Die mathematische Stauanalyse mit Hilfe des „Nagel-Schreckenberg-Modells“


Facharbeit (Schule), 2014
17 Seiten, Note: 1,6

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Definitionen
2.1. Definition von Stau
2.2. Der „Stau aus dem Nichts“
2.3. Ursachen von Staus

3. Stau Statistik 2011

4. Das „Nagel-Schreckenberg-Modell“
4.1. Zellularautomat
4.2. Aufbau des Modells
4.3. Geschwindigkeitsberechnungen/Regeln
4.3.1 Beschleunigungsregel
4.3.2 Sicherheitsregel
4.3.3 Trödeln
4.4. Ortsberechnung

5. Rechnerisches Beispiel

6. Darstellung des Modells mit Hilfe von Vektoren

7. Grenzen des „Nagel-Schreckenberg-Modells“

8. Erweiterung des „Nagel-Schreckenberg-Modells“
8.1. Geschwindigkeitsberechnungen/Regeln
8.1.1 Spurwechsel
8.1.2 Überholen
8.1.3 Rechtsfahrgebot

9. Rechnerisches Beispiel der Erweiterung

10. Fundamentaldiagramm

11. Fazit

Quellen/Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Viele kennen das Problem, dass gerade zu den Urlaubszeiten viele Staus entstehen. Dies führt des Öfteren zu Stress der Autofahrer und deren Mitreisenden. Die Bundesregierung geht von einem volkswirtschaftlichen Schaden von „ungefähr 250 Millionen € pro Tag“[1] aus, welcher jährlich durch Staus entsteht. Noch ärgerlicher ist es für die meisten Autofahrer, wenn es für diesen Stau keinen erkennbaren Grund gibt, dem „Stau aus dem Nichts“. Deswegen befassten sich Anfang der 1990er Jahre die Physiker Kai Nagel und Michael Schreckenberg mit diesem Problem und entwickelten ein theoretisches Modell zur Simulation des Verkehrs. Dieses Modell heißt deshalb „Nagel-Schreckenberg-Modell“.

Anfang 2011 habe ich bei der Fernsehsendung Nano einen Beitrag gesehen, welcher sich genau mit diesem Problem des Staus befasst hat. Dabei fuhren Probanden in einer festgelegten Kreisbahn und schon nach kurzer Zeit kam es ohne einen erkennbaren Grund zu einem Stau. Diese Problematik fand ich damals schon sehr interessant, habe sie jedoch nicht näher verfolgt. Als ich dann Ende 2013 ein Thema für eine Hausarbeit gesucht habe, ist mir wieder der Fernsehbericht, als mögliches Thema für diese Arbeit eingefallen. Beim Lesen von Artikeln über das Problem „Stau“ habe ich festgestellt, dass es mich immer noch sehr interessiert.

So habe ich mich dann für die mathematische Stauanalyse mit Hilfe des „Nagel-Schreckenberg-Modells“ entschieden.

2. Definitionen

2.1. Definition von Stau

Fast jeder weiß, was ein Stau ist, und hat vermutlich schon selbst in einem gestanden. Für eine exakte wissenschaftliche Untersuchung muss das Phänomen „Stau“ jedoch zunächst näher definiert werden. Ein Stau ist nicht erst entstanden, wenn es auf einer Fahrspur zum Stillstand kommt, sondern die Verkehrsplaner[2] sprechen schon bereits ab einer durchschnittlichen Geschwindigkeit außerhalb einer Ortschaft von unter 8,33 m/s (30 km/h) von einer Verkehrsbehinderung. Dabei spricht man in der Regel von „stockendem Verkehr“. Vom Stau mit stehendem Verkehr spricht man, wenn sich die Fahrzeuge mit durchschnittlich weniger als 2,78 m/s (10 km/h) fortbewegen und wenn der Verkehr kurz zum Stillstand kommt. In einem Stau kann man nie allein sein, denn ein Stau ergibt sich aus der Ansammlung von Kraftwagen, die sich gegenseitig behindern und somit ein möglichst schnelles Vorankommen verhindern.

