In betriebswirtschaftliche Entscheidungen kann auf zweierlei Weise Unbestimmtheit einfließen: Unternehmerische Entscheidungen sind im allgemeinen in die Zukunft gerichtet und es ist nicht möglich, die Rahmenbedingungen der Umwelt für die Entscheidung exakt zu prognostizieren. Diese Ausprägung der Unbestimmtheit wird als Unsicherheit bezeichnet. Sofern es zumindest gelingt statistische Gesetzmäßigkeiten anzugeben, liegt eine Entscheidung unter Risiko vor, andernfalls besteht Ungewißheit.
Neben Unsicherheit kommt Unschärfe ins Spiel. Unschärfe beruht im Gegensatz zur Unsicherheit nicht auf Unwissenheit über zukünftige Ereignisse, sondern leitet sich aus der Problematik der Beschreibung hochkomplexer Sachverhalte mittels simpler Zahlen ab. Zur Beschreibung des Phänomens der Unschärfe wird der Anatz der Fuzzy-Theorie verwendet, der eine Erweiterung mathematischer Operationen auf unscharfe Zahlen ermöglicht. Es gibt zahlreiche mathematische Ansätze zur Modellierung von Fuzzy-Mengen.
Die mathematischen Modelle zur Erfassung von Unschärfe werden auf die Beschreibung von Unschärfen bei betriebswirtschaftlich entscheidungsrelevanten Größen. Insbesondere wird dabei auf zweierlei Problemkreise eingegangen: Einerseits werden die häufig linguistisch umschriebenen „weichen“ Begriffe der Sozialwissenschaft besprochen, welche zwar eine Nachbarwissenschaft der Betriebswirtschaftslehre darstellt, aber in Entscheidungen über das Verhalten von Entscheidungsträgern wie auch von Betroffenen (etwa von Kunden bei Absatzentscheidungen) einfließt. Andererseits wird auf Unschärfen im betrieblichen Rechnungswesen eingegangen, welche einerseits auf unscharfe Vorschriften des Handelsrechts zurückzuführen sind, und andererseits auf die Problematik der Abbildung von komplexen Sachverhalten durch eine einzige exakte Zahl; auch unscharfe steuerrechtliche Bestimmungen finden Würdigung. Diese so gewonnenen entscheidungsrelevanten unscharfen Daten werden im Entscheidungsmodell zur Generierung unscharfer Entscheidungen herangezogen. Besondere Beachtung finden Verfahren der Fuzzy-Statistik, welche einerseits zur Gewinnung unscharfer Information für Modellierung unscharfer Wahrscheinlichkeiten im Entscheidungsmodell unter Risiko herangezogen werden, und anderseits selbst Lösungsalgorithmen für risikobehaftete unscharfe betriebswirtschaftliche Entscheidungsprobleme bereitstellen.
Unscharfe Daten bei risikobehafteten
Unternehmensentscheidungen
Diplomarbeit
zum Abschluß des Diplomstudiums der Betriebswirtschaftslehre
zur Erlangung des akademischen Grades einer Magistra
der Sozial- und Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik
Sozial- und Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät
der Leopold-Franzens-Universität Innsbruck
eingereicht von
Frau Mag. Petra Comploj
September 2002
I
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ...I
Abbildungs- und Tabellenverzeichnis...IV
1 Einleitung... 1
2 Entscheidungsorientierte Betriebswirtschaftslehre und Unbestimmtheiten... 5
2.1 Systementwurf der entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre ...5
2.2 Unbestimmtheiten in Modellen der entscheidungsorientierten
Betriebswirtschafslehre ...9
2.2.1 Unbestimmtheit aus Mangel an Information...9
2.2.2 Unbestimmtheit aus Mangel an begrifflicher Schärfe ...10
2.2.3 Wahrscheinlichkeits- und Fuzzy-Set-Theorie...11
3 Grundlagen der Fuzzy-Mengen-Theorie ... 13
3.1 Definition von Fuzzy-Mengen (Fuzzy-Sets) ...13
3.2 Die
-Schnitte von Fuzzy-Mengen ...15
3.3 Einige besondere Fuzzy-Mengen und wichtige Darstellungsformen ...16
3.4 Possibilistische Interpretation von Fuzzy-Mengen...19
4 Fuzzy-Mengen zur Beschreibung unscharfer betriebswirtschaftlicher
entscheidungsrelevanter Daten ... 22
4.1 Fuzzy-Daten in der Sozialwissenschaft ...22
4.1.1 Linguistische Variablen ...23
4.1.2 Mehrdimensionale unscharfe Merkmale...28
4.1.3 Fuzzy-Mengen auf sozialwissenschaftlichen Meßskalen ...29
4.2 Unschärfe in ausgewählten Bereichen des Rechnungswesens ...33
4.2.1 Unschärfe bei Bilanzansätzen ...33
4.2.2 Unscharfe Lebens- und Nutzungsdauern ...37
4.2.3 Unscharfe Börsenkurse von Finanzinstrumenten...39
4.2.4 Unscharfe Ertragswerte von Finanzinstrumenten ...43
4.2.5 Unscharfe Interpretation von Bilanzgrößen ...44
4.2.6 Unschärfe in Ausprägung und Interpretation von Bilanzkennzahlen ...49
4.2.7 Fuzzy-Methoden bei der Jahresabschlußprüfung...52
4.2.8 Unschärfe und Unsicherheit bei der Unternehmensbesteuerung ...55
5 Rechenoperationen mit Fuzzy-Mengen ... 66
5.1 Mengenoperationen mit Fuzzy-Mengen; t-Normen - t-Conormen...66
II
5.2 Mehrdimensionale Fuzzy-Mengen, kartesisches Produkt von Fuzzy-Mengen, Fuzzy-
Vektoren...69
5.3 Arithmetik mit Fuzzy-Mengen, das Extensionsprinzip...72
5.3.1 Das Extensionsprinzip und die vier Grundrechnungsarten...72
5.3.2 Arithmetische Operationen mit Hilfe der
-Schnitte...74
5.3.3 Folgen und Reihen von unscharfen Zahlen...77
5.4 Unscharfe Funktionen...79
5.4.1 Fuzzy-Extensionen von Funktionen...79
5.4.2 Fuzzifizierende Funktionen ...80
5.4.3 Unscharfe Funktionenscharen...83
5.4.4 Differentiation und Integration von fuzzifizierenden Funktionen ...84
5.5 Ordnungsrelationen und Rangordnungsverfahren für Fuzzy-Mengen ...88
5.5.1 Unscharfes Maximum und Minimum von unscharfen Zahlen: ...88
5.5.2 Ordnungsrelationen für reelle Fuzzy-Mengen ...89
5.5.3 Rangordnungsverfahren für Fuzzy-Mengen ...91
6 Kombinationen von Unschärfe und Wahrscheinlichkeit ... 93
6.1 Scharfe Wahrscheinlichkeiten von unscharfen Ereignissen ...94
6.2 Unscharfe Wahrscheinlichkeiten von unscharfen Ereignissen...99
6.3 Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten ...107
7 Aspekte der Fuzzy-Statistik ... 113
7.1 Fuzzy-Zufallsvariablen und unscharfe deskriptive Statistik...113
7.1.1 Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen ...113
7.1.2 Charakteristiken von unscharfen Zufallsvariablen...115
7.1.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Fuzzy-Zufallsvariablen...122
7.1.4 Folgen von Fuzzy-Zufallsvariablen ...126
7.2 Klassische Inferenzstatistik mit unscharfen Daten ...129
7.2.1 Nicht-parametrische Schätzung bei Unschärfe ...129
7.2.2 Schätzung unscharfer Verteilungsparameter...133
7.2.3 Unscharfe Konfidenzbereiche...142
7.2.4 Unscharfe statistische Tests mit unscharfen Daten...145
7.2.5 Scharfe statistische Tests für unscharfe Hypothesen ...151
7.3 Das Softwaretool SOLD ...155
8 Unschärfe im betriebswirtschaftlichen Entscheidungsmodell... 157
8.1 Das klassische Modell der normativ-präskriptiven Entscheidungstheorie...157
8.2 Unscharfe Handlungsalternativen...159
8.3 Unscharfe Umweltzustände...161
8.4 Unscharfe Ergebnisfunktion ...163
III
8.5 Unscharfe Ziele und unscharfe Nutzenerwartungen...166
8.6 Unscharfe Zustandswahrscheinlichkeiten ...170
8.7 Entscheidungsregeln bei Unschärfe...178
8.7.1 Fuzzy-Entscheidungsmatrix und Rangordnung der Fuzzy-Aktionen ...180
8.7.2 Fuzzy-statistische Schätzentscheidung und Fuzzy-Maximum...191
8.8 Spezielle unscharfe betriebswirtschaftliche Entscheidungsprobleme ...196
9 Schlußbemerkung ... 199
Literaturverzeichnis ... 203
IV
Abbildungs- und Tabellenverzeichnis
Abb. 2.1 Forschungsansatz der entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre...5
Abb. 2.2 Schema der Explikation...6
Abb. 2.3 Schema der Explanation...6
Abb. 3.1 Fuzzy-Menge und gewöhnliche Menge...14
Abb. 3.2 Zugehörigkeit der Batterie zur Menge der funktionierenden Batterien...14
Abb. 3.3
-Schnitte von A ...15
Abb. 3.4
-Schnitte von A zu verschiedenen -Niveaus...15
Abb. 3.5 Trapezförmiges Fuzzy-Intervall ...17
Abb. 3.6 Trianguläre Fuzzy-Zahl ...17
Abb. 4.1 Stellung der Daten im Forschungsprozeß...23
Abb. 4.2 Fuzzy-Intervall "reich" ...27
Abb. 4.3 Der Modifikator "sehr"...27
Abb. 4.4 Zugehörigkeitsfunktion des linguistischen Terms "mittleren Einkommens"...28
Abb. 4.5 Skala mit scharfen Intervallen und linguistischen Umschreibungen...31
Abb. 4.6 Individuelle Einstelung und linguistische Terme als Fuzzy-Mengen...31
Abb. 4.7 Individuelle Einstellung als Fuzzy-Menge auf der Skala ...32
Abb. 4.8 Schulnoten als Fuzzy-Mengen auf der Punkteskala ...32
Abb. 4.9 Linguistischer Term im Dienstzeugnis und im allgemeinen Sprachgebrauch ...33
Abb. 4.10 Zugehörigkeitsfunktion des "beizulegenden Wertes" ...35
Abb. 4.11 Spannungsabfall und unscharfe Lebensdauer einer Batterie ...38
Abb. 4.12 Treppenfunktion der Funktionsausfälle von Funktion 1 bis Funktion n ...39
Abb. 4.13 Terminpreise von Commodity und Currency Futures ...40
Abb. 4.14 Balkenchart DAX Frankfurt/Index 06.08.9601.08.97...42
Abb. 4.15 Unscharfe Zahlung ...44
Abb. 4.16 Eigenkapital laut HGB-Bilanz und mögliches Eigenkapital ...46
Abb. 4.17 Eigenkapital lt. IAS-Abschluß, lt. HGB-Abschluß und mögliches Eigenkapital48
Abb. 4.18 Unscharfe Kennzahl aus possibilistischen Bilanzgrößen ...50
Abb. 4.19 Unscharfe Kennzahl und scharfe Abgrenzung der möglichen Zuordnung...50
Abb. 4.20 Scharfe Kennzahl und unscharfe Umschreibungen der möglichen Ausprägung 51
Abb. 4.21 Linguistische Umschreibung aufgrund branchenspezifischer Häufigkeiten ...52
Tab. 4.22 Ausschnitt aus dem Fuzzy-Regelwerk des Fuzzy-Logik-Systems...54
Abb. 4.23 Ablaufschema des Inferenzprozesses mit Hilfe der Fuzzy-Logik ...55
Abb. 4.24 Verrechnungspreis als Fuzzy-Menge ...60
Abb. 4.25 Fuzzy-Menge der billigen und zweckmäßigen Ermessensentscheidungen...61
Abb. 4.26 Zugehörigkeitsfunktionen bei a) Erfüllung, b) starker Ausprägung, c)
annähernder Verwirklichung eines Merkmals ...65
V
Abb. 5.1 a) Durchschnitt und b) Vereinigung von Fuzzy-Mengen, c) Komplement und d)
Teilmenge einer Fuzzy-Menge...68
Abb. 5.2 Zylindrische Extension...69
Abb. 5.3 Zweidimensionale Fuzzy-Vektoren: pyramidenförmig bzw. kegelförmig...70
Abb. 5.4 Rechteckige bzw. ellipsenförmige
-Schnitte...70
Abb. 5.5 Grautonbilder, welche zweidimensionale Fuzzy-Mengen darstellen...71
Abb. 5.6 Fuzzy-Extension einer linearen Funktion mit triagulärem X
~
...79
Abb. 5.7 Fuzzifizierende lineare Funktion
b
x
x
f
= A
~
)
(
~
mit Fuzzy-Parameter A
~
:
Zugehörigkeitsfunktionen ihrer Fuzzy-Bilder bzw. ihre
-Niveaukurven...82
Abb. 5.8 Unscharfe Schar von linearen Funktionen ...83
Abb. 5.9 Fuzzy-Maximum (a)) und Fuzzy-Minimum (b)) von Fuzzy-Zahlen ...89
Abb. 5.10
-Präferenzrelation...89
Abb. 5.11 1-
-Fast-Positivität ...90
Abb. 5.12
-Präferenzrelation ...90
Abb. 6.1 Diskrete Wahrscheinlichkeiten der
-Niveaus...100
Abb. 6.2 Unscharfe Ereigniswahrscheinlichkeit ...101
Abb. 6.3 Spezialfall unscharfer Ereigniswahrscheinlichkeit...101
Abb. 6.4 Intervallwertige Wahrscheinlichkeiten von
-Niveaus...103
Abb. 6.5
-Schnitte der unscharfen Wahrscheinlichkeiten...103
Abb. 6.6 Unscharfe Wahrscheinlichkeit nach Klement ...104
Abb. 6.7 Unscharfe Wahrscheinlichkeit nach Yager (1)...105
Abb. 6.8 Unscharfe Wahrscheinlichkeit nach Yager (2)...105
Abb. 6.9 Subnormale Fuzzy-Wahrscheinlichkeitsverteilung...111
Abb. 7.1 Unscharfe empirische Verteilungsfunktion ...131
Abb. 7.2 a)-e)
-Nivaukurven der unscharfen empirischen Verteilungsfunktion...133
Abb. 7.3 Schätzung der erwarteten unscharfen Ausfallszeit von Batterien ...137
Tab. 7.4
-Niveaus der fuzzifizierenden Dichtefunktion und Dichten der Fuzzy-Schar...140
Abb. 7.5 a)
-Niveaukurven der fuzzifizierenden Dichtefunktion ...141
Abb. 7.5 b) Dichtefunktionen der Fuzzy-Schar...141
Abb. 7.6 Unscharfe Verteilungsfunktion ...141
Abb. 7.7 Unscharfes Konfidenzintervall...145
Abb. 7.8 Scharfer Test für unscharfe Hypothese...155
Abb. 8.1 Ergebnismatrix ...158
Abb. 8.2 Entscheidungsmatrix ...158
Abb. 8.3 Unscharfe Quantile und von ihnen begrenzte Fuzzy-Menge von Intervallen ...172
Abb. 8.4 Ergebnis- bzw. Entscheidungsmatrix des Fuzzy-Entscheidungsproblems...186
Tab. 8.5 Fuzzy-Konsequenzen der Fuzzy-Aktionen bei der den Fuzzy-Zuständen...186
Abb. 8.6 Fuzzy-Ergebniserwartungswerte der Fuzzy-Aktionen ...191
Abb. 8.7 Fuzzy-Ergebniserwartungswert der optimalen Fuzzy-Aktion...195
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
1
Einleitung
1 Einleitung
Ende der 60er Jahre des 20. Jahrhunderts stellte Edmund Heinen
1
den entschei-
dungsorientierten Ansatz der Betriebswirtschaftslehre vor.
2
Die entscheidungsorientierte
Betriebswirtschaftslehre versucht nun ,,auf der Basis einer deskriptiven Theorie des
menschlichen Entscheidungsverhaltens, den Ablauf von Entscheidungsprozessen in
Unternehmungen zu erklären und Verhaltensempfehlungen für die Entscheidungsträger zu
geben"
3
. Das Wissenschaftsziel einer entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre ist
in der Erfüllung ihrer theoretischen Erklärungs- und praktischen Gestaltungsaufgabe zu
sehen.
4
Die Erklärungsaufgabe oder diagnostische Aufgabe ist der Gestaltungsaufgabe
vorgelagert und besteht darin, Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge zwischen bestimmten
Bedingungen (Antezedenzbedingungen) und Wirkungen (Konsequenzen) durch generelle
Gesetzeshypothesen zu erklären. Diese Form der Erklärung heißt auch Explanation.
Die Gestaltungsaufgabe der Betriebswirtschaftslehre besteht darin, ,,den Menschen
in Betriebswirtschaften bei der Lösung ihrer ökonomischen Probleme unmittelbare
Hilfestellung zu geben"
5
. Unter Berücksichtigung der Ziele der Unternehmung sollen auf
Erklärungsmodellen, welche die Konsequenzen bestimmter alternativer Entscheidungen
beschreiben, basierende Entscheidungsmodelle entworfen werden, welche im Hinblick auf
die Zielvorstellungen zu optimalen Lösungen führen sollen.
Der Erklärungs- und Gestaltungsaufgabe vorgelagert sind explikative Probleme, die
sich damit beschäftigen, vage Ausdrücke aus der Umgangssprache für die wissenschaft-
liche Verwendung zu präzisieren.
6
In den klassischen (mathematisch orientierten) Modellen der entscheidungs-
orientierten Betriebswirtschaftslehre wird die angesprochene Vagheit bzw. Unschärfe im
allgemeinen gleich einem Schönheitsfehler weggelassen. Dies ist durchaus legitim, denn
ein Modell kann und soll niemals die Realität in ihrer Gesamtheit erfassen, ansonsten ist
das Modell sinnlos. In der Modelltheorie wird ein Problem so vereinfacht, daß es mit
vertretbarem Aufwand einfach zu lösen ist. In Modellen wird Komplexität reduziert: von
1
Vgl. Heinen (1971), S.
429 f., Heinen (1969), S. 208.
2
Vgl. Comploj (1996), S.
3 ff.
3
Heinen (1971), S.
430.
4
Vgl. Heinen (1969), S.
210 f.; Heinen (1982), S. 26 ff.; Heinen (1991), S. 4 ff.
5
Heinen (1991), S.
6.
6
In seinem ursprünglichen Wissenschaftsprogramm (vgl. Heinen (1969), S.
210 f.) subsumiert Heinen
explikative und explanatorische Fragestellungen unter die Erklärungsaufgabe, In späteren Schriften, sei es
von Heinen selbst (etwa Heinen (1982), S.
26 ff.; Heinen (1991), S. 4 f.) oder von anderen Autoren, die
den entscheidungsorientierten Ansatz aufgreifen, (etwa Hopfenbeck (1993), S.
49 f.) wird die explikative
Aufgabe nicht mehr der Erklärungsaufgabe der Betriebswirtschaftslehre zugeordnet. Die Erklärungs-
aufgabe umfaßt nur noch explanatorische Fragestellungen.
(Vgl. Comploj (1996), S.
4 f.)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
2
Einleitung
allem, was vorerst nicht relevant ist, wird abstrahiert, um die relevanten Aspekte besser
analysieren zu können.
7
Dennoch kann diese Vernachlässigung von Unschärfe durchaus zu
ungenauen und unvollständigen Ergebnissen führen. ,,Vage Fakten", die sich aufgrund von
Unschärfe nur schwer fixieren lassen, können für die Lösung von Entscheidungsproblemen
aber oft von Bedeutung sein und dürfen daher im Modell nicht einfach weggelassen
werden.
8
Daher ist es wichtig, ein Modell bereitzustellen, welches die Modellannahme der
Exaktheit der Daten fallen läßt und das Verhalten der Modellvariablen unter der Prämisse
der Unschärfe untersucht.
Ein erster Schritt zu einer Distanzierung von der idealisierenden Sichtweise exakter
Daten ist die Intervallmodellierung. Geringfügige Abweichungen vom exakten Wert sind
hier zugelassen, d.h. anstatt eines exakten Wertes a wird ein Intervall [a +
, a -
]
angegeben. An diesem Modell läßt sich jedoch kritisieren, daß jeder Wert innerhalb der
scharfen Intervallgrenzen denselben Akzeptanzgrad besitzt. Wenn man schon von der
Prämisse der Exaktheit der Modelldaten abgeht, so sollte ein umfassenderes Modell zur
Erfassung von Unschärfe bereitgesellt werden.
Ein nächster Schritt zur Modellierung von Abweichungen von der Exaktheit erfolgt
durch einen Ansatz mittels stochastischer Variation. Die Variable, welche einen festen
Wert annimmt, wird ersetzt durch eine Zufallsvariable, welche auf der gegebenen Skala
eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt und jeden Wert - mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit - annehmen kann. Diese Modellierung stößt jedoch auf
Probleme: Einerseits lassen sich einige Erscheinungsformen von Unschärfe nicht mittels
statistischer Variation erklären,
9
andererseits sind Wahrscheinlichkeiten in betriebswirt-
schaftlichen Entscheidungsmodellen bereits für eine andere Kategorie von Unbestimmtheit
reserviert.
10
Ein alternatives Konzept erscheint somit wünschenswert.
Mitte der 60er Jahre entwickelte L.A. Zadeh
11
das Konzept der unscharfen Mengen
oder Fuzzy-Mengen. Der Unterschied zwischen einer Fuzzy-Menge à und einer gewöhn-
lichen Menge A besteht darin, daß zwischen einem Element x und einer gewöhnlichen
Menge A im Sinne der klassischen Cantor'schen Mengenlehre nur die Beziehungen x
A
und x
A erlaubt sind, während bei einer Fuzzy-Menge à eine graduelle Zugehörigkeit
möglich ist. Diese graduelle Zugehörigkeit wird mittels einer Zugehörigkeitsfunktion
A
( )
x mit Funktionswerten in [0,1] beschrieben.
Zugehörigkeitsfunktionen im eigentlichen Sinn beschreiben den Grad der Erfüllung
einer Eigenschaft, d.h.
A
( )
x
gibt den Grad an, zu dem x die Eigenschaft à erfüllt
(
A
( )
x
= 0 bedeutet absolute Nichterfüllung,
A
( )
x
= 1 bedeutet vollständige Erfüllung).
7
Schredelseker (2002), S.
19 gibt als Beispiel für ein Modell, in welchem von vielen realen Gegebenheiten
abstrahiert wird, die Landkarte an, eine 1:1-Karte wäre nutzlos. Ähnlich: Heinen(1991), S.
6.
8
Vgl. Schneeweiß (1991), S.
40.
9
Vgl. Viertl (1989), S.
679, Viertl (1992), S. 121.
10
Ausführlich: siehe Abschnitt 2.2, S.
9 ff.
11
Vgl. Zadeh (1965), S.
339.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
3
Einleitung
Verfechter des probabilistischen Ansatzes wollen hier eine wahrscheinlichkeitstheoretische
Interpretation: der Grad der Erfüllung der Eigenschaft entspreche gerade der
Wahrscheinlichkeit, daß die Eigenschaft erfüllt sei. Diesen Verfechtern sei die folgende
alternative Interpretation der Zugehörigkeitsgrade im Sinne der Possibilitätstheorie
(Möglichkeitstheorie) angeboten:
12
A
( )
x gibt dann Auskunft über die Möglichkeit für den
Ausgang eines Experiments, d.h. bei gegebenem à ist es mit dem Grad
A
( )
x möglich,
daß x als Ausgang des Experiments auftritt (
A
( )
x
= 0 bedeutet absolute Unmöglichkeit,
A
( )
x
= 1 bedeutet uneingeschränkte Möglichkeit). Möglichkeit bedeutet somit eine
weniger strikte Form der Wahrscheinlichkeit: was wahrscheinlich ist, ist auch möglich, was
unmöglich ist, ist auch unwahrscheinlich (Umkehrungen gelten im allgemeinen nicht).
13
Formal wird diese Interpretation mit Hilfe von Fuzzy-Maßen
14
umschrieben. Ein
Wahrscheinlichkeitsmaß ist ebenso wie ein Möglichkeitsmaß (Possibilitätsmaß) ein
spezielles Fuzzy-Maß, welche sich durch spezifische, von einander abweichende Eigen-
schaften unterscheiden. Der Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht in der Possibilitäts-
theorie die Möglichkeitsverteilung (Possibilitätsverteilung), die Möglichkeitsdichte (Possi-
bilitätsdichte), welche die Möglichkeitsverteilung charakterisiert, weist die gleichen Eigen-
schaften wie die Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge auf, daher können die beiden
miteinander identifiziert werden.
All denjenigen, die ins Treffen führen, daß jede Problemlösung, die mit Fuzzy-
Modellen erzeugt wird, ebenso mit stochastischen Modellen möglich ist, sei gesagt, daß die
strikte Axiomatik der Wahrscheinlichkeitstheorie zu wesentlich komplizierteren Modellen
und somit zu wesentlich komplizierteren Lösungen kommt. Die Implementierung von
komplizierteren Lösungen ist langwieriger und kostspieliger. Daher sind aus betriebs-
wirtschaftlicher Sicht Lösungen mit Fuzzy-Methoden im allgemeinen zu präferieren.
15
Aus
modelltheoretischer Sicht kann gesagt werden, daß ein Modell im Hinblick auf seine
Brauchbarkeit zu beurteilen ist, ob ein vorhandenes Problem damit beschrieben werden
kann, und ob es zu einer sinnvollen Lösung führt.
Zadeh´s Konzept fand zunächst bei Mathematikern und Technikern in Europa und
in den U.S.A. nur wenig Anklang. Wäre Zadeh damals nicht Mitglied des Herausgeber-
komitees der Zeitschrift ,,Information and Control" gewesen, so wäre der Artikel im Jahr
1965 gar nicht erschienen.
16
In den folgenden Jahren und Jahrzehnten beschäftigten sich
zwar zahlreiche Forscher mit Fuzzy-Mengen und entwickelten Fuzzifikationen von einigen
Theorien aus der Mathematik, doch man zweifelte allgemein an der Anwendbarkeit der
Theorie der Fuzzy-Mengen in Bereichen wie künstliche Intelligenz oder Regelungstechnik.
12
Vgl. auch Dubois/Prade (1992), S.
136, Hauke (1998), S. 72.
13
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
55, Hauke (1998), S. 72.
14
Vgl. Abschnitt 3.4, S.
19 ff. in dieser Arbeit, ausführlich dazu etwa: Comploj (1994), S. 74 ff
15
Vgl. Nauck/Kruse (1997), S.
13, Hauke (1998), S. 73 f.
16
Vgl. Hauke (1998), S.
17.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
4
Einleitung
Erste Meldungen über erfolgreiche Anwendung von Fuzzy-Techniken kamen um 1990 aus
Japan, so wurde ,,fuzzy" in Japan 1990 zum Wort des Jahres gewählt.
17
Trotz der anfäng-
lichen Skepsis hat sich seit Mitte der 60er Jahre eine umfassenden Theorie entwickelt.
Auch meine Diplomarbeit aus Mathematik
18
beschäftigt sich mit Fuzzy-Mengen.
Insbesondere wurden verschiedene mathematische Ansätze zur Modellierung von Fuzzy-
Mengen untersucht. Exemplarisch für die Erweiterung von Disziplinen der Mathematik auf
Fuzzy-Mengen wurden einige Verfahren der Fuzzy-Statistik vorgestellt.
Die vorliegende Arbeit greift meine frührere Diplomarbeit auf und versucht, die
vorgestellten mathematischen Modelle zur Erfassung von Unschärfe auf die Beschreibung
von Unschärfen bei betriebswirtschaftlich entscheidungsrelevanten Größen anzuwenden.
Insbesondere wird dabei auf zweierlei Problemkreise eingegangen: Einerseits werden die
häufig linguistisch umschriebenen ,,weichen" Begriffe der Sozialwissenschaft besprochen,
welche zwar eine Nachbarwissenschaft der Betriebswirtschaftslehre darstellt, aber in Ent-
scheidungen über das Verhalten von Entscheidungsträgern wie auch von Betroffenen (etwa
von Kunden bei Absatzentscheidungen) einfließt. Andererseits wird auf Unschärfen im
betrieblichen Rechnungswesen eingegangen, welche einerseits auf unscharfe Vorschriften
des Handelsrechts zurückzuführen sind, und andererseits auf die Problematik der
Abbildung von komplexen Sachverhalten durch eine einzige exakte Zahl; auch unscharfe
steuerrechtliche Bestimmungen finden Würdigung. Diese so gewonnenen entscheidungs-
relevanten unscharfen Daten werden im Entscheidungsmodell zur Generierung unscharfer
Entscheidungen herangezogen. Besondere Beachtung finden Verfahren der Fuzzy-Statistik,
welche einerseits zur Gewinnung unscharfer Information für Modellierung unscharfer
Wahrscheinlichkeiten im Entscheidungsmodell unter Risiko herangezogen werden, und
anderseits selbst Lösungsalgorithmen für risikobehaftete unscharfe betriebswirtschaftliche
Entscheidungsprobleme bereitstellen.
Mein besonderer Dank gilt Univ.-Prof. Dr. Gilg Seeber am Institut für Statistik an
der Universität Innsbruck, wo ich im Jahre 1992 mein Akademikertraining absolvierte, der
mir nun die Möglichkeit gab, mich dem Thema der Fuzzy-Daten, das mich seit einigen
Jahren begeistert, erneut zu widmen, und diese Arbeit darüber zu verfassen.
Mein fortgesetzter Dank gilt Univ.-Doz. Dr. Norbert Netzer, damals am Institut für
Mathematik an der Universität Innsbruck, derzeit an der Fachhochschule für Umwelt- und
Verfahrenstechnik in Innsbruck, meinem Betreuer bei meiner Mathematik-Diplomarbeit
von 1994. Ferner gilt mein Dank Univ.-Prof. Dr. Reinhard Viertl vom Institut für Statistik
und Wahrscheinlichkeitsrechnung an der Technischen Universität Wien, der in einem
Gastseminar über "Statistische Analyse mit unscharfen Daten" mein Interesse für
Unschärfen weckte.
17
Vgl. Nauck/Kruse (1997), S.
3.
18
Comploj (1994).
Fuzzy-Modelle
5
Entscheidungsansatz
2 Entscheidungsorientierte Betriebswirtschaftslehre und
Unbestimmtheiten
In diesem Kapitel sollen, ausgehend vom Grundmodell der entscheidungs-
orientierten Betriebswirtschaftslehre, Unbestimmtheitsprobleme aufgezeigt werden, die
sich mittels der klassischen Entscheidungstheorie nicht lösen lassen, für welche ein
alternativer Lösungsansatz erforderlich ist. Besonderes Augenmerk wird auf die
Unterschiede zwischen den verschiedene Unbestimmtheitskategorien gelegt.
2.1 Systementwurf der entscheidungsorientierten Betriebswirt-
schaftslehre
Die folgende Abbildung, die bei Heinen und auch anderen Autoren, die sich mit
dem entscheidungsorientierten Ansatz beschäftigen,
1
zu finden ist, verdeutlicht den
Forschungsansatz der entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre.
Erforschung
betriebswirt-
schaftlicher
Ziele
(1)
Systematisierung
betriebswirt-
schaftlicher
Entscheidungs-
tatbestände
(2)
Betriebswirt-
schaftliche
Erklärungs-
modelle
(3)
Betriebswirt-
schaftliche
Entscheidungs-
modelle
(4)
Bewertung von Alternativen
Grundmodelle:
Betriebswirtschaftlich relevante
Systeme
(5)
supradisziplinäre
Konzepte
(6)
Nachbar-
wissenschaften
(7)
Abb. 2.1 Forschungsansatz der entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre
Das obere breitere Rechteck kennzeichnet die Elemente des Aktivitätsbereichs der
Betriebswirtschaftslehre, das untere kleinere Rechteck deutet die interdisziplinäre
1
Etwa Heinen (1991), S.
13, Hopfenbeck (1993), S. 48, Comploj (1996), S. 7.
Fuzzy-Modelle
6
Entscheidungsansatz
Verflechtung der Betriebswirtschaftslehre mit ihren Nachbardisziplinen an. Die
Überschneidung deutet die Integration der Erkenntnisse aus anderen Wissenschaften in der
Betriebswirtschaftslehre an. Die Kästchen (1) und (2) beinhalten explikative Aufgaben-
stellungen und (3) betrifft explanatorische Fragestellungen. Kästchen (4) beschreibt die
Gestaltungsaufgabe der Betriebswirtschaftslehre.
Bei der Explikation wird ein unpräziserAusdruck, das Explikandum, durch einen
exakten wissenschaftlichen Ausdruck, das Explikans, ersetzt.
2
vager Ausdruck
Explikandum
exakter Ausdruck
Explikans
Abb. 2.2 Schema der Explikation
Bei der Explanation sollen generelle Gesetzeshypothesen Ursache-Wirkungs-
Zusammenhänge zwischen bestimmten Bedingungen, sog. Antezedenzbedingungen, und
Wirkungen oder Konsequenzen erklären. Das zu erklärende Phänomen wird als Expla-
nandum bezeichnet, Antezedenzbedingungen und Gesetzmäßigkeiten bilden zusammen das
Explanans. Explanation ist somit logische Ableitung des Explanandums aus dem
Explanans.
3
Antezedenzbedingungen
Gesetzmäßigkeiten
Wirkungen, Konsequenzen
Explanans
Explanandum
Abb. 2.3 Schema der Explanation
Kästchen (1) führt uns direkt zu einem der beiden wesentlichen Bestandteile eines
wohlstrukturierten
4
Entscheidungsproblems im Sinn der präskriptiven Entscheidungs-
theorie,
5
dem Zielsystem. Zur Festlegung der zweiten Komponente, des Entscheidungs-
feldes, sind explikative und explanatorische Fragestellungen zu beantworten (Kästchen (2)
und (3)).
Ein Ziel ist ,,eine erwünschte zu erreichende Situation"
6
bzw. ,,ein angestrebter
zukünftiger Zustand"
7
. In den Unternehmungen werden im allgemeinen mehrere Ziele
2
Vgl. Heinen (1969), S.
210.
Nahe an der Explikation liegt die Definition, die in der beschreibenden Aufzählung der Elemente des
Vorstellungsinhaltes eines Ausdrucks besteht (vgl. Abschnitt 4.1.1, S. 24 f.).
3
Vgl. Heinen (1969), S.
211.
4
Bei schlechtstrukturierten Entscheidungsproblemen fehlt ein wesentlicher Bestandteil eines wohlstruktu-
rierten Entscheidungsproblems, d.h. entweder eine Komponente des Zielsystems oder des Entscheidungs-
feldes (vgl. Heinen (1991), S.
25 f., Comploj (1996), S. 18).
5
Vgl. Heinen (1991), S.
26 ff., Bamberg (1993), S. 886 ff., Hanssmann (1993), S. 896 ff., Von Zwehl
(1993), S.
921 f., Rommelfanger (1994), S. 1 f., Comploj (1996), S. 19 f.
6
Schmidt (1993), S.
4794.
Fuzzy-Modelle
7
Entscheidungsansatz
gleichzeitig verfolgt, sodaß man als Ergebnis komplexe Zielsysteme erhält, zwischen deren
Einzelzielen vielfältige Zielbeziehungen bestehen.
8
Die Beziehungen zwischen den Zielen
lassen sich grundsätzlich in drei Klassen einteilen: Grad der Konfliktbehaftetheit,
Wichtigkeit und Zielhierarchie.
9
Eine besondere Rolle bei der Definition von Zielsystemen
spielen ,,die Präferenzrelationen des Entscheidungsträgers bezüglich der Ausprägungen
jedes einzelnen Zieles und im Vergleich zwischen den Zielen"
10
, letztere sind insbesondere
bei konfliktärer Zielbeziehung wesentlich.
Das Entscheidungsfeld eines wohlstrukturierten Entscheidungsproblems umfaßt den
Alternativenraum, d.h. die Menge der dem Entscheidungsträger zur Verfügung stehenden
Aktionen (Alternativen, Handlungsweisen, Entscheidungsvariablen, Strategien), den
Zustandsraum, d.h. die Menge aller relevanten Umweltzustände, den Konsequenzenraum,
d.h. die Menge der möglichen Ergebnisse der Aktionen bei unterschiedlichen Umwelt-
zuständen, und eine Ergebnisfunktion, die jeder Kombination aus einer Handlungsalter-
native und einem Umweltzustand eine Konsequenz zuordnet.
11
Als weitere Komponente
eines Entscheidungsfeldes wird in der Literatur
12
bisweilen ein Informationssystem über
die Möglichkeiten, Auswirkungen und Kosten zusätzlicher Informationen angesehen.
Zur Formulierung der Parameter des Entscheidungsfeldes ist die gedankliche
Systematisierung des komplexen Objektbereiches und dessen analytische Zergliederung in
einzelne Elemente erforderlich.
13
,,Die Menge der Entscheidungsprobleme und das
Alternativenpotential zu ihrer Lösung werden durch die Menge der zu fixierenden
Aktionsparameter abgesteckt."
14
Die Entscheidungstatbestände (Aktionsparameter) werden
eingeteilt etwa nach funktionalen Gesichtspunkten (z.B. Beschaffungs-, Produktions-,
Absatz- und Finanzbereich)
15
oder nach entwicklungsbezogenen Aspekten (z.B.
Gründungs-, Umsatz- und Liquidationsphase)
16
. Eine weitere Unterscheidungsmöglichkeit
ist die in strategische, taktische und operative Entscheidungstatbestände.
17
Diese
Systematisierung (Kästchen (2)) stellt den Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen dar.
Um die verschiedenen Entscheidungsalternativen bewerten zu können, müssen
Erklärungsmodelle (Kästchen (3)) zweierlei leisten: Einerseits müssen Informationen über
die möglichen Konsequenzen gewonnen werden, d.h. es muß die Ergebnisfunktion, die die
gesetzmäßigen Zusammenhänge zwischen den als Entscheidungstatbestände formulierten
7
Heinen (1991), S.
13.
8
Vgl. Heinen (1982), S.
93 ff., Heinen (1991), S. 14 ff.
9
Vgl. Heinen (1982), S.
101 ff.
10
Rommelfanger (1994), S.
2.
11
Vgl. Heinen (1991), S.
26 f., Hauke (1998), S. 8, Schredelseker (2002), S. 198 ff., Comploj (1996), S. 19.
12
Etwa Rommelfanger (1994), S.
2.
13
Vgl. Heinen (1982), S.
123 ff., Heinen (1991), S. 21, Hopfenbeck (1993), S. 50.
14
Heinen (1971), S.
431.
15
Vgl. Heinen (1982), S.
130 ff.
16
Vgl. Heinen (1982), S.
144 ff.
17
Vgl. Hammer (1991), S.
49 ff.
Fuzzy-Modelle
8
Entscheidungsansatz
betrieblichen Sachverhalten angibt, bestimmt werden. Damit ist das Entscheidungsfeld
vollständig beschrieben.
Andererseits muß die Verbindung zum in Kästchen (1) beschriebenen Zielsystem
der Unternehmung hergestellt werden, d.h. die Folgen verschiedener Entscheidungs-
alternativen
müssen
im
Hinblick
auf
die Erreichung von
Unternehmenszielen
prognostiziert werden.
18
Dies geschieht mit Hilfe von (Teil-)Nutzenfunktionen, die den
Ergebnissen einen Nutzenwert im Hinblick auf das Zielsystem zuweisen und zu einer
Gesamtnutzenfunktion zu aggregiert werden müssen.
19
Im
Entscheidungsmodell
(Kästchen
(4))
werden
schließlich
Algorithmen
vorgeschlagen, welche über die Beschreibung der Konsequenzen von Entscheidungsalter-
nativen in Bezug auf die Ziele der Unternehmung hinaus eine unmittelbare Ableitung der
jeweils günstigsten Alternative ermöglichen.
20
Als Grundmodelle betriebswirtschaftlich relevanter Systeme (Kästchen (5)) bzw.
,,Grundmodelle, welche die Verhaltensweisen von Entscheidungsträgern beschreiben"
21
,
werden im Ansatz von Heinen
22
die folgenden hervorgehoben: Individuum (Mensch),
Gruppe, Organisation und Gesellschaft. Zur Beschreibung, Erklärung und Prognose des
Entscheidungsverhaltens von Entscheidungsträgern
23
greift die Betriebswirtschaftslehre des
entscheidungsorientierten Ansatzes auf Nachbardisziplinen (Kästchen (7)) zurück. Solche
Nachbardisziplinen sind etwa allgemeine ökonomische Theorie, Anthropologie, Individual-
psychologie, Sozialpsychologie, Soziologie, Politologie, Informatik, Rechtswissenschaft,
Ingenieurwissenschaft und andere. Doch nicht nur über das Verhalten der Entscheidungs-
träger
fließen
Erkenntnisse
aus
Nachbardisziplinen
in
betriebswirtschaftliche
Entscheidungen ein, die Verhaltensweisen von Individuen, Gruppen Organisationen und
Gesellschaften stellen ebenso relevante Umweltzustände der Unternehmung bzw.
Handlungsalternativen oder Bestandteile der Informationsbasis dar, sie fließen somit direkt
in das Entscheidungsfeld ein.
Neben Erkenntnissen aus Nachbardisziplinen leisten Erkenntnisse aus interdiszipli-
nären Wissenschaften (Kästchen (6)) der entscheidungsorientierten Betriebswirtschafts-
lehre Hilfestellung bei der Lösung ihrer Aufgabenstellung. Solche fachübergreifenden
Wissenschaften sind insbesondere Systemtheorie, Planungstheorie, Organisationstheorie
und Entscheidungstheorie. Interessant ist in diesem Zusammenhang die Zuordnung der
18
Vgl. Heinen (1982), S.
155 ff.
19
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
2.
20
Siehe Abschnitt 8.1, S.
157 ff.
21
Hopfenbeck (1993), S.
51.
22
Vgl. Heinen (1971), S.
432f.
23
Mit dem Entscheidungsverhalten von Entscheidungsträgern beschäftigt sich die empirisch-deskriptive
Entscheidungstheorie (vgl. etwa Heinen (1991), S.
35 ff., Hopfenbeck (1993), S. 44 ff., Comploj (1996),
S.
23 ff.), welche mit der normativ-präskriptiven eng verknüpft ist, da sich die beiden Teilbereiche
wechselseitig die Erkenntnisse des jeweils anderen Teilbereichs zunutze machen (vgl. etwa Schredelseker
(2002), S.
175 f.).
Fuzzy-Modelle
9
Entscheidungsansatz
Mathematik: Während sie meist
24
zu den Nachbardisziplinen der Betriebswirtschaftslehre
gezählt wird, wird sie selten
25
auch zu den fachübergreifenden Disziplinen gezählt und
sohin gemeinsam mit Systemtheorie, Planungswissenschaften und Organisationsforschung
erwähnt. ,,Diese Zuordnung ist bemerkenswert, da die Mathematik als Hilfs- und
Anwendungswissenschaft tatsächlich zu den fachübergreifenden Disziplinen zählt. Auch
andere
der
hier
als
Nachbarwissenschaften
bezeichneten
Wissenschaften,
etwa
ökonomische Theorie, Informatik, Ingenieurwissenschaften, eventuell auch Soziologie,
machen sich ebenso wie die Betriebswirtschaftslehre die Erkenntnisse aus der Mathematik
zunutze. Da ähnliches etwa für die Modelle der Systemtheorie gilt, ist es tatsächlich nicht
abwegig, Mathematik als fachübergreifende Wissenschaft zu qualifizieren."
26
Dieses
Konzept soll auch hier verfolgt werden, da dieselben mathematischen Modelle dazu
verwendet werden, sowohl Unschärfen
27
im Rechnungswesen, also in einer Disziplin der
Betriebswirtschaftslehre, als auch Unschärfen in der Sozialwissenschaft, also in einer
Nachbarwissenschaft, zu erfassen.
2.2 Unbestimmtheiten in Modellen der entscheidungsorientierten
Betriebswirtschafslehre
Beim Systementwurf in Abschnitt 2.1 wurde bisher jede Art von Unbestimmtheit
ausgeklammert. Die Systematisierung von entscheidungsrelevanten Unbestimmtheiten
stellt den Gegenstand dieses Abschnitts dar.
Die folgende Einteilung für allgemeine Unbestimmtheit stammt aus der Planungs-
und Entscheidungstheorie
28
und unterscheidet zwei Kategorien von Unbestimmtheit,
welche auf zwei Formen von Unkenntnis zurückzuführen sind. Dabei liegt die Ursache für
erstere in einem Mangel an Information, für zweitere in einem Mangel an begrifflicher
Schärfe.
2.2.1 Unbestimmtheit aus Mangel an Information
Bereits die klassische Entscheidungstheorie klassifiziert Entscheidungen hinsicht-
lich des Informationsgrades,
29
es wird unterschieden werden zwischen Entscheidung unter
Sicherheit und Entscheidung unter Unsicherheit.
24
Vgl. etwa Heinen (1969), S.
212 f., Heinen (1971), S. 431, Heinen (1991), S. 12 f., Hopfenbeck (1993),
S.
49.
25
Vgl. Heinen (1991), S.
22.
26
Comploj (1996), S.
15.
27
Siehe Abschnitt 2.2.2, S.
10 f.
28
Vgl. etwa Schneeweiß (1991), S.
34 ff., Hauke (1998), S. 9 ff.
29
Vgl. etwa Heinen (1991), S.
29 ff., Schneeweiß (1991), S. 35 f., Comploj 96, S. 20 f.
Fuzzy-Modelle
10
Entscheidungsansatz
Sicherheit bedeutet, daß der eintretende Umweltzustand bekannt ist, d.h. daß
vollkommene Information über den eintretenden Umweltzustand herrscht. Daten, über die
Sicherheit herrscht, werden auch als deterministisch bezeichnet.
Von Unsicherheit spricht man, wenn keine vollkommene Information über den
eintretenden Umweltzustand herrscht und eine Zufallskomponente am Eintreten beteiligt
ist. Unsicherheit beinhaltet die Unterkategorien Risiko und Ungewißheit.
30
Sind zumindest
Eintrittswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Umweltzustände bekannt, so spricht man
von Entscheidung unter Risiko, Daten über, die Wahrscheinlichkeiten vorliegen, heißen
auch Zufallsdaten oder stochastische Daten. Herrscht dagegen völlige Informationslosigkeit
über den eintretenden Umweltzustand, so spricht man von Entscheidung unter Ungewiß-
heit oder Entscheidung unter Unsicherheit im eigentlichen Sinn.
2.2.2 Unbestimmtheit aus Mangel an begrifflicher Schärfe
Erst in jüngerer Zeit befaßt man sich auch mit dieser Form der Unbestimmtheit, die
auch als Unschärfe oder Fuzziness bezeichnet wird.
31
Es handelt sich hierbei um Formen
der Unbestimmtheit, die nicht mittels statistischer Variation erklärbar sind.
32
Hier kann
unterschieden werden zwischen intrinsischer, informationaler und relationaler Unschärfe.
33
Intrinsische Unschärfe ist Ausdruck der Unschärfe menschlichen Empfindens,
34
die
sich oft in unscharfen linguistischen Ausdrücken äußert. Dies sind sprachliche Begriffe,
mit denen Vorgänge oder Zustände in der Umwelt häufig anstatt mit Maßzahlen
umschrieben werden, so kann ein Auto "schnell", ein Badesee "warm", eine Person "alt"
oder eine Dividende "hoch" sein. Die Begriffe "schnell", "warm", "alt", "hoch" sind dabei
keine exakten Angaben über Geschwindigkeit, Temperatur, Alter, Rendite, etc. und auch
keine Zufallsvariablen, welche mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit einen exakten
Wert annehmen, sondern es sind vage Charakterisierungen der Größen. Hinzuzufügen wäre
hier die Unschärfe von Lebensdauern, die ebenfalls intrinsische Unschärfe darstellt.
35
So ist
die Lebensdauer einer Batterie eine Größe, die eindeutig unscharf ist, da der Spannungs-
abfall ein kontinuierlicher und kein punktueller ist. Sie ist zwar auch eine Zufallsvariable
Bei Schneeweiß (1991), S.
87 f. sind die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände aus dem Zu-
standsraum ein weiterer konstitutiver Bestandteil des in Abschnitt 2.1, S.
7 f. vorgestellten Entscheidungs-
feldes.
30
Heinen (1991), S.
29 f. unterscheidet zwischen Entscheidung unter Risiko (Wahrscheinlichkeiten sind
bekannt) und Entscheidung unter Unsicherheit (Wahrscheinlichkeiten sind nicht bekannt). Hier folge ich
jedoch der Einteilung, die sich u.a. bei Schneeweiß (1991), S.
35 f., Von Zwehl (1993), S. 921 f., Hauke
(1998), S.
9 f. findet, bei der zwischen Sicherheit und Unsicherheit unterschieden wird, und Unsicherheit
in Risiko und Ungewißheit weiter unterteilt wird.
31
Vgl. Schneeweiß (1991), S.
37 f., Hauke (1998), S. 9 f.
32
Vgl. Viertl (1989), S.
679, Viertl (1992), S. 121.
33
Rommelfanger (1994), S.
4.
34
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S.
23 ff.
35
Vgl. Abschnitt 4.2.2, S.
37 ff.
Fuzzy-Modelle
11
Entscheidungsansatz
im Sinne der Zuverlässigkeitstheorie, wie jede Lebensdauer. Nicht auf statistischer
Variation, sondern auf ihrer technischen Beschaffenheit beruht hingegen ihr langsamer
kontinuierlicher Spannungsabfall; ob ein Gerät, welches eine bestimmte Mindestspannung
für seine Funktionsfähigkeit benötigt, mit einer Batterie, welche eine bestimmte Spannung
aufweist, noch betrieben werden kann, ist keine stochastische, sondern eine deterministi-
sche Fragestellung.
Informationale Unschärfe beruht auf der Schwierigkeit der praktischen Handhabung
einer an sich exakt definierbaren Größe aufgrund von Informationsdefiziten im Definiens
36
,
etwa aufgrund von Schwierigkeiten bei der Aggregation von vielen zugehörigen
Informationen zu einem Gesamturteil oder aufgrund von Zukunftsbezug.
In der Literatur
37
wird das Beispiel des Begriffs eines "kreditwürdigen" Unternehmens angeführt, das als ein
Untenehmen, ,,welches seine Kredite vereinbarungsgemäß zurückzahlt", definiert ist, eine
Eigenschaft, die sich ex ante nicht überprüfen läßt.
Relationale Unschärfe beruht auf unscharfen Relationen, das sind mehrwertige, d.h.
nicht-dichotome, Relationen, die neben Gleichheit und Ungleichheit auch eine Ähnlichkeit
zulassen kann. Beispiele für unscharfe Relationen sind "ungefähr gleich" oder "etwas
größer als". Da zum Verständnis der exaktmathematischen Definition einer unscharfen
Relation die Grundlagen der Fuzzy-Set-Theorie vorausgesetzt werden müssen, soll diese
hier vorerst ausgeklammert werden.
38
2.2.3 Wahrscheinlichkeits- und Fuzzy-Set-Theorie
Während Zufälligkeit (Unsicherheit bzw. Risiko) und deren Erfassung mittels
Wahrscheinlichkeiten von der klassischen Entscheidungstheorie abgedeckt wird, wird
mittels der Fuzzy-Set-Theorie eine Erfassung des Phänomens der Unschärfe möglich.
39
Bis
heute wird diese Form der Problemmodellierung immer wieder kritisiert. Eine
Verteidigung von Fuzzy-Modellen und Fuzzy-Methoden soll nicht im Zentrum dieser
Arbeit stehen, doch angesichts des ständigen Rechtfertigungsdrucks von Arbeiten, die sich
auf die Fuzzy-Set-Theorie stützen, sollen hier ein paar Gedanken angesprochen werden.
Bereits in Abschnitt 2.2.2
40
wurde ins Treffen geführt, daß sich Unschärfe-
Phänomene nicht mittels statischer Variation erklären lassen. Unschärfe ist Ausdruck von
subjektivem menschlichem Empfinden, Zugehörigkeit ist das Kompatibilitätsmaß eines
Objektes mit einer subjektiven Vorstellung. Die Literatur
41
bietet dafür das Beispiel, daß
36
Das Verfahren der Definition wird in Abschnitt 4.1.1, S. 24 f. erklärt.
37
Vgl. etwa Rommelfanger (1994), S.
4.
38
Die exaktmathematische Definition einer unscharfen Relation wird in Abschnitt 4.2.8, S.
60 f., Fußnote
165 gegeben.
39
Vgl. Hauke (1998), S.
9 f.
40
Vgl. Abschnitt 2.2.2, S.
10.
41
Vgl. Rödder/Zimmermann (1977), S.
2, Rommelfanger (1994), S. 4 f.
Fuzzy-Modelle
12
Entscheidungsansatz
eine Reihe von Anzügen danach bewertet werden soll, inwieweit sie der subjektiven
Vorstellung eines "sportlichen Anzuges" des jeweiligen Betrachters entsprechen, indem
jedem der Anzüge ein Kompatibilitätsmaß oder Zugehörigkeitsgrad zugeordnet werden
soll. Wird nur ein Betrachter befragt, so erhält man die unscharfe Menge der subjektiven
Vorstellung einer einzelnen Person. Werden nun mehrere Personen bezüglich ihrer
persönlichen Einschätzung der Sportlichkeit der Anzüge befragt, und aus ihren Aussagen
Mittelwerte berechnet, so erhält man kann keine geschätzte Wahrscheinlichkeit der
"Sportlichkeit", sondern eine unscharfe Menge der Vorstellung der Gruppe über die
"Sportlichkeit" der Anzüge. Der Charakter der Aussage ändert sich nicht dadurch, daß
mehrere Personen befragt werden, lediglich das Subjekt, dessen unscharfe subjektive
Einschätzung beschrieben werden soll, hat sich geändert. Ermittlungsverfahren für
Zugehörigkeitsfunktionen unscharfer betriebswirtschaftlicher Sachverhalte werden uns in
Kapitel 4 noch mehrfach begegnen.
Ein weiterer wesentlicher Unterschied zwischen Unschärfe und Zufälligkeit besteht
darin, daß unscharfe Daten immer unscharf sind, unabhängig ob ex ante oder ex post
betrachtet. Zufälligkeiten gibt es dagegen nur ex ante, ex post besteht Sicherheit. Zwar
werden ex post relative Häufigkeiten bestimmt und zur Schätzung von zukünftigen
Wahrscheinlichkeiten verwendet, dies hat jedoch nichts mit unscharfen Daten zu tun; so
kann z.B. der Zeitpunkt, zu dem die ersten Funktionsstörungen bei einer Batterie auftreten,
ex ante nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit angegeben werden, ebenso der
Zeitpunkt, zu dem selbst das sparsamste Gerät keinerlei Funktion mehr anzeigt; ex post
können alle Zeitpunkte, zu denen die Batterie noch eine bestimmte Restspannung aufwies,
exakt angegeben werden; dies ändert nichts an der Tatsache, daß die Batterie nicht von
einem Augenblick zum nächsten einen Sprung von der vollen Spannung von 1,5 Volt auf
Null macht, und daß somit nur eine unscharfe Lebensdauer angegeben werden kann. Um
relative Häufigkeiten anzugeben benötigt man immer eine (größere) Stichprobe von
Objekten, Unschärfe weist dagegen jedes Objekt für sich selbst auf.
Neben dem in der Einleitung
42
bereits angeführten Argument der kostengünstigeren
Implementierung der weniger komplizierten Fuzzy-Lösungen kommt ein weiteres
gewichtiges Argument für eine getrennte Modellierung von Unschärfe und Zufälligkeit ins
Spiel: das oftmals gemeinsame Auftreten der beiden Phänomene. Wird in einem Modell
für zwei verschiedene Phänomene das gleiche Modellierungsverfahren angewandt, so kann
es leicht zu Verwechslungen und Vermischungen zwischen zwei Dingen, welche eigentlich
auseinandergehalten werden müßten, und somit zu irreführenden Resultaten kommen. Ein
Überblick über die Möglichkeiten zur Modellierung gemeinsamen Auftretens von Zufällig-
keit und Unschärfe wird in Kapitel 6
43
gegeben.
42
Vgl. Einleitung, S.
3.
43
Vgl. Kapitel 6, S.
93 ff.
Fuzzy-Modelle
13
Fuzzy-Mengen
3 Grundlagen der Fuzzy-Mengen-Theorie
In diesem Kapitel soll das Wesen von Fuzzy-Mengen, so wie die wichtigsten
Grundbegriffe aus der Theorie der Fuzzy-Mengen erläutert werden. Abschließend sollen
einige Kategorien von Fuzzy-Mengen mit günstigen Eigenschaften vorgestellt werden.
1
3.1 Definition von Fuzzy-Mengen (Fuzzy-Sets)
Eine gewöhnliche (scharfe) Menge ist als Teilmenge einer gegebenen Grundmenge
durch ihre Indikatorfunktion (charakteristische Funktion) eindeutig charakterisiert. Sei also
U eine beliebige Grundmenge (auch Universum genannt), dann ist für A
U
¯
®
=
A
für
0
A
für
1
)
(
1
A
x
x
x
die Indikatorfunktion von A.
Die Idee der unscharfen Mengen geht davon aus, neben Zugehörigkeitswerten aus
}
1
,
0
{
weitere Werte aus
]
1
,
0
[
als graduelle Zugehörigkeitswerte zuzulassen. Eine solche
unscharfe Menge soll mit A bezeichnet werden.
Definition: Sei U eine Grundmenge (Universum).
(i) Dann heißt
(
)
{
}
[ ]
1
,
0
)
(
,
U
)
(
,
:
A
~
A
~
A
~
=
x
x
x
x
(3.1)
unscharfe (Teil-)Menge oder Fuzzy-(Teil-)Menge oder Fuzzy Set von U
2
.
(ii) Die Abbildung
:
,
( )
A
A
U
0 1
x
x
(3.2)
heißt Zugehörigkeitsfunktion (charakteristische Funktion) von A .
(iii)
- (U) bezeichnet die Menge aller Fuzzy-(Teil-)Mengen von U.
Bemerkung:
7 (U) - (U) mit
(
)
{
}
{ }
1
,
0
)
(
1
,
U
)
(
1
,
A
A
A
=
x
x
x
x
für A
7 (U).
1
Die Darstellung gibt die mittlerweile standardmäßigen Definitionen und Sätze der Theorie der unscharfen
Mengen wieder und stützt sich auf Comploj (1994), S.
9 ff. Besondere von einzelnen Autoren abweichend
verwendete Bezeichnungen oder spezielle Formulierungen werden gesondert angeführt.
2
Zadeh (1965), S.
339 bringt in seiner Urschrift über Fuzzy-Mengen keine mathematisch exakte Definition,
so finden sich in der Literatur mehrere Definitionsvarianten. Die hier verwendete Definition ist die
häufigste (z.B. Zimmermann (1991), S.
11 f., Zimmermann (1993), S. 11, Bandemer/Näther (1992), S. 10,
Rommelfanger (1994), S.
8, Comploj (1994), S. 9, Mißler-Behr/Lechner (1996), S. 3, Hauke (1998),
S.
18). Andere (z.B. Kruse/Meyer (1987), S. 10, Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S. 10) definieren die
Zugehörigkeitsfunktion als die unscharfe Menge.
Fuzzy-Modelle
14
Fuzzy-Mengen
0
1
x
0
1
x
Abb. 3.1 Fuzzy-Menge und gewöhnliche Menge
Beispiel: Die Lebensdauer einer Batterie kann als unscharfe Menge A dargestellt werden,
wobei
( )
rt
funktionie
mehr
nicht
überhaupt
Batterie
die
wenn
rt
funktionie
teilweise
Batterie
die
wenn
rt
funktionie
voll
Batterie
die
wenn
0
1
,
0
1
)
(
A
~
°¯
°
®
=
t
t
A
( )
t
~
0
1
Abb. 3.2
Zugehörigkeit der Batterie zur
Menge der funktionierenden
Batterien
Definition
: Sei
(U)
A
~
-
mit
( )
A
x .
(i)
( ) {
}
0
)
(
U
:
A
~
supp
A
~
>
=
x
x
(3.3)
heißt Träger von A .
(ii)
( )
)
(
sup
:
A
~
hgt
A
~
U
x
x
=
(3.4)
heißt Höhe von A .
(iii) Sei A eine Fuzzy-Menge mit
( )
1
A
~
hgt
= . Dann heißt
( ) {
}
1
)
(
U
:
A
~
ker
A
~
=
=
x
x
(3.5)
Kern von A .
(iv)
( )
°
¯
°
®
=
³
¦
Menge
bare
überabzähl
U
)
(
Menge
abzählbare
U
)
(
:
A
~
card
U
A
~
U
A
~
x
x
dx
x
x
(3.6)
heißt Kardinalität
3
von A .
3
Speziell für A
7 (U) (scharfe Menge) ist
|
A
|
)
A
card(
=
, somit ist die Kardinalität von Fuzzy-Mengen
die Verallgemeinerung der Mächtigkeit bzw. Kardinalität von gewöhnlichen Mengen.
Fuzzy-Modelle
15
Fuzzy-Mengen
3.2 Die
-Schnitte von Fuzzy-Mengen
Das Konzept der
-Schnitte geht davon aus, daß man alle jene Elemente der
Grundmenge U betrachten möchte, die mindestens den Zugehörigkeitsgrad
0 1
,
zur
unscharfen Menge A haben.
Definition
: Sei
(U)
A
~
-
mit
( )
A
x ,
0 1
,
. Dann heißt
{
}
=
)
(
U
:
A
A
~
x
x
(3.7)
der
-Schnitt von A (zum Niveau
).
Oft schreibt man auch A
statt A
. Die
-Schnitte heißen auch -Niveaumengen.
Graphisch erhält man den
-Schnitt von A , indem man in der Höhe
eine
Waagrechte (parallel zur x-Achse) zieht und jenen Teil des Graphen von
( )
A
x , der
oberhalb der
-Geraden liegt, auf die x-Achse projiziert.
0
1
( )
A
~
x
A
x
Abb. 3.3
-Schnitte von A
Definition
: Sei
(U)
A
~
-
mit
( )
A
x ,
0 1
,
. Dann heißt
(i)
{
}
>
=
)
(
U
:
A
A
~
>
x
x
(3.8)
der strikte
-Schnitt von A .
(ii)
{
}
=
=
)
(
U
:
A
A
~
=
x
x
(3.9)
die
-Komponente von A .
Bemerkung:
<
A
A
(3.10)
0
1
( )
A
~
x
a
a
a
a
x
Abb. 3.4
-Schnitte von A zu
verschiedenen
-Niveaus
Fuzzy-Modelle
16
Fuzzy-Mengen
Der folgende Satz (Repräsentationssatz)
4
garantiert, daß sich jede Fuzzy-Menge
eindeutig durch ihre
-Schnitte charakterisieren läßt, und daß ihre Zugehörigkeitsfunktion
eindeutig aus ihren
-Schnitten rekonstruiert werden kann.
Satz+Definition
: Sei
(U)
A
~
-
mit
( )
A
x und
-Schnitten
(
]
{
}
A
,
0 1 . Dann gilt:
(i)
[ ]
{
}
{
}
[ ]
{
}
)
(
1
sup
)
(
1
,
min
sup
)
(
A
1
,
0
A
1
,
0
A
~
x
x
x
=
=
(3.11)
(ii) Ein Mengensystem, das (3.11) erfüllt, heißt Mengenrepräsentation von A
~
.
Insbesondere sind das System der
-Schnitte
(
]
{
}
A
,
0 1 von
~
A das System der
strikten
-Schnitte
[
)
{
}
A
,
>
0 1 von
~
A Mengenrepräsentationen von
~
A .
3.3 Einige besondere Fuzzy-Mengen und wichtige Darstellungs-
formen
In den folgenden Untersuchungen werden einige spezielle Klassen von unscharfen
Mengen vorgestellt, die in Bezug auf mathematische Operationen besonders günstige
Eigenschaften aufweisen. Für solche bequem handhabbare Fuzzy-Mengen gibt es meist
auch vereinfachte Darstellungsformen.
Definition
: Sei U eine Grundmenge,
(U)
A
~
-
mit
( )
A
x .
(i)
A
heißt normal oder normalisiert
( )
1
A
~
hgt
:
=
(3.12)
A
heißt subnormal
( )
1
A
~
hgt
:
<
Bemerkung:
( )
=
=
A
~
0
A
~
hgt
(ii) A heißt konvex oder fuzzy-konvex
{
}
[ ]
(
)
{
}
)
(
),
(
min
)
1
(
:
1
,
0
,
U
,
bzw.
)
(
),
(
min
)
(
:
U
,
,
:
2
A
~
1
A
~
2
1
A
~
2
1
3
A
~
1
A
~
2
A
~
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
(3.13)
(iii) A sei normal (3.12). A heißt unimodal
:
!
(
)
=
U:
A
x
x
0
0
1
(3.14)
Für eine nicht-konvexe Fuzzy-Menge
(U)
A
~
-
mit Zugehörigkeitsfunktion
~
A
( )
x
und
-Schnitten A
,
(
]
0 1
, , kann die konvexe Hülle co
~
A definiert werden durch
4
Der Beweis findet sich unter anderem bei Comploj (1994), S.
13, vgl. auch Kruse/Meyer (1987), S. 10 ff.,
Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S.
35 f.
Fuzzy-Modelle
17
Fuzzy-Mengen
[ ]
{
}
co
~
A
,
coA
( ):
sup
( )
x
x
=
0 1
1
(3.15)
wobei
[ ]
{
}
coA :
U
A ,
A ,
, :
(
)
=
= + -
x
x
x
x
x
x
1
2
1
2
0 1
1
(3.16)
Die Definition (3.16) ist gerade die Definition der konvexen Hülle einer gewöhnlichen
(scharfen) Teilmenge von U.
Betrachten wir speziell IR als Grundmenge, so erhalten wir folgende interessanten
unscharfen Mengen:
Definition
5555
: Sei
)
R
I
(
A
~
-
mit
( )
A
x
.
(i)
A
heißt unschafes Intervall oder Fuzzy-Intervall
:
A ist normal und konvex nach (3.12) und (3.13)
(ii) A heißt unscharfe Zahl oder Fuzzy-Zahl
:
A ist normal, konvex und unimodal nach (3.12), (3.13) und (3.14)
Spezialfälle: trapezförmige Fuzzy-Intervalle und trianguläre Fuzzy-Zahlen:
(
)
0
0
1
1
,
;
,
A
~
a
a
a
a
=
0
1
x
a
a
a
a
0
1
1
0
_
_
_
_
wobei
~
( )
A
für
für
für
sonst
x
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
a
=
®
°
°°
¯
°
°
°
-
-
-
-
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
(3.17)
Abb. 3.5 Trapezförmiges Fuzzy-Intervall
(
)
0
0
1
,
;
A
~
a
a
a
=
0
1
x
a
a
a
0
1
0
_
_
wobei
~
( )
A
für
für
für
sonst
x
a
x
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
a
=
=
®
°
°°
¯
°
°
°
-
-
-
-
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
(3.18)
Abb. 3.6 Trianguläre Fuzzy-Zahl
5
Die Unterscheidung wird insbesondere bei Dubois/Prade (1992), S.
21, Novák (1989), S. 91, Bandemer/
Näther (1992), S.
20 f., Bandemer/Gottwald (1993), S. 60, Hauke (1998), S. 39 f. getroffen, bei Comploj
(1994), S.
14 übernommen wurde sie von diesen Autoren übernommen. Bei Kaufmann/Gupta (1991),
S.
43 findet sich lediglich die Einteilung in unimodale und nicht-unimodale Fuzzy-Zahlen, bei Kruse/
Meyer (1987), S.
10, Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S. 33 etwa wird überhaupt nicht zwischen uni-
modalen und nicht-unimodalen Fuzzy-Mengen unterschieden.
Fuzzy-Modelle
18
Fuzzy-Mengen
Speziell für diskrete Grundmengen (z.B.
Z
Z
N,
I
)gibt es die folgende günstige Reprä-
sentationsform (Niveautabelle)
6
)
(
1
A
~
x
)
(
2
A
~
x
)
(
3
A
~
x
)
(
4
A
~
x
)
(
5
A
~
x
)
(
6
A
~
x
=
A
~
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
(3.19)
Eine sehr nützliche Schreibweise, die sowohl vertikale Repräsentation, d.h.
Zugehörigkeitsgrad und Element, als auch horizontale Repräsentation, d.h.
-Niveau und
-Schnitt, ermöglicht, ist die Vereinigungsschreibweise
7
:
Vertikale Sicht:
( )
A
~
supp
A
~
/
)
(
A
~
x
x
=
(3.20)
Ist insbesondere
°
°
¯
°°
®
=
0
0
0
1
1
1
1
0
A
~
A
~
A
~
0
)
(
1
)
(
)
(
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
x
x
R
L
die Zugehörigkeitsfunktion eines unscharfen Intervalls, dann lautet die vertikale
Vereinigungsschreibweise:
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
=
=
0
1
1
1
1
0
0
0
/
)
(
/
1
/
)
(
/
)
(
A
~
A
~
A
~
A
~
a
a
R
a
a
a
a
L
a
a
x
x
x
x
x
x
x
Im Fall einer unscharfen Zahl entfällt der mittlere Term.
Horizontale Sicht:
/
A
A
=
=
0
1
(3.21)
Das unscharfe Intervall (3.21) läßt sich dann schreiben als
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
,
/
,
/
,
/
,
/
,
/
,
/
A
~
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Die Menge aller Fuzzy-Mengen über IR mit bestimmten Eigenschaften ist jeweils
eine Teilmenge von
)
R
I
(
-
.
6
Vgl. Kaufmann/Gupta (1991), S.
5 ff.
7
Weitere vertikale und horizontale Darstellungsformen sind zusammengefaßt bei Comploj (1994), S.
16 ff.
Vgl. auch Kruse/Meyer (1987), S.
42 ff., Kruse/Gebhardt/Klawonn S. 19 f.
Fuzzy-Modelle
19
Fuzzy-Mengen
Definition
: Sei
)
R
I
(
-
die Menge aller Fuzzy-Mengen über IR . Wir definieren folgende
Teilmengen von
)
R
I
(
-
:
(i)
[ ]
{
(
)
{
}}
)
(
),
(
min
)
1
(
:
1
,
0
,
R
I
,
)
R
(I
A
~
:
)
R
I
(
2
A
~
1
A
~
2
1
A
~
2
1
x
x
x
x
x
x
c
-
+
=
-
-
(3.22)
ist die Menge aller konvexen Fuzzy-Mengen über IR .
(ii)
(
)
{
}
<
=
)
A
~
supp(
card
)
R
(I
A
~
:
)
R
I
(
-
-
b
(3.23)
ist die Menge aller Fuzzy-Mengen über IR mit beschränktem Träger.
(iii)
(
) (
)
{
}
)
R
(I
)
R
(I
)
R
(I
A
~
)
R
(I
A
~
)
R
(I
A
~
:
)
R
I
(
b
c
b
c
cb
-
-
-
-
-
-
=
=
(3.24)
ist die Menge aller konvexen Fuzzy-Mengen über IR mit beschränktem Träger.
(iv)
¿
¾
½
¯
®
=
=
=
n
i
i
n
cc
1
1
B
~
A
~
:
)
R
I
(
B
~
,...,
B
~
)
R
(I
A
~
:
)
R
(I
-
-
-
(3.25)
ist die Menge aller Fuzzy-Mengen über IR , die sich als endliche Vereinigung von
konvexen Fuzzy-Mengen über IR darstellen läßt.
(v)
)
R
(I
)
R
(I
:
)
R
(I
b
cc
ccb
-
-
-
=
(3.26)
ist die Menge aller Fuzzy-Mengen über IR mit beschränktem Träger, die sich als
endliche Vereinigung von konvexen Fuzzy-Mengen über IR darstellen läßt.
(vi)
[
]
[
]
°¿
°
¾
½
¸¸¹
·
¨¨©
§
+
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
¯
®
=
-
-
-
-
R
I
)
(
1
)
(
1
)
(
,
:
R
I
)
,
,
(
)
R
(I
A
~
:
)
R
I
(
0
1
1
0
,
,
A
~
2
0
1
3
2
1
0
1
0
1
0
1
1
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
t
a
a
a
x
a
a
x
a
-
-
(3.27)
ist die Menge aller triangulären Fuzzy-Zahlen über IR .
Es gilt für
)
R
(I
A
~
-
:
( )
co
~
A
co A
=
(3.28)
3.4 Possibilistische Interpretation von Fuzzy-Mengen
Bereits in der Einleitung
8
wurde kurz die Interpretation des Zugehörigkeitsgrades
eines scharfen Elementes zu einer unscharfen Menge als Möglichkeit (Possibilität) des
Auftretens des entsprechenden scharfen Elements als Ergebnis eines Experiments
9
ange-
sprochen. Die Possibilitätstheorie liefert den Zugang zu dieser alternativen Interpretation
8
Vgl. Einleitung, S.
3.
9
Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S.
44 und S. 69, Gebhardt (1992), S. 136, bezeichnen diese Auslegung
als die epistemische Interpretation von Fuzzy-Mengen.
Fuzzy-Modelle
20
Fuzzy-Mengen
von Fuzzy-Mengen; die Possibilitätstheorie steht in engem Zusammenhang mit der Theorie
der Fuzzy-Maße, deren Grundbegriffe hier kurz erklärt werden sollen.
10
Ein meßbarer Raum ist ein Paar (U,
() aus einer Menge U und einer
-Algebra (
von Teilmengen von U. Eine
-Algebra ( ist ein System von Teilmengen von U, welches
die leere Menge, das Universum selbst, und von allen enthaltenen Teilmengen
Vereinigung, Durchschnitt und Komplement enthält:
(i)
(
(
U
,
(ii)
U
B
A,
für
B
\
A
,
B
A
,
B
A
B
A,
(
(
(
(
(iii)
(
,...
A
,
A
2
1
eine Folge von Teilmengen von U
,
A
1
(
=
i
i
(
=
i
i
A
1
Es läßt sich leicht zeigen, daß:
(
(
C
A
A
.
Definition
: Sei (U,
() ein meßbarer Raum. Eine Mengenfunktion
]
,
0
[
:
(
M
mit
folgenden Eigenschaften heißt Fuzzy-Maß oder unscharfes Maß.
(i)
( )
0
=
M
(ii)
( )
(
A
0
A
M
(Nichtnegativität)
(iii)
( )
( )
(
B
A,
für
B
A
B
A
M
M
(Monotonie)
(iv) Für
(
,...
A
,
A
2
1
mit
...
A
A
2
1
und
(
=
i
i
A
1
gilt:
( )
( )
i
i
i
i
M
M
A
lim
A
lim
=
(v) Für
(
,...
A
,
A
2
1
mit
...
A
A
2
1
und
(
=
i
i
A
1
gilt:
( )
( )
i
i
i
i
M
M
A
lim
A
lim
=
Die Eigenschaft (iv) wird als untere (v) als obere (Halb-)Stetigkeit bezeichnet.
Ein spezielles Fuzzy-Maß ist das im folgenden charakterisierte Possibilitätsmaß:
Definition
: Sei (U,
() ein meßbarer Raum. Ein Fuzzy-Maß
]
1
,
0
[
:
(
Poss
heißt
Possibilitätsmaß oder Möglichkeitsmaß auf (U,
(), wenn:
11
(i)
(
A
1
(A)
0
Poss
(ii)
( )
0
=
Poss
,
1
(U)
=
Poss
(3.29)
(iv)
( )
i
i
i
i
Poss
Poss
A
sup
A
I
I
=
¸
¹
·
¨
©
§
10
Eine ausführliche Darstellung zu Fuzzy-Maß-Theorie und Possibilitätstheorie ist in der Monographie von
Wang/Klir (1992) gegeben, vgl. auch Comploj (1994), S.
74 ff.
11
Durch
)
(A
1
:
(A)
C
Poss
Nec
-
=
kann das sog. zu Poss duale Fuzzy-Maß, das Necessitäts- oder
Notwendigkeitsmaß bestimmt werden. Für Nec gilt:
(i)
(
A
1
)
A
(
0
Nec
(ii)
0
)
(
=
Nec
,
1
(U)
=
Nec
(iii)
}
)
(A
{
inf
)
A
(
i
I
I
1
Nec
Nec
i
i
=
Fuzzy-Modelle
21
Fuzzy-Mengen
Die Eigenschaft (i) ist die allgemein für Fuzzy-Maße geforderte Nichtnegativität,
die zweite Teileigenschaft in (ii) wird als Regularität, die Eigenschaft (iii) als Fuzzy-Addi-
tivität bezeichnet.
Aus einem Possibilitätsmaß (3.29) läßt sich eine Possibilitätsdichte konstruieren:
Definition: Sei (U,
() ein meßbarer Raum und sei
]
1
,
0
[
:
(
Poss
ein Possibilitätsmaß
(3.29) auf (U,
(). Dann heißt die Funktion
[ ]
{ }
( )
x
Poss
x
=
)
(
,
1
,
0
U
:
(3.30)
Possibilitätsdichte oder Möglichkeitsdichte auf U. Sie wird auch als Possibilitätsvertei-
lung oder Möglichkeitsverteilung bezeichnet. Man sagt auch: Die Possibilitätsvertei-
lung ist durch ihre Dichte gegeben.
Für eine Possibilitätsdichte auf U gilt:
sup ( )
U
x
x
=
1
(3.31)
denn
{ }
( )
{ }
( )
1
U
sup
)
(
sup
U
U
U
=
=
¸¹
·
¨©
§
=
=
Poss
x
Poss
x
Poss
x
x
x
x
.
Die Motivation für die Bezeichnung Possibilitätsdichte kommt aus der Wahrschein-
lichkeitstheorie, wo eine Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Wahrscheinlichkeits-
funktion im diskreten Fall bzw. eine Dichtefunktion im kontinuierlichen Fall ausgedrückt
wird.
12
Einleitend wurde erwähnt, daß die Possibilitätstheorie eine zur rein physikalischen
Interpretation der Zugehörigkeitsgrade von Fuzzy-Mengen alternative Sichtweise erlaubt.
Wegen
]
1
,
0
[
)
(
x
kann eine Possibilitätsdichte (3.30) als Zugehörigkeitsfunktion einer
Fuzzy-Menge (3.1)-(3.2) interpretiert werden, wegen (3.31) ist eine solche Fuzzy-Menge
immer normalisiert im Sine von (3.12). Daher kann umgekehrt eine normalisierte Fuzzy-
Menge, die (3.12) erfüllt, auch als Possibilitätsdichte interpretiert werden, da die charakte-
ristische Eigenschaft (3.31) dadurch erfüllt ist.
13
12
Zum Vergleich seien hier die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes aufgezählt: Ein Wahrschein-
lichkeitsmaß auf (U,
() ist eine Funktion
]
,
0
[
:
(
P
mit (Kolmogorov-Axiome):
(i)
(
A
0
)
A
(
P
(ii)
1
)
(
=
U
P
(iii)
=
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
A
A
,
A
,
A
für
)
(A
)
(A
)
A
(A
(
P
P
P
Ein Possibilitätsmaß unterscheidet sich somit von ein Wahscheinlichkeitsmaß dadurch, daß die Additivität
(iii) (in der Fußnote) durch die Fuzzy-Additivität (3.29)(iii) ersetzt wird.
13
Details und Beispiele zur Identifikation von Fuzzy-Mengen und Possibilitätsdichten finden sich bei
Comploj (1994), S.
87 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
22
Entscheidungsrelevante Daten
4 Fuzzy-Mengen zur Beschreibung unscharfer betriebswirtschaft-
licher entscheidungsrelevanter Daten
Die folgenden Abschnitte greifen einige spezifische Bereiche, die zu Unschärfen
bei der Formulierung eines betriebswirtschaftlichen Entscheidungsproblems führen
können, auf. Zwei Bereiche werden dabei besonders hervorgehoben: einerseits werden
Unschärfen bei sozialwissenschaftlichen Daten untersucht, andererseits wird das betrieb-
liche Rechnungswesen auf Unschärfen analysiert.
Die Sozialwissenschaft ist Nachbarwissenschaft der Betriebswirtschaftslehre
1
,
sozialwissenschaftliche Daten fließen in betriebswirtschaftliche Entscheidungen sowohl
über das Verhalten der Entscheidungsträger, als auch über das Verhalten von Betroffenen
(etwa von Kunden bei Absatzentscheidungen oder von Mitarbeitern bei Entscheidungen im
Personalbereich) ein. In der Literatur
2
wird auch von verbalen oder schaubildhaften oder
tendenziellen Formulierungen von Zusammenhängen gesprochen. Der erste Teil dieses
Kapitels ist Unschärfen bei der Quantifizierung sozialwissenschaftlicher Daten gewidmet.
Während man bei sozialwissenschaftlichen Fragestellungen Probleme bei der
Quantifizierung von Daten allgemein in Kauf nimmt, wird an das betriebliche
Rechnungswesen vielfach die Forderung nach exakter Quantifizierung der Größen gestellt.
Das betriebliche Rechnungswesen bildet aufgrund seiner vielgestaltigen Funktionen
3
in
vielerlei Hinsicht die Informationsbasis für betriebswirtschaftliche Entscheidungen, da es
einerseits aufgrund der Funktion der Selbstinformation des Kaufmanns die Basis für die
Planung künftiger Maßnahmen darstellt, andererseits aufgrund der Fremdinformations-
funktion auch in die Entscheidungsfelder von anderen Akteuren (insbesondere von Eigen-
und Fremdkapitalgebern) einfließt. Der zweite Teil dieses Kapitels wird sich mit
Unschärfen in ausgewählten Bereichen des betrieblichen Rechnungswesens beschäftigen.
4.1 Fuzzy-Daten in der Sozialwissenschaft
Erkenntnisgegenstand der Sozialwissenschaft stellt die gesellschaftliche Wirklich-
keit dar. Um brauchbare Aussagen tätigen zu können, müssen verwertbare ,,Daten" über
diese gesellschaftliche Wirklichkeit gesammelt werden. Mayntz/Holm/Hübner
4
stellen den
soziologischen Forschungsprozeß und die Rolle der Daten, wie folgt, dar:
1
Vgl. Abschnitt 2.1, S.
8.
2
Vgl. Heinen (1991), S.
21, Comploj (1996), S. 11.
3
Eine zentrale Funktion des Rechnungswesens ist die Selbstinformation des Kaufmanns, aus welcher sich
eine Kontroll- und Planungsfunktion ableitet, weitere wesentliche Funktionen sind Information von
Fremd- und Eigenkapitalgebern, Gewinnausschüttungs- und Steuerbemessungsfunktion.
Vgl. Heinen/Kupsch (1991), S.
1329 ff., Hämmerle/Steckel (1998), S. 9 u. S. 18, Egger/Samer/Bertl
(2002), S.
18.
