨
ucksichtigen, die ausschließlich der subjektiven Einsch¨
atzung von Menschen ent-
springen.
76
Von besonderer Bedeutung ist Unsch¨
arfe aufgrund subjektiver Wahrneh-
mung bei der Analyse von sozialwissenschaftlichen Daten, doch auch bei naturwissen-
schaftlich-technischen Untersuchungen lassen sich Einsch¨
atzungen durch Experten oft
nicht vermeiden. Unsch¨
arfe durch subjektive Einsch¨
atzung kommt ¨
uberall dort zum
Tragen, wo nicht die Realit¨
at selbst, sondern der mit Begriffen verkn¨
upfte Vorstel-
lungsinhalt, die "reflektierte Realit¨
at",
77
zum Untersuchungsgegenstand wird.
In der Fallstudie des begleitenden Beispiels kommt durch menschliche Einsch¨
atzung
bedingte Unsch¨
arfe dann zum Tragen, wenn die erfahrungsm¨
aßige durchschnittliche
Anzahl von Flutwellen kritischer H¨
ohe als A-priori-Information, d.h. als Information
¨
uber die Sachlage vor Installation der Messvorrichtung, in die Beurteilung der Situati-
on einbezogen werden soll. Subjektive Unsch¨
arfe ist dabei sowohl bei der Frage nach
der Einsch¨
atzung der durchschnittlichen Anzahl der Flutwellen kritischer H¨
ohe pro
Jahr, als auch bei der Gewichtung dieser Information im Verh¨
altnis zu den tats¨
achlich
gemessenen Daten zu ber¨
ucksichtigen.
Meist wird man nicht genau sagen k¨
onnen, es w¨
aren eigentlich immer genau 9 Flut-
wellen kritischer H¨
ohe im Jahr, und diese Information w¨
are genau so viel wert, wie
Stichprobeninformation von 2 Jahren. Eher wird man eine vorsichtige Formulierung
ahlen, wie "ungef¨
ahr 9" Flutwellen oder "1-2 Jahre, aber eher 2". Zwei unterschied-
liche Verfahren, die beide die Meinungen mehrerer Experten auswerten, die sich zur
Bestimmung der Zugeh¨
origkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge subjektiver Einsch¨
atzung
eignen, das frequentistische Verfahren und die sukzessive Informationsaggregation, sol-
len im Anschluss anhand der beiden subjektiven Sachverhalte im begleitenden Beispiel
vorgestellt werden.
78
76
Vgl etwa Viertl / Hareter (2006), S. 2 f. und S. 20.
77
Vgl. Kromrey (1998), S. 113, Mayntz / Holm / H¨
ubner (1978), S. 11 f.
78
Im Allgemeinen werden diese beiden Verfahren zur Konstruktion der Zugeh¨
origkeitsfunktionen
von linguistischen Variablen herangezogen. Als linguistische Variable bezeichnet man eine messbare
Gr¨
oße, welche mindestens zwei voneinander verschiedene Werte annehmen kann, und deren Werte
aufig oder ausschließlich mit linguistischen Umschreibungen anstatt mit Zahlen angegeben werden.
So kann der Blutdruck eines Menschen "hoch", ein Auto "schnell", der Himmel "wolkig" oder ein
Mann "groß" sein. Eingef¨
uhrt wurde der Begriff der linguistischen Variablen von Zadeh in Zadeh
(1975b) I,II,III. Eine ausf¨
uhrliche Darstellung zu linguistischen Variablen mit umfangreichen Angaben
zu weiterf¨
uhrender Literatur findet sich bei Comploj (2002), S. 23 ff.

52
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Das frequentistische Verfahren, auch Kontexmodell gnannt, soll zur Bestimmung
der unscharfen gesch¨
atzten durchschnittlichen Anzahl von Flutwellen kritischer H¨
ohe
im Jahr herangezogen werden. Das frequentistische Verfahren n¨
utzt die Isomorphie
zwischen zuf¨
alligen Mengen und unscharfen Mengen.
79
Eine genauere Darstellung von
zuf¨
alligen Mengen folgt in Abschnitt 4.1.1. Ist eine (endliche oder unendliche) Menge
von Experten, die alle eine Meinung hinsichtlich der durchschnittlichen Anzahl an
Flutwellen kritischer H¨
ohe haben, wobei diese Einsch¨
atzung ein reelles Intervall, oder
allgemeiner eine Teilmenge einer Grundmenge U ist, dann kann die Situation dargestellt
werden durch eine mengenwertige Abbildung
X :
P(U)
X().
(3.105)
Da die Auswahl der Experten zuf¨
allig erfolgt, und jeder Experte
mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit P (
{}) zur Befragung herangezogen wird, ist auch
auch das Ergebnis der Befragung ein zuf¨
alliges, welches eine Wahrscheinlichkeitsvertei-
lung Q auf
P(U) hat. Die Abbildung (3.105) heißt zuf¨allige Menge. Die Realisationen
X()
P(U) der zuf¨alligen Menge X werden auch als Fokalmengen von X bezeichnet.
Es ist
80
Q(
{X}) = P
X
(
{X
-1
(X)
}) = P ({ |X() = X}).
