Die Stunde Null? Aufgreifen von Vorkenntnissen in den ersten mathematischen Lernsituationen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 ,Vor‘ der Schule
2.1 Entwicklung des kindlich mathematischen Verständnisses
2.2 Familie
2.3 Kindergarten
2.3.1 Aufgaben des Kindergartens
2.3.2 Praxisbeispiel ‚Die Reise ins Zahlenland‘
2.3.3 Kenntnis am Ende der Kindergartenzeit

3 Übergang
3.1 Gestaltung des Übergangs
3.2 Testung der Schulfähigkeit

4 Schule – Anfangsunterricht
4.1 Bildungsstandards
4.2 Erwartungen der Lehrerinnen und Lehrer an Schulanfängerinnen und Schulanfänger
4.3 Didaktische Gestaltung
4.4 Arithmetik
4.5 Geometrie

5 Einzelfallstudie
5.1 Rahmenbedingungen
5.2 Design der Forschung
5.3 Beobachtungsprotokolle
5.3.1 Beobachtungen in der Familie und dem Kindergarten
5.3.2 Zwischeninterpretationen
5.3.3 Beobachtungen in dem Anfangsunterricht
5.4 Interpretationen

6 Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang

1 Einleitung

„Ohne mathematisches Grundverständnis ist eine Orientierung im Alltag nicht möglich.“ (HSM & HKM 2012, S. 75). Dieses Zitat aus dem Bildungs- und Erziehungsplan für Kinder von 0 bis 10 Jahren in Hessen macht den hohen Stellenwert der Mathematik für das Leben deutlich. Lehrerinnen und Lehrer haben die verantwortungsvolle Aufgabe, den Kindern die Mathematik näherzubringen und vor allem den Spaß daran bei den Kindern zu wecken

Gerade die erste Klasse ist etwas Besonderes. Für die Schülerinnen und Schüler beginnen ein neuer Lebensabschnitt und eine aufregende Zeit. Die Lehrerinnen und Lehrer müssen sich auf ihre neue Klasse einstellen. Sie kennen ihre Schülerinnen und Schüler noch nicht und wissen nicht oder nur begrenzt durch einen Schulfähigkeitstest, welche Kenntnisse und Fähigkeiten die Schülerinnen und Schüler mitbringen. Vor allem aus diesem Grund sollten Lehrerinnen und Lehrer wissen, was unter anderem in dem Kindergarten geleistet und von den Kindern bereits an Wissen erworben wird.

Im Rahmen eines Praktikums habe ich viele Unterrichtsstunden in einer ersten Klasse hospitieren und auch selbst unterrichten können. Vor allem bei den eigenen Unterrichtsstunden forderte die hohe Heterogenität der Kinder meine volle Aufmerksamkeit. Einige Schülerinnen und Schüler waren mit einer Aufgabe bereits fertig, während andere Schülerinnen und Schüler immer noch mit dem Suchen des Bleistiftes beschäftigt waren. In diesem Zusammenhang stellte ich mir die Fragen, wie ein Unterricht aufgebaut sein muss, um dieser Heterogenität gerecht zu werden und wie dabei die mathematischen Kenntnisse der einzelnen Kinder beachtet werden können. Kann es solch einen idealen Unterricht überhaupt geben?

Gelingt es der Lehrperson nicht, jede Schülerin/jeden Schüler genau dort abzuholen wo sie/er steht, kommt es zwangsläufig zur Über- oder Unterforderung der Schülerinnen und Schüler und kann somit zur Demotivation führen. Dies wäre jedoch fatal, da wie eingangs zitiert, die Mathematik einen besonderen Stellenwert für das Leben hat.

In dieser Arbeit wird daher die Frage behandelt:

‚Inwieweit werden mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten von Schülerinnen und Schülern in dem Mathematikunterricht in den ersten Schulwochen aufgegriffen?‘

Diese Frage soll anhand eines Vergleichs der Forderungen in der Literatur und der Praxis beantwortet werden. Die Praxis wird hierbei durch eine Einzelfallstudie repräsentiert.

Es folgt zunächst ein literaturgestützter Teil. Zuerst sollen in dem Kapitel ;;Vor‘ der Schule‘ die Möglichkeiten aufgezeigt werden, die Kinder von Geburt bis zur Einschulung bezüglich mathematischer Erfahrungen machen können. Der Blick auf die Entwicklung des kindlich mathematischen Verständnisses soll hierbei als Grundlage für die weiteren Ausführungen dienen. Anschließend werden die Einflüsse der Familie auf das Kind und vor allem in Bezug auf deren mathematischen Erfahrungen erläutert. Der Grund aus dem der Kindergarten erst nach dem System der Familie thematisiert wird, ist, dass Kinder bereits vor dem Kindergarten mathematische Erfahrungen in ihren Familien sammeln (können). Im Zuge der Darstellung des Kindergartens werden dessen Aufgaben definiert und anschließend an einem mathematischen Praxisbeispiel ‚Die Reise ins Zahlenland‘ verdeutlicht. Abschließend werden die Kenntnisse der Kinder am Ende der Kindergartenzeit erörtert. Das darauffolgende Kapitel befasst sich mit dem Übergang vom Kindergarten zur Grundschule. Es werden die Gestaltung dessen und die damit in Verbindung stehenden Schulfähigkeitstests dargestellt. Als letztes Kapitel des literaturgestützten Teils der Arbeit wird die Schule und im Rahmen dessen der Anfangsunterricht vorgestellt. Zunächst wird der gesetzliche Rahmen des Anfangsunterrichts in den Bildungsstandards erörtert. Ferner werden Erkenntnisse aus Studien bezüglich der Erwartungen der Lehrerinnen und Lehrern von Schulanfängerinnen und Schulanfängern dargestellt. In dem Unterkapitel ‚Didaktische Gestaltung‘ geht es um die Möglichkeiten zur Erfüllung der Anforderungen an den Anfangsunterricht. Abschließend werden zwei Themenbereiche des Mathematikunterrichts genauer hinsichtlich des Inhalts, der Didaktik und Methodik beleuchtet. Es handelt sich hierbei um die Arithmetik und die Geometrie.

In dem zweiten Teil der vorliegenden Arbeit geht es um die bereits angekündigte Einzelfallstudie. Zunächst werden die Rahmenbedingungen und das Design der Forschung vorgestellt. Anschließend folgen die Beobachtungsprotokolle und deren Interpretationen.

In dem abschließenden Fazit werden die Erfahrungen aus der Einzelfallstudie mit den Erkenntnissen der Literaturrecherche verglichen. Ziel dabei ist es, eine Antwort auf die bereits vorgestellte Arbeitsfrage zu finden. Diesbezüglich ist zu klären, welche Anforderungen und Erwartungen an die Lehrerinnen und Lehrer bezüglich des Anfangsunterrichts gestellt werden. Die Möglichkeiten aber auch Grenzen dieser Forderungen sollen anhand des Fallbeispiels diskutiert werden.