4
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
33 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
23
Entscheidungsrelevante Daten
Universum mög-
licher Beobach-
tungen von
Eigenschafts-
dimensionen des
Untersuchungs-
objekts
begrifflich
strukturierte
Beobachtungen
manifester
Eigenschaften
registrierte
Beobachtungen
(Daten)
Schluß auf die
Zugehörigkeit
des Unter-
suchungsbjekts
zu einer Eigen-
schaftsklasse
2.Stufe
1.Stufe
3.Stufe
Abb. 4.1 Stellung der Daten im Forschungsprozeß
Auf allen Stufen des Forschungsprozesses kann Unschärfe ins Spiel kommen. Auf
der ersten Stufe erfolgt die Abstraktion von der Realität auf die begriffliche Ebene, hier ist
ein erster Ansatzpunkt für Unschärfe gegeben. Unschärfe von Begriffsinhalten stellt den
Gegenstand des Abschnitts über linguistische Variablen dar. Tritt die Unschärfe auf der
zweiten Stufe, d.h. im Bereich der Bebachtungen und ihrer Erfassung auf, so erhalten wir
ebenfalls Fuzzy-Daten, welche sich als Fuzzy-Mengen auf Meßskalen manifestieren. Auf
der 3. Stufe soll zwar keine zusätzliche Unschärfe mehr dazukommen, doch Fuzzy-Daten
aufgrund von Unschärfe auf der ersten oder/und der zweiten Stufe lassen auch nur noch auf
eine unscharfe Zugehörigkeit zu einer Eigenschaftsklasse schließen. Somit werden auch die
Eigenschaftsklassen selbst zu Fuzzy-Mengen.
4.1.1 Linguistische Variablen
Als linguistische Variable bezeichnet man eine meßbare Größe, welche mindestens
zwei voneinander verschiedene Werte annehmen kann, und deren Werte häufig oder
ausschließlich mittels linguistischer Umschreibungen angegeben werden. Im Bereich der
empirischen Sozialforschung werden Phänomene der Realität mit Hilfe von Begriffen
umschrieben, ein Begriff ist ,,ein mit einem Wort (bzw. einer Wortkombination) bezeich-
neter Vorstellungsinhalt,"
5
bzw. ,,Begriffe sind Bestandteile der Sprache, mit denen der
Gegenstandsbereich besprochen wird."
6
Untersuchungsgegenstand im sozialwissenschaft-
lichen Bereich ist niemals die Realität selbst, sondern der mit den Begriffen verknüpfte
Vorstellungsinhalt, die ,,reflektierte Realität". Insbesondere untersucht werden soziale
Einheiten, d.h. Individuen, Produkte menschlichen Handelns und soziale Kollektive, im
Hinblick auf bestimmte Eigenschaften (Merkmale).
7
Diese Merkmale stellen gerade solche
meßbaren, linguistisch umschriebenen Größen dar.
8
Neben diesen sozialwissenschaftlichen
5
Mayntz/Holm/Hübner, (1978), S.
9.
6
Kromrey (1998), S.
113.
7
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
11 f.
8
So kann die Arbeitszufriedenheit "hoch", das Betriebsklima "positiv" oder die Qualität eines Produktes
"gut" sein. Hier soll zur Vereinfachung zunächst nicht zwischen eindimensionalen und mehrdimensionalen
Merkmalen unterschieden werden; wird ein Merkmal durch mehrere Dimensionen beschrieben, so wird
jede Dimension wie ein eigenes Merkmal behandelt. Rein qualitative Merkmale, welche zunächst nicht
meßbar sind, werden dabei zunächst nicht einbezogen, zumal da diese meist in mehrere quantitative
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
24
Entscheidungsrelevante Daten
linguistischen Variablen, welche Gegenstand dieses Abschnitts sein werden, gibt es auch
im naturwissenschaftlich-technischen oder im medizinischen Bereich Eigenschaften, die
häufig linguistisch angegeben werden.
9
In der Literatur finden sich die verschiedensten
Definitionen
10
einer linguistischen Variablen, nachstehende Definition ist ein eigen-
ständiger Versuch, eine Synthese, welche alle wesentlichen Merkmale enthält, zu bilden.
Definition
: Eine linguistische Variable ist ein Quadrupel
)
,
, S
X
~
U
,
~
(
;
. Dabei ist
(i)
N
I
},
T
,...,
{T
1
=
t
k
;
eine Termmenge, d.h. eine (endliche) Menge von linguisti-
schen Begriffen,
(ii) U ein Universum,
(iii)
(U)
:
~
-
;
S
eine Abbildung, genannt Semantik, deren Bild
(iv)
(U)
}
T
|
)
(T
~
{
)
(
~
-
;
;
:
;
=
=
k
k
S
S
eine Menge von Fuzzy-Mengen auf dem
Universum ist
(v)
X
~
eine Fuzzy-Variable, deren Werte Fuzzy-Mengen in
;
: sind,
(vi)
)
~
supp( X
x
heißt Basisvariable, deren Werte scharfe Elemente in U sind.
Die Bestimmung der Zugehörigkeitsfunktion eines linguistischen Begriffes bzw.
der Semantik stellt eine besondere Form des Verfahrens der Definition eines Begriffes dar.
Allgemein wird unter Definition die ,,beschreibende Aufzählung" der Elemente des durch
Merkmalsdimensionen zerlegbar sind. Auf mehrdimensionale Merkmale wird noch in Abschnitt 4.1.2,
S.
28 f. eingegangen werden.
9
So kann der Himmel "wolkig" sein, der Blutdruck eines Menschen "hoch", das Klima einer Region
"feucht" oder ein Auto "schnell". Alter ist ein Merkmal, welches sowohl im sozialwissenschaftlichen, als
auch im naturwissenschaftlichen Bereich Bedeutung hat.
10
Der Begriff der linguistischen Variablen wurde erstmals verwendet von Zadeh (1975b) I, S.
200, eine
exakte mathematische Definition bringt Zadeh jedoch nicht. Auch bei Bandemer/Gottwald (1993),
S.
102 ff. wird der Begriff der linguistischen Variablen unter Bezugnahme auf Zadeh (1975b) I,II,III ohne
exakte mathematische Definition verwendet.
So sind die Vorschläge für exaktere Formulierungen in der Literatur vielfältig:
Bei Kruse/Meyer (1987), S.
232 ff. gibt es keine Definition der linguistischen Variablen selbst, sondern
lediglich von Termmenge und Semantik, zusätzlich wird eine formale Sprache mittels Verknüpfungen der
Terme aus der Termmenge mittels Operatoren aus einer vorgegebenen Operatorenmenge definiert.
Rommelfanger (1994), S.
66, definiert die linguistische Variable ebenfalls als Quadrupel, zu dem
Begriffsmenge (entspricht der Termmenge) und Universum gehören, doch statt der Basisvariablen und
ihrer unscharfen Version spricht er von einer ,,Menge syntaktischer Regeln, mit denen sich der Name der
linguistischen Variablen aus den Ausprägungen in" der Termmenge ,,ableiten läßt", und die Semantik
wird ersetzt durch ,,eine Menge semantischer Regeln, die jedem Element" aus der Termmenge seine
Bedeutung ... in Form einer unscharfen Menge auf" dem Universum ,,zuordnen".
Eine weitere Definition als Quadrupel schlägt Hauke (1998), S.
22 f. vor, doch wird im Gegensatz zu der
hier gewählten Definition nicht zwischen der unscharfen Variablen, welche die unscharfen Werte
annimmt, und der scharfen Basisvariablen unterschieden. Ebenso weicht er in seiner Definition der
Semantik von der hier und bei Kruse/Meyer (1987), S.
204 verwendeten Definition ab, er definiert das
(aus Fuzzy-Mengen bestehende) Bild
;
: der Termmenge ; unter der Semantik S
~
als Semantik.
Nach Mißler-Behr/Lechner (1996), S.
25 f. ist eine linguistische Variable ein Quintupel aus Variablen-
name, Termmenge, Universum, generativer Grammatik, d.h. einer Menge von Operatoren, welche auf die
Terme angewandt werden (siehe S.
18 f.), und Semantik.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
25
Entscheidungsrelevante Daten
ein ,,Wort mit zunächst nur unscharf gedachten Vorstellungsinhalten" (Definiendum)
,,gekennzeichneten Vorstellungsinhalts" (Definiens) verstanden. Auf zahlreiche Probleme
bei der klaren Präzisierung von sozialwissenschaftlichen Begriffen, welche vielfach aus der
mit undefinierten Begriffen arbeitenden Umgangssprache entspringen, wird hingewiesen.
11
Die Literatur kennt mehrere Verfahren zur Bestimmung Semantik einer lingui-
stischen Variablen. Das Verfahren der Expertenbefragung und das Verfahren der zufälligen
Mengen beruhen im wesentlichen auf einer möglichkeitstheoretischen Interpretation der
Terme. Diese ordnet jedem exakten Wert auf der Meßskala, den die Größe, die mit dem
linguistischen Begriff umschrieben wird, haben kann, eine Möglichkeit zu.
12
Beim Verfahren der Expertenbefragung soll unter Experten möglichst ein Konsens
über die Repräsentation eines linguistischen Begriffes erzielt werden. Es ist vor allem für
Begriffe aus dem technisch-naturwissenschaftlichen oder medizinischen Bereich geeignet,
da es dabei um Größen geht, die exakt meßbar sind, die jedoch gerne mittels eines
linguistischen Begriffes umschrieben werden, der eine Fuzzy-Menge auf der Meßwertskala
darstellt. In der Betriebswirtschaftlehre kann diese Methode insbesondere Abgrenzung
einer "vernünftigen kaufmännischen Beurteilung" im Sinne von §
207 Abs 2 und § 211
Abs
1 eingesetzt werden. Hierauf wird später in Abschnitt 4.2.1 eingegangen werden.
Ein weiteres Verfahren, welches wie das der zufälligen Mengen ebenfalls
empirisch-frequentistisch ist, das ein sofortiges Ablesen der Fuzzy-Menge aus dem Unter-
suchungsergebnis nicht ermöglicht, sondern vorher noch einige theoretische Überlegungen
erfordert, wird im Abschnitt 4.2.5 über unscharfe Kennzahlen Ausprägung vorgestellt.
Zugehörigkeitsfunktionen bzw. Semantiken von sozialwissenschaftlichen Begriffen,
die die Einschätzung der Gesellschaft wiedergeben, können gut mit dem Verfahren der
zufälligen Mengen
13
ermittelt werden, etwa ab welchem Vermögen bzw. Jahreseinkommen
11
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
14.
12
Vgl. Abschnitt 3.4, S.
19 ff.
13
Das Verfahren der zufälligen Mengen ist ein sehr einfaches frequentistisches Verfahren zur Bestimmung
der Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge. Diese Verfahren stellen allerdings nicht den eigentlichen
Inhalt der Theorie der zufälligen Mengen dar, vgl. Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S.
43 ff. Ausführ-
liche Darstellungen zu zufälligen Mengen bringen die Monographien von Matheron (1975) und Stoyan/
Kendall/Mecke (1987).
Eine mengenwertige Abbildung
=
)
(
),
(U),
(
)
,
,
(
:
4
7
( P
von einem Wahrschein-
lichkeitsraum.
)
,
,
(
P
(
in einen meßbaren Raum
)
(U),
(
4
7
, die
(-4-meßbar ist, heißt zufällige
Menge auf
(U)
7
. Zur Definition von Meßbarkeit und Wahrscheinlichkeitsraum siehe Abschnitt 7.1.1,
S.
113 f., Fußnote 6.
Die Mengen
)
(
bzw.
heißen Fokalmengen von .
Ist
= P
Q
das durch
gegebene Wahrscheinlichkeitsmaß auf
)
(U),
(
4
7
, d.h.
({A})
({A})
= P
Q
A})
)
(
|
({
(A))
(
1
=
=
=
-
P
P
. Dann heißt
)})
(
|
({
})
({
)
(
],
1
,
0
[
U
:
=
=
x
P
x
Q
x
x
die Konturfunktion von
. Aus der Konturfunktion
ist die zufällige Menge
im allgemeinen nicht
eindeutig rekonstruierbar.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
26
Entscheidungsrelevante Daten
ein Haushalt als "wohlhabend" eingestuft wird, ab welcher durchschnittlichen täglichen
Arbeitszeit ein Arbeitnehmer als "fleißig" gilt, ab welcher Mitarbeiterzahl ein
Unternehmen als "groß" einzustufen ist
14
, ab welchem Alter eine Person als "alt" zu
bezeichnen ist. Zufällig ausgewählte Personen werden nach ihrer Meinung bezüglich des
zu behandelnden Problems befragt, und aufgrund von deren Antworten wird die
Zugehörigkeitsfunktion des unscharfen linguistischen Begriffs bestimmt.
Beispiel: Mittels eines frequentistischen Verfahrens soll die Möglichkeitsdichte des
linguistischen Begriffs "reich" konstruiert werden.
Sei
]
100
,
0
[
U
=
(gemessen in Geldeinheiten) das Universum der möglichen Haushalts-
einkommen,
(U)
)
die Menge der Borelmengen von U, und
4 eine -Algebra auf
(U)
)
,
; = {"sehr reich", "reich", "mittleren Einkommens", "arm", "sehr arm"} die
Menge der möglichen linguistischen Terme. Sei
}
,...,
{
10
1
=
eine Menge von zehn
Personen, und
)
),
(
,
(
P
7
ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei
10
1
})
({
=
i
P
für
i
= 1
10
,...,
.
( )
)
,
U
(
)
),
(
,
(
:
4
)
7
P
sei die zufällige Menge, die jeder Person
i
das Intervall zuordnet, innerhalb von welchem jemand nach der Einschätzung von
i
"reich" ist. Wir erhalten folgende Angaben:
[
]
85
,
80
)
(
1
=
,
[
]
85
,
70
)
(
2
=
,
[
]
82
,
75
)
(
3
=
,
[
]
100
,
50
)
(
4
=
,
[
]
90
,
60
)
(
5
=
,
[
]
85
,
65
)
(
6
=
,
[
]
85
,
70
)
(
7
=
,
[
]
82
,
80
)
(
8
=
,
[
]
90
,
70
)
(
9
=
,
[
]
85
,
60
)
(
10
=
Wir erhalten die folgende Konturfunktion:
[
)
(
]
[
)
(
]
[
)
[
)
[
)
(
]
[
]
°
°
°
°
¯
°
°
°
°
®
<
=
82
,
80
für
1
85
,
82
und
80
,
75
für
8
,
0
75
,
70
für
7
,
0
70
,
65
für
4
,
0
90
,
85
und
65
,
60
für
3
,
0
100
,
90
und
60
,
50
für
1
,
0
50
für
0
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Die Konturfunktionen von Fuzzy-Mengen können als Zugehörigkeitsfunktionen von Fuzzy-Mengen bzw.,
falls
1
)
(
sup
U
=
x
x
, also insbesondere für konsistente zufällige Mengen, d.h.
)
(
, als
Possibilitätsdichten interpretiert werden, vgl. Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S.
44 ff., Comploj (1994),
S.
101 ff.
14
Hier geht es um die Einschätzung in der Bevölkerung. Diese ist nicht gleichzusetzen mit den Kriterien des
§
221 HGB für Kapitalgesellschaften, wobei für große Kapitalgesellschaften mindestens zwei der drei
folgenden Grenzen müssen überschritten sein: 12,5 Millionen Euro Bilanzsumme, 50 Millionen Euro
Umsatzerlöse in 12 Monaten, im Jahresdurchschnitt 250 Arbeitnehmer. Dabei läßt das HGB eine gewisse
Bandbreite zu, welche aber, formal interpretiert nicht einer Fuzzy-Menge führt: sind zwei Merkmale er-
füllt/nicht erfüllt, so kann das dritte jeden beliebigen Wert annehmen (Größe ist hier also eine mehrdimen-
sionale Eigenschaft); einmalige (Nicht-/)Erfüllung der Merkmale führt nicht zu einer Neueinstufung.
Bei der Erfassung der Einschätzung der Bevölkerung können die Dimensionen Bilanzsumme und
Umsatzerlöse vernachlässigt werden, da trotz des Publizitätsprinzips im allgemeinen nur Fachleute
Kenntnis von diesen Größen haben und auch nur sie diese Größen interpretieren können.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
27
Entscheidungsrelevante Daten
Wir erhalten die Fuzzy-Menge
=
"reich" in
; = {"sehr reich", "reich", "mittleren
Einkommens", "arm", "sehr arm"} (Fuzzy-Intervall):
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
. . . . .
96
100
52
50
98
Abb. 4.2
Fuzzy-Intervall
"reich"
Die
-Schnitte lauten:
[
]
100
,
50
1
,
0
=
,
[
]
90
,
60
2
,
0
=
,
[
]
90
,
60
3
,
0
=
,
[
]
85
,
65
4
,
0
=
,
[
]
85
,
70
5
,
0
=
,
[
]
85
,
70
6
,
0
=
,
[
]
85
,
70
7
,
0
=
,
[
]
85
,
75
8
,
0
=
,
[
]
82
,
80
9
,
0
=
,
( )
[
]
82
,
80
~
ker
1
=
=
15
Sieht man eine Termmenge als Teilmenge einer formalen Sprache, welche aus einer
ursprünglichen Termmenge und einer generativen Grammatik,
16
d.h. einer Menge von ein-
und mehrstelligen Operatoren, welche auf die ursprünglichen und abgeleiteten Terme
angewandt werden, gebildet wird, so kann ein und derselbe Term in der ursprünglichen
Termmenge und in der abgeleiteten Termmenge verschiedenen Semantiken haben. Intuitiv
ist unverzüglich klar, daß wir im obigen Beispiel eine andere Fuzzy-Menge bzw. eine
andere zufällige Menge für "reich" erhalten hätten, wenn unsere Termmenge gelautet hätte:
; = {"reich","arm"}.
Einstellige Operatoren werden oft auch als Modifikatoren genannt, z.B. sehr,
ziemlich, etwas, kaum, einigermaßen, mittelmäßig, ...
17
Der Modifikator "sehr" sollte etwa
bewirken: eine Verkleinerung von Kern und Träger und ein Steilerwerden des Anstiegs der
Zugehörigkeitsfunktion der den Begriff beschreibenden unscharfen Menge.
18
Gehen wir
nun davon aus, daß uns die Termmenge {"reich","arm"} zur Verfügung steht, so
konstruieren wir zunächst die Terme "sehr reich" und "sehr arm" durch Anwendung des
Modifikators sehr.
0
1
"sehr arm"
( )
x
"arm"
( )
x
"sehr reich"
( )
x
"reich"
( )
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Abb. 4.3 Der Modifikator "sehr"
15
Wegen
)
(
]
82
,
80
[
10
1
i
i
=
=
ist
ist eine konsistente zufällige Menge und
1
)
(
sup
U
=
x
x
, daher ist
auch eine possibilistische Interpretation möglich.
16
Vgl. Bandemer/Gottwald (1993), S.
104 ff.
17
Vgl. auch Mißler-Behr/Lechner (1996), S.
27.
18
Vgl. Bandemer/Gottwald (1993), S.
105 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
28
Entscheidungsrelevante Daten
Weitere Operatoren zur Bildung von Termen einer formalen Sprache sind
Durchschnitt, Vereinigung und Komplement
19
der bereits gebildeten Terme der formalen
Sprache. So kann etwa die unscharfe Menge "mittleren Einkommens" als der Durchschnitt
aus den Komplementen der unscharfen Mengen "reich" und "arm" konstruiert werden.
20
Auch andere Operatorenkombinationen sind möglich. Ebenso ist aber auch eine direkte
frequentistische Ermittlung möglich, die Ergebnisse werden aber höchstwahrscheinlich
voneinander abweichen.
0
1
"arm"
( )
x
"reich"
( )
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
"mittleren Einkommens"
( )
x
Abb. 4.4 Zugehörigkeitsfunktion des linguistischen Terms "mittleren Einkommens"
In unserem Beispiel kann nun der Term "reich" in der Termmenge
; = {"sehr
reich", "reich", "mittleren Einkommens", "arm", "sehr arm"} auch aus dem Term "reich" in
der Termmenge {"reich","arm"} mit Hilfe von Operatoren abgeleitet werden als "reich und
nicht sehr reich".
4.1.2 Mehrdimensionale unscharfe Merkmale
Keine linguistischen Variablen, da meist nicht direkt quantifizierbar, aber ebenfalls
unscharfe linguistische Begriffe stellen mehrdimensionale Merkmale dar. So ist es
problematisch zu definieren, wer zu den ,,Jugendlichen der modernen Konsumgesellschaft"
gehört.
21
Während ,,Jugend" eindimensional, d.h. nur von der einzigen Bestimmungsgröße
,,Alter" abhängig ist und einerseits eine linguistische Variable, andererseits vom
Gesetzgeber durch exakte Altersgrenzen vorgegeben
22
, so ist ,,Konsumgesellschaft" ein
mehrdimensionaler Begriff.
Dimensionen
sind
,,Eigenschaften
der
Wirklichkeit"
23
bzw.
,,diejenigen
Einzelheiten" bzw. Teilaspekte, die an einem empirischen Sachverhalt unterschieden
werden."
24
Die Zerlegung eines realen Begriffes in seine Teildimensionen bzw.
19
Die entsprechenden Mengenoperationen für Fuzzy-Mengen werden in Abschnitt 5.1, S.
66 ff. in Rahmen
der Einführung von
t-Normen, t-Conormen und Negationen auf
-(U) genauer behandelt.
20
Vgl. Bandemer/Gottwald (1993), S.
104 f.
21
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
37.
22
Jugendliche sind gemäß §
1 JGG Personen ab vollendetem 14. und noch nicht vollendetem 19. Lebens-
jahr, dies entspricht den mündigen Minderjährigen des §
21 ABGB.
23
Kromrey (1998), S.
113.
24
Kromrey (1998), S.
115.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
29
Entscheidungsrelevante Daten
gedankliche Strukturierung des Begriffes heißt dimensionale Analyse und ist Teil der
Operationalisierung des Begriffes. Für die einzelnen Dimensionen werden wiederum
Begriffe gesetzt, welche ihrerseits wieder mehrdimensional sein können, je nach
gewünschter
Abstraktionsstufe
des
Forschungsvorhabens
können
diese
in
ihre
Unterdimensionen zerlegt werden. Auf der untersten Stufe bzw. höchsten Abstraktions-
stufe liegen schließlich eindimensionale oder als eindimensional eingestufte Merkmale.
25
Tritt bei einem oder mehreren der eindimensionalen Untermerkmale, welche die
Dimensionen des mehrdimensionalen Merkmals darstellen, eine unscharfe Ausprägung
auf, so können diese mittels des kartesischen Produkts für Fuzzy-Mengen
26
zu mehr-
dimensionalen Fuzzy-Mengen bzw. Fuzzy-Vektoren kombiniert werden, welche dann das
unscharfe mehrdimensionale Merkmal charakterisieren.
4.1.3 Fuzzy-Mengen auf sozialwissenschaftlichen Meßskalen
In der Einleitung zu Abschnitt 4.1.1
27
wurde an linguistische Variablen unter
anderem die Anforderung eine meßbare
28
Größe zu sein gestellt. ,,Messen" ist die Bezeich-
nung für die Zuordnung von Symbolen, meist Zahlen auf einer Meßskala, zu beobachteten
Ausprägungen einer Merkmalsdimension.
29
Eine Skala ist somit ein Meßinstrument.
Definition
30
: Eine Skala ist definiert als ein Tripel
)
,
,
(
1
5
; dabei ist
(i)
5=(5;R
1
,...,
R
n
) ein empirisches relationales System, d.h. eine Menge von
empirischen Objekten
5, unter denen die Relationen R
1
,...,
R
n
gelten,
(ii)
1=(1;S
1
,...,
S
m
) ein numerisches relationales System, d.h. eine Teilmenge
1 der
reellen Zahlen, unter denen die Relationen
S
1
,...,
S
m
gelten, und
(iii)
1
5
:
ein Morphismus, d.h. eine Abbildung, der dann als strukturtreu
bezeichnet wird, wenn die Relationen
R
i
zwischen den Elementen der empirischen
Objektmenge
5 durch Relationen S
j
zwischen Elementen der Zahlenmenge
1
korrekt wiedergegeben werden können.
Wir unterscheiden Nominalskala, Ordinalskala und Kardinalskala.
31
Während bei
der Nominalskala nur zwei Merkmalsausprägungen, Ja/Nein (für die empirischen Objekte)
bzw. 1/0 (für die Zahlen), d.h.
n=m=2, unterschieden werden, können mit einer Ordinal-
25
Vgl. Kromrey (1998), S.
114 ff.
26
Siehe Abschnitt 5.2, S.
69 f.
27
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S.
23.
28
Man beachte, daß dieser Begriff der Meßbarkeit sich vom Verfahren des Messens ableitet, und nichts zu
tun hat mit den in der Maßtheorie verwendeten Begriffen eines meßbaren Raumes und einer meßbaren
Abbildung, welche in Abschnitt 3.4, S.
20 bzw. Abschnitt 7.1.1, S. 113, Fußnote 6.
29
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
38 u. S. 47.
30
Vgl. Kromrey (1998), S.
228.
31
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
38 f., Kromrey (1998), S. 231 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
30
Entscheidungsrelevante Daten
skala oder mit einer Kardinalskala unendlich viele Objekte gemessen werden, d.h. 0
n
bzw. 0
m. Die Messung mittels Ordnialskala erlaubt dabei nur eine Rangordnung
zwischen den empirischen Objekten, auf einer Kardinalskala (Intervallsakala) ist zusätzlich
eine Messung der Abstände zwischen den einzelnen Objekten möglich.
Auf allen drei Skalengattungen können Fuzzy-Mengen konstruiert werden. Die
Unschärfe bei den Objekten in
5 wird dann über den Morphismus
in die Zahlenmenge 1
übertragen, sodaß das unscharfe Meßergebnis schließlich eine Fuzzy-Menge über der
Teilmenge
1 der reellen Zahlen ist.
32
Auf einer Nominalskala erhalten wir eine Fuzzy-Menge, wenn weder ein
eindeutiges Ja noch ein eindeutiges Nein gegeben ist, sondern die Merkmalsausprägung nur
partiell bejaht werden kann. Man denke dabei an den durch die Fernsehsendung ,,Was bin
ich?" populär gewordenen und in der Umgangssprache verbreiteten Neologismus "Jein".
"Jein" kann auf der Nominalskala als linguistischer Term interpretiert werden, dessen
Zughörigkeitsgrad für die Werte Ja und Nein jeweils weder 0 noch 1 ist, "Jein" wird also
im allgemeinen eine subnormale Fuzzy-Menge sein.
Auf Ordinalskalen werden uns Fuzzy-Mengen vor allem begegnen, wenn diese
mehrdimensionale Merkmale messen, wenn der Fuzzy-Begriff einen längerfristigen Beob-
achungzeitraum, über welchen sich die Einstelung der befragten Person ändert beschreibt,
oder im Mehrpersonenkontext
33
. Auf eindimensionalen Ordinalskalen im Einpersonen-
kontext bei kurzfristiger Betrachtung ist zwar eine Fuzzy-Menge, deren Träger
Unterordnung und Gleichordnung von zwei Untersuchungsobjekten umfaßt, denkbar,
gleichzeitige Vor- und Nachreihung eines Objekts gegenüber einem anderen ist aber in
Bezug auf eine einzige Dimension ceteris paribus nicht denkbar.
34
Bei mehrdimensionalen
Merkmalen und unzureichender Aggregation ist eine Fuzzy-Menge über verschiedene
Rangordnungen durchaus denkbar. Wenn ein Arbeitnehmer zwischen drei möglichen
Stellen wählen kann und dabei die Dimensionen Adäquanz der Tätigkeit, Entlohnung und
tägliche Anfahrtszeit betrachtet, so lassen sich diese drei Dimensionen nicht leicht zu einer
Gesamtrangfolge aggregieren. Dies führt zu Entscheidungsschwierigkeiten, welche mit
Fuzzy-Mengen auf der Ordinalskala beschrieben werden können.
Am häufigsten haben wir es mit Fuzzy-Mengen auf Kardinalskalen zu tun. Ein
Kontinuum wird nach einem Skalierungsverfahren in (meist gleich große) Abschnitte
unterteilt. Eine Fuzzy-Menge auf einer Kardinalskala ist somit eine Merkmalsausprägung,
die sich nicht eindeutig in einen der meist durch willkürliche Punkte begrenzten Abschnitt
32
Eine typische Anwendung einer solchen unscharfen Meßskala stellt die Messung unscharfer Nutzen-
vorstellungen dar (vgl. Abschnitt 8.5, S.
166 ff.).
33
Zu den Typen von Mehrpersonenentscheidungen bzw. dabei möglichen mehrgipfligen Präferenzen siehe
etwa Heinen (1991), S.
38 f., Comploj (1996), S. 26 f., Schredelseker (2002), S. 186 ff.
34
Dies entspricht dem Axiom der Vollständigkeit von Präferenzen, welches seinerseits ein Axiom des Ratio-
nalitätspostulats ist. So gibt es sehr wohl die schwache Präferenz, welche ein Nebeneinander von Gleich-
ordnung und Unterordnung eines Objekts bedeutet, nicht aber gleichzeitig strikte Präferenz für beide
Objekte vor dem jeweils anderen (vgl. etwa Schredelseker (2002), S.
185).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
31
Entscheidungsrelevante Daten
einordnen läßt, sondern sich mit Zughörigkeitswerten zwischen 0 und 1 über mehrere
Abschnitte erstreckt. Nicht selten kommt es vor, daß eine befragte Person beim Ausfüllen
eines Fragebogens sich nicht für eine der möglichen vorgegebenen Antworten entscheiden
kann, da ihre Einschätzung/Einstellung sich über mehrere Abschnitte des Kontinuums
unscharf erstreckt bzw. zwischen den möglichen Antworten liegt, wenn das Zentrum des
Intervalls als punktuelle Antwort angesehen wird. Mehrfachnennungen sind die Folge.
Bei Betrachtung eines Fragebogens und der darin vorformulierten Antwortmöglich-
keiten erweist sich diese Angelegenheit aus dem Blickwinkel der Fuzzy-Set-Theorie als
höchst grotesk. Die Intervalle auf der Kardinalskala werden nämlich im allgemeinen mit
linguistischen Termen umschrieben, z.B. "stimme stark zu", "stimme eher zu", "lehne eher
ab", "lehne stark ab". Diese linguistischen Begriffe werden dann meist mit Zahlen (bei vier
möglichen Antworten meist 3,2,1,0) identifiziert. Man erhält also folgendes Bild:
3
1
0
"stimme stark zu"
( )
x
"lehne stark ab"
( )
x
"stimme eher zu"
( )
x
"lehne eher ab"
( )
x
1
0
2
Abb. 4.5
Skala mit scharfen
Intervallen und
linguistischen
Umschreibungen
Aus der graphischen Darstellung wird klar, daß sich hier Probleme ergeben können:
einerseits ragen die Träger der linguistischen Terme über die Grenzen der scharfen
Intervalle hinaus und überschneiden sich gegenseitig, andererseits decken ihre Kerne nicht
das gesamte Kontinuum ab. Wie soll sich ein Befragter verhalten, dessen Einstellung sich
auf dem Kontinuum mittels der in folgender Abbildung dargestellten Fuzzy-Menge
wiedergeben läßt:
3
1
0
"stimme stark zu"
( )
x
"lehne stark ab"
( )
x
"stimme eher zu"
( )
x
"lehne eher ab"
( )
x
1
0
2
"Einstellung des Befragten"
( )
x
Abb. 4.6
Individuelle Einstel-
ung und linguistische
Terme als Fuzzy-
Mengen
Die unscharfe Einstellung des Befragten erstreckt sich auf zwei der scharfen Intervalle, der
Kern der Einstellung schneidet keinen der Kerne der vorgegebenen Fuzzy-Mengen. Es
bleibt dem Befragten somit nichts anderes übrig als beide Antworten anzukreuzen. Man
kann argumentieren, daß eine Skala mit vier Abschnitten zu wenig fein unterteilt ist, da
Menschen im Schnitt sieben bis elf verschiedene Niveaus
35
unterscheiden können. Doch
meine Erfahrung als Interviewerin hat mich gelehrt, daß Befragte auch bei sieben oder acht
Antwortmöglichkeiten zu Zwischenantworten wie etwa ,,4 bis 5" neigen. Noch keine
35
Vgl. Mayntz/Holm/Hübner (1978), S.
52.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
32
Entscheidungsrelevante Daten
Erfahrungswerte gibt es über die Reaktion von befragten Personen auf die Aufforderung,
eine Fuzzy-Menge auf einer Skala einzuzeichnen, die ihre Einstellung wiedergibt.
3
1
0
2
"Einstellung des Befragten"
( )
x
Abb. 4.7
Individuelle Einstellung als
Fuzzy-Menge auf der Skala
Eine typische Intervallskala, bei der die Intervalle mit linguistischen Begriffen
umschreiben werden, ist unsere Schulnotenskala. Die Unschärfe der Noten manifestiert
sich typischerweise, wenn man bei einem Punktesystem von etwa 100 Punkten, eine Note
um einen Punkt ,,gerade noch erreicht" oder ,,gerade verpaßt" hat: der Prüfling, der 50
Punkte erreicht hat, ist nicht scharf besser als der mit 49, aber dennoch hat er im Gegensatz
zu seinem Kollegen die Prüfung positiv absolviert. Bei einer linguistischen Interpretation
unserer Begriffe "genügend" und "nicht genügend" bzw. "positiv" und "negativ" wird die
Problematik erkennbar:
0
1
"nicht genügend"
( ) =
x
"positiv"
( )
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
"genügend"
( )
x
"negativ"
( )
x
Abb. 4.8
Schulnoten als
Fuzzy-Mengen auf
der Punkteskala
Wer jedoch den Vorschlag machen möchte, zu einer verbalen Beurteilung
überzugehen, sei gewarnt: In Dienszeugnissen für ausscheidende Mitarbeiter ist eine
verbale Beurteilung üblich. Doch hier ist zu beachten, daß die spezielle Bedeutung von
linguistischen Begriffen im allgemeinen von der landläufigen Bedeutung der Begriffe
abweicht. Wenn ein Mitarbeiter seinen Dienst "zur großen Zufriedenheit" versehen hat, so
ist dies eine sehr negative Beurteilung des Mitarbeiters. Die negative Beurteilung muß
euphemistisch formuliert an dem ausscheidenden Mitarbeiter vorbeigeschleust werden, um
der Fürsorgepflicht des Arbeitgebers, welche verbietet, durch negative Formulierungen die
Suche nach einer neuen Stelle zu erschweren,
36
genüge zu tun. Ein Mitarbeiter, der
tatsächlich zur Zufriedenheit gearbeitet hat, hat seinen Dienst "stets zur allergrößten
Zufriedenheit" verrichtet. Durch diese Konvention, die zwar üblich, aber nicht gleich dem
Schulnotensystem allgemeingültig standardisiert ist, kann es leider geschehen, daß
unerfahrene Vorgesetzte, die eher Anhänger einer nüchterneren Sprache sind und nicht zu
Superlativen und Übertreibungen neigen, ausscheidenden Mitarbeitern, ohne es zu wollen
und ohne es zu wissen, ein negatives Zeugnis ausstellen.
37
36
Gemäß §
39 AngG.
37
Vgl. etwa Rastetter (1996), S.185ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
33
Entscheidungsrelevante Daten
"zur großen Zufriedenheit"
( )
x
"zur großen Zufriedenheit"
( )
x
(im Dienstzeugnis)
(im allgemeinen Sprachgebrauch)
Zufriedenheitsgrad
Abb. 4.9
Linguistischer Term im
Dienstzeugnis und im allgemeinen
Sprachgebrauch
4.2 Unschärfe in ausgewählten Bereichen des Rechnungswesens
Im betrieblichen Rechnungswesen werden Sachverhalte und Vorgänge im Unter-
nehmen zahlenmäßig erfaßt, um den Adressaten (Kaufmann, Eigen- oder Fremdkapital-
geber, Fiskus) die erforderlichen Informationen bereitzustellen.
38
Bei näherer Betrachtung
erkennt man sehr schnell, daß in allen der angesprochenen Teilgebiete immer wieder
Größen auftreten, deren eindeutige (scharfe) Quantifizierung problematisch ist, was zu
Unschärfeproblemen bei der Erstellung der Werke des Rechnungswesens führt. Ebenso
muß man sich bei der Informationsbeschaffung aus dem Rechnungswesen bewußt sein, daß
diese scheinbar so exakten Zahlen, nach vorgegebenen Grundsätzen gestaltet, Abbildungen
hochkomplexer Sachverhalte und Prozesse sind, es müssen also aus den scharfen
quantitativen Größen die zugrundeliegenden Unschärfen rekonstruiert werden.
4.2.1 Unschärfe bei Bilanzansätzen
In zahlreichen Bestimmungen des österreichischen HGB finden sich Bewertungs-
vorschriften, die nur äußerst unscharf umrissen sind. So sind der derivative Firmenwert
(§
203 Abs 5) und die Anschaffungs- oder Herstellungskosten des abnutzbaren
Anlagevermögens (§
204 Abs 1) ,,auf die Geschäftsjahre zu verteilen, in denen der
Vermögensgegenstand voraussichtlich wirtschaftlich genutzt werden wird". Nach §
204
Abs
2 sind außerdem ,,Gegenstände des Anlagevermögens ... auf den niedrigeren Wert
abzuschreiben, der ihnen am Abschlußstichtag unter Bedachtnahme auf die Nutzungs-
möglichkeit beizulegen ist". Auch ,,Einlagen und Zuwendungen sowie Entnahmen sind mit
dem Wert anzusetzen, der ihnen im Zeitpunkt ihrer Leistung beizulegen ist, ..." (§
202
Abs
1). Nach § 207 sind Gegenstände des Umlaufvermögens, für die ,,ein Börsenkurs oder
Marktpreis nicht festzustellen" ist ,,und die Anschaffungs- oder Herstellungskosten den
Wert, der dem Vermögensgegenstand am Abschlußstichtag beizulegen ist," übersteigen,
auf diesen abzuschreiben (Abs
1); ,,außerdem dürfen Gegenstände des Umlaufvermögens
38
Vgl. Heinen/Kupsch (1991), S.
1329 ff., Hämmerle/Steckel (1998), S. 9 u. S. 18, Egger/Samer/Bertl
(2002), S.
18.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
34
Entscheidungsrelevante Daten
abgeschrieben werden, soweit dies nach vernünftiger kaufmännischer Beurteilung
notwendig ist, ..." (Abs
2). Auch im Bereich der Passivposten gibt es unscharfe
Formulierungen, so sind nach §
211 Abs 1 auch ,,Rückstellungen ... in der Höhe
anzusetzen, die nach vernünftiger kaufmännischer Beurteilung notwendig ist."
Diese unscharfen Bewertungsvorschriften
39
beinhalten also eine linguistische Be-
zeichnung für eine Zeitspanne, die "voraussichtliche wirtschaftliche Nutzungsdauer", sowie
zwei linguistische Begriffe für Werte, nämlich den am Abschlußstichtag "beizulegenden
Wert" und den "nach vernünftiger kaufmännischer Beurteilung notwendigen Wert".
Zunächst entsteht der Eindruck, es sich bei diesen linguistischen Begriffen um
qualitative linguistische Begriffe handle, welche nur schwer quantifizierbar sind. Aus dem
Begriff der "vernünftigen kaufmännischen Beurteilung" lassen sich zwei Merkmalsdimen-
sionen ableiten, welche ihrerseits qualitativer Natur sind: "Kaufmännisches" Verhalten
bzw. "kaufmännische Beurteilung" stellt zwar unverzüglich die Assoziation zum Begriff
der ,,Sorgfalt eines ordentlichen Kaufmanns" des §
347 öHGB, die unter anderem eine
erhöhte Haftung für Kaufleute gegenüber ihren Geschäftspartnern beinhaltet, hieraus kann
aber keine konkrete Handlungsanweisung für die Bewertung von Vermögensgegenständen
abgeleitet werden. Der Begriff des "vernünftigen" Handelns stellt die Assoziation zum
Rationalitätspostulat her, nach welchem rationales Handeln eines Individuums die
Orientierung seines Verhaltens, unter Kenntnis sämtlicher Alternativen, auf optimale
Erreichung seiner Ziele in einem konsistenten Zielsystem und Maximierung seines Nutzens
bedeutet
40
. Keinerlei Assoziation bringt der Begriff des "beizulegenden Wertes".
Um dennoch aus der unscharfen Formulierung des HGB zu vernünftigen
linguistischen Fuzzy-Mengen auf dem Universum der möglichen Bewertungen für die
entsprechenden Vermögensgegenstände zu kommen, bietet sich die Methode der Experten-
befragung an. Ein Team von Experten soll einen Konsens darüber finden, welche Werte
mit welchem Akzeptanzgrad als "vernünftige "kaufmännische Beurteilung" eines kon-
kreten Sachverhalts als "beizulegender Wert" angesehen werden kann. Die Bestimmung
der Zugehörigkeitsfunktion (Möglichkeitsdichte) erfolgt dann durch sukzessive Festlegung
von Kern, Träger, einiger wichtiger Zugehörigkeitswerte und einer interpolierenden
verbindenden Funktion
41
. Wesentlich ist hier jedoch, daß solche Fuzzy-Mengen immer für
nur einzelne Vermögensgegenstände nach dem Grundsatz der Einzelbewertung des §
201
Abs
1 Z 3 für den konkreten Einzelfall bestimmt werden können, und daß sie nicht, wie
dies bei linguistischen Begriffen im naturwissenschaftlich-technischen Bereich der Fall ist,
einmal bestimmt werden und dann universal anwendbar sind.
39
Vgl. auch Schredelseker (2002), S.
324 f.
40
Vgl. Schredelseker (2002), S.
177 ff.
41
Einige Ansätze für interpolierende Funktionen stellen Rommelfanger (1994), S.
172 ff. und Hauke (1998),
S.
27 ff. vor.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
35
Entscheidungsrelevante Daten
Beispiel: Der am Abschlußstichtag "beizulegende Wert" des am 25.09.2001 aus dem
Privatvermögen des Gesellschafters Maier in die Maier GmbH eingelegten Fahrzeuges
bildet eine Fuzzy-Menge über der Grundmenge der möglichen Werte (in GE).
0
62
48
50
52
54
56
58
60
x Geldeinheiten
0
1
"beizulgender Wert für Fahr-
zeug in der Maier Gmbh. "
( )
x
Abb. 4.10
Zugehörigkeitsfunktion des
"beizulegenden Wertes"
Possibilistische Interpretation dieser Fuzzy-Menge des "beizulegenden Wertes"
bedeutet, daß jedem Wert auf der Skala der möglichen Werte eines Fahrzeuges eine
Möglichkeit zugeordnet wird. Es ist ein Wert des Fahrzeugs
von 0 bis 50
unmöglich, denn
50
0
für
0
)
(
der Wert"
beizulegen
"
=
x
x
zwischen 50 und 52
weder uneingeschränkt möglich noch unmöglich, denn
52
50
für
)
1
,
0
(
)
(
der Wert"
beizulegen
"
<
<
x
x
und zunehmend möglich, denn
)
(
)
(
52
50
2
der Wert"
beizulegen
"
1
der Wert"
beizulegen
"
2
1
x
x
x
x
<
<
<
<
von 52 bis 58
uneingeschränkt möglich, denn
58
52
für
1
)
(
der Wert"
beizulegen
"
=
x
x
zwischen 58 und 60
weder uneingeschränkt möglich noch unmöglich, denn
60
58
für
)
1
,
0
(
)
(
der Wert"
beizulegen
"
<
<
x
x
und abnehmend möglich, denn
)
(
)
(
60
58
2
der Wert"
beizulegen
"
1
der Wert"
beizulegen
"
2
1
x
x
x
x
>
<
<
<
von 60 oder mehr
unmöglich, denn
60
für
0
)
(
der Wert"
beizulegen
"
=
x
x
Der linguistische Begriff des "beizulegenden Wertes" des Fahrzeugs umfaßt also den
Bereich von 52-58 GE als Kern und dazu noch unscharf die Bereiche 50-52 GE und
58-60 GE.
Ein zentraler Begriff bei der Frage der Bewertung, der auch den von Experten, die
den Konsens über die oben genannte Fuzzy-Menge finden sollen, als Entscheidungs-
grundlage herangezogen werden muß, ist die "voraussichtliche wirtschaftliche Nutzungs-
dauer"; sowohl für das abnutzbare Anlagevermögen als auch für den derivativen
Firmenwert gibt das öHGB dafür klare Anweisungen (§
204 Abs 1 bzw. § 203 Abs 5). Die
Nutzungsdauer eines Objekts, die ihrerseits von seiner Lebensdauer abhängt, ist eine
Zufallsvariable
42
, deren Parameter mittels statistischer Methoden zu schätzen sind. Für die
42
Siehe Abschnitt 7.1, S.
113.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
36
Entscheidungsrelevante Daten
statistische Schätzung von Lebensdauern bzw. Nutzungsdauern wird eine Stichprobe
gezogen, auf deren Basis die Schätzung erfolgt, d.h. Erfahrungswerte in bezug auf
vergleichbare Objekte in vergleichbaren Situationen werden gesammelt und statistisch
ausgewertet. Diese können dabei aus dem eigenen Untenehmen stammen oder auch von
anderen Unternehmen, sofern eine Vergleichsmöglichkeit gegeben ist. Diese einmal
geschätzte Nutzungsdauer und die daraus abgeleitete Bewertung sind dann auch
beizubehalten.
43
Für außerplanmäßige Abschreibungen muß ein besonderer Grund gegeben
sein, welcher entweder im Verfall des Marktpreises oder in einer wesentlichen Verkürzung
der Nutzungsdauer bestehen kann. Bei der Bestimmung dieses niederen Wertes bzw. der
verkürzten Nutzungsdauer, ist wiederum statistischen Methoden der Vorzug zu geben. Auf
die Tatsache, daß die Nutzungs- bzw. Lebensdauer eines Objekts oder auch der Marktpreis
bzw. Börsenkurs selbst unscharfe Größen sein können, werden wir in den folgenden
Abschnitten eingehen.
Um eine Methode für die Bewertung von Rückstellungen zu anzugeben, sei hier
zunächst die Legaldefinition einer Rückstellung des §
198 Abs 8 HGB angeführt: Nach Z 1
sind Rückstellungen ,,für ungewisse Verbindlichkeiten und für drohende Verluste aus
schwebenden Geschäften zu bilden, die am Abschlußstichtag wahrscheinlich oder sicher,
hinsichtlich ihrer Höhe oder dem Zeitpunkt ihres Eintritts unbestimmt sind." Außerdem
dürfen nach Z
2 Rückstellungen ,,für ihrer Eigenart nach genau umschriebene, dem
Geschäftsjahr oder einem früheren Geschäftsjahr zuzuordnende Aufwendungen gebildet
werden, die am Abschlußstichtag wahrscheinlich oder sicher, aber hinsichtlich ihrer Höhe
oder dem Zeitpunkt ihres Eintretens unbestimmt sind. ..." Bei näherer Betrachtung erkennt
man, daß Rückstellungen den Charakter von Versicherungen haben,
44
somit liegt eine
Bestimmung der Rückstellung mit versicherungsmathematischen Methoden, welche ihrer-
seits eine Anwendung von statistischen Methoden sind, nahe. Zwingend vorgeschrieben ist
die Bestimmung der Rückstellungshöhe nach versicherungsmathematischen Grundsätzen
für ,,Rückstellungen für laufende Pensionen und Anwartschaften auf Pensionen sowie
ähnliche Verpflichtungen" (§
211 Abs 2).
Abschließend sei hier noch gesagt, daß die Bilanz auch die Bemessungsgrundlage
für
Ertragsteuern
liefert.
Sofern
nicht
zwingende
steuerliche
Bestimmungen
entgegenstehen, sodaß eine steuerliche Mehr-Weniger-Rechnung erforderlich ist, sind
steuerliche Ansätze oft nur dann gültig, wenn bereits in der Handelsbilanz der
entsprechende
Ansatz
gewählt
wurde
(umgekehrte
Maßgeblichkeit).
45
Diese
43
Der Grundsatz der materiellen Bilanzkontinuität fordert, daß einmal gewählte Grundsätze und Methoden
der Bewertung beizubehalten sind und nicht willkürlich gewechselt werden dürfen; §
201 Abs 1 sagt dies
deutlich: ,,die auf den vorhergehenden Jahresabschluß angewendeten Methoden sind beizubehalten" (vgl.
Coenenberg (2000), S.
67).
44
Vgl. Coenenberg (2000), S.
341 ff.
45
Vgl. Coenenberg (2000),S.
39 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
37
Entscheidungsrelevante Daten
Einschränkung durch das Steuerrecht bewirkt eine Reduktion der Fuzziness der im HGB
verwendeten Begriffe.
46
Beispiel: Wurden geringwertige Vermögensgegenstände/Wirtschaftsgüter (Anschaffungs-
bzw. Herstellungskosten maximal 400 Euro) angeschafft, so können diese sowohl
handelsrechtlich (§
205 Abs 1 und § 226 Abs 3 HGB) als auch steuerrechtlich (§ 13
EstG) sofort abgeschrieben werden. Betrachtet man zunächst den handelsrechtlichen
Ansatz isoliert, so erhält man eine Fuzzy-Menge der "vernünftigen kaufmännischen"
Bewertungen der Summe der im Jahr angeschafften geringwertigen Vermögensgegen-
stände als eine Fuzzy-Menge über dem Universum aller möglichen Bewertungen,
welches sich von einem Ansatz von 0 bei vollständiger Sofortabschreibung aller
geringwertigen Vermögensgegenstände bis zu einer Aktivierung sämtlicher gering-
wertiger Vermögensgegenstände erstreckt. Eine erhebliche Reduktion der Fuzziness
dieser Fuzzy-Menge erhalten wir, wenn auch die steuerliche Komponente einbezogen
wird, da Sofortabschreibung den steuerlichen Gewinn vermindert und Aktivierung ihn
erhöht. Unter Berücksichtigung der Ertragsteuern erhalten wir eine völlig neue
Definition der "vernünftigen kaufmännischen" Bewertung, welche unter Umständen, je
nach der Gewinn- oder Verlustsituation des Unternehmens, nur noch in einem einzigen
scharfen Punkt bestehen kann.
4.2.2 Unscharfe Lebens- und Nutzungsdauern
Die Lebensdauer eines Objekts ist in der Betriebswirtschaft von großer Bedeutung,
da sie die Basis für jegliche Überlegung in bezug auf Nutzungsdauer, Anschaffungs- und
Liquidationswert, und somit für jegliche Investitionsentscheidung und für viele Bilanzie-
rungsentscheidungen darstellt. Bei Bilanzierungsentscheidungen ist die Nutzungsdauer von
abnutzbaren Gegenständen des Anlagevermögens insbesondere Grundlage für die Berech-
nung der Abschreibungssätze. Bei vielen Objekten ist die Funktionsdauer keine scharfe
Zahl, sondern, wie einleitend erwähnt, etwa bei einer Batterie, eine unscharfe Größe.
47
Zur Bestimmung von unscharfen Lebensdauern eignet sich das folgende von
Viertl
48
entwickelte Konzept: Die jeweilige Funktionsfähigkeit entlang der Zeitachse wird
aufgrund der noch vorhandenen Spannung
u(t) bestimmt. Die Zugehörigkeitsfunktion der
unscharfen Lebensdauer A
~
der Batterie erhält man durch Differenzieren der Spannungs-
46
Vgl. auch Abschnitt 4.2.8, S.
58 f.
47
Diese Unschärfe der Lebensdauer, welche sich auf die Nutzungsdauer auswirkt, ist zu unterscheiden von
dem in Abschnitt 4.2.1, S.
35 f. behandelten linguistischen Begriff der "voraussichtlichen wirtschaftlichen
Nutzungsdauer".
48
Vgl. Viertl (1992), S.
122 f., Viertl (1996), S. 23 ff., vgl. auch Comploj (1994), S. 72 f. Viertl wendet das
Konzept auf technische und auf biologische Lebensdauern an.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
38
Entscheidungsrelevante Daten
abfallskurve und Multiplikation mit 1 (da die Ableitung negativ ist) und anschließende
Normierung durch Division durch ihr betragsmäßiges Maximum:
0
1,5
1
0,5
u
t
u t
( )
a)
0
1
t
A
~
( ) =
t
dt
du t
( )
dt
du t
( )
min
c)
0
1,5
t
b)
u t
( )
A
~
( ) =
t
dt
du t
( )
dt
du t
( )
min
dt
du t
( )
dt
du t
( )
.
(-1)
1
0,5
u,
Abb. 4.11 Spannungsabfall und unscharfe Lebensdauer einer Batterie
(
)
°¿
°
¾
½
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
°¯
°
®
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
-
-
-
1
0
1
0
1
0
A
~
A
~
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
min
max
max
sig
)
(
0
)
(
,
A
~
dt
t
du
dt
t
du
dt
t
du
dt
t
du
dt
t
du
dt
t
du
dt
t
du
t
t
t
t
t
t
t
(4.1)
Das Beispiel der Batterie wurde hier gewählt, weil es besonders anschaulich ist, wer
kennt nicht aus der Fernsehwerbung den ,,Hasentest" eines bekannten Herstellers von
Alkaline-Batterien.
An die Stelle der Batterie könnte auch eine multifunktionale Maschine treten, deren
Funktionen nicht auf einmal sondern nach und nach ausfallen. Man denke an einen LKW,
der durch einen Defekt nur noch auf 50 km/h beschleunigt werden kann, sonst aber tadellos
funktioniert, und der daher im Ortsverkehr problemlos weiter eingesetzt werden kann, aber
für den Fernverkehr nicht mehr herangezogen werden kann. Folgende Fälle einer partiellen
Weiterverwendung trotz partiellen Funktionsausfalls, wenn die Maschine wesentliche
Funktionen noch erfüllt, sind denkbar:
-
die Maschine ist sehr teuer,
-
die Reparatur rentiert sich nicht,
-
die Maschine wurde bereits gebraucht angeschafft,
-
ausgefallene Funktionen können ohne großen Aufwand manuell oder von einer
anderen Maschine verrichtet werden.
Auf diese Weise erhält man eine unscharfe Lebensdauer der Maschine. Die Zugehörig-
keitsfunktion der unscharfen Lebensdauer einer solchen Maschine kann etwa durch
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
39
Entscheidungsrelevante Daten
folgendes Verfahren bestimmt werden: Man bewertet die einzelnen Funktionen der
Maschine mit Punkten und bestimmt auf diese Weise den jeweiligen Wert der Maschine
(in Punkten) im Zeitkontinuum. Auf diese Weise erhält an eine Treppenfunktion mit
Unstetigkeiten an den Sprungstellen, an denen sie nicht differenzierbar ist, und waag-
rechten Strecken zwischen den Sprüngen, wo die Ableitung konstant gleich Null ist, sodaß
die Methode (4.1) nicht sofort anwendbar ist. Zuerst muß die unstetige Funktion durch eine
stetige Approximation ersetzt werden.
49
1
0
t
t
1
t
2
t
n
t
n-1
Abb. 4.12 Treppenfunktion der Funktionsausfälle von Funktion 1 bis Funktion
n
Wird die Lebensdauer zur Bestimmung der Nutzungsdauer als Basis für eine
notwendigerweise scharfe Bilanzierungsentscheidung bestimmt, so ist der Zeitpunkt anzu-
setzen, zu dem so viele Funktionen ausgefallen sind, daß die Maschine im Betrieb nicht
mehr verwendet werden kann (sofern eine Nutzung bis ans Ende der Lebensdauer und
nicht ein früherer Ersatz geplant wird).
4.2.3 Unscharfe Börsenkurse von Finanzinstrumenten
Börsenkurse sind einerseits von Relevanz für Investitions- und Finanzierungsent-
scheidungen, da Kauf bzw. Verkauf zu verschiedenen Zeitpunkten große Gewinne bzw.
Verluste bringen kann, und andererseits für Bilanzierungsentscheidungen, da ein Finanz-
instrument, dessen Börsenkurs gegenüber dem letzten Bilanzansatz und gegenüber den
Anschaffungskosten gesunken ist, sowohl nach HGB (§
204 Abs 2 bzw. § 207 Abs 1) als
auch nach IAS
39 abgewertet bzw., wenn dieser gestiegen ist, aufgewertet werden muß,
nach HGB (§
208 Abs 1) maximal bis zu den seinerzeitigen Anschaffungskosten.
Börsenkurse sind Größen, welche durch jedes Umsatzgeschäft beeinflußt werden
und sich somit ständig verändern. Im Laufe einer Periode, etwa innerhalb eines Tages,
nehmen an einer Börse oder börsenähnlichen Einrichtung gehandelte Vermögensgegen-
stände (Wertpapiere, zu diesen zählen im weiteren Sinn auch Terminkontrakte über
Vermögensgegenstände) zahlreiche verschiedene Werte an. Um wichtige Kursdaten eines
gehandelten Produktes ex post am Folgetag der Öffentlichkeit zugänglich zu machen,
haben sich in den Wirtschaftszeitungen verschiedene Darstellungsformen etabliert.
49
Vgl. dazu auch Comploj (1994), S.
102 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
40
Entscheidungsrelevante Daten
Die folgenden Tabellen stammen aus dem Wall Street Journal vom 25.09.1996 und
stellen die Terminpreise von einigen Commodity Futures Kontrakten
50
bzw. Currency
Futures Kontrakten
51
dar.
52
Tuesday, September 24, 1996.
Open Interest Reflects Previous Trading Day
Lifetime
Open
Open
High
Low
Settle
Change High
Low
Interest
GRAINS AND OILSEEDS
CORN (CBT) 5,000 cu.; cents per bu.
Dec
312 3/4 313
309 3/4 310 1/2
-2 3/4 389
239
189,154
Mr97
319 3/4 319 3/4 316 1/6 317
-2 3/4 394 1/2 279 3/4
62,588
May
326 1/2 326 1/2 322 3/4 323
-3 1/4 394
306
26,557
July
328
328
324 1/2 325
-3
393
284
19,643
Sept
308
308
306 1/2 306 1/2
-2 1/2 335
298
2,526
Dec
298 3/4 298 3/4 296 1/2 298
-1 3/4 310
249 3/4
13,722
Est vol 45,000; vol Mon 50,970; open int 316,376, +7,345.
OATS (CBT) 5,000 bu.; cents per bu.
Dec
166 1/4 169
165 1/2 167 3/4
1
257 1/7 160
8,883
Mr97
173 1/2 175 3/4 173
174
3/4 258 1/2 169 1/4
2,296
May
178 1/2 179
177 1/2 178 1/2
1/2 250
173 3/4
260
Est vol 750; vol Mon 507; open int 11,499, -161.
SOYBEANS (CBT) 5,000 bu.; cents per bu.
Nov
795
796
788
791 1/4
-7 1/2 825
585
121,578
Ja97
804 1/2 804 1/2 796
798 1/4
-8 1/4 824
650
29,460
Mar
807
808 1/4 801
803 1/4
-8 1/4 830
695
15,770
May
802
805 1/2 800
803
-6 3/4 828
735
14,786
July
804
806
800
803 1/4
-7 1/2 828
611
12,092
Nov
732
734 1/2 729 1/2 732 3/4
-4 3/4 749
597 1/2
5,345
Est vol 45,000; vol Mon 42,338; open int 199,390, -2,371.
SOYBEAN MEAL (CBT) 100 tons; $ per ton.
Oct
260,80
260,80
258,20
260,00
-0,80
265,70
190,00
20,076
Dec
257,70
257,70
255,00
255,90
-1,90
262,00
178,00
43,742
Ja97
256,00
256,00
254,20
254,60
-2,40
260,00
215,00
8,420
Mar
253,30
253,40
251,60
251,70
-2,90
258,00
226,50
11,055
May
249,00
249,50
248,50
248,50
-2,10
256,00
199,20
6,493
July
249,50
249,50
247,70
248,30
-2,30
256,00
199,20
3,011
Aug
247,00
247,00
245,00
246,00
-1,90
251,50
227,00
591
Est vol 17,000; vol Mon 20,836; open int 94,192, +87.
SOYBEAN OIL (CBT) 60,000 lbs.; cents per lb.
Oct
25,00
25,90
28,88
24,94
-0,24
29,10
23,82
12,487
Dec
25,42
25,45
25,28
25,33
-0,24
29,30
24,45
47,028
Ja97
25,67
25,68
25,55
25,58
-0,20
29,28
24,82
7,775
Mar
25,97
26,03
25,88
25,90
-0,24
29,25
25,12
9,422
May
26,20
26,28
26,11
26,18
-0,19
29,25
25,38
6,124
July
26,40
26,48
26,30
26,40
-0,15
29,10
25,70
1,666
Est vol 11,000; vol Mon 9,257; open int 85,256, +60.
CURRENCY
Lifetime
Open
Open
High
Low
Settle
Change High
Low
Interest
JAPAN YEN (CME) - 12,5 million yen; $ per yen (.00)
Dec
0,9207
0,9270
0,9200
0,9267
0,0058
1,0500
0,9156
69,664
Mr97
0,9345
0,9392
0,9342
0,9393
0,0058
1,0045
0,9285
1,889
June
0,9519
0,0058
0,9790
0,9415
197
Est vol 18,393; vol Mon 5,381; open int 71,778, -386.
DEUTSCHEMARK (CME) - 125,000 marks; $ per mark
Dec
0,6653
0,6701
0,6640
0,6698
0,0047
0,7070
0,6537
60,644
Mr97
0,6690
0,6740
0,6687
0,6743
0,0046
0,6937
0,6633
1,184
June
0,6788
0,0044
0,6947
0,6690
2,112
Est vol 17,240; vol Mon 11,422; open int 63,940, +736.
CAN DOLLAR (CME) - 100,000 dlrs.; $ per Can $
Nov
0,7338
0,7353
0,7333
0,7348
0,0005
0,7460
0,7130
35,096
Ja97
0,7368
0,7380
0,7364
0,7376
0,0005
0,7400
0,7117
914
Mar
0,7396
0,0005
0,7405
0,7185
608
May
0,7415
0,0005
0,7402
0,7309
131
Est vol 3,450; vol Mon 4,507; open int 36,785, -1,076.
BRITISH POUND (CME) - 62,500 pounds; $ per pound
Oct
1,5550
1,5680
1,5550
1,5656
0,0100
1,5712
1,4850
37,566
Est vol 47,334; vol Mon 3,696; open int 37,645, +115.
SWISS FRANC (CME) - 125,000 francs; $ per franc
Dec
0,8166
0,8231
0,8145
0,8227
0,0062
0,8999
0,7976
47,478
Ja97
0,8232
0,8315
0,8228
0,8307
0,0061
0,8715
0,8050
1,326
Est vol 11,965; vol Mon 9,995; open int 38,860, -1,177.
AUSTRALIAN DOLLAR (CME) - 100,000 dlrs.; $ per A. $
Oct
0,7895
0,7895
0,7825
0,7843 -0,0059
0,7998
0,7665
9,545
Est vol 1,087; vol Mon 415; open int 9,585, -74.
MEXICAN PESO (CME) - 500,000 new Mex. peso; $ per MP
Dec
0,1260
0,1266
0,1259
0,1263
0,0057
0,1266
0,0990
12,607
Ja97
0,1193
0,1200
0,1193
0,1199
0,0090
0,1224
0,1007
2,320
Mar
0,1135
0,1145
0,1135
0,1141
0,0100
0,1155
0,1027
1,263
May
0,1087
0,1095
0,1087
0,1095
0,0130
0,0197
0,1045
268
Est vol 8,231; vol Mon 6,261; open int 16,465, -168.
Abb. 4.13 Terminpreise von Commodity und Currency Futures
Bei beiden Tabellen fällt unverzüglich auf, daß für jedes der gehandelten Objekte
nicht ein einzelner Wert, sondern ein Zahlentupel, bestehend aus Eröffnungspreis,
Höchstpreis, Niedrigstpreis, Settlement-Preis und einigen weiteren Angaben, angeführt ist.
50
Quelle: Hull (1998), S.
27.
51
Quelle: Hull (1998), S.
65.
52
Futures sind Festgeschäfte, bei welchen am Verfalltag unbedingt das zugrunde liegende Basisobjekt
geliefert und der Terminpreis bezahlt werden muß.
Der Terminpreis ist der über die Laufzeit bis zum Verfalltag aufgezinste Kassamarktpreis (Kassamarkt-
preis ist der aktuelle Marktpreis bei sofortigem Kauf, d.h. Kassakauf).
Aus den Schwankungen der Terminmarktpreise lassen sich leicht Rückschlüsse auf die Schwankungen der
Kassamarktpreise ziehen.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
41
Entscheidungsrelevante Daten
Settlement-Preis ist der Preis, auf den beim Daily Settlement der Terminpreis standard-
mäßig gesetzt wird, sodaß der Wert des Futures-Kontrakts immer wieder null beträgt.
53
Diese Darstellung als Zahlentupel erinnert sehr an die Darstellungsform (3.17) bzw.
(3.18) für trapezförmige Fuzzy-Intervalle bzw. trianguläre Fuzzy-Zahlen.
54
Interpretiert
man die Zahlentupel als Fuzzy-Intervalle bzw. -Zahlen, so läßt sich unmittelbar aus der
Tabelle der Träger der Fuzzy-Menge bestimmen: er ist das Intervall zwischen niedrigstem
und höchstem Preis, so lautet etwa der Träger des unscharfen Terminmarktpreises vom
24.09.1996 für den im Oktober 1996 fälligen Futures Kontrakt für Sojaöl:
]
09
.
25
,
88
.
24
[
)
s
Terminprei
supp(
s
Terminprei
1996
Oct,24.09.
Sojaöl,
0
1996
Oct,24.09.
Sojaöl,
~
=
=
>
Um weitere
-Komponenten bzw. Teile der Zugehörigkeitsfunktion des Fuzzy-
Terminpreises zu bestimmen, gibt es verschieden Varianten. Die einfachste Variante, für
welche die Zeitungsinformation ausreicht, besteht in der Annahme einer triangulären
Fuzzy-Zahl (3.18), deren Kern der Settlement-Preis ist:
)
s
Höchstprei
reis,
Niedrigstp
preis;
Settlement
(
s
Terminprei
Tag
Termin,
Produkt,
~
=
(4.2)
In der Darstellungsform (4.2) erhält man etwa für den oben genannten Kontrakt:
)
09
.
25
,
88
.
24
;
94
.
24
(
s
Terminprei
1996
Oct,24.09.
Sojaöl,
~
=
Zur Konstruktion weiterer Fuzzy-Mengen benötigt man detailliertere Informationen
über den Verlauf der Umsätze der Kontrakte im Tagesablauf. Möglichkeiten zur
Berechnung
von
Zugehörigkeitsfunktionen
mit
höherem
Informationsgehalt
für
normalisierte Fuzzy-Mengen, welche die entsprechenden Terminpreise repräsentieren, sind
etwa (bei Vorliegen der benötigten Information):
s
Terminprei
gleichem
zu
umen
Umsatzvol
Maximales
s
Terminprei
zum
men
Umsatzvolu
)
(
~
s
Terminprei
x
x
=
(4.3)
oder
s
Terminprei
gleichem
zu
dauer
Umsatzeit
Maximale
s
Terminprei
zum
Umsatzes
des
Zeitdauer
)
(
~
s
Terminprei
x
x
=
(4.4)
Neben der oben angeführten zahlenmäßigen Repräsentation von Börsenkursen,
Kassa- und Terminmarktpreisen gibt es auch graphische Darstellungsformen, welche als
53
Beim Daily Settlement wird eigentlich der alte Futures-Kontrakt mit dem alten Terminpreis aufgelöst und
durch einen neuen Futures-Kontrakt mit neuem Terminpreis ersetzt, die Differenz zwischen neuem und
altem Terminpreis wird den Kontraktpartnern gutgeschrieben bzw. angelastet (vgl. Hull (1998), S.
29).
54
Siehe Abschnitt 3.3, S.
17.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
42
Entscheidungsrelevante Daten
Visualisierungen von Fuzzy-Zahlen bzw. Intervallen interpretierbar sind. Unter den
zahlreichen Ausprägungsformen von Charts erinnern insbesondere Balkencharts, welche
die in Europa gebräuchlichsten Charts sind
55
, an Darstellungen von Fuzzy-Zahlen.
Bei Balkencharts wird bei für die jeweilige Periode eine senkrechte Linie (Balken)
vom niedrigsten bis zum höchsten Kurs gezeichnet. Bei Tagescharts wird meist der
Schlußkurs mittels eines kleinen waagrechten Striches auf der rechten Seite des Balkens
eingezeichnet, manchmal zusätzlich auch der Eröffnungskurs durch einen kleinen waag-
rechten Strich auf der linken Seite des Balkens. ,,Durch diese Darstellung wird das Ausmaß
der Kursschwankungen in der Periode verdeutlicht und eine Vorstellung von der generellen
Kursdynamik des Papiers vermittelt"
56
, gerade diese Dynamik, diese Instabilität kann eben
als Fuzziness interpretiert werden.
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
AUG
SEP
OKT
NOV
DEZ
97
FEB
M RZ
APR
M AI
JUN
JUL
AUG
Abb. 4.14
Balkenchart
DAX
Frankfurt/Index
06.08.9601.08.97
Auch hier kann der Träger der Fuzzy-Menge, die den Kurs beschreibt, unmittelbar
dem Chart abgelesen werden, es ist der Balken vom niedrigsten zum höchsten Kurs.
Bezieht man Angaben über Schlußkurs bzw. eventuell Eröffnungskurs mit ein, so ergeben
sich, sofern keine weiteren Informationen vorliegen, prinzipiell zwei Varianten zur
Bestimmung einer Fuzzy-Zahl: entweder es wird in Analogie zu (4.2) eine trianguläre
Fuzzy-Zahl gebildet durch:
)
Höchstkurs
urs,
Niedrigstk
;
Schlußkurs
(
Kurs
Tag
~
=
(4.5)
oder es werden auf dem Träger Schlußkurs und Eröffnungskurs als zwei Punkte mit
höherem
Zugehörigkeitsgrad
hervorgehoben,
etwa
5
,
0
)
kurs
Eröffnungs
(
~
Kurs
=
,
1
)
Schlußkurs
(
~
Kurs
=
, so daß sich etwa in der Schreibweise (3.20) folgendes Bild ergibt:
55
Während in Europa mit Balkencharts versucht wird, möglichst die gesamte Bandbreite eines Kursverlaufs
unter Hervorhebung einiger wichtiger punktueller Kurse oder, anders ausgedrückt, die ganze Fuzziness
eines Kursverlaufs zu erfassen, ist man in den USA (etwa in den gebräuchlichen Point-and-Figure
Charts) geneigt, nur wesentliche Richtungswechsel im Kursverlauf neben Zeitspannen einer (im wesent-
lichen) konstanten Kursrichtung abzubilden (vgl. Schredelseker (2002), S.
380 ff.).
56
Schredelseker (2002), S.
381.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
43
Entscheidungsrelevante Daten
[
]
{
}
}
Schlußkurs
/{
1
kurs}
Eröffnungs
/{
5
,
0
Schlußkurs
kurs,
Eröffnungs
\
Höchstkurs
urs,
Niedrigstk
/
0
Kurs
Tag
~
=
>
Für
weitere
Darstellungen
mittels
Fuzzy-Mengen
sind
wiederum
detailliertere
Informationen nötig. Dann können die Fuzzy-Darstellungen für die Börsenkurse eventuell
wiederum entsprechend (4.3) oder (4.4) dargestellt werden.
4.2.4 Unscharfe Ertragswerte von Finanzinstrumenten
Sofern Finanzinstrumente nicht an der Börse gehandelt werden und auch sonst kein
allgemein akzeptierter Marktpreis über diese vorliegt, muß eine alternative Bewertungs-
methode angewendet werden.
57
Da der Wert eines Gegenstandes sich im allgemeinen aus
den Zukunftserwartungen ableitet,
58
müssen diese mittels eines geeigneten Kalküls
zahlenmäßig erfaßt werden: ein solches Kalkül stellt das Ertragswertverfahren dar.
59
Der Ertragswert ist die abgezinste Summe aller zukünftig erwarteten Zahlungs-
ströme, man spricht auch vom Kapitalwert oder Barwert der Zahlungsströme:
60
¦
=
+
-
=
T
t
t
t
t
i
a
e
EW
1
)
1
(
)
(
wobei
t
t
a
e ,
die Ein- bzw. Auszahlungen in der Periode t darstellen, i den Kalkulations-
zinssatz sowie T den Planungshorizont.
Nun liegen jedoch alle Bestimmungsgrößen dieses Modells, d.h. die Ein- und
Auszahlungen ebenso wie der anzuwendende Kalkulationszins, in der Zukunft, somit ist
eine exakte Bestimmung dieser Größen problematisch. Jenßen
61
hat zur Lösung dieses
Problems eine Modellierung mit Fuzzy-Zahlen vorgeschlagen. Hier drängt sich zunächst
57
Vgl. Egger/Samer/Bertl (2002), S.
479 f. Hier bezieht man sich insbesondere auf die Bewertung nach IAS,
auf welche erst im folgenden Abschnitt 4.2.5, S.
47 ff. eingegangen wird. Da aber im vorhergehenden
Abschnitt 4.2.3, S.
39 ff. Unschärfen bei Marktpreisen von Finanzinstrumenten, behandelt wurden, soll
bereits hier auf Unschärfen bei alternativen Bewertungsmodellen eingegangen werden.
58
Vgl. IDW (2000), S.
826.
59
Vgl. IDW (2000), S.
835 ff.
Neben dem im deutschsprachigen Raum üblichen Ertragswertverfahren gibt es das Discounted Cash Flow-
Verfahren, welches im angloamerikanischen Raum verbreitet ist. Die beiden Verfahren unterscheiden sich
vor allem im Hinblick auf die Bestimmung des Kalkulationszinssatzes (vgl. IDW (2000), S.
837 f.).
Im Steuerrecht wird das sog. Wiener Verfahren zur Bewertung von nicht-börsennotierten Finanzinstru-
menten verwendet, welches einen Mittelwert zwischen Substanzwert und Ertragswert darstellt (vgl.
Doralt/Ruppe (2001), S.
12).
60
Zu beachten ist hier, daß nur die zukünftigen (Ein-)Zahlungen zu berücksichtigen sind, während das
Kapitalwertkalkül, wenn es als Entscheidungsverfahren verwendet wird (vgl. Abschnitt 8.8, S.
197), auch
die Anfangs(aus)zahlung, d.h. den Preis, der für das Finanzinstrument zu entrichten ist, miteinschließt.
Gerade diesen Preis gilt es aber zu ermitteln. Im Englischen werden die beiden Begriffe als PV (Present
Value, entspricht dem Kapitalwert) und NPV (Net Present Value, Nettobarwert) verwendet, um den
Unterschied zu zeigen (vgl. Schredelseker (2002), S.
38).
61
Vgl. Jenßen (1997), S.
245 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
44
Entscheidungsrelevante Daten
die Frage auf, wieso mit Fuzzy-Mengen operiert wird, wo hier doch eindeutig ein Mangel
an Information und nicht an begrifflicher Schärfe vorliegt, und diese Unbestimmtheitskate-
gorie eigentlich mit Instrumenten der Wahrscheinlichkeitstheorie zu modellieren wäre.
62
Doch hier bietet die Possibilitätstheorie, welche zur Fuzzy-Mengen-Theorie
isomorph ist, einen Ausweg.
63
Wiederum ist als wesentliches Argument für eine Modellie-
rung mit Fuzzy-Mengen anstatt mit stochastischen Modellen der geringere Rechenaufwand
und die damit kostengünstigere Implementierungsmöglichkeit anzuführen
64
.
Auch Jenßen
65
spricht die possibitistische Interpretation der als unscharfe Zahlen
abgebildeten geschätzten zukünftigen Zahlungsströme an: ,,man wird einen Bereich
festlegen können, innerhalb dessen der tatsächliche Wert der Zahlung vermutet wird;
Zahlen in der Mitte dieses Bereichs wird man eher für möglich halten als solche am Rand".
Die Zugehörigkeitsfunktion der Fuzzy-Menge einer unscharfen Zahlung stellt jeweils den
Grad der Möglichkeit einer bestimmten Zahlungshöhe dar.
0
x
Geldeinheiten
0
1
"geschätzte Zahlung"
( )
x
Abb. 4.15
Unscharfe Zahlung
Insbesondere wird im Vorschlag von Jenßen
66
auch das Problem der Festlegung
eines geeigneten Kalkulationszinssatzes
67
mittels eines unscharfen Zinssatzes gelöst.
68
4.2.5 Unscharfe Interpretation von Bilanzgrößen
Bisher wurde der Weg beschritten, daß in einem Unternehmen zahlreiche Größen
sich zunächst als Fuzzy-Mengen manifestieren, welche aber im Jahresabschluß dennoch
mittels scharfer Werte repräsentiert werden müssen, da dies in den Rechnungslegungs-
standards Fuzzy-Mengen vorgeschrieben ist.
62
Vgl. Abschnitt 2.2, S.
9 ff.
63
Ausführlich zur Possiblitätstheorie, vgl. Comploj (1994), S.
74 ff. Die erwähnte Isomorphie wird gezeigt
bei Comploj (1994), S.
87 ff.
Auch in dieser Arbeit wurde die possibilistische Interpretation von Fuzzy-Mengen bereits mehrfach
angesprochen (vgl. v.a. Abschnitt 3.4, S.
19 ff., auch Einleitung, S. 3).
64
Vgl. Einleitung, S.
3 in dieser Arbeit, sowie Rommelfanger (1994), S. 55, Hauke (1998), S. 72.
65
Vgl. Jenßen (1997), S.
46 f.
66
Vgl. Jenßen (1997), S.
47.
67
Vgl. etwa Schredelseker (2002), S.
41 ff.
68
Auf eine analytische Darstellung der Berechnung unscharfer Ertragswerte soll hier verzichtet werden, da
das Rechnen mit unscharfen Zahlen bzw. das erforderliche Extensionsprinzip erst in Abschnitt 5.3,
S.
72 ff. eingeführt wird.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
45
Entscheidungsrelevante Daten
Gemäß dem Publizitätsprinzip muß der Jahresabschluß von Kapitalgesellschaften
generell, zumindest eingeschränkt, offengelegt, für große Aktiengesellschaften auch (im
Amtsblatt zur Wiener Zeitung) veröffentlicht werden (§§
277-281 HGB). Gemäß § 195
HGB soll der Jahresabschluß ein möglichst getreues Bild der Vermögens- und Ertragslage
eines Unternehmens bilden. Doch die zahlreichen Unschärfen, die in den vorausgehenden
Abschnitten dargestellt wurden, manifestieren sich auch bei der Interpretation des
Jahresabschlusses. Der Leser der Handelsbilanz muß sich bewußt sein, daß es sich bei dem
angegebenen
Wert
eines
Vermögensgegenstandes
um
einen
"nach
vernünftiger
kaufmännischer Beurteilung notwendigen Wert" bzw. "beizulegender Wert" handelt,
69
und
daß der betreffende Ansatz unter Umständen primär aus steuerlichen Gründen gewählt
wurde. Von anderen Problemen der Zuverlässigkeit der Bilanzzahlen als Mittel für
Rückschlüsse auf den Wert der Vermögensgegenstände und des Unternehmens, wie die
Vergangenheitsbezogenheit der Bilanz und der daraus resultierende historische Charakter
der Bilanz, ebenso wie die durch Auflösung und Übertragung stiller Reserven verfälschten
Bilanzwerte soll an dieser Stelle zwar hingewiesen, aber nicht näher eingegangen werden.
70
Es sind also, um ein tatsächliches - unscharfes - Bild über die Vermögens- und Ertragslage
des Unternehmens zu erhalten, aus den scharfen Zahlen der Bilanz die ursprünglichen
Fuzzy-Mengen der als vernünftig akzeptierten Bewertungen für die Vermögensgegenstände
möglichst zu rekonstruieren.
Zweierlei ist bei der Rekonstruktion zu beachten: erstens werden die zahlreichen
,,Ermessensspielräume und Unschärfebereiche"
71
, die das Rechnungslegungsrecht den
Unternehmen offen läßt, von der Unternehmensleitung im Rahmen der Bilanzpolitik als
Instrumente zur Manipulation der Meinung und des Verhaltens externer Bilanzadressaten
genutzt.
72
Zweitens ist die Rechnungslegung in Deutschland und in Österreich von dem
zentralen Leitprinzip des Gläubigerschutzes bestimmt.
73
Das öHGB tendiert somit, ebenso
wie das dHGB, dazu, die Vermögens- und Ertragslage eines Unternehmens schlechter
darzustellen, als sie tatsächlich ist. Das Vorsichtsprinzip des §
201 Abs 2 Z 4 schreibt vor,
daß ,,a) nur die am Abschlußstichtag realisierten Gewinne auszuweisen" (Realisations-
prinzip) sind, dagegen sind ,,b) erkennbare Risken und drohende Verluste, die in dem
Geschäftsjahr oder einem früheren Geschäftsjahr angefallen sind, zu berücksichtigen ..."
(Imparitätsprinzip) und ,,c) Wertminderungen unabhängig davon zu berücksichtigen, ob
das Geschäftsjahr mit einem Gewinn oder Verlust endet".
74
69
Vgl. Abschnitt 4.2.1, S.
33 f.
70
Vgl. etwa Coenenberg (2000), S.
876 ff., Heinhold (1993), S. 121 ff., Wagenhofer (2000), S. 231 ff.,
Egger/Samer/Bertl (2002), S.
496 ff.
71
Schredelseker (2002), S.
324. Zu den einzelnen Spielräumen siehe etwa: Coenenberg (2000), S. 879.
72
Vgl. etwa Seicht (1997), S.
780, Wagenhofer (2000), S. 234.
73
Vgl. Coenenberg (2000), S.
46.
74
Vgl. auch Coenenberg (2000), S.
67 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
46
Entscheidungsrelevante Daten
Das Niederstwertprinzip für Vermögensgegenstände manifestiert sich im gemilder-
ten Niederstwertprinzip für das Anlagevermögen: nach §
204 Abs 2 sind ,,Gegenstände des
Anlagevermögens ... bei voraussichtlich dauernder Wertminderung ... außerplanmäßig auf
den niedrigeren Wert abzuschreiben ...", und dem strengen Niederstwertprinzip für das
Umlaufvermögen: nach §
207 Abs 1 sind ,,bei Gegenständen des Umlaufvermögens ...
Abschreibungen vorzunehmen, um diese mit dem Wert anzusetzen, der sich aus einem
niedrigeren Börsenkurs oder Marktpreis am Abschlußstichtag ergibt." Außerdem kann die
bei Wegfall der Gründe für die außerplanmäßigen Abschreibungen an sich erforderliche
Zuschreibung gemäß §
208 Abs 1 kann aus steuerlichen Gründen unter Angabe von
Gründen unterbleiben (§
208 Abs 2 u. 3).
75
Für Verbindlichkeiten gilt dagegen das Höchstwertprinzip: nach §
211 Abs 1 sind
,,Verbindlichkeiten ... zu ihrem Rückzahlungsbetrag anzusetzen" (der aufgrund der anfal-
lenden Zinsen im allgemeinen höher ist), für ungewisse, wahrscheinliche Verbindlichkeiten
und drohende Verluste sind nach §
211 Abs 1 iVm. § 198 Abs 8 Rückstellungen zu bilden.
Auch die mögliche Sofortabschreibung geringwertiger Vermögensgegenstände
gemäß §
205 Abs 1 iVm. § 226 Abs 3, die zwar meist zu Verminderung des steuerlichen
Gewinns vorgenommen wird, stellt das Unternehmen abermals ärmer dar, als es tatsächlich
ist, da vorhandene Vermögensgegenstände in der Bilanz nicht aufscheinen, allerdings mit
der Einschränkung, daß nach §
205 Abs 1 eine Rücklage zu bilden ist, wenn die Abschrei-
bung betragsmäßig von wesentlichem Umfang ist. Auch die Aktivierungsverbote für
selbsterstellte immaterielle Wirtschaftsgüter (§
197 Abs 2) und den originären Firmenwert
(§
205 Abs 5) haben eine Unterbewertung des Unternehmens in der Bilanz zur Folge.
76
Diese hier zusammengefaßten Bilanzierungsvorschriften und -wahlrechte des
öHGB lassen klar erkennen, daß sich aus den Beträgen in der Bilanz für die Vermögens-
gegenstände immer eine Untergrenze für den unscharfen Wert des Unternehmens bzw. des
Eigenkapitals ergibt.
