Leseprobe
Inhalt
1. Einleitung
2. Gestellte Hausaufgabe
3. Historische Entwicklung des Funktionenbegriffs und Anwendung von
Funktionen früher
4. Funktionen und Funktionales Denken – Heute
4.1. Darstellungsweisen von Funktionen und deren didaktischen Funktionen
4.2. Funktionales Denken
4.3. Funktionen in der Schule
5. Verlauf der gehaltenen Seminarsitzung
6. Resümee der gehaltenen Seminarsitzung
7. Literaturverzeichnis
8. Anhang
1. Einleitung
In der Seminarstunde zu dem Thema Funktionen und Funktionales Denken wurden hauptsächlich die historische Entwicklung des Funktionsbegriffs, die heutige Verwendung von Funktionen und ihre Einführung in der Schule betrachtet. Um diese Themen zu behandeln wurde vorab eine Hausaufgabe gestellt, die die Kommilitonen mit Aufgaben aus der Schule konfrontierten und die einen Einblick auf den Ablauf der historischen Entwicklung gaben. Die Stationenarbeit verfolgte die gleiche Intention und komplettierte die Hausaufgabe. Das Referat über das heutige Verständnis von Funktionen und Funktionalem Denken, gab zudem einen Einblick in den Lehrplan und den Einsatz in der Schule.
2. Gestellte Hausaufgabe
Die Überlegungen für ein Hausaufgabenblatt als vorbereitende Auseinandersetzung mit dem Thema Funktionen und Funktionales Denken gingen in zwei verschiedene Richtungen: Einerseits könnten die Aufgaben derselben Art sein, wie man sie häufig in der Schule wiederfindet. Andererseits wäre es möglich, die Teilnehmer mit einer Beispielaufgabe zur historischen Verwendung von Funktionen und funktionalen Zusammenhängen zu konfrontieren und die Unterschiede zu den heute gängigen Aufgabentypen erarbeiten zu lassen. Zwei der vier Aufgaben sind so ausgewählt, dass sie eindeutig schultypischer Art sind. Bei diesen Aufgaben geht es darum, die Funktion zu untersuchen, in Darstellungsformen zu wechseln und im Grunde mathematische Vorschriften anzuwenden, ohne ein wirklichen Ertrag zu haben, außer dass die Aufgabe gelöst wurde. Die Intention diese abzudrucken war, dass die Kommilitonen durch das Bearbeiten dieser Aufgaben in das gängige Schema zurückversetzt werden und in der Seminarstunde durch das Bearbeiten der historischen Stationen die Differenzen besser erkennen können. Aufgabe 1 und Aufgabe 3 der Hausaufgabe hingegen hebt sich von diesem Schema etwas ab. Hier stehen der intentionale Umgang mit Zusammenhängen und das Übertragen in die graphische Darstellungsweise im Vordergrund. Insgesamt sollte die Hausaufgabe also dazu dienen, sich die Arbeitsweise mit Funktionen aus der Schule zu vergegenwärtigen, um deren Charakteristika mit denen der historisch-intentionalen Aufgaben zu vergleichen.
3. Historische Entwicklung des Funktionenbegriffs und Anwendung von Funktionen früher
Schauen wir in der Geschichte zurück, so entdecken wir schon sehr früh Varianten des heutigen Funktionen Begriffes. Zu frühen Zeiten hießen diese allerdings noch nicht Funktionen.
Die früheste Entdeckung ist eine Steintafel, die Plimton 322 genannt wird. Dies ist eine tabellarisch dokumentierte Funktion von 1900-1600 v.Chr. der Babylonier. Hier wird eine Rechnung im Sexagesimalsystem gezeigt. Dies ist ein Zahlensystem, das zur Basis 60 rechnet. In dieser frühen Phase waren Funktionen also einfache proportionale Zusammenhänge.
