In meiner Arbeit entwickle ich Vorschläge zur didaktischen Reduktion/Transformation am Beispiel der Grundlagen mathematischer Funktionen. (....)
Anschließend erfolgt die unreduzierte Darstellung der Grundlagen von Funktionen. Zunächst leite ich den Funktionsbegriff aus der Definition von Relationen ab, da die Funktion ein Spezialfall einer eindeutigen Zuordnung ist. In den meisten Anwendungsfällen wird der Wert einer physikalischen, technischen oder ökonomischen Größe nicht nur von einer, sondern von mehreren Variablen beeinflusst. Aufgrund dieser Tatsache beziehe ich den Funktionsbegriff und die Funktionseigenschaften stets auf den Mehr-Variablen-Fall. Ich beschäftige mich in der unreduzierten Darstellung lediglich mit reellwertigen Funktionen, da komplexe Zahlen im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich keine Anwendung finden. Ich verzichte auf die Beschreibung elementarer und spezieller Funktionen, denn das würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, ist doch bekannt, dass Funktionen fast das gesamte Gebiet der Analysis abdecken. Allerdings wende ich mich Funktionseigenschaften zu, da diese den eigentlichen Reiz an Funktionen ausmachen. Nach kurzer Beschreibung der Darstellungsformen werden nur wesentliche Eigenschaften wie Nullstellen, relative Extrema und Krümmung mathematisch exakt definiert, und ich lasse aus den oben angeführten Gründen Steigung, Beschränkung, Symmetrie usw. von Funktionen aus. Da ich mich in meiner Arbeit aufgrund des Umfangs des Themengebietes mit den Grundlagen von Funktionen beschäftige, beziehe ich auch die Eigenschaften nur auf die Grundlagen von Funktionen. Ich definiere relative Extrema und Krümmung, gebe allerdings keine Hinweise zu ihrer Berechnung. Dies würde die Themen Grenzwert, Differenzierbarkeit usw. voraussetzen, die ich im Rahmen dieser Arbeit nicht erläutern kann.
Nach der unreduzierten Präsentation der Grundlagen von Funktionen auf universitärem Niveau entwickle ich Vorschläge zur didaktischen Reduktion für die Sekundarstufe II und die Sekundarstufe I.
Inhaltsverzeichnis
1 Problemstellung
2 Bedeutung von Funktionen für den Mathematikunterricht
3 Unreduzierte Darstellung von Funktionen
4 Didaktische Reduktion bzw. Transformation
4.1 Grundlagen von Funktionen in der Sekundarstufe II
4.2 Grundlagen von Funktionen in der Sekundarstufe I
5 Anhang
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, Konzepte zur didaktischen Reduktion und Transformation mathematischer Funktionsgrundlagen zu erarbeiten, um diese für den Unterricht an Sekundarschulen zugänglich und verständlich zu machen. Dabei wird die wissenschaftliche Analysis in didaktisch aufbereitete Lernschritte übersetzt, ohne den mathematischen Gehalt zu verfälschen.