0
x Geldeinheiten
0
1
"möglicher Wert des Kapitals"
( )
x
1
"Kapital laut HGB-Bilanz"
( )
x
Abb. 4.16
Eigenkapital laut HGB-Bilanz
und mögliches Eigenkapital
Erste Rückschlüsse, um Unterbewertungen auf die Spur zu kommen, liefert die
Gewinn- und Verlustrechnung, in welcher Abschreibungen des betrachteten Wirtschafts-
75
Nicht unterbleiben darf nach §
6 Z 11 letzter Satz EStG die Zuschreibung bei Beteiligungen im Sinn des
§
228 Abs 1 HGB, d.h. bei einem Beteiligungsausmaß von mehr als 20 % an bei Beteiligung an Kapital-
gesellschaften, sowie bei jeglicher Beteiligung an Personengesellschaften.
76
Vgl. auch Coenenberg (2000), S.
878 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
47
Entscheidungsrelevante Daten
jahres geltend gemacht wurden. Zur Ermittlung Abschreibungen früherer Jahre sind die
entsprechenden Rechenwerke relevant. Aus steuerlichen Gründen unterlassene Zuschrei-
bungen müssen im Anhang angeführt und begründet werden (§
208 Abs 3) und sind daher
aus diesem ersichtlich, so daß auch hieraus Aufschlüsse über den eigentlichen unscharfen
Wert des Eigenkapitals (d.h. des Unternehmens) möglich sind.
Vergleichen wir Rechnungslegungsvorschriften des öHGB mit den entsprechen
Vorschriften aus dem angelsächsischen und amerikanischen Kulturkreis, so wird
unverzüglich klar, daß hier ein anderes Ziel verfolgt wird. Während im deutschen
Sprachraum, wie erwähnt, der Schutz der Kreditgeber im Vordergrund steht, ist in
Vereinigten Staaten (nach den US-GAAP) die Information der Kapitalanleger und deren
Schutz oberstes Ziel.
77
Eine konkrete Gegenüberstellung
78
der Vorschriften des öHGB etwa mit den
entsprechenden Bestimmungen der IAS
79
ergibt, daß dem in Österreich (und Deutschland)
dominierenden Vorsichtsprinzip das Ziel eines ,,true and fair view" und einer ,,decision
usefulness" als oberstes Ziel gegenübersteht, eine Einschränkung dieser Generalnorm ist
nicht vorgesehen. Nach IAS dürfen nicht bewußt Erträge und Aktive zu niedrig und
Aufwendungen und Passiva zu hoch angesetzt werden, da dies die decision usefulness
beeinträchtigen würde.
80
Das Vorsichtsprinzip spielt nur eine untergeordnete Rolle, etwa
beim Aktivierungsverbot für einen originären Firmenwert nach IAS
38.36.
81
Das Impari-
tätsprinzip
82
und das Realisationsprinzip (für Gewinne)
83
, welche nach HGB zwingend
einzuhalten sind, werden in den IAS mehrfach durchbrochen.
Die Bilanzierung von Eventualgewinnen, das sind Gewinne, die aus vergangenen
Ereignissen stammen, und deren Eintreten oder Nichteintreten von einem oder mehreren
unsicheren Ereignissen bestimmt wird, ist nach IAS und nach HGB untersagt, doch nach
IAS ist über das Bestehen eines Eventualgewinnes, dessen Eintreten wahrscheinlich ist, zu
berichten.
84
Für langfristige Fertigungsaufträge gibt es nach IAS
11 eine Sonderregelung:
Auftragserlöse und kosten entsprechend dem Leistungsfortschritt als Erträge und
Aufwendungen zu erfassen (percententage-of-completion-method gemäß IAS
11.2),
77
Vgl. Schredelseker (2002), S.
323 f., Auer (2000), S. 6, Coenenberg (2000), S. 46.
78
Vgl. Auer (2000), S.
5 ff.
79
Mit dem Ziel einer weltweiten Verbesserung und Harmonisierung von Grundsätzen, Regelungen und
Methoden der Rechnungslegung wurden von dem 1973 gegründeten International Accounting Standards
Committee (IASC), dem derzeit Wirtschaftsprüfungsorganisationen aus 101 Ländern angehören, die
International Accounting Standards (IAS) formuliert und veröffentlicht als ein System von Rechnungs-
legungsgrundsätzen, welche weltweit Anerkennung und Beachtung finden sollen. Als Vorbild für die IAS
dienten die amerikanischen Generally Accepted Accounting Principles (US-GAAP). (Vgl. Coenenberg
(2000), S.
70 ff., Auer (2000), S. 2 f., Egger/Samer/Bertl (2002), S. 7 ff.)
80
Vgl. Coenenberg (2000), S.
42, Auer (2000), S. 8 f. und S. 13, Egger/Samer/Bertl (2002), S. 422.
81
Vgl. Coenenberg (2000), S.
157, Auer (2000), S. 79, Egger/Samer/Bertl (2002), S. 460.
82
Vgl. Coenenberg (2000), S.
65, Egger/Samer/Bertl (2002), S. 422 .
83
Vgl. Coenenberg (2000), S.
63, Egger/Samer/Bertl (2002), S. 422.
84
Vgl. Auer (2000), S.
112.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
48
Entscheidungsrelevante Daten
während §
201 Abs 2 Z 4 lit a HGB den Ausweis von nicht realisierten Erträgen
grundsätzlich verbietet, Voraussetzung für eine Teil-Ertragsrealisation nach HGB ist eine
Lieferung bzw. Leistung und Abrechnung in Teilen.
85
Selbsterstellte immaterielle Vermögensgegenstände dürfen nach IAS
38, mit
Ausnahme des oben erwähnten originären Firmenwertes (IAS
38.36) aktiviert werden,
unter der Voraussetzung, daß das Unternehmen daraus einen künftigen Nutzen ziehen kann
und die Kosten verläßlich geschätzt werden können.
86
Regelungen zum Finanzvermögen finden sich in IAS
39: So ist das Finanzanlage-
vermögen entweder zu Anschaffungskosten oder zu Neubewertungsbeträgen oder auch
zum niedrigeren Wert aus Anschaffungskosten und Markwert anzusetzen, Buchwert-
erhöhungen im Falle einer Neubewertung werden dem Eigenkapital in Form einer
Neubewertungsrücklage zugeschrieben,
87
Finanzinvestitionen des Umlaufvermögens
(financial assets held for trading) sind entweder zum Marktwert oder zum niedrigen Wert
aus Anschaffungskosten und Markwert anzusetzen.
88
Unterschiede bestehen auch bei den Pensionsrückstellungen, während nach HGB
das Gleichverteilungs- oder Teilwertverfahren und das Gegenwartswert- oder Ertragswert-
verfahren, welches die in späteren Jahren höhere Wahrscheinlichkeit einer Inanspruch-
nahme durch stärkere Belastung späterer Jahre berücksichtigt, zulässig sind, ist nach
IAS
19 nur das dem Gegenwartswertverfahren grundsätzlich entsprechende Anwartschafts-
verfahren vorgesehen.
89
Diese Liste von größeren und kleineren Abweichungen ließe sich noch lange
fortsetzen. Insgesamt sieht man zweierlei:
-
erstens wird aus den unterschiedlichen Zahlen, die sich aus einem einzigen Sachverhalt
ergeben, eindeutig klar, daß sowohl die Werte von Vermögensgegenständen, als auch
der Wert des Eigenkapitals eines Unternehmens eine unscharfe Größe ist
-
zweitens ist die Rechnungslegung des deutsch-österreichischen Kulturkreises
wesentlich vorsichtiger, sodaß die Bewertung des Eigenkapitals eines Unternehmens
nach HGB im allgemeinen niedriger ist als die nach IAS bzw. US-GAAP.
0
x Geldeinheiten
0
1
"möglicher Wert des Kapitals"
( )
x
1
"Kapital laut HGB-Bilanz"
( )
x
1
"Kapital laut IAS-Bilanz"
( )
x
Abb. 4.17
Eigenkapital lt. IAS-Abschluß,
lt. HGB-Abschluß und
mögliches Eigenkapital
85
Vgl. Coenenberg (2000), S.
245 ff., Auer (2000), S. 86 ff, Egger/Samer/Bertl (2002), S. 465.
86
Vgl. Coenenberg (2000), S.
155, Auer (2000), S. 73, Egger/Samer/Bertl (2002), S. 457 ff.
87
Vgl. Coenenberg (2000), S.
166 f., Auer (2000), S. 77 f., Egger/Samer/Bertl (2002), S. 481.
88
Vgl. Coenenberg (2000), S.
259 ff., Auer (2000), S. 92 f., Egger/Samer/Bertl (2002), S. 478 ff.
89
Vgl. Coenenberg (2000), S.
352, Auer (2000), S. 95 f., Egger/Samer Bertl (2002), S. 468 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
49
Entscheidungsrelevante Daten
Das folgende Beispiel soll die Demonstration des unscharfen Bildes, das sich aus
den unterschiedlichen Rechnungslegungsnormen ergeben kann, abrunden:
,,Im Jahre 1993 mußte die Daimler Benz AG, als sie als erstes deutsches Industrie-
unternehmen an der New York Stock Exchange gelistet werden wollte und zu diesem
Zweck einen Halbjahresabschluss auf der Basis der US-amerikanischen Rechnungsle-
gungsnormen (US-GAAP) erstellen: Während im deutschen Abschluss ein Halbjahres-
überschuß von 117 Mio. DM ausgewiesen werden konnte, mußte im amerikanischen
Bericht ein Verlust in Höhe von 949 Mio. DM verbucht werden; ähnliche Differenzen
gab es im Bereich des Eigenkapitals, das sich im deutschen Abschluss auf ca. 19 Mrd.
DM und im amerikanischen Abschluss auf über 26 Mrd. DM belief."
90
4.2.6 Unschärfe in Ausprägung und Interpretation von Bilanzkennzahlen
Die Interpretation von Bilanzdaten erfolgt im allgemeinen nicht durch die
Interpretation einzelner Bilanzwerte, wie im vorhergehenden Abschnitt vielleicht der
Eindruck entstanden sein dürfte, sondern durch die Bildung von Kennzahlen
91
aus Zahlen
der Bilanz und der Gewinn- und Verlustrechnung nach entsprechender Bereinigung
92
.
Wichtige Kennzahlengruppen sind einerseits Rentabilitätskennzahlen
93
, und andererseits
finanzwirtschaftliche Kennzahlen
94
, dazu zählen Deckungs- und Liquiditätskennzahlen,
Kapital- und Vermögensstrukturkennzahlen und Umschlagskennzahlen.
Bei der Bestimmung von Kennzahlen werden dabei jeweils zwei oder mehr Größen
aus dem Jahresabschluß miteinander in Beziehung gesetzt. So erhält man etwa:
al
Eigenkapit
schuß
Jahresüber
ität
alrentabil
Eigenkapit
=
e
Bilanzsumm
ögen
Anlageverm
ensität
Anlagenint
=
,
tal
Gesamtkapi
al
Fremdkapit
ngsgrad
Verschuldu
=
Eine erste Überlegung zu diesen Werten führt zu dem Ergebnis, daß bei diesen
Kennzahlen Werte zueinander in Beziehung gesetzt werden, an deren Stelle eigentlich
Fuzzy-Zahlen stehen müßten. Die meisten der angeführten Werte wurden bereits im
vorhergehenden Abschnitt auf ihren Gehalt an Fuzziness untersucht. Unter Anwendung des
90
Schredelseker (2002), S.
324.
91
Vgl. Coenenberg (2000), S.
873 ff., Egger/Samer/Bertl (2002), S. 500 ff.
92
Vgl. Coenenberg (2000), S.
880 ff. , Egger/Samer/Bertl (2002), S. 502 ff.
93
Vgl. Coenenberg (2000), S.
949 ff. , Egger/Samer/Bertl (2002), S. 518 ff.
94
Vgl. Coenenberg (2000), S.
907 ff. , Egger/Samer/Bertl (2002), S. 575 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
50
Entscheidungsrelevante Daten
Extensionsprinzips stellte es keinerlei Schwierigkeit dar, mittels der Division für Fuzzy-
Mengen (5.43)
95
die entsprechenden unscharfen Kennzahlen zu berechnen, welche dann
entsprechend interpretiert werden müßten.
0
x
Geldeinheiten
0
1
"Jahresüberschuß"
( )
x
a)
0
y
Geldeinheiten
0
1
"Eigenkapital"
( )
y
b)
0
z
0
1
"Jahresüberschuß" : "Eigenkapital"
( )
z
=
"Eigenkapitalrentabilität"
( )
z
c)
Abb. 4.18
Unscharfe Kennzahl aus
possibilistischen Bilanzgrößen
Es wäre keine Schwierigkeit, mittels dieser Kennzahlen eine unscharfe Zuordnung
zu den gewöhnlichen (scharfen) Klassen von Kennzahlenausprägungen, die scharfe
Intervalle für (im Bezug zu Vergleichsunternehmen, also insbesondere branchenspezifisch
und auch größenspezifisch) niedrige, mittlere und hohe Ausprägungen sind, vorzunehmen.
Abb. 4.19
Unscharfe Kennzahl und
scharfe Abgrenzung der
möglichen Zuordnung
Es wird aber von den Autoren, die Fuzzy-Methoden zur Analyse von Jahres-
abschlußkennzahlen (im Rahmen der Jahresabschlußprüfung
96
) vorschlagen, ein anderer
Weg beschritten
97
, der ebenfalls zu einem unscharfen Ergebnis führt. Aus den scharfen
Werten der Bilanz werden (nach Berichtigungsvorgängen
98
) scharfe Kennzahlen berechnet.
Das Unschärfekonzept setzt bei der Formulierung der Bandbreiten der Kennzahlenaus-
prägungen an. Die klassischen scharfen Grenzen für die Ausprägungen der Kennzahlen
95
Auf eine analytische Berechnung unscharfer Kennzahlen soll hier verzichtet werden, da das Extensions-
prinzip und die daraus abgeleitete Division unscharfer Zahlen erst in Abschnitt 5.3, S.
72 ff. bzw. S. 74
eingeführt werden.
96
Zur Anwendung von Fuzzy-Methoden in der Jahresabschlußprüfung siehe Abschnitt 4.2.7, S.
52 ff.
97
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
152 ff., Rommelfanger (1997), S. 175 ff., Scheffels (1996), S. 7 ff., Pfeifer
(1998), S.
189 ff., Zaeh (1998), S. 413 ff.
98
Vgl. Coenenberg (2000), S.
880 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
51
Entscheidungsrelevante Daten
sind künstlich und unrealistisch, da es etwa in Bezug auf die Insolvenzgefährdung kaum
einen Unterschied macht, ob der Wert der Kennzahl 0.19 oder 0.21 beträgt, wenn aber 0.2
gerade die Grenze zwischen "niedrig" und "mittel" ist,
99
so kann damit sehr leicht ein
Gefahrenpotential übersehen oder überbewertet werden. Außerdem sind Angaben über
Kennzahlenausprägungen ohnehin immer linguistische Formulierungen,
100
wie "niedrig",
"mittel", "hoch"
101
, oder auch "stark", "schwach" oder auch "mittelstark bis stark"
ausgeprägt, immer im Bezug zu Vergleichsunternehmen, also insbesondere branchen-
spezifisch und auch größenspezifisch.
0
z
0
1
"mittelstark"
( )
z
"sehr stark"
( )
z
"sehr schwach"
( )
z
"schwach"
( )
z
"stark"
( )
z
1
"Kennzahl"
( )
z
Ausprägungsstärke
Abb. 4.20
Scharfe Kennzahl und
unscharfe Umschreibungen
der möglichen Ausprägung
Als Verfahren zur Bestimmung der Fuzzy-Mengen, welche die linguistischen
Terme der Ausprägungsstärke charakterisieren, ist entweder das Verfahren der Experten-
befragung möglich oder ein branchenspezifisches statistisches Verfahren.
102
Soll etwa die
Anlagenintensität eines Unternehmens als "niedrig", "durchschnittlich" oder "hoch" einge-
stuft werden, so werden die Anlagenintensitäten aller Vergleichsunternehmen bzw. einer
repräsentativen Stichprobe daraus bestimmt und der Größe nach gereiht. Anschließend
werden die z
0.25
-, z
0.375
-, z
0.625
-, z
0.75
-Quantile bestimmt, und somit die unteren, mittleren
und oberen 25%. Für die linguistischen Terme "niedrig", "durchschnittlich" und "hoch"
werden nun Kern und Träger bestimmt:
]
,
(
)
niedrig"
ker("
25
.
0
0
.
0
z
z
=
,
)
,
[
)
niedrig"
supp("
375
.
0
0
.
0
z
z
=
]
,
[
)
ttlich"
durchschni
ker("
625
.
0
375
.
0
z
z
=
,
)
,
(
)
ttlich"
durchschni
supp("
75
.
0
25
.
0
z
z
=
)
,
[
)
hoch"
ker("
0
.
1
75
.
0
z
z
=
,
)
,
(
)
hoch"
supp("
0
.
1
625
.
0
z
z
=
Für den Verlauf der Zugehörigkeitsfunktion für den Bereich zwischen 0 und 1 wird ein mit
Hilfe von Distanzfunktionen
103
bestimmter Kurvenverlauf vorgeschlagen.
99
Vgl. Pfeifer (1998), S.
193.
100
Vgl. Scheffels (1996), S.
70, Pfeifer (1998), S. 190 f., Hauke (1998), S. 33. Im allgemeinen werden die
linguistischen Umschreibungen für Kenzahlenausprägungen in der Literatur intuitiv verwendet, ohne daß
der Fuzzy-Charakter der linguistischen Begriffe hinterfragt oder auch nur wahrgenommen würde.
101
Diese Einteilung findet sich bei Scheffels (1996), S.
70 ff., Pfeifer (1998), S. 204 ff., Zaeh (1998), S. 422,
letzterer schlägt auch feinere Unterteilungen vor (S.
432 ff.).
102
Vgl. Scheffels (1996), S.
70 ff. bzw. auch Pfeifer S. 49 ff., Rommelfanger (1997), S. 183 ff.
103
Vgl. Bandemer (1992), S.
95 ff., Bandemer/Näther (1992), S.66ff., Comploj (1994), S.63ff., Hauke
(1998), S.
28 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
52
Entscheidungsrelevante Daten
0
1
"durchschnittlich"
"hoch"
( )
z
0.25
20
30
40
"niedrig"
( )
z
( )
z
z
0.375
z
0.75
z
0.625
z
Anlagenintensität
z
Abb. 4.21 Linguistische Umschreibung aufgrund branchenspezifischer Häufigkeiten
4.2.7 Fuzzy-Methoden bei der Jahresabschlußprüfung
Unschärfen des Rechnungswesens sind auch für die Jahresabschlußprüfung, d.h. für
die Beurteilung der Korrektheit der Darstellung von Vermögens-, Ertrags- und Finanzlage
eines Unternehmens im handelsrechtlichen Jahresabschluß durch Wirtschaftsprüfer,
relevant. Nach §
268 Abs 1 öHGB müssen Kapitalgesellschaften, mit Ausnahme von
kleinen GmbH's (§
221 Abs 1 öHGB)
104
, sofern diese nicht aufsichtsratspflichtig sind,
ihren Jahresabschluß durch Wirtschaftsprüfer prüfen lassen, ob dieser ,,unter Beachtung der
Grundsätze ordnungsmäßiger Buchführung ein den tatsächlichen Verhältnissen ent-
sprechendes Bild der Vermögens-, Ertrags- und Finanzlage vermittelt". Ziel der Jahresab-
schlußprüfung ist die Erteilung eines Bestätigungsvermerks, dieser kann gemäß §
274
öHGB ein uneingeschränkter oder eingeschränkter Bestätigungsvermerk sein, allenfalls ist
auch eine Versagung des Bestätigungsvermerks möglich.
Da eine lückenlose Prüfung jeder einzelnen Position des Jahresabschlusses
aufgrund des großen Datenmaterials praktisch unmöglich ist,
105
wird im Rahmen des
risikoorientierten Prüfungsansatzes versucht, besonders risikoanfällige Bereiche im Unter-
nehmen durch den Wirtschaftsprüfer schon vorab zu diagnostizieren, um daraus Schwer-
punkte bei der eigentlichen Jahresabschlußprüfung setzen zu können.
106
Ein wesentlicher Bestandteil im Rahmen dieser Vorabprüfung zur Optimierung der
Prüfungsplanung sind analytische Prüfungshandlungen zur Plausibilitätsbeurteilung, bei
denen die Analyse von Kennzahlen im Vordergrund steht.
107
Doch nicht nur im Prüfungs-
vorfeld, auch während der Prüfungsdurchführung, ebenso wie bei der abschließenden
Durchsicht sind analytische Prüfungshandlungen ein wichtiges Instrument zur Verringe-
rung des Risikos, daß Fehler unentdeckt bleiben (Entdeckungsrisiko).
108
Die Analyse von Jahresabschlußkennzahlen stellt somit einen wesentlichen Teil der
Informationsbasis für die Entscheidungen des Wirtschaftsprüfers im Rahmen der Prüfung
dar, einerseits liefert sie bei der Vorabprüfung in der Planungsphase die Basis für die
104
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S.
52,, Fußnote 14.
105
Vgl. Lück (1999), S.
68, Scheffels (1996), S. 21, Zaeh (1998), S. 17 u. S. 21.
106
Vgl. Lück (1999), S.
93 ff., Scheffels (1996), S. 1, Zaeh (1998), S. 19 ff.
107
Vgl. Lück (1999), S.
76, Scheffels (1996), S. 31, Zaeh (1998), S. 98 f.
108
Vgl. Lück (1999), S.
115 ff., Scheffels (1996), S. 31, Zaeh (1998), S. 99 f. u. S. 224 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
53
Entscheidungsrelevante Daten
Entscheidung über den Umfang der Prüfungshandlungen bei der eigentlichen Prüfung,
andererseits stellt sie bei der eigentlichen Prüfung ein Hilfsmittel zur Entscheidung über
die Erteilung eines uneingeschränkten oder eingeschränkten Bestätigungsvermerks bzw.
die Versagung des Bestätigungsvermerks dar.
109
Im vorhergehenden Abschnitt 4.2.6 wurde herausgearbeitet, daß die Informationen,
die Jahresabschlußkennzahlen liefern, unscharf sind. Dieser Umstand hat einige Autoren
inspiriert, Ansätze zur Anwendung von Fuzzy-Modellen im Rahmen der Kennzahlen-
analyse bei der risikoorientierten Abschlußprüfung zu formulieren.
110
Ein wissensbasiertes System (Expertensystem) soll den Wirtschaftsprüfer bei der
Gewinnung von entscheidungsrelevanten Erkenntnissen unterstützen.
111
Konstitutive
Bestandteile eines wissensbasierten Systems stellen die Wissensbasis und die Inferenz-
komponente dar.
112
Die zu beurteilenden Größen ,,Vermögens-, Ertrags- und Finanzlage"
müssen zunächst in Einflußgrößen von geringerer Komplexität strukturiert werden, diese
werden weiter zerlegt, bis auf der untersten Stufe der Analysehierarchie eine Gruppe von
Kennzahlen übrigbleibt, welche das Gesamtproblem in operationalisierter Form repräsen-
tieren. Dieses Wissen wird in der Wissensbasis, die sich wieder in Datenbasis (Fakten-
wissen) und Regelbasis (Regelwissen) gliedern läßt, abgelegt. Während Faktenwissen die
Kennzahlen bzw. komplexeren Einflußgrößen selbst beinhaltet, besteht Regelwissen in den
Zusammenhängen zwischen den einzelnen Größen der Datenbasis.
113
Die Inferenz-
komponente ermöglicht es, für den konkreten Einzelfall aus den in der Wissensbasis
abgelegten Daten und Regeln schrittweise Schlußfolgerungen zu ziehen.
114
109
Vgl. auch Göbel (1998), S.
65 ff.
Göbel (1998) bedient sich in seiner Monographie nicht der unscharfen Mengen, sondern unscharfer Maße
und der darauf basierenden Dempster-Shafer-Evidenztheorie, auf welche hier nicht eingegangen wird.
(Einige kurze Informationen zu Fuzzy-Maßen finden sich in Abschnitt 3.4, S.
19 ff., verwiesen wird
weiters auf Comploj (1994), S.
74 ff. und die Monographie von Wang/Klir (1992) für Fuzzy-Maße, sowie
auf Comploj (1994), S.
181 ff. und die Artikel von Dempster (1966), Shafer (1987) und die Monographie
von Shafer (1976) zur Evidenztheorie.)
110
Vgl. Scheffels (1996), S.
61 ff., Pfeifer (1998), S. 189 ff., Rommelfanger (1994), S. 152 ff., Rommel-
fanger (1997), S.
175 ff.
111
Vgl. Scheffels (1996), S.
38 ff.
Ebenfalls ein Fuzzy-Logik-System im Rahmen der risikoorientierten Jahresabschlußprüfung stellt Zaeh
(1998), S.
413 ff. vor. Er setzt dieses System jedoch nicht zur Analyse von Kennzahlen, sondern zur
unscharfen Risikobeurteilung aus der Kombination verschiedener (externer und interner) Risikofaktoren
des Unternehmens ein. Auf diese Anwendung wird in dieser Arbeit nicht näher eingegangen, da eine
vollständige Berücksichtigung aller betriebswirtschaftlichen Anwendungen von Fuzzy-Modellen den
Rahmen dieser Diplomarbeit sprengen würde.
112
Diese beiden obligatorischen Bausteine unterscheiden Expertensysteme von anderen Computerprogram-
men. Dazu kommt die Datenkomponente, weitere ergänzende Komponenten wissensbasierter Systeme
sind die Wissenserwerbskomponente, die Dialogkomponente sowie die Erklärungskomponente.
Zu Expertensystemen siehe etwa Heinrich/Lehner/Roithmayr (1994), S.
272 ff., vgl. auch Scheffels
(1996), S.
42 ff, Zaeh (1998), S. 367, Fußnote 16.
113
Vgl. Scheffels (1996), S.
43 ff.
114
Vgl. Scheffels (1996), S.
55 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
54
Entscheidungsrelevante Daten
Die Regeln der Fuzzy-Logik
115
ermöglichen es, auch die als linguistische Varia-
blen
116
interpretierten (unscharfen) Kennzahlenausprägungen
117
in der Datenbasis eines
Expertensystems zu hinterlegen; man spricht dann von einer Fuzzy-Datenbasis. Herangezo-
gen werden dazu die branchenspezifisch bestimmten Ausprägungen der linguistischen
Variablen.
118
Diese Fuzzy-Daten werden mit den Regeln der Fuzzy-Logik, die in der
Fuzzy-Regelbasis abgelegt sind, zu unscharfen Ergebnisdaten verarbeitet, die dann die
nächste Stufe in der Analysehierarchie ergeben.
Regel
Nr.
Vorrats-
intensität
Umschlags-
häufigkeit
Vorrats-
vermögen
1
hoch
hoch
mittel
2
hoch
durchschnitt
schlecht
3
hoch
niedrig
schlecht
4
durchschnitt
hoch
gut
5
durchschnitt
durchschnitt
mittel
6
durchschnitt
niedrig
schlecht
7
niedrig
hoch
gut
8
niedrig
durchschnitt
mittel
9
niedrig
niedrig
schlecht
Tab. 4.22 Ausschnitt aus dem Fuzzy-Regelwerk des Fuzzy-Logik-Systems
119
Der bei allgemeinen Fuzzy-Logik-Systemen abschließende Verarbeitungsschritt der
Defuzzifizierung kann im Rahmen der Entscheidungsunterstützung des Wirtschaftsprüfers
unterbleiben, da die gewünschten Ausgabedaten ohnehin wiederum unscharfer Natur
sind.
120
Der Inferenz-Prozeß der Fuzzy-Logik wird auch als Fuzzy-Control bezeichnet.
121
115
Auf Fuzzy-Logik und unscharfes Schließen wird in dieser Arbeit nicht näher eingegangen. Im wesent-
lichen basieren die Methoden der Fuzzy-Logik darauf, daß mit Hilfe der in Abschnitt 5.1, S.
66 f. einge-
führten
t-Normen (5.1), t-Conormen (5.5) und Negationen (5.6) die Operationen der Fuzzy-Logik be-
stimmt werden: Konjunktion erfolgt mittels einer
t-Norm, Disjunktion mittels einer t-Conorm, Implikation
wird aus den genannten Operationen abgeleitet:
(a
b)
(¬(a¬b)) bzw. (ab) (¬ab)
Verwiesen wird etwa auf Zadeh (1988), Böhme (1993), Traeger (1993), oder Zimmermann (1993).
116
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S.
23 ff.
117
Vgl. Abschnitt 4.2.6, S.
50 ff.
118
Vgl. Abschnitt 4.2.6, S.
51 f., Scheffels (1996), S. 70 ff., Pfeifer (1998), S. 49 ff., Rommelfanger (1997),
S.
183 ff.
119
Quelle: Scheffels (1996), S.
84.
120
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
165, Rommelfanger (1997), S. 187 f. Dieser Ansicht schließt sich die
Verfasserin dieser Arbeit an. Andere Autoren, etwa Scheffels (1996), S.
89, Pfeifer (1998), S. 209 ff.,
schlagen dagegen auch für Fuzzy-Logik-Systeme zur Kennzahlenanalyse eine abschließende Defuzzi-
fizierung vor. Ebenso schließt Zaeh (1998), S.
426 u. S. 444 ff. sein Fuzzy-System zur Risikobeurteilung
aus Risikofaktoren mit einem Defuzzifizierungsschritt ab. Auch hier sollte meines Erachtens dieser letzte
Schritt nur im Bedarfsfall durchgeführt werden, da auch hier eine unscharfe Risikobeurteilung (lingui-
stische Beurteilung: "hohes" Risiko) als Resultat im allgemeinen erwünscht sein dürfte, da diese lediglich
Vorentscheidung für für weitere Entscheidungen ist. Ein Defuzzifikationsschritt würde einen Teil des
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
55
Entscheidungsrelevante Daten
Fuzzifizierung
Defuzzifizierung
Inferenz
Eingabedaten
Ergebnisausgabe
Regelbasis
Abb. 4.23 Ablaufschema des Inferenzprozesses mit Hilfe der Fuzzy-Logik
122
4.2.8 Unschärfe und Unsicherheit bei der Unternehmensbesteuerung
Eine wesentliche Determinante bei der Quantifizierung der finanziellen Lage eines
Unternehmens bzw. bei der Unternehmensplanung ist die steuerliche Belastung. Auch im
Bereich des Steuerrechts ergeben sich zahlreiche Unbestimmtheitsbereiche, welche in der
Literatur
123
zur betriebswirtschaftlichen Steuerlehre meist unter dem Begriff ,,Ungewiß-
heit"
124
geführt werden. Hier soll zwecks Konsistenz in der Arbeit für diesen Oberbegriff
die Bezeichnung ,,Unbestimmtheit"
125
verwendet werden.
126
Voß unterscheidet zwei Formen der Unbestimmtheit
127
, nämlich einerseits statische
Unbestimmtheit, welche auf mangelnde Determiniertheit
128
oder Uneindeutigkeit von
Normen (mangelnde Rechtsbestimmtheit
129
) beruht, und andererseits dynamische Unbe-
stimmtheit, welche auf Unbeständigkeit der Steuerrechtsnormen (mangelnde Rechts-
beständigkeit
130
) zurückzuführen ist.
131
Statische Unbestimmtheit kann sich manifestieren
durch die Einbeziehung der Unschärfe gewonnenen Fortschritts wieder zunichte machen und würd
außerdem bei den folgenden Entscheidungen eine neuerliche Fuzzifikation erfordern (vgl. auch Abschnitt
8.3, S.
161 f.).
Scharfe Ausgabewerte von Fuzzy-Logik-Systemen werden jedenfalls bei technischen Anwendungen
benötigt.
121
Vgl. Zaeh (1998), S.
423.
122
Vgl. Pfeifer (1998), S.
192.
123
Etwa Rose (1992), S.
11 ff. bzw. die Monographie von Voß (1992). Daumann (1991), S. 264 ff. spricht
von ,,steuerrechtlichen Unsicherheiten".
124
Voß (1992) unterscheidet in seiner Arbeit bewußt nicht zwischen Risiko, Ungewißheit und Unsicherheit
und verwendet die Begriffe ,,Ungewißheit", ,,Unsicherheit" und ,,Risiko" synonym (vgl. Voß (1992),
S.
27). Unschärfe stellt bei Voß (1992) keinen Analysegegenstand dar.
125
Vgl. Abschnitt 2.2, S.
9 ff.
126
Sofern die Termini hier in der Bedeutung des Originaltexts verwendet werden, werden sie unter ,," gesetzt.
127
Im Original (Voß (1992), S.
28 ff.): ,,Ungewißheit".
128
In der zitierten Literatur wird der hier durch die Bezeichnung ,,mangelnde Determiniertheit" dargestellte
Sachverhalt als Unbestimmtheit bezeichnet.
129
Vgl. Daumann (1991), S.
265 ff. u. S. 271 ff.
130
Vgl. Daumann (1991), S.
265 ff. u. S. 271 ff.
131
Rose (1992), S.
11 ff. unterscheidet Komplexität, ,,Unbestimmtheit" und Unbeständigkeit. Voß (1992),
S.
32 f. interpretiert ,,Unbestimmtheit" und Unbeständigkeit als Determinanten für statische bzw.
dynamische ,,Ungewißheit", Komplexität kann durch entsprechende Informationsbeschaffung reduziert
werden, was bleibt ist ein Rest an statischer ,,Ungewißheit".
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
56
Entscheidungsrelevante Daten
in
uneindeutigen
oder
widersprüchlichen
Gesetzesnormen,
132
in
uneinheitlicher
Handhabung gleicher Sachverhalte durch die Finanzverwaltung, in uneinheitlichen
Entscheidungen von Senaten, Verwaltungs- oder Verfassungsgerichtshof, sowie im inter-
nationalen Bereich durch uneindeutige Abgrenzungen in Doppelbesteuerungsabkommen,
unter dynamischer Ungewissheit werden Rechtssprünge in allen Bereichen, d.h.
sprunghafte Änderungen von Gesetzen, Abkehr der Finanzverwaltung von der bisher
geübten Praxis oder der Judikatur von ihrer bisherigen Rechtssprechung, verstanden.
133
Voß
134
differenziert steuerliche Unbestimmtheit weiter nach ihrer Dimension in
eingrenzbare und uneingrenzbare Unbestimmtheit. Eingrenzbarkeit liegt vor, wenn die
Unbestimmtheiten überhaupt erkennbar sind und auch ihre Extrempositionen abschätzbar
sind.
135
Uneingrenzbarkeit liegt dagegen vor, wenn entweder die Gesamtzahl der Möglich-
keiten nicht bestimmbar ist (partielle Uneingrenzbarkeit), oder wenn eine Unbestimmtheit
überhaupt noch nicht zu erkennen ist (totale Uneingrenzbarkeit).
136
Laut Voß
137
ist Eingrenzbarkeit nur bei statischer Unbestimmtheit zu finden, doch
kurzfristig kann zwischen dem Bekanntwerden eines Gesetzesänderungsvorschlages und
dessen Verabschiedung auch dynamische Unbestimmtheit eingrenzbar sein.
138
Partielle
Uneingrenzbarkeit ist auch primär der dynamischen Unbestimmtheit zuzuordnen,
139
etwa
wenn zwar das Bevorstehen eines Rechtssprunges bekannt ist, doch über seine Ausprägung
völlige Unklarheit besteht, ist aber auch im Bereich der statischen Unbestimmtheit
denkbar.
140
Totale Uneingrenzbarkeit ist laut Voß
141
auf dynamische Unbestimmtheit
beschränkt; die Möglichkeit, daß bei mangelhafter Information des Steuerpflichtigen
absolute Unkenntnis über die Existenz einer für ihn relevanten Regelung besteht, läßt
Voß
142
bewußt außer Betracht, da er eine sorgfältige planende und über die steuerlichen
Folgen ihres Handelns informierte Person zugrunde legt.
132
Zum Thema der unbestimmten Gesetzesbegriffe siehe auch Doralt/Ruppe (2001), S.
184.
133
Voß (1992), S.
33 ff. nennt als Rechtsquellen, die Normen und somit (statische und dynamische) Unbe-
stimmtheit produzieren, Legislative, Exekutive und Judikative.
134
Vgl. Voß (1992), S.
52 ff.
135
Vgl. Voß (1992), S.
52 f.
Voß (1992), S.
53 f. unterscheidet noch zwischen hinsichtlich ihrer Steuerwirkung quantifizierbarer und
lediglich extensional eingrenzbarer Unbestimmtheit, räumt jedoch ein, daß aufgrund der generellen
Quantifizierbarkeit von Steuerwirkungen mangelnde Quantifizierbarkeit auf zu hohen Planungsaufwand
zurückzuführen ist. Uns wird die Unterscheidung zwischen unterschiedlichem Quantifizierungsaufwand
im Rahmen der gebundenen und freien Ermessensentscheidungen begegnen (siehe Voß (1992), S.
46 f.).
136
Vgl. Voß (1992), S.
54 f.
137
Vgl. Voß (1992), S.
53.
138
Zwischen dem ersten Vorschlag über die Einführung des Studienbeitrages in Höhe von 363,36 Euro am
26.09.2000 und der endgültigen Verabschiedung durch den Nationalrat am 24.11.2000 waren die
Extrempositionen des möglichen bevorstehenden Rechtssprungs durchaus bekannt.
139
Vgl. Voß (1992), S.
54.
140
Vgl. Voß (1992), S.
55.
141
Vgl. Voß (1992), S.
55.
142
Vgl. Voß (1992), S.
27.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
57
Entscheidungsrelevante Daten
Daumann
143
führt zwar einige mögliche Indikatoren für bevorstehende Rechts-
sprünge an, wie geringe fiskalische Ergiebigkeit des Steuersystems,
144
wahltaktische
Erwägungen der Regierungsparteien,
145
internationale wechselseitige Beeinflussung von
verschiedenen nationalen Steuersystemen,
146
etc., er betont jedoch ebenfalls, daß formali-
sierte quantitative Methoden zur Prognose der zukünftigen Rechtslage nicht eingesetzt
werden können.
147
Dies entspricht im wesentlichen dem Ergebnis der Analyse von Voß,
welches er abschließend kommentiert: ,,Aus alledem ergibt sich, daß weder mit einer
grundlegenden Lösung der Rechtssprungproblematik seitens des Gesetzgebers zu rechnen
noch aus eigener Kraft ein Schutz vor rechtssprungbedingten Schäden zu erlangen ist.
Lediglich partielle Minderungen der Nachteile können erreicht werden. Es bleibt somit bei
den aus Rechtssprüngen resultierenden Erschwernissen der Steuerplanung."
148
Anwendung der Einteilung der Unbestimmtheit aus der Entscheidungstheorie
149
auf
die Kategorien der steuerlichen Unbestimmtheit von Voß führt zu dem Ergebnis, daß
dynamische Unbestimmtheit auf einen Mangel an Information über zukünftige Ereignisse
zurückzuführen ist. Dynamische Unbestimmtheit ist somit eine Ausprägung von
entscheidungsrelevanter Unsicherheit mit den Unterausprägungen Ungewißheit und Risiko,
sie fällt daher in den Bereich der klassischen Entscheidungstheorie.
150
Statische Unbe-
stimmtheit, insbesondere wenn sie eingrenzbar ist, entspricht dagegen der Unbestimmtheit
aus Mangel an begrifflicher Schärfe, daher werden in den folgenden Betrachtungen einige
Möglichkeiten untersucht, begriffliche Unschärfe im Steuerrecht mit Hilfe der Fuzzy-Set-
Theorie zu modellieren. In der Folge wird daher auch von Unschärfe anstelle von
eingrenzbarer statischer Unbestimmtheit gesprochen, der Begriff der Ungewißheit wird für
dynamische Unbestimmtheit verwendet.
151
Unscharfe Bestimmungen in den Steuergesetzen lassen sich in zwei Gruppen
einteilen. Einerseits gibt es Bestimmungen, in denen dem Steuerpflichtigen durch die
Unschärfe ein Wahlrecht eingeräumt wird, sich innerhalb des durch die unscharfe Bestim-
mung gegebenen Rahmens zu bewegen.
152
Auf der anderen Seite stehen Bestimmungen,
143
Vgl. Daumann (1991), S.
311 ff.
144
Vgl. Daumann (1991), S.
312.
145
Vgl. Daumann (1991), S.
313.
146
Vgl. Daumann (1991), S.
312 f.
147
Vgl. Daumann (1991), S.
309.
148
Voß (1992), S.
173 f.
149
Vgl. Abschnitt 2.2, S.
9 ff.
150
Vgl. Abschnitt 2.2.1, S.
9 f.
151
Meist sind bei dynamischer Unbestimmtheit keine Wahrscheinlichkeiten greifbar, sodaß hier die, der
Originalliteratur konforme, Verwendung des Begriffes ,,Ungewißheit" anstelle von ,,Unsicherheit" keine
Verzerrung der Aussage darstellt.
152
Solche gesetzliche Bestimmungen sind nicht als Verstoß gegen das Determiniertheitsgebot des Art 18
BVG anzusehen, sondern als Zuweisungen von Kompetenzen an Fachleute, da niemand anderer die
Sachverhalte in im Unternehmen besser einschätzen könne als der Kaufmann selbst (vgl. Werndl (1997),
S.
195).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
58
Entscheidungsrelevante Daten
die den Behörden Spielräume einräumen. Unter diesen kann wiederum unterschieden
werden zwischen Paragraphen, deren Rechtsfolge eine Bandbreite zuläßt, und Paragraphen,
deren Tatbestandsmerkmale dehnbar formuliert sind.
Allen Ausprägungen der Unschärfe ist es gemeinsam, daß die Extreme der
möglichen Steuerfolgen bekannt sind, so ist damit, wenn die Darstellungsform der Fuzzy-
Menge gewählt wird, auch der beschränkte Träger der Fuzzy-Menge der möglichen
Steuerfolgen bekannt, da hier die Möglichkeit auf jeden Fall größer 0 ist. Unschärfe ist am
stärksten ausgeprägt bei ausschließlicher Betrachtung der Gesetzesnormen und nimmt ab
bei der Einbeziehung von Entscheidungen und Verwaltungsanweisungen
153
, welche die
dehnbaren Gesetzesnormen konkretisieren. Nach Voß
154
kann die Unschärfe auf Null
reduziert werden, wenn der Steuerpflichtige die in der Anweisung dokumentierte Ansicht
der Finanzverwaltung akzeptiert. In der Sprache der Fuzzy-Mengen- und Possibilitäts-
Theorie heißt dies, daß der im Erlaß konkretisierte Inhalt der dehnbaren Gesetzesnorm
gerade der Kern der Fuzzy-Menge der möglichen Steuerfolgen ist, für den die Möglich-
keitsdichte gleich 1 ist.
Wahlrechte für den Steuerpflichtigen bestehen vor allem bei steuerrechtlichen
Bewertungen. Schon aufgrund der Maßgeblichkeit der Handelsbilanz für die Steuerbilanz
im betrieblichen Bereich gilt für steuerliche Bewertungen im wesentlichen das in Abschnitt
4.2.1
155
zu handelsrechtlichen Bewertungen Gesagte. Dem handelsrechtlichen "beizulegen-
den Wert" und dem "nach vernünftiger kaufmännischer Beurteilung notwendigen Wert"
stehen im Steuerrecht die Begriffe des "Teilwerts" und des "gemeinen Werts" gegenüber.
Gemäß §
6 Z.1 EStG und § 12 BewG ist der ,,Teilwert ... der Betrag, den der Erwerber des
ganzen Betriebes im Rahmen des Gesamtkaufpreises für das einzelne Wirtschaftsgut
ansetzen würde; dabei ist davon auszugehen, daß der Erwerber den Betrieb fortführt." Daß
sich aus dieser Definition keine scharfen Werte ableiten lassen, versteht sich von selbst; in
der Literatur
156
werden dafür als ,,Teilwertvermutungen" bezeichnete Schätzverfahren,
welche auf Entscheidungen des Verwaltungsgerichtshofs beruhen, angeführt; die in der
Entscheidung vorgeschlagene Teilwertvermutung liegt dann jeweils im Kern der Fuzzy-
Menge der möglichen als Teilwert in Frage kommenden Werte. Neben den "Teilwert" tritt
der "gemeine Wert", dieser wird nach §
10 Abs 2 BewG ,,durch den Preis bestimmt, der im
gewöhnlichen Geschäftsverkehr nach der Beschaffenheit des Wirtschaftsgutes bei einer
Veräußerung zu erzielen wäre; dabei sind alle Umstände, die den Preis beeinflussen, zu
berücksichtigen." Für diesen ebenfalls unscharf umrissenen linguistischen Begriff gilt das
153
Solche Verwaltungsanweisungen (Erlässe) sind immer unverbindlich, da sie ansonsten aufgrund ihres
Charakters einer gesetzesergänzenden oder gar gesetzesändernden Norm, für welche nicht die Form des
Gesetzes oder der Verordnung gewählt wurde, wegen Formfehlers verfassungswidrig im Sinne von Art
18
BVG wären (vgl. Doralt/Ruppe (2001), S.
189).
154
Vgl. Voß (1992), S.
40.
155
Vgl. Abschnitt 4.2.1, S.
33 ff.
156
Vgl. etwa Doralt/Ruppe (2000), S.
140 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
59
Entscheidungsrelevante Daten
zu Markpreisen und Börsenkursen in den Abschnitten 4.2.1 und 4.2.3 Gesagte.
157
Eine
Verminderung der Unschärfe im Steuerrecht gegenüber dem Handelsrecht findet sich bei
den Vorgaben für Nutzungsdauern, so gelten etwa nach §
8 Abs 1 EStG Sondervorschriften
für die Nutzungsdauern von Gebäuden, ein derivativer Firmenwert ist nach §
8 Abs 3 EStG
zwingend auf 15 Jahre verteilt abzuschreiben.
158
Im Bereich des internationalen Steuerrechts gibt es Bandbreiten vor allem bei der
Abgrenzung von Gewinnen einzelner Betriebsstätten, welche in verschiedenen Staaten
gelegen sind. Gewinne sind gemäß Art
7 des OECD-Musterabkommens zur Vermeidung
von Doppelbesteuerung im Bereich der Ertrags- und Vermögensbesteuerung, welchem
viele Doppelbesteuerungsabkommen nachgebildet sind,
159
nach dem Prinzip des Dealing-
at-arm's-length der jeweiligen Betriebsstätte zuzuordnen und im jeweiligen Belegenheits-
staat zu versteuern.
160
Ähnliches gilt nach Art
9 des Musterabkommens für verbundene
Unternehmen innerhalb eines Konzerns.
161
Um das Prinzip des Arm's-length zu
realisieren, müssen für interne Leistungen zwischen den Unternehmensteilen bzw.
verbundenen Unternehmen "fremdübliche" Verrechnungspreise angesetzt werden.
162
Solche Formulierungen wie "Preise wie unter Fremden" oder "Preise nach dem Fremd-
vergleichsprinzip" sind ,,unbestimmt und auslegungsbedürftig",
163
,,die Methoden der
Verrechnungspreisermittlung können immer nur zu einer Bandbreite von gleichermaßen
zulässigen Beträgen führen. ... Die Bandbreite darf nicht durch eine Vermischung von
vergleichbaren und nicht vergleichbaren Transaktionen gebildet werden, da diese Trans-
aktionen hinsichtlich der Vergleichbarkeits- und Zuverlässigkeitsgrade auf verschiedenen
Ebenen einzustufen sind."
164
Bei einer Interpretation des "fremdüblichen" Preises als Fuzzy-Menge aus
möglichen Preisen liefert der letzte Satz geradezu eine Konstruktionsanleitung für die
Fuzzy-Menge. Die jeweilige Ebene der Vergleichbarkeit und Zuverlässigkeit liefert den
Zugehörigkeitsgrad des jeweiligen errechneten Vergleichspreises zur Fuzzy-Menge, Preise,
die mindestens den gleichen Grad an Vergleichbarkeit und Zuverlässigkeit aufweisen,
bilden die
-Schnitte der Fuzzy-Menge, während die aus den am besten vergleichbaren
Transaktionen errechneten Preise zu den im Kern liegenden gleichermaßen zulässigen
Beträgen führen. Die Bestimmung der Zugehörigkeitsgrade erfolgt mittels einer Ähnlich-
157
Vgl. Abschnitt 4.2.1, S.
36 und Abschnitt 4.2.3, S. 39 ff.
158
Vgl. Abschnitt 4.2.1, S.
36 f.
159
Vgl. Djanani (1998), S.
126.
160
Vgl. Djanani (1998), S.
162 f.
161
Vgl. Djanani (1998), S.
262 ff.
162
Zur Verrechnungspreisproblematik siehe etwa Djanani (1998), S.
275 ff.
Erste Grundsätze zur Bestimmung von Verrechnungspreisen wurden von der OECD 1979 aufgestellt. Als
Antwort auf die amerikanischen Final regulations aus dem Jahre 1994 wurden die OECD-Grundsätze im
Jahre 1995 neu überarbeitet und auf neue Bereiche erweitert.
163
Djanani (1998), S.
277.
164
Djanani (1998), S.
281.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
60
Entscheidungsrelevante Daten
keitsrelation
=~
~
R
165
unter den Vergleichstransaktionen. Zur Bestimmung der Preise der
Vergleichstransaktionen werden die üblichen Berechnungsmethoden angewandt.
166
Anstatt
der Entscheidung für eine Methode werden mehrere Preise nach verschiedenen Methoden
bestimmt, diesen wird aufgrund der Vergleichbarkeit der Transaktion ein Vergleichbar-
keitsgrad
(y)
[0,1] zugeordnet:
)
,
(
:
)
(
:
)
(
d
arkeitsgra
Vergleichb
~
~
y
x
y
y
R
=
=
=
wobei x den Preis der zu verrechnenden Transaktion und y der Preis der Vergleichstrans-
aktion ist. Zusätzlich kann ein Zuverlässigkeitsgrad
(y)
[0,1]
)
(
:
)
(
gkeitsgrad
Zuverlässi
y
y
=
für eine bestimmte Methode bestimmt werden. Den Zugehörigkeitsgrad des Vergleichs-
preises zur Fuzzy-Menge der möglichen Verrechnungspreise bestimmt sich dann als das
Minimum
167
aus Vergleichbarkeitsgrad und Zuverlässigkeitsgrad:
=
=
=
)}
(
),
(
min{
)}
d(
igkeitsgra
Zuverläss
),
d(
arkeitsgra
Vergleichb
min{
:
)
(
~
gspreis"
Verrechnun
"
y
y
ß
y
y
y
(4.6)
0
1
"Verrechnungspreis"
zulässiger Bereich
( )
y
Vergleichpreise
y
unzulässiger Bereich
Kern
unzulässiger Bereich
Ebenen gleicher
Vergleichbarkeit
und
Zuverlässigkeit
1
4
3
2
~
Abb. 4.24
Verrechnungspreis
als Fuzzy-Menge
165
Eine (binäre) Fuzzy-Relation ist definiert als eine unscharfe Teilmenge des zweidimensionalen Uni-
versums U
×U:
(
)
{
}
[ ]
1
,
0
)
,
(
,
U
U
)
,
(
),
,
(
~
~
~
=
y
x
y
x
y
x
y
x
R
R
R
Eine binäre Fuzzy-Relation heißt (unscharfe) Ähnlichkeitsrelation
=~
~
R
wenn sie reflexiv (
1
)
,
(
~
=
x
x
R
U
x
) und symmetrisch (
)
,
(
)
,
(
~
~
x
y
y
x
R
R
=
U
,
y
x
) ist.
Vgl. Comploj (1994), S.
49 ff. und S. 65 ff., Zadeh (1971), S. 421 ff., Zadeh(1975a), S. 2 ff., Bandemer/
Näther (1992), S.
64 f., Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S. 48 ff., Bandemer/Gottwald (1993), S. 34 f.
166
Die OECD unterscheidet zwischen zwei Gruppen von zulässigen Methoden zur Bestimmung von
Verrechnungspreisen, nämlich den geschäftsfallbezogenen Standardmethoden (Preisvergleichsmethode,
Wiederverkaufspreismethode, Kostenaufschlagsmethode) und den geschäftsfallbezogenen Gewinn-
methoden (Gewinnteilungsmethode, geschäftsfallbezogene Nettomargenmethode). Weitere Methoden die
aufgrund ihrer mangelnden Fremdvergleichskonformität von der OECD abgelehnt werden, kommen in
den USA zur Anwendung.
Vgl. Djanani (1998), S.
282 ff.
167
Anstatt des Minimums kann auch eine andere
t-Norm (vgl. Abschnitt 5.1, S.
66) zur Anwendung kommen.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
61
Entscheidungsrelevante Daten
Die zweite Gruppe der unscharfen Bestimmungen umfaßt Regelungen, die den
Finanzbehörden Spielräume einräumen, sie sind dort anzutreffen, wo die Abgabenbehörden
Entscheidungen nach ihrem Ermessen zu treffen haben.
168
,,Ermessensentscheidungen
müssen sich" nach §
20 BAO ,,an die Grenzen halten, die das Gesetz dem Ermessen zieht.
Innerhalb dieser Grenzen sind Ermessensentscheidungen nach Billigkeit und Zweck-
mäßigkeit unter Berücksichtigung aller in Betracht kommenden Umstände zu treffen."
Durch diese Definition des §
20 BAO sind bereits einige Anweisungen zur
Konstruktion einer Fuzzy-Menge aus den in Betracht kommenden Möglichkeiten
vorgegeben. Der Träger wird durch die jeweiligen gesetzlichen Grenzen vorgegeben, durch
die (ebenfalls linguistischen) Begriffe der Billigkeit und Zweckmäßigkeit werden
verschiedene Zugehörigkeitsgrade innerhalb des Trägers differenziert. Billigkeit bezieht
sich auf das berechtigte Interesse des Steuerpflichtigen als Partei, Zweckmäßigkeit auf das
öffentliche Interesse zur Einbringung der Abgabe.
169
Billigkeit und Zweckmäßigkeit
können als Funktionen auf dem Träger der Fuzzy-Menge der möglichen Steuerfolgen
interpretiert werden, die konkrete Gestalt dieser Funktionen kann nur jeweils für den
Einzelfall entschieden werden, und zwar ,,unter Berücksichtigung aller in Betracht
kommenden Umstände". Den Kern der Fuzzy-Menge bildet schließlich ein gemeinsames
Maximum von Billigkeits- und Zweckmäßigkeitsfunktion, als Kombinationsregel kommen
verschiedene Operatoren in Frage, etwa Summe, Produkt oder Minimum der beiden. Die
folgende Abbildung zeigt die Fuzzy-Menge möglicher Ermessensentscheidungen mit der
Zugehörigkeitsfunktion:
)}
gkeit(
Zweckmäßi
,
)
(
Billigkeit
min{
max
)}
gkeit(
Zweckmäßi
,
)
(
Billigkeit
min{
e
Steuerfolg
mögliche
ist
g"
ntscheidun
Ermessense
"
)
(
y
y
x
y
x
x
=
(4.7)
wobei die Division durch das Maximum, ähnlich wie in Abschnitt 4.2.2
170
, lediglich zu
Normierungszwecken erfolgt.
mögliche Steuerfolgen
Steuerfolgen innerhalb der gesetzlichen Grenzen
Billigkeit
Zweckmäßigkeit
mögliche Steuerfolgen
Steuerfolgen innerhalb der gesetzlichen Grenzen
)}
gkeit(
Zweckmäßi
,
)
(
Billigkeit
min{
max
)}
gkeit(
Zweckmäßi
,
)
(
Billigkeit
min{
)
(
g"
ntscheidun
Ermessense
"
x
x
x
x
x
=
0
1
Abb. 4.25 Fuzzy-Menge der billigen und zweckmäßigen Ermessensentscheidungen
168
Vgl. auch Daumann (1991), S.
267 f.
169
Vgl. Doralt/Ruppe (2001), S.
184 f., Posch/Lexa (1993), S. 48.
170
Vgl. Abschnitt 4.2.2, S.
38.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
62
Entscheidungsrelevante Daten
Typische Ermessensbestimmungen sind solche, bei denen den Behörden im Bereich
der anzuwendenden Rechtsfolge ein Spielraum gewährt wird. Eine Verfeinerung läßt sich
noch treffen durch die Einteilung in gebundenes Ermessen und freies Ermessen,
171
wobei
beim gebundenen Ermessen der Behörde im jeweiligen Abgabengesetz genau vorge-
schrieben wird, wie sie ihr Ermessen zu üben hat. Somit lassen sich aus den Paragraphen,
in denen gebundenes Ermessen eingeräumt wird, wesentlich exaktere Anweisungen zur
Konstruktion der betreffenden Fuzzy-Menge ableiten, als dies bei freien Ermessens-
entscheidungen der Fall ist.
Beispiel für eine Bestimmung gebundenden Ermessens ist §
9 Abs 2 GebG, die den
Abgabenbehörden bei nicht ordnungsgemäßer Gebührenentrichtung oder nicht ordnungs-
gemäßer Gebührenanzeige eine Erhöhung der zu entrichtenden Gebühren einräumt. Dabei
ist genau angeführt, für welche Gebühren welche Erhöhung maximal zulässig ist. Bereits in
§
9 Abs 1 wird für bestimmte Gebühren gesetzlich eine Straferhöhung um 50% festgelegt,
zusätzlich zu diesen kann die Behörde bis zu weiteren 50% einheben, für alle anderen
Gebühren beträgt die Bandbreite der Straferhöhung von 0 bis 100%.
Somit kann der Abgabenpflichtige bereits aus dem Gesetz den Träger der Fuzzy-
Menge der erhöhten Gebühr unverzüglich ableiten:
¯
®
=
sonst
]
0
.
2
,
0
.
1
[
1
Abs
9
§
lt.
Geb.
für
2.0]
[1.5,
Gebühr
ursprüngl.
)
Gebühr
erhöhte
supp(
~
(4.8)
Auch für die Zughörigkeitsgrade der einzelnen Werte liefert §
9 Abs 2 Anhaltspunkte,
insbesondere sind dabei der Zeitpunkt der verspäteten Anzeige, die Frage der Tatwieder-
holung, sowie die (wahrscheinliche) Rechtskenntnis des Schuldners zu berücksichtigen:
(
)
Schuldner
olung
Tatwiederh
Anzeige
Gebühr
erhöhte
Gebühr
erhöhte
,
,
~
)
(
~
K
n
t
x
x
=
(4.9)
Freies Ermessen liegt etwa vor in der Generalklausel zur Vermeidung von Doppel-
besteuerungen des §
48 BAO: ,,Das Bundesministerium für Finanzen kann bei
Abgabepflichtigen, die der Abgabenhoheit mehrerer Staaten unterliegen, soweit dies zur
Ausgleichung der in- und ausländischen Besteuerung oder zur Erzielung einer den den
Grundsätzen der Gegenseitigkeit entsprechenden Behandlung erforderlich ist, anordnen,
bestimmte Gegenstände ganz oder teilweise aus der Abgabenpflicht auszuscheiden oder
ausländische, auf solche Gegenstände entfallende Abgaben ganz oder teilweise auf die
inländischen Abgaben anzurechnen."
Auch hier sind die Extrempositionen der möglichen Steuerfolgen und somit der
Träger der Fuzzy-Menge bestimmbar, allerdings kann das Intervall nicht mehr direkt aus
dem Gesetzesparagraphen abgeleitet werden, sondern es sind umfangreiche sachverhalts-
spezifische Berechnungen nötig. Das Maximum des Trägers ist die volle Steuerbelastung
171
Vgl. Posch/Lexa (1993), S.
48.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
63
Entscheidungsrelevante Daten
ohne Milderungsmaßnahme. Das Minimum des Trägers erhält man durch Berechnung der
Steuerbelastung bei gänzlicher Ausscheidung der ausländischen Besteuerungsgegenstände
(im allgemeinen unter Progressionsvorbehalt) und bei voller Anrechnung der ausländischen
Abgaben und Bestimmung des Minimums der beiden errechneten Beträge:
g
erbelastun
Gesamtsteu
stung
Steuerbela
Steuer}
he
ausländisc
g
erbelastun
Gesamtsteu
halt,
Prog.vorbe
m.
Satz
grdl.
Bemessungs
inländ.
min{
stung
Steuerbela
0
0
=
-
×
=
>
>
(4.10)
Auch für die Konstruktion der Zugehörigkeitsfunktion der Fuzzy-Menge bietet §
48 BAO
nur sehr vage Anhaltspunkte, deren Auslegung eine sehr genaue Kenntnis der bestehenden
Doppelbesteuerungsabkommen sowie der geübten Praxis der einzelnen Staaten voraus-
setzt. Die Ausgleichung der in- und ausländischen Steuer zielt prinzipiell darauf ab, den
Zustand herzustellen, der bei Bestehen eines Doppelbesteuerungsabkommens üblich wäre,
auch wenn ein solches fehlt.
172
Die Herstellung von Gegenseitigkeitsverhältnissen räumt
Milderungen der Steuerbelastung ein, wenn der andere Staat im umgekehrten Fall diese
Milderung ebenfalls gewähren würde.
173
Insbesondere ist dabei zu erwägen, ob Freistellung
oder Anrechnung zur Anwendung kommen soll:
(
)
Staat
anderer
DBA
stung
Steuerbela
stung
Steuerbela
,
~
)
(
~
z
y
x
x
=
(4.11)
Neben die Bestimmungen, die sich in der Formulierung der Rechtsfolge unscharfer
Begriffe bedienen, treten Bestimmungen, deren Tatbestand unscharfe Merkmale umfaßt.
174
Typischer Anwendungsfall dieser Kategorie unscharfer Normen sind Anti-Mißbrauchs-
bestimmungen. Hier sind solche dehnbaren Formulierungen sehr wesentlich, da nur durch
sie Mißbrauch von Formen und Gestaltungsmöglichkeiten tatsächlich unterbunden und
sanktioniert werden kann, sobald scharfe Grenzen gegeben sind, ist Umgehung der
Mißbrauchsbestimmung leicht gemacht und die Bestimmung wird praktisch sinnlos.
175
172
Vgl. Djanani (1998), S.
99.
173
Vgl. Djanani (1998), S.
100.
174
Daumann (1991), S.
266 f. subsumiert in seiner Abgrenzung unter dem Begriff der tatbestandsseitig
unscharfen Bestimmungen nur die Bestimmungen, die, gemäß der Einteilung in dieser Arbeit dem Steuer-
pflichtigen ein Wahlrecht einräumen; die in dieser Arbeit als tatbestandsseitig unscharf charakterisierten
Bestimmungen bezeichnet er dagegen nach seiner Notation als Generalklauseln.
175
Sehr allgemeine Angaben über Mißbrauch und Scheingeschäfte finden sich in §§
21-23 BAO. Nach § 21
Abs
1 BAO ist ,,für die Beurteilung abgabenrechtlicher Fragen in wirtschaftlicher Betrachtungsweise ...
der wahre wirtschaftliche Gehalt und nicht die äußere Erscheinungsform des Sachverhalts maßgebend."
Nach §
22 Abs 1 BAO kann die Abgabenpflicht durch ,,Mißbrauch von Formen und Gestaltungs-
möglichkeiten des bürgerlichen Rechts ... nicht umgangen oder gemindert werden." Nach §
23 Abs 1
BAO schließlich sind ,,Scheingeschäfte und andere Scheinhandlungen ... für die Erhebung von Abgaben
ohne Bedeutung. Wird durch ein Scheingeschäft ein anderes Rechtsgeschäft verdeckt, so ist das verdeckte
Rechtsgeschäft für die Abgabenerhebung maßgebend." Aus diesen vagen Formulierungen, die bewußt so
allgemein gehalten sind, um ein breites Anwendungsspektrum zu ermöglichen, lassen sich noch keine
Anleitungen für die Konstruktion von Fuzzy-Mengen ableiten.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
64
Entscheidungsrelevante Daten
Ein Beispiel für eine Anti-Mißbrauchsbestimmung, in der Unschärfe sehr stark aus-
geprägt ist, ist §
10 Abs 3 KStG in Verbindung mit der VO 1995/57 zu § 10 Abs 3 KStG.
Beteilungserträge aus einer internationalen Schachtelbeteiligung gemäß §
10 Abs 2 KStG
sind dann nicht von der Körperschaftsteuer befreit,
176
sondern die ausländische Steuer wird
auf die inländische angerechnet, wenn entweder alle drei der folgenden Merkmale
gemeinsam vorliegen (§
1 Abs 1 Z 1 der VO) oder mindestens zwei besonders stark
ausgeprägt sind und das dritte zumindest annähernd verwirklicht wird (§
1 Abs 1 Z 2 der
VO), d.h. wenn
-
der Unternehmensschwerpunkt der ausländischen Gesellschaft unmittelbar oder
mittelbar darin besteht, Einnahmen aus Zinsen, Lizenzen und Beteiligungs-
veräußerungen zu erzielen,
-
das Einkommen der ausländischen Gesellschaft keiner der österreichischen
Körperschaftsteuer vergleichbaren ausländischen Steuer unterliegt,
-
nicht nachgewiesen wird, daß an der Körperschaft unmittelbar oder mittelbar
überwiegend natürliche Personen beteiligt sind, bei denen das Besteuerungsrecht
der Republik Österreich hinsichtlich der Einkommensteuer im Verhältnis zu
anderen Staaten eingeschränkt ist.
Bereits im Gesetzestext finden sich zahlreiche unscharfe Begriffe, die für Inter-
pretationen Spielraum geben und somit eine weite Anwendung ermöglichen: Unter-
nehmensschwerpunkt, vergleichbare Steuer, überwiegende Beteiligung. Dazu kommt, daß
der Gesetzesparagraph lediglich eine Verordnungsermächtigung an den Bundesminister für
Finanzen zur Verhinderung von Mißbräuchen enthält, welche ,,inbesondere dann
angenommen werden" können, wenn die oben genannten Merkmale erfüllt sind.
In der VO 1995/57 findet sich zwar keine Erläuterung der in den Merkmalen
vorkommenden linguistischen Begriffe, aus der Verordnung läßt sich aber eine Anweisung
für die Konstruktion einer dreidimensionalen Fuzzy-Menge aus den drei Merkmalen
ableiten. Zur Vereinfachung soll in der anschließenden Betrachtung von der Fuzziness der
Merkmale selbst abgesehen und ein scharfer Schwellenwert für die Merkmalserfüllung
angenommen werden.
177
176
Bei Beteiligung einer buchführungspflichtigen inländischen Körperschaft an einer ausländischen, einer
Kapitalgesellschaft vergleichbaren Gesellschaft zu mindestens 25% seit mindestens 2 Jahren sind
Gewinnanteile und Veräußerungsgewinne von der Körperschaftsteuer befreit.
177
Eigentlich müßte auch die hier scharf dargestellte Erfüllung des Merkmals eine Fuzzy-Menge sein.
Unscharf ist hier etwa, ab welchem Verhältnis zwischen passiven und operativen Einkünften von einem
,,Unternehmensschwerpunkt" gesprochen werden kann, oder ab welchem Steuersatz von einer ,,der öster-
reichischen KSt vergleichbaren Steuer" gesprochen werden kann.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
65
Entscheidungsrelevante Daten
0
1
1
"Merkmal erfüllt"
Schwellenwert
( )
x
Merkmalsausprägung
x
a)
0
1
"Merkmal stark ausgeprägt"
Schwellenwert
( )
x
Merkmalsausprägung
x
b)
0
1
"Merkmal annähernd verwirklicht"
Schwellenwert
( )
x
Merkmalsausprägung
x
c)
Abb. 4.26
Zugehörigkeitsfunktionen bei
a) Erfüllung,
b) starker Ausprägung,
c) annähernder Verwirklichung
eines Merkmals
Ferner gehe man aus von folgenden Definitionen. Die drei oben angeführten
Merkmale seien formal durch folgende Abkürzungen repräsentiert:
=
:
A
Unternehmensschwerpunkt passive Einkünfte
=
:
B
keine ausländische Körperschaftsteuer
=
:
C
Beteiligung unbeschränkt steuerpflichtiger natürlicher Personen
Die Ausprägungsstärke der Merkmale werde formal, wie folgt, wiedergegeben:
=
:
X
Merkmal erfüllt
=
+
:
~
X
Merkmal stark ausgeprägt
=
-
:
~
X
Merkmal annähernd verwirklicht
für
C
B,
A,
=
X
. Insgesamt erhält man für §
10 Abs 3 KStG in Verbindung mit der VO
1995/57 die folgende Fuzzy-Menge:
(
)
(
)
(
) (
)
+
+
-
+
-
+
-
+
+
×
×
=
C
~
B
~
A
~
C
~
B
~
A
~
C
~
B
~
A
~
C
B
A
Mißbrauch
~
(4.12)
wobei
die Vereinigung von Fuzzy-Mengen
178
und
das kartesische Produkt von Fuzzy-
Mengen
179
ist.
178
Siehe Abschnitt 5.1, S.
66 ff.
179
Siehe Abschnitt 5.2, S.
69 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
66
Fuzzy-Rechenoperationen
5 Rechenoperationen mit Fuzzy-Mengen
Wie mit gewöhnlichen (scharfen) Mengen können auch mit Fuzzy-Mengen sowohl
mengentheoretische Operationen als auch arithmetische Operationen durchgeführt werden.
5.1 Mengenoperationen mit Fuzzy-Mengen;
t-Normen - t-Conormen
Die Basisverknüpfungen in der Mengenlehre, Durchschnitt, Vereinigung und Kom-
plement, werden verallgemeinert, daß die auf Fuzzy-Mengen anwendbar sind.
Gegeben seien zwei unscharfe Mengen A und B definiert durch ihre Zugehörig-
keitsfunktionen
( )
A
x und
( )
B
x . Uns interessiert nun die Zugehörigkeitsfunktion des
Durchschnitts von A und B. Dazu wird der aus der mehrwertigen Logik bekannte Begriff
der t-Norm (triangulären Norm) verwendet.
Definition
: Eine Funktion T:
,
,
,
0 1
0 1
0 1
×
heißt t-Norm, wenn für alle a b c
, ,
,
0 1
folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i)
( )
a
a
=
1
,
T
(neutrales Element 1)
(ii)
( ) ( )
c
b
c
a
b
a
,
,
T
T
(Monotonie - nicht-fallend)
(iii)
( ) ( )
a
b
b
a
,
,
T
T
=
(Kommutativität)
(5.1)
(iv)
( )
(
)
( )
(
)
c
b
a
c
b
a
,
,
,
,
T
T
T
T
=
(Assoziativität)
Die erste, bereits von Zadeh
1
verwendete, t-Norm ist die sog. Minimumnorm:
( )
{ }
b
a
b
a
,
min
:
,
min
=
T
(5.2)
Der Durchschnitt zweier Fuzzy-Mengen wird gemäß der verwendeten t-Norm definiert:
A
B
T
ist gegeben durch die Zugehörigkeitsfunktion:
(
)
)
(
),
(
:
)
(
B
~
A
~
B
~
A
~
x
x
x
T
T
=
(5.3)
Stattdessen schreiben wir auch:
A
B
( )
( )
=
T
A
B
x
x
T
(5.4)
Analog zur t-Norm ist die t-Conorm definiert:
Definition
: Eine Funktion
×
: ,
,
,
0 1
0 1
0 1
heißt t-Conorm, wenn sie für alle
a b c
, ,
,
0 1 folgende Eigenschaften erfüllt:
(i)
( )
a
a
=
0
,
(neutrales Element 0)
(ii)
( ) ( )
c
b
c
a
b
a
,
,
(Monotonie - nicht-fallend)
(iii)
( ) ( )
a
b
b
a
,
,
=
(Kommutativität)
(5.5)
(iv)
( )
(
)
( )
(
)
c
b
a
c
b
a
,
,
,
,
=
(Assoziativität)
1
Vgl. Zadeh (1965), S.
341.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
67
Fuzzy-Rechenoperationen
Um eine Beziehung zwischen t-Normen und t-Conormen herzustellen, benötigen
wir noch die Definition eines Komplements bzw. einer Negation:
Definition
: Eine Funktion n:
,
0,1
0 1 heißt Negation, wenn gilt:
(i)
n
n
( )
, ( )
0
1
1
0
=
=
(5.6)
(ii)
a
b
n a
n b
( )
( )
(Monotonie - nicht-wachsend)
Am häufigsten verwendet wird die von Zadeh
2
eingeführte Negationsfunktion:
n a
a
( )
= -
1
(5.7)
Das Komplement A
C
einer unscharfen Menge A hat die Zugehörigkeitsfunktion:
(
)
)
(
:
)
(
A
~
A
~
x
n
x
C
=
(5.8)
Im Fall der Negationsfunktion (5.7) erhalten wir:
( )
( )
A
A
C
x
x
= -
1
(5.9)
Definition
: Eine t-Conorm
heißt die zur t-Norm
T
bezüglich der Negation n duale t-Co-
norm, wenn gilt:
( )
(
)
(
)
)
(
),
(
:
,
b
n
a
n
n
b
a
n
T
=
(5.10)
Wenn man lediglich von der zur t-Norm
T
dualen t-Conorm
spricht, so ist die
bezüglich der Negation (5.7) duale gemeint:
( )
(
)
b
a
b
a
-
-
-
=
1
,
1
1
,
T
(5.11)
Nun kann die zum Durchschnitt
T
(5.3) duale Vereinigung
unscharfer
Mengen gebildet werden: A
B
ist gegeben durch:
(
)
)
(
),
(
:
)
(
B
~
A
~
B
~
A
~
x
x
x
=
(5.12)
Analog zur Schreibweise in (5.4) erhalten wir:
A
B
( )
( )
=
A
B
x
x
(5.13)
Die zur Minimumnorm (5.2) duale Maximumconorm wurde ebenfalls von Zadeh
3
eingeführt und ist die häufigste t-Conorm:
{ }
b
a
b
a
,
max
:
)
,
(
max
=
(5.14)
Somit erhalten wir die häufigste Form der Bildung von Durchschnitt und Vereinigung von
Fuzzy-Mengen:
{
}
)
(
)
(
:
)
(
),
(
min
)
(
:
B
~
A
~
B
~
min
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
min
min
x
x
x
x
x
=
=
(5.15)
{
}
)
(
)
(
:
)
(
),
(
max
)
(
:
B
~
A
~
B
~
max
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
max
max
x
x
x
x
x
=
=
(5.16)
2
Vgl. Zadeh (1965), S.
340.
3
Vgl. Zadeh (1965), S.
340 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
68
Fuzzy-Rechenoperationen
Ein ebenfalls wichtiges
4
Paar von t-Norm und dualer t-Conorm ist:
( )
b
a
b
a
=
,
alg
T
(algebraisches Produkt)
(5.17)
( )
b
a
b
a
b
a
-
+
=
,
alg
(algebraische Summe)
(5.18)
Neben den erwähnten t-Normen und t-Conormen gibt es zahlreiche weitere, welche
vor allem für den Bereich Fuzzy-Logik von Bedeutung sind, auf welche hier jedoch nicht
eingegangen werden soll.
5
Als letzte mengentheoretische Operation soll noch die Teilmenge einer unscharfen
Menge definiert werden
6
.
Definition
: Seien
)
(
bzw.
)
(
mit
)
U
(
B
~
,
A
~
B
~
A
~
x
x
-
. A heißt Teilmenge von B:
U
)
(
)
(
:
B
~
A
~
B
~
A
~
x
x
x
(5.19)
Aufgrund dieser Definition können wir die konvexe Hülle coA
~
einer Fuzzy-Menge als
die kleinste konvexe Fuzzy-Menge, die
~
A als Teilmenge enthält, charakterisieren:
{
}
B
~
A
~
konvex
B
~
(U)
B
inf
A
~
co
=
-
A
~
B
~
a)
A
~
B
~
b)
A
~
C
c)
A
~
B
~
d)
Abb. 5.1 a) Durchschnitt und b) Vereinigung von Fuzzy-Mengen, c) Komplement und
d) Teilmenge einer Fuzzy-Menge
4
Speziell für die Konstruktion von Fuzzy-Vektoren ist vor allem das algebraische Produkt (5.17) unter der
Bezeichnung Produktnorm als Alternative zur Minimumnorm wichtig (siehe Abschnitt 5.2, S.
69 f.).
5
Ausführliche Zusammenstellungen von t-Normen und t-Conormen findet sich unter anderem bei Kruse/
Gebhardt/Klawonn (1993), S.23ff., Bandemer/Näther (1992), S.
15 ff., Bandemer/Gottwald (1993),
S.
43 ff., Comploj (1994), S. 18 ff., Hauke (1998), S. 49 ff.
6
Weitere Mengenoperationen mit Fuzzy-Mengen werden bei Dubois/Prade (1992), S.
42 ff. behandelt.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
69
Fuzzy-Rechenoperationen
5.2 Mehrdimensionale Fuzzy-Mengen, kartesisches Produkt von
Fuzzy-Mengen, Fuzzy-Vektoren
Bis jetzt ging es immer um eindimensionale Grundmengen (IR , ZZ , IN ) . Nun stellt
sich die Frage, wie unscharfe Teilmengen mehrdimensionaler Grundmengen (IR )
n
zu
konstruieren sind, es geht also darum, das kartesische Produkt aus Fuzzy-Mengen zu
bilden.
7
Dazu bildet man zunächst die zylindrische Extension von Fuzzy-Mengen.
Definition
: Seien U
1
, U
2
Grundmengen und
)
(
mit
)
U
(
A
~
1
A
~
1
x
-
. Die Menge A x U
2
heißt zylindrische Extension oder Zylindererweiterung von A nach U
U
1
2
×
(
)
A
~
2
1
2
1
:
U
U
,
:
×
x
x
x U
A
2
( ,
)
( )
x x
x
1
2
1
=
(5.20)
x
x
2
1
( )
x
~
x
A U
Abb. 5.2
Zylindrische Extension
Es ist naheliegend, das kartesische Produkt zweier Fuzzy-Mengen als den
Durchschnitt zweier Zylindererweiterungen zu definieren.
Definition
: Seien U , U
1
2
Universen,
)
(
mit
)
U
(
A
~
1
A
~
1
1
x
-
,
)
U
(
A
~
2
2
-
mit
(
)
A
2
x
2
,
A
1
x U
2
und U
1
x A
2
die Zylinderextensionen von A
1
und A
2
nach U
U
1
2
×
.
(i) Dann heißt A
A
1
2
T
unscharfes kartesisches Produkt aus A
1
und A
2
bezüglich
der t-Norm
T
(
1
2
1
A
~
A
~
A
~
:
=
T
x
) (
1
2
U
U
T
x
)
2
A
~
(5.21)
(
~
~
~
( ,
)
A
A
A
1
2
1
=
T
x x
1
2
T
x U
U
2
1
( ,
),
x x
1
2
x
) (
)
~
~
~
( ,
( ),
( )
A
A
A
2
1
2
x x
x
x
1
2
1
2
=
T
(5.22)
(ii) A
A
1
2
heißt unscharfes kartesisches Produkt aus A
1
und A
2
(
1
2
1
A
~
A
~
A
~
:
=
x
)
(
1
min
2
U
U
x
)
2
A
~
(5.23)
d.h.
(
)
)
(
),
(
min
)
,
(
2
A
~
1
A
~
2
1
A
~
A
~
2
1
2
1
x
x
x
x
=
(5.24)
Bemerkung: Auch die Produktnorm
T
alg
(5.17) dient zur Bildung des kartesischen Produkts
alg
A
A
1
2
T
ist gegeben durch
alg
( ,
)
( )
(
)
A
A
A
A
1
2
1
2
=
T
x x
x
x
1
2
1
2
(5.25)
7
Siehe auch Bandemer/Näther (1992), S.
21 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
70
Fuzzy-Rechenoperationen
Ein unscharfer Vektor ist das höherdimensionale Analogon zur unscharfen Zahl, ein
unscharfer Vektor ist somit eine unscharfe Teilmenge des IR
n
.
Definition
: Eine Fuzzy-Menge
)
R
I
(
~
n
-
A
mit
~
( ,...,
)
A
x
x
n
1
heißt unscharfer Vektor
(Fuzzy-Vektor) auf IR
n
:
A ist normal (2.12), konvex (2.13) und unimodal (2.14).
Bemerkung: Manchmal werden unscharfe Vektoren auch als unscharfe Punkte bezeichnet.
Eine sehr wichtige Form von unscharfen Vektoren ist das kartesische Produkt aus
unscharfen Zahlen. Schreibweise:
A
=
A
A
... A
1
2
n
:
{
}
)
(
),...,
(
min
)
,...,
(
A
~
1
A
~
1
~
1
n
n
x
x
x
x
n
=
A
(5.26)
Auch das kartesische Produkt aus unscharfen Zahlen bezüglich anderer t-Normen
liefert unscharfe Vektoren, so die Produktnorm. Allgemeine Schreibweise:
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
),
(
...
),
(
:
)
(
),...,
(
)
,...,
(
(4.27)
:
A
~
...
A
~
A
~
~
A
~
1
A
~
1
A
~
A
~
1
A
~
1
~
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
-
-
=
=
=
T
T
T
T
T
T
T
A
A
x
x
1
2
A
1
~
( )
x
x A
~
2
A
1
~
x
x
1
2
( )
x
x
A
~
2
Talg
Abb. 5.3 Zweidimensionale Fuzzy-Vektoren: pyramidenförmig bzw. kegelförmig
(Kartesisches Produkt aus Fuzzy-Zahlen mittels Minimum- bzw. Produktnorm)
Die
-Schnitte von unscharfen Vektoren können unterschiedliche Gestalt haben. Im
Fall des zweidimensionalen pyramidenförmigen Fuzzy-Vektors erhält man rechteckige
-
Schnitte, im allgemeinen n-dimensionalen Fall (5.26) erhält man n-dimensionale parallel-
epipedförmige
-Schnitte. Im Fall n-dimensionaler kegelförmiger oder ellipsoidförmiger
Fuzzy-Vektoren haben die
-Schnitte die Form von n-dimensionalen Ellipsoiden.
0
1
x
x
1
2
0
1
x
x
1
2
Abb. 5.4 Rechteckige bzw. ellipsenförmige
-Schnitte
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
71
Fuzzy-Rechenoperationen
In den hier besprochenen Fällen sind die
-Schnitte immer konvexe (scharfe)
Teilmengen
der
Grundmenge.
(Eine
scharfe
Menge
A
heißt
konvex,
wenn
+ -
x y
x
y
,
, :
(
)
A,
A
0 1
1
.)
Im Fall einer zweidimensionalen unscharfen Menge über einer diskreten
Grundmenge kann die äußerst praktische Darstellungsform der Niveautabelle angewandt
werden.
y
6
)
,
(
6
1
~
y
x
A
)
,
(
6
2
~
y
x
A
)
,
(
6
3
~
y
x
A
)
,
(
6
4
~
y
x
A
)
,
(
6
5
~
y
x
A
)
,
(
6
6
~
y
x
A
y
5
)
,
(
5
1
~
y
x
A
)
,
(
5
2
~
y
x
A
)
,
(
5
3
~
y
x
A
)
,
(
5
4
~
y
x
A
)
,
(
5
5
~
y
x
A
)
,
(
5
6
~
y
x
A
y
4
)
,
(
4
1
~
y
x
A
)
,
(
4
2
~
y
x
A
)
,
(
4
3
~
y
x
A
)
,
(
4
4
~
y
x
A
)
,
(
4
5
~
y
x
A
)
,
(
4
6
~
y
x
A
=
A
~
y
3
)
,
(
3
1
~
y
x
A
)
,
(
3
2
~
y
x
A
)
,
(
3
3
~
y
x
A
)
,
(
3
4
~
y
x
A
)
,
(
3
5
~
y
x
A
)
,
(
3
6
~
y
x
A
(5.28)
y
2
)
,
(
2
1
~
y
x
A
)
,
(
2
2
~
y
x
A
)
,
(
2
3
~
y
x
A
)
,
(
2
4
~
y
x
A
)
,
(
2
5
~
y
x
A
)
,
(
2
6
~
y
x
A
y
1
)
,
(
1
1
~
y
x
A
)
,
(
1
2
~
y
x
A
)
,
(
1
3
~
y
x
A
)
,
(
1
4
~
y
x
A
)
,
(
1
5
~
y
x
A
)
,
(
1
6
~
y
x
A
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
Zweidimensionale Fuzzy-Mengen werden graphisch häufig als Grautonbilder
dargestellt.