2 ,Vor‘ der Schule

„Wesentliche Voraussetzungen für mathematisches Denken, wie die Entwicklung des Zahlbegriffs, bestehen bereits im Kleinkindalter.“ (Rademacher u.a. 2009, S. 10). Daher ist es in dieser Arbeit von zentraler Bedeutung, zunächst den vorschulischen Bereich darzustellen. Anhand dessen kann analysiert werden, welche Kenntnisse bereits in der Familie und dem Kindergarten erworben werden und welche Voraussetzungen somit für die Schule gelegt werden (müssen).

Der Vorschulbereich wird in diesem Sinne sehr weit gefasst. Das Kind und dessen Entwicklung werden von der Geburt bis zur Einschulung im Zusammenhang mit der Familie und dem Kindergarten betrachtet.

Die im Folgenden angegebenen Altersstufen der Entwicklung sind nur grobe Richtlinien und nicht als feststehend zu begreifen.

2.1 Entwicklung des kindlich mathematischen Verständnisses

Es wird auf Grund einiger Versuche vermutet, dass eine gewisse Sensibilität für Quantitäten angeboren ist (Vgl. ebd. S. 10). Säuglinge fixieren eine Abbildung von drei Objekten länger als eine Abbildung von zwei Objekten. Es lässt sich daraus schließen, dass bereits Säuglinge ein gewisses Mengenbewusstsein besitzen (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 2f.). Dieses Bewusstsein ist jedoch zunächst sehr begrenzt, da Säuglinge nur Mengen bis zu vier Objekte vergleichen können. Bei größeren Mengen muss eine deutliche Differenz vorliegen, damit sie den Unterschied erkennen (Vgl. Rademacher u.a. 2009, S. 10; Hasemann & Gasteiger 2014, S. 2).

Des Weiteren wurde eine deutliche Additionshandlung vor den Augen von Säuglingen vorgeführt. Die Fixierdauer war bedeutend länger, wenn ihnen als Ergebnis eine falsche Anzahl präsentiert wurde. Somit kann ebenfalls ein Bewusstsein für Mengenveränderungen angenommen werden (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 2f.). Es ist fraglich, ob dieses Bewusstsein als arithmetische Fähigkeit gezählt werden kann. Hasemann & Gasteiger formulieren es daher eher offen und gehen davon aus, dass es für Säuglinge bei solchen Additionshandlungen „erwartete und unerwartete Ergebnisse gibt“ (ebd. S. 3).

Die Ergebnisse der Beobachtungen können als Ausgangspunkt für mathematisches Lernen gedeutet werden (Vgl. ebd.). Dehaene bezeichnet dieses Bewusstsein als „Zahlensinn“ (Dehaene 1999, S. 14f.).

Der Zahlbegriff ist nach Hasemann & Gasteiger „ein solides, anschlussfähiges Grundverständnis von Zahlen“ (Hasemann & Gasteiger 2014, S. 3), welches in diesem Alter noch nicht vollständig erworben ist. Vielmehr benötigt es weitere Erfahrungen mit verschiedenen Repräsentationen von Zahlen (Vgl. ebd.).

Bis in die 80er-Jahre ist die Vorstellung der Entwicklung des kindlich mathematischen Denkens hauptsächlich von Piaget geprägt worden (Vgl. Schipper 2011, S. 69). Aufgrund einiger Kritikpunkte an seinem Ansatz zur Entwicklung des Zahlbegriffs, wird in der vorliegenden Arbeit sein Ansatz nicht erläutert, sondern ausschließlich Bezüge zu den von ihm geprägten Begriffen in den aktuellen Ansätzen hergestellt (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 12-17). Zwei zentrale Begriffe, welche in den folgenden vorgestellten Ansätzen nicht enthalten sind, jedoch bis heute noch prägen, sind die Klassifikation und die Seriation. Die Klassifikation ist das Sortieren von Objekten nach bestimmten Merkmalen. Werden die Objekte aufgrund bestimmter Merkmale in eine Reihenfolge gebracht, so handelt es sich um eine Seriation (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 5f.).

Kinder werden von Geburt an mit Zahlen und Zahlworten konfrontiert. Der konkrete Erwerb der Zahlwortreihe beginnt mit zwei Jahren. Die Kinder verbalisieren und verwenden nun selbst Zahlworte. Meist wird die Zahlwortreihe mit drei Jahren als eine Art Gedicht beherrscht, da sie zum Beispiel als Abzählreime in Spielsituationen gelernt und angewandt werden (Vgl. ebd. S. 8).

Für den Erwerb der Zählkompetenz werden verschiedene Teilkompetenzen benötigt, welche Kruckenberg erkannt und Gelman und Gallistel daraufhin als Zählprinzipien formuliert haben (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 19).

Das erste Prinzip ist das Eindeutigkeitsprinzip. Es besagt, dass jedem zu zählenden Objekt genau ein Zahlwort zuzuordnen ist. Andernfalls wird die Anzahl der zu zählenden Menge falsch bestimmt (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 19). Es wird von einer Eins-zu-Eins-Zuordnung gesprochen, welcher bei Piaget ebenfalls eine besondere Bedeutung zukam (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 5). „Diese Zuordnung von Mengen, Ziffern und Zahlenwort wird in der Fachsprache ‚intermodale Zuordnung‘ genannt.“ (Friedrich & Bordihn 2008, S. 17).

Es folgt das Prinzip der stabilen Ordnung. Um die Anzahl der Menge richtig bestimmen zu können, muss die feste Ordnung der Zahlwortreihe beachtet werden. Das zuletzt genannte Zahlwort gibt die Anzahl der abgezählten Menge an. Dies ist das Kardinalzahlprinzip (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 9).

Diese drei ersten Prinzipien beschreiben, „wie gezählt wird“ (Hasemann & Gasteiger 2014, S. 19). Das Beherrschen dieser drei Prinzipien fasst Hasemann als ‚resultatives Zählen‘ zusammen (Vgl. ebd. S. 23).

Das vierte Prinzip ist das Abstraktionsprinzip. Es besagt, dass die oben aufgeführten Prinzipien auf jedes beliebige Objekt zum Zählen angewandt werden können. Unabhängig von der Anordnung der Objekte der zu zählenden Menge, ist das Zählergebnis. Dies besagt das Prinzip der Irrelevanz der Anordnung (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 9). Piaget beschreibt diese gleichbleibende Anzahl unabhängig von der Anordnung als Invarianz von Mengen (Vgl. ebd. S. 5).

Diese zwei letzten Prinzipien beschreiben, „was gezählt werden kann“ (Hasemann & Gasteiger 2014, S. 19).

Generell sind diese fünf Prinzipien als vernetzte Teilkompetenzen zu verstehen (Vgl. ebd. S. 19f.). Die ersten drei Prinzipien werden von Kindern ab einem Alter von zweieinhalb Jahren unbewusst benutzt. Die Gesamtheit der Prinzipien wird den Kindern im Alter zwischen vier und sechs Jahren bewusst. Sie sind somit nicht angeboren, sondern werden im Verlauf eines längeren Lernprozesses erworben (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 9f.).

