Einführung in die Fraktale Geometrie

Definition, Eigenschaften, Geschichte, Erzeugung und Verwendung


Facharbeit (Schule), 2014

25 Seiten, Note: 2 +


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Vorwort: Relevanz des Themas und Begründung der Themenwahl
1.2. Angestrebtes Ziel der Facharbeit
1.3. Gliederung der Facharbeit

2. Was sind Fraktale?
2.1. Begriffsdefinition: „ Fraktal
2.2. Generelle Eigenschaften von Fraktalen
2.2.1. Entstehung durch Iteration
2.2.2. Selbstähnlichkeit
2.2.3. Fraktale Dimension
2.2.4. Komplexität
2.3. Eigenschaften erklärt an der Koch-Kurve

3. Historischer Exkurs: Wie wurden Fraktale entdeckt?
3.1. Warum wurden Fraktale erst so spät entdeckt?
3.2. Wer hat die Fraktale Geometrie entdeckt und wie?
3.3. Bedeutung von Computern
3.3.1. Fortschritt in der Computertechnologie

4. Erzeugung von Fraktalen
4.1. Vorausgesetzte Kenntnisse zum mathematischen Verständnis
4.1.1. Die imaginäre Einheit ( )
4.1.2. Die komplexe Ebene ( )
4.1.3. Iterationen in der Komplexen Ebene
4.2. Die Mandelbrot-Menge
4.2.1. Definition über Rekursion
4.2.2. Erzeugung in Python

5. Fraktale in Natur und Hochtechnologie
5.1. Fraktale in der Natur
5.1.1. Biologie
5.1.2. Geologie
5.1.3. Das Universum
5.2. Fraktale in der Hochtechnologie
5.2.1. Fraktale als Antennen
5.2.2. Anwendung in der Darstellung natürlicher Strukturen

6. Vergleich mit klassischer Mathematik und Konklusion

7. Anhang
7.1. Literatur- und Quellenverzeichnis
7.2. Medienverzeichnis
7.3. Sonstige Hilfsmittel und Anmerkungen

1. Einleitung

1.1. Vorwort: Relevanz des Themas und Begründung der Themenwahl

Fraktale sind ein wesentlicher Bestandteil der Natur. Sie waren Jahrhunderte, ja gar Jahrtausende für den Menschen unsichtbar, obgleich er überall von ihnen umgeben ist. Wir haben es dem Mut einiger weniger Wissenschaftler, eine andere Richtung einzuschlagen, zu verdanken, dass wir heute von diesem Wissen profitieren können. Ich habe dieses Thema gewählt weil es in mir eine Verbundenheit zur Natur herstellt. Fraktale sind der Natur immanent und bestätigen damit ein wesentlichen Gedanken, den schon die alten Hochkulturen auf unserem Planeten hatten, nämlich „wie oben, so unten“, Stichwort Selbstähnlichkeit. Dies ist ein Grundpfeiler des esoterischen Weltbildes, das besagt, dass die Menschen eins mit der Welt sind, das alles eins miteinander ist. Letztlich drückt sich die Natur immer in der Sprache der Mathematik aus und ist dabei oft rätselhaft, doch haben die größten Philosophen der Erdgeschichte, die damals auch zugleich geschickte Mathematiker waren, auch schon erkannt, dass die Mathematik die universelle Sprache des Universums ist, denn sie ist allgemeingültig.

Ich widme mich in meiner Facharbeit der Fraktalen Geometrie und wie man sie in der Mathematik ausdrücken kann. Sie ist ein grundlegendes Element der heiligen Geometrie und bildet zusammen mit anderen Aspekten ein großes Ganzes, von dem man später erkennt, dass es im Grunde immer wieder das gleiche Prinzip ist. In der Vergangenheit war ich immer wieder fasziniert, wenn ich intuitiv Zusammenhänge zwischen mathematischen Phänomenen entdeckte und diese später bestätigt wurden, wie zum Beispiel der Zusammenhang der Fibonacci-Folge und Fraktalen. Es sei auch auf den goldenen Schnitt und die sogenannte Blume des Lebens verwiesen, die ebenfalls andere Aspekte der heiligen Geometrie sind. Die fraktale Geometrie hat einen äußerst positiven Einfluss auf alle Aspekte unseres Lebens, sie macht das Universum erst möglich, wenn man so will, aber dazu später mehr. Schließlich bleibt zu sagen, dass es viele Gründe für mich gab dieses Thema zu wählen, ich beschäftige mich schon seit längerem mit der Thematik und sehe diese Facharbeit als Chance mein eigenes Wissen darüber zu verdichten.

