Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen. Ein analytischer Ansatz für stochastische Fragestellungen


Seminararbeit, 2014

51 Seiten


Leseprobe

Markus Hirshman
Ein analytischer Ansatz für stochastische Fragestellungen
Wahrscheinlichkeitserzeugende
Funktionen
Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty.
Bertrand Russell
2014


Inhaltsverzeichnis
Vorwort
v
1
Erzeugende Funktionen
1
2
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen
11
3
Erwartungswert und Varianz
17
4
Anwendung
27
5
Rekurrente Ereignisse
33
6
Charakterisierung von Verteilungsfunktionen
41
Literaturverzeichnis
44
iii


Vorwort
Grundlage für diese Einführung in die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen war ein
Vortrag in einem Seminar zur Stochastik an der RWTH Aachen. Im Rahmen des Seminars
wurde die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion für diskrete Zufallsvariablen X mit Träger
T
N
0
definiert und die grundlegenden Eigenschaften hergeleitet. Als Voraussetzung sind
lediglich Grundkenntnisse der Analysis zum Umgang mit Reihen bzw. Potenzreihen und
Grundkenntnisse der Stochastik notwendig, wie sie üblicherweise in einer Einführungsveran-
staltung gelehrt werden.
v


1
Erzeugende Funktionen
In diesem Kapitel werden wir zunächst den Begriff der erzeugenden Funktion einfüh-
ren und an notwendige Aussagen aus der Analysis erinnern. Dabei stehen Aussagen
zu Reihen und Potenzreihen besonders im Vordergrund.
Definition 1.1
Sei (a
n
)
n
N
0
eine Folge reeller Zahlen, dann heißt
A(t) =
n=0
a
n
t
n
= a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
+ . . .
R
[[t]]
erzeugende Funktion
der Folge (a
n
)
n
N
0
.
Unter der erzeugenden Funktion einer Folge (a
n
)
n
N
0
versteht man also eine formale Potenz-
reihe. Somit sollten uns zunächst Fragen zur Konvergenz dieser Reihe in den Sinn kommen. Da
wir die erzeugende Funktion einer Folge aber zunächst lediglich als formale Potenzreihe und t
in diesem Zusammenhang als Symbol auffassen, spielen Konvergenzfragen im Allgemeinen
keine Rolle. Für unsere Zwecke im Rahmen der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen
sind die (dann notwendigen) Konvergenzfragen aber leicht einzusehen. Wir werden später
noch sehen, dass erzeugende Funktionen auch für stochastische Anwendungen eine große
Arbeitserleichterung sein können, um stochastische Kennzahlen diskreter Zufallsvariablen
möglichst einfach zu berechnen.
Wir betrachten einige Beispiele:
Beispiel 1.2
.
1. Sei a
n
= 1 für alle n
N
0
. Dann ist die erzeugende Funktion dieser Folge gegeben durch:
A(t) =
n=0
a
n
t
n
=
n=0
1 · t
n
=
n=0
t
n
.
1

1 Erzeugende Funktionen
Die erzeugende Funktion der konstanten Folge 1
, 1, 1, . . . entspricht also gerade der geome-
trischen Reihe. Diese konvergiert für alle |t| < 1 mit Reihenwert A(t) =
n=0
t
n
=
1
1 - t
.
2. Die erzeugende Funktion der Folge (b
n
)
n
N
0
= (n)
n
N
0
ist gegeben durch B(t) =
n=0
nt
n
. Mit
Induktion kann man für t = 1 die Identität
m
n=0
nt
n
=
(m(t - 1) - 1)t
m+1
+ t
(t - 1)
2
nachweisen, was für |t| < 1 die Konvergenz der Reihe mit
B(t) = lim
m
m
n=0
nt
n
= lim
m
0
(m(t - 1) - 1)t
m+1
+t
(t - 1)
2
=
t
(t - 1)
2
liefert.
3. Die erzeugende Funktion der Folge (c
n
)
n
N
0
= n
2
n
N
0
ist gegeben durch C(t) =
n=0
n
2
t
n
.
Für |t| < 1 ist diese Reihe konvergent, allerdings ist es hierfür mit unseren bisherigen
Möglichkeiten recht mühsam einen geschlossenen Ausdruck für den Reihenwert zu finden.
4. Für (d
n
)
n
N
0
=
1
n!
n
N
0
ist die erzeugende Funktion gegeben durch D(t) =
n=0
1
n!
t
n
= e
t
.
Die Exponentialreihe konvergiert bekanntlich für alle t
R
.
5. In einigen Fällen kann man sich die Frage stellen, ob eine gegebene Funktion die erzeugende
Funktion einer Folge ist und diese Folge explizit angeben.
Sei n
N
fest. Betrachte F :
R
R
, t (1 + t)
n
, dann gilt mit dem binomischen Lehrsatz:
F(t) = (1 + t)
n
=
n
k=0
n
k
t
n
1
k-n
=
n
k=0
n
k
t
n
=
k=0
n
k
t
n
,
wobei die letzte Gleichheit aufgrund von
n
k
= 0 für k > n gerechtfertigt ist.
Somit ist also F die erzeugende Funktion der Folge ( f
k
)
k
N
0
=
n
k
k
N
0
.
Die erzeugende Funktion bzw. die entsprechende Potenzreihe konvergiert also im Allgemeinen
nicht für alle t
R
, wie die ersten drei Beispiele zeigen.
Ist die erzeugende Funktion als Potenzreihe gegeben, so lässt sich in jedem Fall die Folge
(a
n
)
n
N
0
rekonstruieren. Dies geschieht durch Differentiation der Potenzreihe mit anschlie-
ßender Auswertung in t = 0.
2