Es existieren noch weitere Konventionen für das Abzählen einer Menge (beispielsweise die Objekte von links nach rechts abzuzählen). Diese können bei der Anzahlbestimmung hilfreich sein, jedoch sind sie nicht zwangsläufig anzuwenden (Vgl. ebd. S. 10).

Der Erwerb der Zählkompetenz setzt die Kenntnis der Zahlwortreihe voraus. Im Laufe des Erwerbs der Zahlwortreihe wird der Einsatz der Reihe zunehmend differenzierter und kann somit durch verschiedene Entwicklungsstufen beschrieben werden (Vgl. Padberg & Benz 2011, S.10; Hasemann & Gasteiger 2014, S. 22). Das nun vorgestellte Modell ist ursprünglich von Fuson. Die deutschen Namen der Stufen sind von Moser Opitz (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 22).

Die erste Stufe ist die ‚Ganzheitsauffassung der Zahlwortreihe‘. Die Kleinkinder lernen die Zahlwortreihe, wie oben schon erläutert, als eine Art Gedicht und erkennen die einzelnen Zahlworte innerhalb der Sprachmelodie nicht. Außerdem fehlt ihnen das Verständnis dafür, dass Zahlworte Mengen beschreiben (Vgl. Moser Opitz 2008, S. 86). Zusammengefasst bedeutet es, dass Kinder in dieser Stufe noch keine Anzahl bestimmen können. Hasemann bezeichnet das Zählen auf dieser Stufe als ‚verbales Zählen‘ (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 22f.).

Hieran schließt sich die Stufe der ‚Unflexiblen Zahlwortreihe‘ an. Die Kinder können nun die Zahlwörter voneinander trennen und somit Eins-zu-Eins-Zuordnungen herstellen und Anzahlen bestimmen (Vgl. Moser Opitz 2008, S. 86). Hasemann nimmt an dieser Stelle eine weitere Differenzierung bezüglich des Gelingens der Eins-zu-Eins-Zuordnung vor. Während des Übergangs der zwei Stufen misslingt den Kindern teilweise die Eins-zu-Eins-Zuordnung. Hasemann spricht bei dem Misslingen von einem ‚asynchronen Zählen‘. Das ‚synchrone Zählen‘ ist gegeben, wenn die Eins-zu-Eins-Zuordnung stimmt (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 23).

Kleine Mengen können bereits auf dieser Stufe simultan erfasst werden. Die simultane Zahlauffassung^[1] ist ein Ermitteln der Anzahl durch reines Hinsehen ohne die Zahlwortreihe anzuwenden. Kinder können Mengen bis zu fünf Objekten simultan erfassen. Erwachsenen ist dies maximal bis zu sechs Objekten möglich. Größere Mengen können nur durch eine Kombination von Strategien ermittelt werden. Es wird dann von der ‚quasi-simultanen Zahlauffassung‘ gesprochen (Vgl. ebd. S. 17f.).

Des Weiteren können die Kinder auf dieser Stufe (Unflexible Zahlwortreihe) die Zahlwortreihe nicht von einer beliebigen Zahl aus starten, sondern müssen bei dem Zählen immer bei Eins beginnen. Dies ändert sich in der anschließenden Stufe ‚teilweise flexible Zahlwortreihe‘. Nun können sie von jeder beliebigen Zahl aus die Zahlwortreihe fortsetzen und die direkten Nachbarn einer Zahl benennen. Außerdem können sie nun Rückwärtszählen (Vgl. Moser Opitz 2008, S. 86).

‚Flexible Zahlwortreihe‘ lautet die nächste Stufe. Die Kinder können die Zahlwortreihe von einer beliebigen Zahl aus mit einer angegebenen Anzahl an Schritten fortsetzen. Das ist eine grundlegende Fähigkeit für das zählende Rechnen (Vgl. Moser Opitz 2008, S. 86; Hasemann & Gasteiger 2014, S. 22).

Die letzte Stufe ist die ‚vollständig reversible Zahlwortreihe‘. Die Kinder beherrschen die Zahlwortreihe, wie es der Stufenname bereits sagt, vollständig. Sie können in beide Richtungen die Reihe fortsetzen und erhalten dadurch Einblicke in Zusammenhänge zwischen Addition und Subtraktion (Vgl. Moser Opitz 2008, S. 87; Hasemann & Gasteiger 2014, S. 22).

Generell ist zu dem Erwerb der Zahlwortreihe zu sagen, dass während des Erwerbs meist die ersten Zahlen der Reihe in der richtigen Reihenfolge genannt und daran anschließend beliebige Zahlwörter angeschlossen werden, welche von Mal zu Mal variieren. Die Zahlwortreihe bis zwanzig muss gut verstanden sein, sodass das Herleiten der anschließenden Zahlen auf Grund der dekadischen Analogie möglich wird (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 22f.). Kinder erkennen diese Bildungsbeziehungen im Alter zwischen viereinhalb und sechseinhalb Jahren (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 8). Die Erkenntnis der Beziehungen kann jedoch zu Fehlern bei den Zahlenworten ab einhundert führen. Viele Kinder übernehmen die Bildungsbeziehungen der kleineren Zahlen und zählen somit ‚ein-und-hundert, zwei-und-hundert, …‘ oder aber lassen das ‚und‘ weg und zählen ‚einhundert, zweihundert, …‘. Letztere gebildete Zahlen haben sie zudem schon öfters im Alltag gehört, was ihnen bei dem Bilden der Zahlworte ein sicheres Gefühl vermittelt (Vgl. Selter 2008, S. 37). Der soziale Kontakt und sprachliche Kontext ist, wie hier ersichtlich wird, für die Entwicklung von großer Bedeutung (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 23).

Darüber hinaus erleben Kinder im Alltag auf Grund ihrer sozialen Kontakte und ihres sprachlichen Umfelds einen vielfältigen Einsatz von Zahlen. Sie werden mit den verschiedenen Bedeutungen von Zahlen, den sogenannten Zahlaspekten konfrontiert (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 13).

Beschreibt eine Zahl die Anzahl einer Menge, wird von dem Kardinalzahlaspekt gesprochen. Der Ordinalzahlaspekt wird unterteilt in die Ordnungszahl, welche einen Rangplatz benennt (z.B. erster, zweiter,…) und die Zählzahl, welche die Position in einer Reihenfolge definiert (z.B. eine Startnummer bei einem Lauf) (Vgl. ebd. S. 14).

Steht eine Zahl in direkter Verbindung mit einer Größeneinheit, so beschreibt die Zahl eine Größe. Dieser Aspekt ist der Maßzahlaspekt. Bei dem Operatoraspekt wird die Wiederholungsanzahl eines Vorgangs oder einer Handlung beschrieben (Vgl. ebd.).

