Im Laufe der Schulzeit verändert sich mehrfach der Begriff "Zahl". Das Thema der Reellen Zahlen kommt im Lehrplan in der 8. Schulstufe (4. Klasse AHS) vor. Dort findet man unter "Arbeiten mit Zahlen und Maßen" folgendes: Durch zusammenfassendes Betrachten das Zahlenverständnis vertiefen. Anhand einfacher Beispiele erkennen, dass es Rechensituationen gibt, die nicht mit Hilfe der rationalen Zahlen lösbar sind. Die vorliegende Arbeit geht auf Fachdidaktische Aspekte der Zahlenbereichserweiterung ein.
Inhaltsverzeichnis
1 Von den Rationalen Zahlen zu den Reellen Zahlen
1.1 Lehrplanbezug und Voraussetzungen
1.2 Lernziele
1.3 Die Zahlengerade als Geometrisches Modell
1.4 Motivation und Einfuhrung
1.5 Weiterfuhrende Themen der folgenden Unterrichtseinheiten
1.6 Aspekte der Leistungsberprufung
1.7 Mathematische Hintergrunde zu den reellen Zahlen
1.8 Arbeitsblatt zur Einfuhrungsstunde
1.9 Arbeitsblatt Hausubung
1.10 Leistungsuberprufung zur Einfuhrung der Reellen Zahlen (Kurztest)
1.11 Stundenbild der Einfuhrungsstunde
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, ein didaktisches Konzept für die Einführung reeller Zahlen im Mathematikunterricht zu entwickeln. Die zentrale Forschungsfrage befasst sich damit, wie Schüler die Lückenhaftigkeit der rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden begreifen und den Übergang zu den reellen Zahlen durch geometrische Modelle und Beweise durch Widerspruch nachvollziehen können.
- Lehrplanbezogene Vermittlung der Zahlenbereichserweiterung
- Konstruktion von Zahlen mit Zirkel und Lineal
- Einsatz von Intervallschachtelungen als intuitive Annäherung
- Veranschaulichung irrationaler Zahlen am Beispiel der Quadratwurzel
- Strukturiertes Stundenbild zur aktiven Einbindung der Lernenden
Auszug aus dem Buch
1.4 Motivation und Einfuhrung
Die Schuler wissen an dieser Stelle bereits, dass sich zwischen zwei Rationale Zahlen immer eine weitere Rationale Zahl finden lässt. Dies bedeutet, dass zwischen zwei Rationalen Zahlen sich unendliche viele weitere befinden. Wir bauen diesen Sachverhalt als ”Reaktivieren“ zu Beginn der Unterrichtseinheit ein.
Da man durch oftmalige Unterteilung offensichtlich jedem Punkt auf der Zahlengerade beliebig nahe kommt, liegt der Schluss nahe, jeder Punkt könne durch eine rationale Zahl dargestellt werden. Die Tatache, dass die Rationalen Zahlen die Zahlengerade aber dennoch nicht ausfüllen, also ”Lücken“ frei lassen, kann für die Schuler schwer vorstellbar sein.
Um dies zu widerlegen kann das typische Gegenbeispiel, die Länge der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge 1, herangezogen werden. Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt fur die Diagonale d dieses Quadrates 1^2 + 1^2 = d^2. Demnach ist d also eine Zahl sein, deren Quadrat 2 ist. Man kann zeigen, dass es in Q aber keine solche Zahl gibt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Von den Rationalen Zahlen zu den Reellen Zahlen: Einleitende Betrachtung der mathematischen Anforderungen und Voraussetzungen für die Einführung des neuen Zahlenbereichs.
1.1 Lehrplanbezug und Voraussetzungen: Analyse der notwendigen Vorkenntnisse der Schüler sowie Einbettung des Themas in den offiziellen Lehrplan.
1.2 Lernziele: Definition der kognitiven, affektiven und psychomotorischen Kompetenzen, die durch die Unterrichtseinheit erreicht werden sollen.