Zur Erläuterung, hier kurz die Umrechnung der oben genannten Geschwindigkeiten:

2.2. Der „Stau aus dem Nichts“

Die Staus lassen sich oft auf Fahrbahnverengungen wie zum Beispiel Baustellen oder Unfälle und auf Spurwechsel von Fahrzeugen wie zum Beispiel bei Auffahrten, Autobahnkreuzen sowie hoher Auslastung der Fahrbahnspuren zurückführen. Es kommt aber auch zum Stau ohne einen erkennbaren Grund, dem „Stau aus dem Nichts“. Diese Form des Staus ist ein kurzzeitiger Zusammenbruch des Verkehrsflusses, bei dem die Standzeiten des einzelnen Fahrzeuges nicht sehr lang sind. Dennoch kann ein solcher Stau über einen längeren Zeitraum bestehen, bis er sich auflöst. Am Stauanfang fahren genau so viele Fahrzeuge los wie in den Stau hineinfahren. Da ein Fahrzeug ungefähr 1,8 Sekunden braucht um 7,5 Meter Straße freizugeben bis das nächste Fahrzeug losfahren kann, bewegt sich der Stau mit ungefähr 15 km/h gegen die Fahrtrichtung fort.

Zur Erläuterung, hier der Rechenweg, zur Bestimmung der Geschwindigkeit mit der sich der Stau entgegengesetzt der Fahrtrichtung ausbreitet:

2.3. Ursachen von Staus

Es gibt viele Ursachen für die Entstehung von Staus wie zum Beispiel einen „Phantom Stau“, einen Stau durch Verjüngung der Fahrbahn und den sogenannten „Stau aus dem Nichts“

Der „Phantom Stau“. entsteht durch einen auf der Gegenfahrbahn entstandenen Unfall. Weil die Fahrer der Gegenspur abrupt ihre Geschwindigkeit herabsetzen um einen möglichst guten Blick auf den Unfall zu haben, bremsen diese den nachfolgenden Verkehr aus.

Ein weiterer Grund ist die Verjüngung der Fahrbahn[3] wie zum Beispiel durch eine Baustelle. Dabei sollten sich die Fahrer bei einer Fahrspursperrung mit Hilfe des Reißverschlussprinzips[4] kurz vor dem Hindernis in die freie Fahrspur einordnen. Da dies aber oft nicht ordnungsgemäß durchgeführt wird, kommt es zu einem Stau.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Eigene Darstellung

Der „Stau aus dem Nichts“ entsteht durch ein Fehlverhalten[5] von Autofahrern.

3. Stau Statistik 2011

Der ADAC[6] veröffentlichte Ende Dezember 2011 die Staustatistik[7] für Deutschland. Demnach kam es in diesem Jahr zu einer Gesamtstaulänge von 450.000 Kilometern, das sind rund 50.000 Kilometer mehr als 2010. Auch die Anzahl der Staus erhöhte sich von 186.000 registrierten Staus im Jahr 2010 auf etwa

189.000 in 2011. Mit fast 60.000 Staus gab es in Nordrhein-Westfalen die meisten Staus und in Mecklenburg-Vorpommern mit 438 die wenigsten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2

(http://www.adac.de/infotestrat/adac-im-einsatz/motorwelt/Autobahnstaubilanz.aspx).

4. Das „Nagel-Schreckenberg-Modell“

Das „Nagel-Schreckenberg-Modell“[8], welches von Kai Nagel und Michael Schreckenberg 1992 an der Universität zu Köln entwickelt wurde, gibt Aufschluss darüber, wie ein „Stau aus dem Nichts“ entsteht. Sie versuchten den Verkehr in einem Modell zu simulieren. Dieses ist ein Zellularautomaten-Modell, welches eine Überreaktion von dem Fahrer wie zum Beispiel: zu starkes Abbremsen oder zu dichtes Auffahren berücksichtigt. Es berücksichtigt jedoch weder Unfälle, noch das Überholen von Kraftfahrzeugen. Im „Nagel-Schreckenberg-Modell“ habe alle Autos dieselbe Länge.

4.1. Zellularautomat

Ein Zellularautomaten-Modell dient der Veranschaulichung von räumlichen Handlungen. Dabei werden diese in Zellen unterteilt und man kann die Entwicklung der Zellzustände in Abhängigkeit von der Zeit t sehen. Alle Zustandsänderungen der Zellen eines Taktes werden zur gleichen Zeit ausgeführt. Der neue Zustand einer Zelle hängt nicht nur von ihrem eigenen aktuellen Zustand, sondern auch von den aktuellen Zuständen der Zellen in ihrer Nachbarschaft ab. Bei den Nachbarschaften unterscheidet man zwischen der „Moore-Nachbarschaft“ und der „Von-Neumann-Nachbarschaft“ Bei der „Moore-Nachbarschaft“(Abb. 4) sind die Nachbarzellen mit den Kanten der Basiszelle verbunden, während bei der „Von-Neumann-Nachbarschaft“(Abb. 3) nur mindestens eine Ecke mit der Basiszelle verbunden sein muss.