Wenn Zahlen zum Rechnen benutzt werden, wird von dem Rechenzahlaspekt gesprochen. Hierbei wird der algorithmische Aspekt, wenn Zahlen ziffernweise nach bestimmten Handlungsanweisungen zum Beispiel addiert werden, von dem algebraischen Aspekt, wenn bei der Rechnung bestimmte algebraische Gesetzte angewandt werden, unterschieden (Vgl. ebd.).

Kennzeichnen Zahlen Objekte, sodass diese mit Hilfe der Zahl unterschieden werden können, wird von dem Codierungsaspekt gesprochen (Vgl. ebd.).

Diese Zahlaspekte sind nicht isoliert zu betrachten. Zwar lernen Kinder diese zunächst isoliert kennen, jedoch werden ihnen die Zusammenhänge der Aspekte in der Grundschule immer mehr bewusst. Auf diese Weise erhalten sie nach Padberg & Benz einen „ umfassenden Zahlbegriff, der die verschiedenen Aspekte integriert “ (ebd. S. 15f., Hervorheb. i.O.). Padberg & Benz haben das Erkennen der Zusammenhänge in die Grundschulzeit verortet. Hasemann & Gasteiger haben angelehnt an Fuson eine Abbildung (siehe Anhang I) entworfen, in dem ebenfalls das Erkennen der Beziehungen der Aspekte mit ungefähren Altersangaben versehen ist. Widersprüchlich ist hierbei, dass nach dieser Abbildung Zusammenhänge teilweise bereits im Alter von zwei bis drei Jahren erkannt werden (Vgl. Padberg & Benz 2011, S. 15; Hasemann & Gasteiger 2014, S. 11).

Wie auf Grund der hier vorgenommenen Ausführungen zu erkennen ist, ist die Entwicklung der Zählkompetenz sehr komplex und benötigt viele verschiedene Teilkompetenzen, die miteinander vernetzt sind (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 23). Diese Komplexität führt unter anderem dazu, dass große Unterschiede in der Vorstellung von Zahlen und Größen bei Kindern herrschen. Darüber hinaus ist zu beachten, dass die Entwicklung in unterschiedlicher Art und Geschwindigkeit von statten geht. Es existiert somit eine große Heterogenität im Vorschulalter (Rademacher u.a. 2009, S. 10).

2.2 Familie

„Bildung und Erziehung beginnen in der Familie.“ (HSM & HKM 2012, S. 35). Die Familie ist, wie es das Zitat andeutet, vor allem in den ersten Lebensjahren der einflussreichste Bildungsort. Sie lenkt und beeinflusst den Bildungsprozess des Kindes zum einen direkt durch das, was das Kind innerhalb der Familie erlernt. Bereits Kleinkinder sind bestrebt, die Welt zu begreifen. Die ersten Fragen stellen sie ihren Eltern. Die Antwort und Reaktion auf solche Fragen sind von Eltern zu Eltern sehr unterschiedlich und beeinflussen auf diese Weise schon früh die Wissbegierde und Bildungsprozesse der Kinder (Vgl. BMFuS 2002, S. 18f.).

Des Weiteren werden Kinder im Alltag mit vielfältigen mathematischen Inhalten konfrontiert (Vgl. Acar Bayraktar & Krummheuer 2011, S. 140). In solchen Alltagssituationen sollten Eltern nach Selter bestrebt sein „eine zwanglose, natürliche, durch den Kontext naheliegende Auseinandersetzung mit Mathematik anzuregen“ (Selter 2008, S. 48). Dies kann zum Beispiel durch das Einbinden in das Kochen, Einkaufen und im Zuge dessen das Bezahlen sein (Vgl. Bostelmann 2009, S. 96). Das gemeinsame Spiel in der Familie ist nach Acar Bayraktar & Krummheuer eine Situation des familiären Alltags (Vgl. Acar Bayraktar & Krummheuer 2011, S. 136). In nahezu allen Spielsituationen lassen sich mathematische Inhalte finden. Ob diese thematisiert und besprochen werden, liegt hauptsächlich in den Händen der Eltern (Vgl. Acar & Brandt 2010, S. 10).

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die heterogenen Voraussetzungen der Kinder in ihrer mathematischen Denkentwicklung abhängig sind von der Erziehungs- und Beziehungskompetenz der Eltern, der familialen Aktivitäten und der alltäglichen Erfahrungen. (Vgl. BMFuS 2002, S. 17f.; Acar Bayraktar & Krummheuer 2011. S. 136).

In diesem Zusammenhang sind ethnische und kulturelle Hintergründe der Familie ebenfalls Einflussfaktoren (Vgl. Acar Bayraktar & Krummheuer 2011, S. 136). Diese sind jedoch in der später folgenden Einzelfallstudie nicht von Bedeutung und werden auf Grund dessen an dieser Stelle nicht weiter erörtert.

Zum anderen beeinflusst die Familie den Bildungsprozess des Kindes indirekt. Dies kann zum Beispiel durch die Nutzung und die Wahl des Kindergartens oder aber auch durch die Unterstützung und Motivierung während der Schullaufbahn geschehen. Die Eltern können entscheiden, weitere Bildungsangebote, wie zum Beispiel in dem musisch-ästhetischen Bereich, anzunehmen. Darüber hinaus haben sie die Wahl, ihren Kindern Erfahrungen (beispielsweise mit Tieren) sammeln zu lassen (Vgl. BMFuS 2002. S. 20).

Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Beeinflussung und den der Familie zur Verfügung stehenden Ressourcen. Für das Kind und dessen Entwicklung ist jedoch die Zuwendung, Zeit und Zärtlichkeit das Wichtigste (Vgl. HSM & HKM 2012, S. 35).

An dieser Stelle ist an das Konzept des kulturellen Kapitals von Bourdieu und Coleman zu erinnern. Unter dem kulturellen Kapital sind alle Kulturgüter und kulturellen Ressourcen zu verstehen, welche dem Kind durch die Familie zur Verfügung stehen wie beispielsweise Instrumente und Bücher. Aber auch Fähigkeiten und Kenntnisse die durch die Familie erworben werden, zählen zu dem kulturellen Kapital. Des Weiteren kommt der Vorbildfunktion der Eltern und deren Bildungsgrad eine gewisse Bedeutung hinzu. Zusammenfassend beeinflusst das kulturelle Kapital die Voraussetzungen und Grundlagen für schulische Lernprozesse und den generellen Erfolg im Bildungssystem (Vgl. Bourdieu 2006, S. 112-120; Fuchs-Heinritz & König 2011, S. 164-168).

