Das Hindernisproblem ist ein typisches und anschauliches Minimierungsproblem, bei dem versucht wird, die Energie des Dirichletfunktionals zu minimieren.
Lösungsfunktionen werden dabei als schwache Lösungen aus einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum interpretiert, was vor allem Beweistechniken aus der linearen sowie der nichtlinearen Funktionalanalysis erfordert. Die Existenz eines Minimierers haben wir mit Hilfe der Direkten Methode der Variationsrechnung bewiesen. Aufgrund der zusätzlichen Voraussetzung der strikten Konvexität des Energiefunktionals konnten wir die Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen.
Eine notwendige und hinreichende Bedingung an den eindeutig bestimmten Minimierer des Funktionals lieferte die Variationsungleichung, welche im weiteren Verlauf der Arbeit immer wieder Anwendung fand. Tiefer gehende Resultate über Differentiation in Banachräumen, der Betrachtung des Subdifferentials sowie der äußerst nützlichen Definition einer Indikatorfunktion erlaubte, ein unrestringiertes Funktional zu betrachten und dadurch eine Formulierung mit einem Lagrange-Multiplikator herzuleiten. Besonders die Definition und Unterscheidung des Gebietes in Kontaktzone und deren Komplement brachten uns grundlegende Resultate bezüglich des Lagrange-Multiplikators.
Anschließend haben wir die Regularität der schwachen Lösung thematisiert. Dabei konnten wir feststellen, dass Lösungsfunktionen im Eindimensionalen höheren Regularitsanforderungen genügen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an das zugrunde liegende Gebiet gilt dieses Ergebnis auch in höherdimensionalen Situationen. Beachtenswert war ein einfaches Beispiel, welches verdeutlichte, dass die Forderung u ∈ H3(Ω) im Allgemeinen nicht gültig ist.
Etwas abstrakter wurde die duale Formulierung des Hindernisproblems diskutiert. Eine große Rolle wurde hier den Fenchel-konjugierten Funktionalen zugewiesen. Deren Definition erlaubte, das anfängliche Minimierungsproblem als formales, duales Maximierungsproblem zu betrachten und schlussendlich die starke Dualität herzuleiten.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Mathematische Modellierung
- Analytische Eigenschaften
- Schwache Formulierung und Energiefunktional
- Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung
- Äquivalente Formulierungen
- Variationsungleichung
- Lagrange-Multiplikator
- Regularität der schwachen Lösung
- Penalty-Methode
- Problemformulierung
- Nichtkonforme Bestrafung
- Konforme Bestrafung
- Duale Formulierung
- Herleitung
- Starke Dualität
- A Notationen
- B Hilfsaussagen
- Differentiation in Banachräumen
- Die Direkte Methode der Variationsrechnung
- Funktionalanalytische Grundlagen
- Fréchet-Differenzierbarkeit des Funktionals I
- Majorisierte Konvergenz
- Rechnungen zu Satz 3.2.1
- Rechnungen zu Satz 3.3.1
- Duale Formulierung: Maximierung
- Literaturverzeichnis
- Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, das sogenannte Hindernisproblem in seiner mathematischen Modellierung und seinen analytischen Eigenschaften zu untersuchen. Dabei steht die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung im Vordergrund, wobei die Variationsungleichung als zentrales Werkzeug eingesetzt wird. Die Arbeit beleuchtet auch die Beziehung zwischen der Minimierungsproblem- und der Variationsungleichungsformulierung sowie die Regularität der schwachen Lösung.
- Mathematische Modellierung des Hindernisproblems
- Analytische Eigenschaften der Lösung
- Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung
- Variationsungleichung und ihre Anwendung
- Regularität der schwachen Lösung
Zusammenfassung der Kapitel
Im ersten Kapitel wird das Hindernisproblem anhand einer elastischen Membran, die an einem Teil des Randes fixiert ist und einem Hindernis unterliegt, physikalisch motiviert. Es wird eine mathematische Modellierung des Problems als Minimierungsproblem im eindimensionalen Fall vorgenommen. In Kapitel 2 werden die analytischen Eigenschaften des Problems betrachtet, wobei der Fokus auf dem Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung liegt. Es werden verschiedene Formulierungen des Problems, darunter die Variationsungleichung, hergeleitet. Das Kapitel behandelt auch die Regularität der schwachen Lösung. Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Penalty-Methode, einem approximativen Verfahren zur Bestimmung der schwachen Lösung. Es werden zwei Arten der Penalty-Methode, die nichtkonforme und die konforme Bestrafung, vorgestellt und Fehlerabschätzungen für die Differenz der schwachen Lösung und der approximativen Lösung diskutiert. Das letzte Kapitel behandelt die duale Formulierung des Problems. Es erfolgt eine Herleitung der dualen Formulierung und ein Beweis der starken Dualität unter bestimmten Bedingungen.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter dieser Arbeit sind Hindernisproblem, Variationsungleichung, schwache Lösung, Existenz und Eindeutigkeit, Regularität, Penalty-Methode, duale Formulierung, freie Randwertprobleme.
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- Julia Flach (Autor), 2014, Analytische Eigenschaften des Hindernisproblems. Die Penalty-Methode und die duale Formulierung, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/335131