Satz 1.3
Sei A die erzeugende Funktion einer Folge (a
n
)
n
N
0
. Bezeichnet A
( j)
die j-te Ableitung
von A, dann gilt:
a
j
=
A
( j)
(0)
j!
.
Hier ist die Ableitung zunächst als formale Ableitung zu verstehen.
Beweis: Für j = 0 gilt:
a
0
=
k=0
a
k
0
k
=
A(0)
0!
,
da für k = 0 jeder Summand 0 ist. Mit Induktion ergibt sich:
A
( j)
(t) =
n= j
n!
(n - j)!
a
n
t
n- j
.
Also erhält man in A
( j)
(0) =
n= j
n!
(n - j)!
a
n
· 0
n- j
nur für n = j einen von 0 verschiedenen
Summanden. Damit ist nun:
A
( j)
(0) =
j!
( j - j)!
a
j
= j! · a
j
A
( j)
(0)
j!
= a
j
.
Die erzeugende Funktion enthält also sämtliche Informationen über die ursprüngliche Folge
und es ist möglich, die Folge aus der erzeugenden Funktion zu rekonstruieren.
Wir stellen nun einige Aussagen zu Reihen und Potenzreihen zusammen, die wir im Folgenden
gebrauchen werden. Dazu seien jeweils (a
n
)
n
N
0
und (b
n
)
n
N
0
reelle oder komplexe Folgen.
Definition 1.4
Seien
k=0
a
k
und
k=0
b
k
Reihen. Das
Cauchy-Produkt
dieser Reihen ist definiert durch
k=0
c
k
mit c
k
=
k
j=0
a
j
b
k- j
=
k
j=0
a
k- j
b
j
.
Wir erhalten eine Konvergenzaussage zum Cauchy-Produkt.
3

1 Erzeugende Funktionen
Satz 1.5
Sind die Reihen
k=0
a
k
und
k=0
b
k
absolut konvergent, so ist auch deren Cauchy-Produkt
k=0
c
k
absolut konvergent und es gilt:
k=0
a
k
·
k=0
b
k
=
k=0
c
k
.
Beweis: [vgl.
For13
, S.85-87].
Wir führen den Begriff der Potenzreihe ein.
Definition 1.6
Seien z
0
C
und (a
n
)
n
N
0
eine Folge in
C
. Dann heißt eine Reihe der Form
n=0
a
n
(z - z
0
)
n
, z
C
eine
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z
0
. Sind alle z
0
, z, a
n
R
, so spricht man von
einer reellen Potenzreihe.
Den Zusammenhang von Potenzreihen und Funktionen halten wir in folgendem Satz fest.
Satz 1.7
Zu jeder komplexen Potenzreihe
n=0
a
n
(z - z
0
)
n
, z
0
C
fest, gibt es ein eindeutig bestimm-
tes R
R
+
{}, sodass gilt:
n=0
a
n
(z - z
0
)
n
konvergiert absolut für alle z
C
mit |z - z
0
| < R,
divergiert für alle z
C
mit |z - z
0
| > R.
Es gilt: R = sup r
R
+
| a
n
r
n
n
N
+
ist beschränkt . Man nennt R den
Konvergenzra-
dius
der Potenzreihe.
K
R
(z
0
) := {z
C
| |z - z
0
| < R} heißt
Konvergenzkreis
der Potenzreihe
n=0
a
n
(z-z
0
)
n
, somit
ist durch die Potenzreihe eine Funktion
K
R
(z
0
)
C
, z
n=0
a
n
(z - z
0
)
n
4
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Details

Titel
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen. Ein analytischer Ansatz für stochastische Fragestellungen
Hochschule
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen  (Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik)
Veranstaltung
Stochastik für Lehramtsstudierende
Autor
Jahr
2014
Seiten
51
Katalognummer
V283778
ISBN (eBook)
9783656837312
ISBN (Buch)
9783656837329
Dateigröße
569 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Wahrscheinlichkeit, Stochastik, analytisch, Ansatz, stochastisch, Funktion
Arbeit zitieren
Markus Hirshman (Autor), 2014, Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen. Ein analytischer Ansatz für stochastische Fragestellungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/283778

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