Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabenstellung
2 Einleitung
3 Theoretische Grundlagen
3.1 Theorie des Biegeschwingers
3.1.1 Freie, ungedämpfte Schwingungen
3.1.2 Überschlagsformeln für die Eigenfrequenzen
3.1.3 Erzwungene Schwingungen, modale Superposition
3.1.4 Erzwungene Schwingungen infolge einer bewegten Einzellast
4 Normen und Richtlinien
4.1 DB Rahmenplanung
4.2 Richtlinie 804
4.3 DIN-Fachbericht 101
5 FEM-Simulation der Zugüberfahrt
5.1 Voruntersuchungen und Modellaufbau
5.1.1 Modellbildung
5.1.2 Eigenformen für die modale Superposition
5.1.3 Netzdichte
5.1.4 Zeitliche Diskretisierung
5.1.5 Modellierung der Radlasten des ICE 3
5.1.6 Unstetig veränderlicher Querschnitt
5.1.7 Spannstahl
5.2 Brücken- und Lastvarianten
5.3 Auswertung und Vergleich
5.3.1 Dynamische Untersuchung mit originalgetreuen Radlasten des ICE 3
5.3.2 Dynamische Untersuchung mit gemittelten Radlasten . .
5.3.3 Vergleich der Ergebnisse aus den Untersuchungen mit gemittelten und origi- nalgetreuen ICE-3-Radlasten
6 Zusammenfassung und Ausblick
Anhang
A.1 Brückenquerschnitte
A.2 Radlasten des ICE 3
A.3 Zeitverläufe der maximalen Durchbiegung unter dynamischer Last
A.3.1 42-m-Brücke
A.3.2 35-m-Brücke mit ICE-3-Last (originalgetreue Lastverteilung)
A.3.3 30-m-Brücke mit ICE-3-Last (originalgetreue Lastverteilung)
Literaturverzeichnis
Erklärung gemäß § 31 ( 7 ) RaPO
Kapitel 1 Aufgabenstellung
Aus dem Hochgeschwindigkeitsverkehr (HGV) auf Eisenbahnbrücken ergeben sich bei bestimmten Randbedingungen neben den statischen Einwirkungen auch dynamische Effekte, welche für die Tragfähigkeit, Gebrauchstauglichkeit und Verkehrssicherheit von Bedeutung sind. In der Diplomarbeit sollen aufbauend auf der bisherigen Erkenntnis, daß der mittlere Stützweiten- bereich zwischen ca. 15 und 40 Metern kritisch für Resonanzerscheinungen ist, Einfeldträger mit unterschiedlicher Schlankheit untersucht werden. Die Überbauquerschnitte orientieren sich an der Rahmenplanung der Deutschen Bahn mit der Oberbauform Feste Fahrbahn. Die Aufgabe besteht darin, dynamische Berechnungen, vorrangig für den Betriebszug ICE 3 durch- zuführen, wobei mit Geschwindigkeiten von bis zu 350 km/h auf der Grundlage der Ril 804 (Stand 01.05.2003) und der DIN-Fachberichte gerechnet werden soll.
Die ermittelten dynamischen Verformungen werden mit den statischen Verformungen verglichen und die Ergebnisse im Hinblick auf Resonanzerscheinungen interpretiert.
Auf der Grundlage dieser Berechnungen soll die Diplomarbeit Aussagen über das Resonanzverhalten von HGV-Eisenbahnbrücken im mittleren Stützweitenbereich liefern, welche als Hilfsmittel für den Entwurf dienen.