8
Der Kern ist schwarz und die verschiedenen Grautöne geben die verschiedenen
Zugehörigkeitsgrade wieder. Sie können als Röntgenbilder der dreidimensionalen
Darstellung von zweidimensionalen Fuzzy-Mengen interpretiert werden. Die Übersetzung
erfolgt nach folgenden Regeln:
x
ist schwarz
=
A
( )
x
1
x
ist weiß
=
A
( )
x
0
x
1
ist heller grau als x
2
A
A
( )
(
)
x
x
1
2
Abb. 5.5 Grautonbilder, welche zweidimensionale Fuzzy-Mengen darstellen
8
Vgl. Kraut (1992), S.
116 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
72
Fuzzy-Rechenoperationen
5.3 Arithmetik mit Fuzzy-Mengen, das Extensionsprinzip
5.3.1 Das Extensionsprinzip und die vier Grundrechnungsarten
Bevor wir uns der Arithmetik mit Fuzzy-Mengen zuwenden, soll das Prinzip der
arithmetischen Operationen für gewöhnliche (scharfe) Mengen (sog. Minkowski-
Operationen) erläutert werden.
Sei * eine Operation von zwei Objekten aus einer Grundmenge U, und seien A und
B (scharfe) Teilmengen von U. Dann ist
{
} {
}
B
A
)
,
(
B
A
B
A
×
=
=
b
a
b
a
b
a
b
a
{
(5.29)
Für eine n-stellige Operation
:
V
U
n
,
(
)
(
)
n
n
a
a
a
a
,...,
,...
1
1
und n Teil-
mengen A ,...A
U,
1
1
n
n
lautet die Minkowski-Operation:
*
(
)
(
)
{
}
n
n
n
n
a
a
a
a
A
,...,
A
,...,
A
,...,
A
1
1
1
1
=
(
)
{
}
n
n
n
a
a
a
a
A
...
A
)
,...
(
,...,
1
1
1
×
×
=
Das Prinzip der Minkowski-Operationen sollen nun für unscharfe Mengen
verallgemeinert werden:
Sei zunächst
( )
a
b
a
=
V,
U
:
eine einstellige Abbildung der Grundmenge
U in die Grundmenge V. Nun sei statt des scharfen Elementes a
U eine unscharfe
Teilmenge A von U gegeben. Es ist einleuchtend, daß man bei Anwendung von
auf A
wieder eine unscharfe Menge B erhält.
Ist
injektiv, so ist es naheliegend, als Zugehörigkeitsfunktion von B jene des
Urbildes heranzuziehen. Somit ist für
( )
x
y
=
bzw.
( )
y
x
1
-
=
:
( )
A
~
B
~
=
mit
(
)
)
(
)
(
)
(
A
~
1
)
B
~
(
B
~
1
x
y
y
=
=
-
-
(5.30)
Wird eine Operation
auf eine unscharfe Menge angewandt, so schreiben wir
, wird
auf scharfe Mengen angewandt, so schreiben wir
.
Interessanter ist der Fall einer nicht-injektiven Abbildung
. Es ist einleuchtend, als
Urbild
-1
( )
y
die Vereinigung aller unscharfen Einzelpunkte zu betrachten, für die
( )
x
y
= gilt. Ein unscharfer Einzelpunkt ist ein einzelnes Element x aus der Grundmenge
U mit seinem Zugehörigkeitsgrad
A
( )
,
x
0 1 zur unscharfen Menge A :
(
)
)
(
,
A
~
x
x
(5.31)
Die
Vereinigung wird mittels einer t-Conorm (5.5) gebildet, meist mit der
Maximumconorm (5.14), aber auch andere t-Conormen sind möglich. Da nicht immer ein
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
73
Fuzzy-Rechenoperationen
Maximum existiert, gibt man allgemeiner das Supremum der Zugehörigkeitsgrade als
Zugehörigkeitsgrad der Vereinigung an, man spricht daher auch von der sup-Vereinigung.
Man erhält also:
( )
( )
)
(
sup
)
(
)
(
mit
A
~
B
~
A
~
)
(
:
U
A
~
B
~
x
y
y
y
x
x
=
=
=
=
(5.32)
Ist allgemein
eine n-stellige Operation, so bedeutet dies, daß mit n-dimensionalen
Fuzzy-Mengen bzw. Fuzzy-Vektoren operiert wird. Man bildet also zunächst das
kartesische Produkt aus den entsprechenden eindimensionalen Fuzzy-Mengen mittels der
Minimumnorm (5.26) oder mittels einer beliebigen t-Norm (5.27), wendet dann
auf die
unscharfen Einzelpunkte der entstandenen n-dimensionalen Fuzzy-Menge an und bildet
schließlich die sup-Vereinigung (5.32) aus den unscharfen Bildpunkten.
So erhält man das Extensionsprinzip oder Erweiterungsprinzip.
Definition: Sei
(
)
(
)
n
n
n
x
x
y
x
x
,...,
,...,
V,
U
:
1
1
=
eine Funktion.
wird zu
( )
( )
(
)
(
)
n
n
n
A
~
,...,
A
~
:
B
~
A
~
,...,
A
~
,
V
U
:
1
1
=
-
-
erweitert durch:
( )
(
)
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
)
(
A
~
1
A
~
,...,
U
,...,
A
~
B
~
1
1
1
n
x
x
y
x
x
x
x
y
y
n
n
n
n
=
=
=
(5.33)
Die durch (5.33) definierte Funktion
heißt die Extension von
.
So erhält man folgende Extensionen für die vier Grundrechnungsarten auf
)
R
I
(
-
:
Addition:
{
}
~
A
~
B:
( )
sup min
( ),
(
)
~
A
~
B
,
IR
~
A
~
B
=
+ =
y
x
x
x x
x
x
y
1
2
1
2
1
2
(5.34)
Äquivalente Schreibweisen:
{
}
{
}
)
(
),
(
min
sup
R
I
,
)
(
),
(
min
sup
)
(
:
B
~
A
~
B
~
A
~
R
I
2
1
2
1
2
B
~
1
A
~
B
~
A
~
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
y
x
-
=
=
=
+
=
(5.35)
Subtraktion:
{
}
~
A
~
B:
( )
sup min
( ),
( )
~
A
~
B
,
IR
~
A
~
B
{
{
y
x
x
x x
x
x
y
=
- =
1
2
1
2
1
2
(5.36)
bzw. aus
A
( )
(
)
A
{
{
:
A
x
x
=
-
(5.37)
erhält man:
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
:
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
R
I
B
~
A
~
y
x
x
y
x
-
=
=
{
{
{
(5.38)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
74
Fuzzy-Rechenoperationen
Multiplikation:
A
~
B:
A
~
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
2
B
~
1
A
~
R
I
,
B
~
2
1
2
1
x
x
y
y
x
x
x
x
=
=
(5.39)
Spezialfall:
R
I
A
~
= a
(scharfe Zahl),
a
0:
¸
¹
·
¨
©
§
=
a
y
y
a
a
B
~
B
~
)
(
:
B
~
(5.40)
Division:
A
:
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
:
B
~
2
B
~
1
A
~
:
R
I
,
B
~
A
~
2
1
2
1
:
x
x
y
y
x
x
x
x
=
=
{
(5.41)
bzw. aus
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
-
-
x
x
x
x
x
1
1
A
~
A
~
0
R
I
A
~
1
1
1
sup
)
(
:
A
~
für x
0
(5.42)
erhält man:
A
:
B
A
=
~
~
( )
sup min
( ),
~
~
IR
~
A
~
B
B :
A
B
:
-
=
§
©¨
·
¹¸
®
¯
½
¾
¿
1
{
y
x
x
y
x
für y
0
(5.43)
Nimmt man speziell
~
A
A,
~
B
B
=
= IR scharfe Teilmengen an, so erhält man die
Minkowski-Operationen. Für scharfes A und B ist nämlich
¯
®
=
A
für
0
A
für
1
)
(
1
1
1
A
x
x
x
und
¯
®
=
B
für
0
B
für
1
)
(
2
2
2
B
x
x
x
und man erhält
{
}
A B:
( )
sup min
( ),
( )
,
A B
,
IR
A
B
{
{
=
=
=
®
¯
=
für
A,
B
sonst
y
x
x
x x
y x
x
x x
x
x
y
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
{
}
)
B
(
)
A
(
)
(
R
I
B
A
2
1
2
1
=
=
x
x
y
x
x
y
{
für
{
}
:
,
,
,
-
+
Aus diesem Grund bezeichnet man die Fuzzy-Mengen-Operationen (5.34)-(5.43) auch als
verallgemeinerte Minkowski-Operationen.
9
5.3.2 Arithmetische Operationen mit Hilfe der
-Schnitte
Eine starke Vereinfachung der Arithmetik mit unscharfen Mengen bringt der
folgende Satz. Er garantiert die Reduzierbarkeit der Operationen mit Fuzzy-Mengen auf
Operationen mit ihren
-Schnitten. Fuzzy-Mengen-Arithmetik kann somit auf gewöhnliche
Mengen-Arithmetik zurückgeführt werden, im Fall (eindimensionaler) unscharfer
Intervalle und unscharfer Zahlen (normal und konvex) auf Intervallarithmetik.
9
Beispiele zum Extensionsprinzip mit genauen Erklärungen zu den einzelnen Rechenschritten finden sich
bei Comploj (1994), S.
29 und S. 31 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
75
Fuzzy-Rechenoperationen
Satz
10
: Seien
)
(
),...,
(
mit
)
R
I
(
A
~
,...,
A
~
A
~
1
A
~
1
n
n
x
x
n
n
-
,
und sei
eine Abbildung
(
)
(
)
:
,...
,...,
IR
IR ,
n
n
n
x
x
y
x
x
=
1
1
mit der Extension
)
R
I
(
)
R
I
(
:
-
-
n
,
(
)
(
)
n
n
A
~
,...,
A
~
B
~
A
~
,...,
A
~
1
1
=
.
Dann gilt:
(i)
[
)
(
)
=
n
A
,...,
A
B
:
1
,
0
1
(5.44)
(ii)
(
]
(
)
n
A
,...,
A
B
:
1
,
0
1
(5.45)
Wenn das Supremum in den in (5.34)-(5.43) definierten Fuzzy-Mengen-Opera-
tionen angenommen wird, also sup = max, dann gilt auch in (ii) die Identität statt
der Inklusion. Insbesondere wird das Supremum angenommen, wenn
stetig ist.
Hier seien die wichtigsten arithmetischen (Minkowski-)Operationen für kompakte
Intervalle angeführt
11
:
Seien A
, B
=
=
a a
b b
,
,
kompakte Intervalle, a
a b b a a b b
,
,
IR
, , ,
. Dann gilt:
A
B
=
= +
+
a a
b b
a b a b
,
,
,
(5.46)
[ ] [
]
a
a
a
a
-
-
=
=
,
,
A
{
{
(5.47)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
b
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
-
-
=
=
=
,
,
,
,
,
B
A
{
{
{
(5.48)
[ ]
[ ]
[ ]
0
0 0 1
1 1
=
=
=
,
, ,
,
,
für
IR
(5.49)
[ ]
[
]
[
]
°¯
°
®
=
-
+
0
1
1
0
1
1
R
I
für
,
R
I
für
,
,
a
a
a
a
a
a
(5.50)
A
~
B
[ ]
a
a,
=
~
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
) (
)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
°
°
°
°
°
¯
°°
°
°
°
°
°
®
=
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
max
,
,
min
(4.51)
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
0
,
0
für
,
,
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
b
10
Beweis siehe Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S.
36 ff., Comploj (1994), S. 35.
11
Vgl. auch Kaufmann/Gupta (1991), S.
2 ff., Comploj (1994), S. 5 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
76
Fuzzy-Rechenoperationen
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
°
¯
°
°
°
®
+
-
=
-
=
+
=
=
-
-
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
für
,
,
0
für
,
0
für
,
0
für
,
0
für
,
,
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(5.52)
A
:
B
A
=
~
B
-1
(5.53)
Die meisten für gewöhnliche Zahlen geltenden Rechengesetze (Kommutativität, Assozia-
tivität, Existenz eines neutralen Elementes bei Addition und Multiplikation, allerdings kein
Inverses) gelten auch für Intervalloperationen
12
, und somit wegen (5.44)-(5.45) auch für die
Extensionen
13
.
Damit die Rechengesetze der Intervallarithmetik (5.46)-(453) angewendet werden
können, müssen zuerst die
-Schnitte bzw. eigentlich die -Komponenten der Fuzzy-
Mengen berechnet werden, indem man setzt:
=
A
( )
x
(5.54)
Wenn man (5.54) nach x auflöst, erhält man die
-Komponenten von A als Funktionen
von
und somit die
-Schnitte:
( )
( )
( )
( )
[
]
1
A
~
1
A
~
,
A
-
-
=
(5.55)
Auf diese werden (5.46)-(5.53) angewendet. Schließlich müssen, um aus den
-Schnitten
des Resultats
[
]
B
A
{
die Zugehörigkeitsfunktion
)
(
B
~
A
~
x
{
von
B
~
A
~
{
zu berechnen,
noch die
- Komponenten
b
a
x
=
und
b
a
x
=
(5.56)
nach
aufgelöst werden.
14
Für trapezförmige Fuzzy-Intervalle (2.17) ist kann man Summe und Differenz, wie
folgt, berechnen:
(
)
~
A
,
;
,
1
11
11
01
01
= a a a a ,
(
)
~
A
,
;
,
2
12
12
02
02
= a a a a
(
)
~
A
~
A
,
;
,
1
2
11
12
11
12
01
02
01
02
=
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
a
a
12
Vgl. Kaufmann/Gupta (1991), S.
2 ff, Comploj (1994), S. 6 f.
13
Vgl. Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S.
39, Comploj (1994), S. 35.
14
Ein Beispiel mit genauen Erläuterungen zu den einzelnen Rechenschritten bringt Comploj (1994), S.
35 f.
Mehrere Beispiele zu den Grundrechnungsarten finden sich bei Kaumann/Gupta (1991), S.
14 ff.
(Addition), S.
23 f. (Subtraktion), S. 27 ff. (Multiplikation), S. 32 f. (Division).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
77
Fuzzy-Rechenoperationen
(
)
~
A
,
;
,
2
12
12
02
02
{
= -
-
-
-
a
a
a
a
(
)
~
A
~
A
~
A
~
A
,
;
,
1
2
1
2
11
12
11
12
01
02
01
02
{
{
=
=
-
-
-
-
a
a
a
a
a
a
a
a
Für trianguläre Fuzzy-Zahlen (2.18) ist
(
)
a
a
a
i
i
i
i
1
1
1
1 2
=
=
=
,
, . In den Formeln ist
wieder der zweite Term ( a
i
1
etc.) zu streichen, gegebenenfalls ist a
i
1
durch a
i
1
zu ersetzen.
Für das Produkt triangulärer Fuzzy-Zahlen können Kern und Träger auf folgende
Weise berechnet werden:
(
)
~
A
;
,
1
11
01
01
= a a a ,
(
)
~
A
;
,
2
12
02
02
= a a a
d.h.
( )
{ }
i
i
a
1
A
~
ker
=
,
( )
(
)
supp
~
A
,
i
i
i
a
a
=
0
0
,
2
,
1
=
i
(
1
A
~
ker
~
)
{
}
~
A
2
11
12
=
a
a
,
(
1
A
~
supp
~
)
(
)
~
A
,
2
01
02
01
02
=
a
a
a
a
Für diskrete Grundmengen U läßt sich
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
2
B
~
1
A
~
:
U
,
B
~
A
2
1
2
1
x
x
y
y
x
x
x
x
=
=
{
für
{
}
:
,
,
,
-
+
leicht direkt berechnen, denn das Supremum wird angenommen. Es ist also:
{
}
(
)
)
(
)
(
max
)
(
),
(
min
max
)
(
2
B
~
min
1
A
~
2
B
~
1
A
~
B
~
A
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
x
x
y
x
x
=
=
=
=
{
(5.57)
So gilt z.B. speziell für die Addition in
)
Z
Z
(
-
:
(
)
)
(
)
(
max
)
(
B
~
min
A
~
Z
Z
B
~
A
~
x
y
x
y
x
-
=
Für weitere Darstellungen zur Fuzzy-Arithmetik unter Anwendung des Extensions-
prinzips sei auf andere Autoren verwiesen.
15
5.3.3 Folgen und Reihen von unscharfen Zahlen
Eine Folge von unscharfen Zahlen
( )
N
I
A
~
n
n
,
N
I
)
R
(I
A
~
n
b
n
-
, ist definiert
durch:
( )
(
)
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
[ ]
1
,
0
N
I
1
A
~
1
A
~
1
,
0
N
I
N
I
A
~
N
I
,
A
)
(
:
A
~
-
-
¸¹
·
¨©
§
»¼
º
«¬
ª
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
(5.58)
Eine Folge von unscharfen Zahlen
( )
~
A
IN
n n
konvergiert, wenn
lim A
n
n
, man setzt
15
Vgl. etwa Kaufmann/Gupta (1991), S.
14 ff. oder Rommelfanger (1994), S. 34 ff. Eine vollständige Dar-
stellung würde den Rahmen der Diplomarbeit sprengen.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
78
Fuzzy-Rechenoperationen
A: lim A
=
n
n
und
A
lim A
A
( )
( )
lim
( )
x
x
x
n
n
n
n
=
=
(5.59)
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Folgen aller
-Schnitte konvergieren, und d.h. wenn
die Folgen ihrer oberen und unteren Intervallgrenzen konvergieren.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
[
]
[
]
[ ]
1
,
0
,
lim
,
lim
,
:
)
(
lim
),
(
lim
A
lim
A
:
A
~
lim
A
~
1
A
~
1
A
~
1
A
~
1
A
~
=
=
=
»¼
º
«¬
ª
=
=
=
-
-
-
-
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(5.60)
In der Analysis ist eine Reihe als die Folge der Partialsummen einer Folge definiert.
Im unscharfen Fall gehen wir analog vor. Sei
( )
~
A
IN
n n
eine Folge von unscharfen Zahlen
mit den Zugehörigkeitsfunktionen
(
)
~
A
IN
( )
n
x
n
. Die n-te Partialsumme lautet:
S :
A
A
... A
n
n
n
=
=
=
¦
1
1
mit der Zugehörigkeitsfunktion
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
)
(
A
~
1
A
~
...
A
~
...
A
~
S
~
1
1
1
n
y
x
x
x
x
y
y
n
n
n
n
=
+
+
=
=
und den
-Schnitten
»¼
º
«¬
ª
=
=
=
¦
¦
¦
=
=
=
n
n
n
n
n
a
a
1
1
1
1
,
A
...
A
A
S
Die entsprechende Reihe von unscharfen Zahlen ist dann:
( )
~
S
:
~
A
~
A
IN
IN
n
n
n
n
n
n
=
=
=
§
©
¨
¨
·
¹
¸
¸
=
¦
¦
1
1
(5.61)
Die Reihe
A
n
n
=
¦
1
heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen
( )
~
S
IN
n n
konvergiert, und
S
~
:
A
~
A
~
lim
S
~
lim
1
1
=
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
=
¦
¦
=
=
n
n
n
n
n
n
(5.62)
heißt die unscharfe Summe oder der unscharfe Wert der Reihe.
Es ist
S
lim S
S
( )
( )
lim
( )
x
x
x
n
n
n
n
=
=
(5.63)
und
[ ]
1
,
0
,
lim
,
lim
S
lim
S
1
1
1
1
»¼
º
«¬
ª
=
»¼
º
«¬
ª
=
=
¦
¦
¦
¦
=
=
=
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
(5.64)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
79
Fuzzy-Rechenoperationen
5.4 Unscharfe Funktionen
Wir unterscheiden Fuzzy-Extensionen von Funktionen, fuzzifizierende Funktionen
und unscharfe Scharen von Funktionen.
16
5.4.1 Fuzzy-Extensionen von Funktionen
Bei diesem Typ von unscharfen Funktionen handelt es sich um Funktionen, die
selbst nicht unscharf sind, sondern die die Unschärfe ihrer Argumente tragen. Man erhält
so die Fuzzy-Extension oder unscharfe Extension einer scharfen Funktion.
Definition: Seien eine scharfe Funktion f
x
y
f x
: U
V,
( )
=
und eine unscharfe
Menge
( )
U
X
~
-
mit
X
( )
x gegeben. Dann heißt
( )
( )
( )
X
~
Y
~
X
~
V
U
:
=
f
f
-
-
(5.65)
die Fuzzy-Extension oder unscharfe Extension von f , und es ist
( )
)
(
sup
)
(
X
~
)
(
U
X
~
x
y
x
f
y
x
f
=
=
(5.66)
Für die strikten
-Schnitte gilt gemäß (5.44) und (5.45):
( )
( )
{
}
(
) {
}
[
)
1
,
0
X
)
(
X
X
X
=
=
=
x
x
f
x
x
f
f
f
(5.67)
und für stetiges f gilt auch für die
-Schnitte:
( )
( )
(
]
1
,
0
X
X
=
f
f
(5.68)
Spezialfälle:
(1) Fuzzy-Extension der linearen Funktion:
( )
( )
R
I
,
,
R
I
X
~
,
X
~
X
~
=
b
a
b
a
f
-
mit
( )
(
)
(
)
)
(
)
(
X
~
X
~
X
~
x
b
x
a
x
f
b
a
f
=
+
=
, bzw.
°¯
°
®
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
-
0
für
)
(
1
0
für
)
(
X
~
X
~
a
y
a
y
b
b
a
a
b
y
x
f x = a x + b
.
( )
X
~
( )
x
f (X)
o
~
(
)
f x
( )
f x
( )
Abb. 5.6
Fuzzy-Extension einer linearen
Funktion mit triagulärem X
~
16
Vgl. auch Dubois/Prade (1992), S.
64 ff., Bandemer/Näther (1992), S. 40 ff., Bandemer/Gottwald (1993),
S.
36 ff., Comploj (1994), S. 42 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
80
Fuzzy-Rechenoperationen
Die
-Schnitte lauten:
(
)
[
]
[
]
°¯
°
®
+
+
=
+
+
=
=
0
für
,
0
für
0
für
,
X
X
a
b
x
a
b
x
a
a
b
a
b
x
a
b
x
a
b
a
b
a
(2) Fuzzy-Extension der Potenzfunktion:
( )
n
f
X
~
X
~ =
,
( )
R
I
X
~
-
Für Potenzen von unscharfen Zahlen gilt: X
X
n
=
~
X
~
...
~
X
mit
( )
)
(
X
~
X
~
x
x
n
n
=
, bzw.
( )
n
y
y
n
X
~
X
~
)
(
=
Da die
-Schnitte unscharfer Zahlen Intervalle sind, können ihre (stetigen) Potenzen
aufgrund folgender Regeln aus der Intervallmathematik berechnet werden:
[ ]
°
°
°
°
¯
°°
°
°
®
=
=
n
n
a
a,
A
[
] [
]
[
]
[
] [
]
[
]
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
-
0
für
,
0
für
,
,
0
für
,
0
für
,
,
ungerade
gerade
1
1
1
(5.69)
(3) Fuzzy-Extension der Exponentialfunktion:
( )
( )
R
I
X
~
,
X
~
X
~
-
=
e
f
Faßt man e
x
als Potenzreihe e
x
n
x
n
n
=
=
¦
!
0
auf, so erhält man eine konvergente
unscharfe Reihe (5.61)-(5.64):
e
n
n
n
n
n
X
!
!
!
!
X
X
...
X
...
X
=
=
=
¦
1
1
2
1
3
1
1
2
3
0
mit
( )
)
(
X
~
X
~
x
e
x
e
=
bzw.
( )
y
y
e
ln
)
(
X
~
X
~
=
Für die
-Schnitte der Exponentialfunktion gilt: e
e
n
n
n
X
X
!
X
=
=
=
¦
1
0
wobei X
n
mit Hilfe von (5.69) ermittelt werden kann. Die Konvergenz der Reihen
ist garantiert aufgrund der absoluten Konvergenz von
x
n
n
x
¦
=0
!
. Für
0
x
x
oder
x
x
0
,
x
x
konvergieren jeweils die Reihen der geraden und der ungeraden n
und somit auch ihre Summe.
5.4.2 Fuzzifizierende Funktionen
Im Gegensatz zu den Fuzzy-Extensionen haben wir es hier mit Funktionen zu tun,
die scharfe Argumente x
U auf unscharfe Mengen abbilden. Es handelt sich also um
Funktionen mit unscharfen Parametern.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
81
Fuzzy-Rechenoperationen
Definition: Eine Funktion
( )
)
(
~
Y
~
,
V
U
:
~
x
f
x
f
=
-
mit
Y
( )
( )
( )
y
y
f x
=
heißt
fuzzifizierende Funktion.
Sind
( )
( )
n
n
U
A
~
,...,
U
A
~
1
1
-
-
mit
A
A
( ),...,
(
)
1
1
a
a
n
n
und
(
)
n
x
f
x
f
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
=
,
(5.70)
dann sind A ,..., A
1
n
die fuzzifizierenden Funktionsparameter.
Für die Zugehörigkeitsfunktion
( )
( )
f x
y gilt für festes x:
( )
( )
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
A
~
1
A
~
,...,
A
~
supp
,...,
A
~
supp
)
(
~
1
1
1
1
n
a
a
x
f
a
a
x
f
a
a
y
n
n
n
n
=
(5.71)
Für Analysen wichtig sind die (scharfen)
-Niveaukurven f
, also die
-Komponenten
der fuzzifizierenden Funktion, die definiert sind durch:
(
]
1
,
0
,
)
(
:
)
(
)
(
~
=
=
y
x
f
y
x
f
(5.72)
Wenn scharfe Zahlen auf unscharfe Zahlen abgebildet werden, erhält man zwei
Funktionen f
f
und
mit f
f
für
( )
1
,
0
und eine Funktion f
1
für
= 1.
Für die
-Niveaukurven der durch fuzzifizierende Parameter charakterisierten
unscharfen Funktion
(
)
n
x
f
x
f
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
=
erhält man:
(
)
n
a
a
a
a
x
f
x
f
n
n
,...,
inf
)
(
1
A
,...,
A
1
1
=
,
(
)
n
a
a
a
a
x
f
x
f
n
n
,...,
sup
)
(
1
A
,...,
A
1
1
=
(5.73)
Für die strikten
-Schnitte erhält man:
(
)
(
)
(
)
{
}
n
n
n
n
n
a
a
a
a
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
,...,
A
,...,
A
,...,
A
A
,...,
A
)
(
)
(
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
,
0 1
,
M
(5.74)
und im stetigen Fall auch für die
-Schnitte:
(
)
(
)
(
]
1
,
0
,
A
,...,
A
A
,...,
A
)
(
)
(
1
1
=
=
=
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
Bezeichnen wir mit
{
}
V
U
:
:
V
U
=
f
f
die Menge aller (scharfen) Funktionen von U
nach V, so können wir f als unscharfe Menge über V
U
interpretieren.
( )
U
V
~
-
f
hat dann die Zugehörigkeitsfunktion
[ ]
( )
( )
(
)
U
,
)
(
:
)
(
wobei
,
,
1
,
0
V
:
)
(
~
~
~
U
~
=
x
x
f
x
f
f
f
x
f
f
f
f
(5.75)
Für die
-Niveaukurven f
f
und
von f gilt dann:
( ) ( )
=
=
f
f
f
f
~
~
Bemerkung: Fuzzifizierende Funktionen können auch auf unscharfe Argumente X ange-
wendet werden. Man erhält dann die Fuzzy-Extension der fuzzifizierenden Funktion.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
82
Fuzzy-Rechenoperationen
Spezialfälle:
(1) Fuzzifizierende lineare Funktion:
( )
A
B
f x
x
= ,
( )
R
I
B
~
,
A
~
,
R
I
-
x
.
Dann ist für festes x:
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
B
~
A
~
,
)
(
~
b
a
y
y
b
x
a
b
a
x
f
=
+
=
R
und
[
]
[
]
[
]
[
]
°
¯
°
®
+
+
=
+
+
=
=
0
für
,
0
für
,
0
für
,
)
(
),
(
)
(
x
b
x
a
b
x
a
x
b
b
x
b
x
a
b
x
a
x
f
x
f
x
f
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-7
0
1
x
y
f (1)
~
( )
y
f
~
(2)
( )
y
f
~
(3)
( )
y
f
~
(4)
( )
y
f
~
(0)
( )
y
f
~
(-1)
( )
y
f
~
(-2)
( )
y
f
= 0
f
= 1
f
= 0
f
= 1
f
= 0
f
= 0
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-7
0
1
x
y
y
f
= 0
f
= 0,5
f
= 1
f
= 0,5
f
= 0
f
= 0
f
= 0,5
f
= 1
f
= 0,5
f
= 0
Abb. 5.7 Fuzzifizierende lineare Funktion
b
x
x
f
= A
~
)
(
~
mit Fuzzy-Parameter A
~
:
Zugehörigkeitsfunktionen ihrer Fuzzy-Bilder bzw. ihre
-Niveaukurven
(2) Fuzzifizierende Exponentialfunktion:
( )
E( )
f x
x
=
,
( )
( )
e
x
=
E
~
ker
,
R
I
E
~
,
R
I
-
.
In einer früheren Arbeit
17
wurde mit Hilfe der Potenzreihendarstellung gezeigt, daß
sich E
~
reduzieren läßt auf
1
1
~
E
~
-
= e . Dabei ist 1
~
eine unscharfe Eins
18
, d.h. eine
Fuzzy-Zahl
( )
R
I
1
~
-
mit
[
)
[ ]
1
,
0
für
konvex
1
,
1
für
1
für
1
,
0
1
)
(
1
~
=
¯
®
=
h
h
h
h
.
Aus rechentechnischen Gründen
19
empfiehlt sich eine Einschränkung der unscharfen
Einsen auf solche, für deren untere
-Komponente
(
]
0,1
für
1
0
gilt.
Für die Zugehörigkeitsfunktion erhält man
( )
¸
¹
·
¨
©
§
=
d
d
ln
1
1
~
E
~
und für die
-Schnitte
[
]
»¼
º
«¬
ª
=
=
1
1
1
1
,
,
E
e
e
e
e
Für x
IR ist E
x
gegeben durch
( )
1
1
1
~
1
~
E
~
-
-
=
=
x
x
x
e
e
mit der Zugehörigkeitsfunktion
( )
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
=
=
y
x
h
y
y
e
h
h
x
x
ln
1
~
1
~
1
~
supp
E
~
)
(
sup
)
(
17
Vgl. Comploj (1994), S.
47 f.
18
Vgl. Comploj (1994), S.
41.
19
Wegen (5.52).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
83
Fuzzy-Rechenoperationen
Die fuzzifizierende Exponentialfunktion E
x
läßt sich somit reduzieren auf eine
Fuzzy-Extension der Exponentialfunktion
Z
~
E
~
e
x
=
mit
1
1
~
Z
~
-
= x
Für die
-Niveaukurven von E
x
erhält man:
[
]
[
]
[
]
°
°
¯
°
°
®
»¼
º
«¬
ª
=
=
»¼
º
«¬
ª
=
=
=
-
+
R
I
für
,
,
0
für
1
R
I
für
,
,
)
(
,
)
(
E
1
1
1
1
x
e
e
e
e
x
x
e
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.4.3 Unscharfe Funktionenscharen
Wir definierten in (5.70) eine fuzzifizierende Funktion
( )
V
U
:
~
-
f
mittels ihrer
Fuzzy-Parameter A ,..., A
1
n
:
(
)
n
x
f
x
f
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
=
. Fassen wir die unscharfen Mengen
A ,..., A
1
n
als Vereinigung unscharfer Einzelpunkte (5.31) auf:
(
)
( )
n
i
a
a
i
i
i
a
i
i
i
,...,
1
,
)
(
,
A
~
A
~
supp
A
~
=
=
(5.76)
dann erhalten wir für jeden scharfen Vektor
(
)
( )
( )
n
n
a
a
A
~
supp
...
A
~
supp
,...,
1
1
×
×
=
a
eine
scharfe Funktion f :
(
) ( )
a
x
f
a
a
x
f
x
f
n
=
=
,...,
)
(
1
(5.77)
Insgesamt erhalten wir eine unscharfe Menge von Funktionen, die als unscharfe
Funktionenschar bezeichnet wird.
( )
(
)
( )
( )
( )
{
}
( )
[ ]
1
,
0
,
A
~
supp
...
A
~
supp
,
.
,
~
~
~
~
1
~
×
×
=
=
f
f
f
f
f
f
f
n
F
a
a
(5.78)
Es ist naheliegend, als den Zugehörigkeitsgrad
( )
~
~
f
f
der Funktion f zur Schar
~
~
f
den des
Vektors
a zu definieren, also:
( )
( )
(
)
{
}
~
~
~
~
~
A
...
~
A
~
A
~
A
.
:
( ,...,
)
min
( ),...,
( )
f
f
n
n
f
f
a
a
a
a
n
n
=
=
=
a
1
1
1
1
(5.79)
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
9
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5
(3 -2|0,3)
x
(3 -1|0,3)
x
(2 -2|1)
x
(2 -2|0,5)
x
( -2|0,5)
x
( -1|0,8)
x
Abb. 5.8
Unscharfe Schar von
linearen Funktionen
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
84
Fuzzy-Rechenoperationen
Es kann für
U
x
gelten:
( ) ( )
2
1
a
a
x
f
x
f
=
, aber
( )
(
)
( )
(
)
2
~
~
1
~
~
a
a
x
f
x
f
f
f
.
Gemäß (5.71) kann man aus der unscharfen Funktionenschar
~
~
f
die von der
Funktionenschar induzierte fuzzifizierende Funktion f ableiten:
( )
( )
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
A
~
1
A
~
,...,
A
~
supp
,...,
A
~
supp
)
(
~
1
1
1
1
n
a
a
x
f
a
a
x
f
a
a
y
n
n
n
n
=
5.4.4 Differentiation und Integration von fuzzifizierenden Funktionen
Sei
( )
V
U
:
~
-
f
,
(
)
n
x
f
x
f
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
=
eine fuzzifizierende Funktion (5.70) mit
unscharfen Parametern A ,..., A
1
n
mit
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
A
~
1
A
~
,...,
)
(
~
1
1
n
a
a
x
f
y
x
f
a
a
y
n
n
=
=
.
Die Zugehörigkeitsfunktion von
(
)
(
)
n
n
x
f
x
f
x
f
dx
d
A
~
,...,
A
~
~
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
1
=
=
lautet:
( )
( )
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
A
~
1
A
~
,...,
A
~
supp
,...,
A
~
supp
)
(
~
1
1
1
1
n
a
a
x
f
y
a
a
x
f
a
a
y
n
n
n
n
=
=
(5.80)
und die Zughörigkeitsfunktion von
(
)
~
( )
~
~
A ,...,
~
A
f x dx
f x
dx
n
³
³
=
1
lautet:
( )
( )
(
)
{
}
~
( )
supp
~
A ,...,
supp
~
A
,...,
~
~
A
( )
sup
min
( ),...,
( )
f x dx
a
a
y
f x a
a dx
n
y
a
a
n
n
n
n
³
=
³
=
1
1
1
1
1
A
(5.81)
Ein horizontaler Zugang mittels der strikten
-Schnitte
(
)
=
n
x
f
x
f
A
,...,
A
)
(
1
für
( )
1
,
0
ist ebenfalls möglich. Es ist dann
/
f
df
dx
=
gegeben durch:
(
)
(
)
f
x
f x
f x
f x
d
dx
d
dx
n
n
§
©¨
·
¹¸ =
§
©¨
·
¹¸
=
=
( )
( )
A
,..., A
A
,..., A
1
1
(5.82)
und
~
( )
f x dx
³
durch
(
)
f x dx
f x
dx
n
³
³
§
©¨
·
¹¸
=
( )
A
,...,A
1
(5.83)
Das bestimmte Integral einer fuzzifizierenden Funktion
20
über einen scharfen
Bereich
(
)
³
³
=
b
a
n
b
a
x
f
dx
x
f
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
wird allgemein mittels der
-Niveaukurven f
f
,
20
Für fuzzifizierende Funktionen ist im allgemeinen
)
(
~
)
(
~
)
(
~
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
{
³
, vgl. Dubois/Prade (1992),
S.
104 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
85
Fuzzy-Rechenoperationen
für
( )
1
,
0
und f
1
für
= 1 berechnet. Man integriert zu jedem Niveau
die
-Niveau-
kurven über den scharfen Integrationsbereich und weist den auf diese Weise erhaltenen
scharfen Zahlen das Niveau
zu. Diese Vorgehensweise ist möglich aufgrund der Mono-
tonie des bestimmten Integrals:
[ ]
³
³
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
x
f
x
f
b
a
x
)
(
)
(
)
(
)
(
:
,
2
1
2
1
.
Es ist f
f
, und wir definieren:
³
=
b
a
dx
x
f
s
)
(
:
und
³
=
b
a
dx
x
f
s
)
(
:
(5.84)
dann ist
³
b
a
dx
x
f
)
(
~
gegeben durch
(
]
1
,
0
,
,
und
s
s
s
s
mit
=
=
³
³
)
(
)
(
)
(
~
)
(
~
s
s
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
(5.85)
Auch hier ist ein vertikaler Zugang möglich. Es gilt:
(
)
( )
( )
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
)
(
A
~
1
A
~
,...,
A
~
supp
,...,
A
~
supp
A
~
,...,
A
~
~
)
(
~
1
1
1
1
1
n
dx
a
a
x
f
s
a
a
dx
x
f
dx
x
f
a
a
s
s
n
b
a
n
n
n
b
a
n
b
a
³
=
³
³
=
=
(5.86)
Fassen wir f mit
( )
f
f
~
gemäß (5.75) als unscharfe Menge über V
U
auf, so gilt:
für die Ableitung:
( )
( )
f
f
f
f
~
~
=
(5.87)
für die Stammfunktion:
( )
( )
f
F
f
F
~
~
=
(5.88)
für bestimmtes Integral:
( )
f
dx
x
f
f
b
a
dx
x
f
b
a
~
)
(
~
)
(
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
³
³
(5.89)
Wie wir noch sehen werden, besteht die Schwierigkeit bei der Bestimmung von
Ableitung Stammfunktion im mehrfachen Auftreten von Funktionsparametern, welche bei
der ursprünglichen Funktion nur einmal aufgetreten sind. Bei solchem Mehrfachauftreten
ist zu beachten, daß es sich dabei um einen einzigen Funktionsparameter handelt, der
jeweils nur einen Wert annehmen kann
21
. So ist
( )
( ) ( )
A
~
~
:
A
~
~
A
~
,
A
~
~
x
g
x
f
dx
d
x
f
=
=
.
21
So wurde bei Comploj (1994), S.
151 f. fälschlicherweise
^~
)
(
~
^~
=
t
f
~
[ )
)
(
1
,
0
^~
t
e
t
-
als fuzzifizierende
Dichtefunktion der Exponentialverteilung angegeben.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
86
Fuzzy-Rechenoperationen
Spezialfall: Fuzzifizierende Exponentialfunktion
( )
E
f x
x
=
In Abschnitt 5.4.2
22
wurde gezeigt, daß man schreiben kann: E
x
x
e
=
-
1
1
,
)
R
I
(
1
~
-
.
Für die Bestimmung von Ableitung und Stammfunktion eignet sich am besten eine
-
niveauweise Betrachtung. E
x
ist für x
+
IR gegeben durch
1
x
e
e
x
=
und
1
x
e
e
x
=
.
(
(
]
1
,
0
1
0
,
1
~
stetig) für
-
R
I
x
verlaufen die Berechnungen analog.
Somit gilt für die Ableitung
d
dx
x
E :
1
1
1
1
1
1
1
1
E
E
x
x
x
x
e
e
e
e
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
x
x
=
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
denn
[ ]
{ }
[ ]
{ }
h
x
x
h
x
x
e
e
e
e
h
h
h
h
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sup
inf
1
1
Für die Stammfunktion
³
dx
x
E
~
muß unterschieden werden:
23
Allgemein gilt
{ } { }
{ } { }
c
e
h
dx
e
dx
c
e
h
dx
e
dx
h
h
h
h
x
x
x
x
h
h
x
h
h
x
+
=
=
¸¹
·
¨©
§
+
=
=
¸¹
·
¨©
§
³
³
³
³
1
1
1
1
sup
sup
E
und
inf
inf
E
Speziell für ,,große" x mit
[ ]
1
,
1
1
1
1
ln
1
ln
-
-
h
x
h
h
24
gilt:
{ }
c
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
x
x
x
x
h
x
h
+
=
=
=
=
¸¹
·
¨©
§
³
³
³
³
1
1
1
inf
E
1
Für
[ ]
1
,
1
1
1
1
1
ln
ln
-
-
h
x
h
h
ist analog:
{ }
c
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
x
x
x
x
h
x
h
+
=
=
=
=
¸¹
·
¨©
§
³
³
³
³
1
1
1
sup
E
1
für bestimmtes Integral
³
b
a
x
dx
E
~
:
¸¹
·
¨©
§
-
=
=
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
-
=
=
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
³
³
³
³
³
³
1
1
1
1
1
1
1
E
und
1
E
a
b
x
a
b
x
e
e
dx
e
dx
e
dx
e
e
dx
e
dx
e
dx
b
a
b
a
x
b
a
x
b
a
b
a
x
b
a
x
22
Vgl. Abschnitt 5.4.2, S.
82 f.
23
Bei Comploj (1994), S.
55 f. wurde lediglich an x und an die -Komponenten von 1
~
die Bedingung
(
)
a
x
e
1
1
1
1
1
1
-
gestellt.
24
h
x
x
e
h
e
1
1
(
)
1
1
1
1
-
h
x
h
e
(
)
1
1
1
ln
1
n
l
-
-
h
x
h
1
1
1
ln
1
ln
-
-
h
h
x
, denn
0
1
1
1
-
h
.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
87
Fuzzy-Rechenoperationen
Für bestimmtes Integral, dessen untere Integrationsgrenze
0
a
negativ und dessen
obere Integrationsgrenze
0
b
positiv ist, ist der Integrationsbereich in einen positiven
und einen negativen Anteil zu zerlegen:
( )
( )
(
) (
)
»¼
º
«¬
ª
¸¹
·
¨©
§
-
-
-
-
-
¸¹
·
¨©
§
-
=
»¼
º
«¬
ª
-
+
¸¹
·
¨©
§ -
¸¹
·
¨©
§
-
+
-
=
»
¼
º
«
¬
ª
+
+
=
»
¼
º
«
¬
ª
+
+
=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
+
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
+
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
³
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
,
,
E
E
,
E
E
E
,
E
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
e
e
e
e
e
e
e
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
e
dx
dx
dx
dx
dx
dx
a
a
b
b
a
b
a
x
x
x
x
b
a
b
a
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x
b
a
x
b
a
x
Aus der Zugehörigkeitsfunktion
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
y
x
y
x
ln
1
~
E
~
)
(
von
E
x
können auch die
Zugehörigkeitsfunktionen von Ableitung und Stammfunktion bestimmt werden.
Ableitung
d
dx
x
E :
( )
( )
)
(
sup
)
(
sup
)
(
1
~
:
1
~
supp
1
~
:
1
~
supp
E
~
1
h
h
y
y
e
h
y
e
h
h
x
h
x
x
h
dx
d
dx
d
=
=
=
=
Stammfunktion
³
dx
x
E
~
mit beliebiger, aber fester Integrationskonstante c:
( )
( )
)
(
sup
)
(
sup
)
(
1
~
:
1
~
supp
1
~
:
1
~
supp
E
~
h
h
y
y
c
e
h
h
y
dx
e
h
dx
h
x
h
x
x
=
+
=
³
=
³
=
Bestimmtes Integral über das scharfe reelle Intervall
[ ]
b
a,
:
( )
( )
)
(
sup
)
(
sup
)
(
1
~
:
1
~
supp
1
~
:
1
~
supp
E
~
h
h
s
s
e
e
h
h
s
dx
e
h
dx
h
a
h
b
b
a
h
x
b
a
x
=
¸¸¹
·
¨¨©
§
-
=
=
³
=
³
Es gilt für die Ableitung
1
1
~
1
~
E
~
1
-
=
=
-
x
x
e
dx
d
dx
d
~
1
1
~
1
~
1
-
=
-
x
e
~
x
E
~
,
aber für die Stammfunktion
1
~
E
~
1
1
~
=
³
³
-
dx
e
dx
x
x
~
1
~
1
1
~
=
+
-
c
e
x
~
c
x
+
E
~
und es ist
1
~
E
~
E
~
E
~
1
1
~
=
³
³
-
b
a
x
b
a
x
a
b
dx
e
dx
{
~
1
~
1
1
~
-
-
b
e
~
1
~
1
1
~
=
-
a
e
~
(
)
a
b
E
~
E
~
{
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
88
Fuzzy-Rechenoperationen
5.5 Ordnungsrelationen und Rangordnungsverfahren für Fuzzy-
Mengen
Während zwischen gewöhnlichen, scharfen Zahlen durch eine Ordnungsrelation
,," immer festgelegt ist, welche die größere von zweien bzw. die größte von mehreren
Zahlen ist, ist eine solche Aussage für Fuzzy-Zahlen bzw. Fuzzy-Mengen im allgemeinen
nicht möglich. Eine eindeutige Rangordnung zwischen zwei Fuzzy-Mengen A
~
und B
~
auf
R
I
besteht nur in dem Ausnahmefall, daß
)
B
supp(
sup
)
A
~
supp(
inf
(
(5.90)
Da aber für bestimmte Anwendungen, so etwa für die Auswahl zwischen
verschiedenen Alternativen im Rahmen von Fuzzy-Entscheidungsproblemen
25
doch eine
Aussage über die Größenrelation von Fuzzy-Mengen gemacht werden muß, gibt es in der
Literatur
26
verschiedene Ansätze für die Festlegung von Präferenzrelationen und
Rangordnungsverfahren von Fuzzy-Mengen.
5.5.1 Unscharfes Maximum und Minimum von unscharfen Zahlen:
Der erste Ansatz, der hier vorgestellt, werden soll, beruht auf der Äquivalenz der
beiden Aussagen:
b
a
a
b
a
=
}
,
max{
.
Es soll zunächst die Definition von Maximum und Minimum von Intervallen
vorgestellt werden. Daraus soll die Definition des Fuzzy-Maximum bzw. Fuzzy-Minimum
von Fuzzy-Zahlen bzw. Fuzzy-Intervallen abgeleitet werden. Maximum und Minimum von
Intervallen sind definiert durch:
27
[ ]
[ ]
(
)
( )
( )
[
]
b
a
b
a
b
b
a
a
,
max
,
,
max
,
,
,
max
=
bzw.
[ ]
[ ]
(
)
( )
( )
[
]
b
a
b
a
b
b
a
a
,
min
,
,
min
,
,
,
min
=
Sind diese Intervalle nun
-Schnitte von Fuzzy-Intervallen (oder -Zahlen), so erhält
man nach (5.55):
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
[
]
1
B
~
1
B
~
1
A
~
1
A
~
,
B
,
,
A
-
-
-
-
=
=
,
(
]
1
,
0
.
Daraus erhält man das unscharfe Maximum (Fuzzy-Maximum)
{ }
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
[
]
1
B
~
1
A
~
1
B
~
1
A
~
,
max
,
,
max
B
,
A
max
:
B
~
,
A
~
max
~
-
-
-
-
=
(5.91)
bzw. das unscharfe Minimum (Fuzzy-Minimum)
25
Vgl. Abschnitt 8.7, S.
178 ff.
26
Eine ausführliche Zusammenstellung verschiedener Ansätze findet sich bei Rommelfanger (1994),
S.
72 ff.
27
Vgl. auch Comploj (1994), S.
39.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
89
Fuzzy-Rechenoperationen
{ }
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
{
}
[
]
1
B
~
1
A
~
1
B
~
1
A
~
,
min
,
,
min
B
,
A
min
:
B
~
,
A
~
min
~
-
-
-
-
=
(5.92)
von Fuzzy-Zahlen bzw. Fuzzy-Intervallen.
1
0
x
B
~
( )
x
A
~
( )
x
( )
x
max {A,B}
~
~ ~
a)
1
0
x
B
~
( )
x
A
~
( )
x
( )
x
min {A,B}
~
~ ~
b)
Abb. 5.9 Fuzzy-Maximum (a)) und Fuzzy-Minimum (b)) von Fuzzy-Zahlen
5.5.2 Ordnungsrelationen für reelle Fuzzy-Mengen
Rommelfanger
28
spricht von Präferenzrelationen anstatt von Ordnungsrelationen, da
er sich auf die Rangordnungen von Nutzenwerten beschränkt. Hier soll jedoch der
allgemeinere Ausdruck der Ordnungsrelation verwendet werden. Vorgestellt werden sollen
hier die
-Präferenz und die -Präferenz.
Die
-Präferenz
29
ist anwendbar, wenn die Bedingung (5.90) zwar nicht für
Infimum bzw. Supremum des Trägers erfüllt ist, aber für alle
-Schnitte, deren
größer ist
als ein bestimmtes
,
]
1
,
0
[
.
Definition: Sei
R
I
U
, und seien
(U)
B
~
,
A
~
-
. Dann heißt die Relation
]
1
,
[
B
sup
A
inf
:
B
~
A
~
(5.93)
-Präferenz auf U, wenn
die kleinste reelle Zahl ist, für die (5.93) erfüllt ist. Man
sagt auch A
~
wird B
~
auf dem Niveau
vorgezogen.
1
0
x
B
~
( )
x
A
~
( )
x
Abb. 5.10
-Präferenzrelation
28
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
72 ff.
29
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
74.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
90
Fuzzy-Rechenoperationen
Bemerkung: Für reelle Zahlen gilt die Äquivalenz der Aussagen
b
a
0
- b
a
. Auch
für unscharfe Zahlen läßt sich eine solche äquivalente Aussage bestimmen: Die
Definition (5.93) ist äquivalent zur Aussage
0
B
~
A
~
1
-
(5.94)
d.h.
B
~
A
~ ist fast positiv auf dem Niveau 1-
. Diese Eigenschaft definiert durch:
0
}
1
)
(
|
U
min{
(ii)
)
0
(
(i)
B
~
A
~
B
~
A
~
=
=
x
x
(5.95)
1
0
x
B
~
A
~
( )
x
o
Abb. 5.11
1-
-Fast-Positivität
Die
-Präferenz hat den Nachteil, daß sie für sehr viele Fuzzy-Mengen-Paare nicht
anwendbar ist, außerdem beschränkt sie sich auf den ,,oberen" Teil der Fuzzy-Menge und
läßt den Verlauf der Zugehörigkeitsfunktion insgesamt außer Betracht.
Allgemeiner
anwendbar
ist
die
folgende,
als
-Präferenz bezeichnete,
Ordnungsrelation.
Definition: Sei
R
I
U
, und seien
(U)
B
~
,
A
~
-
. Dann heißt die Relation
]
1
,
[
B
inf
A
inf
B
sup
A
sup
:
B
~
A
~
(5.96)
-Präferenz auf U, wenn
die kleinste reelle Zahl ist, für die (5.96) erfüllt ist. Man sagt
auch A
~
wird B
~
auf dem Niveau
vorgezogen.
1
0
x
B
~
( )
x
A
~
( )
x
Abb. 5.12
-Präferenzrelation
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
91
Fuzzy-Rechenoperationen
5.5.3 Rangordnungsverfahren für Fuzzy-Mengen
Ebenso wie es keine eindeutige Definition einer Ordnungsrelation auf
R)
(I
-
gibt,
sondern nur einige Ansätze, ist auch die Festlegung einer Rangordnung auf
R)
(I
-
problematisch.
Ein erster Vorschlag besteht darin, eine der Präferenzrelationen aus dem vorher-
gehenden Abschnitt
30
auf alle Paare von Fuzzy-Mengen der vorgegebenen Grundmenge
anzuwenden und daraus eine Rangordnung zu bilden. Bei diesem Verfahren ergibt sich
jedoch das Problem des großen Rechenaufwandes, insbesondere dann, wenn nicht nur
spezielle Fuzzy-Mengen bestimmter Form zur Auswahl stehen.
31
Somit wurden in der Literatur zahlreiche Vorschläge zur Entwicklung von Rang-
ordnungsverfahren für Fuzzy-Mengen über Grundmengen, die Teilmengen von R
I
sind,
entwickelt.
32
Hier soll nur das Niveau-Ebenen-Verfahren Würdigung finden.
33
Das Niveau-
Ebenen-Verfahren baut auf einem von Adamo
34
vorgeschlagenen Verfahren auf. Nach dem
Vorschlag von Adamo soll für ein vom Entscheidungsträger vorzuschlagendes Niveau
]
1
,
0
[
für jede Fuzzy-Zahl
(U)
A
~
-
,
R
I
U
, der Wert
( )
{
}
=
)
(
|
A
~
supp
max
)
A
~
(
A
~
x
x
H
Ad
(5.97)
bestimmt werden. Die Rangfolge der so bestimmten
Ad
H
der Fuzzy-Zahlen soll auch als
Rangfolge für die Fuzzy-Zahlen selbst herangezogen werden.
An diesem Verfahren läßt sich kritisieren, daß die ermittelte Rangfolge allzu sehr
von dem willkürlich gewählten Niveau
abhängt, und außerdem nur ein einziger Zuge-
hörigkeitswert, nämlich die Obergrenze des
-Schnitts zum Niveau ,
a , berücksichtigt
wird.
35
Diese beiden Kritikpunkte greift Rommelfanger bei der Entwicklung seines Niveau-
Ebenen-Verfahrens auf. Für r auszuwählende Niveaus
r
,...,
1
wird für jede Niveaumenge
i
A
,
r
i
,...
1
=
für jedes
(U)
A
~
-
eine Funktion
i
H
berechnet, welche alle Punkte
berücksichtigt, an denen die Zugehörigkeitsfunktion gerade den Wert
i
x
=
)
(
A
~
annimmt. Da das Verfahren allgemein auch für nicht-konvexe Fuzzy-Mengen über
30
Vgl. Abschnitt 5.5.2, S.
89 f.
31
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
78.
32
Eine umfangreiche Zusammenstellung von Vorschlägen bringt Rommelfanger (1994), S.
78 ff. Weitere
Vorschläge finden sich etwa bei Chanas/Delgado/Verdegay/Vila (1993), S.
201 ff. oder Dubois/Prade
(1983), S.
183 ff.
33
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
84 f.
34
Vgl. Adamo (1980), S.
201 ff.
35
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
84.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
92
Fuzzy-Rechenoperationen
(Teilmengen von) R
I
anwendbar sein soll, wird die Funktion
i
H
in der folgenden
allgemeinen Form ausgedrückt:
(
)
(
)
(
) (
)
)
)
(
)
1
)
1
(
)
)
(
)
(
)
)
1
)
1
(
)
1
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
...
)
A
~
(
2
2
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
i
H
(
(
(
(
(
(
-
+
+
-
-
+
+
-
=
+
+
(5.98)
Für den Spezialfall eines konvexen A
~
, bei dem alle
-Schnitte Intervalle
]
,
[
i
i
a
a
auf
R
I
U
sind, hat
i
H
die folgende Gestalt:
2
1
1
)
A
~
(
a
a
i
H
+
=
Die Funktion
i
H
läßt sich somit (allgemein) als das mit den Längen der Teilintervalle
gewogene arithmetische Mittel aus den arithmetischen Mitteln aus (Teil-) Intervallunter-
und obergrenze.
Der Wert, durch den schließlich die Fuzzy-Menge in der Rangordnung repräsentiert
werden soll, erhält man durch abermalige Bildung des arithmetischen Mittels aus den
i
H
:
¦
=
=
r
i
i
H
H
r
1
)
A
~
(
)
A
~
(
1
(5.99)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
93
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
6 Kombinationen von Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
In Abschnitt 3.2.3
1
wurde bereits angesprochen, daß Unschärfe und Wahrschein-
lichkeit, die beiden Ausprägungen der Unbestimmtheit
2
, in einem Entscheidungsmodell
auch kombiniert auftreten können. Wie wir in Kapitel 8 über unscharfe betriebswirt-
schaftliche Entscheidungsmodelle noch sehen werden, kann dabei einerseits die
Wahrscheinlichkeit selbst unscharf sein
3
, andererseits kann die Unschärfe auch bei den
Argumenten der Wahrscheinlichkeit auftreten; damit sind im Entscheidungsmodell
inbesondere die Umweltzustände
4
gemeint, deren Unsicherheit den Risikofaktor bei der
Entscheidung darstellt.
Dieses Kapitel soll nun einige mathematische Ansätze vorstellen, die sich mit dem
kombinierten Auftreten von Unschärfe und Wahrscheinlichkeit beschäftigen.
Das Grundmodell der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Wahrscheinlichkeitsraum,
d.h. ein Tripel
)
,
(U,
P
(
wobei U eine Menge,
( eine -Algebra von Teilmengen von U,
welche Ereignisse heißen,
5
und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (U,
() ist.
6
In allen drei
Komponenten des Tripels ist das Auftreten von Unschärfe möglich. Kommen Fuzzy-
Mengen in der Grundmenge U vor, sodaß wir U durch
-(U) ersetzen müssen, so erhalten
wir gerade die Phänomene die erst in Abschnitt 7.1.3 bei der Besprechung der (punkt-
weisen) Verteilung von Fuzzy-Zufallsvariablen behandelt werden.
7
Fuzzy-Mengen können auch in der
-Algebra der Ereignisse enthalten sein. Treten
Fuzzy-Ereignisse auf, so gibt es zwei Möglichkeiten zur Definition eines Wahrscheinlich-
keitsmaßes: entweder erhält man scharfe Wahrscheinlichkeiten unabhängig von Schärfe
oder Unschärfe der Ereignisse (Abschnitt 6.1), oder die Unschärfe der Ereignisse überträgt
sich in die Wahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeiten sind scharf für scharfe
Ereignisse und unscharf für unscharfe Ereignisse (Abschnitt 6.2).
Es kann jedoch auch das Wahrscheinlichkeitsmaß selbst unscharf sein, d.h. man
erhält sowohl für scharfe als auch für unscharfe Ereignisse unscharfe Wahrscheinlichkeiten
(Abschnitt 6.3).
1
Vgl. Abschnitt 3.2.2, S.
12.
2
Vgl. auch Abschnitt 2.2, S.
9 ff.
3
Vgl. Abschnitt 8.6, S.
170.
4
Vgl. Abschnitt 8.3, S.
161.
5
Vgl. Abschnitt 3.4, S.
20 f.
6
Vgl. Abschnitt 3.4, S.
21, Fußnote 12.
7
Vgl. Abschnitt 7.1.3, S.
122 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
94
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
6.1 Scharfe Wahrscheinlichkeiten von unscharfen Ereignissen
Diese erste Fuzzifikation der Wahrscheinlichkeitstheorie nimmt unscharfe Ereig-
nisse der
-Algebra an, die Ereigniswahrscheinlichkeiten sind aber scharfe Zahlen.
8
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum, d.h.
( sei eine -Algebra von
Teilmengen von U, auch Ereignisfeld genannt, und P sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf
)
(U,
( . Dann heißt eine Fuzzy-Menge A , deren Zugehörigkeitsfunktion
A
:U
,
0 1
1
)
-
A
-meßbar
9
(6.1)
ist, unscharfes Ereignis oder Fuzzy-Ereignis in U.
1
) ist die Borel'sche
-Algebra über
dem Intervall
]
1
,
0
[
10
.
Eine zu (6.1) äquivalente Definition
11
erhält man, wenn man fordert, daß die
-
Schnitte
A von A ,
]
1
,
0
[
(-meßbare Mengen sind, also
[ ]
1
,
0
A
(
(6.2)
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum,
(
~
sei ein Fuzzy-Ereignisfeld,
d.h. ein System von scharfen Teilmengen und Fuzzy-Ereignissen (6.1)-(6.2), von U.
Die scharfe Wahrscheinlichkeit P(A) eines Fuzzy-Ereignisses A in U ist definiert:
P
x
P x
x
(A):
( )
({ })
A
U
=
¦
(6.3)
für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum
)
,
(U,
P
(
, d.h. für höchstens abzählbares
U, (etwa
Q
I
Z,
Z
N,
I
U
=
) und
³
=
U
A
~
)
(
:
)
A
~
(
x
dP
x
P
(6.4)
für einen stetigen Wahrscheinlichkeitsraum
)
,
(U,
P
(
, d.h. für überabzählbares U,
(etwa
n
R
I
],
1
,
0
[
,
R
I
R,
I
U
+
=
).
Diese Definition stellt eine Verallgemeinerung der Definition der Wahrschein-
lichkeit P(A) eines scharfen Ereignisses A dar:
8
Sie wurde von Zadeh (1968), S.
422 ff. entworfen und in der Literatur (z.B. Novák (1989), S. 89 f.,
Dubois/Prade (1992), S.
141 ff., Bandemer/Gottwald (1993), S. 160 ff., Rommelfanger (1994), S. 58)
allgemein übernommen und zum Teil weiterentwickelt.
9
Eine Abbildung
:
heißt meßbar (
(-('-meßbar), wenn gilt:
( )
(
(
-
A
A
1
(vgl. auch Abschnitt 7.1.1, S.
113 f., Fußnote 6).
10
1
) ist die Borel'sche
-Algebra auf [0,1], d.h. die Menge aller abgeschlossenen, halboffenen und offenen
Intervalle auf [0,1] und deren Vereinigungen, Durchschnitte und Komplemente.
11
Vgl. Zadeh (1968), S.
424, Kudra (1990), S. 45.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
95
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
P
P x
x
P x
x
x
(A)
({ })
( )
({ })
U
A
U
=
=
¦
¦
1
im diskreten Fall
x
P
d
x
x
dP
P
³
³
=
=
U
A
U
)
(
1
)
(
(A)
im stetigen Fall
Spezialfälle:
U
IR
= , f x
( ) Dichtefunktion von P , dann ist
³
=
R
I
A
~
)
(
)
(
)
A
~
(
dx
x
f
x
P
(6.5)
U
IR
=
n
, dann ist
³
=
n
dP
P
R
I
~
)
(
)
~
(
x
A
A
(6.6)
{
}
n
x
x ,...,
U
1
=
, p x
P x
i
i
( )
({ })
=
Wahrscheinlichkeitsfunktion von P , dann
P
x
p x
i
i
i
n
(A)
( )
( )
A
=
=
¦
1
Für die Wahrscheinlichkeit P(A) gelten folgende Eigenschaften, die Verallgemei-
nerungen der Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit P(A) eines scharfen Ereignisses
darstellen:
(i)
0
1
P(A)
,
P( )
= 0, P(U) = 1
(6.8)
(ii) A
B
(A)
(B)
P
P
(6.9)
Beweis:
°
¯
°
®
=
=
=
=
³
³
¦
¦
)
B
~
(
)
(
)
(
)
A
~
(
)
B
~
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
A
~
(
U
)
(
)
(
B
~
A
~
U
B
~
U
A
~
U
B
~
U
A
~
B
~
A
~
P
dP
x
dP
x
P
P
x
P
x
x
P
x
P
x
x
x
x
x
x
x
(iii) P
P
P
P
(A
B)
(A)
(B)
(A
B)
max
min
=
+
-
(6.10)
Beweis:
{
}
=
=
=
³
³
U
B
~
A
~
U
B
~
A
~
max
)
(
),
(
max
)
(
)
B
~
A
~
(
max
x
x
dP
x
x
dP
x
P
{
}
(
)
{
}
=
-
+
=
=
-
+
=
³
³
³
³
U
B
~
A
~
U
B
~
U
A
~
U
B
~
A
~
B
~
A
~
)
(
),
(
min
)
(
)
(
)
(
),
(
min
)
(
)
(
x
x
x
x
dP
x
x
dP
x
dP
x
dP
x
x
x
x
)
B
~
A
~
(
)
B
~
(
)
A
~
(
)
(
)
(
)
(
min
U
B
~
A
~
U
B
~
U
A
~
min
-
+
=
=
-
+
=
³
³
³
P
P
P
dP
x
dP
x
dP
x
x
x
x
im stetigen Fall. Für den diskreten Fall verläuft der Beweis analog.
(iv) P
P
P
P
(A
B)
(A)
(B)
(A
B)
alg
alg
=
+
-
T
(6.11)
Beweis:
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
alg
alg
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
-
=
+
-
T
T
x
x
x
x
x
x
x
x
(v)
P
P
P
P
(A
B)
(A)
(B)
(A
B)
beschr
beschr
=
+
-
T
(6.12)
Beweis: Es ist zu zeigen:
{
}
{
}
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
)
(
)
(
)
(
,
1
min
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
-
+
-
+
=
+
x
x
x
x
x
x
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
96
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Fall 1:
A
B
( )
( )
:
x
x
+
1
{
}
{
}
0
1
)
(
)
(
denn
,
0
1
)
(
)
(
,
0
max
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
1
min
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
-
+
=
-
+
-
+
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fall 2:
A
B
( )
( )
:
x
x
+
1
{
}
(
)
{
}
0
1
)
(
)
(
denn
,
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
,
0
max
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
1
min
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
B
~
A
~
-
+
-
+
=
-
+
-
+
-
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Nun sollen die verallgemeinerten Begriffe der unabhängigen unscharfen Ereignisse
und der bedingten Wahrscheinlichkeit für unscharfe Ereignisse definiert werden. Bekannt-
lich heißen zwei scharfe Ereignisse unabhängig, wenn gilt: P
P
P
(A
B)
(A)
(B)
=
. Um
hier eine korrekte Verallgemeinerung durchzuführen, muß der Durchschnitt A
B
mittels
der Produktnorm
T
alg
(5.17) definiert werden, da dies sonst zu unrichtigen Ergebnissen
führt. Wir erhalten:
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei
(
~
ein Fuzzy-Ereignisfeld
auf U. Zwei unscharfe Ereignisse A und
~
B
~
(
heißen unabhängig, wenn gilt:
P
P
P
(A
B)
(A)
(B)
alg
=
T
(6.13)
also:
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
=
¦
¦
¦
U
B
~
U
A
~
U
B
~
A
~
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
(
x
x
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
x
bzw.
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
³
³
³
U
B
~
U
A
~
U
B
~
A
~
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
dP
x
dP
x
dP
x
x
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei
(
~
ein Fuzzy-Ereignisfeld
auf U. Seien A und
~
B
~
(
zwei unscharfe Ereignisse. Die bedingte Wahrschein-
lichkeit von A unter B ist definiert durch:
P
P
P
(A B):
(A
B)
(B)
alg
=
T
(6.14)
Es gilt dann wie im scharfen Fall:
A
und B unabhängig
P
P
(A B)
(A)
=
(6.15)
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei
(
~
ein Fuzzy-Ereignisfeld
auf U. Sei
~
A
~
(
ein unscharfes Ereignis in U. Dann ist der Erwartungswert von A
bezüglich
P definiert durch:
E
x
x
P x
P
x
P
(A):
( )
({ })
(A)
A
U
=
¦
1
(6.16)
im diskreten Fall, und
³
=
U
A
~
)
(
)
A
~
(
)
A
~
(
1
x
P
dP
x
x
E
P
(6.17)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
97
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
im stetigen Fall.
1
P(A)
dient als Normalisierungsfaktor.
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei
(
~
ein Fuzzy-Ereignisfeld
auf U. Sei
~
A
~
(
ein unscharfes Ereignis in U. Dann ist die Varianz von A bezüglich
P definiert durch:
(
)
¦
-
=
U
2
})
({
)
A
~
(
:
)
A
~
(
)
A
~
(
1
x
P
P
x
P
E
x
Var
P
(6.18)
im diskreten Fall, und
(
)
³
-
=
U
2
)
A
~
(
)
A
~
(
)
A
~
(
1
x
P
P
dP
E
x
Var
P
(6.19)
im stetigen Fall.
1
P(A)
dient wiederum als Normalisierungsfaktor.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie mit scharfen Ereignissen ist der Begriff der
disjunkten Zerlegung oder Partition wichtig. In einem Wahrscheinlichkeitsraum
)
,
(U,
P
(
ist eine Partition ein
n-Tupel von Mengen
)
A
,...,
(A
1
n
,
}
,...,
1
{
A
n
i
A
i
mit
(i)
}
,...,
1
{
U
A
,
A
n
i
i
i
(ii) A
A
i
j
i
j
=
für
(6.20)
(iii)
A
U
i
i
n
=
=
1
.
Für eine Partition gilt dann:
(i)
1
A
i
1
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
n
i
P
(ii) P
i
j
i
j
(A
A )
=
0 für
(iii)
j
i
P
P
P
j
i
j
i
+
=
für
)
(A
)
(A
)
A
(A
Dieser Begriff kann für den unscharfen Fall erweitert werden.
12
Definition: Sei
)
,
(U,
P
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei
(
~
ein Fuzzy-Ereignisfeld
auf U. Ein
n-Tupel
)
A
~
,...,
A
~
(
1
n
}
,...,
1
{
für
A
~
~
n
i
i
(
von unscharfen Ereignissen
von U mit
}
,...,
1
{
U
A
~
,
A
~
n
i
i
i
, das die Orthogonalitätseigenschaft
A
( )
U
i
x
x
i
n
=
¦
=
1
1
(6.21)
erfüllt, heißt Fuzzy-Partition von U.
Diese Definition stellt eine Verallgemeinerung des Begriffs der scharfen Partition
dar, denn die Orthogonalitätseigenschaft (6.21) stellt im scharfen Fall eine der Forderung
(6.20)(iii) äquivalente Bedingung dar, d.h.
12
Vgl. etwa Bandemer/Näther (1992), S.
14.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
98
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
A
U
( )
U
A
i
i
n
i
n
i
x
x
=
=
=
=
¦
1
1
1
1
Für eine unscharfe Partition
)
A
~
,...,
A
~
(
1
n
von U gilt
13
:
U
A
~
...
A
~
beschr
beschr
1
=
n
(6.22)
denn:
U
1
)
(
,
1
min
)
(
1
A
~
A
~
...
A
~
beschr
beschr
1
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
¦
=
x
x
x
N
i
i
n
j
i
j
i
=
für
A
~
A
~
beschr
T
(6.23)
denn:
(
)
j
i
n
j
i
x
x
x
x
i
j
i
=
-
+
=
},
,...,
1
{
,
U
0
1
)
(
)
(
,
0
max
)
(
j
beschr
A
~
A
~
A
~
A
~
Umgekehrt kann jedoch aus den beiden Eigenschaften (6.22)-(6.23) im allgemeinen
für n
2 nicht die Orthogonalitätseigenschaft (6.21) gefolgert werden.
14
Diese unscharfe Erweiterung ist sinnvoll für die Anwendung in der Wahrscheinlich-
keitstheorie, denn es gilt:
(
)
1
)
(
,
1
min
})
({
})
({
)
(
,
1
min
A
~
...
A
~
U
U
1
A
~
U
x
U
1
A
~
1
beschr
beschr
=
°
°
¿
°°
¾
½
°
°
¯
°°
®
=
¿
¾
½
¯
®
=
¿
¾
½
¯
®
=
³
³
¦
¦
¦
¦
=
=
x
x
n
i
x
n
i
n
dP
dP
x
x
P
x
P
x
P
i
i
(6.24)
(
)
{
}
{
}
0
0
1
)
(
)
(
,
0
max
})
({
0
})
({
1
)
(
)
(
,
0
max
A
~
A
~
U
U
A
~
A
~
U
U
A
~
A
~
beschr
=
°
¿
°
¾
½
°
¯
°
®
=
-
+
=
-
+
=
³
³
¦
¦
x
x
x
x
j
i
dP
dP
x
x
x
P
x
P
x
x
P
j
i
j
i
T
(6.25)
(
)
{
}
{
}
(
)
(
)
)
A
~
(
)
A
~
(
)
(
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
(
)
(
})
({
)
(
)
(
)
(
)
(
,
1
min
})
({
)
(
)
(
,
1
min
A
~
A
~
U
A
~
U
A
~
U
A
~
U
A
~
U
A
~
A
~
U
A
~
A
~
U
A
~
A
~
U
A
~
A
~
beschr
j
i
x
x
x
x
x
x
x
x
j
i
P
P
dP
x
dP
x
x
P
x
x
P
x
dP
x
x
x
P
x
x
dP
x
x
x
P
x
x
P
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
+
=
°
¿
°
¾
½
°
¯
°
®
+
+
=
°
¯
°
®
+
+
=
°
¯
°
®
+
+
=
³
³
¦
¦
³
¦
³
¦
(6.26)
13
Das Paar aus
t-Norm und dualer t-Conorm
beschr
beschr
,
T
ist, wie folgt, definiert (vgl. Comploj (1994),
S.
20):
Summe)
te
(beschränk
}
,
1
min{
)
,
(
Produkt)
tes
(beschränk
}
1
,
0
max{
)
,
(
beschr
beschr
b
a
b
a
b
a
b
a
+
=
-
+
=
T
14
Vgl. Zadeh (1968), S.
425, Dubois/Prade (1992), S. 141.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
99
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
6.2 Unscharfe Wahrscheinlichkeiten von unscharfen Ereignissen
Während im vorausgehenden Abschnitt 6.1 sowohl scharfe als auch unscharfe
Ereignisse immer zu scharfen Wahrscheinlichkeiten führten, sollen in diesem Abschnitt
Konzepte für Wahrscheinlichkeiten vorgestellt werden, bei denen sich die Unschärfe des
Ereignisses auf die Wahrscheinlichkeit überträgt, also Wahrscheinlichkeiten, die scharf für
scharfe Ereignisse und unscharf für unscharfe Ereignisse sind, es handelt sich dabei also
um eine Art Fuzzy-Extension der Wahrscheinlichkeit. Ausgangspunkt ist ein meßbarer
Raum
)
(U,
( . Zuerst soll der gängige Ansatz vorgestellt werden, anschließend sollen
weitere Ansätze, die die Literatur bietet, und die mehr oder weniger zur Modellierung des
Problems geeignet sind, diskutiert werden.
Es muß zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsräumen unterschieden
werden. Der gängige Ansatz speziell für endliche Wahrscheinlichkeitsräume wird von
Yager
15
vorgestellt. Es sei
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
,
(U)
7
(
=
,
(U)
~
-
( =
sei als Ereignisfeld
interpretiert.
Auf
(U))
(U,
7
sei
ein
Wahrscheinlichkeitsmaß
P
definiert
mit
1
})
({
0
i
x
P
für
}
,...,
1
{
n
i
und
1
})
({
1
=
¦
=
n
i
i
x
P
. Ausgehend von den scharfen
Wahrscheinlichkeiten
)
(A
P
der scharfen Ereignisse
(U)
A
7
wird die unscharfe
Wahrscheinlichkeit
)
A
~
(
P
des unscharfen Ereignisses
(U)
A
~
-
konstruiert.
Es gilt für das scharfe Ereignis
(U)
A
7
:
P
P x
i
x
i
(A )
({ })
A
=
¦
(6.27)
Für
gilt wegen A
A
: P
P
(A )
(A )
.
Die Zugehörigkeitsfunktion
)
A
~
(
P
der unscharfen Wahrscheinlichkeit
)
A
~
(
P
des unscharfen
Ereignisses A lautet dann:
(
]
{
}
)
(
sup
sonst
0
)
(A
mit
A
falls
)
(A
sup
:
)
(
A
~
(A)
:
A
),
A
~
supp(
A
(U),
A
:
1
,
0
)
A
~
(
x
p
P
p
P
p
p
P
x
x
P
=
=
°¯
°
®
=
=
=
7
(6.28)
Für scharfe Ereignisse A erhält man die gewöhnliche scharfe Wahrscheinlichkeit
¦
=
A
})
({
(A)
i
x
i
x
P
P
bzw.
¯
®
=
=
sonst
0
(A)
für
1
)
(
(A)
p
P
p
P
15
Vgl. Yager (1979), S.
114 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
100
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
}
,
,
,
{
U
4
3
2
1
x
x
x
x
=
, A
P
= (U), P x
P x
P x
({ })
, ,
({ })
, ,
({ })
,
1
2
3
0 1
0 2
0 4
=
=
=
,
P x
({ })
,
4
0 3
=
,
1 0,5 0,2 0
A =
x
x
x
x
~
1
2
3
4
.
°
°
¯
°°
®
=
=
1
5
,
0
1
,
0
5
,
0
2
,
0
3
,
0
2
,
0
0
7
,
0
0
1
)
(A
P
=
)
A
~
(
P
1 0,5 0,2
0,1 0,3 0,7
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
Abb. 6.1
Diskrete Wahr-
scheinlichkeiten
der
-Niveaus
Für stetige Wahrscheinlichkeitsräume läßt sich ein zum eben vorgestellten Ansatz
analoger Ansatz konstruieren, der seinerseits ein Spezialfall des Vorschlages für unscharfe
Wahrscheinlichkeiten von Dubois/Prade
16
ist.
Dubois/Prade schlagen die folgende Definition vor: Es sei
)
,
(U,
P
(
ein stetiger
Wahrscheinlichkeitsraum, d.h. es sie
]
1
,
0
[
,
R
I
R,
I
U
+
=
oder ein anderes Intervall auf R
I
,
(
sei die
-Algebra der Borel-Mengen
17
auf U, P sei ein stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß,
das durch seine Verteilungsfunktion bzw. seine Dichtefunktion auf U gegeben sei.
(
~
sei
ein Fuzzy-Ereignisfeld auf U,
( )
X
~
f
sei gemäß (5.65) die Fuzzy-Extension von f x
( ) ist,
( )
X
~
F
sei die Fuzzy-Extension der Verteilungsfunktion F x
( )
.
Die unscharfe Wahrscheinlichkeit des unscharfen Intervalls
~
A
~
(
, die mit
)
A
~
(
P
bezeichnet wird, wird definiert durch:
( )
( )
( )
³
=
=
C
~
B
~
B
~
C
~
X
~
:
)
A
~
(
F
F
dx
f
P
{
(6.29)
wobei B und C sind zwei normale, konvexe Fuzzy-Mengen (nach (3.12), (3.13)), also
ebenfalls Fuzzy-Intervalle, die A begrenzen, und für die gilt: B C
= . Für die -
Komponenten von A, B,C muß also gelten:
b
a
b
c
c
a
=
=
,
,
(6.30)
(Die
-Schnitte des Fuzzy-Intervalls A sind kompakte Intervalle A
,
= a a ,
]
1
,
0
(
.
Die Fuzzy-Intervalle B und C müssen keine Elemente von
(
~
sein.)
16
Vgl. Dubois/Prade (1992), S.
143 f.
17
Die Menge der Borel-Mengen auf (einer Teilmenge von
R
I ) enthält alle abgeschlossenen, halboffenen
und offenen Intervalle auf dieser Menge und deren Vereinigungen, Durchschnitte und Komplemente.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
101
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Eine Betrachtung der
-Schnitte von (6.27) führt zu weiteren interessanten Ergebnissen:
( ) ( )
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
[
] [
]
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
),
(
,
,
B
C
(B)
(C)
(B)
(C)
(A)
a
F
a
F
b
F
c
F
b
F
c
F
b
F
c
F
b
F
b
F
c
F
c
F
b
b
F
c
c
F
F
F
F
F
F
F
P
-
-
=
-
-
=
=
=
=
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸
¹
·
¨
©
§
{
{
{
{
{
(6.31)
Andererseits gilt für das scharfe Ereignis A
)
(
)
(
)
(
)
(A
a
F
a
F
dx
x
f
P
a
a
-
=
=
³
(6.32)
Somit gilt:
¸
¹
·
¨
©
§
=
(A)
sup
)
(A
P
P
(6.33)
[
]
(
)
( )
[
]
A
,
,
(A)
P
c
b
P
P
=
¸
¹
·
¨
©
§
(6.34)
0
1
A
B
C
~
~
~
x
a =b
b
c
c =a
])
,
([ b
0
1
P
P(A )
0
1
p
c
Abb. 6.2
Unscharfe
Ereigniswahr-
scheinlichkeit
Der folgende Spezialfall von (6.29)-(6.34) stellt das Äquivalent für stetige
Wahrscheinlichkeitsräume zu dem in (6.27)-(6.28) für endliche Wahrscheinlichkeitsräume
vorgestellten Ansatz dar:
]
1
,
0
(
,
1
1
=
=
a
c
a
b
Dann ist
)
(A
(A)
1
1
P
P
=
¸
¹
·
¨
©
§
(6.36)
und
[
]
( )
1
,
0
für
)
(A
),
(A
(A)
1
=
¸
¹
·
¨
©
§
P
P
P
(6.37)
0
1
A
B
C
~
~
~
x
a
a
a
a
1
1
0
1
P(A )
0
1
p
P(A )
1
Abb. 6.3
Spezialfall
unscharfer
Ereigniswahr-
scheinlichkeit
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
102
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Für die Zugehörigkeitsfunktion
)
(
)
A
~
(
p
P
erhält man:
[ ]
(
)
{
}
[ ]
(
)
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
),
(
min
sup
)
(
A
~
A
~
,
:
)
A
~
supp(
,
C
~
B
~
,
)
(
:
)
C
~
supp(
),
B
~
supp(
)
A
~
(
c
b
c
b
p
c
b
P
p
c
b
c
b
P
dx
x
f
p
c
b
P
c
b
=
=
=
=
³
=
[ ]
(
)
{
}
)
(
),
(
min
sup
A
~
A
~
,
c
b
c
b
P
p
=
wird erreicht bei
A
A
( )
( )
b
c
=
, d.h. bei b
a
=
, c
a
=
und
[
]
(
)
)
(A
,
P
a
a
P
p
=
=
. Es ist also
(
]
{
}
°¯
°
®
=
=
=
sonst
0
)
(A
mit
A
falls
)
(A
sup
)
(
1
,
0
)
A
~
(
p
P
p
P
p
P
(6.38)
was exakt der unscharfen Wahrscheinlichkeit (6.28) entspricht.
Insbesondere ist
(
)
=
)
(A
)
A
~
(
P
P
.
Des weiteren gilt wegen
A
A
:
)
A
~
supp(
A
:
)
(
sup
)
(
A
~
(A)
:
A
),
A
~
supp(
A
,
A
:
)
A
~
(
x
p
p
P
x
x
P
=
=
(
(6.39)
Dieser Spezialfall führt wegen (6.32) insbesondere bei scharfen Ereignissen A zu einer
eindeutigen scharfen Wahrscheinlichkeit
(A)
(A)
P
P
=
¸
¹
·
¨
©
§
]
1
,
0
(
und daher
(A)
(A)
P
P
=
(6.40)
Einen Vorschlag für die Definition einer unscharfen Wahrscheinlichkeit von
unscharfen Ereignissen, die weniger günstig ist, da sie für scharfe Ereignisse zu
intervallwertigen Wahrscheinlichkeiten führt, bringt Klement
18
. Bezug genommen wird auf
endliche
Wahrscheinlichkeitsräume
)
,
(U,
P
(
mit
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
,
(U)
7
(
=
,
1
})
({
0
i
x
P
für
}
,...,
1
{
n
i
und
1
})
({
1
=
¦
=
n
i
i
x
P
.
