Einführung der Strahlensätze

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Sachanalyse
2.1 Legitimation und Ziele des Geometrieunterrichts
2.1.1 Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts
2.1.2 Inhaltsspezifische Ziele des Geometrieunterrichts
2.2 Geschichtliche Entwicklung der Geometrie
2.2.1 Von der Erdmessung zur Wissenschaft
2.2.2 Der Geometrieunterricht
2.3 Der Strahlensatz
2.3.1 Historische Bedeutung
2.3.2 Mathematische Bedeutung
2.3.2.1 Geometrische Abbildungen
2.3.2.2 Definition und Beweis der Strahlensätze
2.3.2.3 Die Umkehrung der Strahlensätze
2.3.3 Verwandte geometrische Konzepte
2.3.4 Lehrplanbezug
2.3.5 Innermathematische Anwendungsbereiche
2.3.6 Außermathematische Bedeutung
2.3.6.1 Die Strahlensätze außerhalb der Schule
2.3.7 Beziehung zu anderen Fächern
2.4 Individuelle Lernvoraussetzungen
2.4.1 Fachliche Lernvoraussetzungen
2.4.2 Psychologische Lernvoraussetzungen

3. Fachdidaktische Zugänge
3.1 Zugang I: Von ähnlichen Dreiecken zum Strahlensatz
3.1.1 Voraussetzungen und Unterrichtsziele
3.1.2 Geplanter Stundenverlauf
3.1.3 Didaktische und methodische Überlegungen
3.2 Zugang II: Über individuelle Vorstellungen
3.2.1 Voraussetzungen und Unterrichtsziele
3.2.2 Geplanter Stundenverlauf
3.2.3 Didaktische und methodische Überlegungen
3.3 Zugang III: Von der zentrischen Streckung zu den Strahlensätzen
3.3.1 Voraussetzungen und Unterrichtsziele
3.3.2 Geplanter Stundenverlauf
3.3.3 Didaktische und methodische Überlegungen

Anhang

Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Historisch gesehen ist die Geometrie die älteste Disziplin der Mathematik. (Mitschka, Strehl, & Hollmann, 1998) und somit hat sich die Mathematik aus ursprünglich geometrischen Untersuchungen entfaltet. Aus den geometrischen Untersuchungen bildeten sich sowohl arithmetische Operationen wie Addieren oder Multiplizieren als auch die sogenannten „vier Säulen der modernen Mathematik im 17. Jahrhundert“ - Funktionsbegriff, Koordinatenmethode, Differentialrechnung und Integralrechnung heraus. Dennoch wurde die Geometrie als „Kern und Hauptgebiet der gesamten Mathematik“ (Scriba & Schreiber, 2010, S. 1) graduell zugunsten algebraischer Denkweisen von ihrer führenden Position verdrängt. (Elschenbroich & Seebach, 2007; Scriba & Schreiber, 2010)

Auch im Mathematikunterricht sind zum geschichtlichen Wandel der Geometrie Parallelen zu finden. Denn die Geometrie war über 2000 Jahre lang der wichtigste Bereich des Mathematikunterrichts im Gymnasium, dennoch wurde sie im 20. Jahrhundert fast vollkommen aus den Lehrplänen gestrichen. Heute wird ihre Bedeutung für das Verständnis einiger mathematischer Sichtweisen jedoch wieder hoch geschätzt.

Daher besteht das Ziel dieser Arbeit darin, anhand des Themengebiets Strahlensatz drei Möglichkeiten aufzuzeigen, dieses Thema im Unterricht einzuführen.

