Das Risikomanagement in Unternehmen gewinnt zusehends an Bedeutung. Dies liegt an dem Wunsch der Unternehmen nach aktiver Steuerung und Kontrolle der eingegangenen Risiken, aber auch an strengeren Regulierungen durch den Gesetzgeber. So wurde als Reaktion auf die Finanzkrise ab dem Jahr 2007 das Reformpaket Basel III vom Basler Ausschuss für Bankenaufsicht beschlossen, das insbesondere eine verbesserte Risikodeckung bei Kreditinstituten vorschreibt. Aktiengesellschaften werden durch das Gesetz zur Kontrolle und Transparenz im Unternehmensbereich (KonTraG) zur Installation von Risikomanagement und -controlling verpflichtet. Ein wichtiger Aufgabenbereich im Risikomanagement ist die Risikobewertung. Risikomaße bieten die Möglichkeit, das Risiko verschiedener Finanzpositionen gegeneinander abzuwägen. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Finanzpositionen bekannt sind. Ein Risikomaß ordnet einer Finanzanlage eindeutig eine reelle Zahl zu. Eine größere Zahl beschreibt ein höheres Risiko und eine kleinere Zahl ein geringeres Risiko, so lässt sich das Risiko verschiedener Positionen miteinander vergleichen. Damit sich ein Risikomaß zur Risikomessung eignet, sollte es jedoch bestimmte Eigenschaften erfüllen. Typische Anforderungen sind Translationsinvarianz, Monotonie, Subadditivität und positive Homogenität, wodurch die Klasse kohärenter Risikomaße definiert wird.
Ziel dieser Arbeit ist es, die Theorie der Risikomaße anhand der Beispiele Entropic Value-at-Risk und Sicherheitsäquivalente vorzustellen. Als Grundlage dienen die Artikel von Ahmadi-Javid (2012b) und Müller (2007), welche jedoch ergänzt und weiter ausgearbeitet wurden.
Zunächst werden wir den Begriff eines Risikomaßes einführen und insbesondere auf kohärente und konvexe Risikomaße eingehen. Von Interesse ist die Möglichkeit der dualen Darstellung solcher Risikomaße. Danach widmen wir uns dem Entropic Value-at-Risk und den damit in Zusammenhang stehenden relativen Entropien. Den Abschluss bilden die aus der Erwartungsnutzentheorie bekannten Sicherheitsäquivalente und die Fragestellung, inwiefern sich diese als Risikomaße eignen.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Grundlagen
2.1. Definition von Risikomaßen
2.2. Kohärente Risikomaße
2.3. Konvexe Risikomaße
2.4. Duale Darstellung
2.5. Value-at-Risk und Conditional Value-at-Risk
3. Entropic Value-at-Risk
3.1. Momenterzeugende Funktionen
3.2. Relative Entropien
3.3. Definition des Entropic Value-at-Risk
3.4. Die duale Darstellung des Entropic Value-at-Risk
3.5. Entropic Value-at-Risk und momenterzeugende Funktionen
3.6. Vergleich zwischen VaR, CVaR und EVaR
3.7. g-entropische Risikomaße
4. Sicherheitsäquivalente als Risikomaße
4.1. Präferenzen
4.2. Motivation
4.3. Definition von Sicherheitsäquivalenten als Risikomaße
4.4. Erste Eigenschaften von Sicherheitsäquivalenten
4.5. Translationsinvarianz und positive Homogenität
4.6. Konvexität und Subadditivität
4.7. Schur-Konvexität und Quasikonvexität
5. Zusammenfassung und Ausblick
A. Anhang
A.1. Konvexe Optimierung
A.2. Konjugierte Funktionen
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht das Risikomanagement in Unternehmen und die mathematischen Grundlagen zur Risikobewertung. Das Hauptziel ist die theoretische Vorstellung und Analyse verschiedener Risikomaße, insbesondere des Entropic Value-at-Risk (EVaR) sowie Sicherheitsäquivalenten, um die Eignung dieser Verfahren für eine aktive Risikosteuerung zu bewerten.
- Theorie und mathematische Eigenschaften kohärenter und konvexer Risikomaße.
- Vertiefende Analyse des Entropic Value-at-Risk (EVaR) und seiner dualen Darstellung.
- Vergleich von VaR, CVaR und EVaR hinsichtlich ihrer Risikoeigenschaften.
- Einsatz von Nutzenfunktionen zur Ableitung von Sicherheitsäquivalenten als Risikomaße.
- Untersuchung von Eigenschaften wie Konvexität, Subadditivität und Schur-Konvexität.
