Das Verständnis zur Bruchrechnung angemessen fördern. Analyse von Materialien zur Bruchrechnung aus mathematikdidaktischer Sicht


Examensarbeit, 2013

102 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Bruchrechnung in der Schule
2.1 Argumente für und gegen die Bruchrechnung mit gemeinen Bruchzahlen
2.2 Bruchrechnung in Bildungsstandards und Kerncurriculum

3. Förderansätze für das Rechnen mit Brüchen
3.1 Exkurs: Konstruktivismus als didaktisches Prinzip
3.2 Grundvorstellungen
3.2.1 Grundvorstellungen zu Brüchen
3.2.2 Grundvorstellungen zu Strategien und Operationen mit Brüchen
3.2.3 Vorstellungsumbrüche bei der Zahlbereichserweiterung
3.3 Handlungsorientierung
3.3.1 Theorie der Handlungsorientierung
3.3.2 Handlungsorientierung im Mathematikunterricht
3.4 Metakognition
3.5 Handlungsorientierung, Metakognition und Grundvorstellungen als ganzheitliches Konzept

4. Analyse von Materialien zur Bruchrechnung
4.1 Ansprüche an Materialien und Aufgaben im Unterricht
4.1.1 Grundvorstellungsintensität als aufgabenanalytische Kategorie
4.1.2 Art des Wissens als Analysedimension
4.1.3 Handlungsorientierung als Aufgabenanalysedimension
4.2 Schilderung des Förderunterrichts an der X-Schule
4.3 Vorstellung der Fördermaterialien
4.4 Analyse der Materialien
4.4.1 Anteile herauslesen
4.4.2 Anteile herstellen
4.4.3 Anteile kennzeichnen
4.4.4 Unechte Brüche/gemischte Zahlen
4.4.5 Brüche berechnen/Bruchteile beliebiger Größen
4.4.6 Erweitern und Kürzen
4.4.7 Brüche ordnen
4.5 Überlegungen zu den Lösungsvorschlägen beider Hefte
4.6 Zwischenfazit zur Analyse

5. Konstruktion von Arbeitsblättern zum Thema Erweitern und Kürzen von Brüchen
5.1 Überlegungen zu den Arbeitsblättern

6.Fazit und Ausblick

Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Im Rahmen meiner Tätigkeit an der X Schule in Y leite ich den Förderunterricht der sechsten Realschulklassen im Schuljahr 2012/2013. Laut Lehrplan nimmt die Bruchrechnung einen großen Teil der zu lernenden Inhalte in dieser schulischen Phase ein. Da sich im Rahmen des Förderunterrichts fast automatisch die Frage stellt, wie man den Schülern gute Unterstützung im Umgang mit der Bruchrechnung bieten kann, ist die Thematik der Bruchrechnung zum jetzigen Zeitpunkt von großem Interesse für mich. Bei der Durchführung der Förderstunden steht immer wieder folgende Frage im Mittelpunkt: Welche Materialien und Aufgaben unterstützen den Unterricht entsprechend und vertiefen das Verständnis in Bezug auf Bruchrechnung der Schüler1 ?

Aufgaben sind gerade in der Mathematik sehr zentraler Bestandteil des Unterrichts (vgl. Jordan et al. 2008, S. 82). Lehrer und angehende Lehrer verwenden Aufgaben aus Schulbüchern, Arbeitszetteln, Arbeitsheften etc. zur Vermittlung von mathematischem Wissen und Inhalten. Das zahlreiche Angebot an Mathematikarbeitsblättern, -schulbüchern, -heften, sowie Publikationen, die sich mit Aufgaben und ihrer Analyse oder der Verbesserung des Unterrichts beschäftigen, unterstützt diese These (u.a. Büchter und Leuders 2007, Jordan et al. 2008, Neubrand 2004, Baumert und Lehmann 1997). Es stellt sich somit die Frage, welche Materialien den Unterricht bestmöglich unterstützen. Doch bevor diese Frage erläutert werden kann, muss erörtert werden, welche Konzepte in der Vermittlung der Bruchrechnung überhaupt von tragender Bedeutung sind. Denn nur so ist es möglich, Unterrichtsmaterialien zu analysieren.

Im Zuge dieser Überlegungen ist mit Fokus auf den Förderunterricht von Interesse, welche Konzepte insbesondere auch in diesem Rahmen eingesetzt werden können und welche Materialien sich besonders für den Einsatz im Förderunterricht eignen. Weitergehend kann sogar infrage gestellt werden, ob eigens für den Förderunterricht publizierte Materialien sich wirklich dafür eignen. Die Überlegungen beziehen sich dabei gezielt auf die Bruchrechnung.

Im theoretischen Teil werden daher zunächst die Rahmenbedingungen in der Schule erörtert, da sich die Thematisierung der Bruchrechnung zunächst einmal aus den Verpflichtungen der Bildungsstandards heraus ergibt. Doch welche Gründe für oder gegen die Thematisierung der gemeinen Bruchrechnung in der Schule gibt es im Allgemeinen? Welchen Nutzen hat die Bruchrechnung gegebenfalls? Kann diese überhaupt hinreichend legitimiert werden? Daran anschließend wird die Stellung der Bruchrechnung in den Bildungsstandards diskursiv dargestellt. Zu welchem Zeitpunkt wird die Bruchrechnung vorgesehen, welche mathematischen Kernkompetenzen können anhand dieser erlernt werden oder für welche anderen Themenbereiche ist ein sicherer Umgang mit Brüchen von Bedeutung? Für diesen Einblick wird der Fokus auf die Bildungsstandards sowie das Kerncurriculum des Landes Hessen gerichtet, da diese Arbeit im Rahmen der Lehrerausbildung für Gymnasien in Hessen geschrieben wird. Aufgrund dieser Ausbildung liegt das Augenmerk auf dem gymnasialen Zweig, wenngleich der von mir abgehaltene Förderunterricht für Schüler des Realschulzweigs ist. Anzumerken ist aber auch, dass die Unterschiede innerhalb der Bildungsstandards und Kerncurricula in den Klassen fünf und sechs noch nicht allzu gravierend sind.

Des Weiteren werden die Konzepte oder Unterrichtsprinzipien Grundvorstellungen, Handlungsorientierung und Metakognition detailliert beleuchtet. Diese drei Konzepte können helfen, die mathematischen Kompetenzen in Bezug auf die Bruchrechnung gerade bei leistungsschwächeren Schülern erheblich zu steigern, finden aber auch ihren berechtigten Gebrauch im regulären Mathematikunterricht. In welcher Form sie im Unterricht gegenseitig ergänzend eingesetzt werden können, oder in welcher Beziehung sie stehen, wird nach Betrachtung der einzelnen Konzepte sowie dem Konstruktivismus als allgemeindidaktisches Konzept erläutert.

Nachdem durch diese diskursive Darstellung die Grundlage für die Aufgabenanalyse gelegt wurde, stellt sich anschließend die Frage, wie die Analyse reflektiert und systematisch angegangen werden kann. Dazu werden zur Grundvorstellungen, Handlungsorientierung und zur Art des Wissens Kategoriensysteme eingesetzt, die das Analyseverfahren verbessern sollen.