Kapitel 2 Einleitung
In den vergangenen Jahrzehnten haben sich die maximalen und durchschnittlichen Fahrgeschwin- digkeiten der Eisenbahnzüge, besonders im Personenverkehr, beträchtlich erhöht. Bis September 2000 wurden Eisenbahnbrücken mit statischen Ersatzlasten und einem dynamischen Schwingbei- wert bemessen, welcher 1865 von Heinrich Gerber eingeführt und der später mehrfach angepaßt und verändert wurde 12. Bei der Einführung des TGV in Frankreich stellte sich heraus, daß der dynamische Beiwert nicht mehr in allen Fällen die Breite der Schnittgrößenschwankungen abdeckt, welche bei einer Zugüberfahrt im Hochgeschwindigkeitsverkehr durch Schwingungen entstehen. Am 1. Mai 1988, als der InterCity-Experimental mit 406,9 km/h einen Weltrekord erzielte, wurde in Deutschland die Ära des Hochgeschwindigkeitsverkehrs eingeläutet. Am 2. Juni 1991 nahmen die ersten 23 ICE-1-Züge ihren planmäßigen Dienst in Deutschland zwischen Hamburg und München auf. Die Höchstgeschwindigkeit lag bis zum 3. Mai 1994 bei 250 km/h. Die IC-Express-Züge der Baureihe 401 wurden für eine Höchstgeschwindigkeit von 280 km/h auf Neubaustrecken und 200 km/h auf Ausbaustrecken ausgelegt. Die ICE-Züge der ersten, zweiten und dritten Generation sind allerdings auf speziell ausgebaute Strecken angewiesen und verkehren somit auf den mei- sten deutschen Bahnrouten weit unterhalb ihrer Höchstgeschwindigkeit. Eine Lösung wurde seit Mai 1999 für Strecken, die keine oder nur geringfügige Ausbauten zulassen, mit den ICE-T-Zügen (InterCityExpress-Triebzug) geschaffen. Die Neigetechnik des ”Kurvensprinters“erlaubteinschnel- les Durchfahren von kurvenreichen Strecken bis maximal 230 km/h. Mit der Aufnahme des kommerziellen Betriebs der Neubaustrecke Köln-Rhein/Main ( 221 km lang) im August 2002 wurde erstmals eine Hochgeschwindigkeitsstrecke im Netz der Deutschen Bahn mit einer planmäßigen Geschwindigkeit von 300 km/h befahren [[2]]. Zukünftig soll nicht nur das deutsche Streckennetz für eine Geschwindigkeit von 300 km/h im regulären Betrieb ausgebaut werden, sondern es wird, wie in Spanien heute, die 350 -km/h-Marke angestrebt [[13]]. Heutige brückendynamische Untersuchungen reichen bereits bis zu Geschwindigkeiten von 420 km/h.
Bei Zugüberfahrten mit hoher Geschwindigkeit über Eisenbahnbrücken kann das Tragwerk unter den Radsatzlasten, welche in annähernd gleichen zeitlichen Abständen darauf wirken, zu Resonanz angeregt werden. Dies kann jedoch nur erfolgen, wenn die Erregerfrequenz (oder ein Vielfaches davon) mit einer Eigenfrequenz des Tragwerks übereinstimmt.
Damit eine ausreichende Tragsicherheit, Gebrauchstauglichkeit und Verkehrssicherheit gewährlei- stet ist, müssen die in der Richtlinie 804 der Deutschen Bahn [[5]] aufgeführten Ausnahmebedin- gungen erfüllt werden. Falls das Tragwerk diese Bedingungen nicht erfüllt, muß zusätzlich eine dynamische Untersuchung durchgeführt werden. Eine solche Berechnung ist mit ausreichender Ge- nauigkeit nur durch den Einsatz numerischer Verfahren, wie der Methode der Finiten Elemente (FEM) möglich. Da diese Vorschrift erst seit September 2000 gilt, liegen dazu bisher erst we- nige konkrete Erfahrungen vor. In der vorliegenden Arbeit soll daher für mehrere Bauvarianten untersucht werden, welche Zusammenhänge zwischen der Fahrgeschwindigkeit, den Masse- und Steifigkeitseigenschaften und den dynamischen Verformungen der Brücken bestehen. Zunächst werden im Kapitel 3 die theoretischen Grundlagen für die dynamische Tragwerksbe- rechnung dargestellt. Das Kapitel 4 enthält eine Übersicht über die relevanten Normen für die dynamische Tragwerksberechnung im Eisenbahnbrückenbau. Für 5 Brückenvarianten wurden mit verschiedenen Fahrgeschwindigkeiten und Lastvarianten FEM-Simulationen durchgeführt. Die Er- gebnisse sind im Kapitel 5 dargestellt. Die Arbeit wurde nach den Regeln der klassischen deutschen Rechtschreibung geschrieben.