In der Antike sind Funktionen kinematische Kurven, die Bewegungen darstellen. Als Beispiel findet sich hier de Trisectrix von Hippias von Elis (Abbildung1). Diese zeigt eine gekoppelte Bewegung von Rotation und Translation. Mit Hilfe dieser Zeichnung konnte man näherungsweise π konstruieren. Ein Beispiel für eine kinematische Kurve ist die Hippopede von Eudoxos (Abbildung2). Diese zeigt die Planetenbahnen an der Himmelskugel. So lässt sich zusammenfassen, dass Funktionen in dieser Phase oft Bewegungskurven waren.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[1] Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[2]
Ein Beispiel für eine Funktion im Mittelalter ist Zodiac. Dies ist die erste grafische Darstellung einer zeitabhängigen Funktion. Sie zeigt die Planetenbahnen im Tierkreis. Hier wurden das erste mal veränderbare Werte in einem Zeitzusammenhang dargestellt. Zwischen den verschiedenen Kurven besteht allerdings kein zeitlicher Zusammenhang. Die Zeitachse muss für jede Planetenbahn anders interpretiert werden.
In der Neuzeit waren Funktionen erstmals durchgezogene Linien. Leonardo da Vinci führte rechtwinklige Koordinaten in der Darstellung ein. Weiter erfindet John Napier die Logarithmen und berechnet Logarithmentafeln. Viète für Buchstaben für un-/bekannte Größen ein. Das Wort „Funktion“ verwendete erstmals Leibniz und Bernoulli gab eine erste Definition des Funktionen Begriffes: Eine Funktion einer veränderlichen Größe ist ein Ausdruck, der Konstante und veränderliche Größe in einen Zusammenhang bringt.
Zusammenfassen lässt sich, dass Funktionen von den Babyloniern bis ins Mittelalter Hilfsmittel waren um bestehende Probleme zu lösen, ohne dabei den Begriff selbst zu definieren oder sich über seine Bedeutung bewusst zu sein. Erst in der Neuzeit bildete sich ein definierter Begriff der Funktion.
4. Funktionen und Funktionales Denken – Heute
4.1. Darstellungsweisen von Funktionen und deren didaktischen Funktionen
Es gibt unterschiedliche Darstellungen von Funktionen, welche zum Teil unterschiedliche Lerntypen anspricht und das Augenmerk auf andere Aspekte lenkt. Einige Darstellungsweisen stehen in engem, andere in weitem Bezug zueinander und verfolgen unterschiedliche didaktische Funktionen.
Funktionen können in Textform gegeben sein. Dann sind sie meist implizit gegeben und geben oft ein Beispiel oder Problem aus dem Alltag wieder. Nicht immer wird direkt erkannt, dass es sich um eine Funktion handelt. Diese Eigenschaft kann oft auch gewollt sein um ein Gespür für solche funktionalen Zusammenhänge zu erkennen.
In Wertetabellen dargestellte funktionale Zusammenhänge zeigen die Zugehörigkeiten der einzelnen Werte zueinander, es wird dann aber oft übersehen, dass auch funktionale Zusammenhänge zwischen nicht aufgelisteten Werten besteht. Der Zuordnungscharakter, in Form von punktweiser Zuordnung, wird besonders in einer waagrechten Tabelle deutlich. Das Änderungsverhalten wird hingegen in einer senkrechten Tabelle offensichtlicher. Dabei wird der dynamische Prozess offensichtlich. Dies wird insbesondere bei der Dreisatzrechnung, bei Wachstumsprozessen sowie bei dem Änderungsverhalten von Funktionen in der Differentialrechnung betrachtet.
Der Graph einer Funktion zeigt die Funktion als Ganzes. Es zeigt, dass jeder einzelne Wert einem anderen zugeordnet wird, welchem genau, wird nicht unbedingt offensichtlich. Dies wird auch nicht zwangsläufig angestrebt. Die didaktische Funktion setzt den Schwerpunkt auf dem Abhängigkeitsverhältnis der Größen. Bei dieser Art der Darstellung werden vor allem visuelle Lerntypen angesprochen, die sich einen Verlauf des Grafens besser merken und interpretieren können.
Funktionsgleichungen können implizit oder explizit gegeben sein, wobei beide Gleichungen einfach in die jeweils andere umgeformt werden können. Bei der expliziten Darstellung von Funktionsgleichungen wird der Zuordnungscharakter deutlicher als bei der impliziten Darstellung, welche den Gleichungscharakter in den Vordergrund stellt. Beim Zuordnungscharakter wird vor allem die Abhängigkeit des y-Werts vom x-Wert deutlich und bildet seine didaktische Funktion.