Die Arbeit ist in zwei große Kapitel unterteilt. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit der Sachanalyse, das die wichtigen Strukturen und Beziehungen des Unterrichtsgegenstands aufzeigen soll. Dabei wird zunächst im Abschnitt 2.1. die Frage nach der Legitimation und den Zielen des Geometrieunterrichts nachgegangen. Die allgemeinen Ziele orientieren sich an der Idee eines gängigen Geometrieunterrichts und gliedern sich in drei Punkte auf: Geometrie und die Erschließung der Welt, Geometrie und die Grundlagen des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens, Geometrie und Problemlösen. Da aber die allgemeinen Ziele nur mit Hilfe von spezifischen Inhalten erreicht werden können, werden im nächsten Punkt (2.1.2 Inhaltsspezifische Ziele des Geometrieunterrichts) drei wichtige inhaltsspezifische Ziele angesprochen: Verständnis geometrischer Begriffe und ihrer Eigenschaften, Lernen geometrischer Denk- und Arbeitsweisen, Erkennen der Beziehung zwischen Geometrie und Wirklichkeit. Im Abschnitt 2.2 wird aufgezeigt, wie sich die Geometrie historisch gesehen entfaltet hat. Dabei wird die Entwicklung von Vorstellungen über geometrische Ausdrücke im Laufe der Geschichte der Geometrie betrachtet (2.2.1. Von der Erdmessung zur Wissenschaft). Sowohl die Ägypter als auch die Griechen mit Thales haben wichtige Erkenntnisse festgestellt, die die Geometrie stark geprägt haben. Euklid fasste dann das gesamte geometrische Wissen seiner Zeit in seinen Elementen zusammen. Im Unterpunkt 2.2.2. Der Geometrieunterricht wird darauf hingewiesen, dass die eigentliche Intention des Geometrieunterrichts, nämlich ein tieferes Verständnis von geometrischen Zusammenhängen zu erhalten, in der Unter- und Mittelstufe schwierig ist umzusetzen. Aber mit dem Themengebiet Strahlensatz hat die Lehrkraft einen guten Weg dies aufzuzeigen, indem zum Beispiel die Möglichkeit geboten wird, mit geometrischen Mitteln die Umwelt zu vermessen. Im nächsten Abschnitt steht der Strahlensatz im Vordergrund (2.3 Der Strahlensatz). Dabei wird im Punkt 2.3.1 Historische Bedeutung zunächst die Entwicklung des Ähnlichkeitsbegriff bzw. der Strahlensätze erläutert. Unteranderem versuchte damals Thales die Höhe der Pyramiden von Gizeh in Ägypten mit Hilfe eine Stabes zu messen. Auch die Ägypter haben induktiv den Ähnlichkeitsbergriff in Landvermessungsaufgaben verwendet. Da die Strahlensätze zu dem Bereich der Ähnlichkeitsgeometrie eingeordnet werden, wird danach der Ähnlichkeitsbegriff im Punkt 2.3.2. Mathematische Bedeutung angesprochen. Dieser Punkt gliedert sich in drei Unterpunkte auf. Im ersten Unterpunkt wird aufgezeigt, was unter einer geometrischen Abbildung zu verstehen ist, wobei der Zusammenhang zwischen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen und affine Abbildungen kurz erklärt wird. Der zweite und der dritte Unterpunkt widmen sich den Definitionen und den Beweisen des ersten und zweiten Strahlensatzes und deren Umkehrungen. Im nächsten Punkt (2.3.3 Verwandte geometrische Konzepte) wird gezeigt, in welchen geometrischen Konzepten die Theorie der Strahlensätze wieder zu finden sind. Es wird auch darüber diskutiert, welcher Zugang (Ähnlichkeitsbegriff bzw. zentrische Streckung) sich besser eignet, um die Strahlensätze einzuführen. Als nächstes wird die Frage beantwortet, wie und wo die Strahlensätze im Lehrplan verankert sind (2.3.4 Lehrplanbezug). Dabei wird sowohl Bezug zum Gymnasium als auch zur Real- und Mittelschule genommen. In den Punkten 2.3.5 und 2.3.6 werden die inner- und außermathematischen Bedeutungen des Themengebiets Strahlensatzes dargelegt, wobei noch genauer auf die Anwendung der Strahlensätze in verschiedenen Berufen eingegangen wird (2.3.6.1 Die Strahlensätze außerhalb der Schule). So werden die Strahlensätze zum Beispiel von Förstern, Architekten und Künstlern sowie bei Schreinern und Handwerkern angewandt. Die Theorie der Strahlensätze lässt sich auch mit Hilfe anderer Fächern verbinden und somit fächerübergreifend unterrichten. Einige Möglichkeiten und Ideen dies umzusetzen werden im Punkt 2.3.7 Beziehung zu anderen Fächer näher dargestellt. Dabei sieht man, wie im Kunstunterricht mit Hilfe des perspektivischen Zeichnens, im Physikunterricht im Bereich der Optik, im Erdkundeunterricht im Bereich geographische Arbeitstechniken (z.B. Maßstabsberechnungen) und im Deutschunterricht in Form von Aufsätzen, die Strahlensätze fächerübergreifend unterrichtet werden können. Die individuellen Lernvoraussetzungen die für ein Verständnis der Unterrichtssequenzen über die Strahlensätze nötig sind, werden im Abschnitt

2.4 angesprochen. Dieser gliedert sich in fachliche und psychologische

Lernvoraussetzungen auf. Im Unterpunkt 2.4.1 Fachliche Lernvoraussetzungen werden alle Grundlagen aufgezählt die eng mit den Strahlensätzen zusammenhängen. Dabei enthält diese Aufzählung alle erworbenen mathematischen Grundlangen von der Grundschule bis zum Gymnasium, wobei ständig Bezug zu den Lehrplänen genommen wird. Da auch die geistige Entwicklung der Schüler wichtig ist, damit sie den Unterricht folgen können, werden im nächsten Unterpunkt die psychologischen Lernvoraussetzungen dargestellt (2.4.2 Psychologische Lernvoraussetzungen).