Die Schule ist unter anderem auf die, wie oben beschriebene, vorbereitende aber auch begleitende Unterstützung durch die Familie angewiesen (Vgl. BMFuS 2002, S. 14f.). So bezeichnen Acar & Brandt die Eltern als ein „paralleles Unterstützungssystem“ (Acar & Brandt 2010, S. 8). Inwieweit dieses Unterstützungssystem als solches funktioniert, ist meist von der Einstellung der Eltern gegenüber der Schule und deren eigenen Erfahrungen während der Schulzeit abhängig. Diese Einstellung beeinflusst zudem maßgeblich die Lernbereitschaft des Kindes. Außerdem wirkt sich eine gute Kooperation zwischen Eltern und Lehrern, welche ebenfalls von der Einstellung der Eltern abhängig ist, positiv auf das Sozialverhalten und die Leistungen der Schülerinnen und Schüler in der Schule aus (Vgl. BMFuS 2002, S. 21).

2.3 Kindergarten

Auf Grund der unterschiedlichen Erfahrungen die die Kinder in der Familie sammeln, fordert Hacker, dass der Elementarbereich dafür Sorge trägt, dass jedes Kind mathematische Erfahrungen sammeln kann (Vgl. Hacker 2008, S. 61). Die heterogenen Erfahrungen und die Tatsache, dass die ersten zehn bis zwölf Jahre die lernintensivsten und entwicklungsreichsten Jahre sind, machen die zentrale Bedeutung der Bildung im Elementarbereich deutlich (Vgl. HSM & HKM 2012, S. 24).

Der Bildungs- und Erziehungsplan für Kinder von 0 bis 10 Jahren in Hessen (im Weiteren als Bildungs- und Erziehungsplan Hessen abgekürzt) stellt ein Orientierungsrahmen für alle Lern- und Bildungsorte auf nationaler Ebene dar. Für den Elementarbereich dient dieser als Richtlinie und beschreibt welche Fähigkeiten und Kompetenzen der Kinder zu beachten und zu fördern sind. Die Gestaltung der Förderung ist dabei jedem Kindergarten selbst überlassen (Vgl. ebd. S. 12, 39 und 56).

Friedrich & Bordihn geben zu beachten, dass die Inhalte des mathematischen Anfangsunterrichts nicht gleichzeitig Ziel des Kindergartens sein sollten. Daraus resultierend sollte es ebenfalls kein Ziel sein, einen Lehrplan für den Elementarbereich bezüglich des Fachs zu entwickeln (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 4).

Dies wird von Selter gestützt. Er gibt zu bedenken, dass die ersten Auseinandersetzungen mit der Umwelt bezüglich mathematischer Phänomene und der Erwerb erster mathematischer Kompetenzen ohne systematische Unterweisung und explizite Förderung erfolgen (Vgl. Selter & Spiegel 2007, S. 20; Selter 2008, S. 43).

Die Frühförderung soll den Einstieg in die Schulmathematik erleichtern, aber auch grundlegende Voraussetzungen schaffen, sodass die Kinder „die Welt mit Hilfe von Begriffen und Erkenntnissen der Mathematik beschreiben und verstehen können.“ (Friedrich & Bordihn 2008, S. 4).

2.3.1 Aufgaben des Kindergartens

„ Mathematik ist Leben und findet im Alltag statt. “ (Bostelmann 2009, S. 7, Hervorheb. i.O.).

Das Zitat erinnert an die Forderung, in der Familie mathematische Inhalte in Alltagssituationen zu erkennen und zu thematisieren. Diese Forderung gilt ebenfalls für den Kindergarten. Die Mathematik und vor allem die Zahlen sollen in den Alltag der Kinder mit eingebunden werden, sodass sie auf Grund ihres Entdeckungsdrangs Interesse daran entwickeln und Erfahrungen sammeln können. Die mathematische Sprache und die dadurch beschriebenen Inhalte sollen den Kindern durch konkrete Handlungen und an Gegenständen verdeutlicht und erfahrbar gemacht werden (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 4). Ein Kind kann die Frage ‚Wie viel ergibt fünf plus zwei?‘ und die rein symbolische Darstellung der Aufgabe ‚5+2‘ nicht verstehen. Wird die Aufgabe durch eine konkrete Handlung zum Beispiel mit Bauklötzen vorgeführt, so kann das Kind die Aufgabe nachvollziehen und (aktiv) lösen (Vgl. Selter & Spiegel 2007, S. 20).

In dem Kindergarten können mathematische Erfahrungen in künstlerische, gestalterische Spiele, in Projekte und spezielle Lernangebote integriert werden (Vgl. Rademacher u.a. 2009, S. 14). Durch eine solche Integration werden die Informationen mit einer Emotion verbunden und auf Grund dessen länger im Gedächtnis gespeichert (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 7f.). Des Weiteren führen positive Emotionen bezüglich eines Fähigkeitsbereichs zu einem positiven Fähigkeitsselbstkonzept des Kindes. Dies ist somit förderlich für die Entwicklung beispielsweise mathematischer Fähigkeiten (Vgl. Rademacher u.a. 2009, S. 17).

Ausgehend von dem bekannten Ausdruck Pestalozzis ‚Lernen mit Kopf, Herz und Hand‘ formulieren Friedrich & Bordihn die Forderung nach einer ganzheitlichen Förderung in dem Elementarbereich. Das bedeutet, den Kindern sollen mathematische Inhalte auf vielfältige Weise dargeboten und begreifbar gemacht werden. Sie sollen alle Sinne zum Verstehen nutzen, denn auf diese Weise können die neuen Informationen, wie bereits beschrieben, am besten gespeichert werden (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 6).

Außerdem können einige allgemeine Kompetenzbereiche auf das mathematische Lernen eine positive Auswirkung haben. Solche sind daher zusätzlich im Elementarbereich zu beachten. Von besonderer Bedeutung sind eine gute Wahrnehmungsfähigkeit sowie die Motorik. Diese müssen ebenfalls gefördert werden (Vgl. ebd. S. 8ff.). Da die bereits thematisierten Abzählreime, aber auch die zu erkennenden Bildungsbeziehungen der Zahlworte mit der Entwicklung einer Sprachkompetenz einhergehen, ist die Förderung dieser Kompetenz ebenfalls zu beachten (Vgl. ebd. S. 6f.). Eine weitere grundlegende Kompetenz für das Lernen ist die Merkfähigkeit. Gelerntes kann dadurch abrufbar gespeichert werden. Dieses somit vorhandene Vorwissen erleichtert das Speichern neuer Sachverhalte und Informationen. Friedrich & Bordihn stellen daher die Gleichung auf: „Je mehr man bereits weiß, desto größer ist die Merkfähigkeit und desto einfacher gelingen Lernprozesse.“ (ebd. S. 9). Zu viele neue Informationen wirken sich jedoch negativ auf die Merkfähigkeit aus. Wichtig sind Wiederholungen und Möglichkeiten zum Anwenden des neu Gelernten. Diese Ausführungen machen die Wichtigkeit der Frühförderung und der Förderung im Elementarbereich deutlich. Die Kinder erwerben bereits in diesem Alter ihre Lernkompetenz, welche sie für das lebenslange Lernen und vor allem für das Lernen in der Schule benötigen (Vgl. ebd.).