Anhand dessen folgt die Analyse von ausgewählten Materialien, die sich nicht nur auf die Kategoriensysteme beschränkt, und insbesondere den Fokus auf den Förderunterricht lenkt. Ziel ist es, die Aufgaben auf ihre Eignung hin zu untersuchen, was anhand eines Zwischenfazits resümiert wird. Maßgeblich zur Beantwortung dieser Fragestellung ist, ob Metakognition, Handlungsorientierung und Grundvorstellungen umgesetzt wurden. Letztlich sollen Kritikpunkte an den Materialien durch die Konstruktion eigener Arbeitsblätter abgerundet werden und so eine mögliche Alternative zu den ausgewählten Materialien bieten. Sie sollen aufzeigen, wie die im Theorieteil ausführlich dargestellten Konzepte in der Praxis umgesetzt werden können.

2. Bruchrechnung in der Schule

Um die Legitimation der Bruchrechnung in der Schule zu untersuchen, muss sich diesem Themenkomplex von zwei Richtungen genähert werden. Einerseits muss dabei erörtert werden, ob Bruchrechnung notwendig für den Aufbau mathematischer Kompetenzen ist und welche Gründe für oder gegen die Behandlung dieses Themas im Mathematikunterricht vorliegen. Diese Überlegungen schließen mit ein, welche Kompetenzen mithilfe der Bruchrechnung aufgebaut werden und wo sie für den weiteren Verlauf des Mathematikunterrichts in der Schule von Bedeutung sind. Andererseits müssen sich Lehrkräfte und Schulen mit den Anforderungen an die Institution Schule und die einzelnen Fächer auseinandersetzen, also mit den Forderungen, die vonseiten der Politik gestellt sind. Hier ist zu untersuchen, wie die Bruchrechnung in Bildungsstandards und Curricula Eingang findet.

2.1 Argumente für und gegen die Bruchrechnung mit gemeinen Bruchzahlen

Die Notwendigkeit und der Nutzen der Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen wird in Bezug auf Schulcurricula kontrovers diskutiert. In dem Standardwerk zur Didaktik der Bruchrechnung von Friedhelm Padberg (2009) führt dieser einige Argumente für und gegen die gemeine Bruchrechnung in der Schule an, die im Folgenden kurz erläutert werden sollen.2

Kritiker der gemeinen Bruchrechnung, das heißt der Rechnung mit Zahlen der Darstellung, sehen eine Irrelevanz für das tägliche Leben in ebenאfür a, b dieser. Demnach könne man mit alltäglichen Brüchen wie ଷ ସ oder ଵ auch ohne ଶ Rechnungen umgehen. Für den Beruf und den Alltag sind die Dezimalbrüche unbestritten relevant. Diese seien zudem eine Vereinfachung der gemeinen Brüche und wesentlich effizienter. Der kritischen Perspektive zufolge seien gemeine Brüche nur ein Relikt aus alten Zeiten, welches überflüssig geworden ist. Nach dieser Sichtweise hält sich die gemeine Bruchrechnung nur deshalb so hartnäckig als Schulstoff, weil es eine riesige Fülle an Arbeitsblättern und Unterrichtsmaterialien gibt, die den Unterricht für die Lehrkraft erheblich vereinfachen. Es wird aus diesen Gründen vorgeschlagen, die Unterrichtszeit, welche für die Behandlung der Bruchrechnung verwendet wird, besser zur Übung vom Umgang mit Dezimalbrüchen zu verwenden. Zudem seien die zwei verschiedenen Schreibweisen von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen purer Luxus, den es in den natürlichen und reellen Zahlen nicht gibt. Man solle sich daher auch bei den rationalen Zahlen für die Schreibweise der Dezimalbrüche entscheiden. Letztlich dienten gemeine Brüche oftmals nur als Selektionsinstrument für beispielsweise Einstellungstests (vgl. Padberg 2009, S. 1-3).

Padberg (2009) sieht die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen hingegen als sinnvoll und wichtig an (vgl. S.10). Die Argumente (vgl. Padberg 2009, S. 3- 11), welche dafür sprechen, sind deutlich stärker als ihre Gegenargumente und liefern gute Gründe für die Behandlung der gemeinen Brüche.

Die Auseinandersetzung mit gemeinen Brüchen liefert als Erstes ein anschauliches Fundament für die Dezimalbrüche. Durch den Umgang mit gemeinen Brüchen lernen die Schüler Eigenschaften der Brüche auf anschauliche Art und Weise kennen und sammeln Erfahrungen mit ihnen. Demgegenüber ist die Einführung der Dezimalbruchrechnung mit nur der Stellenwerttafel durchaus problematisch. So ist die Stellenwerttafel zum Beispiel nicht symmetrisch, da die ganzen Zahlen durch Einer, Hunderter, Tausender etc. gekennzeichnet sind, es aber keine „Eintel“ gibt. Unterschiede zu den natürlichen Zahlen werden nur durch den Gebrauch von Stellenwerttafeln oftmals nicht deutlich genug.3 Stellenwerte sind für Schüler keine Selbstverständlichkeit und selbst mit vorheriger Behandlung der gemeinen Brüche haben Lernende mitunter große Schwierigkeiten damit. Weitere Problematiken ergeben sich beispielsweise in Bezug auf die Blickrichtung, mit der man die Dezimalbrüche betrachten muss (sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts). Gleiches gilt für die Existenz von periodischen Dezimalzahlen. Diese können vorerst nicht zur Einübung der Grundrechenarten verwendet werden, sodass die Zahlbereichserweiterung zu den (positiven) rationalen Zahlen zunächst nur unvollständig ist. Rechenregeln lassen sich hingegen durch gemeine Brüche einfach ableiten und Division und Multiplikation mit gemeinen Brüchen haben eine deutlich geringere Fehlerquote als mit Dezimalbrüchen. Häufige Fehlermuster bei Schülern („Komma-trennt-Fehler“ bei der Multiplikation oder Probleme beim Größenvergleich (vgl. Padberg 2009, S. 5)) lassen sich durch gemeine Brüche leichter aufdecken und vermeiden (vgl. Padberg 2009, S. 3-5).

Des Weiteren sind gemeine Brüche für die Wahrscheinlichkeitsrechnung unabdingbar. Diese lässt sich durch gemeine Brüche leichter erarbeiten, zum Beispiel anhand von Baumdiagrammen. Gemeine Brüche sind anschaulicher und exakt. Die bei Dezimalbrüchen auftretenden Rundungen entfallen so, und Folgefehler, wie, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ungleich eins ist, werden vermieden (vgl. Padberg 2009, S. 5-7).

Ein weiteres Argument für die gemeine Bruchrechnung ist die Notwendigkeit des sicheren Umgangs für das Lösen von Gleichungen, beispielsweise mit zwei Variablen. Ohne Brüche handelt es sich bei den Umformungen nicht immer um Äquivalenzumformungen, da Dezimalbrüche meist früher oder später gerundet werden. Hier ist auch wieder das Stichwort Fehlerfortpflanzung von Bedeutung. Ebenso ist die Probe einer Lösung nur durch die Benutzung gemeiner Brüche stets exakt (vgl. Padberg 2009, S. 7-8).

