Optionen bewerten mit dem Black-Scholes-Modell und dem Binominalmodell

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Problemstellung und Zielsetzung
1.2 Aufbau der Arbeit

2 Grundlegende Begriffe
2.1 Option
2.1.1 Call Option
2.1.2 Put Option
2.1.3 Europäische und amerikanische Option
2.2 Optionspreis
2.2.1 Innere Wert
2.2.2 Zeitwert
2.3 Optionsbewertung

3 Black-Scholes Modell
3.1 Bewertungsprozess
3.2 Praxisbeispiel
3.3 Beurteilung

4 Binomial Modell
4.1 Bewertungsprozess
4.2 Praxisbeispiel
4.3 Beurteilung

5 Zusammenfassung

Anhang

Anhang 1: Wertetabelle der Standardnormalverteilung N(x) für x≥0

Literaturverzeichnis

Internetquellen

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Aktien- und Optionspreise in einem allgemeinen Einperioden-Baum

Abbildung 2: Aktienkurs und Optionspreise in einem allgemeinen Zweiperioden-Baum

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Handlungsalternativen von Optionen

Tabelle 2: Innerer Wert bei Optionen

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

1.1 Problemstellung und Zielsetzung

Seit den 70er Jahren handelte die Option an der Börse oder außerbörslich. Die Option wird als derivatives Finanzinstrument angesehen, das zu der Minimierung von Risiken beiträgt.^[1] Um das Risiko effektiv zu verwalten, muss die Option bewerten. Die Optionsbewertung konzentriert sich auf den Optionspreis. Deswegen geht es in dieser Arbeit darum, wie der Optionspreis berechnet wird. Zwei Modelle, das Black-Scholes Modell und das Binominal Modell, werden verwendet, um die Option zu bewerten.^[2] Viele Elemente beeinflußen den Optionswert, und diese zwei Modelle verfügen über mehrere Vorteile und auch einige Nachteile.^[3]

Die Seminararbeit konzentriert sich auf die folgenden Fragen:

Welche Methoden gibt es zur Bewertung von Optionen?

Wie funktionieren das Black-Scholes-Modell und das Binominalmodell?

Was sind die Vor- und Nachteile vom Black-Scholes Modell und Binominalmodell?

1.2 Aufbau der Arbeit

Die Seminararbeit konzentriert sich auf folgende Punkte:

Einleitend wird die Zielsetzung formuliert, wobei die drei genannten Fragen die Struktur der Seminararbeit darstellen. Im zweiten Teil sollen grundlegende Begriffe geklärt werden. Der dritte Teil befasst man sich mit dem Black-Scholes Modell sowie einem Praxisbeispiel. Bei jeder Methode werden der Bewertungsprozess sowie die Vorteile und Nachteile erklärt. Im vierten Teil wird beruhend auf dem Binomial Modell ein Praxisbeispiel ernannt. Die Methode beschreibt Bewertungsprozesse sowie deren Vor- und Nachteile. Diese zwei Abschnitte umfassen insgesamt zwei Methoden und bilden den Schwerpunkt dieser Seminararbeit. Im letzten Teil wird die Seminararbeit unter Berücksichtigung der Fragestellung aus der Einleitung zusammengefasst.

2 Grundlegende Begriffe

2.1 Option

Die Option ist eine Art von der Derivate. Das Optionsgeschäft wird am Terminmarkt durchgeführt.^[4]

Der Käufer und der Verkäufer sind die Subjekte eines Optionsgeschäfts. Der Käufer der Option hat das Recht, der Verkäufer der Option hat die Pflicht. Der Käufer der Option zahlt eine Prämie für den Verkäufer der Option. Wenn der Käufer durch den Optionshandel einen Gewinn erzielt hat, so bedeutet dies für den Verkäufer einen Verlust.^[5]

2.1.1 Call Option

Call Option ist das Kaufrecht. Der Optionskäufer hat das Recht, einen späten Basiswert zu einem bereits heute festgelegten Preis zu erwerben.^[6]

Der Optionskäufer kauft eine Kaufoption und bezahlt die Optionsprämie. Bei einer Long-Call-Position erwartet der Optionskäufer einen steigenden Kurs. Der maximale Gewinn ist unbegrenzt und der maximale Verlust ist die Optionsprämie. Im Gegensatz zur Long-Call-Position verkauft der Optionsverkäufer diese Kaufoption, und erhält der Optionsverkäufer die Optionsprämie. Die Erwartung bei einer Short-Call-Position ist ein fallender oder gleichbleibender Kurs. Der maximale Gewinn ist die Optionsprämie und der maximale Verlust ist unbegrenzt.^[7]

