Dass Mathematik in ihrer Bedeutung mehr als reine Zahlen ist, erkannte bereits der Philosoph und Mathematiker Galilei. Die technischen Entwicklungen der heutigen Zeit stecken voller naturwissenschaftlicher Entdeckungen, Herausforderungen und Problemen. Eines dieser Probleme ist das Eigenwertproblem. So ist die Google Suche abstrahiert eine periodische gigantische Eigenwertaufgabe (PBMW09).
Es wird also eine lineare Abbildung gesucht, die sich bei ihrer Transformation nicht verändert oder auf ein Skalar selbst abgebildet wird. Der Skalar wird dann als Eigenwert, der Vektor x als Eigenvektor der Matrix A bezeichnet. Bei diesen Eigenwerten und Vektoren handelt es sich um reelle Eigenwerte von A bzw. reelle Eigenvektoren, weil wir uns im reellen Zahlenbereich bewegen. Es gilt, dass ein Eigenvektor ungleich dem Nullvektor ist, da ansonsten alle λ ∈ R die Gleichung A0 = λ0 erfüllen und damit alle lineare Abbildungen immer in sich selbst überführt würden.
Bei Betrachtung im komplexen Zahlenbereich werden die Eigenwerte/-vektoren als komplexe Eigenwerte/-vektoren bezeichnet. Im Folgenden wollen wir uns aber auf die reellen Eigenvektoren beschränken.
Als Schlussfolgerung bedeutet dies, dass es keine re-ellen Eigenwerte gibt, außer α ist ein Vielfaches von φ. In diesem Fall entspricht die Rotation einer halben Drehung oder der Identität (ganze Drehung um 360◦).
Inhaltsverzeichnis
- Eigenwerte im reellen Raum
- Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
- Satz vom Fußball
- Rotationsmatrizen
- Drehmatrizen in R²
- Drehmatrizen in R³
- Drehung um die z-Achse
- Drehung um die x-Achse
- Drehung um die y-Achse
- Eigenwerte und Eigenvektoren .
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text befasst sich mit dem Eigenwertproblem in der linearen Algebra, einem wichtigen Konzept in der Mathematik mit Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik. Der Schwerpunkt liegt auf der Analyse von Rotationsmatrizen, deren Eigenwerte und Eigenvektoren für die Beschreibung von Drehungen im Raum relevant sind.
- Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
- Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
- Rotationsmatrizen in verschiedenen Dimensionen
- Eigenwerte und Eigenvektoren von Rotationsmatrizen
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel behandelt die grundlegenden Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren im reellen Raum. Es werden Definitionen und wichtige Eigenschaften erläutert, sowie die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren anhand von Beispielen dargestellt. Das zweite Kapitel konzentriert sich auf Rotationsmatrizen. Es werden verschiedene Arten von Drehmatrizen in R² und R³ vorgestellt, sowie die Berechnung ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren.
Schlüsselwörter
Eigenwerte, Eigenvektoren, lineare Algebra, Rotationsmatrizen, Drehungen, reeller Raum, charakteristische Gleichung, Determinante, symmetrische Matrizen, homogene lineare Gleichungssysteme.
- Quote paper
- Arne Breitsprecher (Author), 2016, Eigenwerte von Rotationsmatrizen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/336196