Im zweiten Kapitel werden drei Zugänge aufgezeigt um die Strahlensätze einzuführen. Der erste Zugang beschreibt die Möglichkeit die Strahlensätze mit Hilfe des Ähnlichkeitsbegriffs herzuleiten. Dazu wird den Schülern eine anwendungsorientierte problemlösende Aufgabe gestellt, in der sie mit Hilfe des WW-Ähnlichkeitssatzes zunächst erkennen sollen, dass die beiden Dreiecke in der Aufgabe ähnlich zu einander sind. Außerdem stellen sie anhand der Aufgabe mit Hilfe des SSS-Ähnlichkeitssatz Verhältnisgleichungen auf und wenden somit induktiv den ersten und zweiten Strahlensatz an. Beim zweiten Zugang wird versucht den zweiten Strahlensatz durch individuelle Vorstellungen näher zu bringen. Mittels eines Experiments werden die Vorstellungen der Schüler immer mehr aktiviert und auch erfahrbar gemacht. Sie finden nämlich heraus wie es zu einer Sonnenfinsternis kommt und bauen dies mit einer Kreisscheibe und einer 10-Cent Münze nach. Zunächst werden individuelle Vorstellungsbilder aktiviert, indem die Schüler anhand eines Films erfahren, dass bei einer Sonnenfinster sich der Mond vor die Sonne schiebt. Diese Vorstellung setzen sie dann in Handlungen im Experiment um und sie finden selbstständig die Streckenverhältnisse des zweiten Strahlensatzes heraus. Es ist auch möglich die Strahlensätze durch die Eigenschaften der zentrischen Streckung herzuleiten. Dies wird im dritten Zugang dargestellt. Dabei sollen die Schüler gewisse Streckenlängen in einer Strahlensatzfigur abmessen und bestimmte Quotienten berechnen. Anschließend sollen sie erkennen, dass die entsprechenden Streckenverhältnisse gleich sind und dies mit Hilfe der zentrischen Streckung begründen. Dadurch lernen die Schüler eine Variante des ersten Strahlensatzes ( [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) und den zweiten Strahlensatz. Jeder Zugang ist so gestaltet, dass vorab die Voraussetzungen und Stundenziele dargestellt werden. Danach folgt jeweils eine Stundentabelle mit anschließenden didaktischen und methodischen Überlegungen.

2. Sachanalyse

Egal um welches Unterrichtsfach es sich auch handelt gilt, dass die fachliche Richtigkeit die Basis für jeden Unterricht ist. Für eine Lehrkraft reicht es bis lang noch nicht aus seine Unterrichtsinhalte zu verstehen, sonder sie muss diese als Ganzes verstehen. Außerdem muss sie wissen, wie die einzelnen Aspekte zusammenhängen und welche Bezüge zu anderen Inhalten bestehen. Ziel der Sachanalyse ist es daher, sich der Strukturen und Beziehungen des Unterrichtsgegenstands bewusst zu werden und diese auf den didaktischen Planungsprozess beziehen zu können. Im Folgenden wird sowohl auf die Legitimation als auch auf die Ziele des Geometrieunterrichts eingegangen.

2.1 Legitimation und Ziele des Geometrieunterrichts

Geometrie spielt im Mathematikunterricht eine bedeutende Rolle, denn er ist sehr vielfältig und liefert durch die Schulung des Erkennens und Verallgemeinerns von Relationen, sowie des Begründens von Vermutungen, als auch des Anschauungsvermögens einen enormen Beitrag zur Allgemeinbildung. Einige Inhalte und Fertigkeiten die im Geometrieunterricht durchgenommen werden sind für die Ausübung vieler Berufe wie Konstrukteur, Chemiker, Architekt oder Bildhauer wichtig. Daher stellt sich die Frage, wodurch sich die Bedeutung des Geometrieunterrichts begründen lässt und welche Ziele damit verfolgt werden. Diese Fragen werden nun im folgenden Kapitel geklärt.

2.1.1 Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts

„Allgemeine Ziele betreffen bei Schülern zu entwickelnde Fähigkeiten und Fertigkeiten sowie anzustrebende Kenntnisse, die über den Geometrieunterricht hinaus weisen und im Hinblick auf die spätere Berufsausbildung oder Berufstätigkeit, die Teilnahme am gesellschaftlichen und politischen Leben sowie die Persönlichkeitsentwicklung des Einzelnen wichtig sind“ (Weigand et al., 2014, S. 17).