2.1.2 Put Option

Put Option ist das Verkaufrecht. Der Optionskäufer kann sich selbst darüber entscheiden, einen späten Basiswert zu einem bereits heute festgelegten Preis zu verkaufen.^[8]

Der Optionskäufer kauft eine Verkaufsoption, bezahlt die Optionsprämie und hat das Recht zu verkaufen. Bei einer Long-Put-Position erwartet der Optionskäufer einen sinkenden Kurs. Der maximale Gewinn ist der Basispreis minus der Optionsprämie und der maximale Verlust ist die Optionsprämie. Der Optionsverkäufer diese Verkaufsoption verkauft gleichzeitig und hat die Pflicht zu kaufen. Der Optionsverkäufer bekommt die Optionsprämie vom Optionskäufer. Die Erwartung bei einer Short-Put-Position ist ein steigender oder gleichbleibender Kurs. Der maximale Gewinn ist die Optionsprämie und der maximale Verlust ist der Basispreis minus der Optionsprämie.^[9]

Die Optionstyp von Call-und Put Option sind in Tabelle 1 zusammengefasst.^[10]

Tabelle 1: Handlungsalternativen von Optionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Entnommen aus: Bösch, M. (2011), S. 35.

2.1.3 Europäische und amerikanische Option

Europäische Optionen können nur am Laufzeitende ausgeübt werden. Europäische Optionen sind Indexoptionen an der Terminbörse „EUREX“.^[11]

Amerikanische Optionen können während der gesamten Laufzeit ausgeübt werden. Amerikanische Optionen sind flexibel als europäische Optionen und handelt man bei amerikanischen Optionen eine größere Position als europäische Optionen in der Praxis.^[12]

2.2 Optionspreis

Wenn der Käufer das Recht ausübt, bedeutet der Optionspreis nicht negativ. Es gibt zwei Komponenten, die auf den Optionspreis großen Einfluß haben. Diese Komponenten sind der innere Wert und der Zeitwert.^[13]

2.2.1 Innere Wert

Wenn der Inhaber sofort sein Recht ausübt, kann dieser den Mittelzufluss erhalten. Der innere Wert bedeutet ein Mittelzufluss. Der innere Wert ist die Differenz zwischen dem Kurs des Basiswerts und dem Basispreis.^[14] Wenn der Kurs des Basiswertes höher als der Basispreis ist, wird der Call-Optionspreis als „in the money“ bezeichnet. Wenn der Kurs des Basiswertes jedoch niedriger als der Basispreis ist, nennt sich der Call-Optionspreis „out of the money“. Wenn der Kurs des Basiswertes höher als der Basispreis ist, wird der Put-Optionspreis als „out of the money“ bezeichnet. Wenn der Kurs des Basiswertes jedoch niedriger als der Basispreis ist, nennt sich der Put-Optionspreis „in the money“.^[15]

Tabelle 2: Innerer Wert bei Optionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Entnommen aus: Kästner, M. (2012), S. 221.

2.2.2 Zeitwert

Der Preis der Option und der innere Wert können für den Zeitwert groß Einfluß haben.^[16]

Der Zeitwert wird von drei Faktoren bestimmt, der Restlaufzeit der Option, der Volatilität des Basiswertes und dem risikolose Zinssatz. Je kürzer die Restlaufzeit der Option ist, desto niedriger ist der Zeitwert. Wenn der Zeitwert 0 ist, so ist die Restlaufzeit der Option ebenfalls 0. Eine kurze Restlaufzeit bedeutet eine geringere Preisänderung des Basiswertes.^[17] Mit Volatilität ist die Schwankung des Basiswertes gemeint. Je höher die Volatilität des Basiswertes ist, desto höher ist der Preis der Optionen und das Risiko. Wenn die Volatilität ausgeprägt ist, kann der Inhaber der Option eine Maximierung erhalten. Der risikolose Zinssatz hat weinigen Einfluß auf den Optionspreis in der Praxis.^[18]

2.3 Optionsbewertung

Das Black-Scholes Modell und das Binomial Modell sind zwei wichtige Modelle der Optionsbewertung. Die Optionsbewertung konzentriert sich auf den Optionspreis.^[19]