Zur allgemein methodischen Gestaltung einer solchen Lernumgebung ist zu sagen, dass Rituale und sichere, strukturierte Rahmenbedingungen von Vorteil sind. Sie geben den Kindern Orientierung und entlasten bezüglich des zeitlichen Ablaufs ihre Aufmerksamkeit, sodass sie sich ausschließlich auf den Inhalt konzentrieren können (Vgl. ebd. S. 14).

Der Bildungs- und Erziehungsplan Hessen spricht dem Elementarbereich eine hohe Verantwortung bezüglich mathematischer Bildung zu. Es werden explizit drei große Bereiche - Pränumerisch, Numerisch und der sprachliche und symbolische Ausdruck mathematischer Inhalte - benannt, welche thematisiert werden sollten. Diese drei Bereiche sind nochmals in einige Teilkompetenzen untergliedert (Vgl. HSM & HKM 2012, S. 75f.).

Es ist an dieser Stelle anzumerken, dass nicht in allen Bildungsplänen für den Elementarbereich der Länder die Mathematik explizit genannt wird oder gar eine solch detaillierte Aufstellung zu finden ist (Vgl. Schipper 2011, S. 68f.; Hasemann & Gasteiger 2014, S. 46).

Für die mathematische Bildung in dem Elementarbereich gibt es einige Konzepte und Praxisvorschläge. Sie setzen ihre Schwerpunkte auf verschiedene Kompetenz- und Fähigkeitsbereiche. Im Folgenden wird das Konzept ‚Die Reise ins Zahlenland‘^[2] von Friedrich und dessen zentrale Bereiche vorgestellt.

2.3.2 Praxisbeispiel ‚Die Reise ins Zahlenland‘

‚Die Reise ins Zahlenland‘ ist ein ganzheitliches, offenes Frühförderkonzept, welches individuell und an die Gegebenheiten des Kindergartens angepasst werden kann (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 18; Friedrich & Schindelhauer 2011, S. 24).

Die Präsentation des Konzeptes in der vorliegenden Arbeit ist folgendermaßen zu begründen: Zwei wissenschaftliche Studien (Friedrich & Munz 2006; Pauen 2009) konnten positive Fördereffekte des Konzeptes nachweisen. Dadurch ist es im Elementarbereich zu einem „Standardkonzept in Deutschland“ (Friedrich & Schindelhauer 2011, S. 24) geworden. Des Weiteren stehen im Zentrum des Konzeptes die zwei mathematischen Inhaltsbereiche Arithmetik und Geometrie, welche in dieser Arbeit ebenfalls schwerpunktmäßig thematisiert werden (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 15ff.).

Ferner geht es um den Kardinal- und Ordinalzahlaspekt. Diese zwei Zahlaspekte sind am häufigsten im Alltag zu finden und besonders wichtig, um ein grundlegendes Zahlverständnis entwickeln zu können. Des Weiteren spielt die Eins-zu-Eins-Zuordnung eine besondere Bedeutung. Die Invarianz der Menge ist eine Grundvoraussetzung des mathematischen Denkens und wird daher ebenfalls in dem Konzept beachtet. Eine weitere wichtige Voraussetzung zum Erkennen mathematischer Strukturen ist die Fähigkeit der Reversibilität (Vgl. ebd.).

Die mathematischen Zusammenhänge sollen den Kindern spielerisch erfahrbar gemacht werden. Das Spiel soll zudem den Spaß an der Mathematik wecken (Vgl. Friedrich & Schindelhauer 2011, S. 26). Allgemein kommt dem Spiel eine bedeutende Rolle bei dem Erwerb mathematischer Fähigkeiten im Alltag zu (Vgl. Bostelmann 2009, S. 9f.). An dieser Stelle können diesbezüglich keine Ausführungen vorgenommen werden. Es ist jedoch auf das Buch „Lasst unsere Kinder spielen!“ von Zimpel (2013) hinzuweisen.

In dem Konzept werden alltägliche, den Kindern bekannte Begriffe wie Land, Stadt und Garten mit Zahlen verbunden. Diese Verknüpfungen erleichtern den Kindern den Zugang zu Zahlen und ermöglichen ihnen vielfältige Erfahrungen (Vgl. Friedrich & Bordihn 2008, S. 18f.).

Vorschulkinder besitzen die Fähigkeit des magischen Denkens, weshalb ihnen das Konstruieren einer märchenhaften Zahlenwelt keine Probleme bereiten sollte (Vgl. ebd. S. 22).

Die Kinder erstellen das Zahlenland, eingeteilt in vier Schritten, selbst. Jeder Schritt beginnt mit einer kurzen Einführung und Erläuterung der Durchführungsmöglichkeiten (Vgl. ebd. S. 20).

Die Zahlen eins bis zehn werden einzeln, der Reihe nach eingeführt. Die Einführung erfolgt anhand eines Märchens und der dazugehörigen Zahlenpuppe (Vgl. ebd. S. 20ff.).

In dem ersten Schritt wird das Zahlenland mit den sogenannten ‚Zahlenpuppen‘ entworfen. Jede Puppe repräsentiert dabei eine Zahl, welche durch eine Besonderheit mit Wiedererkennungswert dargestellt wird. Bei der Thematisierung der Zahl Zwei kann eine solche Besonderheit beispielsweise eine Brille mit zwei Gläsern sein (Vgl. ebd. S. 20).

In dem zweiten Projektschritt werden die Zahlenstadt und die Zahlengärten aufgebaut. Die Form der Zahlengärten entspricht einer geometrischen Form, deren äußere Merkmale ebenfalls die jeweilige Zahl darstellen (z.B. bei der Drei ein Dreieck). Zudem werden die Gärten mit Gegenständen welche die Zahl charakterisieren bestückt. Neben den Zahlen können in diesem Zusammenhang die mathematischen Begriffe Umfang und Fläche thematisiert und erfahrbar gemacht werden. Die Kinder lernen den Umfang als eine ablaufbare Strecke und die Fläche als einen Bereich zum Sitzen und Liegen kennen (Vgl. ebd. S. 22f.).

Für Abwechslung sorgen die zwei Spielfiguren ‚Zahlenkobold‘ und ‚Zahlenfee‘. Eine Erzieherin/ein Erzieher verkleidet sich als solch eine Figur und begibt sich in die Zahlenstadt. Der Zahlenkobold steht für die Unordnung und Unregelmäßigkeit und vertauscht die angeordneten Zahlen und Gärten. Taucht er auf, müssen die Kinder die entstandenen Fehler in ihrer Zahlenstadt korrigieren. Die Zahlenfee repräsentiert hingegen die Ordnung und spielt mit den Kindern Rechenspiele. Bezüglich der Spiele werden einige Vorschläge gemacht, die jedoch nicht verpflichtend sind. Ein vorgeschlagenes Spiel ist die ‚Zahlenmusik‘. Die Fee spielt auf einem beliebigen Instrument eine gewisse Anzahl an Tönen. Diese Anzahl müssen die Kinder durch genaues Hinhören herausfinden (Vgl. ebd. S. 25f.).