Wie bereits Weigand et al. (2014) im eben genannten Zitat aufzeigt, ist es wichtig, sich anhand der Geometrie die (Um-)Welt zu erschließen. Die KMK- Bildungsstandards knüpfen an drei Grunderfahrungen an, welche die Basis für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht darstellen. Die Grunderfahrung G1 beinhaltet neben der Betrachtung und Analyse der uns umgebenden Welt unter einer geometrischen Perspektive, auch die Wertschätzung der Geometrie als eine mehrtausendjährige kulturelle Errungenschaft der Menschheit. Der Mensch neigt dazu auch die Realität, die er um sich wahrnimmt, mit mathematischen Begriffen zu ordnen und auftretende Phänomene zu interpretieren, denn er „(…) sieht die Wirklichkeit mit „mathematischen Augen““ (Vollrath, 2012, S. 28). Beispielsweise fällt uns beim genauen Betrachten eines Berges auf, dass der Gipfel einem stumpfen Winkel ähnelt. Demzufolge filtert unser mathematisches Auge unsere Wahrnehmung auf bestimmte Aspekte (Vollrath, 2012). Aber unsere Umwelt und die Mathematik sind keine einseitigen Prozesse, sondern sie stehen in einer ständigen wechselseitigen Beziehung zu einander. Somit können durch die Umwelt anschauliche Vorstellungen über geometrische Inhalte dargestellt werden, aber anderseits wird auch die Umwelt durch mathematische Begriffe erklärt, gedeutet und bewertet (Weigand et al., 2014). Die Geometrie ist, wie die gesamte Mathematik, eine in Jahrtausenden entwickelte kulturelle Errungenschaft der Menschheit und muss daher bewahrt werden. Laut Weigand et al. (2014) zeigt sich die kulturelle Bedeutung der Mathematik nicht in der Nützlichkeit und Notwendigkeit mathematischer Techniken für den Alltag, sondern in der Reflexion und dem Hinterfragen dieser Tätigkeiten. Diese Analyse bezieht sich einerseits auf die Objekte der Mathematik und ihre Eigenschaften, andererseits aber auch auf die mathematischen Denk- und Arbeitsweisen. Es ist Aufgabe des Mathematikunterrichts, eine derartige Reflexion anzustoßen, denn er bietet für die meisten Menschen die einzige Möglichkeit, sich in ihrem Leben mit derartigen Fragestellungen auseinanderzusetzen und dadurch die kulturelle Bedeutung der Mathematik zu erfassen.

Des Weiteren erwähnt Weigand et al. (2014) als weiteres Ziel des Geometrieunterrichts die Grundlagen des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens zu schulen. Die Grunderfahrung G2 betrachtet die Mathematik bzw. Geometrie mit all ihren Facetten, wie ihrer Sprache, ihren Symbolen und Formeln, als einen selbstständigen Prozess, der erlaubt Aufgaben zu beschreiben und zu lösen, sowie inner- und außermathematische Probleme zu kennen und zu verstehen. Daher liegt der Sinn der Grunderfahrung G2 in der Begegnung mit typischen mathematischen Denk- und Arbeitsweisen. Die Geometrie eignet sich besonders „für die Entwicklung von logisch schlussfolgernder, ordnender und klassifizierender Arbeits- und Denkweisen“ (Weigand et al., 2014, S. 21). Diese Kompetenzen sind grundlegend für wissenschaftliches Denken und Arbeiten sowie auch bedeutend für die Persönlichkeitsentwicklung des Einzelnen und sein Auftreten im gesellschaftlichen Leben. Unter diesen wichtigen Kompetenzen fallen unter anderem das Argumentieren und Verbalisieren. Heutzutage sind in fast allen Bereichen unserer Gesellschaft Diskussionen und Auseinandersetzungen an der Tagesordnung, in denen sich der Mensch durch klare und gut strukturierte Argumente bewähren kann. Daher ist es unumgänglich, dass Jugendliche Fähigkeiten im Argumentieren erlernen und entfalten. Der Mathematikunterricht „eignet sich in besonderer Weise dazu (...), da sich Aussagen und Behauptungen auf einen begrenzten, zumindest im Prinzip überschaubaren Bereich beziehen (…) und durch logische Schlussfolgerungen überprüfbar nachvollzogen, also bewiesen werden können. Seit der axiomatischen Grundlegung durch Euklid gilt die Geometrie als ein besonders geeignetes Übungsfeld für das Erlernen des Argumentierens, Begründens und Beweisens.“ (Weigand et al., 2014, S. 21 f) Die Mathematik sowie die Geometrie verfügen über eine eigene Fachsprache und Symbolik. Ziel des Geometrieunterrichts muss es demnach sein, den Schülern diese Begrifflichkeiten und Darstellungsweisen nahezubringen. Hierbei soll die Umgangssprache, die zur Beschreibung von Umweltphänomenen dient, kritisch hinterfragt und präzisiert werden, um dadurch Fachbegriffe sowie eine Fachsprache auszubilden und zu vertiefen.