(U)
-
werde als Ereignisfeld
interpretiert. Es sei
(U)
A
~
-
.
Ausgehend von den scharfen Wahrscheinlichkeiten
]
1
,
0
(
),
(A
P
(6.27) der
-
Schnitte A
wird die Zugehörigkeitsfunktion
P
K
(A)
der unscharfen Wahrscheinlichkeit
von A , die hier mit P
K
(A)
bezeichnet werden soll, wie folgt, definiert:
[ ]
{
}
{
}
[ ]
{
}
p
P
q
P
q
p
p
p
P
p
P
p
p
q
P
P
K
K
=
°¯
°
®
=
=
=
=
=
)
(A
sup
sonst
)
(A
:
A
inf
:
mit
)
(
)
(A
mit
A
falls
)
(A
sup
:
)
(
1
,
0
)
A
~
(
1
,
0
)
A
~
(
(6.41)
18
Vgl. Klement (1982), S.211ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
103
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Mit den Angaben aus obigem Beispiel erhalten wir
°
°
¯
°°
®
=
1
7
,
0
0
7
,
0
3
,
0
2
,
0
3
,
0
1
,
0
5
,
0
1
,
0
0
1
)
(
)
A
~
(
p
p
p
p
p
K
P
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
Abb. 6.4
Intervallwertige
Wahrschein-
lichkeiten von
-Niveaus
Wie Yager
19
richtig bemerkt, führt P
K
(A)
zu intervallwertigen Wahrschein-
lichkeiten für scharfe Ereignisse A:
¯
®
=
sonst
0
0
(A)
für
1
)
(
(A)
p
P
p
K
P
, also
[
]
(A)
,
0
(A)
P
P
K
=
(6.42)
Für stetige Wahrscheinlichkeitsräume läßt sich die unscharfe Wahrscheinlichkeit
nach Klement als ein weiterer Spezialfall der Definition (6.29) einer unscharfen Wahr-
scheinlichkeit von Dubois/Prade darstellen. Wir gehen aus von den gleichen Voraus-
setzungen wie oben, d.h. es sei wiederum
R
I
U
=
oder eine Intervall von R
I
,
( sei die
Borel'sche
-Algebra auf U, P sei durch eine Verteilungsfunktion
)
(
x
F
bzw. eine Dichte-
funktion
)
(
x
f
,
U
x
gegeben, und
(
~
sei ein Fuzzy-Ereignisfeld auf U. Wiederum sei für
ein Fuzzy-Intervall
~
A
~
(
die unscharfe Wahrscheinlichkeit
)
A
~
(
P
gegeben durch:
( )
( )
( )
³
=
=
C
~
B
~
B
~
C
~
X
~
)
A
~
(
F
F
dx
f
P
{
Wir betrachten den Spezialfall:
]
1
,
0
(
1
1
=
=
=
c
b
c
b
, also
C
~
B
~
A
~
=
Es ist dann
]
1
,
0
(
1
=
b
b
. Wir erhalten
[ ]
(
)
( )
[
]
[
]
(
]
1
,
0
)
(A
,
0
A
,
,
(A)
(A)
1
1
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸
¹
·
¨
©
§
P
P
b
b
P
P
P
K
(6.43)
0
1
A
B
C
~
~
~
x
a
a
b
1
0
1
P
(A )
0
1
p
P
(A )
1
Abb. 6.5
-Schnitte der
unscharfen
Wahrschein-
lichkeiten
19
Vgl. Yager (1984a), S.
275 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
104
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Für die Zugehörigkeitsfunktion
)
(
)
A
~
(
p
K
P
gilt nach dem Repräsentationssatz (3.11):
(
]
(
]
[
]
{
}
(
]
{
}
p
P
P
p
p
p
DP
K
P
P
=
=
=
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
(A
sup
)
(A
,
0
sup
)
(
1
sup
)
(
1
,
0
1
,
0
(A)
1
,
0
)
A
~
(
2
(6.44)
Für scharfe Ereignisse A mit
]
1
,
0
(
A
A
A
1
=
=
führt
K
P
allerdings, wie im
endlichen Fall, zu falschen Ergebnissen, denn es ist
[
] [
]
(A)
(A)
,
0
)
(A
,
0
(A)
(A)
1
1
P
P
P
P
P
K
K
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸
¹
·
¨
©
§
(6.45)
Yager
20
zieht jedoch P
K
(A)
als Ausgangspunkt für einen weiteren Ansatz zur
Definition einer unscharfen Wahrscheinlichkeit von unscharfen Ereignissen heran. Wir
betrachten
wiederum
einen
endlichen
Wahrscheinlichkeitsraum
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
,
(U)
7
(
=
,
1
})
({
0
i
x
P
für
}
,...,
1
{
n
i
und
1
})
({
1
=
¦
=
n
i
i
x
P
,
(U)
~
-
( =
. Zuerst wird
die unscharfe Wahrscheinlichkeit P
K
(A)
von
(U)
A
~
-
definiert durch
[ ]
(
)
{
}
p
P
p
p
C
P
P
C
K
K
-
=
-
=
1
)
(A
sup
)
1
(
:
)
(
1
,
0
)
(A
)
A
~
(
(6.46)
und anschließend wird aus
)
A
~
(
K
P
und
)
A
~
(
K
P
die Wahrscheinlichkeit
)
A
~
(
Y
P
für
(U)
A
~
-
abgeleitet:
)
A
~
(
)
A
~
(
:
)
A
~
(
min
K
K
Y
P
P
P
=
(6.47)
also
¿¾
½
¯®
=
)
(
),
(
min
)
(
)
A
~
(
)
A
~
(
)
A
~
(
p
p
p
K
K
Y
P
P
P
(6.48)
Führen wir obiges Beispiel fort, so erhalten wir
0 0,5 0,8 1
A =
x
x
x
x
~
1
2
3
4
C
(
)
°
°
¯
°°
®
=
=
1
8
,
0
3
,
0
8
,
0
5
,
0
7
,
0
5
,
0
0
9
,
0
0
1
)
(A
C
P
°
°
¯
°°
®
=
1
7
,
0
1
7
,
0
3
,
0
8
,
0
3
,
0
1
,
0
5
,
0
1
,
0
0
0
)
(
)
A
~
(
p
p
p
p
p
K
P
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
Abb. 6.6
Unscharfe
Wahrschein-
lichkeit nach
Klement
20
Vgl. Yager (1984a), S.
276 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
105
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
°
°
¯
°°
®
=
1
7
,
0
0
7
,
0
3
,
0
2
,
0
3
,
0
1
,
0
5
,
0
1
,
0
0
0
)
(
)
A
~
(
p
p
p
p
p
Y
P
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
p
Abb. 6.7
Unscharfe
Wahrschein-
lichkeit nach
Yager (1)
P
Y
(A)
führt zu scharfen Wahrscheinlichkeiten bei scharfen Ereignissen A, denn
¯
®
=
sonst
0
1
(A)
für
1
)
(
(A)
p
P
p
K
P
, also P
P
K
=
(A)
(A),1
,
und
[
] [
]
(A)
1
(A),
(A)
,
0
(A)
P
P
P
P
Y
=
=
mit
{
}
)
(
1
sonst
0
(A)
für
1
)
(
(A)
(A)
p
P
p
p
P
P
Y
=
¿
¾
½
¯
®
=
=
(6.49)
Yager beweist, daß P
Y
(A)
eine konvexe Fuzzy-Menge über dem reellen Intervall
0 1
,
ist.
Im
allgemeinen
ist
P
Y
(A)
eine
subnormale
Fuzzy-Menge,
d.h.
[ ]
1
)
(
sup
)
A
~
(
1
,
0
p
Y
P
p
, nur für
}
1
,
0
{
)
(
A
x
x
U existiert p mit
1
)
(
(A)
=
p
Y
P
.
Der letzte Vorschlag für die Definition unscharfer Wahrscheinlichkeiten von
unscharfen Ereignissen, auf den hier eingegangen werden soll, stammt ebenfalls von
Yager
21
. Ausgangspunkt ist wiederum eine endliche Grundmenge
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
, auf
dieser seien m
Fuzzy-Mengen B ,..., B
1
m
definiert. Für diese m Fuzzy-Mengen seien
scharfe Wahrscheinlichkeiten
)
B
~
(
j
P
,
}
,...,
1
{
m
j
, mit
1
)
B
~
(
1
=
¦
=
m
j
j
P
gegeben.
22
Um die
unscharfe Wahrscheinlichkeit eines unscharfen Ereignisses A zu bestimmen, wird
zunächst für jedes
}
,...,
1
{
m
j
die unscharfe Hilfsmenge B (A)
j
definiert durch:
]
1
,
0
(
),
(
max
)
(
B
~
)
(
:
U
)
A
~
(
B
~
A
~
=
=
x
j
j
x
x
(6.50)
0
1
B
A
x
x
x
x
x
~
~
j
1
k
l
n
Abb. 6.8
Unscharfe Wahrschein-
lichkeit nach Yager (2)
21
Vgl. Yager (1984b), S.
3 ff.
22
Dies müssen nicht die in Abschnitt 6.1, S.
94 ff. definierten Wahrscheinlichkeiten sein, sondern sie sind
beliebig, sofern die Bedingung
1
)
B
~
(
1
=
=
j
m
j
P
erfüllt ist.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
106
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
A
A
B
B
(
)
( )
(
)
( )
x
x
x
x
k
l
k
l
j
j
=
=
=
= 0
{
}
=
=
=
)
(
)
(
),
(
max
)
(
B
~
B
~
B
~
)
A
~
(
B
~
k
l
k
x
x
x
j
j
j
j
Die unscharfe Wahrscheinlichkeit
)
A
~
(
'
Y
P
ist dann definiert als
¦
=
=
m
j
j
Y
j
Y
P
P
1
'
)
B
~
(
)
A
~
(
B
~
)
A
~
(
(6.51)
mit
[ ]
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
)
A
~
(
B
~
1
)
A
~
(
B
~
)
B
~
(
:
1
,
0
,...,
)
A
~
(
1
1
1
m
p
P
P
m
m
j
j
j
m
Y
p
=
¦
=
=
(6.52)
Beispiel:
{
}
5
4
3
2
1
,
,
,
,
U
x
x
x
x
x
=
,
0,3 0,7 1 0,5 0
x
x
x
x
x
B =
~
1
2
3
4
5
1
,
0
0 0,6 1 0,4
x
x
x
x
x
B =
~
1
2
3
4
5
2
,
2
1
)
B
~
(
)
B
~
(
2
1
=
= P
P
,
0 0,8 1 0,2 0
x
x
x
x
x
A =
~
1
2
3
4
5
.
0,3 0,7 1 0,5
B (A) =
~
1
0 0,2 0,8 1
~
,
0,4 1
0 0,6
B (A) =
~
2
0 0,2 0,8 1
~
=
=
)
A
~
(
B
~
)
A
~
(
B
~
)
A
~
(
2
1
2
1
2
1
Y
P
0,3 0,5 0,7 1
0 0,1 0,4 0,5
0,4 1 0,6
0 0,1 0,5
=
= 0,3 0,4 0,5 0,4 0,7 1 0,6 0,6
0 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,9 1
Yager
23
zeigt, daß
)
A
~
(
Y
P
immer eine normale Fuzzy-Menge über dem Intervall
0 1
,
ist, wenn alle
}
,...,
1
{
,
B
~
m
j
j
normale Fuzzy-Mengen über U sind.
Für den Spezialfall
m n
=
und B
{ },
i
i
x
=
}
,...,
1
{
n
i
und für das scharfe Ereignis A
erhält man die scharfe Wahrscheinlichkeit P(A) , denn
°¯
°
®
=
=
=
sonst
0
A
und
0
für
oder
A
und
1
für
1
)
(
}(A)
{
i
i
x
x
x
i
, also
¯
®
=
A
für
0
A
für
1
}(A)
{
i
i
i
x
x
x
und
(A)
})
({
})
({
}(A)
{
(A)
A
1
'
P
x
P
x
P
x
P
i
x
i
n
i
i
i
Y
=
=
=
¦
¦
=
(6.53)
23
Vgl. Yager (1984b), S.5f.; Yager behandelte den speziellen Fall mit
m
j
P
1
)
B
~
(
=
für
}
,...,
1
{
m
j
, doch
analoge Behauptungen gelten für den hier ausgeführten allgemeinen Fall.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
107
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
6.3 Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten
Bisher wurden ausschließlich Ansätze behandelt, die für unscharfe Ereignisse
scharfe oder unscharfe Wahrscheinlichkeiten liefern, für scharfe Ereignisse waren die
Wahrscheinlichkeiten jedoch immer scharf. Nun soll der Fall behandelt werden, daß die
Wahrscheinlichkeiten immer unscharf sind, unabhängig von der Schärfe oder Unschärfe
der Ereignisse. Man kann also auch von fuzzifizierenden Wahrscheinlichkeiten sprechen.
Hierbei sind insbesondere linguistische Wahrscheinlichkeiten von Bedeutung, d.h. Wahr-
scheinlichkeiten, die nicht durch eine exakte Zahl, sondern nur durch einen unscharfen
linguistischen Ausdruck, z.B. hoch beschrieben werden (vgl. Abschnitt 4.1.1
24
).
Im scharfen Fall ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem meßbaren Raum
(U,
() gegeben durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (für höchstens abzählbares U)
bzw. eine Dichtefunktion (für überabzählbares U) auf dem Universum U. In Abschnitt
7.1.3
25
wird der umgekehrte Weg beschritten und aus einem gegebenen Wahrscheinlich-
keitsmaß die entsprechende Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion bestimmt. Für eine
Fuzzifikation der Wahrscheinlichkeitsverteilung geht man also von einer Fuzzifikation der
Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion aus. Mögliche Fuzzifikationen für Funktionen
sind die Fuzzy-Schar und die fuzzifizierende Funktion (Abschnitte 5.4.2-5.4.3
26
).
In einem abzählbaren Universum U (etwa
Q
I
Z,
Z
N,
I
U
=
oder U endlich) sei durch
eine Fuzzy-Schar von Wahrscheinlichkeitsfunktionen
(
)
]
1
,
0
[
)
(
,
1
)
(
U,
1
)
(
0
],
1
,
0
[
U
:
)
(
,
:
~
~
~
~
U
~
~
¿
¾
½
¯
®
=
=
¦
p
x
p
x
x
p
p
p
p
p
p
x
p
(6.54)
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben. Wir interpretieren
7(U) als Ereignisfeld und
definieren mit Hilfe der durch p
~
~ gegebenen unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilung ein
unscharfes Wahrscheinlichkeitsmaß auf P
~
auf (U,
7(U)).
Zuerst soll die unscharfe Wahrscheinlichkeit für die einelementigen Ereignisse
definiert werden. Um zu verhindern, daß der Fall eintritt, daß für
)
~
~
supp(
,
p
q
p
mit
q
p /
und
)
(
)
(
~
~
~
~
q
p
p
p
dennoch für
U
x
gilt:
)
(
)
(
x
q
x
p
=
, muß zuerst aus der Fuzzy-Schar
gemäß (5.71) der Wahrscheinlichkeitsfunktionen die induzierte fuzzifizierende Wahr-
scheinlichkeitsfunktion p
~ abgeleitet werden, und man erhält so die Fuzzy-Wahrschein-
lichkeiten der einelementigen Ereignisse:
(
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
=
=
=
)
(
sup
)
(
],
1
,
0
[
)
(
,
)
(
~
})
({
~
~
~
})
({
)
(
):
~
~
supp(
})
({
~
})
({
~
p
p
p
p
p
x
p
x
P
p
p
x
P
x
p
p
p
x
P
x
P
(6.55)
Die unscharfe Wahrscheinlichkeit eines mehrelementigen Ereignisses
(U)
A
7
lautet:
24
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S. 23 ff.
25
Vgl. Abschnitt 7.1.3, S. 122 ff.
26
Vgl. Abschnitt 5.4.2, S. 80 ff. und Abschnitt 5.4.3, S. 83 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
108
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
(
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
¦
=
=
=
)
(
sup
)
(
],
1
,
0
[
)
(
,
(A)
~
~
~
)
(
:
)
~
~
supp(
)
A
~
(
~
)
A
~
(
~
A
p
p
p
p
p
P
p
p
x
p
p
p
P
P
x
(6.56)
Beispiel: Sei
}
,
,
{
U
3
2
1
x
x
x
=
,
0.5 0.3 1
p
=
p
p
p
~
1
2
3
~
,
3
,
0
)
(
1
1
=
x
p
,
6
,
0
)
(
2
1
=
x
p
,
1
,
0
)
(
3
1
=
x
p
,
3
,
0
)
(
1
2
=
x
p
,
2
,
0
)
(
2
2
=
x
p
,
5
,
0
)
(
3
2
=
x
p
,
4
,
0
)
(
1
3
=
x
p
,
2
,
0
)
(
2
3
=
x
p
,
4
,
0
)
(
3
3
=
x
p
.
Es ist dann:
=
})
({
~
1
x
P
0.5 1
0.3 0.4
,
=
})
({
~
2
x
P
1 0.5
0.2 0.6
,
=
})
({
~
3
x
P
0.5 1
0.1 0.4 0.5
0.3 ,
=
})
,
({
~
2
1
x
x
P
0.3 1
0.5 0.6 0.9
0.5 ,
=
})
,
({
~
3
2
x
x
P
1 0.5
0.6 0.7
,
=
})
,
({
~
2
1
x
x
P
0.5 1
0.4 0.8
,
1
})
,
,
({
~
3
2
1
=
x
x
x
P
Analog kann für ein überabzählbares Universum (etwa
+
=
R
I
R,
I
U
oder ein reelles
Intervall) durch eine Fuzzy-Schar von Dichtefunktionen eine Fuzzy-Schar von Wahr-
scheinlichkeitsverteilungen definiert werden:
(
)
]
1
,
0
[
)
(
,
1
)
(
,
R
I
U
:
)
(
,
:
~
~
~
~
U
~
~
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
³
+
f
dx
x
f
f
f
f
f
f
f
(6.57)
Ist
) die -Algebra der Borel-Mengen von U, so können wir ein Fuzzy-Wahrscheinlich-
keitsmaß P
~
definieren, in dem wir für die unscharfen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
(U)
A
)
setzen:
(
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
³
=
=
=
)
(
sup
)
(
],
1
,
0
[
)
(
,
(A)
~
~
~
)
(
:
)
~
~
supp(
)
A
~
(
~
)
A
~
(
~
A
f
p
p
p
p
P
f
p
dx
x
f
f
f
P
P
(6.58)
Anstatt einer Fuzzy-Schar von Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktionen, aus der
dann die induzierte fuzzifizierende Funktion bestimmt wird, kann auch nur eine fuzzifizie-
rende Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion gegeben sein. Die Behandlung dieses
Falles ist bei weitem nicht so glatt und leicht handhabbar, wie dies für Fuzzy-Scharen der
Fall ist. Hier soll nur der diskrete Fall behandelt werden.
27
In einem höchstens abzählbaren Universum U ist eine fuzzifizierende Wahrschein-
lichkeitsfunktion gegeben als eine Funktion
)
(
~
]);
1
,
0
([
U
:
~
x
p
x
p
-
(6.59)
für die im Kern die Bedingung für Wahrscheinlichkeiten
1
)
(
U
=
¦
x
x
p
erfüllt sein muß,
d.h. für die gilt:
1
)
(
:
)
~
ker(
U
1
1
=
¦
x
x
p
p
p
(6.60)
wobei
(
)
U
))
(
~
ker(
:
)
~
ker(
=
x
x
p
p
und
(
)
U
1
1
)
(
:
=
x
x
p
p
.
27
Einige kurze Überlegungen zu unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Intervallen finden sich bei
Dubois/Prade (1992), S.
145 und Bandemer/Gottwald (1993), S. 171 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
109
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Für fuzzifizierende Wahrscheinlichkeitsfunktionen p
~ können die -Niveaukurven
p
und
p
angegeben werden:
{
}
{
}
a
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
=
=
))
(
(
|
)
(
sup
)
(
))
(
(
|
)
(
inf
)
(
)
(
~
)
(
~
(6.61)
Beispiel: Für die fuzzifizierende Wahrscheinlichkeitsfunktion aus obigem Beispiel
=
)
(
~
1
x
p
0.5 1
0.3 0.4
,
=
)
(
~
2
x
p
1 0.5
0.2 0.6
,
=
)
(
~
3
x
p
0.5 1
0.1 0.4 0.5
0.3 lauten die -Nivaukurven:
¯
®
=
1
5
,
0
für
4
,
0
5
,
0
0
für
3
,
0
)
(
1
x
p
,
]
1
,
0
(
für
4
,
0
)
(
1
=
x
p
,
]
1
,
0
(
für
2
,
0
)
(
2
=
x
p
,
¯
®
=
1
5
,
0
für
2
,
0
5
,
0
0
für
6
,
0
)
(
2
x
p
,
¯
®
=
1
5
,
0
für
4
,
0
5
,
0
0
für
1
,
0
)
(
3
x
p
,
¯
®
=
1
3
,
0
für
4
,
0
3
,
0
0
für
5
,
0
)
(
3
x
p
Man beachte, daß diese
-Nivaukurven im allgemeinen keine Wahrscheinlichkeiten
sind, denn im allgemeinen gilt für
)
1
,
0
(
1
)
(
,
1
)
(
U
U
¦
¦
x
x
x
p
x
p
(6.62)
Soll nun aus einer fuzzifizierenden Wahrscheinlichkeitsfunktion p
~ die unscharfe
Wahrscheinlichkeit
(A)
~
P
eines mehrelementigen Ereignisses
(U)
A
7
bestimmt werden,
so ist man aufgrund der Additivität von Wahrscheinlichkeiten unweigerlich geneigt, einen
ersten Versuch mittels der Addition für Fuzzy-Zahlen (5.35) zu starten. Doch dabei
ergeben sich aufgrund (6.62) im wesentlichen zwei Probleme, wie man anhand des
folgenden Beispiels sehen wird:
Beispiel: Aus den Angaben des obigen Beispiels erhalten wir für mehrelementige
Ereignisse:
=
)
(
~
)
(
~
2
1
x
p
x
p
0.5 1
0.5 0.6 0.9
0.5
1
0.5 ,
=
)
(
~
)
(
~
3
1
x
p
x
p
0.5 0.5
0.4 0.5 0.7
0.5
0.8
1
0.9
0.3 ,
=
)
(
~
)
(
~
3
2
x
p
x
p
0.5 1
0.3 0.6 0.7
0.5
1
0.5
1.1
0.3 ,
=
)
(
~
)
(
~
)
(
~
3
2
1
x
p
x
p
x
p
0.5 0.5
0.6 0.7 0.9
0.5
1
1
1.1
0.5
1.4
0.5
1.3
0.5
1.5
0.3
Hier sieht man unverzüglich, daß zwei Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
28
verletzt sind: erstens sollten Wahrscheinlichkeiten auch im unscharfen Fall nur Werte
28
Vgl. Abschnitt 3.4, S.
21, Fußnote 12.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
110
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
zwischen 0 und 1 umfassen. Dieses Problem könnte leicht behoben werden, indem man
von
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
(
~
supp
A
x
p
x
durch
]
1
,
0
[
)
(
~
supp
A
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
x
p
x
ersetzt und den über 1 hinausstehenden
Teil der Fuzzy-Menge ,,abschneidet", indem man die obere
-Komponente der unscharfen
Ereigniswahrscheinlichkeit
definiert
als
(
)
{
}
¦
=
A
A
)
(
,
1
min
)
(
x
i
x
x
p
x
p
bzw.
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
)
(
~
,
1
~
min
)
(
~
A
A
x
p
x
p
x
x
in der Notation (5.92)
29
.
Doch damit ist das größere der beiden Probleme noch nicht beseitigt. Aus dem
Beispiel ist ersichtlich, daß
(U)
~
P
nur eine unscharfe Zahl ist, deren Kern zwar 1 enthält,
während man doch eigentlich eine scharfe 1 erwarten möchte, wie es in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung gefordert ist, und wie dies bei der Fuzzy-Schar der Fall war.
Hierzu soll nun der Vorschlag von Dubois/Prade
30
, der sich auch bei Bandemer/Gottwald
31
findet, vorstellt werden. Insbesondere wird ein endliches Universum betrachtet.
Das Konzept geht von der Vektorschreibweise für Wahrscheinlichkeitsverteilungen
in einem endlichen Universum aus: Ist in einem endlichen Universum
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion
]
1
,
0
[
U
:
p
durch
i
i
p
x
p
=
)
(
,
1
0
i
p
}
,...,
1
{
n
i
und
1
1
=
¦
=
n
i
i
p
gegeben, so kann die durch p definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf U
als Vektor
))
(
),...,
(
(
1
n
x
p
x
p
=
)
,...,
(
1
n
p
p
angeschrieben werden.
Als der unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde liegende Funktion
kommt jede gemäß (6.59) definierte fuzzifizierende Funktion
])
1
,
0
([
U
:
~
-
DP
p
;
)
(
~
x
p
x
DP
in Betracht, Zusatzforderungen (wie etwa (6.60)) werden nicht gestellt. Dazu
wird der Standardsimplex
)
(n
R
als Relation in
n
]
1
,
0
[
definiert:
(
)
[ ]
¿
¾
½
¯
®
=
=
¦
=
1
1
,
0
,...,
:
1
1
)
(
n
i
i
n
n
n
p
p
p
R
(6.63)
Als unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
wird dann der folgende
unscharfe Vektor definiert:
(
) (
)
)
(
1
1
min
)
(
~
...
)
(
~
:
)
(
~
),...,
(
~
n
n
DP
DP
n
R
x
p
x
p
x
p
x
p
T
=
(6.64)
mit
(
)
(
)
{
}
)
,...,
(
1
),
(
),...,
(
min
,...,
1
)
(
~
1
)
(
~
1
)
(
~
),...,
(
~
)
(
1
1
n
R
n
x
p
x
p
n
x
p
x
p
p
p
p
p
p
p
n
n
DP
DP
n
=
(6.65)
wobei
¯
®
=
+
+
=
sonst
0
1
...
für
1
)
,...,
(
1
1
1
)
(
n
n
R
p
p
p
p
n
29
Vgl. Abschnitt 5.5.1, S.
89.
30
Vgl. Dubois/Prade (1992), S.
144 f.
31
Vgl. Bandemer/Gottwald (1993), S.
171.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
111
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
Man erhält also eine Fuzzy-Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, von denen
jede einen unscharfen Punkt im Standardsimplex R
(n)
32
darstellt. Die so definierte Fuzzy-
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist häufig eine subnormale Fuzzy-Menge, wie das folgende
Beispiel zeigen wird. Möchte man eine normalisierte Fuzzy-Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf
}
,...,
{
U
1
n
x
x
=
, so muß für die fuzzifizierende Wahrscheinlichkeitsverteilung p
~
zusätzlich
die
Forderung
(6.60)
erfüllt
sein,
d.h.
es
muß
(
)
(
)
)
(
~
...
)
(
~
ker
)
(
),...,
(
1
1
1
1
n
DP
DP
n
x
p
x
p
x
p
x
p
existieren mit
1
)
(
...
)
(
1
1
1
=
+
+
n
x
p
x
p
.
Dann ist nämlich
(
)
)
(
1
1
1
)
(
),...,
(
n
n
R
x
p
x
p
und
(
)
1
)
(
),...,
(
1
1
1
)
(
~
...
)
(
~
1
=
n
x
p
x
p
x
p
x
p
n
DP
DP
, d.h.
(
)
(
)
1
)
(
),...,
(
1
1
1
)
(
~
),...,
(
~
1
=
n
x
p
x
p
x
p
x
p
n
.
Beispiel:
},
,
{
U
2
1
x
x
=
°¯
°
®
-
=
°
°
¯
°
°
®
-
+
-
=
1
2
2
0
2
)
(
,
1
0
12
9
3
1
0
0
)
(
2
2
2
2
2
)
(
~
1
1
1
1
1
1
1
)
(
~
2
1
2
1
4
3
4
3
3
2
3
2
3
1
3
1
2
1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
x
p
x
p
Es ist R
( )
2
die Gerade p
p
1
2
1
+
= .
p
p
2
1
1
R
(2)
1
1
1
p ( )
x
1
p ( )
x
2
(p
1
, p
2
)
(
p ( ) ,
x
1
p ( })
x
2
)
(p
1
, p
2
)
x
(p
1
, p
2
)
DP
DP
~
~
~
~
Abb. 6.9
Subnormale Fuzzy-Wahrschein-
lichkeitsverteilung
Für Ereignisse in
(U)
7
werden zunächst die unscharfen Ereigniswahrscheinlich-
keiten für einelementige Ereignisse
}
,...,
1
{
},
{
n
i
x
i
definiert durch:
)
(
min
)
(
~
:
})
({
~
n
i
DP
i
R
x
p
x
P
T
=
für
}
,...,
1
{
n
i
(6.66)
Für mehrelementige Ereignisse
(U)
A
7
werden die Wahrscheinlichkeiten der Elemente
des Ereignisses für jede (als Punkt dargestellte) Wahrscheinlichkeitsverteilung addiert, als
Zugehörigkeitsgrad der Ereigniswahrscheinlichkeit wird der Zugehörigkeitsgrad der Wahr-
scheinlichkeitsverteilung zur Fuzzy-Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt. Abschließend
wird die sup-Vereinigung über die unscharfen Punkte der Ereigniswahrscheinlichkeit
32
Bei Dubois/Prade (1992), S.
144f., Bandemer/Gottwald (1993), S. 171 wird die Zugehörigkeit zum
Standardsimplex als Interaktivitätsbedingung bezeichnet.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
112
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
gebildet. Die Zugehörigkeitsfunktion der unscharfen Wahrscheinlichkeit
(A)
~
DP
P
hat also
die folgende Gestalt:
(
)
)
(
min
sup
)
(
)
(
~
A
:
:
)
(
~
...
)
(
~
supp
)
(
(A)
~
A
:
)
(
1
A
i
x
p
x
i
p
p
R
x
p
x
p
p
P
p
p
i
DP
i
i
x
i
i
n
n
DP
DP
i
x
i
=
¦
=
(6.67)
Die Methode (6.64)-(6.65) kann auch so interpretiert werden, daß aus der fuzzifi-
zierenden Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Fuzzy-Schar von Funktionen ,,herausgefiltert"
wird, die jede eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, anschließend wird wie für gewöhnliche
Fuzzy-Scharen (6.54)-(6.56) vorgegangen.
Beispiel: Aus der fuzzifizierenden Wahrscheinlichkeitsfunktion des obigen Beispiels
=
)
(
~
1
x
p
DP
0.5 1
0.3 0.4
,
=
)
(
~
2
x
p
DP
1 0.5
0.2 0.6
,
=
)
(
~
3
x
p
DP
0.5 1
0.1 0.4 0.5
0.3 erhält man:
(
)
=
)
(
~
),...,
(
~
1
n
x
p
x
p
(
) (
) (
) (
)
{
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)}
=
=
)
5
.
0
,
6
.
0
,
4
.
0
/(
0
)
4
.
0
,
6
.
0
,
4
.
0
/(
0
)
1
.
0
,
6
.
0
,
4
.
0
/(
0
)
5
.
0
,
2
.
0
,
4
.
0
/(
0
)
4
.
0
,
2
.
0
,
4
.
0
/(
1
)
1
.
0
,
2
.
0
,
4
.
0
/(
0
)
5
.
0
,
6
.
0
,
3
.
0
/(
0
)
4
.
0
,
6
.
0
,
3
.
0
/(
0
)
1
.
0
,
6
.
0
,
3
.
0
/(
5
.
0
)
5
.
0
,
2
.
0
,
3
.
0
/(
3
.
0
)
4
.
0
,
2
.
0
,
3
.
0
/(
0
)
1
.
0
,
2
.
0
,
3
.
0
/(
0
(
) (
) (
)
{
}
)
4
.
0
,
2
.
0
,
4
.
0
/(
1
,
)
1
.
0
,
6
.
0
,
3
.
0
/(
5
.
0
,
)
5
.
0
,
2
.
0
,
3
.
0
(
/
3
.
0
=
Die ,,herausgefilterte" Fuzzy-Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen entspricht
gerade der ursprünglichen Fuzzy-Schar.
Wird die fuzzifizierende Funktion
DP
p
~
ersetzt durch
DP
p'
~
mit
)
(
'
~
)
(
~
1
1
x
p
x
p
DP
DP
=
,
)
(
'
~
)
(
~
2
2
x
p
x
p
DP
DP
=
,
=
)
(
'
~
3
x
p
DP
0.5 0.7
0.1 0.3 0.4
1
0.5
0.3 , so ändert sich nichts an der Fuzzy-
Wahrscheinlichkeitsverteilung, denn
(
)
=
)
3
.
0
,
2
.
0
,
3
.
0
(
)
(
~
),...,
~
n
x
p
x
p
(
)
=
)
3
.
0
,
6
.
0
,
3
.
0
(
)
(
~
),...,
(
~
n
x
p
x
p
(
)
=
)
3
.
0
,
2
.
0
,
4
.
0
(
)
(
~
),...,
(
~
n
x
p
x
p
(
)
=
)
3
.
0
,
6
.
0
,
4
.
0
(
)
(
~
),...,
(
~
n
x
p
x
p
0
Ebenso unverändert bleibt die Fuzzy-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
}
{
3
x
:
=
=
})
({
~
})
({
'
~
3
3
x
P
x
P
0.5 1
0.1 0.4 0.5
0.3
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
113
Fuzzy-Statistik
7 Aspekte der Fuzzy-Statistik
In Kapitel 6
1
wurden Kombinationen aus Unschärfe und Wahrscheinlichkeit
vorgestellt, ohne darauf einzugehen, wie die Wahrscheinlichkeiten zustande kommen. In
dieser Arbeit wird die Bestimmung der entscheidungsrelevanten Wahrscheinlichkeiten von
Umweltzuständen als eigenständiges, dem eigentlichen Entscheidungsproblem vorge-
lagertes Entscheidungsproblem verstanden.
2
Als Techniken, um Aussagen über Wahr-
scheinlichkeiten machen zu können stehen die Methoden der entscheidungsorientierten
Statistik zur Verfügung. Statistische Entscheidungen lassen sich einteilen in statistische
Schätzungen, bei welchen wiederum zwischen nicht-parametrischen Schätzungen und
parametrischen Schätzungen unterschieden wird, und unter diesen zwischen Punkt- und
Bereichsschätzungen, und statistische Tests. Sofern die Informationen, aus denen auf die
Wahrscheinlichkeiten der Umweltzustände geschlossen werden kann, unscharf sind,
müssen auch die Methoden der Statistik auf diese erweitert werden.
7.1 Fuzzy-Zufallsvariablen und unscharfe deskriptive Statistik
Ausgangspunkt für statistische Betrachtungen sind Zufallsvariablen und ihre
Verteilung bzw. Charakteristiken (insbesondere Erwartungswert und Varianz). Hier soll die
Fuzzifikation von Zufallsvariablen dargestellt werden.
3
7.1.1 Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen
Hier soll nur der Ansatz von Kwakernaak, der unter vor allem von Kruse über-
nommen wurde, vorgestellt werden.
4
Ausgangspunkt ist die Definition einer gewöhnlichen
(scharfen) Zufallsvariablen: Eine Zufallsvariable X ist definiert
5
als eine meßbare Abbil-
dung von einem Wahrscheinlichkeitsraum (
,
(, P)
in einen meßbaren Raum (
`,
(`).
6
1
Vgl: Kapitel 6, S.
93 ff.
2
Vgl. Abschnitt 8.3, S.
161 f. bzw. Abschnitt 8.6, S. 170.
3
Diesem Konzept folgt vor allem Kruse (etwa Kruse/Meyer (1987), S.
63 ff.). Viert (etwa Viertl (1990),
S.
161 ff., Viertl (1992), S. 121 ff., Viertl (1996), S. 45 ff.) analysiert unscharfe Stichproben von scharfen
Zufallsvariablen.
4
Vgl. Kwakernaak (1978), S.
6 ff., Kwakernaak (1979), S. 253 ff., Kruse (1982), S. 235 ff., Kruse (1984),
S.
198 ff., Kruse (1986), S. 221 ff., Kruse/Meyer (1987), S. 63 ff., Kruse/Gebhardt (1988), S. 356 ff. und
Miyakoshi/Shimbo (1984), S.
133 ff.
Ein ebenfalls wichtiger (nicht äquivalenter) Ansatz (vgl. auch Comploj (1994), S.
109 f.) stammt von
Ralescu und Puri (vgl. Ralescu/Ralescu (1984), S.
87 ff., Puri/Ralescu (1986), S. 413 ff.). Weitere
Ansätze bringen Nahmias (1979), S.
174 ff. und Stein/Talati (1981), S. 275 ff.
5
Vgl. Nguyen/Rogers (1989) I, S.
77, Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S. 137 f., Kruse/Meyer (1987), S. 63,
Comploj (1994), S.
74 f. und S. 95. Viertl (1990), S. 20 f. spricht von ,,stochastischen Größen".
6
Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel (
, (, P), wobei eine Grundmenge, ( eine -Algebra über
, und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (, () (vgl. Abschnitt 3.4, S. 20 bzw. S. 21, Fußnote 12.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
114
Fuzzy-Statistik
Definition: Sei
(
)
P
,
,
(
ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Abbildung
7
)
(
~
~
})
,
{
R
(I
:
~
X
X
X
c
=
-
-
(7.1)
heißt Fuzzy-Zufallsvariable oder unscharfe Zufallsvariable, wenn
(
]
{
}
{
}
-
=
)
(
}
,
{
R
I
:
)
(
1
,
0
)
(
)
(
~
x
x
X
(7.2)
eine Mengenrepräsentation von
( )
X
im Sinn von (3.11) ist und die Abbildungen
=
-
=
-
sup
:
)
(
}
,
{
R
I
:
und
inf
:
)
(
}
,
{
R
I
:
X
X
X
X
(7.3)
]
1
,
0
(
gewöhnliche Zufallsvariablen (d.h.
)
( -
-meßbar
8
) sind.
9
Bemerkung: Die
-Schnitte
)
(
X
von
( )
X
sind (scharfe) zufällige Mengen.
10
Da von
der Definition in (7.1) ausschließlich
)
R
(I
)
(
~
c
X
-
erfaßt werden, sind die
-
Schnitte
( )
( ),
( )
= X
X
insbesondere zufällige abgeschlossene Intervalle.
Fuzzy-Zufallsvariablen X können als unscharfe Beobachtungen von gewöhnlichen
Zufallsvariablen X :
IR
aufgefaßt werden. Eine solche Zufallsvariable X wird als
Original von X bezeichnet.
11
Sei
{
}
meßbar
ist
}
,
{
R
I
:
:
-
-
-
=
)
(
?
X
X
die Menge aller gewöhnlichen Zufallsvariablen von
)
,
,
(
P
(
nach
)
},
,
{
R
(I
-
) .
Dann läßt sich X darstellen als unscharfe Menge der möglichen Originale
?
X
von
~
X ,
und die Zugehörigkeitsfunktion
X
ist gegeben durch:
12
Eine Abbildung
:
heißt meßbar (
(-('-meßbar), wenn gilt:
(
(
-
A
)
A
(
1
(vgl. auch Abschnitt 3.4, S.
20 f.)
7
Erweiterungen dieser sehr eng gefaßten Definition werden am Ende von Abschnitt 7.1.2, S.
118 ff.
vorgestellt.
8
) ist die Borel'sche
-Algebra auf
}
,
{
R
I
-
, d.h. die Menge aller abgeschlossenen, halboffenen
und offenen Intervalle auf
}
,
{
R
I
-
und deren Vereinigungen, Durchschnitte und Komplemente.
9
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
64 f., Comploj (1994), S. 111.
10
Zu zufälligen Mengen siehe Matheron (1975), Stoyan/Kendall/Mecke (1987) oder auch Comploj (1994),
S.
94 ff.
11
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
65, Kruse (1988), S. 356, Comploj (1994), S. 111.
12
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
65 f., Comploj (1994), S. 111.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
115
Fuzzy-Statistik
[ ]
(
)
)
(
inf
)
(
1
,
0
:
)
(
~
~
~
X
X
X
X
X
X
=
?
(7.4)
Es ist also X eine Fuzzy-Menge über
?, d.h.
)
(
~
?
-
X
7.1.2 Charakteristiken von unscharfen Zufallsvariablen
Die wichtigsten Charakteristiken von Zufallsvariablen sind Erwartungswert und
Varianz
13
.
Unter
Anwendung
des
Extensionsprinzips
(5.33)
können
die
Zugehörigkeitsfunktionen von Erwartungswert und Varianz von Fuzzy-Zufallsvariablen
berechnet werden.
Definition:
14
Sei
)
(
~
?
-
X
mit
( )
X
X im Sinne von (7.4).
(i) Dann ist der unscharfe Erwartungswert
)
~
( X
E
bestimmt durch:
( )
[ ]
( )
)
(
sup
:
)
(
1
,
0
R
I
:
~
)
(
:
~
~
X
x
x
X
x
X
E
x
X
E
X
E
=
=
?
(7.5)
d.h. im diskreten Fall
( )
(
)
)
(
inf
sup
)
(
)
(
~
})
({
)
(
:
~
X
x
X
x
P
X
X
X
E
=
¦
=
?
(7.6)
und im stetigen Fall
( )
(
)
)
(
inf
sup
)
(
)
(
~
})
({
)
(
:
~
X
x
X
x
dP
X
X
X
E
=
³
=
?
(7.7)
13
Für eine (scharfe) Zufallsvariable
R
I
:
X
lautet der Erwartungswert:
})
({
)
(
)
(
P
X
X
E
=
(diskret) bzw.
})
({
)
(
)
(
dP
X
X
E
³
=
(stetig)
und die Varianz
2
2
2
)
(
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
(
)
(
P
X
P
X
P
X
E
X
X
Var
w
w
-
=
-
=
(diskret)
bzw.
2
2
2
)
(
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
(
)
(
dP
X
dP
X
dP
X
E
X
X
Var
³
³
³
-
=
-
=
(stetig)
Insgesamt ist
2
2
2
))
(
(
)
(
)
(
)
(
X
E
X
E
X
E
X
E
X
Var
-
=
-
=
Vgl. Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S.
169 und S. 172, Nguyen/Rogers (1989), S. 84 f., Viertl (1990),
S.
46 ff.
14
Vgl. Kurse/Meyer (1987), S.
72 und S. 80, Compoj (1994), S. 114.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
116
Fuzzy-Statistik
(ii) Die unscharfe Varianz
)
~
( X
Var
ist gegeben durch:
( )
[ ]
( )
(
)
( )
(
)
)
(
sup
)
(
sup
)
(
sup
:
)
(
1
,
0
R
I
:
~
)
(
:
~
)
(
:
~
)
(
:
~
~
2
2
2
X
X
X
x
x
X
x
X
E
X
E
X
X
x
X
E
X
E
X
X
x
X
Var
x
X
Var
X
Var
=
-
=
-
=
=
=
=
=
?
?
?
(7.8)
d.h. im diskreten Fall
( )
(
)
(
)
)
(
inf
sup
)
(
inf
sup
)
(
)
(
~
})
({
)
(
})
({
)
(
:
)
(
~
})
({
})
({
)
(
)
(
:
~
2
2
2
X
X
x
X
x
P
X
P
X
X
X
x
P
P
X
X
X
X
Var
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
¦
¦
=
=
¦
¦
=
?
?
(7.9)
und im stetigen Fall
( )
(
)
(
)
)
(
inf
sup
)
(
inf
sup
)
(
)
(
~
})
({
)
(
})
({
)
(
:
)
(
~
})
({
})
({
)
(
)
(
:
~
2
2
2
X
X
x
X
x
dP
X
dP
X
X
X
x
dP
dP
X
X
X
X
Var
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
³
³
=
=
³
³
=
?
?
(7.10)
Von
)
~
( X
E
und
)
~
( X
Var
sollen die
-Schnitte bestimmt werden
15
.
Satz: Sei
)
R
(I
)
(
~
),
(
~
c
X
X
-
?
-
. Dann gilt
(i) für den Erwartungswert
)
~
( X
E
:
16
[
]
)
(
),
(
(X)
X
E
X
E
E
=
¸
¹
·
¨
©
§
(7.11)
Für
)
R
(I
)
(
~
cb
X
-
gilt außerdem X
( )
- und X
( )
, und daher
ist E X
(
)
- und E X
(
)
.
(ii) für die Varianz
)
~
( X
Var
:
17
(
) (
)
[
]
Var
Var
X
Var
X
Var
Var
,
(X)
=
¸
¹
·
¨
©
§
(7.12)
15
Vgl. Kruse (1986), S.
221ff., Kruse (1987), S. 470ff., Kruse/Gebhardt (1988), S. 358.
16
Die Identität (7.11) folgt aus Stetigkeit und Monotonie der Erwartungswertfunktion, nähere Details siehe
Comploj (1994), S.
115 f.
17
Sehr ausführlich bewiesen werden die Identitäten (7.12)-(7.21) bei Comploj (1994), S.
119 ff. Kürzere
Beweise bringen auch Kruse (1986), S.
228 ff., Kruse (1987), S. 471 ff. und Kruse/Meyer (1987), S. 80 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
117
Fuzzy-Statistik
X
Var
ist definiert durch:
(
)
(
)
(
)
°
°
¯
°°
®
=
=
=
sonst
inf
0
(M)
mit
)
(
:
M
falls
0
B)
(A,
B)
(A
\
)
(
)
(
,
0
B)
(A
,
B
A
:
B)
(A,
M
\
B)
(A,
2
Var
X
X
E
X
P
Var
X
Var
P
X
Var
Var
(
(
(7.13)
wobei für
0
B)
(A
,
B
A
,
B
A,
=
P
(
im diskreten Fall
B)
(A
})
({
)
(
})
({
)
(
B
A
B
A
B)
(A,
1
1
:
+
¦
¦
+
+
=
P
P
X
P
X
X
X
X
Var
(7.14)
und im stetigen Fall
B)
(A
})
({
)
(
})
({
)
(
B
A
B
A
B)
(A,
1
1
:
+
³
³
+
+
=
P
dP
X
dP
X
X
X
X
Var
(7.15)
X
Var
ist definiert durch:
(
)
(
)
°
¯
°
®
=
-
=
=
=
sonst
sup
)
(
oder
)
(
:
0
(M)
mit
M
\
falls
(C)
C
Var
Var
X
Var
X
X
P
X
Var
(
(7.16)
wobei
X
X
X
Var (C)
C
\C
:
=
+
1
1
(7.17)
Ingesamt gilt im diskreten Fall
( )
(
)
°
°
°
°
°
¯
°°
°
°
°
®
¸
¹
·
¨
©
§
-
+
=
=
+
¦
¦
¦
¦
=
sonst
})
({
)
(
})
({
)
(
inf
0
(M)
mit
)
(
:
M
falls
0
B)
(A
})
({
)
(
})
({
)
(
2
B
2
A
2
B)
(A
\
)
(
)
(
,
0
B)
(A
,
B
A
:
B)
(A,
M
\
B
A
B)
(A,
2
P
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
Var
X
X
E
X
P
Var
Var
(
(
(7.18)
(
)
°
°
°
¯
°
°
°
®
¸
¹
·
¨
©
§
+
-
-
+
=
-
=
=
=
¦
¦
¦
¦
sonst
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
sup
)
(
)
(
,
0
(M)
:
M
\
falls
2
C
\
C
C
\
2
C
2
C
P
X
P
X
P
X
P
X
X
X
P
X
Var
Var
(
(7.19)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
118
Fuzzy-Statistik
Im stetigen Fall gilt
( )
(
)
°
°
°
°
°
¯
°°
°
°
°
®
¸
¹
·
¨
©
§
-
+
=
=
+
³
³
³
³
=
sonst
})
({
)
(
})
({
)
(
inf
0
(M)
mit
)
(
:
M
falls
0
B)
(A
})
({
)
(
})
({
)
(
2
B
2
A
2
B)
(A
\
)
(
)
(
,
0
B)
(A
,
B
A
:
B)
(A,
M
\
B
A
B)
(A,
2
P
dP
X
dP
X
dP
X
dP
X
P
X
Var
X
X
E
X
P
Var
Var
(
(
(7.20)
(
)
°
°
°
¯
°
°
°
®
¸¸¹
·
¨¨©
§
+
-
-
+
=
-
=
=
=
³
³
³
³
sonst
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
})
({
)
(
sup
)
(
)
(
,
0
(M)
:
M
\
falls
2
C
\
C
C
\
2
C
2
C
dP
X
dP
X
dP
X
dP
X
X
X
P
X
Var
Var
(
(7.21)
Häufig stellt der Wahrscheinlichkeitsraum
)
,
,
(
P
(
die Reduktion eines reicheren
Wahrscheinlichkeitsraumes
)
,
,
(
P
(
dar, d.h. kleine Abweichungen, Verzerrungen etc.
wurden vernachlässigt. Für die Bestimmung von Erwartungswert und Varianz von Fuzzy-
Zufallsvariablen ist es oft günstiger, vom ursprünglicheren Wahrscheinlichkeitsraum
auszugehen bzw. einen erweiterten Wahrscheinlichkeitsraum zu betrachten, da die Fuzzy-
Charakteristiken dann günstigere Eigenschaften aufweisen.
18
Der reichere Wahrscheinlichkeitsraum
)
,
,
(
P
(
kann als Produktwahrscheinlich-
keitsraum
)
,
,
(
:
)
,
,
(
P
P
P
×
=
(
(
(
aus
)
,
,
(
P
(
und einem Hilfswahrscheinlichkeitsraum
)
,
,
(
P
(
, der ,,reich" in dem
Sinn sein soll, daß
=
)
A
(
:
A
]
1
,
0
[
P
(
angesehen werden, wobei
(
(
die kleinste
-Algebra ist, die alle Mengen
A
A
×
mit
(
A
und
(
A
enthält, und
)
A
(
(A)
:
)
A
(A
=
×
P
P
P
P
Wir können nun Zufallsvariablen der Form X :
IR
×
als mögliche Originale
für die Fuzzy-Zufallsvariable X angeben. Wir bezeichnen
18
Zur Reduktion bzw. Erweiterung von Wahrscheinlichkeitsräumen siehe Kruse/Meyer (1987), S.
66 f.,
Comploj (1994), S.
112 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
119
Fuzzy-Statistik
{
}
meßbar
ist
R
I
:
:
-
-
×
=
)
(
(
?
X
X
die Menge aller Zufallsvariablen von
× nach IR. Eine Fuzzy-Zufallsvariable X ist
dann eine Fuzzy-Menge auf
? , also
)
(
~
?
-
X
, und
[ ]
(
)
)
,
(
inf
)
(
1
,
0
:
)
(
~
,
~
~
=
X
X
X
X
X
X
?
Erwartungswert und Varianz einer Fuzzy-Zufallsvariablen
)
(
~
?
-
X
werden mit
)
~
( X
E
bzw.
)
~
( X
Var
bezeichnet. Analog zu
)
(
~
?
-
X
wird für
)
(
~
?
-
X
definiert:
(i) die Zugehörigkeitsfunktion des Erwartungswertes
)
~
( X
E
:
( )
[ ]
( )
)
(
sup
:
)
(
1
,
0
R
I
:
~
)
(
:
~
~
X
x
x
X
x
X
E
x
X
E
X
E
=
=
;
d.h. im diskreten Fall
( )
(
)
)
,
(
inf
sup
)
(
)
(
~
,
)})
,
({(
)
,
(
:
~
,
¦
=
=
X
x
X
x
P
X
X
X
E
?
und im stetigen Fall
( )
(
)
)
,
(
inf
sup
)
(
)
(
~
,
)})
,
({(
)
,
(
:
~
³
=
=
×
X
x
X
x
P
d
X
X
X
E
?
(ii) die Zugehörigkeitsfunktion der Varianz
)
~
( X
Var
:
( )
[ ]
( )
(
)
( )
(
)
)
(
sup
)
(
sup
)
(
sup
:
)
(
1
,
0
R
I
:
~
)
(
:
~
)
(
:
~
)
(
:
~
~
2
2
2
X
X
X
x
x
X
x
X
E
X
E
X
X
x
X
E
X
E
X
X
x
X
Var
x
X
Var
X
Var
=
-
=
-
=
=
=
=
=
?
?
?
d.h. im diskreten Fall
( )
(
)
(
)
)
,
(
inf
sup
)
,
(
inf
sup
)
(
)
(
~
)})
,
({(
)
,
(
)})
,
({(
)
,
(
:
)
(
~
)})
,
({(
)})
,
({(
)
,
(
)
,
(
:
~
2
2
2
¦
¦
=
¦
¦
=
=
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
©
§
-
=
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
©
§
-
X
X
x
X
x
P
X
P
X
X
X
x
P
P
X
X
X
X
Var
?
?
und im stetigen Fall
( )
(
)
(
)
)
,
(
inf
sup
)
,
(
inf
sup
)
(
)
(
~
)})
,
({(
)
,
(
)})
,
({(
)
,
(
:
)
(
~
})
,
({(
)})
,
({(
)
,
(
)
,
(
:
~
2
2
2
³
³
=
³
³
=
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
×
×
×
×
X
X
x
X
x
P
d
X
P
d
X
X
X
x
P
d
P
d
X
X
X
X
Var
?
?
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
120
Fuzzy-Statistik
Dabei gilt
({( ,
)})
({( ,
)})
({ })
({ })
P
P
P
P
P
=
=
Die
-Schnitte von Erwartungswert und Varianz haben für Fuzzy-Zufallsvariablen
)
(
~
?
-
X
wesentlich günstigere Eigenschaften als für
)
(
~
?
-
X
.
(i) Sei
)
R
(I
)
(
~
),
(
~
c
X
X
-
?
-
. Dann gilt für den Erwartungswert
)
~
( X
E
:
[
]
)
(
),
(
)
(
X
E
X
E
E
=
¸
¹
·
¨
©
§
Für
)
R
(I
)
(
~
c
X
-
gilt
]
1
,
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
E
E
also
( ) ( )
X
E
X
E
~
~
=
Für
)
R
(I
)
(
~
cc
X
-
19
ist aber
)
~
( X
E
im allgemeinen nicht mehr konvex. Wir
definieren die konvexe Hülle einer Fuzzy-Zufallsvariablen:
( )
(
)
)
(
~
co
:
)
(
~
co
X
X
=
und es gilt für die Erwartungswerte
)
~
( X
E
und
)
~
( X
E
:
( )
( ) ( )
X
E
X
E
X
E
~
co
~
co
~
=
=
(ii) Sei
)
(
~
?
-
X
,
)
R
(I
)
(
~
c
X
-
. Dann gilt für die Varianz
)
~
( X
Var
:
20
(
) (
)
[
]
..
..
,
)
(
Var
Var
X
Var
X
Var
Var
=
¸
¹
·
¨
©
§
Dabei gilt:
X
X
Var
Var
..
=
X
Var
..
ist gegeben durch:
( )
(
)
°
¯
°
®
=
-
=
=
=
sonst
sup
)
,
(
oder
)
,
(
:
0
(M)
mit
M
\
falls
:
..
)
C
(
C
..
Var
Var
X
Var
X
X
P
X
Var
(
(7.22)
mit
X
X
X
Var (C)
..
C
\C
:
=
+
1
1
(7.23)
19
Dieser Fall wird bei Kruse/Meyer (1987), S.
64 ff. sehr ausführlich behandelt.
20
Ein ausführlicher Beweis findet sich bei Comploj (1994), S.
127 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
121
Fuzzy-Statistik
Es ist im diskreten Fall
(
)
[ ]
°
°
°
¯
°
°
°
®
°¿
°
¾
½
¸
¹
·
¨
©
§
-
+
-
¯
®
-
+
=
-
=
=
=
¦
¦
¦
¦
sonst
})
({
)
(
)
1
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
1
(
})
({
)
(
sup
)
24
.
7
(
)
,
(
)
,
(
:
0
(M)
:
M
\
falls
2
2
2
1
,
0
)
(
..
P
X
c
P
X
c
P
X
c
P
X
c
X
X
P
X
Var
c
Var
und im stetigen Fall
(
)
[ ]
°
°
°
°
¯
°°
°
°
®
°¿
°
¾
½
¸¸¹
·
¨¨©
§
-
+
-
¯
®
-
+
=
-
=
=
=
³
³
³
³
sonst
})
({
)
(
)
1
(
})
({
)
(
})
({
)
(
)
1
(
})
({
)
(
sup
)
25
.
7
(
)
,
(
)
,
(
:
0
(M)
:
M
\
falls
2
2
2
1
,
0
)
(
..
dP
X
c
dP
X
c
dP
X
c
dP
X
c
X
X
P
X
Var
c
Var
und es ist
(
)
( )
..
Var
Var
X
Var
X
Var
Für
)
R
(I
)
(
~
c
X
-
sind
)
~
( X
Var
und
)
~
( X
Var
/
konvex.
Für
)
R
(I
)
(
~
cc
X
-
21
ist allerdings, ebenso wie
)
~
( X
E
, so auch
)
~
( X
Var
im
allgemeinen nicht konvex. Konvex ist dagegen
)
~
( X
Var
/
, es gilt also wiederum
( )
(
) (
)
[
]
..
..
,
Var
Var
X
Var
X
Var
X
Var
=
¸
¹
·
¨
©
§
für
(
]
1
,
0
.
Ebenso wie im konvexen Fall gelten die Beziehungen:
X
X
Var
Var
..
=
(
)
( )
..
Var
Var
X
Var
X
Var
Spezialfall: Für den Fall eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes
}
,...,
{
1
n
=
,
)
(
= 7
(
,
}
,...,
1
{
für
})
({
n
i
p
P
i
i
=
(als Spezialfall des diskreten Falles) und
eines erweiterten Wahrscheinlichkeitsraumes
(
) (
)
P
P
P
×
=
,
,
,
,
(
(
(
mit
]
1
,
0
[
=
,
1
)
( =
,
³
=
B
1
)
B
(
dx
P
für
1
B
)
erhält man aus (7.18), (7.19), (7.24)
effiziente
Algorithmen
zur
Berechnung
von
(
)
Var
X
Var
,
(
)
Var
X
Var
und
(
)
..
Var
X
Var
:
22
21
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
64 ff.
22
Vgl. Kruse (1986), S.
223 f., Comploj (1994), S. 129.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
122
Fuzzy-Statistik
(
)
{
}
{
}
{
}
°
°
°
°
¯
°
°
°
°
®
¸
¹
·
¨
©
§
-
+
¦
¦
=
=
¦
¦
¦
+
+
¦
¦
¦
¦
¦
+
=
sonst
inf
N
\
,...,
1
für
0
mit
falls
0
J
I
J
I
2
J
2
I
2
J
I
\
,...,
1
für
,
0
,
J
I
,
,...,
1
J
I,
N
J
I
J
I
J
I
i
i
i
i
i
i
i
i
p
p
x
p
x
p
p
X
p
X
i
i
i
i
i
i
n
j
x
x
p
p
n
i
i
i
Var
p
X
p
X
n
i
p
X
Var
j
j
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
)
{
}
{
}
{
}
{
}
°
¯
°
®
¸¸¹
·
¨¨©
§
+
-
+
=
-
=
=
¦
¦
¦
¦
sonst
sup
oder
:
0
,
,...,
1
falls
2
I
\
,...,
1
I
I
\
,...,
1
2
I
2
,...,
1
I
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
Var
p
X
p
X
p
X
p
X
X
X
p
n
i
X
Var
(
)
{
}
[ ]
°
°
°
¯
°
°
°
®
¸
¹
·
¨
©
§
-
+
-
-
+
=
-
=
=
¦
¦
¦
¦
=
=
=
=
sonst
)
1
(
)
1
(
sup
oder
:
0
,
,...,
1
falls
2
1
1
1
2
1
2
1
,
0
)
,...,
(
..
1
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
c
c
i
i
i
Var
p
X
c
p
X
c
p
X
c
p
X
c
X
X
p
n
i
X
Var
n
n
wobei
:
(
)
X
X
i
i
=
,
}
,...
1
{
n
i
=
mit den
-Schnitten
]
,
[
i
i
i
X
X
=
.
7.1.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Fuzzy-Zufallsvariablen
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Fuzzy-Zufallsvariablen bestimmen zu
können, muß auch ihr Bildraum als meßbarer Raum
23
definiert sein, auf welchem ein
Wahrscheinlichkeitsmaß definiert wird, so erhält man auch auf der Bildseite einen
Wahrscheinlichkeitsraum.
24
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Mengenfunktion. Um
leichter mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten zu können, ist es sinnvoll, eine Punktfunktion
einzuführen.
25
So erhalten wir unscharfe (genauer: fuzzifizierende) Wahrscheinlichkeits-,
Dichte- und Verteilungsfunktionen.
23
Vgl. Abschnitt 3.4, S.
20.
24
Vorschläge für die Konstruktion einer
-Algebra auf
)
R
I
(
c
-
finden sich bei Comploj (1994), S.
132 f.
Eine gut geeignete
-Algebra ist die von der Fuzzy-Zufallsvariablen induzierte (vgl. Kruse/Meyer (1987),
S.
131):
}
{
)
(
~
|
R)
(I
:
:
~
1
~
~
~
(
=
-
=
4
4
=
=
-
X
c
X
wobei
}
)
(
~
|
{
:
)
(
~
~
~
1
=
=
=
-
X
X
Als geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß wird im allgemeinen ebenfalls meist das von der Fuzzy-
Zufallsvariablen induzierte verwendet (vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
131, Comploj (1994), S. 133):
~
~
~
~
1
~
~
~
})
({
)
(
)
(
)
(
~
|
)
(
~
:
)
(
~
4
=
=
=
=
=
=
=
=
-
X
P
X
P
P
Q
X
25
Im Fall einer scharfen Zufallsvariablen wird die punktweise Wahrscheinlichkeit ausgedrückt mittels einer
Wahrscheinlichkeitsfunktion
})
({
:
)
(
:
]
1
,
0
[
U
:
x
X
P
x
p
x
p
X
=
=
(diskreter Fall) bzw. einer
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
123
Fuzzy-Statistik
Definition: Sei
)
(
~
?
-
X
mit
( )
X
X .
(i) Sei dabei
)
R),
(I
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
c
P
X
, und
)
,
,
(
P
(
ein diskreter Wahrschein-
lichkeitsraum. Dann ist die unscharfe Wahrscheinlichkeitsfunktion
( )
p
x
X
von X
gegeben durch:
26
{
}
(
)
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
(
sup
:
)
(
~
)
(
~
~
p
p
x
X
P
X
p
X
X
X
x
p
X
?
(7.26)
für
R
I
x
.
Die unscharfe Verteilungsfunktion
( )
F
y
X
ist gegeben durch:
27
{
}
(
)
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
(
sup
:
)
(
~
)
(
~
~
p
p
y
X
P
X
p
X
X
X
y
F
X
?
(7.27)
für
R
I
y
.
Schreibweise für das unscharfe stochastische Modell:
~
X
p
X
bzw.
~
X
F
X
Bemerkung: Es ist
{
}
(
)
[ ]
)
(
1
)
(
sup
)
(
1
,
0
~
)
(
~
~
p
p
x
X
P
X
p
y
x
X
X
X
y
F
X
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
=
¦
?
(ii) Sei dabei
)
R),
(I
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
c
P
X
und
)
,
,
(
P
(
ein stetiger Wahrscheinlich-
keitsraum. Dann ist die unscharfe Dichtefunktion
( )
f
x
X
von X gegeben durch:
28
{
}
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
q
x
X
P
h
x
X
P
X
q
X
X
h
X
X
x
f
h
X
=
-
+
=
1
0
~
)
(
~
lim
)
(
sup
:
)
(
~
?
(7.28)
für q
x
+
IR ,
IR
.
Die unscharfe Verteilungsfunktion
( )
F
y
X
ist gegeben durch:
29
{
}
(
)
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
(
sup
:
)
(
~
)
(
~
~
p
p
y
X
P
X
p
X
X
X
y
F
X
?
(7.29)
für
R
I
y
.
Dichtefunktion
(
)
´})
({
})
({
lim
:
)
(
:
]
1
,
0
[
R
I
:
1
0
x
X
P
h
x
X
P
x
f
x
f
X
X
h
h
-
+
=
(stetiger Fall)
oder einer Verteilungsfunktion
°¯
°
®
³
¦
-
=
=
=
=
y
y
x
X
dx
x
f
y
F
x
p
y
F
y
X
P
y
F
y
F
)
(
)
(
)
(
)
(
})
({
)
(
:
]
1
,
0
[
R
I
:
.
Üblich ist die Schreibweise in Form des stochastischen Modells
X
P
X
~
für die Mengenfuntktion bzw.
p
X ~
,
f
X ~
und
F
X ~
für die Punktfunktionen (vgl. Viertl (1990), S.
100).
Hängt die Wahrscheinlichkeit von einem Parameter
ab, so spricht man von einem parametrischen
stochastischen Modell, in Zeichen
P
X ~
. In diesem Fall hängen Wahrscheinlichkeits- oder Dichte-
funktion von dem Parameter
ab, Schreibweise:
)
|
(.
~
p
X
,
)
|
(.
~
f
X
bzw.
)
|
(.
~
F
X
.
26
Vgl. Comploj (1994), S.
134.
27
Vgl. Kruse (1984), S.
200, Kruse/Meyer (1987), S. 131, Comploj (1994), S. 134.
28
Vgl. Comploj (1994), S.
135.
29
Vgl. Kruse (1984), S.
200, Kruse/Meyer (1987), S. 131, Comploj (1994), S. 135.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
124
Fuzzy-Statistik
Schreibweise für das unscharfe stochastische Modell:
~
X f
X
bzw.
~
X
F
X
Bemerkung: Es ist
[ ]
)
(
1
)
(
)
(
sup
)
(
1
,
0
~
)
(
~
~
p
p
dx
x
f
X
p
y
X
X
X
y
F
X
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
³
-
?
Für parametrische Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird die wird die Unschärfe
mittels eines unscharfen Parameters ausgedrückt. So erhält man parameterabhängige fuzzi-
fizierende Wahrscheinlichkeits-, Dichte- und Verteilungsfunktionen gemäß (5.70)-(5.71):
(i) Für die unscharfe Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskreter Fall) gilt:
30
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
|
(
)
(
)
(
sup
:
)
(
)
(
~
)
~
supp(
)
~
|
(
~
)
(
~
~
p
p
x
p
x
p
p
p
x
p
x
p
(7.30)
Unscharfes parametrisches stochastisches Modell:
~
X
p
oder
)
~
|
(.
~
~
~
p
X
(ii) Für die unscharfe Dichtefunktion (stetiger Fall) gilt:
31
{
}
+
=
=
=
=
R
I
für
)
|
(
)
(
)
(
sup
:
)
(
)
(
~
)
~
supp(
)
~
|
(
~
)
(
~
~
q
q
x
f
x
f
q
q
x
f
x
f
(7.31)
Unscharfes parametrisches stochastisches Modell:
~
X
f
oder
)
~
|
(.
~
~
~
f
X
(iii) Für die unscharfe Verteilungsfunktion (diskreter und stetiger Fall) gilt:
32
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
|
(
)
(
)
(
sup
:
)
(
)
(
~
)
~
supp(
)
~
|
(
~
)
(
~
~
p
p
y
F
y
F
p
p
y
F
y
F
(7.32)
wobei
)
~
supp(
stetig
)
(
diskret
)
(
)
(
°
°
¯
°°
®
=
³
¦
-
y
y
x
dx
x
f
x
p
y
F
Unscharfes parametrisches stochastisches Modell:
~
X
F
oder
)
~
|
(.
~
~
~
F
X
Eine Alternative zu fuzzifizierenden parametrischen Wahrscheinlichkeits- bzw.
Dichtefunktionen stellen unscharfe Scharen dar.
33
Dabei liegt folgende Idee zugrunde:
jedem möglichen Parameter
mit
( )
0 wird eine Wahrscheinlichkeits- bzw.
Dichtefunktion zugeordnet, Zugehörigkeitsgrad der Funktion zur unscharfen Schar ist der
Zugehörigkeitsgrad des (scharfen) Parameters
zur unscharfen Menge von Parametern
~
:
(i) Im diskreten Fall erhält man:
(
)
{
}
)
~
supp(
)
(
),
|
(
)
~
|
(
~
~
~
=
x
p
x
p
(7.33)
30
Vgl. Comploj (1994), S.
136.
31
Vgl. Comploj (1994), S.
136.
32
Vgl. Comploj (1994), S.
136.
33
Vgl. Comploj (1994), S.
137f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
125
Fuzzy-Statistik
wobei
(
)
)
(
)
|
(
~
)
~
|
(
~
~
=
x
p
x
p
,
und jede Funktion
)
~
supp(
),
|
(
x
p
, selbst eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist
mit
)
~
supp(
1
)
|
(
U
=
¦
x
x
p
.
(ii) Im stetigen Fall erhält man:
(
)
{
}
)
~
supp(
)
(
),
|
(
)
~
|
(
~
~
~
=
x
f
x
f
(7.34)
wobei
(
)
)
(
)
|
(
~
)
~
|
(
~
~
=
x
f
x
f
,
und jede Funktion
)
~
supp(
),
|
(
x
f
, selbst eine Dichtefunktion ist mit
)
~
supp(
1
)
|
(
R
I
=
³
dx
x
f
.
(iii) Mit Hilfe der unscharfen Scharen (7.33), (7.34) kann die unscharfe parametrische
Verteilungsfunktion (7.32) auch folgendermaßen geschrieben werden:
für diskrete Verteilung:
(
)
(
)
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
|
(
)
|
(
sup
)
(
)
~
|
(
~
~
~
|
(
~
~
supp
)
|
(
)
~
|
(
~
p
p
x
p
x
p
p
y
x
x
p
x
p
x
p
y
F
(7.35)
bzw. für stetige Verteilung:
(
)
{
}
[ ]
°¯
°
®
=
=
³
-
¸¹
·
¨©
§
sonst
0
1
,
0
falls
)
|
(
)
|
(
sup
)
(
)
|
(
~
~
~
|
(
~
~
supp
)
|
(
)
~
|
(
~
p
p
dx
x
f
x
f
p
y
x
f
x
f
x
f
y
F
(7.36)
Wichtig sind wiederum die
-Niveaukurven der unscharfen Wahrscheinlichkeits-,
Dichte- und Verteilungsfunktionen.
34
Satz: Sei
)
(
~
?
-
X
eine Fuzzy-Zufallsvariable.
(i) Sei speziell
~
X
p
X
, d.h.
)
R),
(I
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
c
P
X
diskret mit der unscharfen
Wahrscheinlichkeitsfunktion
( )
p
x
X
(7.26) für x
U. Dann ist für x U :
{
}
{
}
p
x
X
P
p
x
p
p
x
X
P
p
x
p
X
X
X
X
=
=
=
=
=
=
})
({
]
1
,
0
[
sup
)
(
})
({
]
1
,
0
[
inf
)
(
(7.37)
34
Für die Bestimmung
-Schnitte ist günstiger, diese durch ihre konvexen Hüllen zu ersetzen. Bei diskreten
Zufallsvariablen nehmen außerdem Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen Infimum oder
Supremum nicht an, daher müssen entweder die strikten
-Schnitte angegeben werden, oder es muß die
konvexe Hülle durch ihren Abschluß ersetzt werden (vgl. Comploj (1994), S.
138 f.).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
126
Fuzzy-Statistik
(ii) Sei speziell
~
X
f
X
, d.h.
)
R),
(I
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
c
P
X
stetig mit der unscharfen
Dichtefunktion
( )
f
x
X
(7.28) für x
IR. Dann ist für x IR:
(
)
{
}
(
)
{
}
q
x
X
P
h
x
X
P
q
x
f
q
x
X
P
h
x
X
P
q
x
f
h
h
h
X
X
h
X
X
=
-
+
=
=
-
+
=
+
+
})
({
})
(
lim
R
I
sup
)
(
})
({
})
(
lim
R
I
inf
)
(
1
1
0
0
(7.38)
(iii) Sei
~
X
F
X
und
)
R),
(I
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
c
P
X
diskret mit der unscharfen Vertei-
lungsfunktion
( )
F
y
X
(7.27), oder stetig mit der unscharfen Verteilungsfunktion
( )
F
y
X
(7.28) für y
IR . Dann gilt für y IR :
35
)
(
)
(
y
F
y
F
X
=
und
)
(
)
(
y
F
y
F
X
=
(7.39)
7.1.4 Folgen von Fuzzy-Zufallsvariablen
Häufig haben wir es nicht mit einzelnen Zufallsvariablen zu tun, sondern mit
(endlichen oder abzählbar unendlichen) Folgen von Zufallsvariablen.
36
Diese stellen
ihrerseits wiederum einen Spezialfall (da sie abzählbar sind) von stochastischen Prozessen
dar, welche im allgemeinen überabzählbar sind.
37
Definition: Seien
,...,
X
X
n
1
n Fuzzy-Zufallsvariablen
)
(IR),
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
c
i
P
X
,
)
(
~
?
-
i
X
,
}
,...,
1
{
n
i
. Dann heißt
(
)
n
n
X
X
X
X
~
...
~
:
~
,...,
~
1
1
=
(7.40)
mit
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
)
,...,
(
~
1
~
1
~
,...,
~
1
1
n
X
X
n
X
X
X
X
X
X
n
n
=
(7.41)
definiert durch
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
~
...
)
(
~
:
)
(
~
...
~
)
(
~
,...,
~
R),
(I
,
,
:
~
,...,
~
1
1
1
~
1
n
n
n
n
c
n
X
X
X
X
X
X
P
X
X
=
=
4
-
(
(7.42)
mit
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
)
,...,
(
)
(
~
1
)
(
~
1
)
(
~
,...,
~
1
1
n
X
X
n
X
X
x
x
x
x
n
n
=
Fuzzy-Zufallsvektor der Dimension n oder (endliche) Folge der Länge n von Fuzzy-
Zufallsvariablen.
38
35
Die Identität (7.39) folgt, weil für zwei Zufallsvariablen
X, Y mit
Y
X
, gilt:
})
({
})
({
u
Y
P
u
X
P
.
36
Vgl. Viertl (1990), S.
79, Kruse/Meyer (1987), S. 131, Guttorp (1995), S. 5 f., Nguyen/Rogers (1989) I,
S.
127, Krengel (1991), S. 63.
37
Vgl. Viertl (1990), S.
91.
38
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
68, Comploj (1994), S. 140.
Anstatt der Minimumnorm (5.2) kann in der Definition (7.41) auch eine andere
t-Norm (5.1), etwa die
Produktnorm
T
alg
(5.17), zur Anwendung kommen.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
127
Fuzzy-Statistik
Bemerkung: Ein Fuzzy-Zufallsvektor
(
)
(
)
n
n
X
X
)
(
~
,...,
~
1
?
-
ist eine n-dimensionale
meßbare Abbildung.
Wichtig sind die unscharfen gemeinsamen Verteilungsfunktionen von Fuzzy-
Zufallsvektoren und von Folgen von Fuzzy-Zufallsvariablen.
39
Definition: Sei
(
)
(
)
n
n
X
X
)
(
~
,...,
~
1
?
-
mit
(
)
(
)
n
c
n
X
X
)
R
(I
)
(
~
,...,
~
1
-
ein Fuzzy-
Zufallsvektor (7.40). Dann ist die gemeinsame Verteilungsfunktion
(
)
)
,...,
(
~
1
~
,...,
~
1
n
X
X
x
x
F
n
von
(
)
n
X
X
~
,...,
~
1
definiert durch die Zugehörigkeitsfunktion
(
)
(
)
(
)
{
}
[ ]
°
°
¯
°°
®
¿
¾
½
¯
®
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
=
sonst
0
1
,
0
falls
)
,...,
(
sup
:
)
(
1
1
~
,...,
~
,...,
)
,...,
(
~
1
1
1
1
~
,...,
1
~
p
p
x
X
P
X
X
p
i
i
n
i
X
n
X
X
X
X
x
x
F
n
i
n
n
n
n
n
X
X
?
(7.43)
für ( ,...,
)
IR
x
x
n
n
1
, wobei
{
}
(
)
(
)
{
}
(
)
n
n
i
i
n
i
X
x
X
x
X
P
x
X
P
n
i
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
)
(
...
)
(
:
1
1
1
1
Die
-Komponenten der unscharfen Verteilungsfunktion
(
)
)
,...,
(
~
1
~
,...,
~
1
n
X
X
x
x
F
n
lauten:
{
}
(
)
{
}
(
)
)
,...,
(
)
,...,
(
1
,...,
1
1
,...,
1
1
1
1
1
n
X
X
i
i
n
i
X
n
X
X
i
i
n
i
X
x
x
F
x
X
P
x
x
F
x
X
P
n
n
i
n
n
i
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
=
=
(7.44)
Anschließend sollen die für statistische Analysen sehr wichtigen Folgen von unab-
hängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen definiert werden.
Definitionen:
(i) Sei
(
)
(
)
n
n
X
X
)
(
~
,...,
~
1
?
-
ein Fuzzy-Zufallsvektor.
Die Fuzzy-Zufallsvariablen
,...,
X
X
n
1
heißen unabhängig
40
(
)
=
=
n
i
i
X
n
X
X
x
F
x
x
F
i
n
1
~
1
~
,...,
~
)
(
~
)
,...,
(
~
:
1
(7.45)
Bemerkung
41
:
unabhängig
~
,...,
~
1
n
X
X
[ ]
1
,
0
unabhängig
,...,
und
unabhängig
,...,
1
1
n
n
X
X
X
X
39
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
131 f., Comploj (1994), S. 140 f.
40
Vgl. Kruse 843, S.
200, Kruse/Meyer (1987), S. 137, Comploj (1994), S. 141.
41
Beweis siehe Kruse/Meyer (1987), S.
137 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
128
Fuzzy-Statistik
(ii) Sei
(
)
(
)
n
n
X
X
)
(
~
,...,
~
1
?
-
ein Fuzzy-Zufallsvektor.
Die Fuzzy-Zufallsvariablen
,...,
X
X
n
1
heißen identisch verteilt
42
{
}
R
I
:
,...,
1
,
)
(
~
)
(
~
:
~
~
=
x
j
i
n
j
i
x
F
x
F
j
i
X
X
(7.46)
(iii) Sei
N
I
)
~
(
i
i
X
eine unendliche Folge von Fuzzy-Zufallsvariablen,
R)
(I
)
(
~
c
i
X
-
i IN.
N
I
)
~
(
i
i
X
heißt Folge von i.i.d. Fuzzy-Zufallsvariablen (independant
and identically distributed, also unabhängig und identisch (wie X
1
) verteilt) mit der
unscharfen gemeinsamen Verteilungsfunktion F
X
1
43
(
)
N
I
)
(
~
)
(
~
)
,...,
(
~
(ii)
N
I
~
~
(i)
:
1
~
1
~
1
~
,...,
~
~
~
1
1
1
=
=
=
=
=
n
x
F
x
F
x
x
F
i
F
F
n
i
i
X
n
i
i
X
n
X
X
X
X
i
n
i
(7.47)
Bemerkung: Die Definition (7.47) ist äquivalent zur Aussage:
44
Für alle
]
1
,
0
[
sind
N
I
)
(
i
i
X
und
N
I
)
(
i
i
X
zwei Folgen von (gewöhnlichen)
i.i.d. Zufallsvariablen, also
(i)
N
I
und
1
1
=
=
i
F
F
F
F
X
X
X
X
i
i
(ii)
(
)
=
=
=
=
n
i
i
X
n
i
i
X
n
X
X
x
F
x
F
x
x
F
i
n
1
1
1
,...,
)
(
)
(
)
,...,
(
1
1
und
(
)
N
I
)
(
)
(
)
,...,
(
1
1
1
,...,
1
1
=
=
=
=
n
x
F
x
F
x
x
F
n
i
i
X
n
i
i
X
n
X
X
i
n
(iv) Sei
)
(
~
?
-
X
eine Fuzzy-Zufallsvariable mit der unscharfen Verteilungsfunktion F
X
.
Sei
(
)
(
)
n
n
X
X
)
(
~
,...,
~
1
?
-
ein Fuzzy-Zufallsvektor.
(
)
n
X
X
~
,...,
~
1
heißt unscharfe
Stichprobe der Fuzzy-Zufallsvariablen X vom Umfang n
45
:
X , ,...,
X
X
n
1
sind i.i.d. Fuzzy-Zufallsvariablen mit der unscharfen gemeinsamen
Verteilungsfunktion F
X
, d.h.
{ }
(
)
=
=
=
=
=
n
i
i
X
n
i
i
X
n
X
X
X
X
x
F
x
F
x
x
F
n
i
F
F
i
n
i
1
~
1
~
1
~
,...,
~
~
~
)
(
~
)
(
~
)
,...,
(
~
(ii)
,...
1
~
~
(i)
1
(7.48)
42
Vgl. Kruse (1984), S.
200, Kruse/Meyer (1987), S. 141, Comploj (1994), S. 141.
43
Vgl. Kruse (1984), S.
202, Kruse/Meyer (1987), S. 141, Comploj (1994), S. 141.
44
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
142.
45
Vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
193 f., Comploj (1994), S. 193 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
129
Fuzzy-Statistik
7.2 Klassische Inferenzstatistik mit unscharfen Daten
7.2.1 Nicht-parametrische Schätzung bei Unschärfe
Bisher gingen wir davon aus, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Fuzzy-
Zufallsvariablen bekannt seien. Tatsächlich ist es jedoch so, daß die ,,wahren" Verteilungen
im allgemeinen unbekannt sind. Aufgabe der schließenden Statistik ist es, die unbekannten
Verteilungen zu schätzen.
46
Zuerst wird der Fall behandelt, daß die Verteilung einer Zufallsvariablen nicht mit
Hilfe von Parametern ausgedrückt werden kann. Die Verteilungsfunktion F
X
von X
F
X
~
muß dann nicht-parametrisch geschätzt werden. Dies ist möglich mittels der empirischen
Verteilungsfunktion, die, wie folgt, definiert ist:
47
Sei ( ,...,
)
x
x
n
1
eine konkrete Stichprobe
von X. Mittels einer Permutation
werden die Zahlen x
x
n
1
,...,
so geordnet, daß gilt:
x
x
x
n
( )
( )
( )
...
1
2
. Die empirische (scharfe) Verteilungsfunktion F x
n
( ) lautet dann:
{
}
{
}
°
¯
°
®
=
=
=
+
für
1
)
,
[
für
für
0
,...,
1
card
)
(
:
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
,...,
(
)
(
)
1
(
n
i
i
i
x
x
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
i
x
F
x
F
n
i
n
für x
IR , für
}
1
,...
1
{
-
n
i
.
Mittels dieser empirischen Verteilungsfunktion wird die tatsächliche Verteilungsfunktion
geschätzt.
48
Aus dieser Definition wird die unscharfe empirische Verteilungsfunktion
49
definiert.
50
Dabei sei zur Vereinfachung angenommen, daß die Stichproben bereits der
Größe nach geordnet seien. Wir schreiben also wieder i statt
(i) für i=1,...,n.
46
Vgl. Viertl (1990), S.
99 ff., Hafner (1989), S. 262 ff.
47
Vgl. Nguyen/Rogers (1989) I, S.
366 ff., Viertl (1990), S. 1110 f., Comploj (1994), S. 152 f.