Es gibt sechs Faktoren, die der Optionspreis beeinflussen. Diese Faktoren sind der Basiswert, der Basispreis, der Zinssatz, die Volatilität des Basiswertes, die Restlaufzeit der Option und die Erträge der Basiswert. Der Kurs des Basiswerts und der Basispreis bilden dabei den inneren Wert der Option. Der Zeitwert umfasst die Laufzeit, die Volatilität und den Zinssatz. Der Optionspreis besteht aus dem inneren Wert, dem Zeitwert und die Erträge der Basiswert.^[20]

3 Black-Scholes Modell

Seit Anfang des 20. Jahrhunderts gibt es viele wirtschaftswissenschaftliche Bücher über die Optionsbewertung. 1973 veröffentlichten Fischer Black und Myron Scholes das Modell zur Optionsbewertung. Im Jahre 1997 erhielten Fischer Black und Myron Scholes den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften.^[21] Dennoch wird dieses Modell an internationalen Finanzmärkten genutzt. Dieses Modell ist für die Bewertung europäischer Optionen entwickelt worden.^[22]

3.1 Bewertungsprozess

Der Aktienkursprozess kann durch die geometrische Brownsche Bewegung abgeleitet werden. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist der Zeitpunkt des Aktienpreises während der Laufzeit. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist groß als 0 und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gehört zu Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[23] Dann gibt es diese Gleichung：

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist unberechenbare Variable. Die Renditen folgen arithmetischen Brownschen Bewegung:^[24]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Kurzschreibeiweisen für die stochastischen Intergralgleichungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ito's-Lemma stellt die Lösung der stochastischen Differentialgleichung zu bestimmen dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Black-Scholes Modell ist an einige Voraussetzungen gebunden:

- Auf dem Kapitalmarkt ist das Modell keine Arbitragen.^[25] Jeder Investor kann unbegrenzte Mengen auf dem Kapitalmarkt handeln, wobei alle Wertpapiere frei teilbar sind. Der Investor kann unter der Bedingung des risikolosen Zinssatzes einen Kredit aufnehmen.^[26]
- Alle Wertpapiere haben während der Laufzeit keine Dividende, keine sonstigen Erträge und kein Vorzugsrecht. Das Wertpapiergeschäft ist laufend und der Markt ist öffentlich. Der Prozess des Aktienpreises ist ein Intervall und legt die Standardnormalverteilung vor.^[27]
- Dieser Markt ist nicht vollständig, hier keine Steuern und Transaktionskosten anfallen.^[28]

Durch die Gleichung (1) und (5) kann diese erhalten:^[29]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, (6)

Der risikolose Zinssatz bezeichnet Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist jetziger Preis des Derivats mit FälligkeitsterminAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Danach wird das partielle Black-Scholes Differentialgleichung dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. (7)

Durch die Gleichung (7) können viele Probleme über die Bewertung von unterschiedlichen Derivaten des Preises lösen.

[...]

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^[1] Vgl. Wallmeier, M. (2003), S. 1.

^[2] Vgl. Brunner, B. (2004), S. 1.

^[3] Vgl. ebd., S. 9.

^[4] Vgl. Hull, J. (2009), S. 29.

^[5] Vgl. ebd., S. 30.

^[6] Vgl. Spremann, K. (2006), S. 570.

^[7] Vgl. Van de Locht, N. (2009), S. 10.

^[8] Vgl. Spremann, K. (2006), S. 571.

^[9] Vgl. Van de Locht, N. (2009), S. 10.

^[10] Vgl. Bösch, M. (2011), S. 35.

^[11] Vgl. Merk, A. (2011), S. 11.

^[12] Vgl. Van de Locht, N. (2009), S. 18.

^[13] Vgl. Bösch, M. (2011), S. 59.

^[14] Vgl. Bösch, M. (2011), S. 55.

^[15] Vgl. Bartels, P. (2008), S. 176.

^[16] Vgl. Bösch, M. (2011), S. 59.

^[17] Vgl. Merk, A. (2011), S. 13.

^[18] Vgl. Wallmeier, M. (2003), S. 90.

^[19] Vgl. Brunner, B. (2004), S. 9.

^[20] Vgl. Bösch, M. (2011), S. 60.

^[21] Vgl. Bartels, P. (2008), S. 189.

^[22] Vgl. Schulmerich, M. (2005), S. 20.

^[23] Vgl. Brunner, B. (2004), S. 13.

^[24] Vgl. ebd., S. 14.

^[25] Vgl. Hull, J. (2012), S. 393.

^[26] Vgl. Bartels, P. (2008), S. 191.

^[27] Vgl. Meincke, S. (2007), S. 32.

^[28] Vgl. Korn, R.; Korn , E. (2009), S. 120.

^[29] Vgl. Brunner, B. (2004), S. 15.