Als drittes allgemeines Ziel erwähnt Weigand et al. (2014) schließlich Probleme zu lösen und somit Problemlösungsfähigkeiten zu erwerben. Diese Fähigkeit gilt als eine „zentrale Grundlage für eine verständige Erschließung unserer Welt“ (Weigand et al., 2014, S. 23). Mathematik eignet sich besonders für den Erwerb dieser Kompetenzen, da in der Mathematik Lernen überwiegend durch das Lösen von Problemen erfolgt. In der Geometrie kann das Problemlösen aus folgenden Gründen besonders gut geübt werden: Die meisten geometrischen Probleme können durch Modelle, Skizzen und Zeichnungen gut veranschaulicht werden. Außerdem sind, vor allem in der Euklidischen Geometrie, die Handlungsobjekte (z. B. Punkt, Gerade, Kreis) überschaubar und die erlaubten Hilfsmittel (Zirkel und Lineal) leicht zu handhaben. (Weigand et al., 2014)

Damit ein gegebenes Problem vollständig gelöst werden kann, sind nach Polya folgende vier Schritte nötig (Polya, 1949, 1995; zitiert nachWeigand et al., 2014):

- Verstehen der Aufgabe,
- Ausdenken eines Planes,
- Ausführen des Planes,
- Rückschau.

Diese Schritte müssen von den Schülern selbstständig durchdacht werden, damit der Problemlöseprozess wirklich eigenständig durchlaufen wird. Dabei ist es hilfreich das Problem durch Fragen (z. B. nach den gegebenen und gesuchten Größen) zu gliedern. Allerdings ist mit der Lösung einer Aufgabe der Lernprozess meist nicht abgeschlossen. Aus der gegebenen Problemstellung lassen sich oft neue Problemstellungen ableiten, die durch weiterführende Fragen entstehen. Daher gilt als zentrales Bildungsziel der Schule, dass Schüler lernen, Fragen zu stellen. (Weigand et al., 2014)

2.1.2 Inhaltsspezifische Ziele des Geometrieunterrichts

Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts können nur in Auseinandersetzung mit spezifischen Inhalten erreicht werden. Daher sind auch inhaltsspezifische Ziele zu bedenken. Weigand et al. (2014) unterschiedet drei Ziele, die im Geometrieunterricht von großer Bedeutung sind.

Zunächst soll das Verständnis geometrischer Begriffe und ihrer Eigenschaften geschult werden, da sie den Grundstein der Geometrie bilden. Deswegen muss der Geometrieunterricht das Verständnis elementarer geometrischer Begriffe aufbauen, Relationen innerhalb der Geometrie finden sowie Vernetzungen zwischen diversen Bereichen der Mathematik bilden. (Weigand et al., 2014)

Des Weiteren sollen geometrische Denk- und Arbeitsweisen übermittelt werden. Wie Weigand et al. (2014) bereits festgestellt hat, können im Geometrieunterricht „(…) in besonders deutlicher Weise die Arbeitsweisen und Methoden der Mathematik aufgezeigt und erlebt werden. Geometrische Denk- und Arbeitsweisen sind allerdings äußerst vielfältig. Da geht es um Begriffsbildung und die Einordnung in ein Begriffsnetz, das Finden und Aufstellen mathematischer Sätze, das Begründen und Beweisen von Sätzen, das inner- und außermathematische Anwenden von Sätzen, das Messen und Berechnen, das Aufstellen und Abarbeiten von Algorithmen“ (Weigand et al., 2014, S. 27).

