Leseprobe
Vorwort
Die vorliegende Arbeit mit dem Titel ,,kompakte topologische Räume" stellt eine Abhand-
lung über den Begriff der Kompaktheit in einem Topologischen Raum dar. Als Hauptrefe-
renz soll uns [Rin75] dienen. Was wir unter einem topologischen Raum verstehen wollen,
sowie die für diese Arbeit relevanten Begriffe werden in Kapitel 1 ,,Einführung und Nota-
tion" anschaulich an Beispielen dargestellt. Als Grundlage dieser Arbeit dient uns das
Definition (Lemma von Zorn). Wenn jede Kette K X eine obere Schranke in X hat,
dann gibt es in X ein maximales Element.
Wegen der bekannten Äquivalenz zum Auswahlaxiom, versetzen wir uns damit auch in die
komfortable Lage aus Mengen gewisse Elemente auswählen zu können. Ferner setzen wir
Kenntnisse im Umgang mit Mengen und allgemein mit metrischen Räumen voraus und nut-
zen diese an vereinzelten Stellen aus. In Kapitel 2 ,,Kompaktheit" führen wir dann den re-
levanten Begriff der Kompaktheit ein und studieren seinen Einfluss auf die in Abschnitt 1.3
eingeführten Trennungseigenschaften. Seine Tragweite wird in Satz 2.12 formuliert werden.
Nach diesem Abschnitt werden wir Kompaktheit mit einer gewissen Endlichkeitseigenschaft
kennen gelernt haben. Das motiviert zu der Vermutung, dass wir in der Unendlichkeit und
damit bei Produkten wie sie in Abschnitt 1.2 ,,Erzeugung topologischer Räume" eingeführt
werden, nicht erwarten kompakte Strukturen vorzufinden. Doch das Gegenteil ist der Fall,
das fomulieren wir in Satz 2.21, dem Satz von Tychnoff. Den Beweis führen wir dabei
in Anlehnung an [Loo53], in dem wir das Lemma von Zorn 2.20 ausnutzen und dieses
auf Ketten von Mengen mit endlicher Durchschnittseigenschaft anwenden werden. Vorab
führen wir alle dafür relevanten Begriffen ein.
Die Arbeit schließt letztlich mit einem ,,Ausblick: Metrisierbarkeit" von topologischen Räu-
men. Das Wort Ausblick wurde gewählt, da wir uns hier weniger mit der Metrisierbarkeit
als solche befassen - dafür fehlen Sätze wie der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn -, viel-
mehr diskutieren wir die Rolle der Kompaktheit in metrischen Räumen und beleuchten
einige Konsequenzen die sie mitbringt. So können wir indirekt folgern, dass auf einen kom-
pakten Raum der bestimmte Eigenschaften nicht mitbringt, sinnvoll keine Metrik definiert
werden kann, welche die gegebene Topologie induziert.
Insgesamt lässt sich sagen, dass diese Arbeit keinen Anspruch auf Vollständigkeit erhebt,
was sich durch einen Blick in das Kapitel VI von [Rin75] leicht einsehen lässt. Dennoch sind
hier wesentliche und interessante Ergebnisse zusammengefasst, womit ein solider Überlick
über die Thematik gewährleistet werden kann.
II
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung und Notation
1
1.1
Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Erzeugung topologischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Eigenschaften topologischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Kompaktheit
9
2.1
Definition und Eigenschaften
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Der Satz von Tychonoff
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Ausblick: Metrisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
21
23
Literaturverzeichnis
Stichwortregister
25
III
1 Einführung und Notation
Dieses Kapitel soll dem Leser zum einen in die Grundlagen für die folgenden Betrachtungen
einführen und zum anderen mit der verwendeten Notation vertraut machen. Dabei wird
im Abschnitt 1.1 ,,Topologische Räume" sowie 1.2 ,,Erzeugung topologischer Räume" der
Rahmen für diese Untersuchungen gelegt. In Abschnitt 1.3 ,,Eigenschaften topologischer
Räume" liegt der Fokus der Diskussion auf Trennungseigenschaften. Ebenso wird hier auch
der Begriff der Stetigkeit definiert, soweit dieser im weiteren Verlauf - wie beim Beweis des
Satzes von Tychonoff - benötigt wird.
Um Missverständnissen vorzubeugen, sei bezüglich der Notation erwähnt, dass einem to-
pologischen Raum eine nicht leere Menge zurgunde gelegt ist. Diese zu den topologischen
Räumen gehörenden Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben vom Ende des Al-
phabets wie ,,X, Y " benannt, Teilmengen von ihnen hingegen mit Buchstaben wie ,,A, O, U ".
Dabei sei angemerkt, dass es sich bei ,,A" oftmals um eine abgeschlossene Teilmenge han-
delt. Für offene Mengen hingegen wird vornehmlich ,,O" und für Umgebungen ,,U " verwen-
det. Sollen diese Mengen ein bestimmtes Element x X enthalten, so wird dies z. B. mit
,,O
x
" kenntlich gemacht. Analog verwenden wir bei Teilmengen A X mit der Eigenschaft
A O die Bezeichnung ,,O
A
". Für eine Topologie schreiben wir kleine griechische Buch-
staben wie ,, " und entsprechend ,,
X
", wenn angedeutet werden soll, dass die Topologie
,, " zur Menge X gehört.