Auszug aus dem Buch
1. Einleitung
Das Risikomanagement in Unternehmen gewinnt zusehends an Bedeutung. Dies liegt an dem Wunsch der Unternehmen nach aktiver Steuerung und Kontrolle der eingegangenen Risiken, aber auch an strengeren Regulierungen durch den Gesetzgeber. So wurde als Reaktion auf die Finanzkrise ab dem Jahr 2007 das Reformpaket Basel III vom Basler Ausschuss für Bankenaufsicht beschlossen, das insbesondere eine verbesserte Risikodeckung bei Kreditinstituten vorschreibt. Aktiengesellschaften werden durch das „Gesetz zur Kontrolle und Transparenz im Unternehmensbereich“ (KonTraG) zur Installation von Risikomanagement und -controlling verpflichtet.
Ein wichtiger Aufgabenbereich im Risikomanagement ist die Risikobewertung. Risikomaße bieten die Möglichkeit, das Risiko verschiedener Finanzpositionen gegeneinander abzuwägen. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Finanzpositionen bekannt sind. Ein Risikomaß ordnet einer Finanzanlage eindeutig eine reelle Zahl zu. Eine größere Zahl beschreibt ein höheres Risiko und eine kleinere Zahl ein geringeres Risiko, so lässt sich das Risiko verschiedener Positionen miteinander vergleichen. Damit sich ein Risikomaß zur Risikomessung eignet, sollte es jedoch bestimmte Eigenschaften erfüllen. Im Artikel von Artzner u. a. (1999) werden die Anforderungen Translationsinvarianz, Monotonie, Subadditivität und positive Homogenität aufgestellt und so die Klasse kohärenter Risikomaße definiert. Die Bedingung positive Homogenität ist jedoch häufig zu stark. Dies liegt daran, dass das Risiko einer Finanzposition in vielen Situationen nicht linear in Höhe der Investition wächst. Daher werden oft konvexe Risikomaße betrachtet, die weniger starke Anforderungen erfüllen müssen (vgl. Föllmer u. Schied (2004)).
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Einführung in die Bedeutung des Risikomanagements und Zielsetzung der Untersuchung verschiedener Risikomaße.
2. Grundlagen: Definition und mathematische Eigenschaften von Risikomaßen, inklusive kohärenter und konvexer Ansätze sowie VaR und CVaR.
3. Entropic Value-at-Risk: Detaillierte mathematische Analyse des EVaR, seiner dualen Darstellung und des Vergleichs zu anderen Risikomaßen.
4. Sicherheitsäquivalente als Risikomaße: Untersuchung von Nutzenfunktionen und wie diese zur Konstruktion von Sicherheitsäquivalenten genutzt werden können.
5. Zusammenfassung und Ausblick: Fazit der Ergebnisse und Ausblick auf zukünftige Fragestellungen in der Risikomessung.
Schlüsselwörter
Risikomanagement, Risikomaße, Entropic Value-at-Risk, EVaR, Value-at-Risk, VaR, Conditional Value-at-Risk, CVaR, Sicherheitsäquivalente, Nutzenfunktionen, Kohärente Risikomaße, Konvexe Risikomaße, Risikoprämie, Finanzmathematik, Optimierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung und Analyse von Risikomaßen, um Finanzrisiken in Unternehmen besser steuerbar und kontrollierbar zu machen.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Zentrale Themen sind die mathematischen Grundlagen von Risikomaßen, der Entropic Value-at-Risk (EVaR) und die Ableitung von Sicherheitsäquivalenten aus der Nutzentheorie.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das primäre Ziel ist es, die Theorie der Risikomaße anhand des EVaR und der Sicherheitsäquivalente darzustellen und deren Eignung sowie mathematische Eigenschaften zu prüfen.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Es werden methodische Ansätze aus der Stochastik, der konvexen Optimierung, der statistischen Entscheidungslehre und der Nutzentheorie verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden zunächst Grundlagen definiert, gefolgt von einer tiefgehenden Analyse des EVaR (inklusive dualer Darstellung) und der Untersuchung von Sicherheitsäquivalenten mittels Nutzenfunktionen.
Durch welche Schlüsselwörter lässt sich die Arbeit charakterisieren?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Risikomanagement, Entropic Value-at-Risk, kohärente/konvexe Risikomaße und Sicherheitsäquivalente kennzeichnen.
Welche Rolle spielen Nutzenfunktionen bei den Sicherheitsäquivalenten?
Nutzenfunktionen dienen dazu, das Verhalten eines risikoscheuen Entscheiders abzubilden, wodurch man einem unsicheren Finanzbetrag eine feste Summe (das Sicherheitsäquivalent) zuordnen kann, die für den Akteur subjektiv gleichwertig ist.
Warum wird der Entropic Value-at-Risk (EVaR) besonders betrachtet?
Der EVaR wird betrachtet, da er als kohärentes Risikomaß eine obere Schranke für den Value-at-Risk darstellt und mathematisch eng mit der momenterzeugenden Funktion verknüpft ist.
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- Daniel Kircher (Autor), 2013, Risikomaße. Untersuchung des Entropic Value-at-Risk und Analyse von Sicherheitsäquivalenten, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/299795