Es kann f¨
ur jedes x
U die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass x Element
einer Fokalmenge X() der zuf¨
alligen Menge X ist. Es ist
Q (
{x X}) = P
X
(
{x X}) = P ({ |x X()})
ur x
U. Diese Wahrscheinlichkeit heißt (Einpunkt-)¨Uberdeckungswahrscheinlichkeit
von x durch X. Bestimmt man f¨
ur jedes x
U die ¨Uberdeckungswahrscheinlichkeit
von x durch die zuf¨
allige Menge X, so erh¨
alt man eine Funktion
: U
[0, 1]
x
(x) := Q ({x X}) = P
X
(
{x X}) ,
(3.106)
die Konturfunktion der zuf¨
alligen Menge X heißt. Aus der Konturfunktion ist eine
zuf¨
allige Menge im Allgemeinen nicht eindeutig rekonstruierbar.
Die Konturfunktion kann interpretiert werden als Zugeh¨
origkeitsfunktion einer
Fuzzy-Menge ~
A
X
, die als die von X induzierte Fuzzy-Menge bezeichnet wird.
81
Die
79
Bei Kruse / Getbhardt / Klawonn (1993), S. 43 ff., Borgelt / Kruse (1999), S. 370 ff., Borgelt /
Kruse (2002), S. 22 ff., wird auch von der epistemischen Interpretation von Fuzzy-Mengen gesprochen.
80
Eine allgemeinere exakte Definition des von der zuf¨
alligen Menge X induzierten Wahrscheinlich-
keitsmaßes wird in (4.3) in Abschnitt 4.1.1 vorgestellt.
81
Details und Beispiele zur Konstruktion von Fuzzy-Mengen, die von zuf¨
alligen Mengen induziert
sind, finden sich bei Comploj (1994), S. 101 ff., Comploj (2002), S. 25 ff., N¨
ather (1990b), S. 96
ff., Kruse / Gebhardt / Klawonn (1993), S. 43 ff. Weitere Details zu Analogien zwischen zuf¨
alligen
Mengen und Fuzzy-Mengen finden sich etwa bei Gil (1992), S. 311 ff., Li / Lee (1995), S. 546 ff., Li
(1997), S. 223 ff., Borgelt / Gebhardt / Kruse (1999), S. 375 ff., Goodman / Nguyen (2002), S. 3 ff.,
Couso / Montes / Gil (2002), S. 127 ff., Borgelt / Kruse (2002), S. 27 ff., Garcia / Kutalik / Cho /
Wolkenhauer (2003), S. 25 ff., Wagner (2003), S.61 ff.
Ein spezielles Verfahren zur frequentistischen Konstruktion von Zugeh¨
origkeitsfunktionen einer end-
lichen Anzahl von Fuzzy-Mengen, welche einer unscharfen Partition
N
angeh¨
oren, d.h. die Ortho-
gonalit¨
atseigenschaft
~
AN
~
A
(x) = 1
x U erf¨ullen (vgl. etwa Bandemer / N¨ather (1992), S. 14,
Comploj (2002), S. 97 f.), wird bei Tamaki / Kanagawa / Ohta (1998), S. 311 ff., vorgestellt.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
53
Zugeh¨
origkeitsfunktion von ~
A
X
ist gegeben durch:
~
A
X
: U
[0, 1]
x
~
A
X
(x) := (x) = P
X
(
{x X})
(3.107)
Werden nun n Experten
1
, ...,
n
nach ihrer Einsch¨
atzung der durchschnittlichen
Anzahl ¯
x der Flutwellen kritischer H¨
ohe im Jahr gefragt, so erh¨
alt man als Antworten
n Fokalmengen, d.h. Intervalle in IR
+
0
[x, x](
1
) =: [x
1
, x
1
], ... , [x, x](
1
) =: [x
n
, x
n
], die
nicht alle voneinander verschieden sein m¨
ussen, außerdem ist der Fall von Einpunktin-
tervallen mit x
j
= x
j
, d.h. [x, x](
j
) =
{x
j
} m¨oglich. Die aus der Stichprobe gesch¨atzte
Konturfunktion ^
von X lautet
^
: IR
+
0
[0, 1]
x
^
(x) =
1
n
card(
{j|x [x, x](
j
)
}).
(3.108)
Aus dieser gesch¨
atzten Konturfunktion kann nach (3.107) die Zugeh¨
origkeitsfunktion
einer (im Allgemeinen subnormalen) Fuzzy-Menge ~
A
X
abgeleitet werden. Durch Nor-
mierung, also Division der Zugeh¨
origkeitsfunktion
~
A
X
durch ihren Maximalwert, erh¨
alt
man die normale Fuzzy-Menge ~
A
Xnorm
mit
~
A
Xnorm
(x) =
~
A
X
(x)
max
x
U
~
A
X
(x)
.
Da die gesuchte Gr¨
oße eine Anzahl von Ereignissen ist, liegt es nahe nur nat¨
urliche
Zahlen f¨
ur ¯
x in Betracht zu ziehen. Das frequentistisch ermittelte unscharfe Ergebnis
¯
~
A aus der Expertenbefragung ist somit
¯
~
A = ~
A
Xnorm
IN
0
mit der Zugeh¨
origkeitsfunktion
¯
~
A
(x) =
~
A
Xnorm
(x)
· 1
IN
0
(x) =
~
A
X
(x)
max
x
U
~
A
X
(x)
· 1
IN
0
(x) =
^
(x)
max
x
U
^
(x)
· 1
IN
0
(x).
(3.109)
Mit dem Verfahren der sukzessiven Aggregation soll das unscharfe Gewicht ~
N, das
der Information aus der Einsch¨
atzung der Experten beigemessen werden soll, bestimmt
werden.
