Die Monte Carlo Simulation am Beispiel der Weibull-Verteilung und des stochastischen Projektmanagements


Seminararbeit, 2014
16 Seiten, Note: 1,7

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Weibull-Verteilung
2.1. Definition
2.2. Verteilungsfunktionen bei zwei- und dreiparametrigen Weibull-verteilungen
2.2.1. zweiparametrigen Weibull-Verteilungen
2.2.2. dreiparametrigen Weibull-Verteilungen
2.2.3. Grafische Darstellung der Weibull-Verteilung
2.2.4. Formeln der Verteilungsfunktionen und Zuverlässigkeitstechniken
2.2.5. Beispiel zur Berechnung in Excel

3. Monte Carlo Simulation am Beispiel des stochastischen Projektmanagemenst
3.1. Fallstudie
3.2. Lösung

4. Abbilduldungsverzeichnis

5. Tabellenverzeichnis

6. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Im Rahmen des Moduls Simulationsunterstützung zur Entscheidungsfindung ist der Nutzen von Verteilungsfunktionen von enormer wichtiger. Daher wird im zunächst auf die Weibull-Verteilung eingegangen, diese erklärt und die Anwendungsgebiete der Verteilung dargestellt. Anschließend werden die gewonnen Erkenntnisse aus der Monte-Carlo-Simulation genutzt, um ein stochastisches Modell zur Bewältigung von Fragestellungen aus dem Bereich des Projektmanagement zu erstellen. Das Modell, die Erkenntnisse, sowie der Aufbau wird in Kapitel 3 vorgestellt.

2. Weibull-Verteilung

„Die Weibull-Verteilung ist nach dem schwedischen Ingenieur Waloddi Weibull (1887 - 1979) benannt.[1] Hiermit konnte dieser beispielsweise die Bruchfestigkeit von Werkzeugen beschreiben[2]

Diese Verteilungsart dient somit in der Praxis für die Zuverlässigkeits- und Lebensdaueruntersuchen von Produkten oder aber auch für die Risikobewertung von Lebensdaueruntersuchungen bei Versicherungsunternehmen.[3] Hier kann durch Nutzung der Verteilung die Lebensdauer und Ausfallhäufigkeit der untersuchten Objekte identifiziert werden.

2.1. Definition

Bei der Weibull-Verteilung handelt es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Menge reeler Zahlen.[4]

Dabei besitzt eine stetige Zufallsvariable Y eine Weibull-Verteilung, wenn Sie die Dichte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

besitzt, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt.[5]

Der Parameter λ (oftmals auch als T definiert) wird Skalen-Parameter genannt und β (oft auch als b definiert) wird Gestalts-Parameter genannt.[6] Beide Parameter finden in der zwei-parametrigen und drei-parametrigen Weibull-Verteilung Anwendung, wobei in der drei-parametrigen Verteilung noch die ausfallsfreie Zeit t0 berücksichtig wird.[7]

Die Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung W ei[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat die Gestalt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei wieder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt.[8]

Eine Besonderheit der Weibull-Verteilung, die eine Exponentialverteilung darstellt, ergibt sich einem Faktor von β = 1 mit dem Parameter )[9]

2.2. Verteilungsfunktionen bei zwei- und dreiparametrigen Weibull-verteilungen

2.2.1. zweiparametrigen Weibull-Verteilungen

Wie schon oben angeführt verfügt die zwei-parametrige Weibull-Verteilung über die Parameter Lebensdauer λ oder T und den Formparameter β.[10] Die jeweiligen Ausfälle werden daher hierbei immer bei dem Zeitpunkt t=0 beschrieben. Der Verlauf, sowie die Steigung der Dichtefunktion ist stark abhängig vom Faktor β.[11] Die Größe des Parameters b hat dabei folgende Eigenschaften[12]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Ausfallrate nimmt mit zunehmender Lebensdauer ab. Es lassen sich somit die Frühausfälle beschreiben

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Ausfallrate ist konstant. Formparameter β = 1 eignet sich zum Beschreiben von Zufallsausfällen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Ausfallrate steigt mit zunehmender Lebensdauer deutlich an. Mit β-Werten größer als 1 lassen sich somit Verschleiß und Ermüdungsausfälle beschreiben

In diesem Zusammenhang ist der Parameter β ein Maß für die Streuung der Ausfallzeiten bzw. für die Form der Ausfalldichte.[13] Die Lebensdauer λ ist eine Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. der Überlebenswahrscheinlichkeit R(λ) zugeordnet.[14] Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die Dichtefunktion und die Ausfallraten einer zwei-parametrige Weibull-Verteilung und verschiedenen β-Werten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Dichtefunktion f(t) der zweiparametrigen Weibull-Verteilung bei unterschiedlichen Formparametern β charakteristischen Lebensdauer von T=1) (Quelle: Steinhilper/Rieg: Handbuch Konstruktion; 2012; S.122)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Ausfallraten λ (t) der zwei-parametrigen Weibull-Verteilung bei unterschiedlichen Formparametern β und einer charakteristischen Lebensdauer von T=1) (Quelle: Steinhilper/Rieg: Handbuch Konstruktion; 2012; S.122)