Kapitel 3 Theoretische Grundlagen
3.1 Theorie des Biegeschwingers
3.1.1 Freie, ungedämpfte Schwingungen
Die meisten Brückenbauwerke können aufgrund ihrer geometrischen Gestalt nach der elementaren Biegetheorie von Balken berechnet werden.
Infolge dieser Annahme hängt die mechanische Antwort der Brücke auf eine vertikale Belastung nur von ihrer Länge, den Randbedingungen an den Auflagern und der Biegesteifigkeit ab. Für die Antwort auf dynamische Belastungen sind außerdem die Massenbelegung und die Dämpfung zu berücksichtigen.
Die Grundgleichung für die Schwingungen eines massebelegten Balkens ergibt sich aus der Differentialgleichung 10 der Biegelinie
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Darin sind E der Elastizitätsmodul, I das Flächenträgheitsmoment, r = r (x, t) die Durchbiegung an der Stelle x zum Zeitpunkt t in radialer Richtung und q die Linienlast durch das Eigengewicht. Nach Ersetzen von q durch die spezifischen Massenkräfte
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die infolge der Schwingungen auftreten, folgt
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Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung dient ein Produktansatz, in dem Orts- und Zeit- funktionen als separate Faktoren auftreten und der deshalb als Separationsansatz bezeichnet wird:
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w (x) beschreibt die Amplituden in Abhängigkeit von der Ortskoordinate, ω ist die Kreisfrequenz der Schwingung und φ der Phasenwinkel. Durch Einsetzen dieses Ansatzes in (3.3) wird die partielle in eine gewöhnliche Differentialgleichung überführt:
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Unter Berücksichtigung der Randbedingungen können aus dieser Differentialgleichung die Eigen- kreisfrequenzen ω i und die Eigenschwingformen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnet werden, wenn die Voraussetzungen der elementaren Balkentheorie gelten. Für die Eigenfrequenzen eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens, für dessen Querschnitt Querkraftschub und Rotationsträgheit vernachlässigt werden können (Bernoulli-Balken), ergibt sich aus (3.5) für die Eigenkreisfrequenzen:
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Die Eigenformen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eines Biegeschwingers auf zwei Stützen lauten
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3.1.2 Überschlagsformeln für die Eigenfrequenzen
Der bedeutendste dynamische Kennwert der zu untersuchenden Brücken ist die erste Eigenfrequenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], sie ist das Maß für die Schwingfähigkeit. Die Eigenfrequenzen einer Brücke sind abhängig von der Masse, der Biegesteifigkeit, den Bedingungen an den Auflagern und der Länge der Brücke (vgl. Abschnitt 3.1.1).
Aus der Literatur sind mehrere Überschlagsformeln zur Ermittlung der ersten Eigenfrequenz bekannt. Fryba 9 gibt eine durch Regressionsanalyse der ersten Eigenfrequenzen von 113 europäischen Eisenbahnbrücken entstandene empirische Formel an:
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Aus dieser Formel ergibt sich mit der multiplikativen oder dividierenden Regressionskonstante [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit einer Zuverlässigkeit von 95 % die erste Eigenfrequenz von Eisenbahnbrücken aller Art. Die Ergebnisse dieser Überschlagsformel stimmen sehr gut mit den analytisch berechneten Werten überein, wenn der Schlankheitsgrad der Brücke den Vorgaben der DB-Rahmenplanung [4, 6, 7] entspricht. Die Abweichungen betragen hier weniger als 1,8 %. Bei der untersuchten 20-m- Brücke mit einem extrem geringen Schlankheitsgrad gibt es größere Abweichungen, die im Bereich der angegebenen Regressionskonstante liegen, vgl. Tabelle 3.1.
Eine weitere Überschlagsformel wird von Braune 3 angegeben: Für einen frei aufliegenden einfeldrigen Balken mit gleichmäßig verteilter Masse kann die erste Biegeeigenfrequenz mit
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abgeschätzt werden, wenn für y die größte statische Durchbiegung eingesetzt wird.