82
Es werden dabei zuerst Ober- und Untergrenze f¨
ur Tr¨
ager
co supp( ~
N) = (n
0
, n
0
)
und Kern
co ker( ~
N) = [n
1
, n
1
]
82
Dieses Verfahren wurde in Form eines Expertenkonsenses von Scheffels (1996), S. 70 ff., zur Bestim-
mung der Fuzzy-Mengen, welche die linguistischen Terme der Auspr¨
agungsst¨
arke von Unternehmens-
kennzahlen charakterisieren, vorgeschlagen. So kann etwa die Anlagenintensit¨
at eines Unternehmens
"niedrig", "durchschnittlich" oder "hoch" sein. Das Verfahren wird auch bei auch Pfeifer (1998), S.
49 ff., Rommelfanger (1997), S. 183 ff., Hauke (1998), S. 28 f., angef¨
uhrt. Vgl. auch Comploj (2002),
S. 51.

54
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
und nach und nach auch noch f¨
ur als wichtig angesehene -Niveaus
co N
= [n
, n
]
bestimmt. Vor allem werden im Allgemeinen die Cross-over-Punkte als wichtig ange-
sehen, d.h. jene Punkte, welche gerade den Akzeptanzgrad 0.5 haben:
co N
0.5
= [n
0.5
, n
0.5
]
ur den Verlauf der Zugeh¨
origkeitsfunktion zwischen den als wesentlich angesehenen
-Niveaus wird ein mit Hilfe von Distanzfunktionen
83
bestimmter Kurvenverlauf
84
vorgeschlagen.
85
Wichtige -Niveaus sind vor allem solche, an denen die Zugeh¨
origkeits-
funktion Knicke oder Sprungstellen aufweist. Die interpolierende Funktion soll dabei
"so einfach wie m¨
oglich und so ausdrucksf¨
ahig wie n¨
otig" sein.
86
Bei der Konstruktion
der unscharfen Menge sind neben Expertenmeinungen auch Maße zu Informationsge-
halt und Unsch¨
arfe von Fuzzy-Mengen von Bedeutung.
87
Wesentlicher Unterschied zum frequentistischen Verfahren ist, dass hier nicht einzel-
ne Experten befragt und deren Antworten dann empirisch-frequentistisch ausgewertet
werden, sondern es ist ein Konsens unter den Experten zu erzielen.
Wiederum kann, da ~
N eigentlich ein unscharfer Stichprobenumfang sein soll, eine
Einschr¨
ankung auf nat¨
urliche Zahlen vorgenommen werden, also der Durchschnitt
~
N = co ~
N
IN
83
Eine Distanzfunktion auf einer Menge U ist eine Abbildung d : U
× U IR
+
0
, (x, y)
d(x, y) mit
den Eigenschaften:
(i)
d(x, y)
0 x, y U (Nichtnegativit¨at)
(ii)
d(x, x) = 0
x U (Identit¨atseigenschaft)
(iii)
d(x, y) = d(y, x)
x, y U (Symmetrie)
(vi)
d(x, y)
d(x, z) + d(z, y) x, y, z U (Dreiecksungleichung)
Vgl. Bandemer (1992), S. 95 ff., Bandemer / N¨
ather (1992), S. 66 ff., Comploj (1994), S. 63 ff.
Die Definition der Distanzfunktion entspricht also der einer Pseudometrik (vgl. Abschnitt 3.2.4). Im
Zusammenhang mit der Konstruktion von Fuzzy-Mengen bzw. insbesondere pseudoexakten Zahlen
wird die Abbildung d als Distanzfunktion bezeichnet (vgl. Bandemer (1992), S. 95 ff., Bandemer /
ather (1992), S. 66 ff.).
84
Die Bestimmung der Zugeh¨
origkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge aus einer Distanzfunktion wird im
Allgemeinen mit Hilfe einer H¨
ohenfunktion h vorgenommen. Eine H¨
ohenfunktion ist eine Abbildung
h : IR
+
0
[0, 1], d(x, y) h(d(x, y)) mit den Eigenschaften:
(i)
d(x, y) < d(x, z)
h(d(x, y)) h(d(x, z)) (monoton fallend)
(ii)
h(d(x, x)) = h(0) = 1
Vgl. Bandemer (1992), S. 95 ff., Bandemer / N¨
ather (1992), S. 66 ff., Comploj (1994), S. 63 ff.
85
Vgl. Hauke (1998), S. 28 f.
86
Im Allgemeinen wird dieses Verfahren zur Konstruktion der Zugeh¨
origkeitsfunktion von pseudo-
exakten Daten verwendet. Das sind Angaben ¨
uber messbare Zustande, wie Geschwindigkeit, Tempe-
ratur oder Lebensdauer, bei denen geringf¨
ugige Abweichungen vom exakten Wert toleriert werden.
Die Zugeh¨
origkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge, die eine pseudoexakte Zahl beschreibt, ist dann als
eine Funktion der Abweichung vom exakten Wert zu definieren, wobei die Zugeh¨
origkeitsgrade mit
wachsender Abweichung abnehmen.
Vgl. Bandemer (1992), S. 95 ff., Bandemer / N¨
ather (1992), S. 66 ff., Comploj (1994), S. 63 ff.
87
Vgl. Knopfmacher (1975), S. 530 ff., Kosko (1986), S. 167 ff., Pal / Pal (1992), S. 211 ff., Bhandari
/ Pal (1993), S. 210 ff., Comploj (1994), S. 65.