Wie schon erwähnt, ist die Zahlbereichserweiterung, die mit der Einführung von Brüchen einhergeht, nur durch gemeine Brüche vollständig durchführbar, da periodische Dezimalbrüche zunächst nur eingeschränkt benutzt werden können. Meist erfolgt die Erweiterung von natürlichen Zahlen Գ zu den positiven rationalen Zahlen Էା. Gemeine Brüche erlauben es der Lehrkraft leichter zu zeigen, weshalb Division in Է nun im Vergleich zur Division in Գ uneingeschränkt möglich ist. Ebenso kann der Nachweis über die weiterhin bestehenden Eigenschaften des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes auch in Էା durch gemeine Brüche leichter angeführt werden. Dies wird dem Permanenzprinzip bei dem Erweitern von Zahlbereichen gerecht. Auch die Veränderungen der Grundvorstellungen (Multiplikation und Division), die sich mit der Erweiterung auf Էା ergeben, lassen sich besser durch gemeine Brüche thematisieren.4 Dies gilt auch für die Nachfolgerproblematik, nämlich, dass es nicht mehr genau einen Nachfolger für eine Zahl gibt (vgl. Padberg 2009, S. 8-9).

Den Vorschlag gemeine Brüche erst dann einzuführen, wenn sie für die Gleichungssysteme und somit für Schulalgebra gebraucht werden, lehnt Padberg ab. Dies widerspreche der Idee des Spiralcurriculums und führe zu einer Häufung von Schwierigkeiten innerhalb sehr kurzer Zeit. Gerade damit die Schüler bei Termumformungen weniger Fehler machen, brauchen sie gut verankerte, vorstellungsorientierte Kompetenzen im Bereich der Bruchrechnung. Demnach hält Padberg sogar die Tendenz zum noch früheren Beginn der Bruchrechnung in Klasse fünf für sinnvoll (vgl. Padberg 2009, S. 10-11).

Folglich sind Brüche ein sinnvoller und nützlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts, die einen wichtigen Beitrag zum Aufbau mathematischer Kompetenzen, wie Modellieren oder Argumentieren, leisten (vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8). In welcher Form die Bruchrechnung in den Bildungsstandards gefordert wird und wie mathematische Kompetenzen aufgebaut werden können, wird im nächsten Abschnitt erörtert.

2.2 Bruchrechnung in Bildungsstandards und Kerncurriculum

Die hessischen Kerncurricula sowohl des gymnasialen als auch des Realschulbildungsgangs sehen die Erweiterung des Zahlbereichs der natürlichen Zahlen zu den positiven rationalen Zahlen für die sechste Klassenstufe vor. Diese Einführung geschieht im Rahmen der Leitidee Zahl (L1) der bundesweit geltenden Bildungsstandards für das Fach Mathematik der Kultusministerkonferenz (2004). Diese Bildungsstandards wurden 2003/2004 erstmalig von der Kultusministerkonferenz (KMK) festgelegt. Die Aufgabe der KMK ist es,

„die Qualität schulischer Bildung, die Vergleichbarkeit schulischer Abschlüsse sowie die Durchlässigkeit des Bildungssystems zu sichern. Bildungsstandards sind hierbei von besonderer Bedeutung. Sie sind Bestandteile eines umfassenden Systems der Qualitätssicherung, das auch Schulentwicklung, interne und externe Evaluation umfasst.“ (Kultusministerkonferenz 2005, S. 5)

Die Bildungsstandards der KMK beziehen sich auf die Kernbereiche der jeweiligen Fächer und beinhalten fachbezogene aber auch fachübergreifende Kompetenzen bzw. Basisqualifikationen. Diese sollen zu bestimmten Zeitpunkten von Schülern erreicht werden. Ziel ist es systematisches und vernetztes Lernen zu fördern, um dem „Prinzip des kumulativen Kompetenzerwerbs“ zu folgen (vgl. Kultusministerkonferenz 2005, S. 5-6). Die Bundesländer, somit auch das Land Hessen, haben sich verpflichtet, die Bildungsstandards in ihren Kultusministerien umzusetzen. In Hessen traten 2011 die Kerncurricula für die einzelnen Fächer in Kraft, welche Bildungsstandards mit sogenannten Inhaltsfeldern verbinden (vgl. Hessisches Kultusministerium 2011, S. 5ff).

Die oben benannte in den Bildungsstandards vorkommende Leitidee Zahl (L1) ist eine von fünf Leitideen (Zahl, Messen, RaumundForm, Funktionaler Zusammenhang, Daten und Zufall), denen jeweils inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen zugeordnet sind. Eine Leitidee verbindet verschiedene mathematische Sachgebiete und windet sich spiralförmig durch ein mathematisches Curriculum (vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 9). Die Leitidee Zahl verbindet folgende inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Leitidee L1 (Kultusministerkonferenz 2004, S. 10)

Beispielhaft soll angeführt werden, wie Bruchrechnung zur Erreichung der aufgeführten Kompetenzen beitragen kann. Konkret genannt werden rationale Zahlen und damit auch gemeine Brüche bei den „Vorstellungen von rationalen Zahlen“ (Kultusministerkonferenz 2004, S. 10) und dem Wissen über die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung zu den rationalen Zahlen (zum Beispiel genaues Messen, unbegrenzte Division etc.). Damit Schüler die Zusammenhänge zwischen Rechenoperationen und ihren Umkehrungen erkennen, können Vorstellungen zur und Erfahrungen mit Bruchrechnung genutzt werden. Wie bereits erwähnt, ist es schwieriger, diese Zusammenhänge rein über Dezimalbrüche zu vermitteln. Auch die Prozentrechnung braucht ein gut gelegtes Fundament der Bruchrechnung. Exemplarisch müssen Schüler Brüche sicher Erweitern oder Kürzen können, um Brüche der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Գ zu erhalten. Das Wählen, Beschreiben und Bewerten von Vorgehensweisen und Verfahren kann in der Bruchrechnung mithilfe von Schreibaufträgen umgesetzt werden5. Inhaltliche Vorstellungen helfen Schülern, die richtige Wahl in Bezug auf Operationen oder Algorithmen zu wählen und diese auch begründen zu können. Inhaltliche Vorstellungen, die sogenannten Grundvorstellungen, die sich für die Bruchrechnung aufbauen lassen, sind Gegenstand des Kapitels 3.1. Letztlich sind auch die mathematischen Modellierungen von Sachsituationen Teil der Bruchrechnung, was klassischerweise durch Anwendungs- oder Textaufgaben umgesetzt wird. Die Bruchrechnung kann und soll also dazu beitragen, die aufgeführten Kompetenzen zu erlangen.

In den hessischen Kerncurricula sind mit der Leitidee Zahl die Inhaltsfelder „Zahlen“ und „Operationen und ihre Eigenschaften“ eng verbunden, wobei die jeweiligen Inhaltsfelder sich an den Leitideen ausrichten, aber nicht unbedingt eindeutig zu zuordnen sind (vgl. Kultusministerkonferenz 2004, Hessisches Kultusministerium 2011, S. 14-15). Anhand der Inhaltsfelder werden „unverzichtbare Inhalte“ geschildert (Hessisches Kultusministerium 2011, S. 26-27).