Abbildung 3[9]

Abbildung 4[10]

Ein Zellularautomat kann formal wie folgt beschrieben werden.

ein Raum (Zellraum)

eine endliche Nachbarschaft

eine Zustandsmenge

eine lokale Überführungsfunktion:

4.2. Aufbau des Modells

Die Straße des „Zellularmodells[11] “ ist in einzelne Abschnitte, die Zellen, unterteilt. Eine Zelle kann leer sein oder auch besetzt von einem Fahrzeug. Ein Fahrzeug kann nie zwischen zwei Zellen stehen. Ist in einer Zelle ein Fahrzeug, so ist ihm auch eine Geschwindigkeit zugewiesen. Die Geschwindigkeit v wird in acht ganzzahligen Geschwindigkeitsstufen von v = 0 bis v = 7 gemessen. Dabei entspricht v = 0 der Geschwindigkeit eines stehenden Fahrzeugs (also 0 km/h) und eine Erhöhung von v um eine Geschwindigkeitsstufe entspricht einer Geschwindigkeitszunahme von 27 km/h. So hat also v = 2 eine Geschwindigkeit von 54 km/h und v = 3 eine von 81 km/h bis man die Endgeschwindigkeit von v = 7 = 189 km/h erreicht hat. Die Einheiten v und km/h verhalten sich proportional zueinander, deswegen kann man sie auch mit einer linearen Funktion beschreiben:. Dabei ist die Geschwindigkeit in km/h. Von einer Proportionalität spricht man, wenn ein Verhältnis zwischen zwei veränderlichen Größen, wie hier in diesem Beispiel v und km/h besteht. Ein durchschnittliches Fahrzeug ist 4,5 Meter lang und benötigt jeweils im Stau einen geringen Sicherheitsabstand von 3 Metern zwischen zwei Fahrzeugen. Deswegen ist eine Zelle in der Summe 7,5 Meter lang. Weil man diese 7,5 Meter mit einer Geschwindigkeit von 27 km/h in einer Sekunde zurücklegt und man als Regel die Strecke, die man in einer Sekunde zurücklegt als Sicherheitsabstand haben muss, ist die Anzahl der Zellen zum vorausfahrendem Fahrzeug gleich der Geschwindigkeit v. Hat also ein Fahrzeug eine Geschwindigkeit von v = 3 so muss es auch einen Sicherheitsabstand von 3 Zellen zum vorausfahrendem Fahrzeugen haben.

Berechnung der Einheit v:

Anwendungsbeispiel der oben genannten Funktion mit der Geschwindigkeit v = 3.

Die Geschwindigkeit v = 3 entspricht 81 km/h.

Auch die Zeit wird in diesem Schema berücksichtigt und eine Zeiteinheit wird Runde genannt. In jeder neuen Runde werden für jedes Fahrzeug neue Orts- und Geschwindigkeitsberechnungen durchgeführt.

[...]


[1] http://www.bundesregierung.de/Content/DE/Artikel/WissenschafftWohlstand/2008-01-01-hightech-verkehr-innovationsstrategie-januar-2008.html

[2] http://www.avd.de/startseite/recht-wissen/infothek/avd-stau-tipps/wissenswertes-und-kurioses-zum-thema-stau/?no_cache=1&L=rkilqxcnwsq1%3D1

[3] Vergleiche Abbildung 1

[4] Vergleiche Abbildung 1

[5] Siehe 5. Rechnerisches Beispiel auf Seite 9

[6] Allgemeiner deutscher Automobil Club

[7]://www.adac.de/infotestrat/adac-im-einsatz/motorwelt/Autobahnstaubilanz.aspx

[8] K. Nagel and M. Schreckenberg. A cellular automaton model for freeway traffic

[9] http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Von-Neumann- Nachbarschaft.png&filetimestam

[10] http://de.wikipedia.org/wiki/Moore-Nachbarschaft

[11] Siehe Abbildung 5 auf Seite 8

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten

Details

Titel
Die mathematische Stauanalyse mit Hilfe des „Nagel-Schreckenberg-Modells“
Hochschule
Rheinische Fachhochschule Köln
Note
1,6
Autor
Jahr
2014
Seiten
17
Katalognummer
V293084
ISBN (eBook)
9783656903864
ISBN (Buch)
9783656903871
Dateigröße
1239 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
stauanalyse mit, hilfe, nagel-schreckenberg-modells
Arbeit zitieren
Dennis Altan (Autor), 2014, Die mathematische Stauanalyse mit Hilfe des „Nagel-Schreckenberg-Modells“, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/293084

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