- Grundlagen und Definitionen von mathematischen Funktionen
- Methoden der didaktischen Reduktion für unterschiedliche Jahrgangsstufen
- Vergleich zwischen universitärem Anspruch und schulischer Vermittlung
- Anwendung von Funktionen in lebensweltlichen Kontexten
- Operationalisierung der didaktischen Konzepte durch Aufgabenbeispiele
Auszug aus dem Buch
Unreduzierte Darstellung von Funktionen
Funktionen sind ein bedeutender Spezialfall von Relationen. Gegeben seien die Mengen X1, X2, ..., Xn. Die Menge aller geordneter n-Tupel (x1, x2, ..., xn) mit xi ∈ Xi ∀i ∈{1, 2, ..., n} heißt Produktmenge der Mengen X1, X2, ..., Xn und wird definiert durch X1 × X2 × ... × Xn = {(x1, x2, ..., xn) | xi ∈ Xi ∀i ∈{1, ..., n}}. Jede Teilmenge ℜ der Produktmenge X1 × X2 × ... × Xn nennt man Relation. Wird mindestens einem n-Tupel aus X1 × X2 × ... × Xn mehrere Elemente aus Y zugeordnet, so spricht man von einer mehrdeutigen Relation. Dagegen handelt es sich um eine eindeutige Relation, wenn jedem n-Tupel aus X1 × X2 × ... × Xn höchstens ein Element aus Y zugeordnet ist. Eine Funktion ist eine spezielle eindeutige Zuordnung. Eine Funktion f von X1 × X2 × ... × Xn in Y ist eine Zuordnung, die jedem Tupel (x1, x2, ..., xn) ∈ X1 × X2 × ... × Xn genau ein Element y ∈ Y zuordnet. Dabei heißt die Menge X1 × X2 × ... × Xn Vormenge, Definitionsmenge oder Urbildmenge der Funktion f. Die Menge Y wird Nachmenge von f genannt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Problemstellung: Einleitung in die Problematik der didaktischen Vermittlung komplexer mathematischer Inhalte und Erläuterung der Zielsetzung der Arbeit.
2 Bedeutung von Funktionen für den Mathematikunterricht: Darstellung der fundamentalen Rolle von Funktionen innerhalb der Analysis und ihrer Bedeutung für die allgemeine Bildung.
3 Unreduzierte Darstellung von Funktionen: Mathematisch exakte Definition von Funktionen und Relationen als Basis für die weitere didaktische Arbeit.
4 Didaktische Reduktion bzw. Transformation: Erarbeitung von Vorschlägen zur Vereinfachung und Veranschaulichung des Funktionsbegriffs für die verschiedenen Bildungsstufen.
5 Anhang: Bereitstellung von konkreten Aufgabenstellungen zur Operationalisierung der entwickelten didaktischen Konzepte für die Sekundarstufen.
Schlüsselwörter
Didaktische Reduktion, Funktionsbegriff, Analysis, Mathematikunterricht, Sekundarstufe, Mathematische Funktionen, Eindeutige Zuordnung, Relation, Kurvendiskussion, Lernausgangslage, Transformation, Variablen, Lehrplan, Mathematische Modellierung, Unterrichtsplanung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Herausforderung, den komplexen mathematischen Funktionsbegriff so didaktisch aufzubereiten, dass er für Schüler verständlich und motivierend vermittelt werden kann.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen sind die mathematische Definition von Funktionen, die Analyse der didaktischen Reduktion für die Sekundarstufen I und II sowie die praktische Umsetzung in Form von Aufgabenbeispielen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, den Spagat zwischen wissenschaftlicher Exaktheit und notwendiger Vereinfachung (Transformation) zu bewältigen, um Schülern einen Zugang zur Analysis zu ermöglichen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit stützt sich auf eine theoretische Herleitung der Funktionsgrundlagen und entwickelt darauf aufbauend methodisch-didaktische Vorschläge für den Unterricht.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst sowohl die theoretische Definition von Funktionen auf universitärem Niveau als auch die konkrete didaktische Reduktion für den Unterricht in den Klassen 8, 9 sowie in der Sekundarstufe II.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren diese Arbeit?
Wichtige Begriffe sind insbesondere Didaktische Reduktion, Funktionsbegriff, Analysis, Kurvendiskussion und mathematische Transformation.
Warum wird im Unterricht auf die "unreduzierte" Definition von Funktionen verzichtet?
Die universitäre Definition ist für Schüler oft zu abstrakt und demotivierend; daher müssen in der Schule vereinfachte Zugänge wie Proportionalität gewählt werden.
Wie unterscheidet sich die Behandlung von Funktionen zwischen der Sekundarstufe I und II?
In der Sekundarstufe I steht die anschauliche, meist grafische Erarbeitung im Vordergrund, während in der Sekundarstufe II der exakte mathematische Funktionsbegriff eingeführt und angewendet wird.
- Quote paper
- Andreas Wolf (Author), 2003, Didaktische Reduktion / Transformation am Beispiel der Grundlagen mathematischer Funktionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/28771
