Die grundlegenden Gleichungen in der Strömungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie stellen ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen dar und beschreiben das Fließverhalten zäher Fluide. Man leitet die Navier-Stokes-Gleichungen unter der Bedingung her, dass die Reibung eine lineare Funktion der Geschwindigkeit ist. In dieser Bachelorarbeit wird die Existenz von schwachen Lösungen unter der Annahme untersucht, dass die Reibung eine beliebige, nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit ist. Genauer soll die Nichtlinearität ein monotoner Operator sein, der symmetrische, reelle 3×3-Matrizen auf ebensolche abbildet. Des Weiteren setzen wir voraus, dass das Fluid homogen und inkompressibel ist: Dies impliziert, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist. Die daraus resultierenden Stokes-Gleichungen nennen wir allgemeine Stokes-Gleichungen. Das Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, folgenden Satz zu beweisen:
Seien das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld zur Zeit t = 0 und homogene Dirichlet-Randbedingungen gegeben. Dann existieren genau ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld u und genau ein Druckfeld p, sodass (u,p) das allgemeine Stokes-Problem im schwachen Sinne löst. Dabei seien äußere Kräfte vernachlässigbar.
In diesem Zusammenhang ist die Frage zu klären, welche weiteren Bedingungen an den monotonen, nichtlinearen Operator gestellt werden müssen.
Im ersten Kapitel leiten wir die Navier-Stokes-Gleichungen unter Vernachlässigung von äußeren Kräften her, um im zweiten Kapitel das allgemeine Stokes-Problem als Anfangs-Randwert-Problem zu formulieren. Im Anschluss konstruieren wir die Helmholtz-Projektion, mit deren Hilfe wir den Druck aus den Gleichungen eliminieren können. Daraus erhalten wir ein äquivalentes Anfangs-Randwert-Problem. Um dieses zu lösen, führen wir im dritten Kapitel die Funktionenräume ein, aus denen wir den Lösungsraum konstruieren können. Da die benötigten Funktionenräume allesamt Hilberträume sind, stellen wir ihre Elemente als Fourierreihen dar. Im vierten Kapitel zeigen wir zunächst, dass das äquivalente Problem höchstens eine schwache Lösung besitzen kann, bevor wir nachweisen, dass tatsächlich eine schwache Lösung existiert. Dazu wenden wir die Galerkin-Methode an, indem wir approximative Lösungen konstruieren.
Inhaltsverzeichnis
1 Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
1.1 Konfigurationen, Euler’sche und Lagrange’sche Darstellung von Bewegungen
1.2 Substantielle Ableitung
1.3 Das Reynolds’sche Transporttheorem
1.4 Die Kontinuitätsgleichung
1.5 Die Euler-Gleichungen
1.6 Die Navier-Stokes-Gleichungen
2 Allgemeines Stokes-Problem
2.1 Hilbertraüme
2.2 Allgemeine konstitutive Gleichung, Formulierung des allgemeinen Stokes-Problems
2.3 Helmholtz-Projektion und Helmholtz-Zerlegung
2.4 Formulierung des äquivalenten Problems, allgemeiner Stokes-Operator
3 Benötigte Funktionenräume
3.1 Hilberträume
3.2 Bochnerräume
3.3 Spuroperator und Spursatz
4 Lösung des äquivalenten Problems
4.1 Eindeutigkeit der schwachen Lösung des äquivalenten Problems
4.2 Approximative Lösungen
4.3 Existenz der Lösung des äquivalenten Problems
5 Fazit und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen für ein allgemeines Stokes-Problem, bei dem die Reibung eines inkompressiblen und homogenen Fluids als nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit modelliert wird. Das primäre Ziel ist der Beweis der Existenz einer eindeutigen schwachen Lösung für dieses mathematische Modell unter vernachlässigten äußeren Kräften.
- Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen für viskose Fluide
- Konstruktion und Anwendung der Helmholtz-Projektion
- Einführung benötigter Funktionenräume und deren mathematische Eigenschaften
- Einsatz der Galerkin-Methode zur Konstruktion approximativer Lösungen
- Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis für schwache Lösungen des äquivalenten Problems
Auszug aus dem Buch
2.3 Helmholtz-Projektion und Helmholtz-Zerlegung
Betrachte für gegebenes b ∈ L2(Q, R3) und unbekanntes u(t, x) ∈ R das Neumann-Randwertproblem
Δxu(t, x) = divx b(t, x), (t, x) ∈ Q, (2.3)
n · ∇xu|∂ Q = n · b|∂ Q. (2.4)
Um den Begriff der schwachen Lösung für (2.3) - (2.4) zu definieren, multiplizieren wir (2.3) mit einer Testfunktion ϕ ∈ H1(Q, R), integrieren über Q und verwenden die erste Green’sche Formel. Wir beachten, dass die Oberflächenintegrale verschwinden, da ϕ am Rand verschwindet.