KAPITEL 3 FUZZY-MENGEN
55
gebildet werden. (Ein Gewicht eines hypothetischen Stichprobenumfanges von 0 soll
hier ausgeschlossen werden, da dann das ganze Verfahren der Erhebung der subjektiven
A-priori-Einsch¨
atzung durch Experten gar nicht durchgef¨
uhrt werden m¨
usste.)
Sofern von Anfang an feststeht, dass nur nat¨
urliche Zahlen in Betracht gezogen
werden sollen, kann auch in der folgenden Art vorgegangen werden. Es werden zuerst
n
0
:= min
{n IN|
~
N
(n) > 0
} und
~
N
(n
0
)
n
0
:= max
{n IN|
~
N
(n) > 0
} und
~
N
(n
0
)
(3.110)
und
n
1
:= min
{n IN|
~
N
(n) = 1
}
n
1
:= max
{n IN|
~
N
(n) = 1
}
(3.111)
bzw. oft auch
n
0.5
:= min
{n IN|
~
N
(n)
0.5} und
~
N
(n
0.5
)
n
0.5
:= max
{n IN|
~
N
(n)
0.5} und
~
N
(n
0.5
)
(3.112)
bestimmt. Dann wird ¨
uberlegt, bei welchen n
IN Sprungstellen vorliegen, die durch
eine interpolierende Zugeh¨
origkeitsfunktion, welche wiederum mit Hilfe einer Distanz-
funktion bestimmt werden kann, nicht getroffen werden. F¨
ur diese ist der Zugeh¨
orig-
keitsgrad
~
N
(n) eigens zu bestimmen. Wenn supp( ~
N) aus sehr wenigen Elementen
besteht, ist auch eine konsensuale Bestimmung der Zugeh¨
origkeitsgrade f¨
ur alle n
supp( ~
N) zu denken, ohne eine Distanzfunktion zu definieren.

Kapitel 4
Unscharfe stochastische
Modellierung
Bisher wurden lediglich Ans¨
atze zur Behandlung von Problemen, in welchen entweder
Zuf¨
alligkeit oder Unsch¨
arfe eine Rolle spielt, beschrieben. Bei vielen Fragestellungen,
wie auch bei der Fragestellung unseres begleitenden Beispiels, treten die beiden Ph¨
ano-
mene aber gemeinsam auf. Die Anzahl der Flutwellen kritischer H¨
ohe im Jahr ist eine
stochastische Gr¨
oße, w¨
ahrend die H¨
ohe der Flutwellen selbst unscharf ist. Zur ad¨
aqua-
ten Modellierung dieses Problems muss ein Konzept gefunden werden, welches geeignet
ist, Unsch¨
arfe und Zuf¨
alligkeit simultan zu ber¨
ucksichtigen. Zwei Konzepte stehen dabei
zur Auswahl. W¨
ahrend das Konzept der Fuzzy-Zufallsvariablen bereits bei der theore-
tischen stochastischen Modellierung Unsch¨
arfe zul¨
asst, geht ein zweites Konzept davon
aus, dass Unsch¨
arfe bei der empirischen Realisation einer Zufallsvariablen auftritt.
In der vorliegenden Arbeit kommt das Konzept der Fuzzy-Zufallsvariablen zur An-
wendung, welches im folgenden Kapitel vorgestellt werden soll. Unter den verschiedenen
in der Literatur vorgeschlagenen Ans¨
atzen zur Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen
wurde die Auswahl dahin gehend getroffen, dass das in dieser Arbeit verwendete Ba-
siskonzept sich prim¨
ar an der Definition der Fuzzy-Zufallsvariablen nach Kwakernaak
1
orientiert, welches auch in den Arbeiten zur unscharfen Statistik von Kruse
2
und M¨
oller
und Beer
3
weitergef¨
uhrt wird.
Einen alternativen Ansatz zur Modellierung von Sachverhalten, welche von Unsch¨
ar-
fe und Zuf¨
alligkeit gepr¨
agt sind, schl¨
agt Viertl vor.
4
Viertl kommt in seinen Arbeiten
ohne den Begriff der unscharfen Zufallsvariablen aus. Viertl zieht lediglich die M¨
oglich-
keit unscharfer Beobachtungen der Realisation der zuf¨
alligen Gr¨
oße (neben m¨
oglichen
scharfen Beobachtungen) in Betracht, die Frage nach Sch¨
arfe oder Unsch¨
arfe der zu-
grunde liegenden theoretischen stochastischen Gr¨
oße wird nicht gestellt. Der Begriff
der unscharfen Stichprobe bzw. des unscharfen Stichprobenelements wird bei Viertl
ebenfalls nur auf die konkrete Stichprobe, nicht hingegen auf die theoretische Stich-
probe bezogen.
5
In neueren Arbeiten besch¨
aftigt sich aber auch Viertl mit Fuzzy-
1
Vgl. Kwakernaak (1978), S. 6 ff.
2
Vgl. etwa Kruse / Meyer (1987), S. 63 ff.
3
Vgl. etwa M¨
oller / Beer (2004), 66 ff.
4
Vgl. etwa Viertl (1996), S. 45 ff., Viertl / Hareter (2006), S. 41 ff.
5
Vgl. Viertl (1996), S. 45.
56

KAPITEL 4 UNSCHARFE STOCHASTISCHE MODELLE
57
Zufallsvariablen und formuliert darauf aufbauend, in Anlehnung an M¨
oller, Sickert,
Beer und andere
6
, auch den Begriff des unscharfen stochastischen Prozesses.
