Physik der Katapulte

Ein Beispiel für kontextorientierten und mediengestützten Physikunterricht


Masterarbeit, 2015

72 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhalt

1. Einleitung
1.1. Vorbemerkungen

2. Theorie der Katapulte
2.1. Aufbau eines Katapults und Ablauf der Bewegung
2.2. Hebel, Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit
2.3. Energien im System des Katapults
2.4. Die Wurfbewegung des Geschosses

3. Katapulte in der Praxis
3.1. Das selbstgebaute Gegengewichtskatapult
3.1.1. Bau des Katapults
3.1.2. Berechnung der theoretischen Reichweite
3.1.3. Messreihen
3.1.4. Bild- und Videoanalysen
3.2. Das Gegengewichtskatapult mit variablem Drehmoment
3.2.1. Messreihen
3.2.2. Bild- und Videoanalysen
3.3. Das Federkatapult
3.3.1. Bild- und Videoanalysen
3.4. Zusammenfassung Katapulte in der Praxis

4. Filmszenenanalysen
4.1. Der Herr der Ringe – Die Rückkehr des Königs
4.1.1. Abschätzungen, Messungen und Festlegungen zur Überprüfung
4.1.2. Überprüfung der Reichweite
4.1.3. Überprüfung der Katapultkonstruktion
4.1.4. Impuls des Geschosses
4.1.5. Objektspurverfolgung
4.2. Wickie und die starken Männer
4.2.1. Abschätzungen, Messungen und Festlegungen zur Überprüfung
4.2.2. Wurfweite des Federkatapults
4.2.3. Überprüfung der Katapultkonstruktion
4.3. Merida
4.3.1. Abschätzungen, Messungen und Festlegungen zur Überprüfung
4.3.2. Überprüfung der Flugparabel über den Scheitelpunkt
4.4. Zusammenfassung Filmanalysen

5. Umsetzung im Unterricht
5.1. Vermittlung physikalischer Aspekte
5.2. Behebung gängiger Präkonzepte
5.3. Methodenvorschläge
5.3.1. Medieneinsatz – Videoanalyse
5.3.2. Medieneinsatz - „Fake Check“
5.3.3. EggRace zur Förderung kooperativen Lernens

6. Fazit

7. Literatur
7.1. Texte
7.2. Filme
7.3. Internetquellen und Bildnachweise
7.4. Erworbene Bausätze

Anhang
A 1: Benutzeroberfläche EVA Schritt 1 „Vorbereiten“
A 2: Benutzeroberfläche EVA – Schritt 2 „Messen“
A 3: Benutzeroberfläche EVA – Schritt 3 „Auswerten“
B: Konstruktionszeichnung des selbstgebauten Katapults
C: Wertetabellen der theoretischen Berechnung
D: Messwerte
E: Tabellarische Zusammenfassungen aller notwendigen Werte mit Abweichungen der analysierten Filmszenen
F: Arbeitsblattentwurf
G: Danksagungen

1. Einleitung

Kaum ein Gerät ist so antiquiert und gleichzeitig so aktuell wie das Katapult. Im Mittelalter und in großen Fantasy-Blockbustern als Kriegsmaschine zur Belagerung der Festungen des Feindes eingesetzt, findet das Prinzip der Schleuder heutzutage großen Anklang in der Umsetzung von Apps für Tablets wie beispielsweise in „Angry Birds“. Aus gut verfügbaren Materialien wie Holz bestehend kann es leicht nachgebaut werden: Eine Astgabel, ein Gummiband und fertig ist die Steinschleuder, mit der man Dosentürme einstürzen lassen kann. Es wirkt zunächst als einfaches Prinzip: schnell hergestellt und dennoch große Effekte erreichend.

Zugleich ist das Katapult eine Apparatur, bei der mehrere physikalische Sachverhalte und Abläufe ineinandergreifen. Von Rotation über Drehmoment und Federkraft bis zum schiefen Wurf sind Aspekte im Ablauf zu finden, die dann schließlich zum Aufschlag des Geschosses führen. Über diesen Teil machen sich die Wenigsten Gedanken. Sie genießen die bildgewaltigen Kämpfe im Fantasy-Epos, ohne auf die Wurfparabel der Geschosse zu achten. Sicherlich, der CGI-animierte Einschlag ist ja auch imposanter.