1.3 Die Zahlengerade als Geometrisches Modell: Beschreibung der Zahlengeraden als zentrales Werkzeug zur Visualisierung und zum Verständnis der Vollständigkeit.
1.4 Motivation und Einfuhrung: Darstellung der methodischen Vorgehensweise, um das Problem der Lückenhaftigkeit der rationalen Zahlen aufzudecken.
1.5 Weiterfuhrende Themen der folgenden Unterrichtseinheiten: Ausblick auf anschließende Lerninhalte wie Rechenregeln für reelle Zahlen und Intervalle.
1.6 Aspekte der Leistungsberprufung: Konzeptualisierung einer Lernzielkontrolle mittels eines Kurztests zur Überprüfung der vermittelten Inhalte.
1.7 Mathematische Hintergrunde zu den reellen Zahlen: Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen, einschließlich der Körper- und Anordnungsaxiome.
1.8 Arbeitsblatt zur Einfuhrungsstunde: Bereitstellung praktischer Übungsmaterialien zur geometrischen Erweiterung von Quadraten.
1.9 Arbeitsblatt Hausubung: Vertiefung der Konstruktionsfertigkeiten durch Einheitswürfel und weitere geometrische Aufgaben.
1.10 Leistungsuberprufung zur Einfuhrung der Reellen Zahlen (Kurztest): Konkrete Aufgabenstellungen zur schriftlichen Überprüfung des Verständnisses.
1.11 Stundenbild der Einfuhrungsstunde: Detaillierte zeitliche und methodische Planung des Unterrichtsverlaufs.
Schlüsselwörter
Reelle Zahlen, Rationale Zahlen, Zahlengerade, Zahlenbereichserweiterung, Geometrische Konstruktion, Quadratwurzel, Intervallschachtelung, Mathematischer Beweis, Vollständigkeit, Didaktik, Mathematikunterricht, Irrationale Zahlen, Pythagoras, Körperaxiome, Beweis durch Widerspruch.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die didaktische Vermittlung der Erweiterung des Zahlenbereichs von den rationalen zu den reellen Zahlen im Schulunterricht.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Im Fokus stehen das geometrische Verständnis der Zahlengeraden, die Einführung irrationaler Zahlen durch Widerspruchsbeweise und die praktische Umsetzung im Unterricht.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, Schülern verständlich zu machen, warum rationale Zahlen zur vollständigen Beschreibung der Zahlengeraden nicht ausreichen und wie reelle Zahlen definiert sind.
Welche wissenschaftliche Methode wird primär verwendet?
Es wird ein methodisch-didaktischer Ansatz verfolgt, der auf der Verknüpfung von anschaulicher geometrischer Konstruktion und analytischer Beweisführung basiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in didaktische Vorüberlegungen, die schrittweise Einführung der reellen Zahlen, Arbeitsblätter und ein konkretes Stundenbild.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Reelle Zahlen, Zahlengerade, Geometrische Konstruktion, Didaktik der Mathematik und Zahlenbereichserweiterung.
Warum ist die Diagonale des Einheitsquadrats entscheidend?
Sie dient als klassisches Gegenbeispiel, um zu demonstrieren, dass die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden kann.
Wie wird der Widerspruchsbeweis im Unterricht eingesetzt?
Er dient dazu, den Schülern analytisch zu zeigen, dass die Annahme, Wurzel aus 2 sei als Bruch darstellbar, zu einem logischen Widerspruch führt.
Welche Rolle spielen die Arbeitsblätter?
Sie ermöglichen den Schülern eine aktive Auseinandersetzung mit dem Stoff durch konstruktive Aufgaben wie das Zeichnen auf der Zahlengeraden.
- Arbeit zitieren
- Jonas Stecher (Autor:in), 2014, Zahlenbereichserweiterung in der Schule, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/298395
