Mit Hilfe von wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen können Fragen und Probleme aus dem Bereich diskreter Zufallsvariablen (genauer: Zufallsvariablen die als Träger die natürlichen Zahlen einschließlich der 0 haben) in die Analysis verortet werden. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer solchen Zufallsvariablen ist dann als Potenzreihe gegeben. Neben einer einfachen Möglichkeit die üblichen Kenngrößen (Erwartungswert, Varianz und andere Momente) einer Zufallsvariablen zu berechnen, sind wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen vor allem in Anwendungsaufgaben von Bedeutung in denen man die genaue Verteilung der betrachteten Zufallsvariable nicht oder nur mit sehr großem Aufwand angeben kann. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion liefert auch in solchen Fällen Kenngrößen und sogar konkrete Wahrscheinlichkeiten.
Als Voraussetzung sind lediglich Grundkenntnisse der Analysis zum Umgang mit Reihen bzw. Potenzreihen und Grundkenntnisse der Stochastik notwendig, wie sie üblicherweise in einer Einführungsveran staltung gelehrt werden.
Inhaltsverzeichnis
- Vorwort
- 1 Erzeugende Funktionen
- 2 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen
- 3 Erwartungswert und Varianz
- 4 Anwendung
- 5 Rekurrente Ereignisse
- 6 Charakterisierung von Verteilungsfunktionen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Einführung in die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen bietet einen analytischen Ansatz zur Behandlung stochastischer Fragestellungen. Der Fokus liegt auf der Anwendung des Konzepts der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen für diskrete Zufallsvariablen. Die Arbeit behandelt grundlegende Eigenschaften dieser Funktionen und zeigt deren Anwendung in verschiedenen Bereichen der Stochastik auf.
- Definition und Eigenschaften der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen
- Berechnung von Erwartungswert und Varianz mit Hilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion
- Anwendungen der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion in verschiedenen stochastischen Modellen
- Analyse rekursiver Ereignisse mit Hilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion
- Charakterisierung von Verteilungsfunktionen anhand ihrer wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion
Zusammenfassung der Kapitel
- Vorwort: Dieses Kapitel führt in die Entstehung und den Zweck dieser Einführung in die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen ein. Es skizziert die Voraussetzungen für das Verständnis des Materials und die Zielgruppe.
- 1 Erzeugende Funktionen: Dieses Kapitel definiert das Konzept der erzeugenden Funktionen und behandelt deren grundlegende Eigenschaften. Es stellt die Beziehung zwischen erzeugenden Funktionen und Potenzreihen her.
- 2 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen: Dieses Kapitel konzentriert sich auf die Definition und Eigenschaften von wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen. Es zeigt, wie diese Funktionen für diskrete Zufallsvariablen verwendet werden können, um Informationen über deren Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten.
- 3 Erwartungswert und Varianz: Dieses Kapitel demonstriert, wie die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion verwendet werden kann, um den Erwartungswert und die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen zu berechnen. Es zeigt die Vorteile dieser Methode im Vergleich zu anderen Ansätzen.
- 4 Anwendung: Dieses Kapitel präsentiert verschiedene Anwendungen der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion in der Stochastik. Es zeigt, wie diese Funktionen verwendet werden können, um komplexe stochastische Modelle zu analysieren und zu verstehen.
- 5 Rekurrente Ereignisse: Dieses Kapitel untersucht die Anwendung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion bei der Analyse rekursiver Ereignisse. Es zeigt, wie diese Funktionen verwendet werden können, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignissen in der Zukunft zu bestimmen.
Schlüsselwörter
Die zentralen Themen dieser Einführung sind die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen, diskrete Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Anwendungen in der Stochastik, rekurrente Ereignisse, Charakterisierung von Verteilungsfunktionen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion?
Es ist eine Potenzreihe, die diskreten Zufallsvariablen (mit Träger in den natürlichen Zahlen) zugeordnet wird, um stochastische Probleme analytisch zu lösen.
Welche Kenngrößen lassen sich damit berechnen?
Sie bietet eine einfache Möglichkeit, den Erwartungswert, die Varianz und andere Momente einer Zufallsvariablen zu bestimmen.
Warum ist dieser analytische Ansatz vorteilhaft?
Er ist besonders nützlich, wenn die genaue Verteilung einer Zufallsvariablen nur schwer oder mit hohem Aufwand direkt bestimmt werden kann.
Was sind rekurrente Ereignisse?
Rekurrente Ereignisse sind Ereignisse, die sich in stochastischen Prozessen wiederholen. Ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich effizient über erzeugende Funktionen analysieren.
Welche Voraussetzungen braucht man für das Verständnis?
Notwendig sind Grundkenntnisse der Analysis (Umgang mit Reihen und Potenzreihen) sowie Basiswissen in der Stochastik.
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- Markus Hirshman (Author), 2014, Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen. Ein analytischer Ansatz für stochastische Fragestellungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/283778