7
Die Entscheidung zugunsten des Konzepts der Fuzzy-Zufallsvariablen wurde aus
dem Grund getroffen, da in der vorliegenden Arbeit Wert darauf gelegt wird, die Ver-
teilung der stochastischen Gr¨
oße aus dem Daten generierenden Prozess zu bestimmen.
Wie sich in sp¨
ateren Kapiteln noch zeigen wird, ist das gew¨
ahlte Konzept der Fuzzy-
Zufallsvariablen geeignet, Ergebnisse zu liefern, welche sowohl aus der Sicht der Fuzzy-
Set-Theorie, als auch aus statistischer Sicht zufrieden stellend sind. In der Arbeit wird
die Ansicht vertreten, dass die Zufallsvariable, deren Realisationen aufgrund ihrer Kon-
zeption immer unscharf sein m¨
ussen (wie dies etwa bei der (unscharfen) Anzahl der
Flutwellen kritischer (unscharfer) H¨
ohe der Fall ist), ebenfalls unscharf sein m¨
ussen.
Exakte Daten zwischen den unscharfen werden als Spezialf¨
alle der Realisationen von
unscharfen Zufallsvariablen interpretiert.
Neben erw¨
ahnten Konzepten von Fuzzy-Zufallsvariablen und unscharfen Realisa-
tionen von gew¨
ohnlichen Zufallsvariablen wurden in der Literatur unz¨
ahlige Versuche
unternommen, um das kombinierte Auftreten von Unsch¨
arfe und Wahrscheinlichkeit zu
modellieren. Von Zadeh wurde etwa die (scharfe) Wahrscheinlichkeit eines unscharfen
Ereignisses definiert,
8
welche von vielen Autoren zur L¨
osung von zahlreichen Fragestel-
lungen, bei denen Unsch¨
arfe und Wahrscheinlichkeit gemeinsam auftreten, herangezo-
gen wurde und immer noch wird.
9
In anderen Ans¨
atzen geht es darum, Wahrschein-
lichkeiten zu definieren, welche scharf sind f¨
ur klassische Ereignisse und unscharf f¨
ur
unscharfe Ereignisse.
10
Eine ¨
Ubersicht ¨
uber wichtige Arbeiten zur Fuzzy-Stochastik, in welchen stochasti-
sche Methoden und Fuzzy-Mengen-Lehre kombiniert werden, bietet Taheri.
11
Ein neuerer Ansatz, der anstatt mit Fuzzy-Zufallsvariablen mit zuf¨
alligen Fuzzy-
Variablen oder zuf¨
alligen unscharfen Variablen arbeitet, wurde von Liu eingef¨
uhrt.
12
Die Definition von Fuzzy-Variablen bzw. zuf¨
alligen Fuzzy-Variablen baut nicht auf
der in Kapitel 3 beschriebenen Theorie der Fuzzy-Mengen, sondern auf der Theorie
der Fuzzy-Maße und insbesondere der M¨
oglichkeitstheorie auf,
13
auf die in dieser Ar-
6
Vgl. etwa Sickert / Beer / Graf / M¨
oller (2003), S. 379 ff., M¨
oller / Beer (2004), S. 88 f.
7
Vgl. Viertl / Hareter (2004b), S. 51 ff.
8
Vgl. Zadeh (1968), S. 422 ff.
9
Dieser Ansatz wird am Ende von Abschnitt 4.2.1 kurz beschrieben.
10
Der erste Ansatz dazu stammt von Yager (1979), S. 114 ff., und bezieht sich auf Ereignisse in
diskreten Wahrscheinlichkeitsr¨
aumen. Ein Ansatz f¨
ur Ereignisse in stetigen Wahrscheinlichkeitsr¨
aum-
en wurde bei Dubois / Prade (1992), S. 143 f., vorgestellt. Weitere Vorschl¨
age wurden von Klement
(1982), S. 211 ff., und wiederum von Yager (Yager (1984a), S. 275 ff., Yager (1984b), S. 3 ff.) formuliert,
eine Zusammenfassung findet sich bei Comploj (2002), S. 99 ff.
11
Vgl. Taheri (2003), S. 239 ff.
12
Vgl. Liu (2001a), S. 713 ff., Liu (2001b), S. 721 ff., Liu (2002a), Liu (2002b), S. 259 ff., Liu (2004),
Liu / Liu (2002a), S. 445 ff., Liu / Liu (2002b), S. 509 ff., Liu / Liu (2003a), S. 195 ff., Liu / Liu
(2003b), S. 89 ff., Liu / Liu (2003c), S. 146 ff.
13
Die M¨
oglichkeitstheorie wurde von Zadeh (1978), S. 3 ff., eingef¨
uhrt. Die Zugeh¨
origkeitsfunktion
einer Fuzzy-Menge wird dabei als M¨
oglichkeitdichte interpretiert. Das Theoriegeb¨
aude der M¨
oglich-
keitstheorie weist zahlreiche Parallelen zu dem der Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Die M¨
oglichkeits-
theorie ist ein Teilbereich der Fuzzy-Maß-Theorie. In Abschnitt 3.2.6 findet sich eine kurze Darstellung
dazu. Eine ausf¨
uhrliche Beschreibung der Fuzzy-Maß-Theorie findet sich in der Monographie von Wang
/ Klir (1992), auch bei Comploj (1994), S. 74 ff., oder etwa bei M¨
oller / Beer (2004), S. 59 ff., finden
sich Zusammenfassungen zu Fuzzy-Maß-Theorie und M¨
oglichkeitstheorie.