In dieser Arbeit soll aber gerade deswegen ein Augenmerk auf die versteckten, nicht unbedingt kleinen Zusammenhänge gelegt werden. Dafür wird das Katapult von seiner theoretischen Seite her betrachtet und die relevanten physikalischen Aspekte werden erläutert. Im Anschluss daran werden experimentelle Untersuchungen und Videoanalysen verschiedener Katapultarten genutzt, um die theoretischen Erkenntnisse zu konkretisieren, bevor analysiert wird, wie die Filmstudios in Spielfilmen das Katapult und seine Wirkungen darstellen. Den Abschluss bildet eine Ausführung, wie diese Erkenntnisse im Physikunterricht genutzt werden können, um kontextorientiert und mediengestützt die verschiedenen Aspekte des Katapults zu vermitteln.

1.1. Vorbemerkungen

Für die Analysen und Auswertungen dieser Arbeit sowie deren Darstellung wurden folgende Programme verwendet:

- AutoCAD 2015 in der kostenfreien Studenten-Version [ URL Aut]
- EinfacheVideoAnalyse, kurz EVA [ Sul 2010]
- Photoscape [ URL Sof]

Bei AutoCAD 2015 der Firma Autodesk handelt es sich um ein Zeichnungs- und Konstruktionsprogramm. Es lassen sich sowohl an selbsterstellten Konstruktionen Messungen durchführen, als auch an unterlegten pdf- oder Bilddateien. Neben der Erstellung der Konstruktionszeichnung des selbst gebauten Katapults (siehe Anhang B) und einiger schematischer Darstellungen zur Verdeutlichung der Theorie (siehe bspw. Kapitel 2.1, 2.3 oder 4.2.3) wurde das Programm zur Bestimmung der Abwurfwinkel durch unterlegte Bilddateien genutzt.

Die verwendete Videoanalysesoftware EVA ist Teil der Veröffentlichung von Michael Suleder: „Videoanalyse und Physikunterricht“ aus dem Aulis Verlag. Das einfach zu bedienende Programm erfordert wenige Einstellungen und bietet sehr gute Analysemöglichkeiten, wie z.B. die für diese Arbeit genutzte gleichzeitige Objektspurverfolgung von bis zu drei Objekten. Die Analyse erfolgt in drei Schritten: Vorbereiten, Messen, Auswerten (Darstellung siehe Anhang A1 bis A3).

Zur Vorbereitung wird eine avi- oder mpeg-Datei geöffnet, Start- und Endbild werden festgelegt sowie ein Längenmaßstab per drag&drop und Eingabe durch die Tastatur in die entsprechenden Felder bestimmt. Für einige Messungen kann es hilfreich sein, ein Koordinatensystem zu wählen und den Ursprung auf eine bestimmte Position des Videobildes zu legen. Zusätzlich kann die Schrittweite der Bilder variiert werden, wenn dies für den gewünschten Messvorgang hilfreich ist. Wird diese nicht verändert, führt die Software die Messung, den folgenden Schritt, für jedes Einzelbild des verwendeten Films durch.

Im zweiten Schritt können verschiedene Messungen durchgeführt werden. Es sind Längenmessungen per drag&drop von Objekten in den einzelnen Bildern des Videos möglich durch die hinterlegte Referenzgröße. Hauptbestandteil der Videoanalyse sind aber Verlaufsmessungen, also Objektverfolgungen. Die Bewegung eines oder mehrerer Objekte wird durch Auswahl per Mausklick auf das entsprechende Objekt in jedem Frame des Videos markiert und die entsprechenden Koordinaten in einer der drei wählbaren Tabellen protokolliert. Das Programm errechnet daraus die Bewegung in x- und y-Richtung ebenso wie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung im dritten Schritt „Auswerten“.

Die angelegten Tabellen können im Tabellenkalkulationsprogramm-Format abgespeichert und weiter verwendet werden. Leider bietet das Programm nicht die Möglichkeit, die erstellten grafischen Auswertungen oder die erzeugten Objektspuren, die man sich anzeigen lassen kann, abzuspeichern. Diese Funktion übernahm das Freeware-Programm Photoscape, indem die Bildschirmfoto-Funktion genutzt wurde. Durch Nachbearbeitung der so erstellten Screenshots wurden die Längenmessungen verdeutlicht, denn auch hier bietet EVA leider keine Speichermöglichkeit.

Neben den analysierten Filmen wurden auch Videos der eingesetzten Modelle erstellt. Gefilmt wurde mit der digitalen Spiegelreflexkamera Nikon D3200, wobei darauf geachtet wurde, die höchst mögliche Bildrate für die Videos zu wählen, was sich insbesondere bei der Analyse des Federkatapultmodells als sehr vorteilhaft erwies. Die Kamera wurde für die Aufnahmen im rechten Winkel und auf Höhe des Abwurfpunktes des Katapults auf einem Stativ positioniert, um möglichst weder Verzerrungen noch Schwenks in den Aufnahmen zu erzeugen. Da das Analyseprogramm EVA eine Referenzgröße zur Messung benötigt, wurden die Aufnahmen vor einem präparierten Hintergrund erstellt. Auf einer Pappleinwand wurden dazu mehrere parallele Markierungen im Abstand von 0,1 m angebracht.

