Periodische Vorgänge spielten in der Natur und Technik schon immer eine zentrale Rolle. Dies zeigt sich im Puls von Lebewesen bis hin zu Taktfrequenzen und hat somit ein breites Vorkommen. Es stellt sich als Ausgangspunkt der Ruhezustand dar und verändert sich durch äußere periodische Einwirkung zu einer Schwingung. Insofern es sich in einer harmonischen Schwingung darstellt, kann eine Berechnung mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion erfolgen. Jedoch lassen sich nicht alle Schwingungen, zum Beispiel in der Elektrotechnik, mit diesen Methoden berechnen.
Hier kommt die Fourierzerlegung / Fouriertransformation zum Einsatz. Es besagt, dass jede periodische Schwingung die Summe harmonischer Schwingungen aus unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen darstellen lässt. Somit lässt sich jede periodische Funktion durch Überlagerung unendlich genau darstellen, lösen und wieder auf das Ursprungsproblem zurücktransformieren.
Die Berechnungsmethode wurde nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, nach dessen Veröffentlichung seiner Theorie im Jahr 1822, benannt. Jedoch reicht der Ursprung dieser mathematischen Methode bereits in das 18. Jahrhundert zurück.
Das Ziel dieser Arbeit ist es, zum einen die Grundlagen der mathematischen Berechnungsverfahren der Fourierzerlegung zu erarbeiten. Zum anderen soll anhand unterschiedlicher Rechenbeispiele der Nutzen und die Vorgehensweise der Fourierzerlegung aufgezeigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1 Begründung der Themenstellung
1.2 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit
2. Grundlagen und Begriffsabgrenzung
2.1 Die Fourier-Entwicklung
2.2 Die Approximationseigenschaften
3. Berechnung der Aufgabenstellung
3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
3.3 Berechnungen der Spektrallinien
4. Fazit und kritische Reflektion
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, die mathematischen Grundlagen der Fourierzerlegung zu erarbeiten und deren praktischen Nutzen sowie die Vorgehensweise anhand konkreter Rechenbeispiele unter Einsatz der Software MATLAB zu veranschaulichen.
- Mathematische Grundlagen der Fourier-Entwicklung und Fourier-Reihen
- Approximationseigenschaften periodischer Funktionen
- Fourierzerlegung eines Rechtecksignals mittels MATLAB
- Berechnung von Dreieckfunktionen aus Fourierkoeffizienten
- Analyse und Berechnung von Spektrallinien mittels Fast Fourier Transformation (FFT)
Auszug aus dem Buch
2.1 Die Fourier-Entwicklung
Die Fourier-Entwicklung begann wie bereits einleitend erläuterst im 18 Jahrhundert. Mit Herrn Joseph Fourier nach dem es benannt wurde, bekam dieses eine Verbreitung und zudem war er der Namensgeber. Maßgeblich war seine Theorie zur Wärmeausbreitung in Festkörpern, für welche er den Lösungsansatz mittels der Fourierreihen einsetzte. Heute ist diese Methode in der Mathematik und Physik von großer Bedeutung. Es beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu Entwickeln. Ziel der Fourier-Entwicklung ist eine Funktion mittels trigonometrischer Funktionen darzustellen. 4
Die Fourier-Entwicklung besteht aus der nachfolgend Funktion der Fourier-Reihe, wie folgt dargestellt:
Formel 1: Fourier-Reihe5
f(x) = a0 / 2 + Summe von n=1 bis unendlich (an cos(nx) + bn sin(nx))
Die Fourier-Reihe verwendet zur Berechnung keine Potenzfunktionen, sondern bildet eine unendliche Reihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen. Die Fourier-Koeffizienten stellen die Zerlegung der Funktion in Frequenzteile dar. Zur Bestimmung der Koeffizienten a0, an und bn, erfolgt eine Betrachtung einer Periode von 2π mit dem Bereich von –π bis π, mittels der umgestellten Formeln:6
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Dieses Kapitel begründet die Relevanz periodischer Vorgänge in Natur und Technik und definiert die Zielsetzung sowie den Aufbau der Arbeit.
2. Grundlagen und Begriffsabgrenzung: Hier werden die mathematischen Grundlagen der Fourier-Entwicklung, die Fourier-Reihe und die zugehörigen Approximationseigenschaften erläutert.
3. Berechnung der Aufgabenstellung: Dieser Hauptteil beschreibt die praktische Fourierzerlegung von Rechteck- und Dreiecksignalen sowie die Berechnung von Spektrallinien mittels MATLAB.
4. Fazit und kritische Reflektion: Das Kapitel fasst die Bedeutung der Fourier-Analyse zusammen und reflektiert die erzielten Ergebnisse sowie auftretende Fehlerpotentiale wie das Gibbs-Phänomen und den Leck-Effekt.
Schlüsselwörter
Fourierzerlegung, Fouriertransformation, Fourier-Reihe, MATLAB, Rechtecksignal, Dreieckfunktion, Spektrallinien, FFT, Fast Fourier Transformation, Gibbs-Phänomen, Leck-Effekt, Approximation, Schwingung, Sinusfunktion, Frequenz
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der theoretischen Herleitung und der praktischen Implementierung der Fourierzerlegung zur Analyse periodischer Signale.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Fourier-Entwicklung, der Signalanalyse durch Approximation sowie der computergestützten Berechnung mittels MATLAB.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, die mathematischen Verfahren der Fourierzerlegung zu erarbeiten und den praktischen Nutzen anhand von Beispielen wie Rechteck- und Dreiecksignalen aufzuzeigen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Neben der theoretischen mathematischen Herleitung wird die numerische Simulationsmethode mittels MATLAB und die Fast Fourier Transformation (FFT) angewandt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden die Fourierzerlegung von Rechtecksignalen, die Bestimmung von Dreieckfunktionen über Fourierkoeffizienten und die Berechnung von Spektrallinien detailliert beschrieben.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören Fourierzerlegung, Fourier-Reihe, MATLAB, FFT, Spektrallinien, Approximation, Gibbs-Phänomen und Leck-Effekt.
Was beschreibt das Gibbs-Phänomen im Kontext der Arbeit?
Das Gibbs-Phänomen beschreibt ein spezifisches Verhalten bei Fourier-Reihen, bei dem es in der Nähe von Sprungstellen einer Funktion zu einem charakteristischen Überschwingen von ca. 9 % kommt.
Warum wird für die Berechnung der Spektrallinien die FFT genutzt?
Die Fast Fourier Transformation (FFT) ist eine effizientere Implementierung der diskreten Fouriertransformation und eignet sich besonders gut für die computergestützte Signalverarbeitung.
Welchen Einfluss hat der Leck-Effekt?
Der Leck-Effekt (Leakage-Effekt) tritt bei der zeitlichen Begrenzung von Signalen auf und kann zu Fehlern bzw. Ungenauigkeiten in den Ergebnissen der FFT führen.
- Arbeit zitieren
- Stefan Landfried (Autor:in), 2016, Die Fourierzerlegung. Grundlagen und Rechenbeispiele, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/338523