Während sich unser Leben im dreidimensionalen Raum abspielt, wird Geometrie in der Schule vorwiegend auf dem zweidimensionalen Zeichenblatt betrieben. Dieses ist zur Entwicklung einiger geometrischer Begriffe sehr gut geeignet, da sich die Euklidische Geometrie der Ebene hier gut darstellen lässt und die Komplexität einiger Begriffe durch Verzicht auf eine Dimension nicht so gravierend scheint. Allerdings besteht ein zentrales Ziel des Schulunterrichts in der Einbeziehung der dreidimensionalen Geometrie, da hier Umweltbezüge aufgezeigt, in der Realität vorhandene Körper beschrieben und Begriffe der Ebene (wie parallel und senkrecht) ausgeweitet werden können. Daher nennt Weigand et al. (2014) als drittes Ziel des Geometrieunterrichts das Erkennen der Beziehungen zwischen Geometrie und Wirklichkeit. (Weigand et al., 2014)

Neben der Betrachtung der Legimitation des Geometrieunterrichts und dessen Ziele ist es auch interessant wie sich die Geometrie historisch gesehen entfaltet hat.

2.2 Geschichtliche Entwicklung der Geometrie

Was assoziieren Sie mit dem Begriff „Geometrie“? Wie die meisten Menschen kommen Ihnen wahrscheinlich zunächst Figuren wie Dreieck und Kreis sowie Körper wie Pyramide, Würfel oder Kugel in den Sinn. Vielleicht erinnern Sie sich auch an Konstruktionen mit Zirkel und Lineal oder an Beweise. Aber denken Sie auch an Messungen?

Dieser Aspekt der Geometrie wird meist vergessen, obwohl er doch schon im Namen verankert ist. Denn das Wort Geometrie ist griechischen Ursprungs und bedeutet Erdmessung.

Im Folgenden werden die geschichtliche Entwicklung der Geometrie und deren Konsequenzen für den heutigen Geometrieunterricht kurz geschildert. Die Informationen, die diesen Ausführungen zugrunde liegen, sind vor allem aus Ludwig (2004) entnommen.

2.2.1 Von der Erdmessung zur Wissenschaft

Die Mathematik entwickelte sich ursprünglich aus geometrischen Untersuchungen. Diese waren zunächst sehr erfahrungsgebunden und an Alltagsproblemen orientiert.

Heron von Alexandrien (um 60 n. Chr.) schildert die Entstehung der Geometrie als Erdmessung in seiner Geometrica wie folgt:

„Wie der alte Bericht uns lehrt, haben die meisten Menschen sich mit Vermessung und Verteilung von Land abgegeben, woraus der Name Geometrie (Landmessung) entstanden ist. Die Erfindung aber der Vermessung ist von den Ägyptern gemacht; wegen des Steigens des Nils wurden viele Grundstücke, die deutlich zu erkennen waren, unkenntlich durch das Steigen, viele auch noch nach dem Fallen, und es war dem einzelnen nicht mehr möglich sein Eigentum zu unterscheiden; daher haben die Ägypter diese Vermessung erfunden, bald mit dem sogenannten Messband, bald mit der Rute, bald auch mit anderen Maßen. Da nun die Vermessung notwendig war, verbreitete sich der Gebrauch zu allen Lernbegierigen. Die ägyptische Geometrie war rein praktischer Natur, ohne wissenschaftlichen Hintergrund und diente zur Lösung praktischer Probleme der Bauern, Landvermesser und Architekten. So wurden Flächeninhalte von Dreieck, Rechteck und Trapez, sowie Rauminhalte, wie der des Pyramidenstumpfes, mit den richtigen Formeln berechnet“ (Heron, 1976; zitiert nach Vollrath, 2012, S. 13).

Bei den Griechen änderte sich diese praxisorientierte Sichtweise mit Thales von Milet (ca. 624-546 v. Chr.). Thales war der erste, der sich für Ursachen von Phänomenen und für Zusammenhänge interessierte, ohne nach ihrem unmittelbaren Nutzen zu fragen, und gilt daher als einer der ersten, den man als Wissenschaftler bezeichnen kann. Indem er die geometrischen Kenntnisse und Sätze bewies, machte er aus der Geometrie eine Wissenschaft. (Weigand et al., 2014)

Euklid (ca. 365-300 v. Chr.) fasste dann das gesamte geometrische Wissen seiner Zeit in seinen Elementen zusammen. Dabei verwendete er das Schema Definition - Satz - Beweis und schuf somit die Grundlagen des axiomatischen Arbeitens. Damit wurde die Geometrie zur deduktiven Wissenschaft und hatte mit der ursprünglichen Vermessungskunst nicht mehr viel gemein. (Elschenbroich & Seebach, 2007)

2.2.2 Der Geometrieunterricht

„Dass Geometrie von Erde (= geo) und messen (= metrie), also Erdvermessung kommt, merkt man dem heutigen Geometrieunterricht eigentlich nicht mehr an“ (Ludwig, 2004, S. 5).