1.2. Angestrebtes Ziel der Facharbeit

Ich habe mir vorgenommen in dieser Facharbeit dem Leser einen ersten Eindruck über die fraktale Geometrie zu versschaffen, sie soll als Einführung in die fraktale Geometrie verstanden werden. Ich möchte erklären, was Fraktale sind, wie sie erzeugt werden, wann und wie sie entdeckt wurden. Ich möchte versuchen anschauliche Rechenbeispiele zu präsentieren und an anderen Stellen schwierige Sachverhalte in einfache Worte zu fassen, dabei aber exakt zu bleiben. Mein Ziel ist, dass jeder, der diese Facharbeit liest danach verstanden hat, was Fraktale sind und warum es so wichtig ist, sich mit ihnen auseinanderzusetzen.

1.3. Gliederung der Facharbeit

Nach längerer Überlegung habe ich mich dazu entschlossen meine Facharbeit in fünf Teile zu gliedern. Von diesen fünf Teilen sollen zwei Teile besonders intensiv behandelt werden, nämlich der Teil „ Erzeugung von Fraktalen “ und „ Fraktale in Natur und Hochtechnologie “. Doch vorerst soll geklärt werden, was Fraktale sind und wie sie entdeckt wurden. Als letzter Teil soll ein kurzer Vergleich zur klassischen Mathematik folgen, in dem ich Bezug darauf nehmen möchte, dass die Mathematiker zur Entdeckungszeit der Fraktale, diese als nicht gleichwertig zur klassischen euklidischen Mathematik angesehen haben. Schließlich ziehe ich ein Resümee meiner Arbeit und versuche letztlich meine Ergebnisse zusammenfassen. Aus diesem Grund versuche ich die Facharbeit so darzustellen, dass sich letztlich der Kreis schließt.

2. Was sind Fraktale?

2.1. Begriffsdefinition: „ Fraktal “

Ein Fraktal ist laut Duden ein „ komplexes geometrisches Gebilde, wie es ähnlich auch in der Natur vorkommt (z.B. das Adernetz der Lunge)[i]. Der Begriff des „Fraktals“ wurde geprägt von Benoît B. Mandelbrot, der diesen aus dem lateinischen fractus ‚gebrochen‘[ii]herleitete. Der Grund dafür ist, dass sich die fraktale Geometrie nicht mit klassischen euklidischen Strukturen befasst, wie zum Beispiel Kreise, Geraden, Würfel u. a.[iii], sondern mit komplexen Gebilden, die gebrochen erscheinen. So beginnt B. B. Mandelbrot sein Buch „Die Fraktale Geometrie der Natur“ mit der Feststellung, dass Wolken, sowie Berge nicht aus euklidischen Körpern bestehen.

2.2. Generelle Eigenschaften von Fraktalen

Zu den generellen Eigenschaften von Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit wohl die am häufigsten erwähnte. Es gibt jedoch weitere Eigenschaften, die ein Fraktal ausmachen und dabei auch unmittelbar mit der Selbstähnlichkeit in kausalem Zusammenhang stehen. Im Folgenden wird der Zusammenhang zur Iteration, Komplexität und der fraktalen Dimension dargestellt bzw. werden diese Begriffe definiert, um im weiteren Verlauf der Facharbeit eine einheitliche Definition zu schaffen.

2.2.1. Entstehung durch Iteration

Fraktale werden durch sogenannte „Iterationen“ erzeugt. Iterieren bedeutet in der Mathematik, dass man einen gleichen Prozess auf bereits gewonnene Ergebnisse wiederholend anwendet.[iv] Für gewöhnlich beziehen sich iterierende Prozesse auf recht einfache Rechenregeln, die sich immer wiederholen. Ein Beispiel:[v]

Mit dieser Formel soll das Verhalten von 0 unter Iteration von dargestellt werden. In diesem Fall setze ich für die Zahl 1 ein, wir werden später auf zurückkommen, und für die Zahl 0. Das Ergebnis der jeweiligen Funktion wird dann wieder für eingesetzt und dies unendlich mal.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2. Selbstähnlichkeit

Fraktale sind selbstähnliche Strukturen. Selbstähnlich ist etwas, wenn es seine Form behält, sprich immer gleich oder ähnlich aussieht, wenn es vergrößert oder verkleinert wird, wie oben so unten. Diese wichtige Eigenschaft von Fraktalen hängt unmittelbar mit der iterativen Erzeugung von Fraktalen zusammen. Die gleiche Rechenvorschrift wird unendlich mal, bzw. mehrmals angewendet, so entsteht oft ein gleiches oder ähnliches Ergebnis, auch bei Betrachtung eines größeren bzw. kleineren Ausschnittes. Die Selbstähnlichkeit wird im Folgenden immer wieder eine große Rolle spielen.