Explizit genannt werden Brüche im Kerncurriculum für das Gymnasium im Inhaltsfeld „Zahl und Operation“. Hier werden die vielfältigen Vorstellungen zu „Brüche[n] als Teil eines Ganzen, als Teil mehrerer Ganzer, als Maßzahl und zur Beschreibung von Verhältnissen“, der Umgang mit „Dezimalzahl (abbrechend, periodisch) und Begründung für Abbruch bzw. Periode“ und „Vergleichen, Ordnen von natürlichen und gebrochenen Zahlen“ (Hessisches Kultusministerium 2011, S. 26) genannt. Brüche sind überdies indirekt in weiteren Inhaltsfeldern vertreten, da dort geforderte Kompetenzen ebenfalls auf Brüche übertragen werden können. Das Inhaltsfeld „Größe und Messen“ fordert das Messen und Berechnen von Längen, Gewichten, Zeitspannen etc., wobei Brüche eingesetzt werden können (vgl. Hessisches Kultusministerium 2011, S. 28). Auch beim Inhaltsfeld „Daten und Zufall“ finden Brüche schon ab der Klassenstufe sechs ihre Anwendung (vgl. Hessisches Kultusministerium 2011, S. 29). Wie bereits erwähnt, helfen gemeine Brüche, den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten zu vereinfachen. Doch nicht nur in der sechsten Klasse treten Brüche in mehreren Bereichen auf. Im Sinne des Spiralcurriculums spielen Brüche auch im weiteren Verlauf des Mathematikunterrichts eine Rolle. Zu nennen ist unter anderem das Inhaltsfeld „Zahl und Operation“ in der Jahrgangsstufe sieben und acht. Themengebiete, in denen die gemeinen Brüche zum Beispiel auftreten (können), sind das Vergleichen und Ordnen von rationalen und reellen Zahlen oder die weiterführende Potenzrechnung. Nicht nur für dieses Inhaltsfeld, sondern auch für Raum und Form, sowie Funktionaler Zusammenhang sind Brüche insbesondere auch für das Lösen von Gleichungen von Bedeutung (vgl. Hessisches Kultusministerium 2011, S. 26-29).6 Für die Schulalgebra ist Bruchrechnung über die ganze Schullaufbahn hinweg, insbesondere auch in der Oberstufe, ein wichtiges Fundament.

Darüber hinaus lassen sich die in den Bildungsstandards geforderten mathematischen Kernkompetenzen Darstellen, Kommunizieren, Argumentieren, Problemlösen und Modellieren (vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 7-9), natürlich auch anhand der Bruchrechnung gut einüben. Ob dies im Unterricht wirklich umgesetzt wird, ist weniger eine Frage des Schulstoffs Bruchrechnung als vielmehr eine Frage des entsprechenden Materials und der geeigneten Aufgabenstellung. Wie genau Bruchrechnung zum Beispiel zur Argumentation und Kommunikation anregen kann, wird an späterer Stelle näher erläutert.7

Nach Betrachtung der Argumente für und gegen die Bruchrechnung und der Herausstellung ihrer fundamentalen Bedeutung innerhalb der Bildungsstandards wird deutlich, dass Bruchrechnung einen hohen Stellenwert im modernen Mathematikunterricht einnimmt. Dass dahinter ein nicht zu verneinender Nutzen steht, wurde ausführlich beschrieben. Die vielfachen Schwierigkeiten, die im Rahmen dieser Zahlbereichserweiterung bei Schülern auftreten, sollten daher nicht Anlass zur Kritik am Inhalt der Bildungsstandards geben. Vielmehr sollte der Fokus darauf gerichtet werden, wie Schüler bei dem Erlernen der Bruchrechnung bestmöglichst unterstützt werden können und welche Möglichkeiten es gibt, gerade leistungsschwache Schüler zu fördern.

3. Förderansätze für das Rechnen mit Brüchen

Im Rahmen dieser Arbeit sollen drei Ansätze im Vordergrund stehen, die den Schülern helfen (können), den Umgang mit Brüchen zu erlernen und ein grundlegendes Verständnis aufzubauen. Denn genau dies ist die Forderung an den modernen, prozessorientierten Unterricht (vgl. Wartha 2011a, S. 15). Um mathematisch agieren zu können, sind sowohl auf Elementarem als auch später auf fortgeschrittenem Niveau inhaltliche Vorstellungen essenziell (vgl. Vom Hofe und Wartha 2005, S. 202). Um Lernende zu einem tieferen Verständnis von Mathematik zu verhelfen und sie in dem Lernprozess bestmöglich zu unterstützen, bietet sich daher zunächst das Konzept Grundvorstellungen als prädestinierter Ansatz an. Des Weiteren sollen Metakognition und die Handlungsorientierung im Mathematikunterricht näher erläutert werden. Um die Frage zu erörtern, warum der Fokus dieser Arbeit auf gerade diesen drei Aspekten des Mathematiklernens liegt, wird zunächst das grundlegende didaktische Prinzip des Konstruktivismus erläutert. Es ist ein wichtiger Bestandteil für das Verständnis des Mathematikunterrichts im Allgemeinen und kommt darüber hinaus auch im Bereich der Grundvorstellungen besonders zum Tragen.

3.1 Exkurs: Konstruktivismus als didaktisches Prinzip

Konstruktivismus ist ein didaktisches Konzept, dass im deutschsprachigen Raum stark von Kersten Reich geprägt wurde. Er erläutert in zahlreichen Veröffentlichungen und Monografien die Relevanz des Konstruktivismus für die Didaktik der Schule. In Anlehnung an konstruktivistische Vorläufer wie Piaget und John Dewey ist die zentrale Annahme des Konstruktivismus, dass die Wirklichkeit und jegliche damit verbundene Wahrheit eine individuelle und aktive Konstruktion von Beobachtern darstellt (vgl. Reich 2010, S. 18-23). John Dewey hob in seinen Ausführungen bereits hervor, dass Lernen ganz und gar auf das handelnde Sammeln von Erfahrungen aufgebaut sein müsste, damit Kinder die Welt experimentell und in Kooperation mit anderen Individuen kennenlernen. Auch Piaget stellt einen wesentlichen Wegbereiter des konstruktivistischen Ansatzes dar, indem er verschiedene Entwicklungsstufen des Lernens darstellte und Assimilation (Einordnung von neuen Erfahrungen in bestehende kognitive Schemata) und Akkomodation (Änderung vorhandener Schemata um auf neue Umwelt/Situation reagieren zu können) als Grundprinzipien konstruktiven Handelns beschrieb (vgl. Woolfolk 2008, S. 37-38).

Es gibt einige Grundannahmen, auf denen der Konstruktivismus basiert: Der Mensch greift durch verschiedene Handlungen in seine Umwelt ein, die ihm als gegeben erscheint. Allerdings entstehen dadurch Konstruktionen und Versionen einer Wirklichkeit, die nicht als Abbild der tatsächlichen Umwelt bezeichnet werden können. Die konstruierte Wirklichkeit ist durch eine individuelle Interpretation bestimmt, welche immer wieder neu umgestaltet werden kann und deshalb nicht als stabil und unveränderbar angesehen wird. Schon die Sprache beeinflusst die Konstruktion der eigenen Welt und Umwelt maßgeblich (vgl. Reich 2008, S. 74-76). Aus der konstruktivistischen Denkweise heraus ist der Mensch also ein „Wahrheiten herstellendes Wesen“ (Reich 2008, S. 76). Diese Annahme bricht mit der Vorstellung, man stünde der Natur als unabhängiger Beobachter gegenüber. Besonders innerhalb einzelner Kulturen kommt es zur Verständigung über Wahrheiten, die trotz der Relativierung durch den Konstruktivismus, Wahrheitsanspruch haben. In diesem Sinne verstehen sich Kulturtechniken, wozu auch (orthografisch richtiges) Schreiben oder Rechenfertigkeiten gehören, als nötige Anpassung an eine Kultur. Im Bezug auf die Didaktik bedeutet eine konstruktivistische Sichtweise, dass im Unterricht nicht mehr nur Abbildung, Erinnerung und Rekonstruktion von wichtigem Wissen und Wahrheiten praktiziert werden, sondern dass Wissen durch Handlungen in einem Kontext erworben werden (vgl. Reich 2008, S. 80-83).