In der Unterstufe wandelt sich die anfängliche Formenkunde des Geometrieunterrichts schnell zu einem reinen Berechnungsunterricht von Flächeninhalten und Volumina, wodurch die eigentliche Intention des Geometrieunterrichts, nämlich ein tieferes Verständnis von geometrischen Zusammenhängen zu erhalten, verfehlt wird.

Kommen dann in der 7. und 8. Klasse die ersten geometrischen Sätze und Beweise hinzu, sieht niemand mehr die Geometrie in ihrer ursprünglichen Bedeutung. Natürlich ist unter Geometrie mehr als nur Erdmessung zu verstehen, aber in der Praxis wird dieser Aspekt der Geometrie fast vollkommen ausgeblendet.

Ludwig (2004) zitiert hier folgenden Ausspruch Goethes: „Wir behalten von unseren Studien am Ende doch nur das, was wir praktisch anwenden“(Ludwig, 2004, S. 5). Damit betont er, dass erworbenes Wissen durch praktische Anwendung besser verinnerlicht und womöglich auch erstmals verstanden wird.

Erst bei der Behandlung der Strahlensätze am Ende von Klasse 8 treten explizit Vermessungsprobleme auf. Daher sollte diese Möglichkeit, mit geometrischen Hilfsmitteln die Umwelt zu vermessen, auch genutzt werden, zumal in den vorhergehenden Jahrgangsstufen der Aspekt der Erdmessung schon zu kurz gekommen ist.

2.3 Der Strahlensatz

Der Themenbereich Strahlensatz ist im Lehrplan in der Sekundarstufe I verankert. Er bietet ein großes Anwendungsfeld für praktische Aufgabenstellungen. Im Folgenden wird zunächst kurz auf die historische Bedeutung eingegangen, bevor seine mathematische Relevanz thematisiert wird.

2.3.1 Historische Bedeutung

Die Pyramiden von Gizeh in Ägypten sind mit einem bemerkenswerten Alter von über 4500 Jahren das älteste Weltwunder der Antike und gleichzeitig auch das Einzige, das die Jahrtausende überdauert hat. Auch Thales von Milet (um 624-546 v. u. Z.) war von diesen riesigen Gebilden sehr beeindruckt und soll der Legende nach versucht haben, die Höhe der Pyramiden zu messen. Dabei nahm er einen Stab von bekannter Länge und verglich diesen mit der Länge dessen geworfenen Schattens. Thales dachte, dass bei gleichem Sonnenstand die Länge des Schattens der Pyramide den er nachmessen konnte, zur Höhe der Pyramide im gleichen Verhältnis wie Stab zu Stabschatten steht. Seine Überlegungen waren also diese, dass bei doppelter Schattenlänge des Stabes auch die Länge des Schattens der Pyramide doppelt so groß sein wird. (Thiele, 1990)

Kritisch anzumerken ist hieran, dass es neben einigen geschichtlichen Bedenken auch mathematische Schwierigkeiten in dieser historischen Überlieferung gibt: „Es ist im allgemeinen gar nicht so einfach, den Schatten einer Pyramide zu messen (...). Insbesondere liegt für den Neigungswinkel der Seitenfläche kleiner als 45° kein Schatten von der Länge der Pyramidenhöhe außerhalb der Pyramide“ (Thiele, 1990, S. 14).

Dennoch scheint Thales den Hauptsatz der Ähnlichkeitslehre in der Art die Höhen verhalten sichwie ihre Schatten erkannt zu haben (Abb. 1). Nichtsdestotrotz wird der Hauptsatz geschichtlich gesehen Hippokrates von Chios (um 440 v. u. Z.) zugesprochen. (Thiele, 1990)

Aber auch die Ägypter wendeten den Ähnlichkeitsbegriff an ohne dies wirklich zu wissen.

Sie versuchten beispielsweise mit Hilfe einer Rücksprungschablone (Abb. 2) den Neigungswinkel von Pyramiden zu kontrollieren. Außerdem übertrugen sie in ihren Bauplänen große Gebäude auf Papier ohne jemals etwas von einer maßstäblichen Verkleinerung gehört zu haben. (Thiele, 1990)

Den Fundamentalsatz der Ähnlichkeitslehre, dass eine Parallele zu einer Dreiecksseite die beiden anderen in propositionale Stücke schneidet (Abb. 3) beschreibt Euklid (ca. 365-300 v. Chr.) im 6. Buch der Elemente

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.1 . Höhenmessung des Thales (modifiziert nach Thiele, 1990, S. 14)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2. Der Rücksprungschablone. Maße der Cheops-Pyramide (modifiziert nach Thiele, 1990, S. 14)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3. Zur Euklidischen Fassung des Strahlensatzes. AB‘:BB‘ = AC‘:CC‘ genau dann, wenn B’C‘||BC(modifiziert nach Thiele, 1990, S. 15)