58
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
beit nicht eingegangen wird. Die Theorie der zuf¨
alligen Fuzzy-Variablen kombiniert
oglichkeits- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Zuf¨
allige Fuzzy-Variablen werden etwa
zur Beschreibung von stochastischen Prozessen, bei denen Unsch¨
arfe eine Rolle spielt
verwendet.
14
4.1
Fuzzy-Zufallsvariablen
4.1.1
Zufallsvariablen und zuf¨
allige Mengen
Bevor auf die verschiedenen M¨
oglichkeiten zur Definition einer Fuzzy-Zufallsvariablen
eingegangen wird, sollen die Begriffe der Zufallsvariablen und der zuf¨
alligen Mengen,
von welchen die unscharfe Zufallsvariable eine Erweiterung darstellt, erl¨
autert werden.
Sind (,
A) und (U, C) messbare R¨aume, d.h. ist A eine -Algebra auf und ist
C eine -Algebra auf U, dann heißt eine Abbildung X : U messbar oder A-C-
messbar, wenn gilt:
X
-1
(C)
A C C
Ausgegangen wird von einem Wahrscheinlichkeitsraum (,
A, P ), d.h. P ist ein
Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren Raum (,
A), und (U, C) ist ein messbarer
Raum.
Eine
A-C­messbare Abbildung
X :
U
X()
(4.1)
heißt Zufallsvariable auf (U,
C).
15
Eine h¨
aufige Schreibweise f¨
ur Zufallsvariablen ist
X : (,
A, P ) (U, C) .
Die Werte X()
U heißen Realisationen der Zufallsvariablen X auf U.
Auf dem messbaren Raum (U,
C) wird von X ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q indu-
ziert durch:
Q(C) := P
X
(C) = P X
-1
(C) = P (
{ |X() C}) f¨ur C C
Ist (,
A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, ist U eine Menge, und ist X : U
eine Abbildung, so bezeichnet
(X) :=
C
U X
-1
(C)
A
die kleinste -Algebra auf U, sodass X messbar ist, und heißt die von X erzeugte
-Algebra auf U.
14
Die Theorie zu Folgen von von zuf¨
alligen Fuzzy-Variablen samt Grenzwerts¨
atzen wird bei Liu /
Liu (2003c) bschrieben. Anwendungen finden sich vor allem im Bereich der Zuverl¨
assigkeitstheorie. Bei
Zhao / Liu (2003), S. 573 ff., und Zhao / Tang / Yun (2006), S. 189 ff., wird ein Erneuerungsprozess
auf Basis von zuf¨
alligen unscharfen Variablen konstuiert. Zhao / Liu (2004), S. 716 ff., untersuchen
mit diesem Modell Redundanzen von Systemen.
15
Vgl. etwa Viertl (2003), S. 36 ff.

KAPITEL 4 UNSCHARFE STOCHASTISCHE MODELLE
59
Eine Zufallsvariable X :
U, die nur abz¨ahlbar viele Werte in U annehmen
kann, wird als diskrete Zufallsvariable bezeichnet. Dies ist insbesondere der Fall, wenn
die Menge nur abz¨
ahlbar viele Elemente besitzt. Eine stetige Abbildung X :
U
wird als stetige Zufallsvariable bezeichnet.
Eine zuf¨
allige Menge ist eine mengenwertige Zufallsvariable. Ist
P(U) die Potenz-
menge des Universums U, und ist auf
P(U) die -Algebra M definiert durch
M :=
V
B
B
|B, B P(U)
V
B
B
:=
{C P(U) |(B C) (B C = )} ,
(4.2)
sodass (
P(U), M) ein messbarer Raum ist, ist außerdem (, A, P ) ein Wahrscheinlich-
keitsraum, dann heißt eine
A-M-messbare Abbildung (gem¨aß (3.105))
X :
P(U)
X()
zuf¨
allige Menge auf (
P(U), M).
16
Man schreibt auch
X : (,
A, P ) (P(U), M) .
Die Realisationen X()
P(U) der zuf¨alligen Menge X werden auch als Fokalmengen
von X bezeichnet.
Auf (
P(U), M) wird von X ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q induziert durch
Q(
V) := P
X
(
V) = P X
-1
(
V) = P ({ |X() V })
(4.3)
ur
V M. F¨ur die Analyse der zuf¨alligen Menge X gen¨ugt es, die von X auf P(U)
erzeugte Sub--Algebra
M
X
von
M zu betrachten:
M
X
:=
(
{V P(P(U)) |X
-1
(
V) A})
X
-1
(
V) := { |X() V }
(4.4)
Bezeichnet man das von X induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß auf (
P(U), M
X
) mit
Q
M
X
, so gilt f¨
ur das Wahrscheinlichkeitsmaß Q
Q(
V) =
Q
M
X
ur
V M
X
0
ur
V M\M
X
(4.5)
ur
V M. Eine Beschr¨ankung der Betrachtung auf (P(U), M, P ) ist daher ohne
Einschr¨
ankung m¨
oglich.