Die Pfeilschreibweise ist eine symbolische Darstellungsweise der Funktion in der Form x -> y, bei der die Zuordnung ausgehend vom x-Wert zum y-Wert deutlich wird. Auch der genaue Zusammenhang zwischen den Größen wird offensichtlich (Bsp.: x -> 2x).
Das Pfeildiagramm ist eine ikonische Darstellungsweise einer Funktion, da im Pfeildiagramm die Werte der Definitionsmenge mit den zugehörigen Werten der Zielmenge verbunden werden. Der Zuordnungscharakter ist die bedeutendste didaktische Funktion des Pfeildiagramms.
(vgl. Hilbert, A (1982);Vollrath, H.J. (1989); Vollrath, H.J. (1979))
4.2. Funktionales Denken
„ Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktionen ist “ (S.5, Vollrath, H.J. (1989)) so charakterisiert Vollrath das Funktionale Denken. Er will das Funktionale Denken allerdings nur als didaktischen Begriff etablieren, wenn das Funktionale Denken eine Aufgabe der Didaktik ist. Dabei ist in Anlehnung an seine Charakterisierung von Funktionalem Denken der kognitive Umgang mit Funktionen von zentraler Bedeutung. Er schließt die Abbildungsgeometrie vom Funktionalen Denken aus, da sie seiner Meinung in einer anderen didaktischen Konzeption vertreten ist. Vollrath untergliedert das Funktionale Denken in „Denken mit Funktionen“, in „Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen“ sowie in „Funktionales Denken als Erkennen“.
Mit „Denken mit Funktionen“ werden vor allem drei wichtige Aspekte hervorgehoben. Erstens beschreiben Funktionen immer Zusammenhänge zwischen Größen, zweitens erfasst man durch Funktionen, „ wie Änderungen einerGröße sich auf eine abhängige Größe auswirken “(S. 12, Vollrath, H.J. (1989)) und drittens betrachtet man mit Funktionen den Zusammenhang zwischen den Größen als Ganzes.
Unter dem Gliederungspunkt „Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen“ will Vollrath vier Grundphänomene abdecken, die nicht nur Alltagssituationen sondern auch innermathematische Situationen beinhalten. Zu den Grundphänomenen gehören die „Vorgänge“ „, die auf Funktionen der Zeit führen“ (S. 19, Vollrath, H.J. (1989))und „Messungen“, die Größen Zahlen zuordnen. Zudem zählen „Operationen“ dazu, die „als Änderung von Größen betrachtet, bei denen jeweils einer Größe eine andere der gleichen Art eindeutig zugeordnet ist.“ (S. 19, Vollrath, H.J. (1989)) Als viertes werden „Kausalitäten“ genannt, welche als „Beziehungen zwischen verschiedenartigen Größen, die als kausale Zusammenhänge gedeutet werden können.“ (S. 19, Vollrath, H.J. (1989))
Bei „Funktionales Denken als Erkennen“ zählt Vollrath die „Funktionalen Beziehungen“ auf, unter die die Grundvorstellung der kausalen Abhängigkeit von Funktionen fällt. Zweitens nennt er die „Funktionale Begriffsbildungen“, da mithilfe der Funktionen als Werkzeuge wesentliche Begriffe gebildet werden, wie den „der Ableitung, des unbestimmten Integrals, der Geschwindigkeit, der Dichte, der Arbeit usw.“ (S. 28, Vollrath, H.J. (1989)). Drittens nennt er „Funktionale Argumentationen“ die vor allem über den Graphen getätigt werden können. Als viertes zählt Vollrath die „Funktionen als kognitive Modelle“ auf, unter denen er mathematische Gegenstände sieht, welche natürliche Gegebenheiten abbilden. (vgl. Vollrath, H.J. (1989)) Zusammenfassend kann man sagen, dass man Probleme beim Funktionalen Denken mithilfe von Funktionen versucht zu lösen.
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[1] Nach https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/QuadratrixHippias.svg/2000px-QuadratrixHippias.svg.png
[2] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Diagrams/Eudoxus.gif