Die Spiegelung in der Mathematik und Physik. Eine Unterscheidung

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Hauptteil
2.1 Spiegelung
2.2 Spiegelung in der Mathematik
2.2.1 Lagebeziehung
2.2.2 Ebenenspiegelung
2.2.3 Achsenspiegelung
2.2.4 Punktspiegelung
2.3 Spiegelung in der Physik
2.3.1 Spiegelbild
2.3.2 Konstruktion des Spiegelbildes
2.3.3 Reflexion des Lichts
2.3.4 Das Auge
2.3.5 Verschiedene Spiegel
2.4 Vergleich

3. Schluss

4. Literaturverzeichnis

5. Anhang

1 Einleitung

In der folgenden Arbeit, werde ich Bezug auf die Mathematik und Physik nehmen und mich hierbei auf die Spiegelung in beiden Gebieten konzentrieren.

Die Mathematik gehört zur Geisteswissenschaft und besteht im Allgemeinen darin, Aussagen logisch zu beweisen und geometrische Figuren zu untersuchen. Im Allgemeinen kennt man die Mathematik, als die Rechnung mit Zahlen, denn in der Schule wird den Schülerinnen und Schülern nur das rechnerische und sachliche der Mathematik nahegelegt und nicht das detaillierte und komplexe.

Die Physik hingegen gehört zur Naturwissenschaft und untersucht experimentell, bestimmte Phänomene und ihre Zusammenhänge in der Natur. Diese Phänomene werden erforscht, um sie zu verstehen und mit Experimenten und Modellen darstellen zu können. Die Phänomene werden in Kategorien wie Materie, System, Energie und Wechselwirkung eingeordnet. Die Physik liefert auch eine Basis für das Verstehen und Beurteilen technischer Systeme und Entwicklungen. Gesetzmäßigkeiten in der Natur, werden erkannt und in die Technik überführt, sodass die Menschheit davon profitieren kann.

Diese Unterschiede, möchte ich mit einem Thema, das in beiden Wissenschaften bekannt ist, genauer vorstellen. Diesen Gedankengang halte ich mit den folgenden Fragen fest:

Worin genau unterscheidet sich die Spiegelung in der Mathematik und in der Physik? Wie kommt es dazu, dass man ein bestimmtes Thema, hier: Spiegelung, so unterschiedlich betrachten kann?

2 Hauptteil

Um den Unterschied der verschiedenen Darstellungen der Spiegelung in der Mathematik und Physik zu verdeutlichen, betrachte ich den Begriff Spiegelung und ihre Funktion in der Mathematik und Physik jeweils für sich. Zunächst wende ich mich dem Begriff Spiegelung zu und erkläre dieses im Allgemeinen. Anschließend nehme ich Bezug auf die beiden Wissenschaften. Diese werden am Ende verglichen, sodass Unterschiede und Gemeinsamkeiten hervorgehoben werden. Die Notwendigkeit der unterschiedlichen Betrachtungen des Spiegelungsbegriffs wird somit deutlich.

2.1 Spiegelung

Als Spiegelung bezeichnet man im alltäglichen Wortgebrauch, das Erzeugnis eines Spiegels oder einer anderen reflektierenden Fläche (Bsp.: Fenster, Pfütze etc.). Bei der Betrachtung eines Spiegels, sieht man das Spiegelbild von sich selbst auf der Spiegelfläche, allerdings scheint beim Spiegelbild rechts und links, sowie vorne und hinten, vertauscht zu sein. Diese weit verbreitete Auffassung ist nicht ganz richtig. Im Alltäglichen mag diese Auffassung eventuell stimmen, jedoch entspricht dies, sinngemäß nicht der vollen Wahrheit. Der Spiegel vertauscht nicht links und rechts, sowie unten und oben. Genauere Aufklärung folgt in Kapitel 2.3.1

Das Spiegelbild ist symmetrisch zum Objekt, welches vor dem Spiegel steht. Das heißt, das Spiegelbild kann durch Umwandlungen auf sich selbst abgebildet werden. Der gesehene Abstand des Spiegelbildes vom gespiegeltem Objekt ist das doppelte, wie der Abstand des Objektes zum Spiegel. Der Abstand des Objektes zum Spiegel ist also gleich dem Abstand des Spiegelbildes zur Spiegelfläche.