2. Theorie der Katapulte

“Catapult physics is basically the use of stored energy to hurl a projectile (the payload), without the use of an explosive. The three primary energy storage mechanisms are tension, torsion, and gravity. (Die Physik der Katapulte besteht hauptsächlich in der Verwendung gespeicherter Energie, um ein Geschoss (die Beladung) zu schleudern, ohne eine Sprengladung zu benutzen. Die drei wichtigsten Energiespeichermechanismen sind Spannung, Verdrehung und Schwerkraft.)” [URL Nor]. Es gibt daher verschiedene Arten von Katapulten. Die häufigste und noch heutige Anwendung des Federkatapults ist das nicht ganz ungefährliche Kinderspielzeug Steinschleuder.

In diesem theoretischen Teil beziehen sich die Ausführungen vorerst ausschließlich auf Gegengewichtskatapulte, deren Funktionsprinzip auf der Schwerkraft beruht. In den Ausführungen zur praktischen Anwendung wird später auf die unterschiedlichen Katapultarten verwiesen werden. Für die Ausführung der Wurfbewegung und damit z.B. die Berechnungen der Wurfweiten (siehe Kapitel 2.4) ist die Katapultart jedoch irrelevant. Anwendungsbereiche und Zielsetzungen sind ebenfalls bei beiden Katapultarten identisch: es gilt, ein Geschoss entweder über eine bestimmte Strecke zu befördern oder mit ihm einen Impuls zu übertragen, um im Anschluss einen Stoß auszuüben.

2.1. Aufbau eines Katapults und Ablauf der Bewegung

Das Gegengewichtskatapult besteht aus einem Ständerwerk mit Welle, auf der der Wurfarm drehbar gelagert ist. Am Wurfarm sind auf der einen Seite die Auflagefläche für das Geschoss und gegenüberliegend der beladbare Gegengewichtskorb angebracht. Zur Klärung der Ausdrü

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Abbildung 1: Vereinfachte Darstellung eines Gegengewichtskatapults in seitlicher Ansicht und in Waage zur Begriffsklärung.

Üblicherweise wird der Gegengewichtskorb beladen, wodurch sich der Wurfarm auf diese Seite in Richtung Boden senkt. Um das Geschoss auflegen zu können, wird der Wurfarm mit der Auflagefläche zu Boden gezogen und durch verschiedene Mechanismen, auf die hier nicht näher eingegangen wird, da sie für die physikalische Betrachtung irrelevant sind, fixiert. Nach Auflegen des Geschosses wird die Fixierung gelöst. Die Erdbeschleunigung g wirkt auf den Gegengewichtskorb und beschleunigt diesen Richtung Erdmittelpunkt. Der Wurfarm gerät in Rotation um die Drehachse Der Bewegungsablauf kann wie folgt dargestellt werden:

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Die Drehbewegung des Arms wird abrupt durch Aufschlagen auf einen Querbalken im Ständerwerk gestoppt. Hier setzt die Wurfbewegung des Geschosses ein (siehe Kapitel 2.4).

2.2. Hebel, Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit

Unter einem Hebel versteht man „de[n] senkrechte[n] Abstand zwischen der Wirkungslinie einer Kraft und der Drehachse“ [Tip 2000, S. 229]. Er wird als „einfache Maschine“ eingesetzt, um „Kräfte zu verstärken“ [Mes 2004, S. 82] denn es gilt

Kraft ∙ Kraftarm = Last ∙ Lastarm [vgl. Mes 2004, S.81].

Die funktionelle Komponente des Katapults ist ein zweiseitiger Hebel: Der Geschossarm mit Auflagefläche oder Wurflöffel erstreckt sich bis zur Drehachse des Katapults und entspricht dem Lastarm. Die Last ist demnach die Gewichtskraft des Geschosses. Der Kraftarm erstreckt sich entgegengesetzt zum Geschossarm von der Drehachse bis zum Aufhängungspunkt des Gegengewichtskorbes. Die Gewichtskraft des Gegengewichtskorbes ist demnach die Kraft, die eingesetzt wird, um die gewünschte Drehbewegung zu erzeugen.