Der Bezug zwischen zuf¨
alligen Mengen und Fuzzy-Mengen ist ein zweifacher: Einer-
seits ist es m¨
oglich, aufgrund einer zuf¨
alligen Menge eine Fuzzy-Menge zu definieren,
wie dies bereits in Abschnitt 3.3.3 vor der Einf¨
uhrung der exakten Definition der zuf¨
alli-
gen Mengen dargestellt wurde.
16
Ausf¨
uhrliche Darstellungen zu zuf¨
alligen Mengen finden sich bei Matheron (1975) und Stoyan /
Kendall / Mecke (1987), vgl. auch Kruse / Meyer (1987), S. 63 f., Li (1995), S. 181 f., Comploj (1994),
S. 94 ff. Speziell auf intervallwertige zuf¨
allige Mengen wird bei Beck / Kreinowich / Wu (2004) und
bei Starks / Kreinovich u.a. (2004) eingegangen.

60
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
Andererseits liefert die Fuzzifikation des Konzeptes der zuf¨
alligen Mengen die Defi-
nition der Fuzzy-Zufallsvariablen, die die Basis f¨
ur die statistische Analyse unschar-
fer Daten darstellt. Bevor das Konzept der zuf¨
alligen Mengen zu dem der Fuzzy-
Zufallsvariablen erweitert wird, sollen noch einige f¨
ur die Fuzzifikation wesentliche De-
tails Erw¨
ahnung finden.
17
Nun werden speziell U = IR und die Menge der kompakten Intervalle
I
k
(IR) =
{[a, b] |a, b IR} statt P(U) werde nur betrachtet. (, A, P ) ist wieder ein Wahrschein-
lichkeitsraum. Die zuf¨
allige Menge
X :
I
k
(IR)
X() = [min X(), max X()] =: X(), X()
(4.6)
ist durch ihre Endpunkte X und X vollst¨
andig charakterisiert. Eine zuf¨
allige Men-
ge der Form (4.6) wird als zuf¨
alliges kompaktes Intervall bezeichnet. X und X sind
Zufallsvariablen, d.h.
A-B-messbare Abbildungen (B ist die Borel'sche -Algebra)
X :
IR, X()
X :
IR, X().
(4.7)
Eine Abbildung X :
I
k
(IR) ist also eine zuf¨
allige Menge, wenn die beiden Abbil-
dungen X und X
A-B-messbar sind.
18
Betrachtet man statt
I
k
(IR) die Menge
I(IR) = B IR I IN : B =
i
I
[a
i
, b
i
] , a
i
, b
i
IR
= B
IR I IN : B =
i
I
A
i
, A
i
I
k
(IR) ,
wobei mit die disjunkte Vereiningung von Mengen, also die Vereinigung von Mengen
mit leerem Durschnitt, bezeichnet wir, so ist die zuf¨
allige Menge
X :
I(IR)
X() =
i
I
X
i
(), X
i
()
(4.8)
mit I
IN nicht mehr durch zwei Zufallsvariablen vollst¨andig bestimmt, sondern es
ussen alle Abbildungen
X
i
:
IR, X
i
()
X
i
:
IR, X
i
()
i
I
(4.9)
A-B-messbar sein.
Anstelle von U = IR kann auch ein beschr¨
anktes oder unbeschr¨
anktes Intervall auf
IR als Universum U betrachtet werden.
Ist U eine abz¨
ahlbare Teilmenge von IR, etwa U = IN, ZZ, I
Q, so ist
P(U) ein Spezi-
alfall von
I(IR) mit a
i
= b
i
i I und a
i
U i I. Eine zuf¨allige Menge
X :
P(U)
X() =
i
I
{X
i
()
}
(4.10)
17
Vgl. Kruse / Meyer (1987), S. 64, Comploj (1994), S. 94 ff.
18
Vgl. Kruse (1984), S. 220 f., Kruse / Meyer (1987), S. 64 f., Comploj (1994), S. 98, Viertl / Hareter
(2004b), S. 52.

KAPITEL 4 UNSCHARFE STOCHASTISCHE MODELLE
61
mit I
IN ist somit gegeben durch die Zufallsvariablen (d.h. durch die A-B-messbaren
Abbildungen)
X
i
:
U, X
i
()
i I.
(4.11)
Die Zufallsvariablen (4.11) sind diskrete Zufallsvariablen, da sie nur abz¨
ahlbar viele
Werte annehmen k¨
onnen.
4.1.2
Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen
Fuzzy-Zufallsvariablen sind eine Erweiterung der zuf¨
alligen Mengen, es sind zuf¨
allige
unscharfe Mengen. Es gibt zahlreiche Ans¨
atze zur Definition von Fuzzy-Zufallsvariab-
len. Die wichtigsten stammen von Kwakernaak
19
, von Nahmias
20
, von Stein und Talati
21
und von Puri und Ralescu
22
, j¨
ungere stammen von Drossos und Theodoropoulos
23
,
von Gudder
24
und von Wu
25
. Kr¨
atschmer erstellt schließlich ein Konzept, bei dem er
die ¨
Aquivalenzen zu anderen Konzepten zeigt und welches zur Vereinheitlichung der
Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen dienen soll.
26
Als zuf¨
allige unscharfe Abbildungen
bezeichnet Huang sein Konzept.
27
Der Ansatz von Kwakernaak wurde insbesondere in
den Arbeiten von Kruse
28
, wie auch von M¨
oller
29
¨
ubernommen und wird auch von
Viertl
30
, sofern er mit diesem Konzept arbeitet, bevorzugt.