48
Grundlage dazu bildet der Fundamentalsatz der mathematischen Statistik von Gliwenko-Cantelli, der
besagt, daß die empirische Verteilungsfunktion fast sicher gegen die wahre Verteilungsfunktion
konvergiert. Sei
N
I
)
(
i
i
X
,
)
R,
(I
)
,
,
(
:
)
(
P
X
i
, eine Folge von i.i.d. verteilten (scharfen) Zufalls-
variablen, sei
})
)
(
|
({
})
({
)
(
1
1
1
1
x
X
P
x
X
P
x
F
X
X
=
=
für
R
I
x
die ,,wahre" Verteilungs-
funktion von
1
X
ist. Seien weiter
N
I
)
(
i
i
x
,
R
I
i
x
, die Realisationen der
N
I
)
(
i
i
X
, und es sei die
empirische Verteilungsfunktion wie in oben definiert. Dann gilt:
1
})
0
|
)
(
)
(
|
sup
({lim
1
1
R
I
=
=
-
x
F
x
F
P
X
n
x
n
X
(vgl. Viertl (1990), S.
112, Nguyen/Rogers (1989) I, S. 372).
49
Die (unscharfe) empirische Verteilungsfunktion ist zwar Bestandteil der unscharfen deskriptiven Statistik
(vgl. Kruse/Meyer (1987), S.
115 ff., Viertl (1996), S. 61 ff.), da sie aber für nicht-parametrische
Schätzuung verwendet wird (vgl. Viertl (1991), S.
166 f., Viertl (1996), S. 115 ff.), wird sie in dieser
Arbeit erst im Rahmen der unscharfen schließenden Statistik vorgestellt.
50
Das hier vorgestellte Konzept entspricht dem von Kruse/Meyer (1987), S.
120 ff. dargelegten. Ein anderes
Konzept schlägt Viertl (vgl. Viertl (1989), S.
680 ff., Viertl (1990), S. 166 f., Viertl (1996), S. 115 ff.)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
130
Fuzzy-Statistik
Definition: Sei
n
n
))
R
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
eine konkrete unscharfe Stichprobe eine Fuzzy-
Zufallsvariablen
~
X
F
X
. Dann ist die unscharfe empirische Verteilungsfunktion
(
)
[ ]
( )
(
) )
(
~
1
,
0
R
I
:
~
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
1
1
x
F
x
F
n
n
n
n
-
(7.49)
definiert durch
51
(
)
( )
( )
{
}
{
}
°
°
¯
°
°
®
=
=
sonst
0
1
,...,
,
,
0
für
)
(
),...,
(
min
sup
:
)
(
2
1
A
~
1
A
~
)
(
:
A
~
supp
,...,
A
~
supp
)
(
~
1
)
,...,
1
(
1
1
A
~
,...
1
A
~
n
n
p
x
x
p
n
p
x
F
x
x
x
F
n
n
x
x
n
n
n
n
n
(7.50)
Bemerkung: Es ist insbesondere
(
)
{
}
(
)
1
,...,
,
,
0
)
(
~
2
1
A
~
,...,
A
~
1
n
n
x
F
n
n
-
.
Die Bestimmung der
-Niveaukurven ist einfach.
Es besteht folgende Beziehung: Für ( ,...,
)
x
x
n
1
, ( ,...,
)
y
y
n
1
mit
}
,...,
1
{
n
i
y
x
i
i
gilt:
F
x
F
x
n x
x
n y
y
n
n
(
,...,
)
(
,...,
)
( )
( )
1
1
.
Daher lauten die
-Niveaukurven von
( )
(A ,...,A )
F
x
n
n
1
]
1
,
0
(
:
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
sup
)
(
sup
)
(
)
(
inf
)
(
inf
)
infA
,...,
(infA
A
,...,
A
A
,...
A
)
supA
,...,
(supA
A
,...,
A
A
,...
A
1
1
1
1
1
1
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
(7.51)
Speziell für
n
cb
n
))
R
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
gilt dann:
(
)
(
)
(
)
(
)
inf
( )
( )
( )
sup
( )
( )
( )
A ,...A
,...,
(A
,...,A
)
A ,...A
,...,
(A
,...,A
)
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
x
n
n a
a
n
n
n a
a
n
n
n
n
n
n
n
§
©¨
·
¹¸ =
=
§
©¨
·
¹¸ =
=
1
1
1
1
1
1
(7.52)
Folgende Abbildung soll
(
) )
(
~
3
2
1
A
~
,
A
~
,
A
~
x
F
n
für
3
3
2
1
))
R
(I
(
)
A
~
,
A
~
,
A
~
(
c
-
, A
A
1
2
=
=
=
=
A
A
A
A
1
3
2
3
zeigen:
vor, dieses wurde bei Comploj (1994), S.
153 ff. ebenfalls behandelt, es ist jedoch dem von Kruse/Meyer
unterlegen (vgl. Comploj (1994), S.
155).
51
Auf die hier definierte empirische Verteilungsfunktion wurde bei Kruse/Meyer (1987), S.
184 ff. das
Gliwenko-Cantelli-Theorem ausgeweitet und bewiesen (vgl. auch Comploj (1994), S.
159 f.).
Sei X
~
eine Fuzzy-Zufallsvariable
)
,
)
R
(I
(
)
,
,
(
:
~
~
M
-
(
P
X
,
X
F
X
~
~
~
~
, und sei
N
I
)
~
(
i
i
X
eine Folge
von i.i.d. Fuzzy-Zufallsvariablen mit der gemeinsamen unscharfen Verteilungsfunktion
X
F
~
~
. Seien
N
I
)
A
~
(
i
i
,
,
N
I
R)
(I
A
~
i
i
-
die unscharfen Realisationen der
N
I
)
~
(
i
i
X
. Sei
)
(
~
)
A
~
,...,
1
A
~
(
x
F
n
n
für
N
I
n
die unscharfe Verteilungsfunktion. Dann gilt:
(i)
:
)
M(
\
:
0
))
(M(
,
)
M(
R
I
x
x
P
x
x
=
(
(
)
0
)
(
~
),
(
~
lim
~
=
x
F
x
F
d
X
n
n
.
(ii)
:
M
\
:
0
(M)
,
M
=
P
(
(
) (
)
(
)
[ ]
Q
I
1
,
0
0
)
(
)
(
lim
X
,
=
x
F
x
F
d
n
H
n
.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
131
Fuzzy-Statistik
0
1
A
A
A
F
,
~
3
~
~
~
1
2
3
x
(A ,A ,A )
~
~
1
~
2
3
( )
x
F
3 (A ,A ,A )
1
2
3
( )
x
0
F
3 (A ,A ,A )
1
2
3
( )
x
1
F
3 (A ,A ,A )
1
2
3
( )
x
0
F
3 (A ,A ,A )
1
2
3
( )
x
1
Abb. 7.1 Unscharfe empirische Verteilungsfunktion
Beispiel: (aus der Zuverlässigkeitstheorie)
Sei
die Menge aller Batterien, es soll ihre erwartete Lebensdauer geschätzt werden.
Sei
,
,
,
X X
X X
1
2
3
4
die Stichprobe der unscharfen Ausfallzeiten von vier Batterien mit
Fuzzy-Realisationen
)
R
(I
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
4
3
2
1
c
-
, wobei A
( , ; , )
1
6 7 5 8
=
, A
( ; , )
2
4 2 7
=
,
A
( ; , )
3
6 3 7
=
, A
( ; ,
)
4
5 4 10
=
(Angaben in Zeiteinheiten). A
1
ist dabei ein trapezför-
miges Fuzzy-Intervall (3.17), A ,A ,A
2
3
4
sind trianguläre Fuzzy-Zahlen (3.18).
Wir
52
berechnen exemplarisch für
= 0,
= 0 5
, ,
= 1 die -Niveaukurven
F
x
4
0
1
2
3
4
(A ,A ,A ,A )
( ) ,
F
x
4
0 5
1
2
3
4
(A ,A ,A ,A ) ,
( ) ,
F
x
4
1
1
2
3
4
(A ,A ,A ,A )
( ),
F
x
4
0
1
2
3
4
(A ,A ,A ,A )
( )
,
F
x
4
0 5
1
2
3
4
(A ,A ,A ,A ) ,
( ) und F
x
4
1
1
2
3
4
(A ,A ,A ,A )
( )
.
°
°
¯
°°
®
=
10
für
1
10
8
für
75
,
0
8
7
für
5
,
0
7
für
0
)
(
)
,
,
,
(
4
0
4
0
3
0
2
0
1
x
x
x
x
x
F
a
a
a
a
°
°
¯
°°
®
=
5
,
7
für
1
5
,
7
6,5
für
5
,
0
5
,
6
5
,
5
für
25
,
0
5
,
5
für
0
)
(
)
,
,
,
(
4
5
,
0
4
5
,
0
3
5
,
0
2
5
,
0
1
x
x
x
x
x
F
a
a
a
a
°
°
°
¯
°°
°
®
=
7
für
1
7
6
für
75
,
0
6
5
für
5
,
0
5
4
für
25
,
0
4
für
0
)
(
)
,
,
,
(
4
1
4
1
3
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
F
a
a
a
a
°
°
¯
°°
®
=
6
für
1
6
5
für
5
,
0
5
4
für
25
,
0
4
für
0
)
(
)
,
,
,
(
4
1
4
1
3
1
2
1
1
x
x
x
x
x
F
a
a
a
a
°
°
¯
°°
®
=
5
,
5
für
1
5
,
5
4,5
für
75
,
0
5
,
4
3
für
25
,
0
3
für
0
)
(
)
,
,
,
(
4
5
,
0
4
5
,
0
3
5
,
0
2
5
,
0
1
x
x
x
x
x
F
a
a
a
a
°
°
°
¯
°°
°
®
=
5
für
1
5
4
für
75
,
0
4
3
für
5
,
0
3
2
für
25
,
0
2
für
0
)
(
)
,
,
,
(
4
0
4
0
3
0
2
0
1
x
x
x
x
x
x
F
a
a
a
a
Nun sollen exemplarisch für einige x
IR die unscharfen Werte der unscharfen
empirischen
Verteilungsfunktion
(
) )
(
~
4
3
2
1
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
4
x
F
berechnet
werden.
Es
ist
(
)
})
1
,
75
.
0
,
5
.
0
,
25
.
0
,
0
({
)
(
~
4
3
2
1
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
4
-
x
F
.
F
4 (A ,A ,A ,A )
(3,5) =
1
2
3
4
~
1
0,75 0,17 0
0
0
0,25 0,5 0,75 1
~
~
~
~
F
4 (A ,A ,A ,A )
(4,2) =
1
2
3
4
~
0,93 1
0,4 0,2
0
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
52
Vgl. auch Comploj (1994), S.
156 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
132
Fuzzy-Statistik
F
4 (A ,A ,A ,A )
(4,5) =
1
2
3
4
~
0,83 1
0,5 0,5
0
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
F
4 (A ,A ,A ,A )
(5) =
1
2
3
4
~
0,67 1
1
0,67 0
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
F
4 (A ,A ,A ,A )
(6,5) =
1
2
3
4
~
0,17 0,5 0,7
1
1
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
F
4 (A ,A ,A ,A )
(7,3) =
1
2
3
4
~
0
0
0,34 0,7
1
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
F
4 (A ,A ,A ,A )
(7,5) =
1
2
3
4
~
0
0
0,5 0,5
1
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
F
4 (A ,A ,A ,A )
(9) =
1
2
3
4
~
0
0
0
0,2
1
0
0,25 0,5 0,75 1
~ ~
~
~
Allgemein lautet die Zugehörigkeitsfunktion
(
)
)
(
)
(
~
4
A
~
,
3
A
~
,
2
A
~
,
1
A
~
4
p
x
F
für ausgewählte
]
1
,
0
[
p
:
(
)
°¯
°
®
-
=
7
für
0
7
4
für
4
für
1
)
0
(
3
3
7
)
(
~
4
A
~
,
3
A
~
,
2
A
~
,
1
A
~
4
x
x
x
x
x
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
t
a)
(
)
°
°
°
°
¯
°°
°
°
®
-
-
+
-
=
7
für
0
7
25
,
6
für
7
25
,
6
5
für
2
5
4
für
1
4
2
für
1
2
für
0
)
25
,
0
(
2
2
)
(
~
4
A
~
,
3
A
~
,
2
A
~
,
1
A
~
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
t
b)
(
)
°
°
°
°
°
¯
°
°
°
°
°
®
-
-
-
+
-
+
-
=
8
für
0
8
5
,
7
für
8
5
,
7
25
,
6
für
2
25
,
6
6
für
7
6
5
für
1
5
5
,
4
für
4
5
,
4
3
für
1
3
für
0
)
5
,
0
(
5
3
)
(
~
4
A
~
,
3
A
~
,
2
A
~
,
1
A
~
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
t
c)
(
)
°
°
°
°
°
¯
°°
°
°
°
®
-
-
+
-
+
-
=
10
für
0
10
5
,
7
für
2
5
,
7
7
für
8
7
6
für
1
6
5
,
4
für
1
5
,
4
4
für
4
4
für
0
)
75
,
0
(
5
3
)
(
~
4
A
~
,
3
A
~
,
2
A
~
,
1
A
~
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
t
d)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
133
Fuzzy-Statistik
(
)
°¯
°
®
+
-
=
6
für
1
6
5
für
5
5
für
0
)
1
(
)
(
~
4
A
~
,
3
A
~
,
2
A
~
,
1
A
~
4
x
x
x
x
x
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
t
e)
Abb. 7.2 a)-e)
-Nivaukurven der unscharfen empirischen Verteilungsfunktion
7.2.2 Schätzung unscharfer Verteilungsparameter
Hängt die Verteilung von einem Verteilungsparameter ab, so muß dieser für die
Schätzung der Verteilung geschätzt werden.
Zuerst sollen die wichtigsten Begriffe aus dem
Bereich der (scharfen) klassischen parametrischen Schätzung kurz vorgestellt werden.
Wir gehen aus von einem parametrischen stochastischen Modell X
F
~
, wobei X
eine (scharfe) Zufallsvariable
)
(U,
)
,
,
(
:
*
(
P
X
ist. Um den Verteilungsparameter
zu kennen, müßte der gesamte Wahrscheinlichkeitsraum
erfaßt werden. Da dies im
allgemeinen nicht möglich ist, muß eine Stichprobe
)
,...,
(
1
n
X
X
von X gezogen werden,
um daraus mittels einer Schätzfunktion den unbekannten Parameter zu schätzen. Seien nun
x
x
n
1
,...,
die Realisationen der X
X
n
1
,...
auf U, dann ist eine Schätzfunktion
eine
Abbildung aus dem Realisationenraum U in den Parameterraum
, die jeder konkreten
Stichprobe ( ,...
)
x
x
n
1
einen Schätzwert
^ für den Parameter
zuordnet,
53
also
^
:
)
,...,
(
)
,...,
(
:
U
:
1
1
=
n
n
n
x
x
x
x
Als mögliche Gütekriterien für Schätzfunktionen gelten Unverzerrtheit, Effizienz
und Konsistenz. Eine Schätzfunktion
heißt unverzerrt (oder erwartungstreu), wenn
=
))
,...,
(
(
1
n
X
X
E
.
54
Eine unverzerrte Schätzfunktion
heißt effizient (oder
varianzminimal), wenn
))
,...,
(
(
))
,...,
(
(
1
1
n
n
X
X
Var
X
X
Var
, wobei
eine
beliebige
unverzerrte
Schätzfunktion
ist.
Eine
Folge
von
Schätzfunktionen
)
,...,
(
:
1
n
n
X
X
=
,
N
I
n
, heißt konsistent, wenn sie stochastisch gegen den Parameter
konvergiert, also
0
)
|
(|
lim
=
-
n
n
P
.
55
53
Vgl. Hafner (1989), S.
268 ff., Viertl (1990), S. 102, Krengel (1991), S. 63f.
54
Wird eine Schätzfunktion durch einen mehrteiligen Parameter beschrieben, etwa
= ( , )
2
im Fall der
Normalverteilung, so müssen die einzelnen Teilparameter einzeln geschätzt werden. Eine Funktion, die
dem Gesamtparameter einen Teilparameter zuordnet, heißt Raffung, und wird mit
bezeichnet, der
Teilparameter selbst heißt dann geraffter Parameter, in Zeichen
( ). In obiger Definition ist dann
durch
( ) zu ersetzen (vgl. Viertl (1990), S.
102).
55
Vgl. Hafner (1989), S.
293 ff., Krengel (1991), S. 66 ff., Nguyen/Rogers (1989) II, S. 105 ff. und
S.
149 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
134
Fuzzy-Statistik
Ein mögliches Gütekriterium für den Schätzwert
ist die Eigenschaft der Maxi-
mum-Likelihood oder Plausibilität. Ein Schätzwert heißt plausibler Schätzwert (Maximum-
Likelihood-Schätzwert), wenn die Plausibilitäts- (Likelihood-) Funktion
)
,...,
|
(
1
n
x
x
l
in
^ maximal ist, also
)
,...,
|
(
max
)
,...,
|
^
(
1
1
n
n
x
x
l
x
x
l
=
.
56
Die Plausibilitätsfunktion ist
definiert als die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion der Stichprobe
n
X
X ,...,
1
(diskreter Fall):
)
|
(
)
|
,...,
(
:
)
,...,
|
(
1
1
1
i
n
i
n
n
x
p
x
x
p
x
x
l
=
=
=
, bzw. als die gemeinsame
Dichtefunktion (stetiger Fall):
)
|
(
)
|
,...,
(
:
)
,...,
|
(
1
1
1
i
n
i
n
n
x
f
x
x
f
x
x
l
=
=
=
.
)
,...,
(
1
n
x
x
ist die konkrete Stichprobe von
(
)
n
X
X ,...,
1
.
57
Im Fall eines unscharfen parametrischen stochastischen Modells
~
X
F
mit der
unscharfen Stichprobe
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
gemäß (7.48) gehen wir von einer konkreten
unscharfen Stichprobe aus, die nun definiert wird.
Voraussetzung für die Konsistenz von Schätzfunktionen bzw. -verfahren bei parametrischen Verteilungen
ist die Gültigkeit des schwachen Gesetzes der großen Zahlen, welches sich aus dem starken Gesetz der
großen Zahlen folgern läßt, sofern dessen Gültigkeit nachgewiesen ist (vgl. vgl. Hafner (1989), S.
216 ff.
und S.
293 ff., Krengel (1991), S. 58 ff. und S. 149 ff., Kinney (1997), S. 285 ff., Nguyen/Rogers (1989)
I, S.
358 ff. Kruse (1987), S. 20, Viertl (1990), S. 80 f., Comploj (1994), S. 143 ff.).
Das Kolmogorov'sche starke Gesetz der großen Zahlen besagt, daß für eine Folge von i.i.d.
Zufallsvariablen
,...
,
2
1
X
X
,
(
) (
)
)
(
R,
I
,
,
:
P
X
i
, sofern der Erwartungswert von
1
X
existiert, gilt:
1
})
({
)
(
lim
1
1
1
1
=
=
=
X
E
P
n
i
n
X
n
(fast sichere Konvergenz)
Dieses starke Gesetz der großen Zahlen wurde von Kruse (1982), S.
236 ff. und Kruse/Meyer (1987),
S.
143 ff. (in Anlehnung an Artstein/Vitale (1975), S. 880 ff.) auf Fuzzy-Zufallsvariablen übertragen: Sei
)
R
(I
)
(
~
c
i
X
-
N
I
i
, für
i
X
,
i
X
gelte
|)
(|
i
X
E
bzw.
|)
(|
i
X
E
,
N
I
i
existiere
(
i
M
mit
0
)
(M
=
i
P
und
R)
(I
)
(
~
cb
i
X
-
i
M
\
. Dann
A
M
mit
0
(M)
=
P
mit
0
)
~
(
),
(
~
lim
)
(
1
1
!
=
=
X
E
X
d
i
n
i
n
n
M
\
mit
[ )
}
{
)
B
,
(A
sup
),
B
,
(A
sup
max
:
)
B
~
,
A
~
(
1
,
0
]
1
,
0
(
=
H
H
d
d
d
(Hausdorff'sche Pseudometrik)
für
)
R
(I
B
~
,
A
~
-
und
|}
|
inf
sup
|,
|
inf
max{sup
:
B)
(A,
A
B
B
A
b
a
b
a
d
a
b
b
a
H
-
-
=
.
Bei Kruse/Meyer (1987), S.
143 ff. wird noch der allgemeinere Fall
)
R
(I
)
(
~
cc
i
X
-
bewiesen.
Das schwache Gesetz der großen Zahlen ist eine Folgerung aus dem starken und besagt, daß für eine
Folge von i.i.d. Zufallsvariablen
,...
,
2
1
X
X
,
(
) (
)
)
(
R,
I
,
,
:
P
X
i
mit
|)
(|
1
X
E
gilt:
0
0
)
(
lim
)
|}
({|
1
1
1
1
=
-
=
X
E
X
P
i
n
i
X
n
n
(stochastische Konvergenz)
Die Version für Fuzzy-Zufallsvariablen lautet (siehe Kruse/Meyer (1987), S.
154): Sei
)
R
(I
)
(
~
cc
i
X
-
,
N
I
i
eine Folge von i.i.d. Fuzzy-Zufallsvariablen mit
|)
(|
0
i
X
E
und
|)
(|
0
i
X
E
. Dann gilt:
0
0
)
~
(co
,
~
lim
)
)}
(
({
1
1
~
!
1
=
=
X
E
X
d
P
i
n
i
X
n
n
56
Wiederum kann an die Stelle des Parameters
der geraffte Parameter
( ) treten.
57
Vgl. Hafner (1989), S.
280 ff., Krengel (1991), S. 64 f., Nguyen/Rogers (1989) II, S. 97, Viertl (1990),
S.
106 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
135
Fuzzy-Statistik
Definition: Seien
n
A
~
,...,
A
~
1
,
(U)
A
~
-
i
für
}
,...,
1
{
n
i
die unscharfen Realisationen der
unscharfen Stichprobe
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
von
~
X
mit den Zugehörigkeitsfunktionen
A
( )
1
1
x ,...,
A
(
)
n
x
n
. Dann heißt der Fuzzy-Vektor
(
)
n
n
A
~
...
A
~
:
A
~
,...,
A
~
1
1
=
(7.53)
mit
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
)
,...,
(
A
~
1
A
~
1
A
~
,...,
A
~
1
1
n
n
x
x
x
x
n
n
=
(7.54)
konkrete unscharfe Stichprobe der unscharfen Stichprobe
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
.
58
Die
-Schnitte
)
A
,...,
(A
1
n
der unscharfen konkreten Stichprobe
)
A
~
,...,
A
~
(
1
n
erhält man aus den
-Schnitten der unscharfen Realisationen A ,...,A
1
n
mittels:
(
)
n
n
A
...
A
A
,...,
A
1
1
×
×
=
(7.55)
Eine unscharfe Schätzfunktion wird als die Fuzzy-Extension einer scharfen
Schätzfunktion definiert.
59
Definition: Sei
n
n
(U))
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
eine konkrete unscharfe Stichprobe der unscharfen
Stichprobe
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
von X mit
~
X
F
,
)
(
~
-
,
~
unbekannt. Die Abbildung
(
)
(
) (
)
^~
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
)
(
(U)
:
1
1
=
n
n
n
-
-
(7.56)
mit
(
)
)}
(
),...,
(
min{
sup
)
^
(
)
^
(
A
~
1
A
~
^
)
,...
(
:
U
)
,...,
(
A
~
,...,
A
~
^~
1
1
1
1
n
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
¯
¯
=
=
=
heißt unscharfe Schätzfunktion.
heißt unscharfer Schätzwert für den unscharfen Verteilungsparameter
.
Als Gütekriterien für unscharfe Schätzfunktionen werden hier werden hier Unver-
zerrtheit und Konsistenz betrachtet:
60
58
Viertl (vgl. Viertl (1990), S.
162 f., Viertl (1992), S. 124, Viertl (1996), S. 76 ff.) bezeichnet (7.53) als
kombiniertes unscharfes Stichprobenelement und das Verfahren (7.54) als Kombination unscharfer
Stichproben.
In (7.54) kann statt der Minimumnorm (5.2) zur Bildung des unscharfen kartesischen Produkts (5.27) auch
eine andere t-Norm (5.1), etwa die Produktnorm
alg
T
(5.17), zur Anwendung kommen (vgl. Comploj
(1994), S.
147).
59
Vgl. Kruse (1984), S.
202 ff., Kruse/Meyer (1987), S. 194 f., Viertl (1990), S. 164, Viertl (1992),
S.
124 f., Viertl (1996), S. 102 f., Comploj (1994), S. 148.
60
Vgl. Kruse (1984), S.
203 f., Kruse/Meyer (1987), S. 197 f., Comploj (1994), S. 148.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
136
Fuzzy-Statistik
Definition: Sei
,
,...
X X
1
2
eine Folge von i.i.d. Fuzzy-Zufallsvariablen
)
R
(I
)
(
~
c
i
X
-
61
,
~
X
F
i
i
IN . Sei
eine unscharfe Schätzfunktion (7.56) für
~
. Sei
N
I
n
ferner
n
definiert durch:
(
) (
)
n
n
n
X
X
X
X
~
,...,
~
:
~
,...,
~
1
1
=
(7.57)
(i)
n
heißt unverzerrte Schätzfunktion
(
)
N
I
~
~
,...,
~
:
1
=
¸
¹
·
¨
©
§
n
X
X
E
n
n
(7.58)
(ii) Die Folge
N
I
)
(
n
n
heißt konsistente Folge von unscharfen Schätzfunktionen
(
)
( )
lim
~
,...,
~
, co
~
~
n
n
n
P d
X
X
§
©¨
·
¹¸
§
©¨
·
¹¸
=
1
0
(7.59)
(iii) Die Folge
N
I
)
(
n
n
heißt stark konsistente Folge von unscharfen Schätzfunktionen
(
)
0
~
,
)
(
~
),...,
(
~
lim
:
M
\
:
0
(M)
,
M
1
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
n
n
n
X
X
d
P
(
(7.60)
Die beiden folgenden Ergebnisse, die wesentlich sind wesentlich für die
schließende Statistik mit unscharfen Daten.
62
Satz: Sei X X
1
2
,
,... eine Folge von i.i.d. (scharfen) Zufallsvariablen mit X
F
i
~
,
i
IN .
Sei
,
,...
X X
1
2
eine
Folge
von
i.i.d.
Fuzzy-Zufallsvariablen
mit
)
R
(I
)
(
~
cb
i
X
-
,
~
X
F
i
,
)
(
~
-
,
i
IN .
(i) Sei weiter
N
I
)
(
n
n
eine Folge von (scharfen) unverzerrten Schätzfunktionen für den
(scharfen) Parameter
.
Es gilt für die
-Schnitte:
( )
N
I
n
n
ist eine Folge von unverzerrten Schätzfunktionen für
( )
N
I
n
n
ist eine Folge von unverzerrten Schätzfunktionen für
Dabei ist:
61
Bei Kruse/Meyer (1987), S.
197 f. und Comploj (1994), S. 148 werden allgemein
)
R
(I
)
(
~
cc
i
X
-
betrachtet.
~
muß dann in den Definitionen durch
~
co
ersetzt werden.
62
Vgl. auch Comploj (1994), S.
149.
Bei Kruse/Meyer (1987), S.
198 ff. wird der allgemeine Fall
)
R
(I
)
(
~
b
i
X
-
gezeigt. Dazu wird
n
co
definiert durch
)
(
)
(
(
:
)
A
~
,...,
A
~
(
co
:
)
A
~
,...,
A
~
(
co
)
A
~
,...,
A
~
(
:
)
(
(U))
co
1
1
1
n
n
n
n
n
c
n
n
=
-
-
.
In den Aussagen sind dann jeweils die Schätzfunktion und der geschätzte Parameter durch ihre konvexe
Hülle zu ersetzen.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
137
Fuzzy-Statistik
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
=
=
,...,
sup
:
,...,
,...,
inf
:
,...,
1
1
1
1
(7.61)
wobei
1
,...,
n
die
-Schnitte (7.2) der Fuzzy-Zufallsvariablen sind,
und
: inf
=
und
: sup
=
(7.62)
wobei
die
-Schnitte des unscharfen Parameters
sind.
(ii) Sei weiter
( )
N
I
n
n
eine konsistente Folge von (scharfen) Schätzfunktionen für den
(scharfen) Parameter
.
Für die
-Schnitte gilt:
( )
N
I
n
n
ist eine konsistente Folge von Schätzfunktionen für
( )
N
I
n
n
ist eine konsistente Folge von Schätzfunktionen für
wobei
n
,
n
gemäß (7.61), und
,
gemäß (7.62) definiert sind.
Spezialfall: Sei
,
,...
X X
1
2
eine Folge von i.i.d. Fuzzy-Zufallsvariablen
)
R
(I
)
(
~
cb
i
X
-
i
IN . Dann ist
(
)
n
n
X
X
n
X
X
n
n
=
~
,...,
~
:
IN
~
...
~
1
1
(7.63)
eine unverzerrte unscharfe Schätzfunktion für
)
R
(I
)
~
(
1
cb
X
E
-
.
N
I
¸
¹
·
¨
©
§
n
n
ist eine konsistente Folge von Schätzfunktionen für
)
~
(
1
X
E
.
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
X
X
X
X
n
n
+
+
=
+
+
=
...
,...,
und
...
,...,
ist
Es
1
1
1
1
1
1
(7.64)
Wir setzen unser Beispiel aus Abschnitt 7.2.1 fort.
Es ist
(A
A
A
A )
( .
, . ; . , )
=
=
1
4
1
2
3
4
5 25 5 5 3 5 8 der unscharfe Schätzwert für die
erwartete unscharfe Ausfallszeit der Batterien
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
A
A
A
A
~
~
~
~
1
2
3
4
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
t
^~
Abb. 7.3 Schätzung der erwarteten unscharfen Ausfallszeit von Batterien
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
138
Fuzzy-Statistik
Legen wir eine Exponentialverteilung mit Parameter
=
1
zugrunde, so lauten die
(scharfe) Dichtefunktion und die (scharfe) Verteilungsfunktion:
[ )
)
(
1
)
(
,
0
t
e
t
f
t
-
=
und
[ )
)
(
1
1
)
(
,
0
t
e
t
F
t
-
-
=
Möchten wir die unscharfe Dichte- bzw. Verteilungsfunktion schätzen, so müssen wir
zunächst den unscharfen Schätzwert
für den unscharfen Parameter
bestimmen.
Es ist
[
]
~
/ .
.
,
.
=
+
-
=
35 1 75
8 2 5
0
1
in der Darstellungsform (3.21).
Nach (5.45) und (5.52) ist
[
]
1
0
1
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
^~
^~
=
-
+
-
=
=
mit Träger 0 125 0 286
.
, .
und Kern 0 182 0 190
.
, .
.
Die unscharfe Schar von geschätzten Dichtefunktionen lautet:
(
)
[
]
{
}
286
.
0
,
125
.
0
^
)
^
(
),
^
(
)
^~
(
~
~
^~
=
t
f
t
f
Die geschätzte fuzzifizierende Dichtefunktion ist gegeben durch ihre Zugehörigkeits-
funktion:
63
°¯
°
®
=
=
=
-
sonst
0
)
,
0
[
für
)
^
(
sup
)
(
^~
^
)
(
:
]
286
.
0
,
125
.
0
[
^
)
(
~
^
^
^~
t
f
f
e
t
f
t
f
t
Die geschätzte unscharfe Verteilungsfunktion lautet:
[
)
~
( )
( )
~
~
,
F t
e
t
t
=
-
1
1
0
{
( )
f t
und
( )
F t
sind fuzzifizierende Funktionen von t
und e
t
-
ist die Fuzzy-
Extension der Exponentialfunktion
X
~
e mit X:
= -
t .
Um die
-Niveaukurven von
( )
f t
zu bestimmen, müssen für
]
1
,
0
(
für
)
,
0
[
t
[
]
)
(
1
^
inf
)
(
1
^
inf
)
(
)
,
0
[
^
,
^
)
,
0
[
^
^
,
^
^
^
75
.
2
5
.
3
1
5
.
2
8
1
t
e
t
e
t
f
-
-
»¼
º
«¬
ª
=
=
+
-
und
[
]
)
(
1
^
sup
)
(
1
^
sup
)
(
)
,
0
[
^
,
^
)
,
0
[
^
^
,
^
^
^
75
.
2
5
.
3
1
5
.
2
8
1
t
e
t
e
t
f
-
-
»¼
º
«¬
ª
=
=
+
-
bestimmt werden:
Es ist
0
^
^
^
^
^
^
=
-
=
-
-
-
t
t
t
e
t
e
e
d
d
für
t
1
^ =
, denn
0
1
1
1
=
-
-
-
e
e
.
63
Bei Comploj (1994), S.
151 f. wurde fälschlicherweise
^~
)
(
~
^~
=
t
f
~
[ )
)
(
1
,
0
^~
t
e
t
-
als fuzzifizierende
Dichtefunktion angegeben und daraus wurden falsche
-Niveaukurven bestimmt.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
139
Fuzzy-Statistik
Es ist
)
2
^
(
^
^
^
^
2
^
^
^
2
2
-
=
+
-
-
=
-
-
-
-
-
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
t
t
t
t
d
d
an der Stelle
t
1
^ =
gleich
0
)
2
1
(
1
1
-
=
-
-
-
e
t
e
t
für
+
R
I
t
negativ, und daher ist
t
e
^
^
-
an der Stelle
t
1
^ =
maximal.
Im Maximum ist daher
1
^
1
^
-
-
=
e
e
t
t
. Dieses Maximum wird jedoch nur erreicht für
»¼
º
«¬
ª
=
^
,
^
^
1
t
, d.h. für
»¼
º
«¬
ª
^
1
^
1
,
a
t
,
]
1
,
0
(
.
Da
°¯
°
®
-
=
-
-
0
für
d.h.
,
^
für
0
0
für
d.h.
,
^
für
0
)
^
1
(
^
^
1
t
1
^
1
t
1
^
^
^
t
t
t
e
e
t
t
d
d
ist,
ist
t
e
^
^
-
bezüglich
^ für
^
1
t
streng monoton wachsend, und für
^
1
t
streng monoton
fallend.
Es ist somit für
¿
¾
½
¯
®
»¼
º
«¬
ª
=
^
,
^
^
min
0
^
1
^
1
t
:
t
t
e
e
^
^
^
,
^
^
^
^
max
-
-
»¼
º
«¬
ª
=
und für
¿
¾
½
¯
®
»¼
º
«¬
ª
=
^
,
^
^
max
^
1
^
1
t
:
t
t
e
e
^
^
^
,
^
^
^
^
max
-
-
»¼
º
«¬
ª
=
Zur Bestimmung des Minimums muß für
].
1
,
0
(
der Schnittpunkt von
t
e
^
^
-
und
t
e
^
^
-
berechnet werden:
t
t
e
e
^
^
^
^
-
-
=
^
^
^
^
=
t
t
e
e
^
^
^
^
=
¸¹
·
¨©
§
-
t
e
^
^
^
ln
^
ln
*
-
-
=
t
Es ist somit für
^
^
^
ln
^
ln
0
-
-
t
:
t
t
e
e
^
^
^
,
^
^
^
^
min
-
-
»¼
º
«¬
ª
=
und für
^
^
^
ln
^
ln
-
-
t
:
t
t
e
e
^
^
^
,
^
^
^
^
min
-
-
»¼
º
«¬
ª
=
Die
-Niveaukurven von
( )
f t
lauten somit:
°
¯
°
®
=
-
-
-
-
-
-
^
^
^
ln
^
ln
^
^
^
^
ln
^
ln
^
^
für
^
0
für
^
)
(
t
e
t
e
t
f
t
t
und
°
°
¯
°°
®
=
-
-
-
^
1
^
^
1
^
1
1
1
^
1
^
^
für
^
für
0
für
^
)
(
t
e
t
e
t
e
t
f
t
t
t
für
]
1
,
0
(
.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
140
Fuzzy-Statistik
Somit ist etwa
( )
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
¯
°
°
®
=
=
-
-
-
-
-
-
-
-
8
für
125
.
0
,
286
.
0
8
t
5,144
für
,
286
.
0
144
,
5
5
,
3
für
,
125
.
0
5
,
3
0
für
286
.
0
,
125
.
0
)
(
)
(
~
supp
125
.
0
286
.
0
1
1
286
.
0
1
1
125
.
0
286
.
0
125
.
0
0
^~
t
e
e
e
e
t
e
e
t
e
e
t
f
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
¯
°
°
®
=
-
-
-
-
-
-
-
-
375
.
7
für
136
.
0
,
254
.
0
375
.
7
301
,
5
für
,
254
.
0
301
,
5
37
3,9
für
,
136
.
0
937
,
3
0
für
254
.
0
,
136
.
0
)
(
136
.
0
254
.
0
1
1
254
.
0
1
1
136
.
0
254
.
0
136
.
0
25
.
0
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
¯
°
°
®
=
-
-
-
-
-
-
-
-
75
,
6
für
148
.
0
,
229
.
0
75
,
6
392
,
5
für
,
229
.
0
392
,
5
375
,
4
für
,
148
.
0
375
,
4
0
für
229
.
0
,
148
.
0
)
(
148
.
0
229
.
0
1
1
229
.
0
1
1
148
.
0
229
.
0
148
.
0
5
.
0
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
¯
°
°
®
=
-
-
-
-
-
-
-
-
125
,
6
für
163
.
0
,
208
.
0
125
,
6
416
,
5
für
,
208
.
0
416
,
5
812
,
4
für
,
163
.
0
812
,
4
0
für
208
.
0
,
163
.
0
)
(
163
.
0
208
.
0
1
1
208
.
0
1
1
163
.
0
208
.
0
163
.
0
75
.
0
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
( )
[
]
[
]
[
]
[
]
°
°
¯
°
°
®
=
=
-
-
-
-
-
-
-
-
5
,
5
für
182
.
0
,
190
.
0
5
,
5
373
,
5
für
,
190
.
0
373
,
5
25
,
5
für
,
182
.
0
25
,
5
0
für
190
.
0
,
182
.
0
)
(
)
(
~
ker
182
.
0
190
.
0
1
1
190
.
0
1
1
182
.
0
190
.
0
182
.
0
1
^~
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
e
e
t
f
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
0,1250 0,1103 0,0974 0,0859 0,0758 0,0669 0,0514 0,0386 0,0290 0,0218 0,0164 0,0092
0,1480 0,1276 0,1101 0,0949 0,0819 0,0706 0,0580 0,0461 0,0367 0,0292 0,0232 0,0147
0,1820 0,1517 0,1265 0,1054 0,0879 0,0733 0,0608 0,0503 0,0416 0,0344 0,0284 0,0194
0,1900 0,1571 0,1299 0,1074 0,0889 0,0735 0,0611 0,0509 0,0424 0,0354 0,0295 0,0205
0,2290 0,1821 0,1449 0,1152 0,0916 0,0736 0,0613 0,0525 0,0453 0,0391 0,0337 0,0251
0,2860 0,2149 0,1614 0,1213 0,0920 0,0736 0,0613 0,0526 0,0460 0,0406 0,0358 0,0279
0,1250 0,1103 0,0974 0,0859 0,0758 0,0669 0,0590 0,0521 0,0460 0,0406 0,0358 0,0279
0,1480 0,1276 0,1101 0,0949 0,0819 0,0706 0,0609 0,0525 0,0453 0,0391 0,0337 0,0251
0,1820 0,1517 0,1265 0,1054 0,0879 0,0733 0,0611 0,0509 0,0424 0,0354 0,0295 0,0205
0,1900 0,1571 0,1299 0,1074 0,0889 0,0735 0,0608 0,0503 0,0416 0,0344 0,0284 0,0194
0,2290 0,1821 0,1449 0,1152 0,0916 0,0729 0,0580 0,0461 0,0367 0,0292 0,0232 0,0147
0,2860 0,2149 0,1614 0,1213 0,0911 0,0684 0,0514 0,0386 0,0290 0,0218 0,0164 0,0092
)
(
0
^
t
f
)
(
0
^
t
f
)
(
5
.
0
^
t
f
)
(
0
1
^
t
f
)
(
0
^
t
f
)
(
1
^
t
f
)
(
5
.
0
^
t
f
)
(
1
^
t
f
)
(
5
.
0
^
t
f
)
(
0
^
t
f
)
(
5
.
0
^
t
f
)
(
1
^
t
f
Tab. 7.4
-Niveaus der fuzzifizierenden Dichtefunktion und Dichten der Fuzzy-Schar
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
141
Fuzzy-Statistik
0,0
0,1
0,2
0,3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
f
t
Abb. 7.5 a)
-Niveaukurven der
fuzzifizierenden
Dichtefunktion
0,0
0,1
0,2
0,3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
f
t
Abb. 7.5 b)
Dichtefunktionen der
Fuzzy-Schar
Wegen
,
0
]
1
,
0
(
gilt für die
-Niveaukurven von
( )
F t
:
(
)
[ )
)
(
1
1
)
(
,
0
^
^
t
e
t
F
t
-
-
=
und
[ )
)
(
1
1
)
(
,
0
^
^
t
e
t
F
t
-
¸¹
·
¨©
§ -
=
( )
[
]
[ )
)
(
1
1
,
1
)
(
)
(
~
supp
,
0
286
.
0
125
.
0
0
^~
t
e
e
t
F
t
F
t
t
-
-
-
-
=
=
[
]
[ )
)
(
1
1
,
1
)
(
,
0
254
.
0
136
.
0
25
.
0
t
e
e
t
F
t
t
-
-
-
-
=
[
]
[ )
)
(
1
1
,
1
)
(
,
0
229
.
0
148
.
0
5
.
0
t
e
e
t
F
t
t
-
-
-
-
=
[
]
[ )
)
(
1
1
,
1
)
(
,
0
208
.
0
163
.
0
75
.
0
t
e
e
t
F
t
t
-
-
-
-
=
( )
[
]
[ )
)
(
1
1
,
1
)
(
)
(
~
ker
,
0
190
.
0
182
.
0
1
^~
t
e
e
t
F
t
F
t
t
-
-
-
-
=
=
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
F
t
Abb. 7.6
Unscharfe
Verteilungs-
funktion
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
142
Fuzzy-Statistik
7.2.3 Unscharfe Konfidenzbereiche
Eine weitere Aufgabe der klassischen schließenden Statistik ist die Angabe von
Konfidenzbereichen.
64
Gehen wir wiederum aus von dem (scharfen) stochastischen Modell
F
X ~
und der Stichprobe
)
,...,
(
1
n
X
X
von X, so ist ein Konfidenzbereich K ein
Teilbereich des Parameterraums
, also
K
, in dem der unbekannte Parameter
mit
vorgegebener Wahrscheinlichkeit
-
1
liegt, also
-
1
K})
({
P
, wobei
eine
,,kleine" Zahl nahe Null, ist meist
01
,
0
=
oder
05
,
0
=
.
-
1
heißt auch Überdeckungs-
wahrscheinlichkeit. Die Funktion k, die jeder konkreten Stichprobe
)
,...,
(
1
n
x
x
von
)
,...,
(
1
n
X
X
einen Konfidenzbereich
K
zu vorgegebenem Niveau
-
1
zuordnet,
heißt Konfidenzfunktion
);
(
R
I
:
7
n
k
K
:
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
=
n
n
x
x
k
x
x
Insgesamt gilt:
K
)
,...,
(
1
=
n
x
x
k
-
1
K})
({
P
Ist speziell
R
I
=
, so ist K ein kompaktes Intervall, ein sog. Konfidenzintervall.
Dieses Modell soll auf den unscharfen Fall übertragen werden. Zwei (äquivalente)
Definitionen sollen anschließend vorgestellt werden.
Definition:
65
Sei
~
~
~
~
F
X
ein unscharfes stochastisches Modell, sei
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
eine
unscharfe Stichprobe von X
~
, und sei
n
1
R))
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
-
n
die konkrete unscharfe
Stichprobe von
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
. Sei
)
(
R
I
:
7
n
k
eine Konfidenzfunktion zum Niveau
-
1
. Dann heißt die Abbildung
(
)
(
) (
)
K
~
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
)
(
R)
(I
:
1
1
=
n
n
c
n
c
k
k
-
-
(7.65)
mit
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
)
(
A
~
1
A
~
)
,...
(
)
A
~
supp(
),...,
A
~
supp(
A
~
,...,
A
~
K
~
1
1
n
1
1
1
n
x
x
k
x
x
k
x
x
n
n
n
n
=
=
(7.66)
unscharfe Konfidenzfunktion zum Niveau
-
1
.
Das unscharfe Bild K
~
der unscharfen Konfidenzfunktion
k
heißt unscharfer
Konfidenzbereich mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
-
1
.
Bemerkung: Ist insbesondere
R
I
=
, so ist
R)
(I
K
~
c
-
ein Fuzzy-Intervall, genannt
unscharfes Konfidenzintervall oder Fuzzy-Konfidenzintervall.
64
Vgl. etwa Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S.
522 ff., Hafner (1989), S. 443 ff., Kinney (1997), S. 110 f. und
S.
294 ff., Viertl (1990), S. 113 ff., Nguyen/Rogers (1989) II, S. 137 ff., Krengel (1991), S. 71 ff.
65
Diese Definition stammt von Viertl (vgl. Viertl (1990), S.
165, Viertl (1992), S. 125 f., Viertl (1996),
S.
109 ff.).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
143
Fuzzy-Statistik
Definition:
66
Sei
~
~
~
~
F
X
ein unscharfes stochastisches Modell, sei
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
eine
unscharfe Stichprobe von X
~
mit
R)
(I
)
(
~
cc
i
X
-
}
,...,
1
{
n
i
. Das
unscharfe Bild der Abbildung
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
c
n
c
c
n
K
~
:
A
~
,...,
A
~
K
A
~
,...,
A
~
R)
(I
R)
(I
:
K
1
1
=
-
-
(7.67)
heißt unscharfes Konfidenzintervall mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
-
1
, wenn
für alle unscharfen Stichproben
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
von X
~
mit
R)
(I
)
(
~
cc
i
X
-
}
,...,
1
{
n
i
)
1
,
0
[
gilt:
(
)
(
)
{
}
-
¸¹
·
¨©
§
1
'
)
(
X
),...,
(
X
K
'
1
n
n
P
(7.68)
Satz:
67
Sei
F
X ~
ein (gewöhnliches) stochastisches Model. Sei
)
,...,
(
1
n
X
X
eine
(scharfe) Stichprobe von X, und seien
R
I
R
I
:
K
,
K
n
n
n
zwei Konfidenzfunktionen,
so daß
)
,
K
[
n
ein Konfidenzintervall mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
1
1
-
und
]
K
,
(
n
-
ein Konfidenzintervall mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
2
1
-
sind,
und es gelte
n
n
K
K
(punktweise). Sei
~
~
~
~
F
X
die unscharfe Erweiterung von
F
X ~
, und sei
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
eine unscharfe Stichprobe von X
~
. Dann ist
( )
[
]
R)
(I
K
,
K
/
K
/
:
K
~
1
0
1
0
c
n
n
n
n
-
=
=
=
=
(7.69)
ein Konfidenzintervall
68
mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
-
1
mit
2
1
:
+
=
,
wobei
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
{
}
y
x
x
y
y
x
x
y
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
=
×
×
×
×
)
,...,
(
K
R
I
sup
:
A
~
,...,
A
~
K
A
~
,...,
A
~
R
I
R)
(I
:
K
)
,...,
(
K
R
I
inf
:
A
~
,...,
A
~
K
A
~
,...,
A
~
R
I
R)
(I
:
K
1
A
...
A
)
,...,
(
1
1
1
A
...
A
)
,...,
(
1
1
1
1
1
1
-
-
(7.70)
Die zugehörige Konfidenzfunktion lautet:
66
Diese Definition findet sich bei Kruse/Meyer (1987), S.
204, Kruse/Meyer (1988), S. 117.
Es läßt sich unschwer zeigen, daß die beiden Definitionen äquivalent sind:
K
)
(
K
~
)
(
)
A
,...,
(A
k
1
n
{
}
(
)
-
1
)
A
,...,
(A
k
)
(
1
n
P
{
}
(
)
-
1
))
(
X
),...,
(
(X
k
)
(
|
1
n
P
{
}
(
)
-
1
))
(
X
),...,
(
(X
K
)
(
|
1
n
n
P
)
(
)
X
,...,
(X
K
1
n
n
Aus
)
(
)
X
,...,
(X
K
1
n
n
)
(
)
X
,...,
(X
K
1
n
n
folgt die Äquivalenz der Definitionen.
67
Beweis siehe Kruse/Meyer (1987), S.
204 ff.
68
-
=
n
K
oder
=
n
K
ist zulässig.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
144
Fuzzy-Statistik
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
[
]
1
0
1
1
1
1
A
~
,...,
A
~
K
,
A
~
,...,
A
~
K
/
A
~
,...,
A
~
K
A
~
,...,
A
~
R)
(I
R)
(I
:
K
=
=
n
n
n
n
n
n
n
c
n
-
-
(7.71)
Sind speziell
R
I
R
I
:
K
,
K
n
n
n
in allen n Komponenten stetig und monoton
steigend, so erhält man als Spezialfall von (7.69)-(7.71):
[
]
1
0
K
,
K
/
K
~
=
=
n
n
n
wobei
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
supA
,...,
supA
K
A
~
,...,
A
~
K
infA
,...,
infA
K
A
~
,...,
A
~
K
1
1
1
1
=
=
Spezialfall: Liegt eine (scharfe) Exponentialverteilung mit Parameter
vor, d.h.
Ex
X ~
,
so erhält man zwei gewöhnliche Konfidenzintervalle mit jeweiliger Überdeckungs-
wahrscheinlichkeit
2
1
-
durch:
¸
¹
·
«¬
ª
=
2
,
1
,
0
n
n
i
i
x
und
¸
¹
·
«¬
ª
=
,
2
,
1
n
n
i
i
x
, wobei
2
,
n
das
2
-Quantil
der
Standardgammaverteilung
n
mit
Dichtefunktion
)
(
1
)
(
)
,
0
[
1
)!
1
(
1
t
e
t
t
f
t
n
n
n
-
-
-
=
ist.
69
Ein Fuzzy-Konfidenzintervall
n
K
~
erhalten wir in folgendem Fall:
Sei
n
cc
n
R))
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
eine konkrete Stichprobe einer Fuzzy-Zufallsvariablen X
~
mit
~
~
~
~
Ex
X
. Dann ist
( )
1
0
K
/
K
~
=
=
n
n
a
, mit
( )
[
)
°
°
¯
°°
®
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¦
¦
=
=
=
-
sonst
,
0
}
,...,
1
{
A
sup
und
0
infA
wenn
,
K
2
2
,
1
,
1
1
supA
infA
n
i
i
i
n
n
i
n
i
n
i
n
i
ein Konfidenzintervall für
~
mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
-
1
.
Gilt insbesondere
n
c
n
R))
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
, so lauten die
-Schnitte des Fuzzy-
Konfidenzintervalls
n
K
~
( )
[
)
°
°
¯
°°
®
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¦
¦
=
=
=
-
sonst
,
0
}
,...,
1
{
wenn
,
K
2
2
,
1
,
1
1
n
i
a
a
i
i
n
n
i
n
i
n
i
n
i
a
a
69
Der Spezialfall
N)
I
(
n
n
der Standardgammaverteilung
R)
I
(
a
a
wird auch als Erlang-Verteilung
bezeichnet. Da zwischen der Standardgammaverteilung und der Chiquadratverteilung die Beziehung
)
(
2
2
2
,
2
)
(
t
n
n
f
t
f
=
besteht, gilt für die Quantile
2
,
2
,
2
1
n
n
=
.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
145
Fuzzy-Statistik
In unserem Beispiel aus dem vorhergehenden Abschnitt soll ein Konfidenzintervall mit
Überdeckungswahrscheinlichkeit 0,95 bestimmt werden.
Es ist
4
=
n
,
)
32
,
14
;
22
,
21
(
)
A
~
A
~
A
~
A
~
(
4
3
2
1
=
, und die benötigten Quantile der
Gammaverteilung lauten
767
.
8
=
0.975
4,
und
090
.
1
025
.
0
,
4
=
.
Daraus erhält man
(
)
(
)
)
K
~
supp(
358
.
29
,
597
.
1
,
)
(K
4
0
4
090
.
1
32
767
.
8
14
=
=
=
[
]
[
]
440
.
28
,
677
.
1
,
)
(K
090
.
1
31
767
.
8
7
.
14
1
.
0
4
=
=
[
]
[
]
523
.
27
,
757
.
1
,
)
(K
090
.
1
30
767
.
8
4
.
15
2
.
0
4
=
=
[
]
[
]
606
.
26
,
836
.
1
,
)
(K
090
.
1
29
767
.
8
1
.
16
3
.
0
4
=
=
[
]
[
]
688
.
25
,
916
.
1
,
)
(K
090
.
1
28
767
.
8
8
.
16
4
.
0
4
=
=
[
]
[
]
771
.
24
,
996
.
1
,
)
(K
090
.
1
27
767
.
8
5
.
17
5
.
0
4
=
=
[
]
[
]
853
.
23
,
076
.
2
,
)
(K
090
.
1
26
767
.
8
2
.
18
6
.
0
4
=
=
[
]
[
]
936
.
22
,
156
.
2
,
)
(K
090
.
1
25
767
.
8
9
.
18
7
.
0
4
=
=
[
]
[
]
018
.
22
,
236
.
2
,
)
(K
090
.
1
24
767
.
8
6
.
19
8
.
0
4
=
=
[
]
[
]
101
.
21
,
316
.
2
,
)
(K
090
.
1
23
767
.
8
3
.
20
9
.
0
4
=
=
[
]
[
]
)
K
~
ker(
183
.
20
,
395
.
2
,
)
(K
4
1
4
090
.
1
22
767
.
8
21
=
=
=
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
0
5
K
10
15
20
25
30
4
~
Abb. 7.7
Unscharfes
Konfidenzintervall
7.2.4 Unscharfe statistische Tests mit unscharfen Daten
Neben Schätzungen (Punkt-, Bereichs- und nicht-parametrische Schätzung) ist eine
weitere wichtige Aufgabe der klassischen schließenden Statistik das Testen statistischer
Hypothesen. Eine statistische Hypothese ist eine bestimmte Annahme über die Verteilung
P
X
einer Zufallsvariablen X. Eine solche Annahme kann das Vorliegen einer bestimmten
Verteilung (einfache Hypothese) oder mehrerer möglicher Verteilungen (zusammen-
gesetzte Hypothese) beinhalten, ist die Verteilung bis auf den Verteilungsparameter
bekannt und sind lediglich über diesen Annahmen zu treffen, so spricht man von
Parameterhypothesen.
70
Formal kann eine Hypothese, wie folgt, dargestellt werden: Sei (
,
(, P) ein Wahr-
scheinlichkeitsraum. Sei
)
(U,
)
,
,
(
:
(
(
P
X
eine Zufallsvariable. Wir definieren:
70
Vgl. Viertl (1990), S.
118, Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S. 529, Hafner (1989), S. 368 ff., Kinney (1997),
S.
113 f., Krengel (1991), S. 97, Nguyen/Rogers (1989) II, S. 190.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
146
Fuzzy-Statistik
}
von
erteilung
lichkeitsv
Wahrschei
mögliche
ist
|
{
:
X
P
Q
Q
X
=
8
.
8 kann die Menge aller
Wahrscheinlichkeitsverteilungen sein, oder eine Teilmenge davon, etwa die Menge aller
Verteilungen, die sich nur durch ihren Parameter unterscheiden, z.B. die Menge aller
Exponentialverteilungen
}
R
I
|
{
:
+
=
Ex
,_
. Eine Hypothese
/ ist dann eine Teilmenge
von
8:
}
von
verteilung
nlichkeits
Wahrschei
e
angenommen
ist
|
{
:
X
P
Q
Q
X
=
/
, es ist
8
/ .
71
Ein statistischer Test ist ein Verfahren zur Entscheidung über die Richtigkeit der
Nullhypothese
/
0
mit möglichst geringer Fehlerwahrscheinlichkeit. Die beiden möglichen
Fehler sind der Fehler erster Art, d.h. die Verwerfung einer richtigen Hypothese, und der
Fehler zweiter Art, d.h. die Annahme einer falschen Hypothese. Bei vielen statistischen
Tests wird nur die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art berücksichtigt.
72
Formal kann ein statistischer Test, wie folgt, beschrieben werden. Sei (
,
(, P) ein
Wahrscheinlichkeitsraum. Sei
)
(U,
)
,
,
(
:
(
(
P
X
eine Zufallsvariable, und sei
)
,...,
(
1
n
X
X
eine Stichprobe von X,
)
,...,
(
1
n
x
x
seien die Realisationen der
)
,...,
(
1
n
X
X
,
/
0
sie eine statistische (Null-)Hypothese. Dann ist ein statistischer Test eine Abbildung
};
1
,
0
{
U
:
n
¯
®
=
0
1
0
1
1
1
nicht
erfüllt
)
,...,
(
für
1
erfüllt
)
,...,
(
für
0
)
,...,
(
)
,...,
(
/
/
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
Dabei soll für die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art gelten
=
=
=
})
|
1
))
(
),...,
(
(
|
({
}
|
1
({
0
1
0
/
/
X
n
X
X
F
X
X
P
F
P
wobei
eine kleine Zahl nahe Null sein soll (etwa
=0,01 oder
=0,05). 1-
heißt auch
Signifikanzniveau.
73
Die Durchführung des Tests geht von einer konkreten Stichprobe
)
,...,
(
1
n
x
x
von X
aus, aus der eine Teststatistik
)
,...,
(
1
n
x
x
T
berechnet wird. Teststatistiken
)
,...,
(
1
n
X
X
T
sind so konzipiert, daß sie jeweils eine bestimmte asymptotische Verteilung aufweisen.
Beim Test selbst wird die berechnete Teststatistik mit dem Quantil der asymptotischen
Verteilung, das unter Berücksichtigung der akzeptierten Fehlerwahrscheinlichkeit
, des
Stichprobenumfangs n und der Gestalt der Hypothese
/
0
bestimmt wird, verglichen.
Aufgrund des Vergleiches nimmt
)
,...,
(
1
n
x
x
den Wert 0 oder 1 an, und dementsprechend
wird die Nullhypothese
/
0
angenommen oder verworfen. Als Alternative zur Nullhypo-
these
/
0
wird eine Alternativhypothese
/
1
formuliert.
74
Die bekanntesten Tests sind der Chiquadrat-Test, der t-Test und der F-Test. Die
Namensgebung beruht auf der asymptotischen Verteilung der entsprechenden Teststatistik.
71
Vgl. Viertl (1990), S.
118, Hafner (1989), S. 370 f., Krengel (1991), S. 97, Nguyen/Rogers (1989) II,
S.
193.
72
Vgl. Viertl (1990), S.
119 f., Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S. 529, Hafner (1989), S. 373 f., Kinney
(1997), S.
114, Krengel (1991), S. 97, Nguyen/Rogers (1989) II, S. 193.
73
Vgl. Viertl (1990), S.
119, Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S. 529 f., Hafner (1989), S. 372 f., Krengel
(1991), S.
97, Nguyen/ Rogers (1989) II, S. 190 und S. 194.
74
Vgl. Viertl (1990), S.
118 f., Pratt/Raiffa/Schlaifer (1995), S.529f., Hafner (1989), S.368f., Krengel
(1991), S.
97 f., Nguyen/Rogers (1989) II, S. 193 f..
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
147
Fuzzy-Statistik
Dieses Verfahren soll nun auf den Fall von Fuzzy-Zufallsvariablen erweitert
werden. Zwei Arten der Verallgemeinerung sind möglich: Die erste Möglichkeit geht von
der Voraussetzung aus, daß aufgrund unscharfer Daten auch nur eine unscharfe Akzeptanz
bzw. Verwerfung möglich ist.
75
In diesem Abschnitt werden zwei nicht äquivalente Ansätze für statistische Tests,
die zu unscharfer Akzeptanz bzw. Verwerfung einer auf unscharfen Daten basierenden
(scharfen oder unscharfen) Hypothese führen, die bei Gebhardt
76
bzw. Viertl
77
behandelt
werden, vorgestellt.
Definition:
78
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum
)
,
,
(
P
(
und eine Fuzzy-
Zufallsvariable
)
(U),
(
)
,
,
(
:
~
~
4
-
(
P
X
.
(i) Sei
}
~
von
~
verteilung
nlichkeits
Wahrschei
unscharfe
mögliche
ist
~
|
~
{
:
~
~
X
P
Q
Q
X
=
8
Eine unscharfe Hypothese
~
/ ist dann eine Teilmenge
~
~
8
/
:
}
~
von
~
Verteilung
unscharfe
e
angenommen
ist
~
|
~
{
:
~
~
X
P
Q
Q
X
=
/
(7.72)
Die unscharfe Nullhypothese wird mit
~
0
/ , die unscharfe Alternativhypothese mit
~
1
/ bezeichnet.
(ii) Sei
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
eine unscharfe Stichprobe von X
~
mit Realisationen
)
A
~
,...,
A
~
(
1
n
.
Ferner sei
~
0
/ eine unscharfe statistische Hypothese und
]
1
,
0
[
eine Zahl nahe 0.
Die Abbildung
(
)
(
) (
)
n
n
n
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
})
1
,
0
({
(U)
:
1
1
-
-
(7.73)
die definiert ist durch
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
=
=
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
sonst
}
1
,
0
{
A
,...,
A
1
)
,...,
(
wenn
1
A
,...,
A
0
)
,...,
(
wenn
0
)
A
,...,
(A
:
)
A
,...,
(A
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
(7.74)
und
}
1
,
0
{
für
)
A
,...,
(A
]
1
,
0
[
sup
)
(
1
sup
)
(
1
)
A
,...,
(A
]
1
,
0
[
)
A
~
,...,
A
~
(
1
1
¿
¾
½
¯
®
=
=
e
e
e
e
n
n
n
(7.75)
75
Eine zweite Möglichkeit der Verallgemeinerung führt trotz der Unschärfe der Daten zu scharfen Testent-
scheidungen, solche Tests werden Gegenstand des kommenden Abschnitts 7.2.5, S.
151 ff. sein.
76
Vgl. Gebhardt (1992), S.
140 f.
77
Vgl. Viertl (1992), S.
126 f.
78
Diese Definition beruht im wesentlichen auf dem Ansatz von Gebhardt (1992), S.
140 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
148
Fuzzy-Statistik
wobei
}
1
,
0
{
)
,...,
(
1
n
a
a
eine scharfe Testfunktion mit Fehlerwahrscheinlichkeit
ist, heißt unscharfer statistischer Test für
~
0
/ mit Fehlerwahrscheinlichkeit
.
Die Durchführung des unscharfen statistischen Tests erfolgt über die Berechnung
einer unscharfen Teststatistik
)
A
~
,...,
A
~
(
1
n
T
, die die Fuzzy-Extension der gewöhnlichen
Teststatistik
)
,...,
(
1
n
a
a
T
darstellt.
Da die Berechnung von Teststatistiken mit unscharfen Daten und mit Hypothesen
über unscharfe Verteilungen sehr umständlich und aufwendig ist, begnügt man sich meist
mit der Vereinfachung, eine scharfe Verteilung anzunehmen.
Als Spezialfall soll hier der unscharfe Chiquadrat-Test für die Varianz einer
Normalverteilung
79
angeführt werden. Zunächst gehen wir vom scharfen Fall aus.
80
Sei
)
,
(
~
2
N
X
, d.h. X eine (scharfe) Zufallsvariable, die normalverteilt ist mit den
Parametern
und
2
. Dabei sei
0
=
bekannt und
2
unbekannt. Es soll anhand
einer Stichprobe
)
,...,
(
1
n
X
X
festgestellt werden, ob X eine bestimmte Varianz
2
0
hat. Wir formulieren die Nullhypothese
2
0
2
0
:
=
/
. Der Test geht davon aus, daß
die Größe
2
0
2
)
1
(
n
S
n
-
im Fall der Richtigkeit der Hypothese chiquadratverteilt ist mit
(n-1) Freiheitsgraden, also
2
1
~
2
0
2
)
1
(
-
-
n
n
S
n
.
(
)
¦
¦
=
=
-
=
-
n
i
n
i
i
i
n
X
X
S
n
n
1
2
1
2
1
)
1
(
1
ist
die
Stichprobenvarianz.
Die
Teststatistik
lautet
daher
(
)
¦
¦
=
=
-
=
=
-
n
i
n
i
i
i
n
X
X
X
X
T
n
S
n
n
1
2
1
1
1
1
)
1
(
2
0
2
0
2
)
,...,
(
. Da das Mittel
0
bekannt
ist, können wir auch schreiben
(
)
¦
=
-
=
n
i
i
n
X
X
X
T
1
2
0
1
2
0
1
)
,...,
(
. Aus der
Verteilung der Teststatistik folgt, daß
»¼
º
«¬
ª
¦
¦
-
-
-
=
=
-
-
2
,
1
2
0
2
1
,
1
2
0
2
1
2
1
)
(
)
(
,
n
i
n
i
n
i
n
i
X
X
ein
Konfidenzintervall für
2
mit Überdeckungswahrscheinlichkeit 1-
ist. Nun kann der
Test formuliert werden:
2
0
2
0
:
=
/
, d.h.
)}
,
(
{
2
0
0
0
N
=
/
2
0
2
1
:
/
, d.h.
)}
,
(
{
\
)
,
(
2
0
0
2
0
1
N
5
/
=
wobei
)
,
(
2
0
5
die Menge der Normalverteilungen mit den Parametern
0
und
2
ist. Sei
)
,...,
(
1
n
x
x
eine konkrete Stichprobe von X. Dann ist
(
)
[
]
(
)
[
]
¨
¨
©
§
-
-
=
-
-
-
=
-
-
-
=
¦
¦
2
1
,
1
2
,
1
0
1
2
1
,
1
2
,
1
0
1
1
2
2
2
2
,
falls
1
,
falls
0
)
,...,
(
2
0
2
0
1
1
n
n
i
n
i
i
n
n
i
n
i
i
n
X
X
X
X
x
x
79
Vgl. Gebhardt (1992), S.
140 f.
80
Vgl. Hafner (1989), S.
347 ff., Krengel (1991), S. 178 ff., Viertl (1990), S. 125.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
149
Fuzzy-Statistik
Im Fall
0
)
,...,
(
1
=
n
x
x
wird die Hypothese
/
0
angenommen, im Fall
1
)
,...,
(
1
=
n
x
x
wird sie verworfen.
Hier handelt es sich um einen zweiseitigen Test bzw. um eine zweiseitige Alternativ-
hypothese. Beispiel für eine einseitige Alternativhypothese wäre etwa:
2
0
2
0
:
/
,
2
0
2
1
:
/
; der Test, der eine einseitge Hypothese prüft, heißt einseitiger Test.
Die unscharfe Version dieses Tests wird von Gebhardt demonstriert:
Sei
)
,
(
~
2
X
, wobei
0
=
bekannt ist. Die Hypothese
2
0
2
=
soll getestet
werden. Seien
n
X
X
~
,...,
~
1
n unscharfe Wahrnehmungen von X, d.h. n Fuzzy-Zufalls-
variablen, von denen X ein mögliches Original ist:
}
,...,
{
~
supp
n
i
i
X
X
i
81
, seien
R)
(I
A
~
,...,
A
~
1
cb
n
-
n unscharfe Realisationen von
n
X
X
~
,...,
~
1
. Sei
die vorgegebene
tolerierte Fehlerwahrscheinlichkeit. Die Hypothesen seien, wie folgt, formuliert:
2
0
2
0
:
=
/
,
2
0
2
1
:
/
Der unscharfe Test
(
)
})
1
,
0
({
R)
(I
:
-
-
n
cb
wird
-schnittweise durchgeführt:
{
}
{
}
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
-
-
-
+
-
-
-
-
+
-
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
-
-
=
-
=
=
-
-
=
-
=
=
¦
¦
¦
¦
¦
¦
sonst
}
1
,
0
{
)
(
,
)
(
max
und
)
(
)
(
falls
1
)
(
,
)
(
max
und
)
(
)
(
falls
0
)
A
,...,
(A
)
A
,...,
(A
2
1
,
1
2
1
2
2
0
2
,
1
2
1
2
1
2
0
2
1
,
1
2
1
2
2
0
2
,
1
2
1
2
1
2
0
1
1
2
2
0
0
2
2
0
0
n
n
i
i
o
i
n
n
a
i
i
o
n
a
i
i
n
n
i
i
o
i
n
n
a
i
i
o
n
a
i
i
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
i
i
i
i
und
}
1
,
0
{
für
)
(
1
sup
)
(
)
A
,...,
(A
]
1
,
0
[
)
A
~
,...,
A
~
(
1
1
=
e
e
e
n
n
.
Ein anderer Ansatz für unscharfe Tests stammt von Viertl
82
, ein sich an diesen
Ansatz anlehnendes Konzept soll anschließend vorgestellt werden:
Definition: Sei (
,
(, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei
)
(U,
)
,
,
(
:
(
(
P
X
eine
Zufallsvariable, und sei
)
~
,...,
~
(
1
n
X
X
eine unscharfe Stichprobe von unscharfen
Wahrnehmungen von X mit Realisationen
n
n
(U))
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
. Sei
/
0
eine
Nullhypothese über die (scharfe) Verteilung von X mit Alternativhypothese
/
1
. Sei
81
Vgl. dazu Abschnitt 7.1.1, S.
114 in dieser Arbeit.
82
Vgl. Viertl (1992), S.
126 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
150
Fuzzy-Statistik
}
1
,
0
{
U
:
n
der (scharfe) Test, der die Hypothese
/
0
prüft. Der unscharfe Test ist
dann die Abbildung
(
)
(
)
(
)
¯
®
-
-
=
×
1
0
1
1
0
0
1
1
für
)
1
,
1
(
für
)
1
,
0
(
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
]
1
,
0
(
}
1
,
0
{
(U)
:
n
V
n
n
V
-
(7.76)
wobei
{
}
{
}
{
}
{
}
0
)
,...
(
|
U
)}
,...,
(
)
A
,...,
(A
)
1
,
0
[
inf
:
1
)
,...
(
|
U
)}
,...,
(
)
A
,...,
(A
)
1
,
0
[
inf
:
1
1
1
1
1
1
1
0
=
=
=
=
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
(7.77)
Der unscharfe Test nach Viertl nimmt im Gegensatz zum Test nach Gebhardt also
sehr wohl eindeutige Werte 0 oder 1 an, diesen Werten wird jedoch eine Bewertung
]
1
,
0
(
1
-
zugeordnet. Die Ergebnisse des Tests sind unscharfe Elemente im Sinn von
(5.31) in
})
1
,
0
({
-
.
Als Spezialfall soll der unscharfe t-Test für das Mittel einer Normalverteilung
83
präsentiert
werden. Sei
)
,
(
~
2
X
, wobei
und
2
unbekannt sind. Seien
0
0
:
=
/
,
0
1
:
/
die zu testende Nullhypothese und die entsprechende Alternativhypo-
these. Dann ist bei richtiger
/
0
1
1
1
1
1
~
)
1
(
:
)
,...,
(
1
1
1
2
0
)
(
-
¦
¦
¦
-
=
=
=
=
-
-
n
n
n
n
n
t
n
n
X
X
T
n
i
n
i
n
i
i
i
i
X
X
X
wobei
1
-
n
t
die t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden ist.
Somit ist
[
]
2
2
1
,
1
,
1
,
-
-
-
n
n
t
t
ein Konfidenzintervall für
¦
¦
¦
-
=
=
=
-
-
n
i
n
i
n
i
i
i
i
X
X
X
n
n
n
n
n
1
1
1
2
0
)
(
1
1
1
)
1
(
mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
-
1
, bzw.
84
»
¼
»
«
¬
«
¦
¦
+
¦
¦
-
-
-
=
-
-
=
-
-
-
-
=
=
=
=
¦
¦
2
1
1
2
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
2
2
,
n
n
n
n
i
i
n
n
n
n
n
i
i
n
t
X
t
X
n
n
X
X
n
n
X
X
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
ist ein Konfidenzintervall für
mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
-
1
.
Somit ist
°
°
¯
°°
®
¦
¦
¦
-
¦
¦
¦
-
=
-
-
-
-
=
=
=
=
=
=
-
-
-
-
2
1
1
1
2
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
2
0
2
0
)
(
)
(
)
1
(
falls
1
)
1
(
falls
0
)
,...,
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
n
n
t
n
n
x
x
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
der entsprechende (scharfe) statistische Test mit Fehlerwahrscheinlichkeit
, wenn
)
,...,
(
1
n
x
x
eine (scharfe) konkrete Stichprobe ist.
85
83
Vgl. Viertl (1992), S.
126 f.
84
Es ist
2
2
1
,
1
,
1
-
-
-
-
=
n
n
t
t
.
85
Vgl. Hafner (1989), S.
357 ff., Krengel (1991), S. 170 ff., Viertl (1990), S. 124.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
151
Fuzzy-Statistik
Ist nun
n
n
)
R)
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
eine unscharfe konkrete Stichprobe von X, so lautet der
unscharfe Test
(
)
¯
®
-
-
=
1
0
1
1
0
0
1
für
)
1
,
1
(
für
)
1
,
0
(
A
~
,...,
A
~
n
V
wobei
°¿
°
¾
½
°¿
°
¾
½
¦
¦
¦
-
¯
®
¯
®
=
°¿
°
¾
½
°¿
°
¾
½
¦
¦
¦
-
¯
®
¯
®
=
-
-
-
-
=
=
=
=
=
=
-
-
-
-
2
1
1
1
2
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
0
2
0
2
0
)
(
)
(
)
1
(
U
)}
,...,
(
)
A
,...,
(A
)
1
,
0
[
inf
:
)
1
(
U
)}
,...,
(
)
A
,...,
(A
)
1
,
0
[
inf
:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
n
n
x
x
t
n
n
x
x
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
Die Zugehörigkeitsfunktion der unscharfen Teststatistik
(
)
n
T
A
~
,...,
A
~
1
lautet
(
)
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
n
1
1
2
)
1
1
(
1
1
0
1
1
1
1
1
A
~
1
A
~
)
1
(
)
,...,
(
:
A
~
supp
...
A
~
supp
)
,...,
(
A
~
,...,
A
~
n
T
n
n
x
x
T
x
x
T
x
x
T
n
i
n
i
i
X
n
i
X
n
n
i
i
X
n
n
n
n
n
=
-
=
×
×
¦ =
¦ =
-
¦ =
-
=
7.2.5 Scharfe statistische Tests für unscharfe Hypothesen
Für die Grundlagen der gewöhnlichen (scharfen) statistischen Testtheorie sei auf
den vorhergehenden Abschnitt 7.2.4 verwiesen.
86
Während im vorigen Abschnitt scharfe
Hypothesen über unscharfe Zufallsvariablen aufgestellt wurden und die Unschärfe im
Testergebnis berücksichtigt wurde,
87
wird hier ein anderes Ziel verfolgt: Man geht davon
aus, daß unscharfe Zufallsvariablen nur eine unscharfe Verteilung aufweisen können, und
es sollen, mit einer bestimmten maximal tolerierten Fehlerwahrscheinlichkeit eindeutige
Aussagen darüber gemacht werden, ob eine bestimmte unscharfe Verteilung vorliegt oder
nicht.
88
Der Zusammenhang zwischen Teststatistiken und Konfidenzintervallen wurde in
den Beispielen von Abschnitt 7.2.4 augenscheinlich. Allgemein kann der Zusammenhang
durch ein Gleichsetzen der Überdeckungswahrscheinlichkeit des Konfindenzintervalls mit
86
Vgl. Abschnitt 7.2.4, S.
145 ff.
87
Vgl. Abschnitt 7.2.4, S.
147 ff.
88
Diese Form von statistischen Tests wird bei Kruse/Meyer (1987), S.
222 ff. beschrieben.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
152
Fuzzy-Statistik
dem Signifikanzniveau des statistischen Tests hergestellt werden. Die Formeln für die
Konfidenzintervalle im Fall der Exponentialverteilung sind Ableitungen aus der Verteilung
der Teststatistiken, die spezielle Berechnung der Teststatistiken wiederum folgt aus den
Überlegungen zu Konfidenzintervallen.
89
Bei den Tests nach Kruse/Meyer wird die meist sehr komplizierte Berechnung von
unscharfen Teststatistiken zu unscharfen Hypothesen vermieden, stattdessen erfolgen die
Tests mit Hilfe von Konfidenzintervallen
90
.
Bisher wurde auch die Unterscheidung zwischen einseitigen und zweiseitigen Tests
nur erwähnt. Hier soll nun unterschieden werden zwischen zweiseitigen Tests bei
zweiseitigen Alternativhypothesen (= gegen
) und einseitigen Tests, die sich wiederum
einteilen lassen in Tests mit rechtsseitiger Alternativhypothese (
gegen ) und Tests mit
linksseitiger Alternativhypothese (
gegen ).
Definition: Sei
F
X ~
ein (scharfes) parametrisches stochastisches Modell, wobei
unbekannt ist. Seien weiter
)
,
[
n
K
und
]
,
(
n
K
-
,
n
n
K
K
, zwei gewöhnliche
Konfidenzintervalle mit Überdeckungswahrscheinlichkeit
1
1
-
bzw.
2
1
-
für den
unbekannten Parameter
,
)
1
,
0
(
,
2
1
,,nahe Null". Seien
n
X
X
~
,...,
~
1
n unscharfe
Wahrnehmungen von X mit Realisationen
n
n
)
R)
(I
(
)
A
~
,...,
A
~
(
1
-
. Für
N
I
N
definiere
)
1
,
0
[
}
,...,
{
1
N
und
}
,...,
1
{
N
K
. Es seien
(
)
R
I
R)
(I
:
K
,
n
n
n
i
i
K
-
für
N
i
,...,
1
=
definiert gemäß (7.70):
(
)
{
}
(
)
{
}
y
x
x
y
y
x
x
y
n
n
x
x
n
n
n
n
x
x
n
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
=
=
×
×
×
×
)
,...,
(
K
R
I
sup
:
A
~
,...,
A
~
K
)
,...,
(
K
R
I
inf
:
A
~
,...,
A
~
K
1
A
...
A
)
,...,
(
1
1
A
...
A
)
,...,
(
1
1
1
1
1
(i) Die zu testende unscharfe Nullhypothese (mit Alternativhypothese) laute:
0
~
1
0
~
0
~
~
co
:
~
~
co
:
=
/
/
(7.78)
wobei
~
die unbekannte unscharfe Wahrnehmung des unbekannten Parameters
ist.
Definiere für
N
,...,
1
0
=
die Abbildungen:
(
)
(
)
(
)
[
]
°¯
°
®
=
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
i
n
n
i
K
K
K
K
0
0
0
1
1
inf
oder
sup
für
1
,
für
0
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
}
1
,
0
{
R)
(I
:
1
-
(7.79)
89
Vgl. auch Hafner (1989), S.
459 ff.
90
Vgl. Abschnitt 7.2.3, S.
142 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
153
Fuzzy-Statistik
Dann ist die Abbildung
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
°
°
¯
°°
®
=
¦
¦
=
=
K
K
n
i
n
i
n
i
n
i
n
n
n
1
1
1
1
1
1
A
~
,...,
A
~
für
1
A
~
,...,
A
~
für
0
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
}
1
,
0
{
R)
(I
:
-
(7.80)
ein scharfer zweiseitiger Test für die unscharfe Hypothese
~
0
/ mit Fehlerwahrschein-
lichkeit
, wobei
K
N
+
=
)
(
:
2
1
.
(ii) Die zu testende unscharfe Nullhypothese (mit Alternativhypothese) laute:
0
~
1
0
~
0
~
~
co
:
~
~
co
:
/
/
(7.81)
Für
N
i
,...,
1
=
seien Abbildungen definiert:
(
)
(
)
(
)
°¯
°
®
=
)
A
~
,...,
A
~
(
für
1
)
A
~
,...,
A
~
(
für
0
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
}
1
,
0
{
R)
(I
:
1
0
1
0
1
1
n
n
n
n
n
i
n
n
i
i
i
i
i
K
K
-
(7.82)
Dann ist die Abbildung
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
°
°
¯
°°
®
=
¦
¦
=
=
K
K
n
i
n
i
n
i
n
i
n
n
n
1
1
1
1
1
1
A
~
,...,
A
~
für
1
A
~
,...,
A
~
für
0
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
}
1
,
0
{
R)
(I
:
-
(7.83)
ein scharfer einseitiger Test für die unscharfe Hypothese
~
0
/ mit Fehlerwahrschein-
lichkeit
, wobei
K
N
=
1
:
.
(iii) Die zu testende unscharfe Nullhypothese (mit Alternativhypothese) laute:
0
~
1
0
~
0
~
~
co
:
~
~
co
:
/
/
(7.84)
Für
N
i
,...,
1
=
seien Abbildungen definiert:
(
)
(
)
(
)
°¯
°
®
=
)
A
~
,...,
A
~
(
für
1
)
A
~
,...,
A
~
(
für
0
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
}
1
,
0
{
R)
(I
:
1
0
1
0
1
1
n
n
n
n
n
i
n
n
i
i
i
i
i
K
K
-
(7.85)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
154
Fuzzy-Statistik
Dann ist die Abbildung
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
°
°
¯
°°
®
=
¦
¦
=
=
K
K
n
i
n
i
n
i
n
i
n
n
n
1
1
1
1
1
1
A
~
,...,
A
~
für
1
A
~
,...,
A
~
für
0
:
A
~
,...,
A
~
A
~
,...,
A
~
}
1
,
0
{
R)
(I
:
-
(7.86)
ein scharfer einseitiger Test für die unscharfe Hypothese
~
0
/ mit Fehlerwahrschein-
lichkeit
, wobei
K
N
=
1
:
.
Bemerkung: In den Hypothesenformulierungen (7.81) und (7.84) bedeutet:
bzw. :
:
]
1
,
0
(
0
inf
inf
bzw.
0
sup
sup
bzw. :
:
]
1
,
0
(
0
inf
inf
bzw.
0
sup
sup
Es soll nun das Beispiel aus den Abschnitten 7.2.1, 7.2.2 und 7.2.3 fortgesetzt werden.
91
Die folgende unscharfe Hypothese ist zu testen:
~
~
~
0
0
~
~
:
Ex
X
/
mit
1
0
0
~
~
-
=
und
)
28
,
0
;
21
,
16
(
~
0
=
)
28
,
0
;
21
,
16
(
~
:
0
~
1
/
Es sei
6
=
N
,
}
9
.
0
,
7
.
0
,
6
.
0
,
4
.
0
,
3
.
0
,
1
.
0
{
}
,...,
{
6
1
=
,
3
=
K
,
1
,
0
=
Das benötigte unscharfe Konfidenzintervall
4
K
~
)
4
(
=
n
für
~ mit Überdeckungswahr-
scheinlichkeit
6
3
1
,
0
1
05
,
0
1
95
,
0
-
=
-
=
wurde bereits in Abschnitt 7.2.3
92
berechnet.
Es ist
1
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
1
=
, denn
677
.
1
6
.
1
1
,
0
4
1
,
0
0
=
=
K
0
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
2
=
, denn
]
606
.
26
,
836
.
1
[
]
9
.
25
,
8
.
4
[
3
,
0
4
3
,
0
0
=
=
K
0
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
3
=
, denn
]
688
.
25
,
9916
.
1
[
]
2
.
25
,
4
.
6
[
4
,
0
4
4
,
0
0
=
=
K
0
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
4
=
, denn
]
853
.
23
,
076
.
2
[
]
8
.
23
,
8
.
12
[
6
,
0
4
6
,
0
0
=
=
K
1
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
5
=
, denn
936
.
22
1
.
23
7
,
0
4
7
,
0
0
=
=
K
1
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
6
=
, denn
101
.
21
7
.