Beim Katapult liegt eine Sonderform der Hebelnutzung vor. Zur Verstärkung von Kräften ist es notwendig, dass der Kraftarm länger ist als der Lastarm, um die eingesetzte Kraft so gering wie möglich zu halten. Beim Katapult ist allerdings der Geschossarm und damit der Lastarm länger als der Kraftarm (sprich der Arm des Gegengewichts). Der Grund dafür ist, dass das Ziel des Katapulteinsatzes nicht die Kraftverstärkung ist, sondern das Erreichen hoher Geschwindigkeiten, um hohe Reichweiten oder hohe Impulse zu erreichen (siehe Kapitel 2.4).

Damit das Katapult seine Zwecke erfüllt, wird das Drehmoment benutzt, welches einen Ausdruck zur Beschreibung von Kräften bei Drehbewegungen darstellt. Das Drehmoment ist „das Produkt aus Kraft und Hebelarm“ [Tip 2000, S. 229]. Drehmomente treten im System des Katapults an zwei Orten gleichzeitig auf. Die nach unten gerichtete Gewichtskraft des Geschosses erzeugt am Geschossarm ein Drehmoment, welches eine Drehbewegung des Wurfarms um die Drehachse Richtung Boden bewirkt, während die ebenfalls nach unten gerichtete Gewichtskraft des Gegengewichtskorbes zusammen mit dem Gegengewichtsarm eine entgegengerichtete Drehbewegung um die gleiche Achse bewirkt. Da der Gegengewichtskorb mehr Masse aufweist als das Geschoss, dominiert dieses Drehmoment und bewirkt die Drehbewegung des Katapultarmes.

Das Drehmoment wirkt für eine gewisse Zeit auf den Katapultarm und ruft eine Drehbewegung hervor, wodurch sich der Winkel zwischen Katapultarm und Lot ändert. „Die Geschwindigkeit, mit der sich der Winkel ändert, ist […] die Winkelgeschwindigkeit ω“ [Tip 2000, S. 227]. Aus der Winkelgeschwindigkeit und dem Abstand des Geschosses zur Drehachse lässt sich die Bahngeschwindigkeit berechnen gemäß

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[vgl. Dem 2008, S. 42].

Diese wird zur Berechnung der Abwurfgeschwindigkeit benötigt [siehe Kapitel 2.4].

2.3. Energien im System des Katapults

Die Energien im Gesamtsystem des Katapults werden bestimmt durch die Gleichsetzung von potentieller Energie und Rotationsenergie:

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mit

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[Tip 2000, S. 152 und S. 235]. Durch die Positionierung des Wurfarms wird Lageenergie (Epot) in das System eingebracht, welche nach der Auslösung des Katapults in Rotationsenergie (Erot) umgewandelt wird. Es müssen die Höhenunterschiede ermittelt werden, die Geschoss und Gegengewichtskorb überwinden (ΔhGeschoss und ΔhKorb). Dies kann wie folgt dargestellt werden:

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Abbildung 3: Schematische Darstellung der Energien im Gesamtsystem des Katapults.

Bei der Umwandlung von potentieller Energie in Rotationsenergie ist aber zu beachten, dass ein Teil der umgewandelten Energie der Absenkung des Korbes aufgewendet wird, um das Geschoss und den Schwerpunkt des Wurfarms anzuheben und nur die übrige Lageenergie des Gegengewichtskorbs in Rotationsenergie umgewandelt wird. Es ergibt sich damit für die potentielle Energie des Gesamtsystems Katapult

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wobei mKorb, mArm und mGeschoss die Massen von Gegengewichtskorb, Wurfarm und Geschoss bedeuten sowie ΔhKorb, ΔhArm und ΔhGeschoss die Höhenänderungen von Gegengewichtskorb, Wurfarmschwerpunkt und Geschoss darstellen. Die Masse des Geschosses sowie die Masse des Korbes werden als Punktmassen betrachtet, denn das Geschoss ist kugelförmig und wesentlich kleiner als das Katapult. Der Gegengewichtskorb hängt an einem Punkt des Wurfarms, sodass seine Gewichtskraft an diesem Punkt wirkt. Weiterhin werden folgend die Masse des Arms und die Anhebung des Schwerpunktes nicht weiter betrachtet, denn das Katapult wurde so konzipiert, dass der Gegengewichtskorb die Masse des Arms ausgleicht (siehe Kapitel 3.1.1).