Der dritte Schritt sind die Zahlenhäuser und Zahlentürme. Dies ist das einzig explizit vorgegebene Material. Die Häuser bestehen aus Holzwürfeln mit Würfelaugen. Diese stellen die jeweilige Zahl dar. Auf die Häuschen werden Fähnchen mit der jeweiligen Ziffer draufstehend gesteckt. Diese symbolisieren die Hausnummern. Es wird somit Bezug zum Ordinalzahlaspekt genommen. Außerdem werden Zahlentürme auf die Häuser gebaut. Sie bestehen aus einzelnen Klötzchen. Ihre Anzahl entspricht der Hausnummer. Mit diesen Türmen können nun einige Versuche beispielsweise bezüglich der Zahlzerlegung gemacht werden. Die Zahlzerlegung ist eine Grundvoraussetzung für das Rechnen über die Zehn hinweg (Vgl. ebd. S. 26f.).

Als vierter Schritt werden die Zahlenwege und Zahlentreppen erstellt. Die kinästhetischen Erfahrungen stehen hierbei im Mittelpunkt. Ziel ist es, eine Umgebung herzustellen, die zum Zählen anregt. Die Wege oder Treppen, welche mit der Zahlenreihenfolge bestückt wurden, können nun von den Kindern begangen und dabei gleichzeitig gezählt werden. Auf diese Weise unterstützt die körperliche Bewegung die kognitive Leistung. Bei der Treppe kommt, anders als bei dem Weg, noch der Aspekt der Höhe hinzu (Vgl. ebd. S. 28).

Es wird deutlich, dass das Konzept handlungsorientiert ist und weitere nicht mathematische Kompetenzen, wie beispielsweise die Sprachkompetenz, ebenfalls beachtet und fördert (Vgl. Friedrich & Schindelhauer 2011, S. 24).

Allerdings geben Hasemann & Gasteiger zu bedenken, dass die emotionale Beziehung zu den Zahlen der abstrakten Idee der Zahlen widerspricht. Darüber hinaus wird auf Grund der märchenhaften Einbettung die ständige Präsenz der Erzieherin/des Erziehers benötigt. Dies hindert die Kinder an einer selbstständigen Reflexion. Des Weiteren ist nach Hasemann & Gasteiger ein kritischer Blick auf die Personifizierung der Zahlen zu werfen (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 51f.). Gasteiger schreibt der Konzeption eine verschulte Art zu, welche für den Elementarbereich kritisch zu betrachten ist (Vgl. Gasteiger 2011, S. 5).

2.3.3 Kenntnis am Ende der Kindergartenzeit

Auf Grund der Erfahrungen mit mathematischen Inhalten in der Familie und dem Kindergarten sollten die Kinder am Ende der Kindergartenzeit gewisse mathematische Kenntnisse erworben haben. Um welche arithmetischen und geometrischen Kenntnisse es sich handelt und inwieweit sie in diesem Alter ausgeprägt sein sollten, wird im Folgenden dargestellt.

Anhand der Untersuchung von Schmidt zur Zahlkenntnis und Zählfähigkeit bei Schulanfängerinnen und Schulanfängern konnte gezeigt werden, dass 99,4% der befragten Kinder bis fünf und 70% der Kinder bis zwanzig zählen konnten (Vgl. Schmidt 1982, S. 371). In einer jüngeren vergleichbaren Studie von Deutscher können 100% der Kinder bis zehn und 77,8% der Kinder bis zwanzig zählen (Vgl. Deutscher 2012, S. 259). Nach Schipper ist ein drastischer Leistungsabfall zu erkennen, wenn der Zahlenraum von zwanzig überschritten wird (Vgl. Schipper 2011, S. 79). So können beispielsweise 15,1% der Kinder bei Schmidt und 22,2% der Kinder bei Deutscher bis hundert zählen (Vgl. Schmidt 1982, S. 371; Deutscher 2012, S. 260). Dies hängt mit den Bildungsbeziehungen der Zahlworte zusammen, wie bereits in 2.1 erläutert (Vgl. Schipper 2011, S. 79). Um Rückwärtszählen zu können, müssen die Kinder die Vorgänger einer Zahl benennen können. Dies kann ein Drittel aller Schulanfängerinnen und Schulanfänger. Es ist somit ein Förderbedarf des Rückwärtszählens festzustellen (Vgl. ebd. S. 83f.).

Es kann allerdings nicht von der Kenntnis der Zahlwortreihe auf weitere Fähigkeiten wie beispielsweise auf das resultative Zählen geschlossen werden. Für dieses resultative Zählen müssen zudem mindestens die ersten drei Zählprinzipien, welche in 2.1 vorgestellt wurden, verstanden und angewandt werden (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 19 und 23).

Ergebnisse des Osnabrücker Tests, welcher bei den Schulfähigkeitstests genauer vorgestellt wird, ergaben, dass nur 58% der Kinder zwanzig geordnete Klötze abzählen konnten. Die Zahl der Kinder sank nochmals bei dem Abzählen zwanzig ungeordneter Klötze (Vgl. ebd. S. 29). Diese Ergebnisse zeigen, dass die Anordnung von zu zählenden Objekten die Zählkompetenz zusätzlich beeinflusst (Vgl. Schipper 2011, S. 83).

Bei Aufgaben zur Erfassung strukturierter Mengen ist eine große Differenz der Geschwindigkeit beim Lösen zu beobachten. Leistungsstarke Kinder greifen auf ihnen bekannte Muster zurück und erfassen die Anzahl simultan oder quasi simultan. Leistungsschwache Kinder hingegen gebrauchen aufwendige Zählstrategien (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 30ff.). Die größten Schwierigkeiten haben Kinder bei der quasi-simultanen Zahlauffassung, wobei dies eine wichtige Kompetenz zur Entwicklung von Rechenstrategien ist (Vgl. Schipper 2011, S. 83). Daher sollten auch im Anfangsunterricht Situationen geschaffen werden, die den Kindern das Zählen größerer Mengen in diverser Anordnung zur Aufgabe machen (Vgl. ebd.).

Schmidt testete ebenfalls die Zuordnung von Zahlwörtern und Zifferndarstellung zu einer Menge und umgekehrt. Es ist zu beobachten, dass die Kinder mit den Zahlwörtern sowie den Zifferndarstellungen in gleichem Maße umgehen können (Vgl. Schmidt 1982, S. 373f.). Schmidt hält zusammenfassend fest, dass die Kinder „beachtliche Fähigkeiten im kardinalen Gebrauch der Zahlen, insonderheit im quantifizierenden Zählen, besaßen“ (ebd. S. 374).

Wie bereits beschrieben, können die Kinder die Ziffern oft richtig lesen. Allerdings entstehen bei dem Schreiben der Ziffern meist Schwierigkeiten und teilweise Verwechslungen (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 30). Daher ist ein Ziffernschreiblehrgang in dem Anfangsunterricht durchzuführen. Auf die Wichtigkeit und die Umsetzung dieses Lehrgangs wird in 4.4 ‚Arithmetik‘ eingegangen (Vgl. Schipper 2011, S. 79).