1.1 Topologische Räume
Wie vorab erwähnt, liegt einem topologischen Raum eine nicht leere Menge X zugrunde.
Wenn man eine Definition eines topologischen Raum in einem Buch wie [Bar07] sucht,
findet man oft ein Äquivalent zur folgenden
Definition 1.1 (topologischer Raum). Es sei X = eine Menge. Eine Familie
P
(X) := {A : A X} heißt Topologie, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
1. es gilt , X ,
2. für je zwei Mengen O
1
, O
2
gilt O
1
O
2
und
3. für jede beliebige Familie (O
i
)
iI
aus gilt, dass
iI
O
i
.
Erfüllt diese Bedingungen bezeichnen wir das geordnete Paar (X, ) als topologischen
Raum. Elemente aus bezeichnen wir als offene Mengen. Das Komplement einer offenen
Menge bezeichnen wir als abgeschlossene Menge.
1
1 Einführung und Notation
Betrachten wir diese Definition, so ist mit der zweiten Forderung lediglich gesichert, dass
der Durchschnitt zweier offener Mengen jeweils wieder in der Topologie enthalten ist. Diesen
Umstand wollen wir mit dem folgenden Lemma auf den endlichen Schnitt verallgemeinern.
Lemma 1.2. Es sei (X, ) ein topologischer Raum und O
1
, . . . , O
n
. Dann ist auch
n
i=1
O
i
.
Beweis: Seien O
1
, . . . , O
n
. Wir zeigen die Behauptung induktiv über n. Für den
Fall n = 1 ist die Behauptung trivial. Es sei nun
n-1
i=1
O
i
, wir müssen zeigen,
dass auch
n
i=1
O
i
enthalten ist. Betrachten wir
n
i=1
O
i
=
n-1
i=1
O
i
=:B
O
n
,
so ist B nach der Induktionsvoraussetzung. Damit schneiden wir lediglich zwei
Mengen aus . Die Behauptung folgt damit aus der zweiten Forderung der Definiti-
on 1.1.
Um den Begriff des topologischen Raumes anschaulicher zu gestalten, geben wir nun zwei
Beispiele, auf die wir auf Grund ihrer Eigenschaften im Verlauf dieser Arbeit zurück kom-
men werden.
Beispiel 1.3. Es sei X = eine Menge, dann wird mit
kof
:= {} {O P(X) : O
c
:=
X \ O ist endlich} eine Topologie definiert, die so genannte kofinite Topologie.
Beweis: Die leere Menge ist per Definition in
kof
enthalten. Ferner gilt X \ X =
und die leere Menge ist insbesondere eine endliche Menge, also X
kof
.
Es seien nun O
1
, O
2
kof
. Dann ist (O
1
O
2
)
c
= O
c
1
O
c
2
endlich, da sie Vereinigung
endlich vieler endlicher Mengen ist. Also O
1
O
2
kof
.
Es sei nun (O
i
) mit i I eine Familie von Mengen aus
kof
. Dann ist
iI
O
i
c
=
iI
O
c
i
endlich, weil der beliebige Schnitt endlicher Mengen wieder endlich ist. Also
ist
iI
kof
. Insgesamt zeigt sich
kof
als Topologie.
Bemerkung 1.4. Ist X endlich, so erhalten wir für
kof
aus Beispiel 1.3 die Potenzmen-
ge P(X). Dass mit der Potenzmenge auch für (über)abzählbare Mengen eine Topologie
gegeben ist, lässt sich leicht einsehen. Wir bezeichnen daher
disk
:= P(X) als diskrete
Topologie.
Beispiel 1.5. Es sei (X, ) ein topologischer Raum und A X eine beliebige Teilmenge.
Dann ist mit dem Paar (A,
A
), wobei
A
:= {A O : O }, ein topologischer Raum
gegeben. Diese Topologie heißt im folgenden die Spurtopologie von in A. Dass es sich
tatsächlich um eine Topologie handelt lässt sich ebenfalls leicht einsehen.
2
1.1 Topologische Räume
Da wir nun über den Begriff der offenen Menge verfügen und einige Beispiele topologi-
scher Räume kennengelernt haben, wollen wir nun den Begriff der Umgebung und den des
Abschlusses einer Menge in einem topologischen Raum einführen, siehe z. B. [Rin75, S. 47
bzw. S. 63].
Definition 1.6 (Umgebung). Es sei (X, ) ein topologischer Raum und A X eine
beliebige Menge. Wir bezeichnen eine Menge U
A
X genau dann als eine Umgebung
von A, wenn ein O existiert, sodass A O U
A
.