Dabei stehen drei konstruktivistische Beobachterperspektiven des didaktischen Handelns im Vordergrund: Konstruktion, Rekonstruktion und Dekonstruktion. Die Perspektive der Konstruktion sieht den Lernenden als Erfinder seiner Wirklichkeit, der aktiv untersucht, experimentiert und ausprobiert. Rekonstruktion beschreibt die Wieder- und Nachentdeckung dessen, was in unserer Welt bereits konstruiert wurde und detailliert nachvollziehbar ist. Die eigenen Konstruktionen werden oftmals dadurch relativiert, dass es sie bereits gibt (unterrichtliche Inhalte). Die Rekonstruktion vorhandener Konstrukte ist jedoch kein passiver Prozess, sondern regt immer eine Selbsttätigkeit an. Zum Beispiel können im Unterricht die Fragen wie: „Was hat sich der Beobachter damals gedacht? Warum kam er/sie genau auf diesen Schluss?“ aufgeworfen werden. Die Inhalte sollen dabei transparent und diskursiv bearbeitet werden. Dekonstruktion stellt schon vorhandene Konstruktionen infrage, das heißt, es werden neue Blickwinkel eingenommen oder Ergänzungen vollzogen. Eine andere Sichtweise wird eingenommen und die dekonstruierende Person fungiert als Enttarner der Wirklichkeit (vgl. Reich 2008, S. 138-142).

Nach der Theorie des Konstruktivismus soll sich Unterricht an lebensnahen, komplexen Problembereichen orientieren (Realbegegnungen). Deshalb sollen in der unterrichtlichen Praxis nicht didaktisch reduzierte Inhalte zum Tragen kommen, sondern in der Lebenswelt vorkommende, wenn gleich auch unstrukturierte, Probleme. Die einzelnen Lerngegenstände sollen nicht bloß aneinandergereiht werden, sondern das Ganze so in seine Einzelteile zerlegt werden, dass am Ende dennoch der Gesamtzusammenhang deutlich wird. Das Lernen darf kein passiver Prozess sein, bei dem von anderen gemachte

Erfahrungen einfach übernommen werden, sondern vielmehr müssen eigene Erfahrungen gemacht werden, die schon vorhandenes Wissen verändern und neu konstruieren. Das gemeinsame Lernen durch Kommunikation und Interaktion hilft hierbei die eigene Interpretation der Umwelt zu überdenken und ist deshalb zwingend nötig. Fehler, die beim Lernen gemacht werden, werden nicht negativ, sondern als lernförderlich angesehen. Sie helfen das Verständnis zu vertiefen und Wissen noch besser zu konstruieren. Dabei sollte möglichst an die Vorerfahrungen und Interessen des Schülers angeknüpft werden, um diesen herauszufordern, das Wissen über seine eigenen Erfahrungen gegebenenfalls neu zu strukturieren. Die Gefühlsebene und persönliche Identifikation darf ebenfalls nicht außer Acht gelassen werden, da kognitive Prozesse so erst in Gang gesetzt werden. Letztlich gilt, dass der Lernprozess stets evaluiert werden muss, bestenfalls durch Selbstevaluation, was die Verbesserung von Lernstrategien herausfordern kann (vgl. Gudjons 2001, S. 56ff). Bei all dem darf Binnendifferenzierung nicht aus dem Blickwinkel geraten. Die Lehrkraft muss Sorge tragen, dass jeder Schüler in seinen individuellen Stärken gefordert und in seinen Schwächen gefördert wird. Dazu muss sie eine Lernumgebung schaffen, die es dem Individuum ermöglicht einen persönlichen Zugang zum Unterrichtsstoff zu erlangen und so individuell konstruktivistisch tätig zu sein. Die Lehrkraft an sich tritt dabei in den Hintergrund und vermeidet es die Lernenden zu sehr zu leiten. Sie nimmt vielmehr die Rolle des Beraters und Ansprechpartners ein (vgl. Reich 2008, S. 25-28).

Eine genaue Erörterung der Grundvorstellungen, Handlungsorientierung und Metakognition findet in den folgenden Kapiteln statt. Erst im Anschluss an ihre Definition und Darstellung ist es möglich, diese drei Komponenten unter der Theorie des Konstruktivismus zu vereinen. Dennoch kann bereits vorweggenommen werden, dass Handlungsorientierung der Forderung nach lebensnahen Realbegegungen und eigenen Erfahrungen entgegen kommt und es ermöglicht an Schülerinteressen anzuknüpfen. Die Evaluation des Lernprozesses in mehreren Facetten gelingt durch Metakognition. Unter diesem Gesichtspunkt setzen sich Grundvorstellung als essenzielles Fundament der inhaltlichen Vorstellungen, Handlungsorientierung als Umsetzung eines aktiven Lernens und Metakognition als Evaluation und stetige Verbesserung des Lernprozesses sowie als Chance Einblick in diese Lernprozesse zu bekommen, zu einem unterrichtlichen Konzept zusammen, das sich für eine individuelle und bestmögliche Förderung von Schülern eignet.

3.2 Grundvorstellungen

Grundvorstellungen sind

„gedankliche Werkzeuge, die zu Zahlen, Operationen und Strategien aufgebaut werden können. Grundvorstellungen ermöglichen Übersetzungen zwischen „Darstellungsebenen (etwa von symbolisch zu ikonisch) in Bezug auf Zahlen, Operationen und Strategien“ (Wartha 2011b, S. 8).

Diese Definition von Sebastian Wartha ist nur eine von vielen zum Konzept der Grundvorstellungen, welches auf Rudolf vom Hofe zurückgeht (vgl. Wartha 2011b, S. 8). Gerade in Deutschland wird dieses Konzept in der Didaktik der Bruchrechnung schon seit vielen Jahren in den Vordergrund gerückt. Dabei lehnt es reines Kalkül ab und zieht inhaltliches Verständnis vor (vgl. Prediger 2007, S. 203). Das Konzept strebt nach einem „verständnisorientierten Erwerb mathematischer Begriffe und Vorgehensweisen“ (Vohns 2007, S. 95), sodass nicht nur unverstandene Regeln, Handlungsweisen und Inhalte das mathematische Verständnis der Schüler prägen, sondern ein möglichst echtes Verständnis und differenzierte Vorstellungen etabliert werden. Dies bedeutet, dass strategisches Metawissen zum formal-korrekten Lösen von mathematischen Problemen nicht zu den Grundvorstellungen gerechnet wird (vgl. Blum et al. 2004, S. 145). Hingegen repräsentieren Grundvorstellungen für die einzelnen Inhalte wesentliche mathematische Strukturen/Vorstellungen (vgl. Vogel und Wittmann 2010, S. 5). Demnach beschreiben Grundvorstellungen, was sich Menschen unter verschiedenen mathematischen Inhalten vorstellen und drücken somit die „Beziehungen zwischen Mathematik, Realität und individuellen mentalen Strukturen“ aus (Blum et al. 2004, S. 145). So ermöglichen Grundvorstellungen dem Lernenden unter anderem, die in den Bildungsstandards wichtige Kompetenz des mathematischen Modellierens auszuführen, da sie unverzichtbar und von elementarer Bedeutung für diesen Prozess sind (vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 7ff, Wartha 2005, S. 103, Blum et al. 2004, S. 146). Sie sind „mentale Modelle, die beim erfolgreichen Lösen einer mathematischen Aufgabe aktiviert werden“ (Wartha und Wittmann 2009, S. 93). Wichtig ist hierbei, dass es für die jeweiligen Inhalte nicht notwendigerweise nur eine Grundvorstellung gibt, sondern vielmehr mehrere ergänzend nebeneinander stehen können. Dies zeigt sich auch in Bezug auf die Grundvorstellungen der Bruchrechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Diagramm mathematischer Denkprozesse (Wartha 2011a, S. 16)

