Endliche Körper in der Linearen Algebra

Einleitung

Ein endlicher Körper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die Grundoperationen der Multiplikation und Addition definiert sind und die Eigenschaften eines Körpers erfüllt. Beispiele hierzu wären der F2 oder der Z3 Körper.

Als Beispiel die Verknüpfungstabelle des F2-Körpes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mithilfe der Charakteristik kann einem Körper ein bestimmter Zahlenwert zugeordnet werden. Denn mithilfe der neutralen Elemente der Addition und Multiplikation 0 und 1 wird folgendes betrachtet:

Ist 1 das Neutralelement der Multiplikation eines Körpers und gibt es eine kleinste natürliche Zahl χ der Art, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist, so gilt für alle Elemente a des Körpers χ · a = 0 und nennt χ die Charakteristik des Körpers (Char K = χ).

Hierbei gilt:

a) Die Charakteristik eines Körpers ist 0 oder eine Primzahl.

b) Ist K ein Krper der Charakteristik p, so ist[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein Unterkörper von K und heisst Primkörper.

Endliche Körper haben hierbei immer eine Charakteristik = 0, da diese nicht geordnet sind. Geordnete Körper hingegen besitzen die Charakteristik 0. Mithilfe der Charakteristik können wesentliche Eigenschaften endlicher Körper hergeleitet werden, wie zum Beispiel die Veränderung der in unendlichen Körpern bekannten Rechenregeln. So gilt im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dies erklärt folgenden

Sei K ein Körper der Charakteristik p, p eine Primzahl. Dann gilt:,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Beweis:

Der binomische Lehrsatz liefert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]·

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erläuterung:

Die Behauptung folgt aus dem Umstand, dass p ein Teiler vonp!

Bei j = 1,...,p-1 kürzt sich das p im Zähler nicht, da p aufgrund der Primzahleigenschaft nur die Teiler p und 1 besitzt. Da p die Charakteristik des Körpers ist, nehmen diese Terme den Wert 0 an. Bei j = 0 oder j = p kürzt sich das p im Zähler, so dass ap und bp stehen bleibt.

Eine gute Erläuterung bietet das Pascalsche Dreieck:

Potenz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Betrachtung der Koeffizienten des Pascalschen Dreiecks fällt auf, dass bei der Potenz 4 die Formel aus Satz 1.3 nicht zu stimmen scheint, da die 4 kein Teiler der 6 ist. Jedoch liegt es nur daran, dass die 4 keine Primzahl ist und folglich auch keine Charakteristik eines Körpers sein kann. Bei der Potenz 5 z. B. ist die 5 ein Teiler der 10, dort funktioniert die Formel aufgrund der Primzahleigenschaft der 5 wieder.

Beispiel

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Lemma 1.3.1

Sei K ein Körper der Charakteristik p, wie im Satz 1.3. Dann gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Beweis:

Aus dem binomischen Lehrsatz folgt, (a + (−b))p =∑pj=1 ap−j ·(−b)j .Dapein Teiler der mittleren Terme ist, wie im Satz 1.3, bleibt somit übrig: (a + (−b))p = ap + (−b)p = ap - bp, da die Potenz p > 2 ungerade ist, ergibt sich die Behauptung.

Für p = 2 folgt, dass Char K = 2, also besitzt K die Zahl 1 mit der Eigenschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Folglich ergibt sich die Behauptung auch für p = 2.

q.e.d

Beispiel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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