Bei dem Vergleich von Zahlen ist für die Kinder die Formulierung der Frage ein sehr beeinflussendes Kriterium. Die Kinder achten besonders auf die Unterscheidung zwischen ‚ist größer als‘ und ‚ist mehr als‘. Ersteres verstehen sie ausschließlich im Sinne der Größe und zweites im Sinne der Anzahl. Diese strikte Unterscheidung kann bei Zahlvergleichen zu Missverständnissen und Fehlern führen. Wird ein Kind nach der größeren von zwei Zahlen gefragt, argumentiert das Kind rein von dem Optischen der Ziffer. Es entstehen somit falsche Antworten. Werden die Kinder gefragt, welche von zwei Zahlen mehr ist, beantworten die Meisten die Aufgabe richtig. Es wird hier deutlich, dass die Kinder eine besondere Sensibilität für diese Fragestellungen haben, weshalb Hasemann & Gasteiger deren Thematisierung in dem Anfangsunterricht verstärkt fordern (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 32f.).

Kinder können bereits vor Eintritt in die Schule leichte Additions- und Subtraktionsaufgaben lösen. Wie schon erwähnt, fällt ihnen dies leichter, wenn die Aufgabe anhand einer Handlung oder mit Hilfe von Gegenständen dargeboten wird. Auf diese Weise können 90% der Kinder leichte Aufgaben lösen (Vgl. Deutscher 2012, S. 274). Beim Lösen nutzen die Kinder unterschiedliche Zähl- und Rechenstrategien. Diese Unterschiede sind abhängig von der Art ihres Denkens und somit der Repräsentation der Aufgabe in ihrem Kopf. Es wird hierbei von einem „mentalen Modell“ (Greeno 1989) gesprochen, welches im Kopf konstruiert wird. Vor allem leistungsschwache Schülerinnen und Schüler haben bei der Konstruktion solcher mentalen Modelle Schwierigkeiten und benötigen unbedingt Hilfe und Unterstützung (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 33-37). Additions- und Subtraktionsaufgaben, die den Kindern in einer Rechengeschichte und einem passenden Bild mit Abzählmöglichkeit präsentiert werden, werden von 50% bis 75% der Kinder gelöst. Steht den Kindern keine Abzählmöglichkeit zur Verfügung, sinken die Anzahlen der richtig gelösten Aufgaben. Additionsaufgaben werden in diesem Fall noch öfters richtig gelöst als Subtraktionsaufgaben. Es wird ein Zusammenhang zu den Differenzen in den Fähigkeiten des Vorwärts- und Rückwärtszählens vermutet. Wie es indirekt schon angeklungen ist, wird bei solchen Aufgaben nicht nur die Rechenfähigkeit sondern sehr stark die (Ab-)Zählkompetenz getestet (Vgl. Schipper 2011, S. 85).

Wie Hasemann & Gasteiger abschließend erwähnen, sind die geschilderten arithmetischen Kenntnisse sehr gut ausgeprägt und umfangreich. Trotz allem sind die ein bis drei Prozent der Kinder zu beachten, die zu Schulbeginn noch nicht bis fünf beziehungsweise zehn zählen können (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 37f.).

Passend zur Eingangsfrage dieses Unterkapitels hat Schipper eine Tabelle zur „Kompetenzerwartung im Bereich von Zahl- und Operationsverständnis im vorletzten und letzten Jahr vor der Einschulung“ (Schipper 2011, S. 77) erstellt. Diese fasst das bisher Erläuterte prägnant zusammen und ist im Anhang (II) zu finden.

Zu den geometrischen Vorkenntnissen gibt es keine solch umfangreiche Studie und Auswertung. Es ist jedoch davon auszugehen, dass bereits Kleinkinder zahlreiche Erfahrungen mit geometrischen Formen und Figuren sammeln, indem sie diese betrachten und berühren. Daher können Kinder weit vor dem Benennen geometrischer Figuren diese schon unterscheiden. Das Benennen der Formen fällt den Kindern meist schwer, da sie oft zur Benennung Oberbegriffe oder Eigenschaftsbegriffe verwenden oder sie aber durch Vergleiche beschreiben. Außerdem haben Kinder im Alter zwischen drei und sechs Jahren prototypische Vorstellungen von Formen und sind somit in der Benennung begrenzt (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 40f.). Es entsteht somit eine Heterogenität in dem Benennen und Beschreiben von geometrischen Formen (Vgl. Hellmich & Kiper 2006, S. 77).

Generell kann bei einigen Vorschulkindern hinsichtlich der Raumvorstellung eine gewisse Fähigkeit beobachtet werden. Ihnen sind Begriffe zur Raum-Lage-Beziehung bekannt, jedoch ist der Umgang damit nicht immer fehlerfrei. Die Begriffe Links und Rechts sind am fehleranfälligsten in der Anwendung. Am meisten Probleme bereitet es den Kindern, mental verschiedene Positionen einzunehmen (Vgl. Hasemann & Gasteiger 2014, S. 40).

Viele Erfahrungen und Kenntnisse haben Kinder in dem Bereich der Symmetrie sammeln können, da (in Ansätzen) unser eigener Körper aber auch viele Gegenstände aus der Umwelt symmetrisch sind. Bei dem korrekten Ergänzen einer halben Figur gibt es jedoch Unterschiede, welche vermutlich mit dem Erkennen der zu entstehenden Gesamtfigur zusammenhängen (Vgl. Franke 2007, S. 218 und 225ff.).

Eine Studie zu den Kenntnissen im Bereich Geometrie von Schulanfängerinnen und Schulanfänger wurde von Grassmann (1996) durchgeführt. Die Ergebnisse bestätigen das zuvor Erläuterte. Es wurden ebenfalls ein sicherer Umgang mit geometrischen Inhalten und die Schwierigkeiten mit geometrischen Begriffen festgestellt. Widersprüchlich zu dem oben Erläuterten ist, dass die Studie herausfand, dass die Kinder Schwierigkeiten bei der Benennung von Eigenschaften von Figuren hatten (Vgl. Hellmich & Kiper 2006, S. 80).

Solche zitierten Studien zu den Vorkenntnissen der Kinder vor Schuleintritt werden unter einem sogenannten ‚Anknüpfungsmotiv‘ durchgeführt. Ziel ist es, auf Grund der Ergebnisse einen gleitenden Übergang zu gestalten (Vgl. Schipper 2011, S. 78). Der Übergang wird im Folgenden thematisiert.

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^[1] Simultane Zahlauffassung wird auch ‚Subitizing‘ genannt.

^[2] In anderer Literatur wird es auch ‚Komm mit ins Zahlenland‘ genannt. Es ist zu unterscheiden von dem ähnlich klingenden und in Ansätzen vergleichbaren Konzept ‚Entdeckungen im Zahlenland‘ von Preiß.