Die Abbildung veranschaulicht, wie Grundvorstellungen als Übersetzer zwischen verschiedenen Darstellungen fungieren. Sie zeigt den Kreislauf mathematischer Denkprozesse als Abwandlung des bekannten Modellierungskreislaufs nach Blum. Darstellungen können in jeglicher Form auftreten, exemplarisch als Graphen, Bilder oder Symbole. Mithilfe von Grundvorstellungen können ihre Zusammenhänge erkannt werden und ineinander übersetzt werden. Zum Beispiel werden abstrakte Begriffe sowohl anschaulich repräsentiert, als auch anschauliche Materialien in Symbole übersetzt werden können (vgl. Wartha 2011a, S. 16).

Grundvorstellungen sind allerdings nicht notwendigerweise als ein für alle Mal gültige Werkzeuge zu sehen. Sie sollen vielmehr an die „Ausbildung eines Netzwerks, das sich durch Erweiterung von alten und Zugewinn von neuen Vorstellungen zu einem immer leistungsfähigeren System mentaler mathematischer Modelle entwickelt“(vom Hofe und Wartha 2005, S. 203), erinnern. Dieses Netzwerk ist nicht als statisch, sondern als flexibel zu verstehen. An bereits vorhandene Grundvorstellungen können sowohl neue, weitere Grundvorstellungen anknüpfen, als dass auch „Einschränkungen, Umbauten bzw. Reorganisationen alter Vorstellungen nötig“ sein können (Wartha und Wittmann 2009, S. 94). Diese bezeichnet man als Grundvorstellungsumbrüche, welche in Bezug auf die Bruchrechnung im Kapitel 3.1.3 „Vorstellungsumbrüche bei Zahlbereichserweiterungen“ näher erläutert werden.

Zu erwähnen sei, dass das Konzept der Grundvorstellungen allerdings nicht vollständig unumstritten ist. Kritiker bemängeln, dass nicht klar ist, was genau Grundvorstellungen sind, sondern nur ihre Rolle für den Mathematikunterricht fokussiert werden. Zudem handle es sich um einen mit unterschiedlichen Bedeutungen verwendeten Begriff (vgl. Vogel und Wittmann 2010, S. 5).

Dennoch kann dieses Konzept für den praktischen Unterricht und in der Forschung auf zweifache Weise eingesetzt werden. Es kann zum einen als „normative Kategorie“ dienen, die es der Lehrkraft erlaubt Unterricht effektiv zu planen und/oder Lernplaninhalte, Aufgaben und Lernumgebungen zu analysieren. Zum Anderen kann es als „deskriptive[s] Werkzeug“ benutzt werden, mit dessen Hilfe Lösungsprozesse untersucht werden können (Wartha 2011a, S. 15). Es können dabei sowohl erfolgreiche als auch weniger erfolgreiche Prozesse in Augenschein genommen werden. Gelingt es einem Schüler beispielsweise, die eine Darstellung in die andere zu übertragen, kann man meist davon ausgehen, dass eine tragfähige Grundvorstellung zugrunde liegt (vgl. Wartha 2011a, S. 15-16).

Im Folgenden werden die für die Bruchrechnung wichtigen Grundvorstellungen näher erläutert. Hierbei kann man zwischen Grundvorstellungen zu Zahlen,Strategien und Operationen unterscheiden.

3.2.1 Grundvorstellungen zu Brüchen

Zu Zahlen gibt es verschiedene sogenannte Zahlaspekte, mit denen die Schüler schon während der Grundschule konfrontiert werden. Diese treten maßgeblich im Umgang mit natürlichen Zahlen auf und müssen somit auch bei der Zahlbereichserweiterung zu den Bruchzahlen berücksichtigt werden. Grundlegende Zahlaspekte der natürlichen Zahlen die hierbei eine Rolle spielen sind unter anderem: der Kardinalaspekt, der Ordinalzahlaspekt und der Maßzahlaspekt.

Auch für Bruchzahlen gibt es verschiedene Zahlaspekte (vgl. Padberg 2009, S. 29f). Im Unterricht werden diese teilweise auch als „Gesichter der Bruchzahlen“ bezeichnet (vgl. Padberg 2009, S. 28). Der Aspekt Teil vomGanzen beschreibt die Vorstellung von einem Bruch als Darstellung von einem oder mehreren Teilen einer oder mehrerer Ganzer und gliedert sich daher auf in die Teilaspekte: „Bruch als Teil eines Ganzen“ und „Bruch als Teil mehrerer Ganzer“. Dieser Aspekt spielt eine besondere Rolle unter allen Gesichtern der Bruchzahlen und wird später ausführlicher erläutert.

Ein weiterer Aspekt ist der Maßzahlaspekt. Dieser beinhaltet, dass Brüche als Maßzahlen zusammen mit einer Maßeinheit Größen angeben.

Der Operatoraspekt beschreibt die Anwendung von Brüchen als Beschreibung von Vielfachheiten, zum Beispiel: „Wie viel sind zwei Drittel von 4 Pizzen?“

Brüche können ebenso als Verhältnisangabe gesehen werden und sind Teil der alltäglichen Lebensumwelt, zum Beispiel bei Formatangaben, Maßstäben oder anderem. Verhältnisse und Brüche lassen sich hierbei auf unterschiedliche Art und Weise beschreiben, die jedoch gleichwertig sind. Padberg (2009) führt das Beispiel einer Perlenkette an, auf der immer im Wechsel zwei weiße und eine schwarze Perle aufgereiht sind. Dies lässt sich sowohl im Verhältnis von 1:2 ausdrücken (schwarz: weiß), als auch als Bruch mit ଵ Perlen sind schwarz und 2:3 Perlen sind weiß (vgl. S. 29-30).

Ein weiteres Gesicht der Bruchzahl ist der Quotientenaspekt. Hierbei sind Brüche Ergebnisse von Divisionsaufgaben mit natürlichen Zahlen, im Sinne des „Verteilens“ von Größen oder aber auch des Messens und „Enthaltenseins“ bei Größen (Padberg 2009, S. 30). Beispiele dafür sind Maßstäbe und Mischungsverhältnisse.

Ebenso sind Brüche Lösungen von linearen Gleichungen der Form ݊ ή ݔ ൌ ݉ Գ. Nicht zu übersehen ist dabei der Zusammenhang zumאmit n, m Quotientenaspekt.

Der Skalenwertaspekt thematisiert die Markierung von Stellen auf Skalen wie dem Zahlenstrahl.