Es gibt Plan-, Konvex- und Konkavspiegel. Planspiegel haben eine ebene Oberfläche, ein Beispiel dafür ist uns aus dem Alltag bekannt, wie Garderobenspiegel. Konvexspiegel vergrößern die Blickwinkel und werden daher im Verkehr verwendet, sodass man in unübersehbaren Kurven eine bessere Sicht hat. Kosmetikspiegel sind meistens konkave Spiegel. Damit wird das Spiegelbild vergrößert, um Einzelheiten besser erkennen zu können. Zu der detaillierten Auseinandersetzung mit diesen drei Spiegelarten werde ich mich später näher befassen.

2.2 Spiegelung in der Mathematik

Die Spiegelung in der Mathematik hat, im Vergleich zur Spiegelung in der Physik, wenig mit dem Spiegel an sich zu tun, lässt sich jedoch durch die Geometrie beschreiben. Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit Koordinaten und Figuren, die durch Punkte, Geraden und Ebenen erzeugt werden. Durch diese Darstellungsformen ist es möglich, verschiedene Arten der Spiegelung in der Mathematik darzustellen. Die Aufführung, der Spiegelung in der Mathematik ist stets für einen dritten Beobachter veranschaulicht, das heißt der Beobachter sieht die „Fixfigur“ und die dazu symmetrische Figur. Der Beobachter ist also nicht selbst das gespiegelte Objekt. Das Wort Spiegelung wird in der Mathematik eher mit dem Wort Symmetrie aufgefasst. Symmetrische Objekte lassen sich durch Verschiebungen und Bewegungen auf sich selbst abbilden. Ein gleichseitiges Dreieck beispielsweise ist symmetrisch, denn durch das Halbieren des Dreieckes durch eine Höheerhält man zwei identische Figuren. Die bekannten Symmetrien, wie Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, und Ebenen Symmetrie, werde ich im Folgenden näher erläutern. Dazu stelle ich die Lagebeziehungen ( Parallelität, Entfernung, Lot etc.) von Abbildungen zueinander zunächst dar, um diese im Raum bildlich darstellen zu können und dadurch die Symmetrie Eigenschaften zu verdeutlichen.

2.2.1 Lagebeziehungen

Spiegelungen sind Abbildungen in der Geometrie, die durch das Koordinatensystem oder durch den euklidischen Raum beschrieben werden können. Die Lage von Objekten können im Koordinatensystem genauer beschrieben werden, sodass die Beziehungen zwischen Objekten im euklidischen Raum eindeutig veranschaulicht werden können. Mehrere Punkte im Raum haben ohne Zusammenhänge keine wirkliche Bedeutung. „ Die besonderen Beziehungen, in denen die Punkte einer Figur zueinander stehen, machen die geometrische Eigenschaften der Figur aus; geometrische Eigenschaften sind letztlich nichts anderes als Lagebeziehungen zwischen Punkten.“¹.

Spiegelbilder kann man mithilfe der Lagebeziehungen beschreiben, indem man die Symmetrie der geometrischen Figur und ihres Bildes überprüft. „Eine Figur wird als symmetrisch bezeichnet, wenn sie durch eine Spiegelung an einer Spiegelachse, eine Drehung um einen Punkt oder eine Verschiebung mit sich zur Deckung kommt.“². Diese Abbildungen werden auch als Kongruenzabbildungen bezeichnet, da sich die Form der Figuren nicht ändert, sondern lediglich der Ort der Punkte im Koordinatensystem in einer bestimmten Lagebeziehung zueinander. Das heißt, wenn wir ein Dreieck ΔABC haben und dieses an einer Achse spiegeln, erhalten wir ein gespiegeltes Dreieck ΔA’B’C‘, welches dieselben Seitenlängen und Winkel hat, wie das Dreieck ΔABC. Die jeweiligen Verbindungslinien der Ecken des Dreiecks, also AA‘, BB‘ und CC‘ sind parallel zueinander. Man kann die Spiegelbilder auch als Bewegungen der geometrischen Figuren betrachten, da sie identisch miteinander sind, allerdings nur verdreht und verschoben. „ Jede Verkettung von Achsen-Spiegelungen, heißt Kongruenzabbildung“³. Diese Figuren nennt man zueinander kongruent, da das Objekt und dessen Spiegelbild aufeinander abgebildet werden können, sodass für das oben genannte Beispiel, mit den Dreiecken gilt: ΔABC ≡ ΔA’B’C‘. Kongruenzabbildungen sind dadurch bestimmt, dass eine Verkettung, das Spiegelbild der Abbildung ergibt und n-Verkettungen (n=Anzahl der Verkettungen) der Spiegelung wieder die Ausgangsabbildung darstellen kann. Daher nennt man nach Botsch Spiegelungen auch involutorische Abbildungen, da das Bild eines Bildpunktes wieder das ursprüngliche Bild ist.

