Im diesem Referat im Rahmen eines Proseminares über Zahlentheorie geht es um die oberen Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen [p (r) , p (r+1) ]. Joseph Bertrand formulierte sein berühmtes Postulat, dass zwischen einer beliebigen natürlichen Zahl und ihrem Doppelten mindestens eine Primzahl liegt, konnte es jedoch nur empirisch verifizieren bis n < 3 000 000. Für alle natürlichen Zahlen wurde der Satz erstmals 1850 von Pafnuty Tschebyschef und eleganter 1919 von Shinivasa Ramanujan bewiesen. Paul Erdös fand 1932 ebenfalls einen schlichten Beweis mit Mitteln der elementaren Zahlentheorie. Der folgende Beweis geht hierauf zurück.
Satz (Bertrands Postulat). Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gibt es eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n.
Äquivalent: Sei p (r) eine beliebige Primzahl und p (r+1) ihr direkter Nachfolger. Dann ist 2p (r) > p (r+1) .
Inhaltsverzeichnis
Bertrands Postulat
1. Für n < 4000 gilt der Satz
2. Abschätzung der Primzahlprodukte
3. Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten
4. Abschätzung der Binomialkoeffizienten
5. Beweisführung für n > 4000
Nachtrag: Abschätzungen
I. Abschätzung einer harmonischen Zahl Hn mittels Integralen
II. Abschätzung der Fakultät n! und die Stirlingsche Formel
III. Abschätzung von Binomialkoeffizienten
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Beweis des Bertrands Postulats, welches besagt, dass zwischen einer natürlichen Zahl n und ihrem Doppelten stets mindestens eine Primzahl existiert. Das Ziel besteht darin, den klassischen, auf Paul Erdös zurückgehenden Beweis mittels elementarer zahlentheoretischer Methoden und der Analyse von Binomialkoeffizienten schrittweise herzuleiten.
- Historische Einordnung des Bertrands Postulats
- Induktive Beweisführung mittels Binomialkoeffizienten
- Abschätzung der Primfaktorzerlegung nach Legendre
- Analytische Näherung mittels harmonischer Zahlen und der Stirlingschen Formel
- Widerspruchsbeweis für den Fall n > 4000
Auszug aus dem Buch
Bertrands Postulat
Im folgenden geht es um die oberen Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen [pr, pr+1]. Joseph Bertrand formulierte sein berühmtes Postulat, daß zwischen einer beliebigen natürlichen Zahl und ihrem Doppelten mindestens eine Primzahl liegt, konnte es jedoch nur empirisch verifizieren bis n < 3 000 000. Für alle natürlichen Zahlen wurde der Satz erstmals 1850 von Pafnuty Tschebyschef und eleganter 1919 von Shinivasa Ramanujan bewiesen. Paul Erdös fand 1932 ebenfalls einen schlichten Beweis mit Mitteln der elementaren Zahlentheorie. Der folgende Beweis geht hierauf zurück.
Satz (Bertrands Postulat). Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gibt es eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n. Äquivalent: Sei pr eine beliebige Primzahl und pr+1 ihr direkter Nachfolger. Dann ist 2pr > pr+1.
Beweis. Die Idee dieses indirekten Beweises über vollständige Induktion ist, den Binomialkoeffizienten (2n über n) abzuschätzen. Enthielte dieser Binomialkoeffizient keine Primfaktoren, entstünde ein Widerspruch.
Zusammenfassung der Kapitel
Bertrands Postulat: Einführung in das Theorem und Darlegung der mathematischen Problemstellung sowie der historischen Beweiskontexte.
1. Für n < 4000 gilt der Satz: Verifizierung der Aussage für kleine Werte mittels des Landauschen Tricks und einer spezifischen Primzahlfolge.
2. Abschätzung der Primzahlprodukte: Herleitung der Ungleichung für das Produkt von Primzahlen unterhalb einer Schranke x.
3. Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten: Anwendung des Legendre-Kriteriums zur Analyse der Primfaktoren innerhalb des Binomialkoeffizienten.
4. Abschätzung der Binomialkoeffizienten: Durchführung der numerischen Abschätzung zur Vorbereitung des indirekten Beweises.
5. Beweisführung für n > 4000: Zusammenführung der Teilergebnisse zur Widerlegung der Annahme, dass für n > 4000 keine Primzahl existiert.
Nachtrag: Abschätzungen: Mathematische Hilfsmittel wie Integralschätzung für harmonische Reihen, Stirlingsche Formel und Eigenschaften von Binomialkoeffizienten.
Schlüsselwörter
Bertrands Postulat, Primzahlen, Zahlentheorie, Binomialkoeffizient, vollständige Induktion, Legendre-Formel, Stirlingsche Formel, harmonische Reihe, Primfaktorzerlegung, Analysis, Ungleichungen, Paul Erdös, Landau, Intervallschranken, natürliche Zahlen.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Es geht um den mathematischen Beweis des Bertrands Postulats, das die Existenz mindestens einer Primzahl zwischen n und 2n garantiert.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind elementare Zahlentheorie, Analysis von Primzahlintervallen und die Abschätzung kombinatorischer Terme.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die formale Darlegung des von Paul Erdös modifizierten Beweises für das Postulat unter Verwendung elementarer Methoden.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden Methoden der vollständigen Induktion, der analytischen Abschätzung (Integrale) und zahlentheoretische Hilfssätze angewendet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die schrittweise Abschätzung des Binomialkoeffizienten und die Widerlegung der Annahme, dass es für n > 4000 keine Primzahl in dem geforderten Intervall gibt.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird primär durch Begriffe wie Primzahlen, Binomialkoeffizienten, Abschätzung und Zahlentheorie charakterisiert.
Was besagt die Stirlingsche Formel in diesem Kontext?
Sie dient im Nachtrag dazu, das asymptotische Wachstum der Fakultät n! zu beschreiben, was für die Abschätzung der Binomialkoeffizienten essenziell ist.
Warum spielt der Wert 4000 eine Rolle?
Der Wert dient als Schwellenwert: Unter 4000 lässt sich der Satz empirisch verifizieren, darüber wird der Widerspruchsbeweis geführt.
- Arbeit zitieren
- Alexander Zanabili (Autor:in), 2001, Bertrands Postulat. Obere Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/287704