Die mit dieser Formel berechneten Eigenfrequenzen weichen allerdings zum Teil stark von der analytischen Lösung ab, vgl. Tabelle 3.1.
Tabelle 3.1: Vergleich der überschlägig ermittelten ersten Biegeeigenfrequenzen
Brückenlänge analytisch numerisch Fryba Braune
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3.1.3 Erzwungene Schwingungen, modale Superposition
Die Antwort eines Schwingungssystems auf eine äußere Erregung kann immer durch die Überla- gerung der Eigenformen des Systems dargestellt werden. Dazu muß der Beitrag der verschiedenen Eigenformen zur resultierenden erzwungenen Schwingung berechnet werden. Der Berechnungsauf- wand besteht damit in der Bestimmung der relevanten Eigenformen und der Faktoren, die den Beitrag der einzelnen Eigenformen zur erzwungenen Schwingform bestimmen. Diese Berechnungs- methode wird als Eigenformmethode oder modale Superposition bezeichnet. Sie ist von besonderer Bedeutung für die numerische Simulation, weil die Anzahl der Freiheitsgrade und damit die Größe des zu lösenden Gleichungssystems durch die Verallgemeinerung der modalen Superposition stark reduziert werden kann. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Schwingungssystems ist bei der modalen Superposition gleich der Anzahl der zur Lösung überlagerten Eigenformen.
Die Genauigkeit des Ergebnisses wächst mit der Zahl der berücksichtigten Eigenformen. Die zu höheren Frequenzen gehörenden Eigenformen besitzen einen wesentlich geringeren Einfluß auf die Schwingungsamplituden als die Eigenformen im unteren Frequenzbereich, so daß die Analyse meist auf wenige Eigenformen beschränkt werden kann. Die numerischen und analytischen Berechnungen in dieser Arbeit zeigen, daß für die Berechnung von Eisenbahnbrücken mit typischen Abmessungen in der Regel schon eine näherungsweise berechnete Eigenform ausreichend ist. Im folgenden wird die Eigenformmethode kurz dargestellt. Eine detaillierte Darstellung ist z.B. in [1, 10] angegeben. Die Bewegungsgleichung für die erzwungenen Schwingungen eines linearen, ungedämpften Schwingers mit n Freiheitsgraden lautet in Matrizenschreibweise
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Diese Gleichung läßt sich durch die Verallgemeinerung mit der Eigenformmethode auf ein System von n entkoppelten Differentialgleichungen mit je einem Freiheitsgrad überführen, in Matrizen- schreibweise
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Die benötigten verallgemeinerten Größen sind darin durch folgende Gleichungen definiert:
Y ist der Vektor der verallgemeinerten Verschiebungen, der durch Multiplikation mit der Modal- matrix, welche die Eigenschwingformen (Eigenvektoren) Ψk als Spalten enthält, die Gesamtver- schiebung ergibt:
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M ist die Matrix der modalen Massen, welche den Massenbeitrag der einzelnen Eigenformen be- schreiben:
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Da die Eigenformen orthogonal zueinander sind, gilt für das Skalarprodukt unter Berücksichtigung von (3.7)
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worin [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Massenbelegung des Balkens bezeichnet. C ist die Matrix der modalen Steifigkeiten:
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Für den Balken auf zwei Stützen besitzt auch C nur Glieder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf der Hauptdiagonalen. Unter Berücksichtigung von (3.7) ergeben sie sich aus
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Analog kann für den gedämpften Schwinger die modale Dämpfung formuliert werden.
Der Lastterm auf der rechten Seite von (3.10) wird wie folgt verallgemeinert:
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Der Vektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] enthält die verallgemeinerten Lasten, die auch als modale Kräfte bezeichnet werden. Unter Berücksichtigung von (3.7) gilt
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Zur Berechnung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) für eine gegebene Erregung muß zunächst eine ausreichende Anzahl Eigenfrequenzen und Eigenformen ermittelt werden. Aus dem Gleichungssystem 3.11 werden dann die verallgemeinerten Verschiebungen Y berechnet, woraus sich mit 3.12 die erzwungene Schwin- gung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt.