21
9
,
0
4
9
,
0
0
=
=
K
Wegen
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
3
4
3
2
1
2
4
3
2
1
1
+
+
K
=
=
+
+
+
3
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
6
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
ist
1
)
A
~
,
A
~
,
A
~
,
A
~
(
4
3
2
1
=
,
und die unscharfe Nullhypothese
~
0
/
kann mit Fehlerwahrscheinlichkeit 0,1
verworfen werden.
91
Bei Kruse/Meyer (1987), S.
227 ff. werden die unscharfen Erweiterungen für einige wichtige Tests
angeführt.
92
Vgl. Abschnitt 7.2.3, S. 145.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
155
Fuzzy-Statistik
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
0
5
K
10
15
20
25
30
4
~
0
~
Abb. 7.8
Scharfer Test
für unscharfe
Hypothese
7.3 Das Softwaretool SOLD
SOLD
93
(Statistics On Linguistik Data) ist ein Softwaretool, das die Modellierung
linguistischer Daten mittels Fuzzy-Mengen und deren statistische Analyse unterstützt. Die
Implementierung beruht im wesentlichen auf den in Kruse/Meyer 87 vorgestellten
Algorithmen. Kommerzielle Versionen von SOLD wurden in Pascal-XT im Rahmen eines
Kooperationsvertrages der Technischen Universität Braunschweig und der Siemens AG
München entwickelt, sie laufen unter den Betriebsystemen BS2000 und SINIX.
Das SOLD-System besteht aus zwei konzeptionell getrennten Schritten, die für
zwei Arten von Benutzern geschaffen wurden.
Der erste Schritt, der auch als Spezifikationsphase bezeichnet wird, beinhaltet die
Modellierung linguistischer Daten
94
und die Wahl der statistischen Methoden. Dieser Teil
des SOLD-Systems steht dem Experten zur Verfügung. Für die Modellierung von
linguistischen Daten in Form von Fuzzy-Mengen werden vom Experten zunächst
elementare linguistische Werte (alt, groß, mitteleren Einkommens, etc.) mittels
Fuzzy-Mengen beschrieben, SOLD stellt dafür 15 verschiedene Klassen parametrisierter
Fuzzy-Mengen von IR zur Verfügung. Mittels sog. kontextfreier generierender Gramma-
tiken, die logische Operatoren zur Verknüpfung linguistischer Werte zur Verfügung stellen,
können auch komplexe linguistische Werte modelliert werden. Für die verschiedenen
Universen (Alter, Körpergröße, Unternehmensgröße, Reichtum, etc.) werden vom Experten
in der Spezifikationsphase die internen Repräsentationen der möglichen linguistischen
Daten entworfen. Damit ist die Umgebung für den zweiten Schritt gegeben.
Der zweite Schritt, der auch als Analysephase bezeichnet wird, besteht in der
Berechnung geschätzter statistischer Größen aufgrund von konkreten unscharfen
Stichproben. Dieser Teil von SOLD wird von Anwendern benützt. Die durch die Spezifika-
tionsphase vorgegebene Umgebung wird dabei auf zweierlei Art genützt: Einerseits können
linguistische Werte, die die unscharfen Realisationen von Stichproben von Fuzzy-
Zufallsvariablen beschreiben, als Input-Daten eingegeben werden, andererseits werden die
93
Die als Grundlage für diesen kurzen Überblick verwendeten Beschreibungen von SOLD finden sich bei
Kruse/Meyer (1987), S.
231 ff. und Kruse/Gebhardt/Klawonn (1993), S. 70 ff.
94
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S.
23 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
156
Fuzzy-Statistik
von SOLD berechneten unscharfen Output-Daten wiederum als linguistische Daten
interpretiert und als solche ausgegeben.
Mittels SOLD können Schätzwerte für die Charakteristiken von Fuzzy-
Zufallsvariablen (insbesondere Erwartungswert und Varianz)
95
bestimmt werden, wobei
Fuzzy-Zufallsvariablen als unscharfe Perzeptionen möglicher generischer (scharfer)
Zufallsvariablen (7.4) zu verstehen sind. Weiters können mit SOLD wichtige
Berechnungen aus der schließenden Statistik mit unscharfen Daten durchgeführt werden.
Die Quantile unscharfer nicht-parametrischer Verteilungen können mittels der Quantile
unscharfer empirischer Verteilungen, die mit SOLD berechnet werden können, geschätzt
werden
96
Es ist weiters möglich, konvexe unscharfe Verteilungsparameter aufgrund von
unscharfen konkreten Stichproben zu schätzen
97
bzw. unscharfe Konfidenzintervalle mit
vorgegebener Überdeckungswahrscheinlichkeit 1-
zu bestimmen
98
.. Ferner erlaubt SOLD
das Testen von unscharfen zwei- und einseitigen statistischen Hypothesen
99
.
Wird hier vom Experten und vom Anwender gesprochen, so müssen dies nicht
verschiedene Personen sein. Der Anwender unterscheidet sich vom Experten dadurch, daß
ihm die interne Repräsentation der linguistischen Daten nicht bekannt sein muß, um mit
dem SOLD-System arbeiten zu können.
95
Vgl. Abschnitt 7.1.2, S.
115 ff.
96
Vgl. Abschnitt 7.2.1, S.
129 ff.
97
Vgl. Abschnitt 7.2.2, S.
133 ff.
98
Vgl. Abschnitt 7.2.3, S.
142 ff
99
Vgl. Abschnitte 7.2.4, S.
145 ff. und 7.2.5, S. 151 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
157
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
8 Unschärfe im betriebswirtschaftlichen Entscheidungsmodell
In diesem Kapitel soll einerseits die Verbindung zwischen dem in Kapitel 2 vorge-
stellten entscheidungsorientierten Ansatz der Betriebswirtschaftslehre und den in Kapitel 4
beschriebenen Unschärfen in Unternehmensbereichen hergestellt werden, andererseits soll
die Bedeutung der in Kapitel 6 und 7 hergeleiteten unscharfen Wahrscheinlichkeiten im
Rahmen betrieblicher Entscheidungen gezeigt werden.. Zunächst soll das klassische
Entscheidungsmodell der normativ-präskriptiven Entscheidungstheorie, auf welches der
Entscheidungsansatz der Betriebswirtschaftslehre zurückgreift,
1
dargestellt werden, an-
schließend wird untersucht, welche der betrieblichen Unschärfen in welchen Komponenten
des Modells entscheidungsrelevant sein können. Zum Abschluß werden mögliche
Entscheidungsregeln unter Unschärfe vorgestellt.
8.1 Das klassische Modell der normativ-präskriptiven Entscheidungs-
theorie
Die normativ-präskriptiven Entscheidungstheorie beschäftigt sich vor allem mit der
Konstruktion von Entscheidungsmodellen, die als Hilfsmittel für eine rationale
Entscheidungsfindung konzipiert sind.
2
Die Hauptkomponenten des Grundmodells der
präskriptiven Entscheidungstheorie sind das Entscheidungsfeld und das Zielsystem des
Entscheidungsträgers.
3
Das Entscheidungsfeld beschreibt die Zusammenhänge zwischen den einzelnen
möglichen Aktionen (Handlungsalternativen), den möglichen Umweltzuständen und den
Ergebnissen. Fassen wir im einfachen Fall einer endlichen Anzahl von Aktionen bzw.
Umweltzuständen die n möglichen Aktionen a
1
,...a
n
im Aktionenraum
$ und die m
möglichen Umweltzustände s
1
,...,s
m
im Zustandsraum
6 zusammen, und beschreiben wir
das Zustandekommen des Ergebnises der Aktion a
i
beim Umweltzustand s
j
durch die
Ergebnisfunktion e in den Konsequenzenraum
(, d.h. e:
$×6 (, e(a
i
,s
j
)=e
ij
, i=1,...,n,
j=1,...,m, so kann das Entscheidungsfeld durch eine Ergebnismatrix charakterisiert werden.
1
Vgl. Dinkelbach (1993), S.
929 ff., Hanssmann (1993), S. 896 ff., Heinen (1991), S. 26 ff., Witte (1993),
S.
910 ff.
2
Vgl. Bamberg (1993), S.
886 ff., Hanssmann (1993), S. 896 ff., Heinen (1991), S.26ff., Von Zwehl
(1993), S.
920 ff., Comploj (1996), S. 19 ff.
3
Vgl. Heinen (1991), S.
26 ff., Von Zwehl (1993), S. 921 f. Siehe auch Abschnitt 2.1, 7 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
158
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
.
.
.
.
.
.
a
a
a
.
.
.
.
s
. . .
s
. . .
s
e
e
e
e
e
e
e
e
1
i
n
1
j
m
11
1j
1m
i1
ij
im
n1
nj
nm
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
k
t
i
o
n
e
n
U m w e l t z u s t ä n d e
e
p . . . p . . . p
1
j
m
Abb. 8.1 Ergebnismatrix
Um eine solche Ergebnismatrix als Entscheidungsgrundlage heranziehen zu
können, muß auf das Zielsystem des Entscheidungsträgers Bezug genommen werden. Das
Zielsystem besteht formal aus Zielgrößen und Präferenzrelationen. Präferenzrelationen
(z.B. Höhen-, Arten-, Zeit-, Sicherheitspräferenz) spielen insbesondere dann eine
wesentliche Rolle, wenn mehrere konfliktäre Ziele verfolgt werden (etwa Rentabilitäts-
und Liquiditätsziel). Im Hinblick auf das Zielsystem müssen die einzelnen Ergebnisse der
Ergebnismatrix e
ij
über eine Nutzenfunktion u mit einem Nutzenwert u
ij
=u(e
ij
) auf einer
Nutzenskala
8 bewertet werden, d.h. u:
( 8. Die Matrix der Nutzenwerte wird auch als
Entscheidungsmatrix bezeichnet.
.
.
.
.
.
.
a
a
a
.
.
.
.
s
. . .
s
. . .
s
u
u
u
u
u
u
u
u
1
i
n
1
j
m
11
1j
1m
i1
ij
im
n1
nj
nm
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
k
t
i
o
n
e
n
U m w e l t z u s t ä n d e
u
p . . . p . . . p
1
j
m
Abb. 8.2 Entscheidungsmatrix
Nach Bewertung der einzelnen Ergebnisse der Aktionen bei verschiedenen
Umweltzuständen müssen die einzelnen Aktionen selbst im Hinblick auf das jeweilige
Zielsystem bewertet werden. Dies geschieht mit Hilfe von Entscheidungsregeln. Hier muß
hinsichtlich des Informationsgrades
4
unterschieden werden zwischen Entscheidung unter
Sicherheit und Entscheidung unter Unsicherheit, welche weiter unterteilt werden kann in
Ungewißheit und Risiko.
5
Doch können sowohl Sicherheit als auch Ungewißheit als
4
Vgl. Abschnitt 2.2.1, S.
9 f., sowie etwa Heinen (1991), S. 29 f., Schneeweiß (1991), S. 35 f., Von Zwehl,
(1993), S.
921 f., Comploj (1996), S. 20 f.
5
Hier folge ich der Einteilung von Von Zwehl, (1993), S.
921 f., der zwischen Sicherheit und Unsicherheit
unterscheidet, und Unsicherheit unterteilt in Risiko und Ungewißheit. Heinen (1991), S.
29 f.
unterscheidet zwischen Entscheidung unter Risiko (Wahrscheinlichkeiten sind bekannt) und Entscheidung
unter Unsicherheit (Wahrscheinlichkeiten sind nicht bekannt).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
159
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Spezialfälle von Risiko angesehen werden. Bei Sicherheit reduziert sich die Anzahl der
Umweltzustände auf einen einzigen s
k
mit Wahrscheinlichkeit p
k
,=1 die Ergebnis- und
Entscheidungsmatrix reduzieren sich somit auf eine einzige Spalte, d.h. auf einen Ergebnis-
bzw. Entscheidungsvektor.
Nach dem Bernoulli-Prinzip
6
wird diejenige Handlungsalternative gewählt, deren
Nutzenerwartungswert am höchsten ist. Man geht also von der Entscheidungsmatrix aus.
Der Nutzenerwartungswert ist der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzu-
stände gewichtete Durchschnitt der Werte der Nutzenwerte aus der jeweiligen Aktion unter
den betreffenden Umweltzuständen. Mathematisch können wir das Bernoulli-Prinzip
folgendermaßen formulieren:
¦
¦
=
=
=
=
=
m
j
j
ij
n
i
m
j
j
ij
n
i
i
n
i
opt
s
P
e
u
p
u
a
u
E
a
u
E
1
}
,...,
1
{
1
}
,...,
1
{
}
,...
1
{
)
(
)
(
max
max
))
(
(
max
))
(
(
7
Ein Entscheidungsproblem unter Ungewißheit kann mit Hilfe der LaPlace-Regel
gelöst werden.
8
Die Ungewißheit über das Eintreten der Umweltzustände wird dabei durch
die Annahme einer Gleichverteilung der Umweltzustände ersetzt, d.h.
m
j
p
1
=
für
m
j
,...,
1
=
.
8.2 Unscharfe Handlungsalternativen
Die zur Auswahl stehenden Handlungsalternativen werden im Entscheidungsmodell
durch den Aktionenraum
$, im einfachen Fall einer endlichen Anzahl von Alternativen
durch
$=(a
1
,...a
n
) beschrieben. Gewöhnlich ist der Aktionenraum dadurch charakterisiert,
daß die einzelnen Alternativen a
i
, i=1,...,n, einander ausschließen (Alternativen-
exklusivität), wobei die Alternativen auch in Bündeln aus mehreren Maßnahmen bestehen
6
Vgl. Heinen (1991), S.
30.
7
Eine weitere häufig angewandte Entscheidungsregel ist das Bayes-Prinzip. Hier geht man nicht von der
Entscheidungsmatrix, sondern von der Ergebnismatris aus und wählt diejenige Aktion, welche den
höchsten Ergebniserwartungswert bringt (vgl. Heinen (1991), S.
30).
Da es hier um Unschärfen im Entscheidungsmodell geht, und Nutzenbewertung eine weitere Unschärfe-
quelle darstellt (vgl. Abschnitt 8.5,S.
166 ff.), soll dieser Lösungsansatz hier vernachlässigt werden.
8
Eine weitere Entscheidungsregel für Entscheidungen bei Ungewißheit ist die aus der Spieltheorie stam-
mende Maximin-Regel (Wald-Regel). Nach der Maximin-Regel wird davon ausgegangen, daß der jeweils
ungünstigste Umweltzustand eintritt. Diese Regel stammt aus dem Bereich der Zwei-Personen-Spiele, bei
denen jeweils der Gewinn des einen Spielers im Verlust des anderen Spielers besteht. Interpretiert man
das Verhalten des andern Spielers als Umweltzustand, so ist davon auszugehen, daß die Umwelt jeweils
den Zustand annimmt, der für sie selbst am günstigsten und somit für den Entscheidungsträger am
ungünstigsten ist. Die Maximin-Regel empfiehlt nun, diejenige Aktion zu wählen, deren Ergebniswert
beim ungünstigsten Umweltzustand am höchsten ist. Bei gleichen Nutzenfunktionen der Spieler gilt dies
auch für den Nutzenwert. Mathematisch formuliert lautet die Maximin-Regel (für Nutzenwerte):
a
opt
: max
i
{1,...,n}
min
j
{1,...,m}
u
ij
Vgl. Heinen (1991), S.
30 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
160
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
können, und daß der Aktionenraum vollständig ist (Vollständigkeit des Alternativen-
raums), d.h. daß eine Alternative gewählt werden muß, eine mögliche Alternative aber
darin bestehen kann, nichts zu tun.
9
Soll nun ein Entscheidungsmodell für unscharfe Aktionen konstruiert werden, so
muß unterschieden werden zwischen Fuzzy-Aktionen, welche bei der Durchführung in der
Realität selbst unscharf sind, und zwischen Fuzzy-Mengen von Aktionen, wo zwar in der
Realität eine scharfe Aktion gewählt werden muß, aber im Modell mehrere mögliche
Aktionen simultan und mit Möglichkeitswerten gewichtet betrachtet werden sollen, um die
daraus möglichen Konsequenzen ebenfalls simultan mit entsprechendem Möglichkeitsgrad
abzuleiten. Während im ersteren Fall intrinsische, informationale oder relationale
Unschärfe vorliegt
10
, geht es im zweiteren Fall um die possibilistische Interpretation von
Fuzzy-Mengen
11
. Wesentlich ist, daß aufgrund der Identifikation von Possibilitätsdichten
(3.30) mit Zugehörigkeitsfunktionen von Fuzzy-Mengen (3.2) die gleichen Rechenregeln
angewendet werden können.
Als Aktionen, die in der Durchführung selbst unscharf sind, lassen sich vor allem
Aktionen qualitativer Natur klassifizieren. Unter solche Maßnahmen fallen vor allem
Aktionen im Personalbereich. Eine einfache unscharfe Aktion ist etwa die verbale
Beurteilung eines Mitarbeiters, daß er seine Leistungen stets zu großer Zufriedenheit
seiner Vorgesetzten verrichtet hat.
12
Komplexere unscharfe Handlungen sind etwa
Änderungen im Personalführungsstil, wo zu den Schwierigkeiten der Quantifizierung
einzelner Teilmerkmale eines Führungsstils die Problematik der Mehrdimensionalität
13
hinzutritt. Unscharf ist auch die Einstufung von Unternehmen in Risikoklassen aufgrund
von Jahresabschlußkennzahlen
14
, etwa durch analytische Prüfungshandlungen im Rahmen
der Jahresabschlußprüfung
15
.
Neben diesen echt unscharfen Handlungen können durch Fuzzy-Mengen
beschriebene Aktionen im Modell aber auch eingesetzt werden, um mehrere scharfe
Alternativen simultan und mit Möglichkeitsgraden gewichtet zu beurteilen. So sind etwa
trotz zahlreicher unscharfer Begriffe in den Rechnungslegungsvorschriften, etwa im HGB
16
oder auch bei steuerlichen Bewertungsvorschriften
17
, in der Bilanz nur scharfe Zahlen als
Bewertungen zulässig. Dennoch kann es, etwa um die möglichen Steuerfolgen unter
Ausnützung eines Wahlrechts zu erfassen, sinnvoll sein, im Steuerplanungsmodell die
9
Vgl. Schredelseker (2002), S.
198.
10
Vgl. Abschnitt 2.2.2, S. 10.
11
Vgl. Abschnitt 3.4, S. 19.
12
Vgl. auch Abschnitt 4.1.3, S. S. 19 f.
13
Vgl. Abschnitt 4.1.2, S. 28 f.
14
Vgl. Abschnitt 4.2.6, S. 50 f.
15
Vgl. Abschnitt 4.2.7, S. 52 ff.
16
Vgl. Abschnitt 4.2.1, S. 33 ff.
17
Vgl. Abschnitt 4.2.8, S. 58 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
161
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
gesamte Bandbreite der möglichen Werte zu erfassen und diese mit der ,,Wahrschein-
lichkeit"
18
der Akzeptanz durch die Steuerbehörde, d.h. mit Möglichkeitswerten zwischen
0 und 1, zu gewichten. Das eben genannte Steuerplanungsmodell ist wiederum ein Spezial-
fall des unscharfen Kapitalwertkalküls
19
.
Rommelfanger
20
sieht die Bedeutung der Formulierung von unscharfen Aktionen
vor allem in der Möglichkeit, bei Vorentscheidungen mehrere Alternativen simultan und
doch gewichtet beurteilen zu können. So schlägt er vor, bei der Entscheidung über ein
Investitionsprojekt zuerst ,,auf höherer Entscheidungsebene" zwischen den Alternativen
eines großen, mittleren oder kleinen Investitionsprojekts zu entscheiden, bevor über
den endgültigen scharfen Investitionsumfang entschieden wird. Auch unscharfe Risiko-
beurteilungen im Rahmen der Jahresabschlußprüfung in hohes, durchschnittliches oder
niedriges Risiko aufgrund von Kennzahlenausprägungen
21
lassen sich als solche
Vorentscheidungen auf höherer Entscheidungsebene klassifizieren, da sie die Basis für
weitere Entscheidungen bezügliche weiterer Prüfungshandlungen bzw. Bestätigungs-
vermerk bilden.
22
Zweck solcher Vorentscheidungen ,,auf höherer Entscheidungsebene" ist
somit die Reduktion des Entscheidungsproblems.
Im Modell werden unscharfe Aktionen A
~
als Fuzzy-Mengen über dem Aktionen-
raum
$ erfaßt. Für allgemeine Aktionenräume schreiben wir:
)
(
~
$
-
A
,
]
1
,
0
[
)
(
~
a
A
,
$
a
(8.1)
8.3 Unscharfe Umweltzustände
Unternehmensentscheidungen werden im allgemeinen nicht unter ,,Laborbedingun-
gen" getroffen, sondern Unternehmen sind in ihre Umwelt eingebunden, und die Resultate
von Entscheidungen werden von dieser beeinflußt. Charakteristikum der Umweltzustände
ist, daß sie vom Unternehmen selbst nicht unmittelbar beeinflußt und kontrolliert werden
können, sondern daß diese als vorgegebene Bedingungen hingenommen werden müssen.
23
Zudem beziehen sich Entscheidungen im allgemeinen auf zukünftige Ereignisse, sodaß
mehrere mögliche Zustände bei der Alternativenauswahl berücksichtigt werden müssen. Im
18
Diese ,,Wahrscheinlichkeit" ist keine Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion, deren Summe 1 ergeben
muß, sondern alle Werte, gegen die auf gar keinen Fall ein Einwand von Seiten der Steuerbehörde besteht,
erhalten den Möglichkeitsgrad 1, die Werte, bei denen die Chancen 50:50 stehen, werden mit 0,5
bewertet, etc.
19
Vgl. Jenßen (1997), S.
245 ff. bzw. Abschnitt 8.8, S. 197.
20
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
123 ff.
21
Vgl. Abschnitt 4.2.6, S. 50 ff.
22
Vgl. Abschnitt 4.2.7, S. 52 ff. Hier muß nochmals betont werden, daß aus dieser Sicht der bei Fuzzy-
Enscheidungsunterstützungssystemen übliche abschließende Defuzzifizierungsschritt zu unterbleiben hat
(Vgl. Abschnitt 4.2.7, S. 54).
23
Vgl. Heinen (1991), S.
3.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
162
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Entscheidungsmodell werden die in Frage kommenden Umweltzustände im Zustandsraum
6 erfaßt, welcher wiederum im einfachsten Fall endlich ist, d.h. 6=(s
1
,...,s
m
). Wie für den
Aktionenraum müssen für diesen die Bedingungen der Vollständigkeit und der Exklusivität
erfüllt sein.
24
Rommelfanger
25
sieht in der Auswahl der relevanten Umweltzustände eines
schwierigsten Probleme bei Modellierung eines Entscheidungsproblems. Er empfiehlt zur
Lösung dieses dem eigentlichen Entscheidungsproblem vorgelagerten Auswahlproblems
die Konstruktion eines eigenen Entscheidungsmodells. Da in dieser Arbeit vor allem
Entscheidungen unter Risiko im Vordergrund stehen, d.h. Entscheidungen, bei welchen mit
Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände gearbeitet wird, soll das Problem der
Abgrenzung des Zustandsraums gemeinsam mit dem Problem der Festlegung der Eintritts-
wahrscheinlichkeiten gelöst werden: alle Zustände mit Wahrscheinlichkeit 0 und nur
diese sollen in das Entscheidungsmodell einfließen. Mit den Verfahren zur Bestimmung
der Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschäftigte sich bereits ausführlich ein eigenes
Kapitel, nämlich Kapitel 7
26
, welches statistischen Verfahren unter Unschärfe gewidmet
war.
27
Die Einbindung der so bestimmten Wahrscheinlichkeiten im Entscheidungsmodell
ist Gegenstand von Abschnitt 8.6
28
.
Da als Umweltzustände, welche das Resultat einer Entscheidung beeinflussen
können, sämtliche unternehmensinternen oder -externen Größen in Frage kommen, ist hier
auch jede der in Kapitel 4
29
beschriebenen entscheidungsrelevanten Unschärfen denkbar.
Im folgenden seien nur einige Beispiele aufgezählt.
Unschärfen, welche sich dem sozialwissenschaftlichen Bereich zuordnen lassen
30
beschreiben vor allem Unschärfen in der Reaktion von Betroffenen, so stellt etwa die
Reaktion des Käufermarktes eine der wesentlichen Einflußgrößen auf des Resultat einer
Absatzentscheidung dar, sie ist im Entscheidungsmodell als Umweltzustand zu erfassen, da
sie sich der Kontrolle und unmittelbaren Einflußnahme durch das Untenehmen entzieht.
Ebenso stellen die unscharfen (da nur qualitativ faßbaren) Reaktionen von Mitarbeitern bei
Entscheidungen im Personalbereich sozialwissenschaftliche Unschärfen dar, welche im
Entscheidungsmodell als unscharfe Umweltzustände zu erfassen sind.
Rommelfanger
31
hebt in diesem Zusammenhang besonders unscharfe linguistische
Umschreibungen
32
von Umweltzuständen hervor, so stellt er die Möglichkeit der
Berücksichtigung eines großen Absatzmarktes als unscharfen Umweltzustand vor.
24
Vgl. Schredelseker (2002), S.
201.
25
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
125.
26
Vgl. Kapitel 7, S. 113 ff.
27
Hanssmann (1993), S.
906 spricht empfiehlt ebenfalls Verfahren der statistischen Entscheidungstheorie
für die Vorauswahl von Modellparameter
28
Vgl. Abschnitt 8.6, S. 170.
29
Vgl. Kapitel 4, S. 22 ff.
30
Vgl. Abschnitt 4.1, .S. 22 ff.
31
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
125 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
163
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Insbesondere unscharfe Daten, welche im Rechnungswesen zu erfassen sind,
können unscharfe Umweltzustände für Entscheidungen sein, so stellen unscharfe Lebens-
dauern oder unscharfe Marktpreise typische unscharfe Umweltzustände für Einkaufs-,
Verkaufs- oder Ersatzinvestitionsentscheidungen dar.
Für Kapitalanleger ist bei ihren Investitionsentscheidungen die in den Rechen-
werken des Jahresabschlusses (d.h. Bilanz, Gewinn- und Verlustrechnung, sowie unter
Umständen Kapitalflußrechnung) nur unscharf erfaßbare Vermögens-, Ertrags- und
Finanzlage
33
eines Unternehmens ein wichtiger unscharfer Umweltzustand. Für die
Entscheidung von Wirtschaftsprüfungsunternehmen über die Erteilung eines uneinge-
schränkten oder eines eingeschränkten Bestätigungsvermerks oder die Versagung des
Bestätigungsvermerks
34
, welcher eigentlich die Information der Anleger über die Lage des
Unternehmens verbessern und somit die Fuzziness in Bezug auf deren Entscheidungen
verringern sollte, stellt die nur unscharf charakterisierbare Vermögens-, Ertrags- und
Finanzlage eines zu prüfenden Unternehmens jedoch ebenfalls einen wichtigen
entscheidungsrelevanten unscharfen Umweltzustand dar.
Formal wird ein unscharfer Umweltzustand S
~
als Fuzzy-Menge über dem
Zustandsraum
6 ausgedrückt:
)
(
~
6
-
S
,
]
1
,
0
[
)
(
~
s
S
,
6
s
(8.2)
8.4 Unscharfe Ergebnisfunktion
Für das weitere Vorgehen ist es erforderlich, den einzelnen Aktionen bei den
verschiedenen Umweltzuständen Konsequenzen zuzuordnen. Während die Abgrenzung
von Aktionen und Zuständen explikative Fragestellungen
35
betraf, wenden wir uns nun
explanatorischen Fragestellungen
36
und der eigentlichen Erklärungsaufgabe
37
der Betriebs-
wirtschaftslehre zu. Im Entscheidungsmodell werden die Konsequenzen von Alternativen
beim Vorliegen bestimmter Umweltzustände mittels einer Ergebnisfunktion erfaßt, d.h.
einer Abbildung e vom Produktraum aus Aktionenraum
$ und Zustandsraum 6 in den
Konsequenzenraum
(.
Allgemein muß bei unscharfen Funktionen
38
unterschieden werden zwischen
Fuzzy-Extensionen von Funktionen (5.65)-(5.66), d.h. eigentlich scharfen Funktionen,
32
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S. 23 ff.
33
Vgl. Abschnitt 4.2.1, S. 33 ff. bzw. Abschnitt 4.2.5, S. 33 ff.
34
Vgl. Abschnitt 4.2.7, S. 52 ff.
35
Vgl. Abschnitt 2.1, S. 6.
36
Vgl. Abschnitt 2.1, S. 6.
37
Vgl. Abschnitt 2.1, S. 7.
38
Vgl. Abschnitt 5.4, S. 79 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
164
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
welche aber auf unscharfe Argumente angewendet werden, und deren Resultate durch die
Unschärfe der Argumente unscharf sind,
39
und fuzzifizierenden Funktionen (5.70)-(5.71),
deren Funktionsparameter unscharf sind und die für scharfe und unscharfe Argumente
unscharfe Ergebnisse liefern.
40
Diese Unterscheidung muß auch für Ergebnisfunktionen im Entscheidungsmodell
getroffen werden. Unscharfe Aktionen
41
oder/und unscharfe Umweltzustände
42
führen,
unabhängig von der Schärfe der Parameter der Ergebnisfunktion, immer zu unscharfen
Ergebnissen. Dies ist die Fuzzy-Extension der Ergebnisfunktion:
)
~
,
~
(
~
)
~
,
~
(
)
(
)
(
)
(
:
S
A
e
E
S
A
e
=
×
(
6
$
-
-
-
(8.3)
mit
{
}
)
(
),
(
min
sup
)
(
)
(
~
~
)
,
(
:
)
~
supp(
),
~
supp(
)
~
,
~
(
~
s
a
e
e
S
A
e
s
a
e
S
s
A
a
S
A
e
E
=
=
=
(8.4)
So führt etwa die mit einer Möglichkeitsdichte bewertete Simultanbetrachtung von
scharfen Alternativen (im Fall scharfer Umweltzustände) zu ebenso possibilistisch zu inter-
pretierenden Fuzzy-Mengen auf dem Konsequenzenraum. Ebenso kann das Ergebnis einer
bestimmten Produktionsmenge bei Vorliegen eines linguistisch umschriebenen großen
Absatzmarktes ebenfalls nur ein unscharf umrissener Umsatz sein. Diese Liste von
Beispielen ließe sich noch lange beliebig fortsetzen.
Andererseits muß überlegt werden, ob nicht auch scharfe Aktionen und Umwelt-
stände durch fuzzifizierende Ergebnisfunktonen zu unscharfen Ergebnissen führen können,
d.h. ob noch weitere Parameter, bei denen Unschärfe auftreten kann, auf das Ergebnis
Einfluß haben können. Hierbei ist zu bedenken, daß das Resultat einer Handlungs-
alternative im allgemeinen von vielen Umweltfaktoren beeinflußt wird, während im
Modell zur Reduktion der Komplexität meist nur ein Umweltzustand oder Kombinationen
einiger Umweltzustände als variabel bzw. unsicher betrachtet werden. So kommen aber
weitere, im Modell als konstant bzw. sicher eingestufte Umweltzustände auf jeden Fall als
zusätzliche Bestimmungsparameter für die Ergebnisse von Handlungsalternativen in Frage.
Dazu kommen weitere Parameter, die keine stochastischen Größen sind, wie etwa recht-
liche Rahmenbedingungen.
Da als Umweltzustand, wie in Abschnitt 8.3 ausgeführt
43
, praktisch jeder unter-
nehmensinterne und externe Faktor in Frage kommt, trifft dies auch für die Bestimmungs-
39
Vgl. Abschnitt 5.4.1, S. 79 ff.
40
Vgl. Abschnitt 5.4.2, S. 80 ff.
41
Vgl. Abschnitt 8.2, S. 159 ff.
42
Vgl. Abschnitt 8.3, S. 161 ff.
43
Vgl. Abschnitt 8.3, S. 161 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
165
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
parameter der Ergebnisfunktion zu. Somit kann auch jede der in Kapitel 4 aufgezählten
betriebswirtschaftlich relevanten unscharfen Größen zum fuzzifizierender Parameter der
Fuzzy-Ergebnisfunktion werden. Formal erhält man:
)
Z
~
,...,
Z
~
|
,
(
~
)
,
(
~
)
,
(
)
(
:
)
Z
~
,...,
Z
~
|
(..
~
~
1
1
r
r
s
a
e
s
a
e
s
a
e
e
=
×
=
(
6
$
-
(8.5)
mit
{
}
)
(
),...,
(
min
sup
)
(
)
(
Z
~
1
Z
~
)
,...
|
,
(
):
Z
~
supp(
),...,
Z
~
supp(
)
Z
~
,...,
Z
~
|
,
(
~
)
,
(
~
1
1
1
1
1
r
e
z
z
s
a
e
z
z
s
a
e
s
a
e
z
z
e
e
r
r
r
r
r
=
=
=
(8.6)
So läßt sich etwa auch unter Sicherheit (d.h. bei einem einzigen scharfen Umwelt-
zustand) die Motivationswirkung einer (scharfen) 5%-igen Lohnerhöhung nur unscharf
messen, da Motivation ein mehrdimensionales unscharfes Merkmal ist und sich Motiva-
tionsgrade daher nur qualitativ und unscharf umschreiben lassen.
44
Unscharf durch die permanenten Kursschwankungen
45
ist auch der Gewinn/Verlust
aus der Entscheidung, eine bestimmte (scharfe) Anzahl von Wertpapieren zu kaufen und zu
halten, und zwar auch dann, wenn für die Modellierung der Markentwicklung als Umwelt-
zustand keine Fuzzy-Mengen angewendet werden.
Den Rahmen für steuerlich relevante Entscheidungen bilden die entsprechenden
Reaktionen durch die Steuerbehörden. Sind diese Reaktionen der Steuerbehörden im
Gesetz unscharf abgegrenzt, so ist dies in der Fuzzifikation des Steuerplanungsmodells
durch unscharfe Parameter wiederzugeben. Dies gilt sowohl für tatbestandsseitig unscharf
formulierte Bestimmungen (Generalklauseln, etwa Anti-Mißbrauchsbestimmungen)
46
als
auch für rechtsfolgeseitige Unschärfen (Ermessensentscheidungen).
47
Für Wirtschaftsprüfungsunternehmen sind die Konsequenzen der (scharfen) Aktion
der Vergabe eines uneingeschränkten Bestätigungsvermerks unter dem (ebenso scharfen)
Umweltzustand eines Konkurses des geprüften Unternehmens mit einer Quote von 2%
einerseits durch Haftungsbestimmungen geregelt, auf welche (samt darin enthaltenen
Unschärfen) hier nicht näher eingegangen werden soll, da dies den Rahmen der
Diplomarbeit sprengen würde.
48
Sonstige, d.h. nicht juristische geregelte, Konsequenzen
eines solchen Fehlers bestehen insbesondere im Vertrauensentzug durch die Öffentlichkeit
und dem damit verbundenen möglichen Verlust von Kunden; da hier wiederum das
Verhalten von Menschen betroffen ist,
49
können diese Konsequenzen wiederum nur
unscharf in einem Modell abgebildet werden.
44
Vgl. Abschnitt 4.1.2, S. 28 f.
45
Vgl. Abschnitt 4.2.3, S. 39 ff.
46
Vgl. Abschnitt 4.2.8, S. 63 ff.
47
Vgl. Abschnitt 4.2.8, S. 61 ff.
48
Hingewiesen wird auf Herrmann (1997), S.
89 ff.
49
Vgl. Abschnitt 4.1, S. 22 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
166
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
8.5 Unscharfe Ziele und unscharfe Nutzenerwartungen
Während in den vorhergehenden Abschnitten Unschärfen in Komponenten des
Entscheidungsfeldes beschrieben wurden, wenden wir uns nun dem zweiten Teil des
Entscheidungsmodells, dem Zielsystem der Unternehmung, zu. Wie bei der Untersuchung
von Unschärfen bei Handlungsalternativen und Umweltzuständen handelt es sich hier um
explikative Fragestellungen. Im Entscheidungsmodell wird das Zielsystem der Unterneh-
mung mit Hilfe einer Nutzenfunktion u aus dem Konsequenzenraum
( in eine bisher noch
nicht näher ausgeführte Menge möglicher Nutzenwerte erfaßt.
Bevor das Zielsystem einer Unternehmung mittels einer Nutzenfunktion repräsen-
tiert werden kann, sind zahlreiche Überlegungen über dieses Zielsystem selbst vorzu-
nehmen. Zu allererst müssen für die einzelnen Ziele jeweils Einheiten festgelegt werden, in
denen der Grad der Erreichung des Zieles gemessen werden kann. Anschließend müssen
die Beziehungen der Ziele untereinander festgestellt werden, also ob jeweils Zielkonflikt,
Zielkomplementarität oder Zielindifferenz vorliegt. Insbesondere muß bei Zielkonflikten
bestimmt werden, welches Ziel als Hauptziel und welches als Nebenziel anzusehen ist,
weiters muß festgelegt werden, auf wie viele Einheiten der Erreichung des einen Zieles
zugunsten einer Einheit des anderen Zieles verzichtet werden darf. Bei Zielkomplemen-
tarität, ist dagegen zu prüfen, in wie weit sich die Miterreichung eines Unterzieles neben
der Erreichung des Oberzieles in der Nutzenfunktion niederschlagen soll.
Da Ziele die Präferenzen und Vorstellungen von Entscheidungsträgern repräsen-
tieren, kommen für diesen Teil des Entscheidungsmodells grundsätzlich Unschärfen aus
dem Bereich der Sozialwissenschaften
50
in Betracht. Einerseits sind die Vorstellungen über
die gewünschte Erreichung eines Zieles in den Köpfen von Entscheidungsträgern nur
unscharf, d.h. im allgemein in Form von linguistischen Begriffen
51
präsent, so kann der
Wunsch nach einer sehr hohen Rentabilität gekoppelt sein mit dem Wunsch nach einem
hohen Gewinn
und
einem
überdurchschnittlichen Umsatz.
Zielsysteme von
Unternehmungen
werden
oft
durch
Kennzahlensysteme
dargestellt.
52
DA
Kennzahlenausprägungen meist unscharf umschrieben werden,
53
liegt hier eine weitere
Quelle der Unschärfe vor. Während ,,Gewinn" und ,,Umsatz" selbst eindimensionale
Begriffe sind, muß bei dem Begriff der Rentabilität unterschieden werden zwischen
verschiedenen Formen der Rentabilität, etwa Eigenkapitalrentabilität, Gesamtkapital-
rentabilität, Umsatzrentabilität etc. Es kann also bereits ein einzelnes Ziel die Unschärfe-
quelle der Mehrdimensionalität
54
aufweisen. Aufgrund der gerade zuvor geschilderten
50
Vgl. Abschnitt 4.1, S. 22 ff.
51
Vgl. Abschnitt 4.1.1, S. 23 ff.
52
Vgl. Heinen (1991), S.
20.
53
Vgl. Abschnitt 4.2.6, S.
50 f.
54
Vgl. Abschnitt 4.1.2, S. 28 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
167
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
vielfältigen Möglichkeiten von Zielbeziehungen ist Mehrdimensionalität insgesamt im
Bereich der Ziel- und Nutzenerwartungen eine der wichtigsten Unschärfequellen.
Weiters stellt sich die Frage, ob man sich mit einer Rangordnung verschiedener
Zielkombinationen begnügen möchte, oder ob verschiedenen Kombinationen aus
unterschiedlichen Zielerreichungsgraden konkrete Nutzenwerte zugeordnet werden. Hier
ist die in der Literatur umfangreich diskutierte Frage nach der Möglichkeit kardinaler
Nutzenmessung bzw. nach einer hinreichenden ordinalen Nutzenmessung angesprochen. In
der mikroökonomischen Haushaltstheorie begnügt man sich meist mit einer ordinalen
Nutzenfunktion, d.h. einer Funktion, welcher jede Funktion, die durch streng monoton
wachsende Transformation dieser Funktion äquivalent ist, eine solche bis auf eine
monotone Transformation eindeutig bestimmte Nutzenfunktion wird allgemein auch als
klassische Nutzenfunktion bezeichnet
55
Für viele betriebswirtschaftliche Fragestellungen,
so etwa für die meisten finanzwirtschaftlichen Fragestellungen, ist eine solche ordinale
Nutzenmessung nicht ausreichend, da eine zur Alternativenbewertung erforderliche
Nutzenaggregation
56
nicht möglich ist.
57
Insgesamt erhält man unscharfe Nutzengrößen,
welche den in Abschnitt 4.1.3
58
unscharfen Daten auf Meßskalen entsprechen.
Wie bereits bei den Ausführungen zu Fuzzy-Mengen auf Ordinalskalen 4.1.3
59
angesprochen, können, wenn man sich mit einer ordinalen Rangordnung der Zielerrei-
chungskombinationen begnügt, Zielkonflikte durch unscharfe Mengen auf der ordinalen
Nutzenskala dargestellt werden. Da aber, wie gerade ausgeführt, eine solche ordinale
Nutzenmessung
zur
Alternativenbewertung
in
einem
betriebswirtschaftlichen
Entscheidungsmodell im allgemeinen nicht hinreichend ist, soll dieser Fall in den weiteren
Betrachtungen keine Berücksichtigung mehr finden.
Am interessantesten ist sicherlich der Fall, daß es (zumindest ansatzweise) gelingt,
das Zielsystem in einer kardinalen Nutzenskala zu erfassen. Eine mögliche solche Kardi-
nalskala ist etwa die Bewertung von Zielkombinationen nach dem Schulnotensystem
60
oder, wenn eine fünfstufige Skala zu wenig Unterscheidungsmöglichkeiten bietet, nach
einer Punkteskala mit der gewünschten Anzahl an Abstufungsmöglichkeiten. Da, wie
erwähnt, die Vorstellungen über den Nutzen einer Zielerreichungskombination im
allgemeinen in den Köpfen der Entscheidungsträger nur unscharf repräsentiert sind, wird
die Nutzenbewertung einer solchen Zielkombination im allgemeinen eine Fuzzy-Menge
auf der Nutzen-Punkte- bzw. -Notenskala sein.
61
55
Vgl. Varian (2001), S.
50 ff. bzw. Rommelfanger (1994), S. 131.
56
Vgl. Abschnitt 8.7, S. 178 ff.
57
Vgl. Schredelseker (2002), S.
208 ff., Rommelfanger (1994), S. 142.
58
Vgl. Abschnitt 4.1.3, S. 29 ff.
59
Vgl. Abschnitt 4.1.3, S. 30.
60
Vgl. Abschnitt 4.1.3, S. 31 f.
61
Eine weitere Quelle für Unschärfen bei dieser Bewertung besteht, darin, daß meist Mehrpersonenent-
scheidungen vorliegen und daraus das Problem mehrgipfliger Präferenzen entsteht. Da dieses Problem
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
168
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Soll eine Nutzenskala formal als Skala im Sinn von Abschnitt 4.1.3
62
, d.h. als
Tripel (
5, 1 ) dargestellt werden, so entsprechen die Nutzervorstellungen der Entschei-
dungsträger gerade dem empirischen relationalen System
5, 1 ist eine für das Modell zu
bestimmende Teilmenge der reellen Zahlen, im Fall kardinaler Nutzenessung wird dies ein
reelles Intervall sein. Der Morphismus
ist schließlich Zuweisungsfunktion, durch welche
einem subjektiv empfundenen Nutzenniveau gerade eine Zahl im Intervall
1 zugeordnet
wird. Sofern das gewählte Intervall Nutzenwerte darstellt, soll es künftig mit
8 bezeichnet
werden.
63
Sind die realen Nutzenvorstellungen unscharf, d.h. (unscharfe) Elemente von
-(
5), so werden diese durch die Fuzzy-Extension des Morphismus
auf unscharfe
Elemente in
-(
8) abgebildet, d.h. formal
)
(
)
(
:
8
5
-
-
. Solche unscharfen Nutzen-
vorstellungen werden oft mit linguistischen Begriffen wiedergegeben, so kann der Nutzen
etwa hoch, mittelmäßig oder gering sein.
Die Nutzenfunktion u, welche den Ergebnissen im Konsequenzenraum
(,
Nutzenwerte auf dem reellen Intervall
8 zuordnet, kann nach diesen Überlegungen in zwei
Schritte zerlegt werden. Im ersten Schritt werden den Ergebnissen reale Nutzenvorstel-
lungen in
5 zugewiesen, und im zweiten Schritt werden diese dann auf die Zahlenmenge 8
abgebildet. Bezeichnen wir die erstere Abbildung als ,,Realnutzenfunktion"
X, so erhält an
die eigentliche Nutzenfunktion als Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen, d.h.
X
$
=
:
u
.
64
Für unscharfe Nutzenvorstellungen bedeutet dies gerade, daß eine fuzzifizierende
Realnutzenfunktion
X~ den (scharfen oder unscharfen) Ergebnissen aus dem Konsequen-
zenraum unscharfe reale Nutzenvorstellungen in
-(
5) zuweist, welche dann durch die
Fuzzy-Extension
auf Fuzzy-Mengen in
-(
8) abgebildet werden.
65
Somit erhält man:
aber in Abschnitt 4.1.3 nicht näher ausgeführt wurde (vgl. S. 30, Fußnote 34), soll auch hier von einer
näheren Betrachtung dieses Phänomens Abstand genommen werden.
62
Vgl. Abschnitt 4.1.3, S. 29.
63
Ein solches Nutzenintervall
8 kann etwa die gesamte Menge der reellen Zahlen R
I
oder nur die positive
reelle Achsen
+
R
I
(vgl. etwa Schredelseker (2002), S.
226 ff.) oder auch ein Intervall, etwa [0,1], sein.
64
In der Literatur werden sehr unterschiedliche Vorschläge zur Konstruktion von Nutzenfunktionen
vorgestellt. Eine Übersicht über mögliche Nutzenfunktionen, deren Bild die gesamte Menge oder die
positive Halbachse der reellen Zahlen ist, bringt etwa Schredelseker (2002), S.
226 ff., so stehen lineare,
quadratische, logarithmische oder Wurzelnutzenfunktionen zur Auswahl. Einen anderen Vorschlag zur
Definition einer Nutzenfunktion stellt Rommelfanger (1994), S.
130 vor, als Nutzen u eines Ergebnisses e
auf dem Ergebnisraum
( wird die Wahrscheinlichkeit w definiert, bei der der Entscheidungsträger gerade
indifferent ist zwischen dem Ergebnis e und einer Lotterie, bei der mit Wahrscheinlichkeit w das
bestmögliche Ergebnis
}
|
max{
max
(
=
e
e
e
aus dem Ergebnisraum und mit Wahrscheinlichkeit 1-w das
schlechtestmögliche Ergebnis
}
|
min{
min
(
=
e
e
e
eintritt. Es ist dann u(e)=w und
8=[0,1].
65
Jede mögliche Nutzenfunktion kann durch Fuzzifikation der Funktionsparametet fuzzifiziert werden.
Rommelfanger (1994) S.
136 stellt als unscharfe Nutzenfunktion die unscharfe Version der eben in
Fußnote 64 beschriebenen gewöhnlichen Nutzenfunktion vor. Dabei wird die gewöhnliche Lotterie durch
eine linguistische Lotterie ersetzt, bei der die scharfen Wahrscheinlichkeiten w durch unscharfe
linguistische Wahrscheinlichkeiten W
~
ersetzt werden. Der unscharfe Nutzen
)
(
~
U
~
e
u
=
des Ergebnisses e
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
169
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
)
(
)
(
~
~
8
(
5
X
-
-
u
(8.7)
bzw.
U
~
:
))
(
~
(
)
(
)
(
:
~
:
~
=
=
=
e
e
u
e
u
X
8
(
X
(
$
-
(8.8)
Neben diesen Ausführungen über unscharfe Nutzenvorstellungen darf nicht
übersehen werden, daß auch unscharfe Ergebnisse, also Fuzzy-Mengen über dem
Konsequenzenraum, zu Fuzzy-Mengen auf der Nutzenskala führen. Denn auch wenn die
Nutzenfunktion selbst als scharf angesehen wird, so liefert Anwendung auf unscharfe
Argumente eben gerade die Fuzzy-Extension der Nutzenfunktion, deren Ergebnisse
ebenfalls Fuzzy-Mengen
)
(
U
~
8
-
sind, d.h.
)
(
)
(
)
(
~
8
(
5
X
-
-
-
u
(8.9)
bzw.
U
~
:
))
~
(
(
)
~
(
~
)
(
)
(
:
:
=
=
=
e
e
u
e
u
$
X
8
(
X
-
-
(8.10)
Ein Spezialfall einer solchen scharfen Nutzenfunktion, welche auf Fuzzy-Mengen
des Konsequenzenraums angewendet wird, ist die Identitätsfunktion, was so viel bedeutet,
daß der (Fuzzy-)Nutzen aus dem (Fuzzy-)Resultat eben gerade gleich dem (Fuzzy-)Resultat
ist.
66
Formal bedeutet dies, daß
8=( und somit auch -(8)=-((), für
)
(
~
(
-
e
gilt dann
e
e
e
u
U
~
)
~
(
1
)
~
(
~
=
=
=
, wobei 1
(
die Fuzzy-Extension (5.65)-(5.66) der Identität 1 ist.
entspricht dann gerade der linguistischen Wahrscheinlichkeit, bei der der Entscheidungsträger zwischen
dem Ergebnis e und der linguistischen Lotterie, bei der mit der Fuzzy-Wahrscheinlichkeit W
~
das Ergeb-
nis e
max
und mit der Fuzzy-Wahrscheinlichkeit
W
~
1
O
das Ergebnis e
min
eintritt, indifferent ist. Die Fuzzy-
Nutzenwerte sind somit Fuzzy-Mengen in
-([0,1]).
66
Dies wiederum bedeutet, daß Entscheidungsmatrix und Ergebnismatrix übereinstimmen. Somit ist gezeigt,
daß die Bayes-Entscheidungsregel nichts anderes ein Spezialfall des Bernoulli-Prinzips ist. Aus diesem
Grund braucht die Fuzzifikation der Bayes-Regel hier nicht eigens angeführt werden, sondern läßt sich
ebenfalls als Spezialfall der Fuzzifikation des Bernoulli-Prinzips (vgl. Abschnitt 8.7, S. 178 ff.) sehen.)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
170
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
8.6 Unscharfe Zustandswahrscheinlichkeiten
Für Modelle zur Unterstützung von Entscheidungen unter Risiko kommt als weitere
konstitutive Komponente des Entscheidungsfeldes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Umweltzustände zum Tragen.
67
Aus den Axiomen für den Zustandsraum (Vollständigkeit
und Exklusivität)
68
läßt sich leicht ableiten, daß auch die Axiome der Wahrscheinlichkeiten
(insbes. Additivität und Summe 1)
69
erfüllt sind.
70
Grundsätzlich kommen in Entschei-
dungsmodellen objektive oder subjektive Wahrscheinlichkeiten in Betracht. Da aber die
Rahmenbedingungen für betriebliche Entscheidungen
71
im allgemeinen nicht den strikten
Naturgesetzen eines Roulettes gehorchen, können objektive Wahrscheinlichkeiten bei den
weiteren Betrachtungen außer Ansatz bleiben.
72
Subjektive Wahrscheinlichkeiten sind dagegen, wie der Name schon sagt, durch-
wegs Einschätzungen von Entscheidungsträgern. Solche Einschätzungen sind häufig
unpräzise und werden lediglich mit linguistischen Begriffen wiedergegeben, was eine
Quelle der Unschärfe von Wahrscheinlichkeiten darstellt. Um überhaupt Vorstellungen
über die Wahrscheinlichkeiten von Umweltzuständen zu erlangen, werden, da zumeist
doch wenigstens statistische Regelmäßigkeiten zugrunde liegen,
73
diese Wahrscheinlich-
keiten aufgrund relativer Häufigkeiten zumindest geschätzt.
74
Sofern die Stichproben aus
den Umweltzuständen unscharfe Informationen liefern, lassen sich daraus ebenfalls nur
unscharfe Wahrscheinlichkeiten schätzen. Da Stichproben ein Abbild der Umweltzustände
sind, kann jede der für die Umweltzustände relevanten Unschärfequellen
75
auch zu
Unschärfe bei der geschätzten Wahrscheinlichkeitsverteilung führen.
Unscharfe Wahrscheinlichkeiten wurden in dieser Arbeit schon sehr ausführlich
behandelt. Während sich Kapitel 6
76
ausführlich mit dem formalen Aspekt der Modellie-
rung unscharfer Wahrscheinlichkeiten beschäftigte, aber die Frage nach dem Zustande-
kommen unscharfer Wahrscheinlichkeiten offen ließ, war Kapitel 7
77
ausschließlich
statistischen Verfahren unter Unschärfe gewidmet, mit deren Hilfe die Wahrscheinlich-
keiten von Umweltzuständen geschätzt werden sollen. Diese statistischen Verfahren liefern
zugleich auch erste Anhaltspunkte, welche Umweltzustände überhaupt ins eigentliche
67
Vgl. Von Zwehl (1993), S.
926, Schredelseker (2002), S. 202 f.
68
Vgl. Abschnitt 8.3, S. 161 f.
69
Vgl. Abschnitt 3.4, S. 21, Fußnote 12.
70
Vgl. Schredelseker (2002), S.
203.
71
Vgl. Abschnitt 8.3, S. 161 ff
72
Vgl. acuh Schredelseker (2002),S.
202.
73
Vgl. Schredelseker (2002), S.
202 f.
74
Vgl. Kapitel 7, S. 113 ff.
75
Vgl. Abschnitt 8.3, S. 161 ff.
76
Vgl. Kapitel 6, S. 93 ff.
77
Vgl. Kapitel 7, S. 113 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
171
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Entscheidungsmodell aufgenommen werden sollen, Zustände mit Wahrscheinlichkeit
gleich 0 bleiben bei der weiteren Analyse außer Ansatz.
78
Dafür, inwieweit sowohl die Unschärfe des Umweltzustandes als auch die der
Wahrscheinlichkeit im Entscheidungsmodell gleichzeitig berücksichtigt werden sollen, gibt
es in der Literatur keine einheitlichen Vorschläge. Daß grundsätzlich von unscharfen Ereig-
nissen sowohl scharfe als auch unscharfe Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können,
wurde in Abschnitt 6.1
79
bzw. Abschnitt 6.2
80
bereits ausführlich demonstriert. Im
folgenden sollen zwei Ansätze vorgestellt werden, von denen ersterer auf die Konstruktion
scharfer Wahrscheinlichkeiten, zweiterer auf unscharfe Wahrscheinlichkeiten von scharfen
Zuständen zurückgreift.
Die Anwendung scharfer Wahrscheinlichkeiten auf unscharfe Ereignisse führt zu
sehr ,,artifiziell" anmutenden Aussagen, wie etwa, daß die Wahrscheinlichkeit, daß ein
Gebäudeteil abgenutzt ist, gerade 84
% betrage.
81
Außerdem ergeben sich, wie aus dem
nachfolgenden Beispiel ersichtlich werden wird, bei der Bestimmung von Bereichen mit
scharfer Wahrscheinlichkeit aus unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Probleme bei
der Darstellung der Ergebnisse, die mit Darstellungsformen der Fuzzy-Mengen-Theorie
nicht mehr gelöst werden können. Die in Abschnitt 6.1
82
vorgestellte von Zadeh
83
ent-
wickelte Methode zur Bestimmung scharfer Wahrscheinlichkeiten aus unscharfen Ereig-
nissen (6.3)-(6.4) eignet sich bei statistisch ermittelten unscharfen Wahrscheinlichkeits-
verteilungen dagegen nicht, um die im vorgelagerten statistischen Entscheidungsproblem
gewonnene Information samt Unschärfe hinreichend wiederzugeben.
Beispiel: Es soll hier das Beispiel aus dem vorhergehenden Kapitel
84
weitergeführt werden.
Es handelt sich dabei um ein Beispiel aus der Zuverlässigkeitstheorie. Aus einer
unscharfen Stichprobe über die Lebensdauer bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit von
Batterien wurde in Abschnitt 7.2.2
85
die unscharfe Exponentialverteilung mit der
Fuzzy-Verteilungsfunktion
[
)
~
( )
( )
~
~
,
F t
e
t
t
=
-
1
1
0
{
mit
[
]
1
0
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
^~
=
+
-
=
geschätzt. Mit Hilfe der berechneten geschätzten unscharfen Wahrscheinlichkeits-
verteilung sollen die unscharfen Bereiche bestimmt werden, für die die Wahrschein-
lichkeit die unteren 33
%, die mittleren 34 % (d.h. zwischen dem 33 %- und dem
67
%-Quantil) bzw. die oberen 33 % beträgt.
78
Vgl. auch Abschnitt 8.3, S. 161 f.
79
Vgl. Abschnitt 6.1, S. 94 ff.
80
Vgl. Abschnitt 6.2, S. 99 ff.
81
Vgl. Bandemer/Gottwald (1993), S.
172.
82
Vgl. Abschnitt 6.1, S. 94 ff.
83
Vgl. Zadeh (1968), S.
422 ff.
84
Vgl. Abschnitt 7.2.1, S. 131 ff., Abschnitt 7.2.2, S. 137 ff., Abschnitt 7.2.3, S. 145 und Abschnitt 7.2.5,
S.
154 f.
85
Vgl. Abschnitt 7.2.2, S. 137 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
172
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Unschwer lassen sich aus der Fuzzy-Verteilungsfunktion die unscharfen Quantile
33
.
0
~
Q
und
67
.
0
~
Q
bestimmen:
Es ist (im scharfen Fall) für die Exponentialverteilung das (scharfe) Quantil
w
q (nach
Auflösung der Gleichung
w
q
e
w
-
-
=1
nach
w
q ) gegeben durch
)
1
ln(
w
w
q
-
-
=
.
Im unscharfen Fall ergibt sich daraus das unscharfe Quantil
1
~
)
1
ln(
~
-
-
-
=
w
Q
w
86
.
Somit ist:
[
]
[
]
[
]
1
0
1
0
1
0
33
.
0
0012
.
1
2038
.
3
,
7008
.
0
4017
.
1
/
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
4005
.
0
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
67
.
0
ln
~
=
=
=
-
+
=
-
+
=
-
+
-
=
Q
mit
[
]
2038
.
3
,
4017
.
1
)
~
supp(
0
33
.
0
33
.
0
=
=
Q
Q
und
[
]
2026
.
2
,
1025
.
2
)
~
ker(
1
33
.
0
33
.
0
=
= Q
Q
und
[
]
[
]
[
]
1
0
1
0
1
0
67
.
0
7717
.
2
8693
.
8
,
9402
.
1
8803
.
3
/
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
1.1087
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
33
.
0
ln
~
=
=
=
-
+
=
-
+
=
-
+
-
=
Q
mit
[
]
8693
.
8
,
8803
.
3
)
~
supp(
0
67
.
0
67
.
0
=
=
Q
Q
und
[
]
0976
.
6
,
8205
.
5
)
~
ker(
1
67
.
0
67
.
0
=
= Q
Q
Sollen nun mit Hilfe der berechneten unscharfen Quantile diejenigen Fuzzy-Mengen
bestimmt werden, deren Wahrscheinlichkeit gerade die unteren 33
%, die mittleren
34
% bzw. die oberen 33 % beträgt, d.h. die zwischen den Quantilen liegen, so stößt
die Fuzzy-Mengen-Theorie mit ihren Darstellungsformen an ihre Grenzen. Soll etwa
der Bereich, dessen Wahrscheinlichkeit gerade die mittleren 34
% beträgt, angegeben
werden, so ist die ein ,,Intervall", dessen Grenzen seinerseits auch wiederum Fuzzy-
Intervalle sind. Für ein solches Gebilde sieht die Standard-Fuzzy-Mengen-Theorie
keine Darstellungsmöglichkeit vor.
1
2
3
4
5
6
0
1
t
Q
0.33
~
7
8
9
10
11
Q
0.67
~
Abb. 8.3 Unscharfe Quantile und von ihnen begrenzte Fuzzy-Menge von Intervallen
86
Eigentlich handelt es sich hier um geschätzte Quantile einer geschätzten Verteilung. Zwecks Übersicht-
lichkeit der Darstellung wird aber bei der Schreibweise so vorgegangen, als ob es sich um ,,wahre"
Verteilungen handle, indem etwa
~
statt
^~
geschrieben wird. In der Sprache der Entscheidungstheorie
handelt es sich um subjektive Wahrscheinlichkeiten.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
173
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Ein solches Gebilde ist eine Fuzzy-Menge der (scharfen) Intervalle, deren Grenzen die
Quantile der scharfen Verteilungen der Fuzzy-Schar von (geschätzten) Verteilungs-
funktionen
(
)
[
]
¿
¾
½
¯
®
=
-
=
=
-
+
-
1
0
^~
^
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
^~
)
^
(
,
1
)
^~
(
~
~
t
e
t
F
sind.
Genau
genommen ist dieses Gebilde eine Fuzzy-Menge über dem Universum der Borel-
Mengen von
+
0
R
I
, d.h. eine Fuzzy-Menge, deren Elemente Intervalle sind.
87
Es ist
[
]
(
)
[
]
¿
¾
½
¯
®
-
+
=
=
-
-
=
=
-
1
0
1
~
67
.
0
33
.
0
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
~
~
)
(
],
33
.
0
ln
,
67
.
0
ln
[
:
,
~
Q
Q
und
[
]
)))
R
(I
(
,
0
67
.
0
33
.
0
~
+
)
-
Q
Q
.
Allgemein läßt sich diese Situation, wie folgt, darstellen:
Definition: Sei eine unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben durch die
eine
Fuzzy-Schar von Verteilungsfunktionen
(
)
{
}
)
(
,
~
~
~
~
F
F
F
F
=
aus einer Fuzzy-Schar von
Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktionen (7.33) bzw. (7.34).
(i) Für die Wahrscheinlichkeit w
[0,1] ist das unscharfe Quantil
w
Q
~
der unscharfen
Verteilung dann definiert durch:
(
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
=
)
(
sup
)
(
)
(
,
:
~
~
~
)
(
):
~
~
supp(
~
~
F
q
q
q
Q
F
w
q
F
F
F
w
Q
w
Q
w
w
w
w
w
(8.11)
(ii) Für zwei unscharfe Quantile
1
~
w
Q
und
2
~
w
Q ist der Zwischenraum zwischen den
beiden Fuzzy-Quantilen definiert durch:
[
] [
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
°¿
°
¾
½
=
¯®
¸¹
·
¨©
§
=
=
=
)
(
sup
,
~
,
~
,
,
:
,
~
~
)
(
(
)
)
(
(
):
~
~
supp(
,
,
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
~
F
q
q
q
q
q
q
Q
Q
F
w
q
F
w
q
F
F
F
w
w
Q
Q
w
w
Q
Q
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
(8.12)
Es ist
[
]
R)))
(I
(
,
~
2
1
)
-
w
w
Q
Q
Ein solches Gebilde (8.12) stellt keinen unscharfen Zustand im Sinn von Abschnitt
8.3
88
dar. Um mit einem solchen Gebilde im Fuzzy-Entscheidungsmodell weiter arbeiten
zu können, muß zuvor festgelegt werden, ob die Intervalle selbst als scharfe Zustände oder
aber als Teilmengen des Zustandsraums zu interpretieren sind.
87
Zunächst sieht ein solches Gebilde aus wie eine Fuzzy-Menge, deren
-Schnitte T-Intervalle sind, und die,
in Anlehnung an die Theorie der T-Intervalle, als T-Fuzzy-Intervall bezeichnet werden könnte. Ein T-
Intervall ist ein Intervall, dessen Intervallgrenzen selbst wieder Intervalle sind (vgl. Bauch (1992),
S.
46 ff., Comploj 1994, S. 8).
Dies ist auch kein Spezialfall der in Abschnitt 6.2 (S. 99 ff) vorgestellten unscharfen Wahrscheinlich-
keiten (6.27)-(6.34) von unscharfen Ereignissen, welche von Fuzzy-Mengen begrenzt werden, obgleich
die Abb. 8.3 der Abb. 6.2 sehr ähnlich sieht.
88
Vgl. Abschnitt 8.3, S. 161 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
174
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Im ersteren Fall können für jedes Intervall
[
]
[
]
~
2
1
2
1
,
supp
,
w
w
w
w
Q
Q
q
q
mit
unscharfer Zugehörigkeit zu dem Fuzzy-Gebilde die Konsequenzen aus den einzelnen
Aktionen bestimmt werden, aus diesen Konsequenzen kann durch Zuweisung des
Zugehörigkeitsgrades des Intervalls zu dem Gebilde zwischen den unscharfen Quantilen
(bzw. Bildung der sup-Vereinigung bei gleichen Konsequenzen aus mehreren Zuständen)
eine Fuzzy-Konsequenz definiert werden, im Falle unscharfer Konsequenzen aufgrund
unscharfer Aktionen oder einer fuzzifizierenden Ergebnisfunktion muß der sup-min-
Operator
des
Extensionsprinzips
angewendet
werden.
Formal
läßt
sich
diese
Vorgangsweise, wie folgt, darstellen:
(
)
(
)
]
,
[
,
]
,
[
,
:
2
1
2
1
w
w
w
w
q
q
a
e
e
q
q
a
e
=
×
(
6
$
und
[
]
(
)
[
]
[
] [
]
(
)
[
]
[
]
(
)
°¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
~
sup
)
(
)
(
,
~
:
,
,
:
~
,
,
,
:
,
supp
,
~
~
~
w
w
Q
Q
e
q
q
a
e
Q
Q
q
q
e
e
w
w
q
q
e
e
e
Q
Q
a
e
e
w
w
w
w
w
w
w
w
(8.13)
bzw.
[
]
(
)
[
]
[
] [
]
(
)
[
]
[
]
(
)
{
}
°
¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
,
~
),
(
),
(
),
(
min
sup
)
(
)
(
,
~
~
,...,
~
,
,
~
~
~
,
~
~
1
~
,
,
:
,
supp
,
,
~
supp
,
~
supp
,...,
~
supp
~
~
1
~
w
w
Q
Q
A
r
Z
Z
e
q
q
a
e
Q
Q
q
q
A
a
Z
z
Z
z
e
e
r
w
w
q
q
a
z
z
e
e
e
Z
Z
Q
Q
A
e
e
w
w
r
w
w
w
w
w
w
r
r
(8.14)
Im zweiteren Fall muß für jedes Intervall
[
]
[
]
~
2
1
2
1
,
supp
,
w
w
w
w
Q
Q
q
q
das Intervall
der Konsequenzen gebildet werden, aus diesen muß dann die wiederum die sup-Vereini-
gung gebildet werden.
(
) {
}
]
,
[
|
)
,
(
]
,
[
,
2
1
2
1
w
w
w
w
q
q
s
s
a
e
q
q
a
e
=
und
[
]
(
)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
°
¿
°
¾
½
°
¯
°
®
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
~
sup
)
(
)
(
,
~
:
,
,
:
~
,
)
,
(
:
,
:
,
supp
,
~
~
~
w
w
Q
Q
e
s
a
e
q
q
s
Q
Q
q
q
e
e
w
w
q
q
e
e
e
Q
Q
a
e
e
w
w
w
w
w
w
w
w
(8.15)
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
175
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
bzw. im Fall unscharfer Aktionen und/oder fuzzifizierender Verteilungsfunktionen
[
]
(
)
[
]
[
] [
]
[
]
[
]
(
)
{
}
°
¿
°
¾
½
°¯
°
®
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
,
~
),
(
),
(
),
(
min
sup
)
(
)
(
,
~
~
,...,
~
,
,
~
~
~
,
~
~
1
~
)
,
(
:
,
:
,
supp
,
,
~
supp
,
~
supp
,...,
~
supp
~
~
1
~
w
w
Q
Q
A
r
Z
Z
e
s
a
e
q
q
s
Q
Q
q
q
A
a
Z
z
Z
z
e
e
r
w
w
q
q
a
z
z
e
e
e
Z
Z
Q
Q
A
e
e
w
w
r
w
w
w
w
w
w
r
r
(8.16)
Wie eben gezeigt, stoßen die Möglichkeiten der Darstellung durch Fuzzy-Mengen
beim Versuch der Konstruktion unscharfer Bereiche mit scharfer Wahrscheinlichkeit bei
unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilungen an ihre Grenzen, und es müssen umständliche
Berechnungen durchgeführt werden, um wieder zu sinnvollen Ergebnissen zu kommen.
Dagegen wird vielfach eingewendet, daß sich der Rechenaufwand bei der Formulierung der
eigentlichen Entscheidungsregel
89
wesentlich erhöht, wenn sowohl bei den Nutzenwerten,
als auch bei den Wahrscheinlichkeiten die Unschärfe berücksichtigt wird, sodaß diese
Modellierung nur bei Entscheidungen von höchster Wichtigkeit empfohlen wird.
90
Außerdem wurde bis heute kein allgemein anerkannter Algorithmus für die Konstruktion
der Fuzzy-Extension einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf unscharfe Ereignisse
angewendet werden soll, entwickelt, die Vorschläge sind zahlreich.
91
Hier soll jedoch im folgenden davon ausgegangen werden, daß es genügt, unscharfe
Wahrscheinlichkeiten für prinzipiell scharfe Ereignisse anzugeben. Aus diesen unscharfen
Wahrscheinlichkeiten könnten in der Folge zwar durch Anwendung des Extensionsprinzips
die unscharfen Wahrscheinlichkeiten unscharfer Ereignisse abgeleitet werden, doch wird
durch eine solche Vorgangsweise die aus dem vorgelagerten statistischen Entscheidungs-
problem gewonnene Information eher verwaschen als bereichert, da die gesamte Unschärfe
aus der Stichprobe über die Umweltzustände bereits in der Fuzzy-Wahrscheinlichkeits-
verteilung repräsentiert ist.
Noch einmal soll unser Beispiel zur Demonstration herangezogen werden. Betrachtet
man die Kerne der eben berechneten unscharfen Quantile, so liegt es nahe, als Zer-
legung der Zeitachse in Intervalle mit ,,annähernd gleich großer Wahrscheinlichkeit"
die Intervalle [0,2), [2,6) und [6,
) zu wählen.
89
Vgl. Abschnitt 8.7, S. 179.
90
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
123. Auf das vorhin behandelte Problem der Bestimmung von unscharfen
Umweltzuständen mit scharfen Wahrscheinlichkeiten bei Vorliegen von unscharfen Wahrscheinlichkeits-
verteilungen wird hier aber nicht eingegangen.
91
Vgl. Abschnitt 6.2, S. 99 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
176
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Integration
der
Dichtfunktionen
der
Fuzzy-Schar
(
)
[
]
¿
¾
½
¯
®
=
=
+
-
=
-
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
~
)
(
,
)
(
~
~
1
0
~
~
t
e
t
f
über die scharfen Intervalle
[0,2), [2,6) und [6,
) ergibt für jedes der Intervalle eine Fuzzy-Menge von
Wahrscheinlichkeiten, aus denen mittels der sup-Vereinigung wiederum unscharfe
Wahrscheinlichkeiten für die scharfen Intervalle abgeleitet werden können. Man erhält:
(
)
(
)
[
]
(
)
1
0
~
:
~
supp
~
~
1
0
~
~
max
,
min
/
)
(
sup
)
(
)
(
,
,
/
~
)
(
,
)
,
[
~
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
=
-
-
-
-
=
-
=
-
-
»¼
º
«¬
ª
-
-
=
=
¿
¾
½
¯
®
=
=
¿
¾
½
¯
®
=
-
=
-
-
+
-
o
u
o
u
o
t
u
t
o
u
t
t
t
t
p
e
e
P
P
t
t
o
u
e
e
e
e
p
p
p
e
e
t
t
P
Zur Berechnung der
-Komponenten der unscharfen Wahrscheinlichkeiten müssen die
Extremwertprobleme
max
=
-
-
-
o
u
t
t
e
e
bzw.
min
=
-
-
-
o
u
t
t
e
e
gelöst werden.
Es ist für allgemeine t
o
, t
u
(
)
0
=
+
-
=
-
-
-
-
-
o
u
o
u
t
o
t
u
t
t
e
t
e
t
e
e
d
d
für
u
o
u
o
t
t
t
t
-
-
=
ln
ln
und
(
)
o
u
o
u
t
o
t
u
t
t
e
t
e
t
e
e
d
d
-
-
-
-
-
=
-
2
2
2
2
an der Stelle
u
o
u
o
t
t
t
t
-
-
=
ln
ln
gleich
(
)
(
)
o
o
u
u
t
t
t
t
u
o
u
o
u
o
u
o
t
t
t
t
t
t
t
t
-
-
-
-
-
-
-
ln
ln
ln
ln
exp
exp
2
2
=
( )
( )
u
o
o
u
o
u
t
t
t
o
t
t
t
u
o
u
o
u
t
t
t
t
t
t
-
-
-
ln
exp
ln
exp
2
2
=
( )
( )
u
o
o
u
o
u
t
t
t
o
t
t
t
u
o
u
o
u
t
t
t
t
t
t
-
-
-
2
2
=
( )
( )
u
o
u
u
o
u
t
t
t
o
t
t
t
u
o
u
o
u
o
u
t
t
t
t
t
t
t
t
-
/
-
-
/
2
2
=
( )
,
(
)
0
0
0
0
-
-
o
u
u
t
t
t
t
t
t
u
o
u
o
u
t
t
,
somit ist
o
u
t
t
e
e
-
-
-
an der Stelle
u
o
u
o
t
t
t
t
-
-
=
ln
ln
maximal.
Dieses Maximum wird nur erreicht für
[
]
,
ln
ln
=
-
-
u
o
u
o
t
t
t
t
.
Für
u
o
u
o
t
t
t
t
-
-
ln
ln
verläuft
o
u
t
t
e
e
-
-
-
monoton steigend, für
u
o
u
o
t
t
t
t
-
-
ln
ln
monoton
fallend.
Die untere
-Komponente der unscharfen Wahrscheinlichkeit ist somit für
]
1
,
0
(
gleich dem Minimum aus
o
u
t
t
e
e
-
-
-
und
o
u
t
t
e
e
-
-
-
.
Es ist also
(
)
{
}
o
u
o
u
o
u
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
,
min
min
und
(
)
[
]
°
°
¯
°
°
®
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
u
o
u
o
u
o
u
o
u
o
u
o
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
o
u
o
u
t
o
t
u
t
o
t
u
u
t
o
t
u
t
o
t
o
u
o
u
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
ln
ln
ln
ln
ln
ln
für
,
für
für
max
ln
ln
ln
ln
.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
177
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Speziell für
0
=
u
t
ist
(
)
(
)
[
]
¿
¾
½
¯
®
=
-
=
+
-
=
-
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
~
)
(
,
1
)
,
0
[
~
1
0
~
~
o
t
o
e
t
P
ist
(
)
0
1
=
-
-
-
o
o
t
o
t
e
t
e
d
d
für alle
0
o
t
, somit ist
o
t
e
-
-
1
in
stets monoton steigend
und es ist
[
)
(
)
[
]
o
o
t
t
o
e
e
t
P
-
-
-
-
=
1
,
1
,
0
.
Speziell für
=
u
t
ist
(
)
(
)
[
]
¿
¾
½
¯
®
=
=
+
-
=
-
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
~
)
(
,
)
,
[
~
1
0
~
~
u
t
u
e
t
P
ist
( )
0
-
=
-
-
u
u
t
u
t
e
t
e
d
d
für alle
0
u
t
, somit ist
u
t
e
-
in
stets monoton fallend und es
ist
[
)
(
)
[
]
u
u
t
t
u
e
e
t
P
-
-
=
,
,
.
Somit erhalten wir für die drei Intervalle [0,2), [2,6) und [6,
) die unscharfen
Wahrscheinlichkeiten:
[
)
(
)
[
]
1
0
2
2
~
1
,
1
/
2
,
0
~
=
-
-
-
-
=
e
e
P
, etwa
[
)
(
)
]
4353
.
0
,
2212
.
0
[
2
,
0
0
=
P
,
[
)
(
)
]
3669
.
0
,
2564
.
0
[
2
,
0
5
.
0
=
P
,
[
)
(
)
]
3168
.
0
,
3049
.
0
[
2
,
0
1
=
P
Es ist für
2
=
u
t
,
6
=
o
t
]
2857
.
0
,
125
.
0
[
~
supp
2747
.
0
4
3
ln
ln
ln
=
=
=
-
-
u
o
u
o
t
t
t
t
, daher ist
[
)
(
)
°¯
°
®
=
sonst
}
,
max{
0805
.
0
für
d.h.
,
]
,
[
2747
.
0
für
6
,
2
2747
.
0
F
F
F
P
,
[
)
(
)
}
,
min{
6
,
2
F
F
P
=
Es ist
[
)
(
)
[
]
[
]
1
0805
.
0
6
2
6
2
0805
.
0
0
6
2
6
2
~
,
/
,
/
6
,
2
~
4
3
ln
4
3
ln
=
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
=
e
e
e
e
e
e
e
e
P
,
etwa
[
)
(
)
]
3849
.
0
,
3064
.
0
[
6
,
2
0
=
P
,
[
)
(
)
]
3651
.
0
,
3325
.
0
[
6
,
2
5
.
0
=
P
,
[
)
(
)
]
3643
.
0
,
3592
.
0
[
6
,
2
1
=
P
[
)
(
)
[
]
1
0
6
6
~
,
/
,
6
~
=
-
-
=
e
e
P
, etwa
[
)
(
)
]
4724
.
0
,
1801
.
0
[
,
6
0
=
P
,
[
)
(
)
]
4111
.
0
,
2537
.
0
[
,
6
5
.
0
=
P
,
[
)
(
)
]
3359
.
0
,
3189
.
0
[
,
6
1
=
P
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
178
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
8.7 Entscheidungsregeln bei Unschärfe
Sofern es gelingt, bei einem Entscheidungsproblem alle in den vorhergehenden
Abschnitten beschriebenen Komponenten eines Entscheidungsmodells, d.h. Aktionen,
Umweltzustände, Ergebnisfunktion, Nutzenfunktion sowie Zustandswahrscheinlichkeiten,
zu formulieren, dann liegt ein sog. wohlstrukturiertes Entscheidungsproblem
92
vor, auf
welches das in Abschnitt 8.1
93
vorgestellte Modell angewendet werden kann, sodaß mit
Hilfe einer Entscheidungsregel eine optimale Handlungsalternative gewählt werden kann.
In den vorhergehenden Abschnitten wurden ausführlich sowohl die aus dem betriebs-
wirtschaftlichen Kontext stammenden Ursachen für Unschärfen bei den einzelnen
Komponenten eines Entscheidungsmodells als auch die mögliche Darstellung mit Hilfe
von Fuzzy-Mengen behandelt. Nun müssen noch Entscheidungsregeln festgelegt werden,
die auch im Fall unscharfer Daten die Auswahl einer optimalen (unscharfen) Alternative
erlauben.
Geht
man
von
der
scharfen
Entscheidungsregel
des
Bernoulli-Prinzips
¦
¦
=
=
=
=
=
m
j
j
ij
n
i
m
j
j
ij
n
i
i
n
i
opt
s
P
e
u
p
u
a
u
E
a
u
E
1
}
,...
1
{
1
}
,...
1
{
}
,...
1
{
)
(
)
(
max
max
))
(
(
max
))
(
(
aus,
so müssen, wenn sie zur Lösung unscharfer Entscheidungsprobleme herangezogen werden
soll, einige Dinge beachtet werden, da eine einfache Anwendung des Extensionsprinzips
(5.33) nicht möglich ist.
Bereits in Abschnitt 7.1.2
94
wurde die Bildung von unscharfen Erwartungswerten
von Fuzzy-Zufallsvariablen vorgestellt. Da hier aber meist mehrere ,,punktweise" Zustände
zu mengenwertigen Zuständen bzw., in der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie, zu
Ereignissen zusammengefaßt sind, muß wieder, wie bereits in Abschnitt 6.3
95
zum
Ausdruck gebracht, beachtet werden, daß beim Vorliegen unscharfer Wahrscheinlichkeiten
diese nicht einfach mit den Nutzenwerten multipliziert und die so erhaltenen Werte
miteinander addiert werden dürfen, da für Wahrscheinlichkeiten immer die Bedingung
1
1
=
¦
=
n
i
i
p
erfüllt sein muß. Gelingt es wie vorhin versucht,
96
Zustände mit scharfen
Wahrscheinlichkeiten festzulegen, so ist das Problem gelöst, es kann das gewöhnliche
Extensionsprinzip angewendet werden, und man erhält für jede unscharfe Alternative A
~
den Fuzzy-Nutzenerwartungswert
97
( )
( )
( )
(
) ( )
¦
=
=
m
j
j
j
S
P
S
A
e
u
A
u
E
1
~
~
,
~
~
~
~
~
(8.17)
mit der Zugehörigkeitsfunktion
92
Vgl. Abschnitt 2.1, S. 6 f. bzw. Heinen (1991), S.
25 f.
93
Vgl. Abschnitt 8.1, S. 157 ff.
94
Vgl. Abschnitt 7.1.2, S. 115 ff.
95
Vgl. Abschnitt 6.3, S. 107 ff.
96
Vgl. Abschnitt 6.6, S. 171 ff.
97
Vgl. Auch Rommelfanger (1994), S.
94.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
179
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
{
}
)
(
),
(
),...,
(
),
(
),...,
(
),
(
),...,
(
min
sup
)
(
~
1
~
~
1
~
~
1
~
)
~
(
)
,...,
)|
,...,
)|
,
(
(
)
,...,
)|
,...,
)|
,...
,
(
(
(
:
~
supp
,
~
supp
...
~
supp
,...,
,
~
...
~
supp
,...,
,
~
supp
...
~
supp
,...,
))
~
(
~
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
s
s
z
z
U
U
u
A
m
S
S
r
Z
Z
l
U
U
u
S
P
u
u
z
z
s
a
e
u
u
u
z
z
s
s
a
e
u
E
A
a
S
S
s
s
Z
Z
z
z
U
U
U
U
A
u
E
m
r
l
m
j
j
l
r
j
l
r
m
m
m
r
r
l
l
=
=
×
×
×
×
×
¦
=
=
(8.18)
wobei
l
U
U
~
,...,
~
1
die fuzzifizierenden Parameter der Nutzenfunktion,
r
Z
Z
~
,...,
~
1
die Fuzzy-
Parameter der Ergebnisfunktion und
m
S
S
~
,...,
~
1
die unscharfen Zustände darstellen.
Andernfalls muß für die unscharfen Wahrscheinlichkeiten wieder, wie im Beispiel
zu Abschnitt 6.3, bei jedem einzelnen Rechenschritt der Durchschnitt mit dem Standard-
simplex (6.63) im Sinne von (6.64)-(6.64) gebildet werden.
98
Formal bedeutet dies, daß der
unscharfe Erwartungswert nicht mehr mit Hilfe der Extensionen der arithmetischen
Operatoren, wie etwa (8.17) im Fall scharfer Wahrscheinlichkeiten angeschrieben werden
kann, sondern daß eine Definition des Fuzzy-Erwartungswertes für eine Fuzzy-Aktion A
~
nur noch durch ihre Zugehörigkeitsfunktion möglich ist:
99
{
}
)
(
),
,...,
(
1
),
(
),...,
(
),
(
),...,
(
),
(
),...,
(
),
(
),...,
(
min
sup
)
(
~
1
)
~
(
~
1
)
~
(
~
1
~
~
1
~
~
1
~
)
,...,
|
)
,...,
|
)
,
(
(
)
,...,
|
)
,...,
|
)
,...
,
(
(
(
:
))
~
(
~
...
)
~
(
~
supp(
)
,...,
(
~
supp
),
~
...
~
supp(
)
,...,
(
),
~
...
~
supp(
)
,...,
(
),
~
...