2.2.2. dreiparametrigen Weibull-Verteilungen

Neben den Parametern λ und β besitzt die drei-parametrige Weibull-Verteilung die ausfallfreie Zeit t0 als weiteren Parameter. Dieser liegt beispielsweise bei Verschleiß- und Ermüdungsbrüchen zugrunde, denn es dauert eine gewisse Zeit zur Schadensentstehung und –ausbreitung.

2.2.3. Grafische Darstellung der Weibull-Verteilung

Die grafische Darstellung erfolgt in der Regel mit einem speziellen Weibull-Wahrscheinlichkeitspapier. Unabhängig davon weist jedoch die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) grundsätzlich einen s-förmigen Kurvenverlauf auf. Durch das spezielle Papier ist es jedoch möglich die zwei-parametrige Weibull-Verteilung als Gerade zu zeichnen. Vorteile ergeben sich durch diese Methode für die Auswertung der Grafik, da durch die gewonnen Versuchswerte eine Gerade gelegt werden kann.[15] Die Abszisse ist hier logarithmisch teilbar, während die Ordinate einen doppeltlogarithmischen Maßstab besitzt.[16]

Jede zwei-parametrige Weibull-Verteilung lässt sich so einzeichnen. Die Steigung der Geraden ist dabei ein direktes Maß für den Formparameter β und kann auf der rechten Ordinate abgelesen werden, wenn die Gerade parallel durch den Pol P verschoben wird.[17]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Weibull-Wahrscheinlichkeitspapier: Ausfallkurven der zwei-parametrigen Weibull-Verteilung mit unterschiedlichen Formparametern) (Quelle: Steinhilper/Rieg: Handbuch Konstruktion; 2012; S.123)

Eine drei-parametrige Weibull-Verteilung ergibt im Weibull-Wahrscheinlichkeitspapier jedoch keine Gerade, sondern eher eine gekrümmte Kurve. Es lässt sich jedoch auch die drei-parametrige Weibull-Verteilung als eine Gerade zeichnen, wenn auf der Abszisse die um t0 korrigierten Ausfallzeiten (t – t0) abgetragen werden.[18] Solch eine Zeittransformation führt dazu, dass die drei-parametrige Weibullverteilung auf eine zwei-parametrige Weibull-Verteilung zurückführt.[19] Die nachfolgende Abbildung zeigt die Dichtefunktion einer drei-parametrige Weibull-Verteilung mit und ohne Berücksichtigung der korrigierten Ausfallzeiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Dichtefunktion f(t) der zwei-parametrigen Weibull-Verteilung bei unterschiedlichen Formparametern β charakteristischen Lebensdauer von T=1) (Quelle: Steinhilper/Rieg: Handbuch Konstruktion; 2012; S.122)

[...]


[1] Vgl. Fetouaki; 2011; S.9

[2] Vgl. Weibull; 2051; S.234

[3] Vgl. Fetouaki; 2011; S.9

[4] Vgl. Gabler Wirtschaftslexikon, Stichwort: online im Internet: http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Archiv/17744/weibull-verteilung-v8.html [Zugriff am: 23.09.2014]

[5] Vgl. Fetouaki; 2011; S.10

[6] Vgl. Fetouaki; 2011; S.10

[7] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.122

[8] Vgl. Fetouaki; 2011; S.10

[9] Vgl. Fetouaki; 2011; S.10

[10] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.122

[11] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.122

[12] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.122

[13] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.122

[14] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.122

[15] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.123

[16] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.123

[17] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.123

[18] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.124

[19] Vgl. Steinhilper/Rieg; 2012; S.124

Ende der Leseprobe aus 16 Seiten

Details

Titel
Die Monte Carlo Simulation am Beispiel der Weibull-Verteilung und des stochastischen Projektmanagements
Hochschule
Fachhochschule Südwestfalen; Abteilung Meschede
Note
1,7
Autor
Jahr
2014
Seiten
16
Katalognummer
V284422
ISBN (eBook)
9783656846789
ISBN (Buch)
9783656846796
Dateigröße
944 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
monte, carlo, simulation, beispiel, weibull-verteilung, projektmanagements
Arbeit zitieren
Dariusz Cetera (Autor), 2014, Die Monte Carlo Simulation am Beispiel der Weibull-Verteilung und des stochastischen Projektmanagements, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/284422

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