Ein letzter Aspekt ist der Quasikardinalitätsaspekt. Er bezieht sich auf eine „Analogie zwischen den natürlichen Zahlen als Kardinalzahl und den in einer speziellen Bruchschreibweise notierten Bruchzahlen“ (Padberg 2009, S. 30). Diese wird an folgendem Beispiel deutlich. So ist die Zwei bei der Beschreibung der Menge von Äpfeln durch den Bruch zwei Fünftel „eine Analogie zum Einsatz von 2 als Kardinalzahl beim Ausdruck zwei[er] Äpfel“ (Padberg 2009, S. 30).

In Bezug auf die Bruchrechnung ist der Aspekt „Teil eines Ganzen“ tragend für die Vorstellungsentwicklung des Zahlaspekts von Bruchzahlen. Nach Padberg sind (andere) Bruchzahlaspekte zwar hilfreich und nötig für die Unterrichtspraxis, aber nicht im gleichen Maße tragfähig/ bedeutsam, wie die Vorstellung vom Bruch als Anteil (vgl. Padberg 2009, S. 31). Andere Autoren hingegen geben mehr Grundvorstellungen an (Malle 2004, Wartha 2009), was zum einen an der fehlenden Trennschärfe zwischen Aspekten und Grundvorstellungen liegen mag, zum anderen an der Annahme, dass Verständnis nur dann entwickelt werden kann, wenn ein Netzwerk von Grundvorstellungen als Fundament vorliegt. Allgemein ist dieser Unterschied irrelevant für die „Gestaltung und Analyse von Lehr-Lern-Prozessen“ (Wartha und Wittmann 2009, S. 95), wie im Analyseteil dieser Arbeit umgesetzt.

Wie Studien ergeben haben, sind die beiden Teilaspekte „Teil eines Ganzen“ und „Teil mehrerer Ganzer“ unterschiedlich stark bei Schülern verankert, mit ersterem sind Schüler im Normalfall vertrauter. Dieser Aspekt ermöglicht einen leichteren Zugang auf der Vorstellungsbasis der Schüler, während der zweite Aspekt komplizierter erscheint. Dennoch werden beide Grundvorstellungen im Rahmen der von den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen des mathematischen Modellierens und Lösens von Problemen benötigt (vgl. Padberg 2009, S. 39-40). Dies zeigt sich insbesondere bei der Beschreibung von Verteilungssituationen, was im Folgenden durch die Erläuterung der Teilaspekte deutlich wird.

3.2.1.1 Teil eines Ganzen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Bild einer Tafel Schokolade, die geteilt wird)

Abbildung 3: Schokoladentafel

Diese Grundvorstellung vom Teil eines Ganzen beinhaltet die Vorstellung von einem Ganzen, welches man in mehrere Teile unterteilt. So bedeutet ଶ Tafel Schokolade, dass ich eine Tafel Schokolade in sechs Teile unterteile und zwei davon nehme. Die Einführung dieser Grundvorstellung kann gut mithilfe von Stammbrüchen in der For Գ erzeugt werden. Dadurch erhalte ichאmit a ௔ einen Teil eines Ganzen, deren Vielfache ergeben dann weitere Teile eines Ganzen. Für die allgemeine Darstellung dieser Grundvorstellung mit einer ௠ Größeneinheit e gilt ௡ Գ, wobei der Nenner n die Anzahl derא݁ mit n, m gleich großen Teile bezeichnet in den wir die Größeneinheit e aufteilen. Der Zähler m gibt dann an, wie viele dieser Teile zusammengefasst werden, sodass letztlich der Bruch௠ ݁ als Repräsentant entsteht (vgl. Padberg 2009, S. 33- 34). Wartha (2011a) erklärt exemplarisch anhand dieser Grundvorstellung, wie verschiedene Darstellungsformen (ikonisch, enaktiv) die symbolische Schreibweise repräsentieren (vgl. S.17). So kann ein Rechteck, welches zunächst in n Teile geteilt wird, und wovon dann m Teile eingefärbt werden, als Bild den Bruch repräsentieren. Die Handlung kann anhand eines Blatts Papier, einer Tafel Schokolade, eines Blech Kuchens oder Ähnlichem vorgenommen werden. Dies liefert bereits erste Hinweise auf handlungsorientiertes Arbeiten im Mathematikunterricht.8 Diese Grundvorstellung mit ihren verschiedenen Darstellungsformen bietet eine Grundlage für Vergleiche, Addition und Subtraktion von Bruchzahlen (vgl. Wartha 2011b, S. 17).

3.2.1.2 Teil mehrerer Ganzer

Bei dieser Grundvorstellung geht es darum, dass die Schüler erkennen, dass mehrere verschiedene Teile wiederum ein neues Ganzes bilden (vgl. Padberg 2009, S. 36). Angenommen Familie Müller bestellt für den Familienfernsehabend drei verschiedene Familienpizzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Drei bestellte Pizzen bei Familie Müller, Vom Verfasser erstellt

Zur Familie Müller gehören der Vater, die Mutter, Tim und Susanne. Dabei sollen die bestellten Pizzen gerecht aufgeteilt werden:

Jeder bekommt die in Abbildung 4 gezeigte Pizza.

Es wird also eine dem Zähler entsprechende Größe (Strecke, Pizzas etc.) in dem Nenner entsprechende gleich große Teile geteilt. Im vorangegangen Beispiel sind 3 Pizzen in 4 gleich große Teile geteilt worden, so dass jeder ଷ Pizza bekommt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5:3/4Pizza, Vom Verfasser erstellt

Die zwei Grundvorstellungen unterscheiden sich demnach in der „Reihenfolge des Teilens und Vervielfachens“ (Padberg 2009, S. 37): Beim Teil eines Ganzen wird zunächst zerlegt und dann vervielfacht, während beim Teil mehrerer Ganzer zunächst vervielfacht und dann zerlegt wird (vgl. Padberg 2009, S. 37-38). Gerade in Bezug auf solche wie oben beschriebene Verteilungssituationen ist die bei Schülern recht schwach ausgeprägte zweite Grundvorstellung ein wichtiges Fundament. Sie könnte auch eventuell die

Fehlvorstellung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] {1} verhindern (vgl. Padberg 2009, S. 37-38). Zur ausführlichen Thematisierung von Fehlvorstellungen und Fehlertypen, die im Zusammenhang mit Bruchrechnung häufig auftreten können, sei auf Padbergs Werk „Didaktik der Bruchrechnung“ (2009) verwiesen.

Wie leicht zu erkennen ist, sind beide Grundvorstellungen gleichwertig. Schülern lässt sich dies durch bildliche Darstellungen des Sachverhalts einfach verdeutlichen (vgl. Padberg 2009, S. 38-39). Padberg merkt an, dass die Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen im Sinne des selben Ergebnisses eine wichtige Erkenntnis für Schüler ist, um zu verstehen, warum in beiden Fällen ein und dieselbe Schreibweise verwendet wird (vgl. 2009, S. 38-39).

Für die Anwendung im Unterricht bedeutet das, dass die Grundvorstellung Teil vom Ganzen zunächst im Vordergrund stehen muss. Gleichzeitig darf sie aber auch nicht überbetont werden. Auch die anderen Bruchzahlaspekte, wie der Operatoraspekt, müssen dringend thematisiert werden. Sonst entwickelt sich die Grundvorstellung zu einem zu stabilen Konstrukt anstelle des geforderten Netzwerks, welches wiederum beim Operieren mit Brüchen problematisch werden kann (vgl. Prediger 2011, S. 7).