2.2.2 Ebenenspiegelung

Die Spiegelung, dargestellt in der Raumgeometrie, nennt man Ebenenspiegelung. Durch Spiegelung an einer Ebene, werden Figuren beziehungsweise Körper, 3- Dimensional nachgebildet. Die Mittelsenkrechte ist eine Ebene Fläche, die wie eine Wand, die Figur von dessen Spiegelbild in der Mitte trennt. Dabei unterscheidet man zwischen Punktspiegelung, Achsenspiegelung und Drehspiegelung.

Bei einer Ebenenspiegelung, fällt man, wie bei der Achsenspiegelung, jeweils von den Eckpunkten des Körpers, den Lot auf die Ebene. Anschließend einen Kreis um den Schnittpunkt S des Lots mit der Ebene. Der zweite Schnittpunkt ist der, des Kreises um S mit dem Radius SE (E für Eckpunkt) mit der Lotgeraden. Der einzige Unterschied der Achsensymmetrie besteht darin, dass die Bilder keine Flächen sind, sondern Körper mit Hohlraum,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Achsenspiegelung an

einer Ebene wie in Abbildung 1 zu sehen ist. In dieser Abbildung ist ein Prisma zu sehen, welchen an einer Ebene gespiegelt wird. Durch diese Spiegelung dreht sich auch hier der Umkehrsinn, wodurch die im Vordergrund gesehene Ecke des Prismas, in der Spiegelung nach hinten verschoben wird. Der Umkehrsinn, gilt bei der Ebenenspiegelung für alle Seitenflächen der gespiegelten Körper. Das heißt, konkret im unseren Beispiel, dass sich alle 4 Dreiecksflächen des Prismas umkehren.

Bei einer Punktspiegelung fokussiert man sich auf einen Punkt und konstruiert das Spiegelbild mit Hilfe dieses Punktes. Der Fixpunkt jedoch, ist auf der vorgegebenen Ebene zu bestimmen. In der nebenstehenden Abbildung ist die

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Punktspiegelung im Raum

Punktspiegelung im Raum optisch dargestellt. In der Abbildung ist deutlich, dass durch die Punkspiegelung im Raum der Körper auf den Kopf gestellt wird. Dies kommt durch die doppelte Spiegelung zustande, wodurch auch hier der Umkehrsinn erhalten bleibt.

Die Drehspiegelung unterscheidet sich von den anderen beiden darin, dass sich die Spiegelung nicht hauptsächlich durch Punkten und Geraden konstruieren lässt, sondern, wie der Name schon sagt, durch hintereinander Ausführungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Drehspiegelung im Raum, http://www.mathematik-wissen.de/drehung.htm

von einer Drehung in einem bestimmten Winkel. Zur Konstruktion braucht man auch hier einen Fixpunkt. Die Eckpunkte einer beliebigen Figur werden mit diesem Fixpunkt verbunden. Von jedem dieser Punkte zeichnet man den Winkel α in Linksrichtung und verdeutlicht diesen mit Hilfslinien. Der Abstand von den Eckpunkten der Figur zum Fixpunkt, wird einzeln bestimmt und auf den passenden Hilfslinien der Winkel abgetragen. Zum Schluss verbindet man die abgetragenen Punkte und erhält das, um den Winkel α gedrehten, Spiegelbildes.

Die Ebenenspiegelung demonstriert, insbesondere die Spiegelungen von Körpern im Raum. In den nächsten Kapiteln wird die Spiegelung im 2-dimensionalem Raum mit der Achsen- und Punktspiegelung näher beschrieben.