Definition 1.7 (Abschluss). Es sei (X, ) ein topologischer Raum und A X eine beliebi-
ge Menge. Ein Punkt x X heißt genau dann Berührpunkt von A, wenn jede Umgebung
U von x mindestens einen Punkt aus A enthält. Die Menge A der Berührpunkte von A
bezeichnen wir als Abschluss von A.
Bemerkung 1.8. Betrachten wir die Definition 1.7, so ist jeder Punkt x X der ein Berühr-
punkt von A ist, auch einer von A. Insbesondere gilt A = A: Sei U
x
beliebige Umgebung
von x. Sei O
x
offen mit x O
x
U . Dann ist O
x
ebenfalls eine Umgebung von x. Da x
ein Berührpunkt von A ist, ist O
x
A = . Sei x
0
aus diesem Schnitt, so ist dieser defini-
tionsgemäß ein Berührpunkt von A und O
x
ist eine Umgebung von x
0
, also ist O
x
A =
und somit ist auch U
x
A nicht leer. Da U
x
beliebig war folgt die Behauptung.
Wir können uns auch davon überzeugen, dass der Abschluss einer Menge auch eine abge-
schlossene Menge ist:
Lemma 1.9. Die in der Situation von Definition 1.7 definierte Menge A ist abgeschlossen.
Beweis: Es reicht zu zeigen, dass X \ A offen ist. Sei also x X \ A, dann ist x
kein Berührpunkt von A. Also existiert eine Umgebung U
x
um x mit A U
x
= .
Nach Definition 1.6 existiert also ein O
x
mit x O
x
U
x
. Betrachten wir nun
O :=
xX\A
O
x
als Vereinigung solcher offenen Mengen, so gilt per Konstruktion
O A = und X \ A = O. Die Menge ist nach der dritten Forderung der Definiti-
on 1.1 offen.
Bemerkung 1.10. Für beliebige Teilmengen B X eines Topologischen Raumes (X, )
gilt:
B =
X\A
BA
A.
Nach Lemma 1.9 ist B eine abgeschlossene Menge die B umfasst, das liefert ,,". Sei A X
eine beliebige abgeschlossene Menge mit B A und x X \ A ein beliebiger Punkt. So
ist dieser, da X \ A offen ist, kein Berührpunkt von B. Also
B (X \ A) = und somit
B A.
3
1 Einführung und Notation
1.2 Erzeugung topologischer Räume
In diesem Abschnitt werden wir uns mit der Erzeugung topologischer Räume beschäftigen,
was uns zu Begriffen wie Basis und Subbasis führen wird. In Anlehnung an [Jän08, S. 15]
wollen wir nun den Begriff der Basis einer Topologie erklären.
Definition 1.11 (Basis einer Topologie). Es sei (X, ) ein topologischer Raum. Eine Teil-
menge B heißt Basis der Topologie , wenn für alle O eine Teilmenge B B
mit O =
BB
B existiert
Definition 1.12 (2. Abzählbarkeitsaxiom). Ein topologischer Raum (X, ) genügt genau
dann dem 2. Abzählbarkeitsaxiom, wenn er eine abzählbare Basis besitzt.
Mit dem folgenden Satz wollen wir Aufschluss darüber bekommen, welche Mengen B als
Basen von Topologien auftreten. Man vergleiche dazu etwa [Rin75, S. 27].
Satz 1.13. (Vgl. [Bar07, S. 85 f.]) Es sei X eine nichtleere Menge und B P(X) ein
System von Teilmengen von X. Dann ist B genau dann eine Basis einer Topologie auf
X, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. Zu jedem x X existiert ein B B, sodass x B,
2. für je zwei Mengen B
1
, B
2
B und x B
1
B
2
existiert B B, sodass x B
B
1
B
2
.
Beweis: "": Es sei B eine Basis der Topologie . Ist nun ein x X vorgegeben,
so existiert wegen X nach Definition 1.11 eine Teilmenge B B, sodass X =
BB
B. Insbesondere ist x dann in einem B B .
Es seien nun Mengen B
1
, B
2
B vorgegeben. Da B , ist nach Definition 1.1
insbesondere auch B
1
B
2
. Weil B eine Basis ist, existiert eine Teilmenge
B
B, so dass B
1
B
2
=
BB
B. Also existiert für alle x B
1
B
2
ein B B
mit x B B
1
B
2
.
,,": Es sei nun B P(X) ein System mit den geforderten Eigenschaften. Wir
definieren die Menge
B
:= {O P(X) : es gibt B B, sodass O =
BB
B}.
Mit 1. ergibt sich X
B
und entsprechend erhält man mit B := auch
B
.
Für eine beliebige Familie (O
i
)
iI
aus
B
ist nun nach Konstruktion jedes O
i
dar-
stellbar in der Form O
i
=
BB
i
B. Damit ist natürlich auch
iI
O
i
=
iI
(
BB
i
B) =
B
iI
B
i
B
B
.
4
Ende der Leseprobe aus 24 Seiten
- Arbeit zitieren
- Marcel Dahlmann (Autor:in), 2014, Die Kompaktheit im topologischen Raum, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/281965
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