Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Ruinwahrscheinlichkeiten in Risikomodellen. Die Bestimmung und Abschätzung von Ruinwahrscheinlichkeiten ist Gegenstand der Ruintheorie, die ein Teilgebiet der Risikotheorie darstellt. Im Gegensatz zur Lebensversicherungsmathematik beschäftigt sich die Risikotheorie mit Sachversicherungen. Deshalb wird sie auch als Sach- oder Nichtlebens-Versicherungsmathematik bezeichnet. Kennzeichnend für Sachversicherungen ist die zufällige Anzahl, die zufällige Höhe sowie das zufällige Eintreten von Schäden. Dies führt zur Notwendigkeit, anspruchsvolle mathematische Modelle zu entwickeln und zu beschreiben. Die Ruintheorie kann somit auch als eine spezielle Theorie stochastischer Prozesse angesehen werden. Das zweite Kapitel des vorliegenden Textes stellt eine allgemeine Hinführung zum Thema dar. Es wird zuerst das diskrete und dann das stetige Risikomodell betrachtet. Im Rahmen dieser zwei Modelle werden die grundlegenden Größen definiert und erklärt, angefangen von der Beschreibung des Risikoreserveprozesses bis hin zur Definition der Ruinwahrscheinlichkeit. Im dritten Kapitel wird das so genannte klassische Risikomodell eingeführt. Wir halten uns dabei im Wesentlichen an das Buch „Stochastic Processes for Insurance and Finance“ von Rolski, Schmidli, Schmidt und Teugels. Das eingeführte Modell wird üblicherweise für Berechnungen in der Praxis herangezogen. Es lässt sich durch folgende vier Annahmen grob skizzieren: 1. Man geht von einer Poisson-verteilten Schadensanzahl aus. 2. Die Schäden werden durch eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen beschrieben. 3. Die Schadensanzahl und die Schäden sind unabhängig voneinander. 4. Prämien werden konstant gezahlt. Nach allgemeinen Betrachtungen über den Poisson-Prozess werden in diesem Kapitel Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebenswahrscheinlichkeit, dem Pendant zur Ruinwahrscheinlichkeit, angestellt sowie eine einfachere Darstellung dieser Wahrscheinlichkeiten ausgearbeitet. Der letzte Abschnitt des Kapitels beschäftigt sich schließlich mit Laplace-Transformationen der Wahrscheinlichkeiten. Anhand ausgewählter Beispiele wird gezeigt, dass diese eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit spielen. [...]
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Einführende Untersuchungen
2.1 Das diskrete Risikomodell
2.2 Das stetige Risikomodell
3 Das klassische Risikomodell
3.1 Allgemeine Betrachtungen
3.2 Untersuchungen zur Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion Φ(u)
3.3 Eine andere Darstellung für die Ruinwahrscheinlichkeit Ψ(u)
3.4 Laplace-Transformationen
4 Das kollektive Risikomodell
4.1 Allgemeine Betrachtungen
4.2 Eine Darstellung für die Überlebenswahrscheinlichkeit Φ(t; u)
4.3 Hilfsresultate aus der Irrfahrten-Theorie
4.4 Die Ruinwahrscheinlichkeit nach dem Zeitpunkt t
A Grundlagen
A.1 Bedingte Erwartung
A.2 Integration und Differentiation
A.3 Konvergenzsätze
A.4 Laplace-Transformation
A.5 Der Transformationssatz für Integrale
Zielsetzung und thematische Einordnung
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Bestimmung und Abschätzung von Ruinwahrscheinlichkeiten in Risikomodellen. Ziel ist es, das klassische Risikomodell zu analysieren und auf ein kollektives Risikomodell zu erweitern, welches nicht Poisson-verteilte Schadensanzahlen berücksichtigt, um realitätsnähere Modellierungen für Versicherungsmathematik zu ermöglichen.