Die Überlagerung der Lösungen Y der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Schwingungsgleichungen nach Gl.(3.12) - die modale Superposition - ergibt schließlich die Gesamtlösung der erzwungenen Tragwerksschwingungen.
3.1.4 Erzwungene Schwingungen infolge einer bewegten Einzellast
Die Grundlage für die Untersuchung der Zugüberfahrt ist die Berechnung der Belastung mit einer Einzellast, welche sich mit der konstanten Geschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bewegt. Der Lasteinleitungspunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ändert sich dabei nach der Gleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Die Lastseite des Differentialgleichungssystems (3.11) lautet für die Belastung mit einer Einzellast [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], die sich mit der Geschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bewegt
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Unter Berücksichtigung der Randbedingungen lautet die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems (3.11) für diese Belastung[11]
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verwendet wurde. Für die untersuchten Eisenbahnbrücken ist die Berücksichtigung einer Eigenform ausreichend, so daß die Summe nur ein Glied, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], enthält.
Mit dieser Formel wurde die dynamische Durchbiegung für eine Einzellast auf der 42-m-Brücke berechnet. Die Lösung stimmt mit dem Ergebnis der entsprechenden FEM-Simulation (Anhang, Bild A.2) überein.
Um diese Lösung für eine Kette von bewegten Einzellasten mit dem Abstand [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu erweitern, wäre zu untersuchen, ob der in 11 verwendete Lastansatz durch eine Summe phasenverschobener Kräfte ersetzt werden kann.
Um die Vorgänge bei der Überfahrt der Kette von Einzellasten zu verstehen, kann aber auch folgende Überlegung angestellt werden: Die Kette bewege sich mit einer Geschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die
Periodendauer [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einer Eigenschwingung der Brücke in der ersten Eigenfrequenz ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. In dieser Zeit durchfährt eine Einzellast die Strecke [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Wenn der Abstand der Einzellasten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist, tritt nach dem Einschwingvorgang Resonanz auf, weil die Einzellasten der Kette die Brücke dann in deren erster Eigenfrequenz anregen. Die Resonanzgeschwindigkeit ist dann [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]L a. Dieser Fall tritt auf, wenn der Abstand der Einzellasten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] größer oder gleich der Brückenlänge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist (Bild 3.1). Für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] l Br befinden sich stets 2 Einzellasten auf der Brücke (außer zu den Zeitpunkten, wenn eine Last gerade ein Auflager passiert). Wird der Abstand der Einzellasten noch kleiner, dann sind stets mehr als 2 Einzellasten an der Erregung beteiligt. Beim Grenzübergang für einen gegen Null gehenden Abstand der Einzellasten ergibt sich für die Amplituden schließlich die statische Lösung.
Der erste Fall, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], führt bei Überfahrtmit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]L a auf die größten Amplituden, weil sich die erste Eigenform, die einen Schwingungsbauch besitzt, am besten anregen läßt, wenn nur eine Einzellast die Erregung hervorruft.
Wird L a kleiner als die Brückenlänge, dann erfolgt die Erregung zum Zeitpunkt des Maximalausschlags der ersten Eigenform nicht mehr nur am Schwingungsbauch der ersten Eigenform, sondern auch an anderen Orten (Bild 3.2). Daher werden die Schwingungsamplituden bei Resonanzgeschwindigkeit bei[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Br mit kleiner werdendem L a sinken.
Werden Lastabstände betrachtet, die größer sind als die Brückenlänge oder Geschwindigkeiten, die kleiner sind als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so ergeben sich weitere Resonanzstellen, weil unter der Voraussetzung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Br auch bei
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periodische Belastungen der Brücke auftreten, welche die erste Eigenform anregen. Das heißt, daß bei Geschwindigkeiten unterhalb der Resonanzgeschwindigkeit und Radabständen, die größer als die Brückenlänge sind, ebenfalls Resonanzstellen existieren. Die Geschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] res nach (3.21) wird für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im weiteren als Resonanzgeschwindigkeit, die anderen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] res für j > 1 werden als kritische Geschwindigkeiten bezeichnet.
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