~
supp(
)
,...,
(
))
~
(
~
(
~
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
a
p
p
p
p
s
s
z
z
U
U
u
A
n
R
m
S
P
S
P
m
S
S
r
Z
Z
l
U
U
u
p
u
u
z
z
s
a
e
u
u
u
z
z
s
s
a
e
u
E
R
S
P
S
P
p
p
A
a
S
S
s
s
Z
Z
z
z
U
U
U
U
A
u
E
m
m
m
r
l
m
j
j
l
r
j
l
r
m
m
m
m
m
m
r
r
l
l
=
=
¦
=
=
(8.19)
wobei
(
)
[ ]
{
}
1
1
,
0
,...,
1
1
)
(
=
=
¦
=
m
j
j
m
m
m
p
p
p
R
der Standardsimplex gemäß (6.63) in
m
]
1
,
0
[
ist.
( )
(
) ( )
( )
( )
A
u
E
S
P
S
A
e
u
j
j
m
j
~
~
~
~
~
~
,
~
~
~
1
=
ist nur noch eine Obermenge des Fuzzy-Nutzen-
erwartungswertes.
100
Ein weiteres Problem bei der Anwendung der Entscheidungsregel des Bernoulli-
Prinzips auf unscharf formulierte Entscheidungsprobleme besteht in der mangelnden
Ordnungsrelation auf der Menge der Fuzzy-Mengen über den reellen Zahlen
-( R
I
). In
Abschnitt 5.5
101
wurden einige Operationen vorgestellt, die als Ersatz für die fehlende
Ordnungsrelation für Fuzzy-Mengen herangezogen werden können, so stehen grundsätzlich
der Fuzzy-Maximum- bzw. Minimum-Operator
102
oder verschiedene Ansätze für Rang-
ordnungsverfahren, von welchen hier das Niveaumengen-Verfahren
103
besprochen wurde,
zur Verfügung. Stehen nur zwei Alternativen zur Auswahl, so können auch Präferenz-
relationen angewandt werden.
104
98
Vgl. Abschnitt 6.3, S. 110 ff.
99
Vgl. auch Rommelfanger (1994), S.
120 f.
100
Dadurch ergibt sich der im vorherigen Abschnitt 8.6, S. 175 angesprochene erhöhte Rechenaufwand bei
der Lösung des unscharfen Entscheidungsproblems.
101
Vgl. Abschnitt 5.5, S. 88 ff.
102
Vgl. Abschnitt 5.5.1, S. 88 f.
103
Vgl. Abschnitt 5.5.3, S. 91 f.
104
In dieser Arbeit wurden
- und -Präferenz eingeführt (vgl. Abschnitt 5.5.2, S. 89 f.).
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
180
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Im folgenden soll anhand eines Beispiels zuerst für eine endliche Anzahl echt
unscharf formulierter Alternativen
105
das Niveaumengen-Verfahren zur Festlegung einer
optimalen Alternative herangezogen werden. Anschließend soll mit Hilfe des Fuzzy-
Maximum-Operators auf einer (endlichen oder unendlichen) Menge von grundsätzlich
scharfen Alternativen die Fuzzy-Menge der optimalen Aktionen bestimmt werden,
106
die
Fuzziness ergibt sich dabei aus der Fuzziness von Umweltzuständen, Ergebnisfunktion,
Nutzenfunktion oder/und Wahrscheinlichkeitsverteilung.
8.7.1 Fuzzy-Entscheidungsmatrix und Rangordnung der Fuzzy-Aktionen
Folgendes Entscheidungsproblem ist zu lösen:
Eine Unternehmung aus Land A soll eine Ausstellung in Land B durchführen. Da
am Ausstellungsgelände vor Ort kein elektrischer Strom zur Verfügung steht, müssen die
benötigten Elektrogeräte mit Batterien betrieben werden. Die Gesamtsumme an Betriebs-
Zeiteinheiten für alle Geräte beträgt 50 Zeiteinheiten. Da Batterien in Land A ungefähr 2
Geldeinheiten kosten, in Land B dagegen etwa doppelt so viel Geldeinheiten, ist es
empfehlenswert, einen Vorrat an Batterien von zu Hause mitzunehmen, allerdings gibt es
für einen zu großen Vorrat anschließend keine Verwendungsmöglichkeit, sodaß übrige
Batterien weggeworfen werden müssen. Aus Erfahrung weiß man, daß etwa ein Drittel
aller Batterien eine unscharfe Lebensdauer bis zu etwa knapp über 2 Zeiteinheiten hat,
ein weiteres Drittel fällt etwa in der Zeit zwischen etwa knapp über 2 und ungefähr 6
Zeiteinheiten aus, das restliche Drittel hält länger, doch nach zwischen 16 und 37,
insbesondere aber etwa zwischen 24 und 25 Zeiteinheiten sind 99
% aller Batterien leer
(die Fuzzy-Quantile
33
.
0
~
Q
und
67
.
0
~
Q
wurden bereits früher berechnet, das Fuzzy-Quantil
99
.
0
~
Q
der Verteilung im Beispiel beträgt
[
]
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
01
.
0
ln
~
1
0
99
.
0
-
+
-
=
=
Q
[
]
[
]
5129
.
11
8414
.
36
,
0590
.
8
1181
.
16
/
5
.
2
8
,
75
.
1
5
.
3
/
4,6052
1
0
1
0
-
+
=
-
+
=
=
=
mit
[
]
8414
.
36
,
1181
.
16
)
~
supp(
0
33
.
0
33
.
0
=
=
Q
Q
und
[
]
3284
.
25
,
1771
.
24
)
~
ker(
1
33
.
0
33
.
0
=
= Q
Q
).
Zur Auswahl stehen die unscharf formulierten Aktionen, eine kleine, eine mittlere oder
eine große Menge zu kaufen, welche dann nach Land B mitgenommen werden sollen.
Die unscharfen Aktionen lassen sich mittels der Fuzzy-Trapez-Intervalle klein =
(1,6;1,10), mittel = (12,20;6,30), groß = (30,50;20,50) darstellen. Die Batterienpreise
1
~
Z
in Land A und
2
~
Z
in Land B seien dargestellt durch die Fuzzy-Dreieckszahlen
1
~
Z
=
ungefähr 2 = (2;1.5,2.5),
1
2
~
2
~
~
Z
Z
=
. Da es sich um eine kurzfristige Unterneh-
mensentscheidung von untergeordneter Bedeutung handelt, sei die Fuzzy-Nutzenfunktion
gleich der Fuzzy-Ergebnisfunktion.
105
Vgl. Abschnitt 6.2, S. 160.
106
Vgl. Abschnitt 6.2, S. 160 f.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
181
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Es handelt sich hier um ein wohlstrukturiertes Fuzzy-Entscheidungsproblem, mit
den Fuzzy-Aktionen
)
10
,
1
;
6
,
1
(
~
1
=
A
,
)
30
,
6
;
20
,
12
(
~
2
=
A
,
)
50
,
20
;
50
,
30
(
~
3
=
A
, den Fuzzy-
Zuständen
]
~
,
0
[
~
33
.
0
1
Q
S
=
,
]
~
,
[
~
67
.
0
33
.
0
2
Q
Q
S
=
,
)
~
,
[
~
67
.
0
3
= Q
S
mit den scharfen Wahr-
scheinlichkeiten
33
.
0
)
~
(
1
1
=
= S
P
p
,
34
.
0
)
~
(
2
2
=
= S
P
p
,
33
.
0
)
~
(
3
3
=
= S
P
p
.
Zur
Vereinfachung
107
sei für die fuzzifizierende Ergebnisfunktion angenommen, daß der
unscharfe Differenzbetrag zwischen Fuzzy-Batterienpreis in Land B und Land A
gerade gleich dem Fuzzy-Batterienpreis in Land A ist, sodaß der Verlust pro überzähliger
Batterie
gleich
dem
Verlust
pro
nachzukaufender
Batterie
ist,
d.h.
(
)
(
)
(
)
(
)
¿
¾
½
¯
®
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
=
-
=
t
t
t
Z
t
t
t
Z
s
a
e
a
a
a
a
a
a
50
50
50
1
50
50
50
1
für
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
~
für
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
~
)
,
(
~
t
a
-
-
-
-
=
50
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
,
Nutzenfunktion sei die Identitätsfunktion
e
e
e
u
=
=
)
(
1
)
(
.
Um unser Entscheidungsproblem vollständig mittels einer Entscheidungsmatrix be-
schreiben zu können,
108
müssen nun für die Fuzzy-Zustände die Fuzzy-Ergebnisse aus den
Fuzzy-Aktionen berechnet werden. Die Fuzzy-Ergebnisfunktion, die zugleich die Fuzzy-
Nutzenfunktion ist, sei definiert durch
(
)
(
) (
)
1
0
)
,
(
,
)
,
(
/
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
:
~
,
~
~
~
,
~
~
)
~
(
1
)
~
(
1
=
»¼
º
«¬
ª
-
-
-
=
=
j
i
j
i
j
i
j
i
s
a
L
s
a
L
S
A
e
S
A
e
u
j
j
S
P
S
P
,
wobei
)
~
(
1
j
S
P
als Normierungsfaktor dient, und
(
)
(
)
(
)
(
)
°
°
°
°
¯
°°
°
°
®
-
-
-
+
-
=
³
³
³
³
-
-
-
-
u
a
j
o
u
i
t
t
t
a
S
t
t
A
a
o
a
j
o
u
i
t
t
t
a
S
t
t
A
a
o
u
a
j
o
u
i
t
t
a
t
t
a
S
t
t
A
a
j
i
t
S
t
t
A
a
dt
e
t
t
S
t
t
A
a
dt
e
t
t
t
S
t
t
A
a
dt
e
t
dt
e
t
s
a
L
o
u
j
o
u
i
o
u
j
o
u
i
o
a
a
u
j
o
u
i
50
50
]
,
[
50
50
]
,
[
50
50
50
]
,
[
:
]
,
[
,
falls
max
:
]
,
[
,
falls
max
]
,
[
:
]
,
[
,
falls
max
:
)
,
(
50
50
(
)
(
)
°
°
°
¯
°°
°
®
-
-
=
³
³
-
-
u
a
j
o
u
i
t
t
t
a
S
t
t
A
a
o
a
j
o
u
i
t
t
t
a
S
t
t
A
a
o
u
a
j
o
u
i
j
i
t
S
t
t
A
a
dt
e
t
t
S
t
t
A
a
dt
e
t
t
t
S
t
t
A
a
s
a
L
o
u
j
o
u
i
o
u
j
o
u
i
50
50
]
,
[
50
50
]
,
[
50
:
]
,
[
,
falls
min
:
]
,
[
,
falls
min
]
,
[
:
]
,
[
,
falls
0
:
)
,
(
107
Eigentlich müßte man gemäß den Gesetzen der Subtraktion von Fuzzy-Mengen (5.36)-(5.38) setzen:
)
5
.
3
,
5
.
0
;
2
(
)
5
.
1
5
.
2
2
,
5
.
2
5
.
1
2
;
2
2
2
(
~
~
2
~
1
2
=
-
-
-
=
=
Z
Z
Z
.
108
Dieses Beispiel wurde ausschließlich zur Demonstration der Lösung eines Entscheidungsproblems mittels
Entscheidungsmatrix in dieser Form konstruiert. Die einfachere schnellere und effizientere Lösungs-
variante als statistisches Entscheidungsproblem wird in Abschnitt 8.7.2, S. 191 ff. vorgestellt.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
182
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Dazu müssen zunächst für die scharfen Intervalle
]
,
[
o
u
t
t
, die durch die Quantile der
scharfen Verteilungen für
~
supp
aus der Fuzzy-Schar begrenzt werden, die Schaden-
integrale
109
)
,
,
(
a
t
t
L
o
u
(
)
³
-
-
o
u
t
t
t
a
dt
e
t
50
(für
o
a
t
50
) bzw.
(
)
³
-
-
o
u
t
t
t
a
dt
e
t
50
(für
u
a
t
50
)
bzw.
(
)
(
)
³
³
-
-
-
+
-
o
a
a
u
t
t
a
t
t
a
dt
e
t
dt
e
t
50
50
50
50
(für
]
,
[
50
o
u
a
t
t
) berechnet werden. Es ist
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
o
u
a
o
u
o
a
o
a
a
u
a
u
o
a
a
u
t
o
t
u
a
t
t
t
o
a
t
a
a
t
u
t
a
t
t
a
t
t
a
o
u
e
t
e
t
e
e
e
e
t
e
e
e
e
e
t
e
e
dt
e
t
dt
e
t
a
t
t
L
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
-
+
=
-
-
-
-
+
-
+
-
-
=
=
-
+
-
=
³
³
2
1
50
50
1
50
50
50
1
50
50
50
50
50
50
50
50
50
)
,
,
(
Wegen
1
)
1
ln(
-
-
=
u
u
w
t
und
(
)
u
w
t
w
e
e
u
u
-
=
=
-
-
-
-
1
1
)
1
ln(
bzw. analog für
o
t bzw.
o
w
gilt für
)
,
,
(
a
t
t
L
o
u
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
2
(
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
2
)
1
(
)
1
ln(
)
1
(
)
1
ln(
)
2
(
)
,
,
(
50
1
2
1
50
50
50
o
u
a
o
o
u
u
o
o
u
u
a
o
u
o
u
w
w
w
w
w
w
e
w
w
w
w
e
w
w
a
t
t
L
a
a
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
-
=
-
-
+
-
-
+
+
-
-
-
=
-
-
für
)]
1
ln(
),
1
ln(
[
]
,
[
1
50
o
u
o
u
a
w
w
t
t
-
-
-
-
=
, d.h. für
[
]
)
1
ln(
50
)
1
ln(
50
,
u
o
w
w
a
-
-
-
-
.
Es hängt
)
,
,
(
a
t
t
L
o
u
somit für konstante Wahrscheinlichkeiten w
u
und w
o
nur noch von
und a ab, wir schreiben dafür
)
,
(
a
L
. Zur Bestimmung der
-Niveaukurven der Schaden-
integrale muß das Verhalten von
)
,
(
a
L
bei Veränderung von
bzw. a untersucht
werden. Durch Differenzieren nach
bzw. a erhält man:
(
)
0
2
)
,
(
2
2
50
50
50
2
=
-
-
+
/
-
=
-
/
a
o
u
a
w
w
e
a
L
a
da
d
(
)
0
2
)
2
(
50
2
50
=
-
-
-
-
a
e
w
w
o
u
a
(
)
2
2
50
ln
o
u
w
w
a
-
-
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
-
-
-
-
=
2
2
ln
50
o
u
w
w
a
.
Es ist
(
)
,
,
0
2
2
2
2
)
,
(
0
50
0
0
50
0
0
0
50
2
2
2
50
2
50
3
+
+
-
-
=
-
-
a
a
a
a
o
u
a
a
a
a
e
e
w
w
a
L
da
d
, daher ist
)
,
(
a
L
an der Stelle
¸¸¹
·
¨¨©
§
-
-
-
=
2
2
ln
50
o
u
w
w
a
ein Minimum, und für
¸¸¹
·
¨¨©
§
-
-
-
=
2
2
ln
50
o
u
w
w
a
a
in a monoton
fallend, für
¸¸¹
·
¨¨©
§
-
-
-
=
2
2
ln
50
o
u
w
w
a
a
in a monoton wachsend.
Differenzieren nach
ergibt:
,
(
)
(
)
,
,
0
50
0
0
1
?
0
0
0
1
50
50
2
2
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
2
)
,
(
-
-
-
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
a
o
o
u
u
a
a
e
w
w
w
w
e
a
L
d
d
somit ist
)
,
(
a
L
in
weder allgemein monoton fallend noch steigend, dies muß immer
jeweils für den Einzelfall untersucht werden.
109
Vgl. Marinell (1987), S.
185.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
183
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Für
u
a
t
50
ist
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
ln(
)
1
(
)
1
ln(
)
1
(
)
1
(
1
50
1
1
50
1
50
1
50
50
o
o
u
u
u
o
a
o
o
u
u
o
u
a
t
o
t
u
t
t
a
t
t
t
a
t
t
t
t
t
t
a
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
e
t
e
t
e
e
dt
e
dt
te
dt
e
t
o
u
o
u
o
u
o
u
o
u
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
=
-
+
-
-
=
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
³
³
³
Für
o
a
t
50
ist
(
)
(
)
(
) (
)
(
)(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
ln(
)
1
(
)
1
ln(
)
1
(
)
1
(
1
50
1
1
1
50
1
50
50
50
o
o
u
u
u
o
a
o
o
u
u
o
u
a
t
o
t
u
t
t
a
t
t
t
t
t
t
a
t
t
t
a
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
e
t
e
t
e
e
dt
te
dt
e
dt
e
t
o
u
o
u
o
u
o
u
o
u
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
³
³
³
Da sich die Schadenintegrale
)
,
(
a
L
für
u
a
t
50
und
o
a
t
50
nur durch das Vorzeichen
unterscheiden, genügt es, eines der beiden im Hinblick auf ihr Verhalten bei Veränderung
von a oder
zu untersuchen, wir wählen o.B.d.A. den Fall
u
a
t
50
:
0
)
(
)
,
(
0
0
50
2
-
+
=
u
o
a
w
w
a
L
d
d
, somit ist
)
,
(
a
L
in a für
u
a
t
50
monoton wachsend, für
o
a
t
50
monoton fallend.
(
)
(
)
(
)
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
)
,
(
2
1
o
o
u
u
l
w
w
w
w
a
L
d
d
-
-
-
-
-
-
-
-
=
.
Wegen
0
1
ln
ln
+
=
x
x
x
dx
d
ist
x
x ln
monoton wachsend, daher ist:
(
)
(
)
0
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
-
-
-
-
-
-
-
o
o
u
u
w
w
w
w
, denn
o
u
w
w
-
-
1
1
.
Daher ist
,
(
)
(
)
(
)
0
)
1
ln(
1
)
1
(
)
1
ln(
1
)
1
(
)
,
(
0
0
1
2
-
-
-
-
-
-
-
-
=
o
o
u
u
l
w
w
w
w
a
L
d
d
, und es ist
)
,
(
a
L
in
für
u
a
t
50
monoton fallend, für
o
a
t
50
monoton wachsend.
Für die konkrete Berechnung der Fuzzy-Ergebnisse für
1
~
A
,
2
~
A
,
3
~
A für
1
~
S
,
2
~
S
,
3
~
S seien
die folgenden Werte für j=1,2,3, wie folgt, gegeben:
)
(
)
(
2
:
)
(
3
j
w
j
w
j
z
o
u
-
-
=
,
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
)
(
1
ln
1
)
(
1
)
(
1
ln
1
)
(
1
:
)
(
4
j
w
j
w
j
w
j
w
j
z
o
o
u
u
-
-
-
+
-
-
-
=
,
)
(
)
(
)
~
(
:
)
(
5
j
w
j
w
S
P
j
z
u
o
j
-
=
=
;
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
)
(
1
ln
1
)
(
1
)
(
1
ln
1
)
(
1
:
)
(
6
j
w
j
w
j
w
j
w
j
z
o
o
u
u
-
-
-
-
-
-
-
=
1
~
S
:
0
)
1
(
=
u
w
,
33
.
0
)
1
(
=
o
w
,
67
.
1
)
1
(
3
=
z
,
9383
.
1
)
1
(
4
=
z
,
33
.
0
)
1
(
5
=
z
,
0617
.
0
)
1
(
6
=
z
2
~
S
:
33
.
0
)
2
(
=
u
w
,
67
.
0
)
2
(
=
o
w
,
1
)
2
(
3
=
z
,
6342
.
1
)
2
(
4
=
z
,
34
.
0
)
2
(
5
=
z
,
2425
.
0
)
2
(
6
=
z
3
~
S :
67
.
0
)
3
(
=
u
w
,
1
)
3
(
=
o
w
,
33
.
0
)
3
(
3
=
z
,
6958
.
0
)
3
(
4
=
z
,
33
.
0
)
3
(
5
=
z
,
6959
.
0
)
3
(
6
=
z
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
184
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Somit ist
°
°
°
¯
°
°
°
®
+
-
¸¸¹
·
¨¨©
§
-
-
=
o
a
j
o
u
i
a
u
a
j
o
u
i
a
o
u
a
j
o
u
i
a
}
,
{
a
,
a
{
a
j
i
t
S
t
t
A
a
j
z
-
j
z
t
S
t
t
A
a
j
z
j
z
t
t
S
t
t
A
a
e
j
z
j
z
s
a
L
¡
¡
i
¡
¡
i
i
a
.
¡
¡
.
i
¡
¡
.
¡
¡
i
¡
i
¡
.
i
50
6
1
5
50
50
6
1
5
50
50
4
1
3
50
:
]
,
[
,
falls
)
(
)
(
:
]
,
[
,
falls
)
(
)
(
]
,
[
:
]
,
[
,
falls
2
)
(
)
(
max
)
,
(
.
50
.
°¯
°
®
-
+
-
=
o
a
j
o
u
i
¢
a
u
a
j
o
u
i
¢
a
o
u
a
j
o
u
i
j
i
t
S
t
t
A
a
j
z
j
z
t
S
t
t
A
a
j
z
j
z
t
t
S
t
t
A
a
s
a
L
£
£
i
£
£
i
50
6
1
5
50
50
6
1
5
50
50
:
]
,
[
,
falls
)
(
)
(
:
]
,
[
,
falls
)
(
)
(
]
,
[
:
]
,
[
,
falls
0
)
,
(
Die Fuzzy-Zustände können auch angeschrieben werden als
(
)
]
2038
.
3
,
0
[
],
4017
.
1
,
0
[
];
2026
.
2
,
0
[
],
1025
.
2
,
0
[
~
1
=
S
(
)
]
8693
.
8
,
2038
.
3
[
],
8803
.
3
,
4017
.
1
[
];
0976
.
6
,
2026
.
2
[
],
8205
.
5
,
1025
.
2
[
~
2
=
S
(
)
)
,
8693
.
8
[
),
,
8803
.
3
[
);
,
0976
.
6
[
),
,
8205
.
5
[
~
3
=
S
Anstelle der Fuzzy-Aktionen
1
~
A
,
2
~
A
,
3
~
A ist es günstiger zu schreiben:
[
]
1
0
1
1
50
,
/
~
50
2
5
25
=
-
-
=
A
mit
]
50
,
3333
.
8
[
50
1
1
1
=
-
A
,
]
50
,
5
[
50
0
1
1
=
-
A
[
]
1
0
1
2
3
3
25
3
5
,
/
~
50
=
-
+
-
=
A
, mit
]
1667
.
4
,
5
.
2
[
50
1
1
2
=
-
A
,
]
3333
.
8
,
6667
.
1
[
50
0
1
2
=
-
A
[ ]
1
0
1
3
2
5
,
1
/
~
50
=
-
+
=
A
mit
]
6667
.
1
,
1
[
50
1
1
3
=
-
A
,
]
5
.
2
,
1
[
50
0
1
3
=
-
A
Daraus erhält man:
(
)
1
1
~
,
~
~
S
A
e
:
)
1
(
)
1
(
)
,
(
6
1
5
50
1
1
1
z
z
s
a
L
a
-
=
)
1
(
)
1
(
)
,
(
6
1
5
50
1
1
1
z
z
s
a
L
a
-
=
(
)
2
1
~
,
~
~
S
A
e
:
)
2
(
)
2
(
)
,
(
6
1
5
50
2
1
1
z
z
s
a
L
a
-
=
¯
®
-
=
6977
.
0
für
)
2
(
)
2
(
0.6977
für
0
)
,
(
6
1
5
50
2
1
1
z
z
s
a
L
a
denn
)
5
.
2
8
(
33
.
0
ln
2
5
25
-
-
=
-
für
6977
.
0
=
(
)
3
1
~
,
~
~
S
A
e
:
¸¹
·
¨©
§
-
-
=
-
1
50
1
2
)
3
(
)
3
(
)
,
(
4
1
3
50
3
1
a
e
z
z
s
a
L
a
denn
(
)
1
50
1
1
1
50
1
2
)
3
(
)
3
(
max
2
)
3
(
)
3
(
4
1
3
50
,
4
1
3
50
a
a
e
z
z
e
z
z
a
a
a
-
-
-
-
=
¸¹
·
¨©
§
-
-
0
)
,
(
3
1
=
s
a
L
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
185
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
(
)
1
2
~
,
~
~
S
A
e
:
)
1
(
)
1
(
)
,
(
6
1
5
50
1
2
2
z
z
s
a
L
a
-
=
¯
®
-
=
863
.
0
für
)
1
(
)
1
(
0.863
für
0
)
,
(
6
1
5
50
1
2
2
z
z
s
a
L
a
denn
)
5
.
2
8
(
67
.
0
ln
3
5
-
-
=
-
für
8630
.
0
=
(
)
2
2
~
,
~
~
S
A
e
:
(
)
°¯
°
®
-
-
¸¹
·
¨©
§
-
-
=
-
-
4022
.
0
für
2
)
2
(
)
2
(
4022
.
0
für
2
)
2
(
)
2
(
)
,
(
2
50
2
2
50
2
4
1
3
50
4
1
3
50
2
2
a
a
e
z
z
e
z
z
s
a
L
a
a
denn
(
)
(
)
0
2
6342
.
1
)
75
.
1
5
.
3
(
2
6342
.
1
)
5
.
2
8
(
)
3
3
)(
75
.
1
5
.
3
(
25
)
3
)(
5
.
2
8
(
5
3
3
25
3
5
=
-
+
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
-
+
-
e
e
für
4022
.
0
=
(numerische Lösung)
0
)
,
(
2
2
=
s
a
L
(
)
3
2
~
,
~
~
S
A
e
:
)
3
(
)
3
(
)
,
(
6
1
5
50
3
2
2
z
z
s
a
L
a
+
-
=
¯
®
+
-
=
6319
.
0
für
)
3
(
)
3
(
0.6319
für
0
)
,
(
6
1
5
50
3
2
2
z
z
s
a
L
a
denn
)
75
.
1
5
.
3
(
33
.
0
ln
3
3
25
+
-
=
+
für
6319
.
0
=
(
)
1
3
~
,
~
~
S
A
e
:
¸¹
·
¨©
§
-
-
=
-
3
50
3
2
)
1
(
)
1
(
)
,
(
4
1
3
50
1
3
a
e
z
z
s
a
L
a
denn
(
)
3
50
3
3
3
50
3
2
)
1
(
)
1
(
max
2
)
1
(
)
1
(
4
1
3
50
,
4
1
3
50
a
a
e
z
z
e
z
z
a
a
a
-
-
-
-
=
¸¹
·
¨©
§
-
-
0
)
,
(
1
3
=
s
a
L
(
)
2
3
~
,
~
~
S
A
e
:
)
2
(
)
2
(
)
,
(
6
1
5
50
2
3
3
z
z
s
a
L
a
+
-
=
¯
®
+
-
=
671
.
0
für
)
2
(
)
2
(
0.671
für
0
)
,
(
6
1
5
50
2
3
3
z
z
s
a
L
a
denn
)
75
.
1
5
.
3
(
67
.
0
ln
2
5
+
-
=
+
für
6710
.
0
=
(
)
3
3
~
,
~
~
S
A
e
:
)
3
(
)
3
(
)
,
(
6
1
5
50
3
3
3
z
z
s
a
L
a
+
-
=
)
3
(
)
3
(
)
,
(
6
1
5
50
3
3
3
z
z
s
a
L
a
+
-
=
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
186
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Somit sind die Komponenten der Ergebnismatrix, welche (wegen u(e)=1(e)) zugleich die
Entscheidungsmatrix darstellt, vollständig.
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
) ( ) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
( )
(
) ( ) (
)
(
) (
) ( )
(
) ( )
3
3
3
3
2
3
2
3
1
3
1
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
3
2
1
3
2
1
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
,
~
~
~
~
~
~
n
e
-
n
y
o
z
i
z
u t
k
F
A
e
d
n
ä
t
s
u
z
t
l
e
w
m
U
-
y
z
z
u
F
S
A
e
S
A
e
u
S
A
e
S
A
e
u
S
A
e
S
A
e
u
A
S
A
e
S
A
e
u
S
A
e
S
A
e
u
S
A
e
S
A
e
u
A
S
A
e
S
A
e
u
S
A
e
S
A
e
u
S
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e
S
A
e
u
A
S
S
S
p
p
p
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Abb. 8.4 Ergebnis- bzw. Entscheidungsmatrix des Fuzzy-Entscheidungsproblems
mit
=0
-123,3645
-5,2571
-118,7602
0,0000
-106,5492
0,0000
=0.1
-120,8171
-5,8277
-116,0792
0,0000
-103,5142
0,0000
=0.2
-118,2730
-6,4527
-113,4108
0,0000
-100,5161
0,0000
=0.3
-115,7321
-7,1391
-110,7548
0,0000
-97,5549
0,0000
=0.4
-113,1945
-7,8948
-108,1112
0,0000
-94,6307
0,0000
=0.5
-110,6601
-8,7296
-105,4802
0,0000
-91,7435
0,0000
=0.6
-108,1290
-9,6553
-102,8617
0,0000
-88,8933
0,0000
=0.7
-105,6012
-1 0,6861
-100,2556
-4,6018
-86,0802
0,0000
=0.8
-103,0767
-1 1,8398
-97,6620
-5,8410
-83,3042
0,0000
=0.9
-100,5554
-1 3,1387
-95,0809
-7,2385
-80,5653
0,0000
=1
-98,0375
-1 4,6107
-92,5122
-8,8223
-77,8637
0,0000
=0
-19,1979
0,0000
-23,9775
0,0000
-38,0066
0,0000
=0.1
-16,8777
0,0000
-18,0550
0,0000
-35,8141
0,0000
=0.2
-14,9396
0,0000
-13,5592
0,0000
-33,6702
0,0000
=0.3
-13,2962
0,0000
-10,1604
0,0000
-31,5745
0,0000
=0.4
-11,8849
0,0000
-7,6 093
0,0000
-29,5264
0,0000
=0.5
-10,6601
0,0000
-6,6 669
0,0000
-27,5253
0,0000
=0.6
-9,5874
0,0000
-5,7 994
0,0000
-25,5705
-7,8949
=0.7
-8,6405
0,0000
-4,9 834
0,0000
-23,6612
-9,3637
=0.8
-7,7989
0,0000
-4,2 244
0,0000
-21,7964
-10,8354
=0.9
-7,0467
-2,5471
-3,5 292
0,0000
-19,9749
-12,3152
=1
-6,3708
-2,9440
-2,9 066
0,0000
-18,1953
-13,8076
=0
-6,1945
0,0000
-11,7624
0,0000
-39,6733
-12,2008
=0.1
-5,1825
0,0000
-11,0904
0,0000
-37,5882
-13,1525
=0.2
-4,3628
0,0000
-10,4362
0,0000
-35,5559
-14,0295
=0.3
-3,6983
0,0000
-9,7 998
0,0000
-33,5763
-14,8366
=0.4
-3,1596
0,0000
-9,1 813
0,0000
-31,6495
-15,5780
=0.5
-2,7231
0,0000
-8,5 805
0,0000
-29,7753
-16,2571
=0.6
-2,3697
0,0000
-7,9 976
0,0000
-27,9539
-16,8769
=0.7
-2,0842
0,0000
-7,4 326
-3,2629
-26,1852
-17,4399
=0.8
-1,8542
0,0000
-6,8 853
-3,5880
-24,4691
-17,9481
=0.9
-1,6695
0,0000
-6,3 559
-3,8847
-22,8059
-18,4035
=1
-1,5219
0,0000
-5,8 443
-4,1544
-21,1953
-18,8076
Tab. 8.5 Fuzzy-Konsequenzen der Fuzzy-Aktionen bei der den Fuzzy-Zuständen
)
,
(
1
1
s
a
e
)
,
(
1
1
s
a
e
)
,
(
2
1
s
a
e
)
,
(
3
1
s
a
e
)
,
(
3
1
s
a
e
)
,
(
2
1
s
a
e
)
,
(
1
2
s
a
e
)
,
(
1
3
s
a
e
)
,
(
1
3
s
a
e
)
,
(
1
3
s
a
e
)
,
(
2
2
s
a
e
)
,
(
2
3
s
a
e
)
,
(
2
2
s
a
e
)
,
(
2
3
s
a
e
)
,
(
3
2
s
a
e
)
,
(
3
3
s
a
e
)
,
(
3
2
s
a
e
)
,
(
1
3
s
a
e
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
187
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Um die optimale Alternative (etwa unter Anwendung des Niveau-Ebenen-Verfahrens
(5.98)-(5.99)) bestimmen zu können, müssen aus den Fuzzy-Ergebnissen die Fuzzy-
Ergebnis-(Nutzen-)Erwartungswerte berechnet werden. Diese können für i=1,2,3 entweder
aus den Werten der vorstehenden Tabelle berechnet werden durch
( )
( )
(
)
(
)
(
)
[
]
)
,
(
33
.
0
)
,
(
34
.
0
)
,
(
33
.
0
,
)
,
(
33
.
0
)
,
(
34
.
0
)
,
(
33
.
0
/
~
,
~
~
33
.
0
~
,
~
~
34
.
0
~
,
~
~
33
.
0
~
~
3
2
1
1
0
3
2
1
3
2
1
s
a
e
s
a
e
s
a
e
s
a
e
s
a
e
s
a
e
S
A
e
S
A
e
S
A
e
A
e
E
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
+
+
+
+
=
=
=
=
oder aus den zugrundeliegenden Funktionen, denn es ist für i,j=1,2,3
(
)
1
0
)
,
(
,
)
,
(
/
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
~
,
~
~
)
~
(
1
)
~
(
1
=
»¼
º
«¬
ª
-
-
-
=
j
i
j
i
j
i
s
a
L
s
a
L
S
A
e
j
j
S
P
S
P
und für i=1,2,3
( )
( )
(
)
( )
( )
(
) ( )
( )
[
]
[
]
1
0
1
0
3
1
3
1
3
1
3
1
1
0
3
1
1
0
3
1
1
0
3
1
))
(
(
,
))
(
(
/
:
)
,
(
)
5
.
0
5
.
1
(
,
)
,
(
)
5
.
0
5
.
2
(
/
)
,
(
)
5
.
0
5
.
1
(
)
,
(
)
5
.
0
5
.
2
(
/
)
,
(
,
)
,
(
/
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
~
)
,
(
,
)
,
(
/
)
5
.
1
,
5
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2
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2
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1
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1
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ª
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1
1
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)
1
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1
5
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1
1
1
1
1
))
(
(
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e
z
z
z
z
z
z
e
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z
z
z
z
z
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½
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-
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+
+
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-
0.6977
für
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
0.6977
für
))
1
(
(
)
1
(
0
6977
.
0
für
)
2
(
)
2
(
0.6977
für
0
)
1
(
)
1
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
6
6
1
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5
50
6
1
5
50
6
1
5
50
6
1
5
50
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
))
(
(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
s
a
L
s
a
L
s
a
L
a
a
a
a
z
a
e
E
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
188
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
(
)
(
)
(
)
(
)
°
°
¯
°
°
®
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¸¹
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§
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-
-
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-
4022
.
0
für
2
)
3
(
)
2
(
))
1
(
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
4022
.
0
für
)
3
(
2
)
2
(
)
1
(
))
3
(
(
)
2
(
)
1
(
)
3
(
)
3
(
4022
.
0
für
2
)
2
(
)
2
(
4022
.
0
für
2
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
50
2
2
2
50
2
2
2
2
50
2
2
50
2
2
6
4
1
6
1
5
3
50
5
50
6
1
4
6
1
5
50
3
5
50
6
1
5
50
4
1
3
50
4
1
3
50
6
1
5
50
3
2
2
2
1
2
2
2
))
(
(
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a
a
a
e
z
z
z
z
z
z
z
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z
z
z
z
z
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L
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L
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+
-
+
¿
¾
½
¯
®
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+
+
=
-
863
.
0
für
))
1
(
(
)
3
(
)
1
(
))
3
(
(
863
.
0
0.6319
für
)
3
(
))
3
(
(
0.6319
für
0
6319
.
0
für
)
3
(
)
3
(
0.6319
für
0
863
.
0
für
)
1
(
)
1
(
0.863
für
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
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1
6
1
5
50
5
50
6
1
5
50
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1
5
50
6
1
5
50
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
))
(
(
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z
z
z
z
z
z
z
z
z
s
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L
s
a
L
s
a
L
a
a
a
a
a
z
a
e
E
(
)
(
)
)
3
(
)
2
(
2
)
1
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
3
(
)
3
(
)
2
(
)
2
(
2
)
1
(
)
1
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
6
6
1
4
1
5
5
50
3
50
6
1
5
50
6
1
5
50
4
1
3
50
3
3
2
3
1
3
3
50
3
3
3
3
3
50
3
3
3
))
(
(
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z
e
z
z
z
z
z
z
z
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z
z
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(
)
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-
+
-
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-
¿
¾
½
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®
+
-
+
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+
+
=
-
0.671
für
)
3
(
)
2
(
)
3
(
)
2
(
0.671
für
)
3
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
671
.
0
für
)
2
(
)
2
(
0.671
für
0
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
6
6
1
5
5
50
6
1
5
50
6
1
5
50
6
1
5
50
3
3
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
))
(
(
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
s
a
L
s
a
L
s
a
L
a
a
a
a
z
a
e
E
Einsetzen der Werte für a bzw.
ergibt:
(
)
(
)
75
.
1
5
.
3
50
2
1
)
75
.
1
5
.
3
(
50
)
5
.
0
5
.
2
(
))
(
(
1
+
-
+
-
+
+
+
-
=
e
a
e
E
(
)
(
)
¯
®
-
-
+
-
-
+
-
-
=
-
-
0.6977
für
)
3041
.
0
(
)
5
.
2
8
(
67
.
0
0.6977
für
)
0617
.
0
(
)
5
.
2
8
(
33
.
0
)
5
.
0
5
.
1
(
)
)
(
(
2
5
25
2
5
25
1
a
e
E
(
(
))
(
(
))
°
°
¯
°°
®
+
-
-
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-
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+
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+
-
+
+
-
+
-
+
+
-
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-
-
+
+
-
-
+
-
-
+
4022
.
0
für
2
9383
.
0
)
5
.
2
8
(
)
0617
.
0
(
)
75
.
1
5
.
3
(
67
.
0
33
.
0
4022
.
0
für
2
6959
.
1
)
75
.
1
5
.
3
(
6959
.
0
)
5
.
2
8
(
)
33
.
0
(
33
.
1
)
5
.
0
5
.
2
(
))
(
(
)
3
)(
5
.
2
8
(
5
)
3
3
)(
75
.
1
5
.
3
(
25
3
5
3
3
25
3
5
3
3
25
2
a
a
e
e
a
e
E
°
°
°
¯
°°
°
®
-
-
+
+
+
+
-
+
+
-
-
-
=
-
+
+
0.863
für
)
0617
.
0
(
)
5
.
2
8
(
33
.
0
6959
.
0
)
75
.
1
5
.
3
(
)
33
.
0
(
863
.
0
6319
.
0
für
6959
.
0
)
75
.
1
5
.
3
(
)
33
.
0
(
6319
.
0
für
0
)
5
.
0
5
.
1
(
))
(
(
3
5
3
3
25
3
3
25
2
a
e
E
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
189
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
(
(
))
)
2
)(
75
.
1
5
.
3
(
5
2
9383
.
1
)
75
.
1
5
.
3
(
9383
.
0
)
5
.
2
8
(
)
67
.
0
(
1
67
.
1
)
5
.
0
5
.
2
(
))
(
(
2
5
3
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
-
+
+
-
=
e
a
e
E
¯
®
+
+
-
+
+
-
-
-
=
+
+
671
.
0
für
9383
.
0
)
75
.
1
5
.
3
(
)
67
.
0
(
671
.
0
für
6959
.
0
)
75
.
1
5
.
3
(
)
33
.
0
(
)
5
.
0
5
.
1
(
))
(
(
2
5
2
5
3
a
e
E
Wir erhalten die folgenden
-Schnitte für die Fuzzy-Ergebniserwartungswerte der Fuzzy-
Alternativen:
(
)
(
)
[
]
7348
.
1
,
2500
.
116
)
(
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
0298
.
27
)
(
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
9231
.
1
,
4963
.
113
)
(
1
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
5270
.
23
)
(
1
.
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
1294
.
2
,
7600
.
110
)
(
2
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
6514
.
20
)
(
2
.
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
3559
.
2
,
0413
.
108
)
(
3
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
2618
.
18
)
(
3
.
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
6053
.
2
,
3401
.
105
)
(
4
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
2529
.
16
)
(
4
.
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
8808
.
2
,
6565
.
102
)
(
5
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
8680
.
14
)
(
5
.
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
1862
.
3
,
9903
.
99
)
(
6
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0
,
5739
.
13
)
(
6
.
0
2
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0910
.
5
,
3418
.
97
)
(
7
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0900
.
3
,
3539
.
12
)
(
7
.
0
2
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
8931
.
5
,
7108
.
94
)
(
8
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
5757
.
3
,
2028
.
11
)
(
8
.
0
2
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
7968
.
6
,
0973
.
92
)
(
9
.
0
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
9046
.
4
,
1171
.
10
)
(
9
.
0
2
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
]
8211
.
7
,
5015
.
89
[
)
(
1
1
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
5280
.
5
,
0950
.
9
)
(
1
2
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
4158
.
2
,
1356
.
19
)
(
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
7459
.
2
,
8851
.
17
)
(
1
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0865
.
3
,
7215
.
16
)
(
2
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
4377
.
3
,
6326
.
15
)
(
3
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
7997
.
3
,
6086
.
14
)
(
4
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
1727
.
4
,
6419
.
13
)
(
5
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
5568
.
4
,
7260
.
12
)
(
6
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
9067
.
5
,
8560
.
11
)
(
7
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
4625
.
6
,
0277
.
11
)
(
8
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0333
.
7
,
2379
.
10
)
(
9
.
0
3
-
-
=
A
e
E
(
)
(
)
]
6190
.
7
,
4837
.
9
[
)
(
1
3
-
-
=
A
e
E
Da die
-Komponenten für 11 -Niveaus berechnet wurden, sollen für die Bestimmung der
optimalen Fuzzy-Alternative mittels des Niveau-Ebenen-Verfahrens (5.98)-(5.99) auch alle
11
-Niveaus herangezogen werden. Meist genügen jedoch 3 oder 4 -Niveaus, um
ausreichende Ergebnisse zu liefern.
110
110
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
85.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
190
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Für die einzelnen
-Niveaus von
1
~
A
,
2
~
A
,
3
~
A erhält man für i
= 1,2,3, = 0, 0.1,..., 1 die
Werte
( )
( )
2
))
(
(
))
(
(
~
~
i
i
a
e
E
a
e
E
i
A
e
E
H
+
=
¸
¹
·
¨
©
§
:
( )
( )
(
)
9924
.
58
~
~
1
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
7097
.
57
~
~
1
1
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
4447
.
56
~
~
1
2
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
1986
.
55
~
~
1
3
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
9727
.
53
~
~
1
4
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
7686
.
52
~
~
1
5
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
5883
.
51
~
~
1
6
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
2164
.
51
~
~
1
7
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
3019
.
50
~
~
1
8
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
4471
.
49
~
~
1
9
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
6613
.
48
~
~
1
1
-
=
A
e
E
H
.
( )
( )
(
)
5149
.
13
~
~
2
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
7635
.
11
~
~
2
1
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
3257
.
10
~
~
2
2
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
1309
.
9
~
~
2
3
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
1264
.
8
~
~
2
4
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
4340
.
7
~
~
2
5
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
7870
.
6
~
~
2
6
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
7220
.
7
~
~
2
7
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
3892
.
7
~
~
2
8
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
5108
.
7
~
~
2
9
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
3115
.
7
~
~
2
1
-
=
A
e
E
H
.
( )
( )
(
)
7757
.
10
~
~
3
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
3155
.
10
~
~
3
1
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
9040
.
9
~
~
3
2
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
5351
.
9
~
~
3
3
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
2042
.
9
~
~
3
4
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
9073
.
8
~
~
3
5
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
6414
.
8
~
~
3
6
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
8813
.
8
~
~
3
7
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
7451
.
8
~
~
3
8
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
6356
.
8
~
~
3
9
.
0
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
5514
.
8
~
~
3
1
-
=
A
e
E
H
.
Daraus erhält man die Werte
( )
( )
(
)
i
A
e
E
H
~
~
der Fuzzy-Aktionen für die Rangordnung durch
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
¦
=
=
1
,...,
1
.
0
,
0
~
~
~
~
11
1
i
i
A
e
E
H
A
e
E
H
, i
= 1,2,3:
( )
( )
(
)
3002
.
53
~
~
1
-
=
A
e
E
H
,
( )
( )
(
)
8196
8
~
~
2
.
A
e
E
H
-
=
,
( )
( )
(
)
2815
.
9
~
~
3
-
=
A
e
E
H
.
Es ist
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
i
i
A
e
E
H
.
A
e
E
H
~
~
min
8196
8
~
~
}
3
,
2
,
1
{
2
=
-
=
und daher ist es unter den
gegebenen Bedingungen optimal, die Aktion
)
30
,
6
;
20
,
12
(
~
2
=
A
zu wählen und eine
mittlere Menge, d.h. am ehesten zwischen 12 und 20 aber sicher zwischen 6 und 30,
Batterien in Land A als Vorrat zu kaufen und nach Land B mitzunehmen. An zweiter Stelle
rangiert die große Menge
)
50
,
20
;
50
,
30
(
~
3
=
A
deren Wert für mit
( )
( )
(
)
2815
.
9
~
~
3
-
=
A
e
E
H
nur geringfügig über dem von
2
~
A
liegt. Weit abgeschlagen an dritter und letzter Stelle liegt
die kleine Menge
)
10
,
1
;
6
,
1
(
~
1
=
A
mit
( )
( )
(
)
3002
.
53
~
~
1
-
=
A
e
E
H
. Idealerweise wird also
eine mittlere Menge gekauft, sofern dies aus Gründen der Logistik nicht möglich sein
sollte, empfiehlt es sich aber, eine große Menge und nicht eine kleine Menge zu
kaufen.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
191
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-e
( )
( )
1
~
~ A
e
E
( )
( )
3
~
~ A
e
E
( )
( )
2
~
~ A
e
E
Abb. 8.6 Fuzzy-Ergebniserwartungswerte der Fuzzy-Aktionen
8.7.2 Fuzzy-statistische Schätzentscheidung und Fuzzy-Maximum
Im vorhergehenden Abschnitt wurde ein Entscheidungsproblem
111
über den
unscharf gegebenen Bedarf an Batterien dadurch gelöst, indem Fuzzy-Mengen von Inter-
vallen
112
auf der Zeitachse mit etwa gleicher Ausfallswahrscheinlichkeit der Batterien als
unscharfe Umweltzustände des Entscheidungsproblems definiert wurden.
Dabei wurde jedoch nicht berücksichtigt, daß es sich grundsätzlich um ein Schätz-
problem handelt, da der Bedarf an Batterien eben aus den verfügbaren (unscharfen)
Informationen geschätzt werden muß.
In dem Abschnitt 7.2.2
113
über statistische Schätzungen wurden als Gütekriterien
für Schätzfunktionen Unverzerrtheit, Effizienz und Konsistenz, für Schätzwerte Plausi-
bilität, angeführt, über mögliche Verluste aus falschen Schätzungen wurde dabei nicht
gesprochen.
114
Dieses Kriterium soll jetzt ins Spiel kommen.
Ausgehend von der Schätzfunktion
^
)
,...,
(
)
,...,
(
:
U
:
1
1
=
n
n
n
x
x
x
x
für
Parameter
parametrischer Verteilungen
werden nun unsere Aktionen a des
Aktionenraums
$ als Funktionen des Schätzwertes bzw. der Schätzfunktion gesehen, also
))
,...,
(
(
)
^
(
^
1
n
x
x
a
a
a
=
=
, in unserem Beispiel gilt somit
^
50
^
=
a
bzw.
a^
50
^ =
. Außerdem
sollen als Umweltzustände nicht mehr vorgegebene Bereiche der Zeitachse in Betracht
kommen, grundsätzlich kommt jeder (scharfe) Zeitpunkt der Zeitachse als Zeitpunkt des
,,Ausfallens" der Batterie in Betracht, da das Ausfallen von Batterien ein unscharfer
Zeitraum ist, ist die Ausfallswahrscheinlichkeit bis zu einem bestimmten Zeitpunkt durch
111
Vgl. Abschnitt 8.7.1, S. 180.
112
Vgl. Abschnitt 8.6, S. 172 ff.
113
Vgl.Abschnitt 7.2.2, S. 133 ff.
114
Verlustminimierung spielt im Rahmen der klassisch-statistischen Entscheidungstheorie nur eine unter-
geordnete Rolle, ist dagegen zentrales Kriterium der Bayes'schen statistischen Entscheidungslehre (vgl.
etwa Marinell (1987), S.
9 und S. 12, Viertl (1990), S. 109).
Hier auch noch einen Abriß der Grundlagen der Bayes-Statistik bei Vorliegen unscharfer Daten, sowie
eine Einführung in die Bayes'sche statistische Entscheidungstheorie unter Unschärfe zu bringen, würde
den Rahmen dieser Diplomarbeit sprengen. Daher wird hier Verlustminimierung nur aus Sicht der
klassisch-statistischen Entscheidungslehre unter Unschärfe berücksichtigt.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
192
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
eine unscharfe Verteilung gegeben. Für die Definition der Ergebnisfunktion, welche bei
statistischen Entscheidungen im allgemeinen als Verlustfunktion
115
oder auch als Schaden-
funktion
116
bezeichnet wird, soll vorerst die Unschärfe des Batterienpreises außer Betracht
bleiben. Für jeden Zeitpunkt t auf der Zeitachse lautet somit unsere Ergebnisfunktion
117
( )
t
p
t
a
e
a
-
-
=
^
50
,
^
da der Verlust aus Über- und Unterschätzung als gleich hoch eingestuft wird. Hier liegt
insbesondere eine lineare Verlustfunktion vor.
118
Optimal ist nun eine Aktion, welche das zu erwartende Ergebnis maximiert, d.h.
den zu erwartenden Verlust minimiert. Der Verlusterwartungswert wird auch als Risiko-
funktion
119
bezeichnet. Es ist
³
-
-
=
=
0
1
1
)
(
)
,
(
))
^
(
(
)
,
^
(
dt
t
f
t
a
e
a
e
E
a
L
p
p
Da in unserem Beispiel eine Exponentialverteilung mit geschätztem Parameter
^ vorliegt,
lautet die Risikofunktion
³
³
-
-
-
+
-
=
a
a
dt
e
t
dt
e
t
a
L
t
a
t
a
^
50
^
50
^
^
50
0
^
^
50
^
)
(
^
)
(
)
^
,
^
(
wobei
(
)
(
)
³
³
-
-
-
+
-
o
a
a
t
t
a
t
a
dt
e
t
dt
e
t
^
50
^
50
^
^
50
0
^
^
50
^
^
unser bereits im vorigen Abschnitt
120
eingeführtes Schadenintegral darstellt, allerdings mit dem Unterschied, daß nun längs der
gesamten Zeitachse [0,
), und nicht mehr über ein Teilintervall [t
u
,t
o
] integriert wird. Das
Schadenintegral wurde bereits dort berechnet und man erhält durch Einsetzen:
a
o
a
o
a
e
dt
e
t
dt
e
t
a
L
a
t
t
a
t
t
a
^
50
^
50
^
50
^
^
2
^
1
^
50
^
^
50
0
^
^
50
^
)
(
lim
^
)
(
)
^
,
^
(
-
-
-
+
-
=
-
+
-
=
³
³
Durch Differenzieren und Nullsetzen erhält man:
(
)
(
)
(
)
0
2
1
)
^
(
1
^
50
2
^
50
2
^
50
^
^
50
^
^
2
^
50
^
^
2
^
1
^
50
^
=
-
-
=
-
+
-
=
+
-
-
-
-
a
a
a
e
e
e
a
a
a
a
d
d
^
2
ln
^
50
=
opt
a
2
ln
^
50
^
=
a
115
Vgl. etwa Viertl (1990), S.
108.
116
Vgl. Marinell (1987), S.
3, Marinell/Seeber (1993), S. 2 ff.
117
Zu beachten ist hierbei das Vorzeichen: während Verlustfunktionen im allgemeinen als Funktionen mit
positiven Werten angesehen werden, muß bei Transformation in eine negativwertige Ergebnisfunktion die
Verlustfunktion mit 1 multipliziert werden.
118
Vgl. Marinell (1987), S.
127 f., Marinell/Seeber (1993), S. 81 f.
Ein weiterer wichtiger Typ ist die quadratische Verlustfunktion, bei der der Verlust aus einer Fehl-
schätzung mit der Abweichung nicht linear, sondern quadratrisch ansteigt:
( )
(
)
2
^
50
,
^
t
p
t
a
e
a
-
-
=
(vgl.
Marinell (1987), S.
61 und S. 128 f., Marinell/Seeber (1993), S. 82 f., Viertl (1990), S. 108).
119
Vgl. Viertl (1990), S.
108, Marinell (1987), S. 8 f.
120
Vgl. Abschnitt 8.7.1, S. 182.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
193
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Bereits in Abschnitt 8.7.1
121
wurde gezeigt, daß für allgemeines [t
u
,t
o
] die zweite Ableitung
für a0 immer positiv ist, somit ist unsere Risikofunktion an der Stelle
2
ln
^
50
^
=
a
minimal.
Da
opt
a^
von
^ abhängt, schreiben wir auch
^
^
^
opt
opt
a
a
=
.
Durch Ersetzen von â durch
2
ln
^
50
^
^
=
opt
a
in die Verlusterwartungswerts- (Risiko-)
funktion
)
^
,
^
(
a
L
erhält man die Risikofunktion
)
^
,
^
(
^
opt
a
L
von
opt
a^
:
^
2
ln
2
1
^
2
^
1
^
2
ln
^
^
2
^
1
^
0
5
2
ln
0
5
^
0
5
2
ln
0
5
^
)
^
,
^
(
=
+
-
=
+
-
=
/
/
/
/
-
e
a
L
opt
Für die Fuzzifikation dieses Modells zur Bestimmung einer optimalen Fuzzy-
Entscheidung
opt
A
^~
mit minimalem Risiko gehe man von der Fuzzy-Schar von
Dichtefunktionen
[
]
¿
¾
½
¯
®
=
¸¹
·
¨©
§
=
=
-
+
-
1
0
^~
^
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
,
/
^~
)
^
(
,
^~
)
^~
(
~
~
t
e
t
f
aus. Für jede der
scharfen Dichtefunktionen f mit Zugehörigkeitsgrad
)
^
(
)
(
^~
^
^
~
~
=
f
f
zur Fuzzy-Schar
^
~
~
f
kann mit dem eben beschriebenen Verfahren eine optimale Entscheidung
2
ln
^
50
^
^
=
opt
a
berechnet werden. Dieser wird als Zugehörigkeitsgrad
)
^
(
)
(
:
)
^
(
^~
^
^
~
~
^
^~
^~
=
=
f
a
f
opt
A
opt
(8.20)
zunächst der Zugehörigkeitsgrad der Dichtfunktion zur Fuzzy-Schar bzw., speziell für die
unscharfe Exponentialverteilung in unserem Beispiel,
( )
2
ln
^
50
^~
^
^~
)
^
(
^~
=
opt
A
a
pt
zugewiesen.
Die endgültige verlustminimale Fuzzy-Entscheidung erhält man durch Bildung der sup-
Vereinigung über die punktweisen unscharfen Entscheidungen aus (8.20)
)
^
(
sup
)
(
sup
:
)
^
(
^~
)
^
,
^
(
min
)
^
,
^
(
):
^~
supp(
^
^
^
~
~
)
^
,
^
(
min
)
^
,
^
(
):
^~
supp(
^
^
^~
^
^
^
^
^~
a
L
a
L
f
a
L
a
L
opt
A
a
opt
a
opt
opt
f
a
=
=
=
=
(8.21)
Die optimale Fuzzy-Entscheidung
^
~
^~
opt
A
ist somit definiert als:
°
°
¿
°°
¾
½
=
=
°¯
°
®
¸
¹
·
¨
©
§
=
=
=
)
^
(
sup
)
(
sup
)
^
(
)
^
(
,
^
:
^~
^~
)
^
,
^
(
min
)
^
,
^
(
):
^~
supp(
^
^
^
~
~
)
^
,
^
(
min
)
^
,
^
(
):
^~
supp(
^
^
^~
^
^~
^~
^~
^
^
^
^
^~
^~
a
L
a
L
f
a
L
a
L
opt
A
opt
A
opt
opt
a
opt
a
opt
opt
opt
f
a
a
a
A
(8.22)
121
Vgl. Abschnitt 8.7.1, S. 182.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
194
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Speziell für unser Beispiel ist für scharfes
^ :
2
ln
^
50
^
^
=
opt
a
, und wir erhalten:
[
]
[
]
1
0
1
0
^~
75
.
1
5
.
3
1348
.
72
5
.
2
8
1348
..
72
75
.
1
5
.
3
1
5
.
2
8
1
2
ln
50
2
ln
50
,
/
,
/
^~
^~
=
=
+
-
+
-
=
=
=
opt
A
mit Träger
[
]
6099
.
20
,
01684
.
9
^
0
^
=
opt
A
und Kern
[
]
7400
.
13
,
1154
.
13
^
1
^
=
opt
A
Nun kann der unscharfe Ergebniserwartungswert
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
^
~
^~
~
opt
A
e
E
berechnet werden:
[
]
[
]
1
0
1
0
1
1
^~
)
75
.
1
5
.
3
(
)
5
.
0
5
.
1
(
6931
.
0
),
5
.
2
8
(
)
5
.
0
5
.
2
(
6931
.
0
/
)
75
.
1
5
.
3
(
)
5
.
0
5
.
1
(
2
ln
),
5
.
2
8
(
)
5
.
0
5
.
2
(
2
ln
/
)
8
,
5
.
3
;
5
.
5
,
25
.
5
(
)
5
.
1
,
5
.
2
;
2
(
2
ln
2
ln
^~
~
^~
~
=
=
-
+
-
-
-
+
-
=
+
-
-
-
+
-
=
=
-
-
-
=
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
Z
A
e
E
opt
mit den
-Niveaus
(
)
(
)
[
]
6390
.
3
,
8629
.
13
)
^
(
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
9483
.
3
,
1611
.
13
)
^
(
1
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
2698
.
4
,
4766
.
12
)
^
(
2
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
6034
.
4
,
8095
.
11
)
^
(
3
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
9491
.
4
,
1597
.
11
)
^
(
4
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
3069
.
5
,
5272
.
10
)
^
(
5
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
6769
.
5
,
9120
.
9
)
^
(
6
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
0590
.
6
,
3142
.
9
)
^
(
7
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
4532
.
6
,
7337
.
8
)
^
(
8
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
8596
.
6
,
1705
.
8
)
^
(
9
.
0
^
-
-
=
opt
A
e
E
(
)
(
)
[
]
2780
.
7
,
6246
.
7
)
^
(
1
^
-
-
=
opt
A
e
E
Ein Vergleich der beiden Lösungen aus den Methoden des vorhergehenden
Abschnitt und dieses Abschnitts führt zunächst zu dem Ergebnis, daß
2
^~
~
^~
A
A
opt
, und
auch für Träger und Kern gilt:
[
]
[
]
30
,
6
6099
.
20
,
01684
.
9
^
0
2
0
^
=
=
A
A
opt
und
[
]
[
]
20
,
12
7400
.
13
,
1154
.
13
^
1
2
1
^
=
=
A
A
opt
. Die Lösung mittels fuzzy-statistischer Ent-
scheidung liefert somit ein ,,schärferes" Resultat als unsere ursprünglich in Betracht
gezogene mittlere Menge.
Um dieses Ergebnis auch im Hinblick auf den Ergebniserwartungswert, der hier
wiederum gleich dem Nutzenerwartungswert ist, mit dem Ergbnis aus dem vorhergehenden
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
195
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Abschnitt
122
vergleichen zu können, muß für den Fuzzy-Ergbniserwartungswert
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
^
~
^~
~
opt
A
e
E
wiederum der Rangordnungswert mittels Niveauebenenverfahren bestimmt
werden. Es ist:
7510
.
8
^~
~
^~
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
5547
.
8
^~
~
^~
1
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
3732
.
8
^~
~
^~
2
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
2064
.
8
^~
~
^~
3
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
0544
.
8
^~
~
^~
4
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
9170
.
7
^~
~
^~
5
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
7944
.
7
^~
~
^~
6
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
6866
.
7
^~
~
^~
7
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
5934
.
7
^~
~
^~
8
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
5150
.
7
^~
~
^~
9
.
0
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
,
4513
.
7
^~
~
^~
1
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
.
Daraus erhält man schließlich den Wert
9907
.
7
^~
~
^~
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
.
Es ist
9907
.
7
^~
~
^~
-
=
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸¹
·
¨©
§
opt
A
e
E
H
( )
( )
(
)
8196
8
~
~
2
.
A
e
E
H
-
=
, somit wird der
Ergebniserwartungswert weiter erhöht, wenn anstatt der vorher besten Fuzzy-Aktion
2
~
A
die Fuzzy-Aktion
^
~
^~
opt
A
gewählt wird.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-e
( )
( )
1
~
~ A
e
E
( )
( )
3
~
~ A
e
E
( )
( )
2
~
~ A
e
E
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
^
~
^~
~
opt
A
e
E
Abb. 8.7 Fuzzy-Ergebniserwartungswert der optimalen Fuzzy-Aktion
Wenn eine analytische Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion vorliegt, durch
welche die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Zustandsraum bis auf unbekannte
unscharfe Parameter vollständig beschrieben wird, ist es somit vorteilhafter, die optimale
unscharfe Aktion als unscharfe Funktion des unscharfen Parameters abzuleiten. Dies ist im
vorhergehenden Beispiel der Fall, da für die Ausfallswahrscheinlichkeit von Objekten eine
122
Vgl. Abschnitt 8.7.1, S. 190.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
196
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
unscharfe Exponentialverteilung vorliegt, deren unscharfe Parameter durch unscharfe
Stichproben zu schätzen sind.
123
Liegt dagegen nur eine sehr grobe Einschätzung der
Wahrscheinlichkeit der einzelnen Teilbereiche des Zustandsraums (diesfalls der Zeitachse)
vor, wie es in der Formulierung des Beispiels im vorhergehenden Abschnitt
124
dargestellt
wurde, so muß der Zustandsraum (unscharf) unterteilt werden. Allerdings fallen dann im
allgemeinen auch die aufwendigen Berechnungen zur Bestimmung der unscharfen
Konsequenzen, wie sie im vorhergehenden Abschnitt durchgeführt wurden, weg, da hierfür
dann ebenfalls eine grobe Schätzung vorzunehmen ist.
8.8 Spezielle unscharfe betriebswirtschaftliche Entscheidungs-
probleme
Nach diesen Ausführungen über mögliche Unschärfen in den einzelnen
Komponenten eines betriebswirtschaftlichen Entscheidungsmodells und der Darstellung
möglicher Methoden zur Lösung des Problems unter Berücksichtung dieser Unschärfen
soll nun eine kurze Übersicht über einige weitere Vorschläge, die in der Literatur zur
Lösung spezieller betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme bei Unschärfe gemacht
wurden, anschließen.
Besondere Beachtung fand die Möglichkeit der Fuzzifikation von Optimierungs-
problemen. Eine Optimierungsaufgabe besteht in der Maximierung einer Zielgröße unter
vorgegebenen Restriktionen.
125
Ein Entscheidungsproblem kann wird oft dann als Opti-
mierungsproblem formuliert, wenn mehrer konfliktäre Ziele gleichzeitig erreicht werden
sollen. Der Zielkonflikt wird dabei dadurch gelöst, daß ein zum Hauptziel erkorenes Ziel
maximiert wird, während für die anderen Ziele Mindestgrößen vorgegeben werden, die
dann im Modell als Beschränkungen fungieren.
126
Unschärfe kann im Rahmen der
Zielwerte
127
oder
der
Restriktionen,
in
der
Koeffizientenmatrix
oder
im
Beschränkungsvektor
128
, bei linearen Programmen, oder auch bei nicht-linearen
Programmen
129
auftreten. Hauke führt das Verfahren der unscharfen linearen Optimierung
weiter und entwickelt unscharfe Versionen von Multiple Objective Decision Making, d.h.
das gleichzeitige Optimieren mehrerer (unscharfer) Zielfunktionen unter (unscharfen)
Nebenbedingungen,
130
Multiple Attribute Decision Making, d.h. unscharfe Optimierung
123
Vgl. Abschnitt 7.2.2, S. 137 ff.
124
Vgl. Abschnitt 8.7.1, S. 180.
125
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
167 f., Hauke (1998), S. 75 f.
126
Vgl. Hauke (1998), S.
13.
127
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
182 ff., Hauke (1998), S. 83 ff.
128
Vgl. Rommelfanger (1994), S.
171 ff., Hauke (1998), S. 77 ff.
129
Vgl. Zimmermann (1993), S.
71 ff.
130
Vgl. Hauke (1998), S.
97 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
197
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
bei unterschiedlicher Gewichtung der (unscharfen) Ziele,
131
und schließlich Verfahren zum
Fuzzy-Hierarchical Evaluation and Decision Making, bei dem unscharfe Entscheidungen
innerhalb einer Zielhierarchie modelliert werden
132
.
Lösungsansätze für spezielle Optimierungsprobleme unter Anwendung der
unscharfen Optimierung wurden unter anderem entworfen für Optimierungsentscheidungen
im Industriebereich in Zusammenhang mit Systemen zur Produktionsplanung und
-steuerung (PPS).
133
Vorschläge für Lösungen mit Hilfe unscharfer Optimierung gibt es zur
Ablaufplanung
134
, zur Gestaltung der Auftragsabwicklung
135
und Auftragsreihenfolge
136
oder auch zur Planung von Instandhaltungsmaßnahmen
137
, oder etwa speziell für
Optimierungsentscheidungen in der Automobilmontage
138
. Auch Vorschläge für die
Planung im Schienenverkehr mit Fuzzy-Optimierung werden vorgestellt.
139
Zur Umschreibung von Unsicherheiten, welche bei Problemen im Rahmen der
Break-Even-Analyse, vor allem bei der Schätzung des Absatzes, aber auch bei der
Schätzung der Kosten auftreten, kommen bei in einem Ansatz von Mißler-Behr/Lechner
140
unscharfe Mengen zur Anwendung. Dieses Modell führt zu unscharfen Gewinnen, die die
Realität besser abbilden als die im klassischen Modell angenommenen scharfen Gewinne,
welche auf eindeutigen Informationen beruhen; auch im Vergleich zum stochastischen
Modell erweist sich das Fuzzy-Modell als überlegen.
Das Problem der ungenauen Schätzung von zukünftigem Größen greift Jenßen
141
für die Bestimmung eines unscharfen Kapitalwerts auf. Sowohl für künftige Einzahlungen,
als auch für die voraussichtliche Nutzungsdauer der betrachteten Investition, als auch für
den künftigen Zinssatz berücksichtigt er eine pessimistische, eine höchstmögliche und eine
optimistische Schätzung, kombiniert sie in Form von triangulären Fuzzy-Zahlen und
bestimmt daraus einen unscharfen Kapitalwert.
Einsatzmöglichkeiten von Fuzzy-Inferenz-Systemen
142
gibt es ferner etwa für die
der Beurteilung von Lagerhaltungspolitiken
143
oder für ,,weiche" Prognosen
144
.
131
Vgl. Hauke (1998), S.
115 ff.
132
Vgl. Hauke (1998), S.
135 ff.
133
Vgl. Schmidt (1997), S.
55 ff.
134
Vgl. Appelrath/Sauer/Suelmann (1997), S.
71 ff.
135
Vgl. Becker/Rehfeldt/Turowski (1997), S.
85 ff.
136
Vgl. Bitterlich/Fröbel/Lull (1998), S.
99 ff.
137
Vgl. Schubert/Strackeljan (1998), S.
301 ff.
138
Vgl. Felix (1997), S.
41 ff.
139
Vgl. Fay/Schnieder (1998), S.
217 ff.
140
Vgl. Mißler-Behr/Lechner (1996), S.
2 ff.
141
Vgl. Jenßen (1997), S.
245 ff.
142
Fuzzy-Inferenzsysteme zur Entscheidungsunterstützung wurden in Abschnitt 4.2.7, S.
52 ff. als Entschei-
dungshilfe für Wirtschaftsprüfer zur Durchführung von analytischen Prüfungshandlungen im Rahmen der
Jahresabschlußprüfung kurz vorgestellt.
143
Vgl. Kalonda/Kuhl (1997), S.
136 ff.
144
Vgl. Robra-Bissanz/Bodendorf (1997), S.
287 ff., Helmeke/Hönerloh (1997), S. 143 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
198
Fuzzy-Entscheidungsmodelle
Zum Abschluß dieses Kapitels seien noch einige Fuzzy-Techniken erwähnt, die
nicht direkt Entscheidungsprobleme unter Unschärfe abbilden, aber dennoch im weitesten
Sinn mit betriebswirtschaftlicher Entscheidungsunterstützung zu tun haben.
Ein Unternehmensplanspiel, bei dem qualitative und schwer quantifizierbare
Größen, welche bei vielen Planspielen nicht oder wenig berücksichtigt werden, mit Hilfe
von Fuzzy-Mengen modelliert werden, wird von Tietze/Nissen
145
vorgeschlagen.
Eine
weitere
Fuzzy-Methode,
welche
in
der
betriebswirtschaftlichen
Entscheidungsforschung Bedeutung erlangen konnte, ist Fuzzy-Clustering; es gibt unter
anderem
Vorschläge
für
die
Anwendung
zur
Marksegmentierung
146
,
zur
Standortplanung
147
oder zur Szenarioanalyse im strategischen Controlling
148
.
Unter dem Begriff des Soft-Computing werden Fuzzy-Systeme, neuronale Netze
evolutionäre Algorithmen und einige probabilistische Verfahren zusammengefaßt.
149
Bedeutsam sind Koppelung verschiedener Methoden des Soft-Computing, insbesondere
von Bedeutung sind dabei Neuro-Fuzzy-Systeme, welche die Vorteile von Fuzzy-Systemen
mit der Lernfähigkeit, der bedeutendsten Eigenschaft von neuronalen Netzen, kombinieren
und ihre Parameter aufgrund von Lernprozessen selbständig adaptieren können.
150
Auch Ansätze zur Verwendung von Neuro-Fuzzy-Systemen in betriebswirtschaft-
lichen Anwendungen werden vorgestellt: so etwa zur Unternehmensbeurteilung und
Kreditwürdigkeitsanalyse
151
, zur Absatz-Prognose
152
oder in der Finanzanalyse, etwa zur
täglichen Prognose des Aktienindex DAX
153
.
145
Vgl. Tietze/Nissen (1998), S.
341 ff.
146
Vgl. Sandbrink (1997), S.
273 ff., Sandbrink (1998), S. 285 ff.
147
Vgl. Vojdani/Lazar (1997), S.
245 ff.
148
Vgl. Mißler-Behr (1997), S.
261 ff.
149
Vgl. Nauck/Kruse (1997), S.
19.
150
Vgl. Nauck/Kruse (1997), S.
19, Nauck/Kruse (1998), S. 35 ff.
151
Vgl. Pfeifer (1998), S.
213 ff.
152
Vgl. Müller/Wendisch (1998), S.
145 ff.
153
Vgl. Siekmann/Neuneiner/Zimmermann/Kruse (1998), S.
161 ff.
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
199
Schlußbemerkung
9 Schlußbemerkung
Die entscheidungsorientierte Betriebswirtschaftslehre sieht Betriebswirtschaften als
vielschichtige Gebilde, deren Aufgaben in der Erstellung und Verwertung von Leistungen
bestehen. Betriebswirtschaftliches Handeln ist Handeln von Individuen, Gruppen oder
Organisationen Betriebswirtschaftliches Handeln ist das Resultat von Entscheidungen.
Aufgabe der entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre ist es, Ursache-Wirkungs-
Zusammenhänge im betriebswirtschaftlichen Kontext zu erklären und daraus konkrete
Handlungsempfehlungen für die Akteure im Unternehmen abzuleiten. Ziel ist es, Modelle
zu entwickeln, die es erlauben, die jeweils günstigste Handlungsalternative im Hinblick auf
die Unternehmensziele zu ermitteln.
In
betriebswirtschaftliche
Entscheidungen
kann
auf
zweierlei
Weise
Unbestimmtheit einfließen. Einerseits arbeiten Betriebswirtschaften nicht isoliert, sondern
sind in ihre Umwelt eingebunden und von dieser abhängig. Da unternehmerische
Entscheidungen im allgemeinen in die Zukunft gerichtet sind, ist es auch nicht möglich die
Rahmenbedingungen der Umwelt für die Entscheidung exakt zu prognostizieren, sondern
es müssen mehrere Varianten in Betracht gezogen werden, da über die Zukunft
Unsicherheit besteht. Sofern es gelingt, aufgrund statistischer Gesetzmäßigkeiten für diese
Varianten zumindest Eintrittswahrscheinlichkeiten anzugeben, liegt eine Entscheidung
unter Risiko vor, andernfalls besteht Ungewißheit.
Als zweite Ausprägung der Unbestimmtheit kommt Unschärfe ins Spiel. Unschärfe
beruht im Gegensatz zur Unsicherheit nicht auf Unwissenheit über zukünftige Ereignisse,
sondern leitet sich aus der Problematik der Beschreibung hochkomplexer Sachverhalte
mittels simpler Zahlen ab.
Es sind Menschen, die in Betriebswirtschaften handeln und entscheiden.
Menschliches Handeln ist Forschungsobjekt der Sozialwissenschaft, die in der entschei-
dungsorientierten Betriebswirtschaftslehre als Nachbarwissenschaft angesehen wird.
Menschliches Handeln und Denken ist niemals punktgenau und exakt, sondern geprägt von
vagen Wahrnehmungen und Vorstellungsinhalten. Dies manifestiert sich vor allem in der
Umschreibung von exakt meßbaren Größen, aber auch von mehrdimensionalen qualita-
tiven Größen mittels unscharfer linguistischer Begriffe.
Die Abbildung von betriebswirtschaftlichen Sachverhalten durch Zahlen ist vor
allem Aufgabe des betrieblichen Rechnungswesens, insbesondere die wertmäßige
Erfassung von Vermögensgegenständen. Die rechtlichen Rahmenbedingungen für die
Bewertung sind durch unscharfe Formulierungen gekennzeichnet, unscharf sind
Nutzungsdauern abnutzbarer Vermögensgegenstände aufgrund sukzessiven Verlusts der
Funktionsfähigkeit, unscharf durch permanente Schwankungen sind auch Marktpreise und
Börsenkurse von Finanzinstrumenten. Dieser Unschärfen muß man sich bewußt sein, wenn
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
200
Schlußbemerkung
betriebliche Entscheidungen auf der Grundlage von Daten aus dem Rechnungswesen
getroffen werden sollen.
Während das durch die Zukunftsbezogenheit bedingte Risiko im Standardmodell
der klassischen Entscheidungstheorie in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
berücksichtigt wird, wird mit Unschärfe meist so umgegangen, als ob sie nicht da wäre.
Dabei stellt die Theorie der Fuzzy-Mengen effiziente Algorithmen zur Beschreibung dieser
Unschärfephänomene im betriebswirtschaftlichen Bereich zur Verfügung. Ignorieren der
Unschärfe und Beschreibung unscharfer Sachverhalte mit scharfen Zahlen kann zu falschen
Entscheidungen führen, da dadurch, insbesondere wenn es um die Festlegung von
Bereichsgrenzen geht, die Gefahr besteht, daß ähnliche Sachverhalte ungleich und sehr
stark abweichende Sachverhalte gleich behandelt werden. Oft wird vorgeschlagen,
Unschärfen ebenso wie Unsicherheiten mit stochastischen Modellen zu beschreiben. Doch
ist aufgrund der wesentlich strikteren Axiomatik der Wahrscheinlichkeitstheorie der
Rechenaufwand dort viel höher als bei Fuzzy-Modellen, und es läßt sich dadurch keine
Verbesserung der Resultate erzielen; da sich Unschärfe eben inhaltlich von Zufälligkeit
unterscheidet, ist es nicht erforderlich, daß ein Modell zu ihrer Erfassung den Axiomen der
Wahrscheinlichkeitstheorie genügt. Der wesentlich schwerwiegendere Kritikpunkt besteht
aber darin, daß, insbesondere im betriebswirtschaftlichen Kontext, Risiko und Unschärfe
meist gekoppelt auftreten. Es ist nicht günstig, in einem Modell für zwei inhaltlich
verschiedene Dinge dieselbe Beschreibung zu verwenden, zumal da dann erst geklärt
werden müßte, wie die Wahrscheinlichkeiten auf verschiedenen Ebenen miteinander zu
kombinieren wären. Insbesondere bestände dabei die Gefahr der Vermischung der
Wahrscheinlichkeiten von Unschärfe und Risiko. Durch vermehrten Rechenaufwand
könnten also unter Umständen schlechtere Ergebnisse erzielt werden. Wie man in der
Arbeit sehen konnte, ist der Rechenaufwand bereits beim Aufeinandertreffen von
Unschärfe und Wahrscheinlichkeit sehr hoch, umso höher würde er bei Durchführung von
Berechnungen mit Wahrscheinlichkeiten verschiedener Stufen, und umso größer würde die
Gefahr von Verwechslungen.
Grundbestandteile eines wohlstrukturierten Entscheidungsproblems sind ein
Entscheidungsfeld und ein Zielsystem. Eine Menge zur Auswahl stehender Handlungsalter-
nativen, eine Menge möglicher Umweltzustände, deren Eintrittswahrscheinlichkeiten
zumindest geschätzt werden können, sowie eine Ergebnisfunktion, die jeder Kombination
aus Handlungsalternative und Umweltzustand eine Konsequenz aus einer ebenfalls
vorgegebenen
Konsequenzenmenge
zuweist,
bilden
das
Entscheidungsfeld
eines
Entscheidungsproblems. Dazu kommt das Zielsystem der Unternehmung, welches durch
eine Nutzenfunktion repräsentierbar sein soll. Wohlstrukturierte Entscheidungsprobleme
können in einer Entscheidungsmatrix abgebildet werden, Aggregation der Nutzenwerte der
Handlungskonsequenzen liefert den Nutzenerwartungswert einer Handlungsalternative,
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
201
Schlußbemerkung
diejenige Handlungsalternative mit dem höchsten Nutzenerwartungswert wird dem
Entscheidungsträger als optimale Aktion vorgeschlagen.
In allen Komponenten eines Entscheidungsproblems ist Unschärfe möglich. Es sind
Menschen, die in Betriebswirtschaften Aktionen setzen, Menschen machen einen
wesentlichen Teil der Umwelt des Unternehmens aus, Menschen schätzen die
Eintrittswahrscheinlichkeiten von Umweltzuständen ein, Menschen tragen zu den
Konsequenzen der Handlungen bei Vorliegen bestimmter Umweltzustande bei, und
Menschen sind es schließlich, deren Ziele durch die Aktionen erreicht werden sollen, und
die einen Nutzen aus der Entscheidung ziehen. Somit sind alle Komponenten eines
Entscheidungsproblems menschlichem Denken und menschlichen Vorstellungsinhalten
unterworfen und damit aufgrund der Unschärfe dieser Vorstellungsinhalte unscharf.
Es wurde betont, daß Unschärfen im Rechnungswesen sowohl bei der Erstellung als
auch bei der Interpretation relevant sind. Während aus entscheidungstheoretischer Sicht
Unschärfe bei der Erstellung der Werke des Rechnungswesens Unschärfe im
Aktionenraum bedeutet, führt Unschärfe bei der Informationsbeschaffung aus diesen zu
unscharf abgegrenzten Umweltzuständen oder unscharf beschriebenen Handlungskonse-
quenzen. Da das Zielsystem einer Unternehmung häufig im Rechnungswesen durch ein
Kennzahlensystem repräsentiert wird, läßt sich aufgrund der Unschärfe der Kennzahlen
auch nur unscharf auf den Grad der Zielerreichung durch eine Aktion und den damit
verbundenen Nutzen schließen.
Die Theorie der Fuzzy-Mengen, auf welche prinzipiell jeder Teilbereich der
Mathematik erweitert werden kann, ermöglicht es, auch Entscheidungsprobleme, die in
mindestens einem Bestandteil unscharf sind, im Entscheidungsmodell für wohlstrukturierte
Entscheidungsprobleme abzubilden und mit Hilfe eines auf Fuzzy-Mengen erweiterten
Algorithmus zu lösen. Dabei führt Unschärfe in einem der Inputs auch zu einer unscharfen
Lösung. Sofern eine scharfe Lösung erforderlich ist, muß im Anschluß an die Lösung des
Problems noch ein Defuzzifizierungsschritt gesetzt werden. Vielfach ist eine unscharfe
Entscheidung aber auch erwünscht, insbesondere dann, wenn die Entscheidung als Input
für eine weitere Fuzzy-Entscheidung dienen soll.
Eine besondere Rolle im Rahmen der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre
unter Unschärfe kommt der Fuzzy-Statistik zu. Einerseits wird mit Hilfe von Fuzzy-
Statistik die dem eigentlichen Entscheidungsproblem vorgelagerte Frage, welche
(unscharfen) Umweltzustände als entscheidungsrelevant angesehen werden sollen, und mit
welchen (unscharfen) Wahrscheinlichkeiten diese Zustände eintreten, beantwortet.
Andererseits stellt die Fuzzy-Statistik selbst effiziente unscharfe Algorithmen zur Lösung
des eigentlichen Entscheidungsproblems zur Verfügung, sofern sich das Eintreten der
Umweltzustände durch einen stochastischen Prozeß, dessen Verteilung bis auf einen
unbekannten unscharfen Parameter bekannt ist, beschreiben läßt, und die unscharfe
Fuzzy-Unternehmensentscheidungen
202
Schlußbemerkung
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Zustandsraum mit Hilfe von unscharfen
geschätzten Parametern durch eine analytische Funktion wiedergegeben werden kann.
Wenn schon ein Modell zur Unterstützung von unternehmerischen Entscheidungen
herangezogen werden soll, so ist es wichtig zu beachten, daß das Modell auch tatsächlich
das zu lösende Problem beschreibt. Wie gezeigt wurde, ist Unschärfe in Unternehmungen
omnipräsent, und somit auch für Entscheidungen von Bedeutung. Schlichtes Wegmodel-
lieren der Unschärfe kann dazu führen, daß vage Zusammenhänge entweder übersehen
oder überbewertet werden. Daher sollten die Methoden zur Beschreibung von Unschärfe
auch in Modellen zur Entscheidungsunterstützung Einzug finden.
Doch nach all diesen Ausführungen, in denen für eine Erweiterung betriebswirt-
schaftlicher Entscheidungsmodelle auf Fuzzy-Daten Partei ergriffen wurde, muß doch
eingeräumt werden, daß sich dadurch der Rechenaufwand bei der Lösung des Problems im
Modell wesentlich erhöht, insbesondere dann, wenn Unschärfe in mehreren Komponenten
des Modells auftritt und wenn Unschärfe mit Risiko gekoppelt ist, was bei unternehme-
rischen Entscheidungen im allgemeinen der Fall ist. Es sei also dem Entscheidungsträger
überlassen, inwieweit Unschärfe bei der Lösung des Problems mitberücksichtigt werden
soll. Es liegt also auch hier wiederum ein Entscheidungsproblem vor, bei dem der
zusätzliche Nutzen durch die Verbesserung der Entscheidung aufgrund der Anwendung
von Fuzzy-Entscheidungsmodellen dem zusätzlichen Rechenaufwand und den damit
verbundenen Mehrkosten gegenübergestellt werden muß.
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