2.2.3. Fraktale Dimension

Die Definition des Dimensionsbegriffs ist keine einfache, so beziehe ich mich nun zuerst auf die topologische, gerade Dimension. Als topologische Dimension wird in der Mathematik ein Konzept bezeichnet, das die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum anzeigt. So hat ein Punkt die Dimension 0, denn er kann sich in keine Richtung ausdehnen. Folglich hat die Gerade die Dimension 1, da sie sich in eine Richtung ausdehnt. Bei Betrachtung einer Ebene ist klar, dass sie sich in zwei Richtungen ausbreitet, deshalb braucht man zwei Koordinaten, um einen Punkt auf einer Ebene zu lokalisieren, die Ebene hat also die Dimension 2. Nun kann man den nächsten Schritt gehen und sich einen Körper anschauen, er dehnt sich in drei Richtungen aus, man braucht folglich drei Koordinaten, um einen Punkt in seinem Raum zu lokalisieren, er hat die Dimension 3.

Fraktale haben eine solche gerade Dimension nicht, vielmehr erstrecken sie sich über andere Dimensionen, so kann es vorkommen, dass ein Fraktal die Dimension 2,35 hat. Felix Hausdorff legte den Grundstein für das Verständnis fraktaler Dimensionen, sie soll angeben, wie „gebrochen“ eine Ebene oder ein Körper ist. So befindet sich die Fraktale Dimension zwischen der Dimension 1 und der Dimension 3, zwischen Gerade und Körper. Wenn man eine Figur die, nahe der Dimension 1, also einer Geraden ist, immer weiter „bricht“ - unendlich oft bricht - wird sie schließlich zur Ebene. Zwischen der zweiten und dritten Dimension geschieht dasselbe, die Figur geht in den Raum über, in den Körper. Es sei angemerkt, dass der Umstand der Unmöglichkeit des Konstruierens von natürlichen Gebilden, wie Wolken oder Berge mit euklidischer Geometrie, B. B. Mandelbrot dazu veranlasste über den Dimensionsbegriff nachzudenken [vi] und errechnete unter anderem die durchschnittliche Dimension von Wolken: 2,35.

2.2.4. Komplexität

Die Komplexität eines Fraktals ist für den Menschen kaum erfassbar, denn sie ist unendlich. Aber ihre Komplexität hat nichts mit Kompliziertheit zu tun. Ein Fraktal ist also unendlich komplex, doch was heißt das für uns? Im Gegensatz zur euklidischen Geometrie bleibt ein Fraktal immer gleich komplex und passt sich nicht an, wie der Kreis, der sich bei stetiger Vergrößerung an eine Gerade annähert. Hier ist wieder der Zusammenhang zur Iteration gegeben, denn um ein ideales Fraktal zu erzeugen, muss es unendlich iteriert sein, folglich ist es im Kleinen, wie im Großen komplex, um nicht zu sagen iterativ. Ein daraus folgendes Phänomen, auf das wir später in anderen Zusammenhängen eingehen, ist die unendliche Länge des Fraktals, denn mit zunehmender Iteration, nimmt auch die Länge fast jedes Fraktals an sich zu. Letztlich sei zur Komplexität angemerkt, dass diese besonders zum Ausdruck kommt, wenn man die Startbedingungen bei der Erzeugung von Fraktalen verändert. Denn die Ergebnisse sind verblüffend. Eine winzige Veränderung der Startbedingungen führt zu einer ungeahnten Veränderung des Gesamtbildes, des Fraktals also. Dieser Effekt, auch bekannt als „Schmetterlings-Effekt“, ist ein wichtiger Aspekt, um fraktale Geometrie mit der Chaostheorie zu verknüpfen ( DYS ).

2.3. Eigenschaften erklärt an der Koch-Kurve

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Koch-Kurve wurde 1904 vom schwedischen Mathematiker Helge Koch vorgestellt und ist somit eines der ersten formal vorgestellten Fraktale, wenn auch nicht als solches benannt. An ihr lassen sich alle vorher beschriebenen Eigenschaften gut veranschaulichen.