3.2.2 Grundvorstellungen zu Strategien und Operationen mit Brüchen

Als Strategien versteht Wartha „geeignete Werkzeuge für Lösungsprozesse“ (Wartha 2011b, S. 17). Dabei meint er nicht nur den gesamten Lösungsprozess, wie Multiplikation oder Addition, sondern auch die einzelnen Schritte, die für diesen gesamten Lösungsprozess benötigt werden. Dies kann das Verfeinern oder Vergröbern (Erweitern, Kürzen) sein oder das Finden von gemeinsamen Unterteilungen (Hauptnenner für die Addition). Für Schüler ist es wichtig Grundvorstellungen zu Strategien zu entwickeln, um nicht nur auswendig gelernte Rezepte anwenden zu müssen, da diese sich als sehr fehleranfällig zeigen (vgl. Wartha 2011b, S. 17).

Die dritte Ebene von Grundvorstellungen sind Operationen. Um Grundvorstellungen zu Operationen aufbauen zu können, müssen Schüler schon über Grundvorstellungen zu Bruchzahlen und Strategien verfügen. Operationen sind dabei die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sind entsprechende Grundvorstellungen vorhanden, kann die symbolische Darstellung in Form von Rechenzeichen in Bildern oder Handlungen, das heißt in die ikonische und enaktive Ebene, übersetzt werden (vgl. Wartha 2011b, S. 18]). Weiterhin aus den natürlichen Zahlen übertragbar, sind die Grundvorstellungen in Bezug auf Addition und Subtraktion. Addition kann als Hinzufügen oder Zusammenfassen verstanden werden und Subtraktion als Wegnehmen. Betrachtet man den quasikardinalen Aspekt der Bruchzahlen, so kann Addieren auch als Vorwärtsschreiten und Subtrahieren als Rückwärtsschreiten (auf dem Zahlenstrahl) aufgefasst werden (vgl. Malle 2004, S. 6). Lediglich muss vorher gegebenenfalls die Strategie des Findens einer gemeinsamen Unterteilung angewendet werden. Die Grundvorstellungen in Bezug auf Multiplikation und Division von Brüchen aufzubauen, gestaltet sich hingegen etwas schwieriger. Hier kann nicht mehr in allen Fällen auf die Grundvorstellung zu den natürlichen Zahlen des Vergrößerns bzw. Verteilens zurückgegriffen werden (vgl. Padberg 2009, S. 113). Bei Multiplikation von zwei Brüchen kleiner 1 wird das Ergebnis kleiner statt größer, was zu erheblichen (Verständnis-)Problemen bei Schülern führt (Prediger 2011, S. 7). Als tragfähig erweist sich in Bezug auf die Multiplikation hingegen der „Von-Ansatz“ (Padberg 2009, S. 106, Wartha 2011b, S. 18). Es lässt sich zum Beispiel nach der Anzahl von ଶ Jungen der insgesamt 24 Schülern fragen, was zu der symbolischen Darstellung führt. Dieser Ansatz ist der Einzige, der sich sowohl bei Multiplikation von einem Bruch und einer natürlichen Zahl als auch bei der Multiplikation zweier Brüche aufrechterhalten lässt (vgl. Malle 2004, S. 6).

Zur Division von Bruchzahlen gilt, dass auch hier vorhergegangene Grundvorstellungen der natürlichen Zahlen nur teilweise übernommen werden können. Auf die Grundvorstellung des Verteilens kann nur dann zurückgegriffen werden, wenn es sich bei dem Divisor um eine natürliche Zahl handelt. So kann eine halbe Pizza auf 3 Personen aufgeteilt werden, indem jeder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Stück Pizza erhält. Für die Division zweier Brüche muss allerdings auf die Grundvorstellung des Aufteilens bzw. des Messens zurückgegriffen werden. Dabei werden eine Größe und ein Maß durch zwei Bruchzahlen beschrieben, sodass es zu der Fragestellung kommt, wie oft das Maß in der Größe enthalten ist (vgl. Malle 2004, S. 7). Beispielsweise sei die Frage: Wie oft kann ich Wein in l Flaschen abfüllen? (vgl. Malle 2004, S. 7-8). Anzumerken ist allerdings, dass auch diese Grundvorstellung nur existiert, wenn der Dividend größer oder gleich dem Divisor ist. Im Falle der Division der Bruchrechnung liegt zum ersten Mal eine Rechnung vor, die sich nicht immer mit einer Grundvorstellung sinnvoll erklären lässt und bei der die formale Rechnung nur nach Regeln ausgeführt werden kann (vgl. Malle 2004, S. 8).

Wie bereits erwähnt, müssen sich die Grundvorstellungen zu einem Netzwerk entwickeln (vgl. Vom Hofe und Wartha 2005, S. 203). Die inhaltlichen Vorstellungen zu Zahlen, Strategien und Operationen dürfen nicht isoliert dastehen, können gar ohne einander nicht existieren. Erst die Verwebung dieser Werkzeuge macht das Gerüst tragfähig (vgl. Wartha 2011a, S. 19).

[...]


1 Im Sinne der besseren Lesbarkeit wird bei der Bezeichnung von Personengruppen im Folgenden in der Regel nur die männliche Form verwendet. Sie schließt die Weibliche ein.

2 Ebenfalls zur Rechtfertigung der Bruchrechnung in der Schule: Winter 1999, S. 6-18.

3 Zu Umbrüchen bei Zahlbereichserweiterungen siehe Kapitel 3.2.3.

4 Zu Umbrüchen der Zahlvorstellungen siehe auch Kapitel 3.2.3.

5 Zu Schreibaufträgen siehe auch Kapitel 3.2.3.

6 Siehe auch Bruchzahlaspekt „Lösungen von linearen Gleichungen“ Kapitel 3.2.1.

7 Siehe dazu Kapitel 3.2.3.

8 Zur Handlungsorientierung siehe Kapitel 3.3.

Ende der Leseprobe aus 102 Seiten

Details

Titel
Das Verständnis zur Bruchrechnung angemessen fördern. Analyse von Materialien zur Bruchrechnung aus mathematikdidaktischer Sicht
Hochschule
Justus-Liebig-Universität Gießen
Note
1,0
Autor
Jahr
2013
Seiten
102
Katalognummer
V282377
ISBN (eBook)
9783668458345
ISBN (Buch)
9783668458352
Dateigröße
2803 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
verständnis, bruchrechnung, analyse, materialien, sicht
Arbeit zitieren
Cathleen Baldauf (Autor), 2013, Das Verständnis zur Bruchrechnung angemessen fördern. Analyse von Materialien zur Bruchrechnung aus mathematikdidaktischer Sicht, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/282377

Kommentare

  • Noch keine Kommentare.
Im eBook lesen
Titel: Das Verständnis zur Bruchrechnung angemessen fördern. Analyse von Materialien zur Bruchrechnung aus mathematikdidaktischer Sicht



Ihre Arbeit hochladen

Ihre Hausarbeit / Abschlussarbeit:

- Publikation als eBook und Buch
- Hohes Honorar auf die Verkäufe
- Für Sie komplett kostenlos – mit ISBN
- Es dauert nur 5 Minuten
- Jede Arbeit findet Leser

Kostenlos Autor werden