2.2.3 Achsenspiegelung

Die Achsenspiegelung ist einer der bekannten Symmetrien. Eine Figur hinsichtlich seiner Achsenspiegelung heißt symmetrisch. „Die Achsenspiegelung ist eine gegenseitige Abbildung, d.h. sie kehrt den Richtungssinn von Fixgeraden (außer der Achse) und von Winkeln, sowie den Umlaufssinn von Dreiecken um.“⁴ Die Achsenspieglung ist deckungsgleich und somit hat die gespiegelte Figur dieselbe Länge und denselben Winkel, wie die Fixfigur. Nach W. Schwarz und H. Scheid lässt sich die Achsenspiegelung durch folgende Bedingungen festlegen:

1) Jeder Punkt der Achse a ist Fixpunkt, für P ∈ a ist also P‘ = P.
2) Für P ∉ a ist a die Mittelsenkrechte der trecke PP‘.⁵

Einer der bekannten Achsensymmetrien in der Mathematik ist die Cosinuskurve. Die y-Achse soll in der unteren Abbildung die Symmetrieachse darstellen. Nehmen wir an, dass die negative X-Achse für die eigentliche Figur steht, somit lässt sich Schlussfolgern, dass die positive X-Achse das Spiegelbild dieser Figur ist. Die senkrechte Spiegelung an dieser Achse führt dazu, dass die Sinuskurve an der Symmetrieachse auf sich selbst abgebildet wird. Die Länge der beiden Figuren ist somit gleich lang. Das heißt, wenn die Figur auf der negativen Seite unendlich lang ist, so ist auch ihr Spiegelbild unendlich lang. Die Tangenten und Amplituden stehen in beiden Hälften der Abbildungen im selben Verhältnis zueinander. Die Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung, wodurch alle Figuren durch Spiegelung an der Achse in kongruente Abbildungen abgebildet werden. Wenn wir ein Dreieck an einer Achse spiegeln, so ergibt sich daraus, dass die Winkel an bestimmten Ecken des Dreiecks jeweils gleich groß sind und die Seiten jeweils gleich lang sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Cosinuskurve, erstellt mit GeoGebra

Wie auch in Abbildung 4 ersichtlich, halbiert die Achse die eigentliche Figur von der Bildfigur. Man kann dies auch selbst beobachten, indem man auf einem Blatt Papier die eine Hälfte der Cosinuskurve aufzeichnet und das Blatt neben einen Spiegel legt. Zu betrachten ist dann, dass die Kurve in der Spiegelebene fortgeführt wird, aber nur soweit, wie auch die eigene Zeichnung ist. Daher bildet die Achse die Mittelsenkrechte der beiden Figuren. Durch die Symmetrie der Spiegelungen, kann man sagen, dass die Abbildung bijektiv ist. Das heißt, jedem Punkt auf der eigentlichen Figur, kann auch genau ein Punkt auf der Bildfigur zugeordnet werden. Die Bildfiguren sind zu den echten Figuren gegensinnig, da die Achsenspiegelung den Richtungs- und Umlaufssinn der Figur umkehrt.

In Abbildung 5 ist die Umkehrung des Umlaufsinns nochmal deutlich dargestellt. Bei dem eigentlichen Dreieck ABC, ist die Dreiecksecke B rechts von A und C entsprechend rechts von B. Das Dreieck ist somit linksdrehend und der Umlaufsinn verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Wenn man nun das Spiegelbild des Dreiecks ABC konstruiert, so erhält man das Dreieck

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5 Achsensymmetrie,

https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelung_(Geometrie)

A’B’C‘. Es gilt ABC ≡ A’B’C‘, sodass die beiden Dreiecke deckungsgleich zueinander sind. Nun ist der Bildpunkt B‘ von B nicht rechts, sondern links von A‘ und C‘ links von B‘.

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¹ Schmid, Weber (2005): Verständnis lehren. Handbuch Mathematik der gymnasialen Oberstufe. 1.Aufl. Stuttgart. S.162

² Franke, Marianne (2007): Didaktik der Geometrie in der Grundschule. 2.Aufl. München: Spektrum. S.223

³ Botsch, Otto (1978): Ebene Geometrie. 1. Aufl. Wiesbaden: Verlag Moritz Diesterweg. S.26 5

⁴ Botsch, Otto (1978): Ebene Geometrie. 1. Aufl. Wiesbaden: Verlag Moritz Diesterweg. S.42

⁵ Scheid, Harald / Schwarz, Wolfgang (2009): Elemente der Geometrie. 4. Aufl. Heidelberg: Spektrum. S. 109