Man beginnt mit einer Geraden auf die man ein Dreieck zeichnet und den unter dem Dreieck liegenden Teil der Geraden entfernt. Nun hat man statt einer Geraden, vier Geraden. Das war die erste Iteration. Als nächstes macht man das gleiche wieder, mit jeder Geraden, unendlich oft. Nach jeder Iteration ist sie länger, als vorher. Am Ende haben wir eine Kurve deren Länge nicht messbar ist, für das Auge erscheint sie endlich, doch mathematisch ist sie unendlich lang. Auf dieses Phänomen kommen wir später erneut zu sprechen (siehe Punkt 5.1.2. und 5.2.1.), denn nun wird schon klar, dass die unendliche Länge mit der fraktalen Dimension zusammenhängt. Außerdem wird bei Betrachtung von M1 deutlich, es wird zumindest angedeutet, dass die Koch-Kurve bei Vergrößerung immer gleich aussieht, sie ist also selbstähnlich aufgrund der immer gleichen Iteration. Diese Eigenschaft wird bei jeder Iteration deutlicher und ist zu beweisen dadurch, dass man an keiner Stelle der Koch-Kurve eine Tangente anlegen kann. Also bleibt festzustellen, dass die Koch-Kurve ein komplexes geometrisches Objekt ist, welches alle Eigenschaften eines Fraktals erfüllt. Zur Zeit ihrer Entdeckung wurde sie als „pathologische Kurve“ bezeichnet, weil sie nicht mit der euklidischen Geometrie erklärt werden konnte (NOVA).

3. Historischer Exkurs: Wie wurden Fraktale entdeckt?

3.1. Warum wurden Fraktale erst so spät entdeckt?

Fraktale waren schon immer da, sie sind der Natur immanent. Zu behaupten Fraktale wurden spät entdeckt ist vielleicht sogar etwas weit ausgeholt. Wie Menschen haben bis vor wenigen Jahrhunderten noch im vollen Einklang mit der Natur gelebt und haben diese fundamentale Eigenschaft der Natur ganz natürlich wahrgenommen. Auch der japanische Maler Katsushika Hokusai hat schon Fraktale gezeichnet (M2). Er zeichnete z.B. Wolken oder Wellen auf denen wieder Wellen waren. Aber warum ist dieses fundamentale Verständnis erst im frühen 20. Jahrhundert wieder in unser Bewusstsein zurückgekehrt?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

M 2: Die große Welle vor Kanagawa (ca. 1830)

Nach Newton waren alle Körper sozusagen eingespannt in ein Uhrwerk, in dem alles mit den vorhandenen Gesetzen der Physik, der Mathematik und den anderen Wissenschaften erklärt werden konnte. In dieses Weltbild gehörten glatte Flächen, Geraden, Pyramiden, Ikosaeder, im Grunde glatte Strukturen, wie es die euklidische Geometrie kannte. Dieses eingefahrene Denken wurde erst am Anfang des 20. Langsam aufgebrochen. Zum Anfang des letzten Jahrhunderts hatten die Mathematiker Probleme mit sogenannten „Mathematischen Monster“. Schon der in Sankt Petersburg geborene deutsch-stämmige Georg Cantor (1845 – 1918) stellte die sogenannte Cantor Menge auf die ein solches „Mathematisches Monster“ darstellt. Man nimmt eine Gerade, entfernt das mittlere Drittel und macht das gleiche mit den daraus resultierenden Geraden, man führt diese Iteration unendlich mal durch und sollte meinen am Ende bleibt nichts übrig, aber man hat am Ende tatsächlich unendlich viele Geraden.

In der darauf folgenden Zeit beschäftigten sich immer mehr Mathematiker mit diesen „Mathematischen Monstern“, weil die Computertechnologie dies ermöglichte. B. B. Mandelbrot war ein Vorreiter im Verständnis der fraktalen Geometrie. Und er wurde auch angefeindet, man behauptete, dass die fraktale Geometrie keine richtige Mathematik sei und nur Dummheiten aus einer dummen Rechenmaschine sei. Aber schnell wurde das Gegenteil bewiesen, Mandelbrot brachte ein ganz neues Verständnis der Welt mit sich von dem wir in vielerlei Hinsicht profitieren. Vielen nahmen Mandelbrots Ideen auf und bis heute wurden eine Menge nützliche Erfindungen dank der fraktalen Geometrie realisiert(NOVA).

[...]


[i] www.duden.de/rechtschreibung/Fraktal, Stand 10.01.2015

[ii] www.frag-caesar.de/lateinwoerterbuch/fractus-uebersetzung.html

[iii] Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser 1987

[iv] www.duden.de/rechtschreibung/Iteration, Stand 10.01.2015

[v] www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I , Dr Holly Krieger vom MIT

[vi] www.wissensnavigator.com/interface4/management/endo-management/buch/hab233.pdf

Ende der Leseprobe aus 25 Seiten

Details

Titel
Einführung in die Fraktale Geometrie
Untertitel
Definition, Eigenschaften, Geschichte, Erzeugung und Verwendung
Note
2 +
Autor
Jahr
2014
Seiten
25
Katalognummer
V307301
ISBN (eBook)
9783668054844
ISBN (Buch)
9783668054851
Dateigröße
925 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fraktale, Mandelbrotmenge, Juliamenge, fraktale geometrie, imaginäre Zahlen
Arbeit zitieren
Jesse Stellmach (Autor), 2014, Einführung in die Fraktale Geometrie, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/307301

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