Auch das Konzept der Fuzzy-Zufallsvariablen von Puri und Ralescu wurde immer
wieder aufgegriffen, zum Teil erweitert und zur Beschreibung von unscharfen stochasti-
schen Problemen verwendet.
31
Hier sollen Fuzzy-Zufallsvariablen unter Zuhilfenahme
der Eigenschaften (4.6)-(4.11) von zuf¨
alligen Mengen definiert werden.
Definition: Voraussetzung ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (,
A, P ).
19
Vgl. Kwakernaak (1978), S. 6 ff., Kwakernaak (1979), S. 253 ff.
20
Vgl. Nahmias (1979), S. 174 ff.
21
Vgl. Stein / Talati (1981), S. 275 ff.
22
Vgl. Ralescu / Ralescu (1984), S. 87 ff., Puri / Ralescu (1986), S. 413 ff.
23
Vgl. Drossos / Theodoropoulos (1996), S. 355 ff.
24
Vgl. Gudder (2000), S. 1663 ff.
25
Vgl. Wu (1999a), S. 139 ff., Wu (1999b), S. 239 ff., Wu (2000), S. 245 ff., Wu (2003a), S. 101 ff.
26
Vgl. Kr¨
atschmer (2001), S. 1 ff., vgl. auch Yoshida / Yasuda / Nakagami / Kurano (2000), S. 137.
27
Vgl. Huang (1999), S. 437 ff.
28
Vgl. Kruse (1982), S. 253 ff., Kruse (1984), S. 198 ff., Kruse (1986), S. 221 ff., Kruse / Meyer
(1987), S. 63 ff., Kruse / Gebhardt (1988), S. 356 ff., Borgelt / Gebhardt /Kruse (1999), S. 372 ff.
29
Vgl. M¨
oller / Graf / Beer / Sickert (2001), S. 4 ff., M¨
oller / Graf / Beer / Sickert (2002), S. 4
ff., M¨
oller / Graf / Beer (2003), S. 1569 ff., Sickert / Beer / Graf / M¨
oller (2003), S. 379 ff., M¨
oller
(2004), S. 754 f., M¨
oller / Beer (2004), S. 66 f., Sickert / Graf / Reuter (2005), S. 1709 ff., Beer /
Spanos (2005), S. 1728 ff., M¨
oller / Beer / Graf / Sickert (2006), S. 592 ff.
30
Vgl. Viertl / Hareter (2004b), S. 51 ff.
31
Vgl. etwa K¨
orner (1997), S. 83 ff., N¨
ather (2000), S. 201 ff., N¨
ather (2001), S. 69 ff., K¨
orner /
ather (2002), S. 25 ff., Feng (2000), S. 325 ff., Feng (2001), S. 11 ff., Feng / Hu / Shu (2001), S. 487
ff., Li / Ogura / Nguyen (2001), S. 7 ff., L´
opez-D´iaz / Gil (1997), S. 135 ff., L´
opez-D´iaz / Gil (1998),
S. 11 ff., L´
opez-D´iaz / Gil (1999), S. 29 ff., Colubi / Dom´inguez-Menchero / L´
opez-D´iaz / Ralescu
(2001), S. 3 ff., Ter´
an / L´
opez-D´iaz (2001), S. 39 ff., Alonso / Brezmes / Lubiano / Bertoluzza (2001),
S. 47 ff., Lubiano / Gil (2002), S. 46 ff.
Eine ¨
Ubersicht dazu liefert Gil (2001), S. 1 f.

62
UNSCHARFE SEQUENTIELLE BAYES-STATISTIK
(i) Eine Abbildung
~
X :
F
c
(IR)
~
X()
(4.12)
heißt Fuzzy-Zufallsvariable oder unscharfe Zufallsvariable, wenn f¨
ur alle
(0, 1]
die -Schnitte X
von ~
X
X
:
I
k
(IR)
X
() := x
IR
~
X()
(x)
(4.13)
zuf¨
allige Mengen im Sinn von (4.6)-(4.7) sind, d.h. wenn f¨
ur alle
(0, 1] die
Abbildungen
X
:
IR
X
() := inf X
()
X
:
IR
X
() := sup X
()
(4.14)
A-B-messbar sind. Dies ist die Definition einer Fuzzy-Zufallsvariablen im Sinne
von Kwakernaak.
32
(ii) Eine Abbildung
~
X :
F
cc
(IR)
~
X()
(4.15)
heißt Fuzzy-Zufallsvariable oder unscharfe Zufallsvariable, wenn f¨
ur alle
(0, 1]
die -Schnitte X
von ~
X
X
:
I(IR)
X
() := x
IR
~
X()
(x)
(4.16)
zuf¨
allige Mengen im Sinn von (4.8)-(4.9) sind, d.h. wenn f¨
ur alle
(0, 1] gilt:
I IN : X
() =
i
I
X
i
(), X
i
()
(4.17)
und wenn f¨
ur alle
(0, 1] iI die Abbildungen
X
i
:
IR
X
i
()
X
i
:
IR
X
i
()
(4.18)
A-B-messbar sind. (4.15)-(4.18) ist die Erweiterung der Definition (4.12)-(4.14)
von
F
c
(IR) auf
F
cc
(IR).
33
32
Vgl. Kwakernaak (1978), S. 6 f., Viertl / Hareter (2004b), S. 52.
33
Kruse / Meyer (1987), S. 64, begn¨
ugen sich bei der Definition der Fuzzy-Zufallsvariablen auch im
Fall ~
X()
F
cc
(IR) f¨