Auch wenn geschichtlich gesehen schon viele Kulturen den Ähnlichkeitssatz anwendeten, machten sich erst Anfang des 19. Jahrhunderts die Strahlen in der Formulierung des Satzes ersichtlich. Dies führte schließlich zu dem heute gängigen Namen Strahlensatz, der damals für die Griechen undenkbar gewesen wäre. Endlichkeit hatte für das griechische Volk eine große Bedeutung, daher hätten sie nie einen Gedanken daran verschwendet, den Ähnlichkeitssatz mit unendlichen Strahlen oder Geraden zu ergänzen. (Thiele, 1990)

2.3.2 Mathematische Bedeutung

Die Strahlensätze lassen sich in die Ähnlichkeitsgeometrie einordnen. Innerhalb dieser Geometrie sind derartige geometrische Eigenschaften von Interesse, die nur die Form von Figuren betreffen. Es kommt daher nicht auf die Größe der Figuren an. Daher bezeichnen Krauter und Bescherer (2013) die Ähnlichkeitsgeometrie auch als eine Geometrie der Form. Die Ähnlichkeitsgeometrie bezeichnet also „ein Gebiet der Elementargeometrie, in dem es um die maßstabsgetreue Vergrößerung und Verkleinerung von Figuren geht“ (Hefendehl-Hebeker, 2000). Die zentrische Streckung nimmt hierbei einen hohen Stellenwert ein. Sie lassen sich zu den Ähnlichkeitsabbildungen einordnen, die die Form einer Figur invariant lassen. Aus ihren Abbildungseigenschaften lassen sich die Strahlen- wie auch die Ähnlichkeitssätze relativ einfach folgern.

Der mathematische Zugang zum Ähnlichkeitsbegriff kann von zwei verschiedenen Seiten her erfolgen:

Abbildungsgeometrisch gesehen, wird er im Wesentlichen durch die Gesetze der zentrischen Streckung und deren Verkettungen, auch mit Kongruenzabbildungen, geprägt. Die betreffenden Abbildungen heißen Ähnlichkeitsabbildungen. Zwei Figuren werden demnach als ähnlich bezeichnet, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführt werden können. Demnach gibt es eine geometrische Abbildung, die sich aus Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen zusammensetzen lässt und die eine Figur auf die andere abbildet.

Bei dem auf Euklid zurückgreifenden, figurengeometrischen Zugang wird der Ähnlichkeitsbegriff abbildungsunabhängig eingeführt, wobei dann die Strahlensätze mit ihren Anwendungen im Mittelpunkt der Betrachtung stehen. Ähnliche Vielecke werden hier durch gleiche Innenwinkel und entsprechende Seitenverhältnisse definiert. (Kratz, 1993)

2.3.2.1 Geometrische Abbildungen

Unter einer geometrischen Abbildung wird folgendes verstanden:

„Eine geometrische Abbildung ݂ f ordnet einem Punkt P der Zeichenebene (dem „Originalpunkt“ oder „Urbildpunkt“) eindeutig einen Punkt P´ (den „Bildpunkt“) zu“ (Weigand et al., 2014, S. 224).

Die Abbildungen, die im Geometrieunterricht auftreten, sind in der Regel bijektive Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich. In der Schule werden meist geometrische Abbildungen der Ebene behandelt, die zudem durch Konstruktion realisierbar sind. Als Beispiele hierfür können die Kongruenzabbildungen Spiegelung, Drehung und Verschiebung genannt werden. „Allgemein verwendet man bei geometrischen Abbildungen die jeweiligen „Invarianten“ als Ordnungsprinzip. Invarianten sind Größen oder geometrische Beziehungen, die durch die Abbildung nicht verändert werden“ (Weigand et al., 2014, S. 224). Demnach ergibt sich folgende Anordnung, bei der die Abbildungen von innen nach außen allgemeiner werden, da Invarianten verloren gehen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4. „Zwiebelschalenprinzip“ bei geometrischen Invarianten (modifiziert nach Weigand et al., 2014, S. 225)

Hieraus folgt, dass Kongruenzabbildungen spezielle Ähnlichkeitsabbildungen darstellen, während diese wiederum den affinen Abbildungen angehören. Unter einer affinen Abbildung wird eine bijektive Abbildung der Ebene verstanden, die alle Geraden auf Geraden abbildet. Auf diese wird im Weiteren nicht näher eingegangen. Zur weiteren Lektüre sei daher auf MüllerPhilipp and Gorski (2012, S. 189 ff) verwiesen.

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