- Ruintheorie und stochastische Prozesse in der Versicherungsmathematik
- Analyse und Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion im klassischen Risikomodell
- Verallgemeinerung auf das kollektive Risikomodell bei nicht Poisson-verteilten Schäden
- Einsatz von Laplace-Transformationen zur Lösungsfindung
- Anwendung von Hilfsresultaten aus der Irrfahrten-Theorie
Auszug aus dem Buch
3.1 Allgemeine Betrachtungen
In der Einleitung haben wir das klassische Modell bereits grob skizziert. Wir wollen die Eckpfeiler dieses Modells an dieser Stelle noch einmal nennen. Es sind dies die Poisson-verteilte Schadensanzahl N(t), die unabhängigen und identisch verteilten Teilrisiken Uk, k =1, 2,..., die Unabhängigkeit von N(t) und Uk, k =1, 2,..., sowie die konstant gezahlten Prämien c. Wir werden im Folgenden den ersten Punkt etwas genauer unter die Lupe nehmen.
Der Prozess {Ru(t);t ≥ 0} wird klassischer Risikoprozess oder Poisson Modell genannt, wenn {N(t);t ≥ 0} ein Poisson-Prozess ist bzw. die Zwischenankunftszeiten {Ti}i=1∞ exponentialverteilt sind mit Parameter λ > 0. Dass dies gleichbedeutend ist, zeigt folgendes Lemma.
Lemma 3.1 (a) {Ti}i=1∞ sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit der Verteilungsfunktion: G(t) = 1 − e−λ·t , t ≥ 0; 0 , t < 0.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die Ruintheorie als Teilgebiet der Risikotheorie und Skizzierung der geplanten Modellanalysen.
2 Einführende Untersuchungen: Definition der grundlegenden Prozesse des diskreten und stetigen Risikomodells sowie der Ruinwahrscheinlichkeit.
3 Das klassische Risikomodell: Detaillierte mathematische Analyse unter der Annahme einer Poisson-verteilten Schadensanzahl, inklusive Differenzierbarkeit der Überlebensfunktion.
4 Das kollektive Risikomodell: Untersuchung einer Verallgemeinerung des klassischen Modells auf nicht Poisson-verteilte Schadensanzahlen unter Nutzung von Irrfahrten-Theorie.
Schlüsselwörter
Ruintheorie, Risikomodell, Ruinwahrscheinlichkeit, Überlebenswahrscheinlichkeit, Poisson-Prozess, stochastische Prozesse, Schadensanzahl, Irrfahrt, Laplace-Transformation, Versicherungsmathematik, Risikoreserveprozess, Schadensüberschussprozess.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung und Berechnung von Ruinwahrscheinlichkeiten im Kontext der Versicherungsmathematik, insbesondere bei Sachversicherungen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Ruintheorie, die Anwendung stochastischer Prozesse zur Beschreibung von Risikoreserven und die mathematische Analyse von Überlebens- bzw. Ruinwahrscheinlichkeiten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die fundierte mathematische Herleitung und Untersuchung der Ruinwahrscheinlichkeit, zunächst im klassischen Modell und anschließend in einer verallgemeinerten Form, dem kollektiven Risikomodell.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein maßtheoretischer und stochastischer Ansatz gewählt, der intensiv mit Differentialgleichungen, Integralrechnung und Laplace-Transformationen arbeitet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Untersuchung des klassischen Risikomodells mit Poisson-verteilten Schäden sowie die Erweiterung auf das kollektive Risikomodell unter Verwendung der Irrfahrten-Theorie.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Ruinwahrscheinlichkeit, Überlebensfunktion, klassisches Risikomodell, kollektives Risikomodell, Irrfahrt und Laplace-Transformation.
Warum ist die Unterscheidung zwischen diskreten und stetigen Modellen wichtig?
Die Unterscheidung ist für die mathematische Modellierung essenziell, da sie unterschiedliche mathematische Anforderungen an die Differenzierbarkeit und die Prozessbeschreibung stellt, was die Herleitung der jeweiligen Ruinwahrscheinlichkeiten beeinflusst.
Welche Rolle spielt die Irrfahrten-Theorie in Kapitel 4?
Die Irrfahrten-Theorie liefert die mathematischen Hilfsmittel und Theoreme (wie das Wahl-Theorem), die notwendig sind, um die Ruinwahrscheinlichkeit im kollektiven Risikomodell herzuleiten, wenn die Schadensankunft komplexer als ein einfacher Poisson-Prozess ist.
- Quote paper
- Sabine Eppinger (Author), 2004, Über die Ruinwahrscheinlichkeit im klassischen Risikomodell mit einer Verallgemeinerung auf nicht Poisson-verteilte Schadensanzahl, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/31651