Definition 2.3.1. Sei b ∈ L2(Q, R3). Dann ist u ∈ H1(Q, R) eine schwache Lösung des Randwertproblems (2.3) - (2.4), wenn für beliebiges ϕ ∈ H1(Q, R) gilt:
(∇xu,∇xϕ)Q = (b,∇xϕ)Q in Q, (2.5)
n · ∇xu|∂ Q = n · b|∂ Q. (2.6)
Es ist bekannt, dass das Randwertproblem (2.3) - (2.4) für beliebiges b ∈ L2(Q, R3) eine eindeutige schwache Lösung uN ∈ H1(Q, R) besitzt. Betrachte nun den Unterraum G ⊆ L2(Q, R3), der gegeben ist durch
G := {∇xu ∈ L2(Q, R3)| u ∈ H1(Q, R)},
und setze
Hsol := {u ∈ L2(Q, R3)| divx u = 0, n · u|∂ Q = 0}.
Man kann zeigen, dass (G, ·Ω) ein Banachraum ist.
Satz 2.3.2 (Helmholtz-Projektion). Definiere den linearen Operator
P : L2(Q, R3) −→ L2(Q, R3),
Pb := ∇xuN ,
wobei uN ∈ H1(Q, R) die eindeutig bestimmte schwache Lösung von (2.3) - (2.4) ist. P ist eine beschränkte und bezüglich (·,·)Q orthogonale Projektion mit R(P) = G und N(P) = Hsol.
Zusammenfassung der Kapitel
Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen: Dieses Kapitel liefert die physikalischen Grundlagen, indem die Navier-Stokes-Gleichungen ausgehend von den Euler-Gleichungen unter Berücksichtigung von Reibung hergeleitet werden.
Allgemeines Stokes-Problem: Hier wird das mathematische Stokes-Problem formuliert, der Druck mithilfe der Helmholtz-Projektion eliminiert und ein äquivalentes Anfangs-Randwert-Problem definiert.
Benötigte Funktionenräume: Dieses Kapitel stellt die notwendigen analytischen Hilfsmittel bereit, insbesondere Hilberträume und Bochnerräume, um einen geeigneten Lösungsraum für die untersuchten Differentialgleichungen zu bilden.
Lösung des äquivalenten Problems: Der Hauptteil der Arbeit beweist die Eindeutigkeit der schwachen Lösung und demonstriert die Existenz durch den Einsatz der Galerkin-Methode und approximativer Lösungen.
Fazit und Ausblick: Hier werden die Ergebnisse zusammengefasst und Möglichkeiten zur Erweiterung des Modells, etwa durch Einbeziehung äußerer Kräfte, skizziert.
Schlüsselwörter
Stokes-Gleichungen, Navier-Stokes-Gleichungen, Nicht-Newton’sche Fluide, schwache Lösung, Helmholtz-Projektion, Sobolev-Räume, Bochnerräume, Galerkin-Methode, partielle Differentialgleichungen, monotone Operatoren, inkompressible Fluide, Strömungsmechanik, Anfangs-Randwert-Problem, Hilberträume, Funktionsanalyse.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Existenztheorie für ein modifiziertes Stokes-Problem in der Strömungsmechanik, bei dem die Reibung als nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit angenommen wird.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die Strömungsmechanik, die Theorie der partiellen Differentialgleichungen, die Funktionalanalysis sowie die Verwendung von Sobolev- und Bochnerräumen zur Lösungsfindung.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das primäre Ziel ist der Nachweis, dass für ein gegebenes Anfangs-Randwert-Problem mit einem monotonen, nichtlinearen Operator eine eindeutige schwache Lösung existiert.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden Methoden der Funktionalanalysis verwendet, insbesondere die Helmholtz-Projektion zur Druckelimination, die Einführung geeigneter Funktionenräume und die Galerkin-Methode zur Konstruktion von Approximationen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der mathematischen Formalisierung, der Definition schwacher Lösungen und dem Beweis der Eindeutigkeit sowie der Existenz der Lösung des äquivalenten Problems.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Stokes-Gleichungen, nicht-Newton’sche Fluide, schwache Lösung, Helmholtz-Projektion, Bochnerräume und Galerkin-Methode.
Warum wird die Helmholtz-Projektion verwendet?
Sie dient dazu, Gradientenfelder (wie den Druckgradienten) aus den Gleichungen zu eliminieren, wodurch ein äquivalentes Problem entsteht, das nur noch vom Geschwindigkeitsfeld abhängt.
Welche Rolle spielt die Monotonie des Operators?
Die Monotonie des nichtlinearen Tensorfeldes ist entscheidend, um die Eindeutigkeit der Lösung sowie die Konvergenz der approximativen Lösungen zu gewährleisten.
- Quote paper
- Daniel Janocha (Author), 2012, Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/285549