Betrachtet man die Rotationsenergie, so ist festzuhalten, dass sich unabhängig von der Bewegungsrichtung die Trägheitsmomente J aller Komponenten addieren, da sie Energie aufnehmen müssen, um in Bewegung zu geraten. Weiterhin ist zu beachten, dass die Drehachse des Katapults nicht durch den Schwerpunkt des Wurfarms verläuft, sodass der Steinersche Satz anzuwenden ist:

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[vgl. Dem 2008, S. 146]. Es ergibt sich für die Rotationsenergie des Gesamtsystems Katapult mit (7) in (5):

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Als Gesamtenergiebilanz ergibt sich daher aus (6) modifiziert und (8)

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2.4. Die Wurfbewegung des Geschosses

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Nach abruptem Aussetzen der Drehbewegung des Wurfarms setzt das Geschoss aufgrund der Trägheit seine Bewegung fort. Die Bewegung des Geschosses erfolgt auf einer Wurfparabel:

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Abbildung 4: Schematische Darstellung der Bewegung des Geschosses mit Kenngrößen.

Die Bewegung des Geschosses wird in einem zweidimensionalen Koordinatensystem beschrieben und kann so als Bewegung in x- und y-Richtung dargestellt werden. „Unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes wird die Bewegung in x-Richtung als konstante Bewegung betrachtet, während die Bewegung in y-Richtung als freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit beschrieben wird“ [URL Don, Kle]. Das Geschoss bewegt sich auf einer nach unten geöffneten Parabel.

Zu beachten ist, dass der Auftreffpunkt und der Abwurfpunkt des Geschosses nicht auf gleicher Höhe liegen, da durch die Konstruktion des Katapults bereits eine Abwurfhöhe h vorgegeben ist. Der ideale Abwurfwinkel α für die maximale Reichweite bei identischer Abwurf- und Auftreffhöhe beträgt 45° [Tip 2000, S. 59], „liegt der Auftreffpunkt eines Projektils niedriger als der Abwurfpunkt, so wird die Reichweite bei einem Winkel maximal, der kleiner als 45° ist“ [ebd.].

Unter Berücksichtigung der Abwurfhöhe h berechnet sich die maximale Wurfweite w mit

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und unter der Voraussetzung, dass der Winkel α optimal für diese Wurfweite ist, mit

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[vgl. URL Don, Kle]. Bei gegebener Reichweite wird die dafür benötigte Anfangsgeschwindigkeit v0 berechnet durch

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Voraussetzung ist auch hier, dass der Abwurfwinkel optimal ist [vgl. ebd.].

3. Katapulte in der Praxis

Wie bereits erwähnt, sind Katapulte noch vielfach als Spielzeug zu finden, z.B. als Lego-Modell passend zur Ritterburg oder als Gadget im Winter zur Vergrößerung der Reichweite bei einer Schneeballschlacht. Als Kriegsmaschinen finden die Katapulte heute keine Anwendung mehr, diesen Zweck erfüllen heute leider andere Geräte. Das Prinzip des Impulsübertrages findet noch auf Flugzeugträgern Anwendung: aufgrund der kurzen Startbahn können die Flugzeuge nicht aus eigenem Antrieb die notwendige Startgeschwindigkeit erreichen, sodass moderne Katapulte dazu verhelfen [vgl. URL Spi]. Aufgrund ihrer historischen Relevanz werden Katapulte in Spielfilmen verwendet, die den Zeitraum des Mittelalters oder Gesellschaften ohne Technisierung (wie z.B. im Genre Fantasy) darstellen.

3.1. Das selbstgebaute Gegengewichtskatapult

Um Messwerte ermitteln zu können, wurde ein Gegengewichtskatapultmodell gebaut. Die Funktion dieser Katapultart wurde in Kapitel 2.1 erläutert. Der Selbstbau orientierte sich am Funktionsprinzip des Triboks (englisch: Trebuchet), jedoch ohne Wurfschleuder. Im Anhang B befindet sich eine Konstruktionszeichnung mit Bemaßung.

3.1.1. Bau des Katapults

Beim Bau des Modells wurden einige Aspekte besonders beachtet. Der Wurfarm ist nicht willkürlich eingeteilt, sondern die Drehachse wurde so positioniert, dass der Geschossarm die dreifache Länge des Gegengewichtsarms besitzt. Das Modell wurde vorwiegend aus Holz hergestellt, die Welle jedoch zusätzlich mit einem PVC-Rohr überzogen, sodass Reibung minimiert wird und bei der notwendigen und wichtigen Drehbewegung nicht Holz auf Holz trifft. Der Gegengewichtskorb an sich bringt bereits eine gewisse Masse mit. Diese wurde aber so gewählt, dass der Wurfarm in Waage ist, wenn der Korb unbeladen bleibt. Dazu wurden zu Beginn Messungen mit dem Federkraftmesser an der Spitze des Geschossarms durchgeführt, einmal mit und einmal ohne montierte Auflagefläche. Es ergab sich für die aufzuwendende Kraft, die den Wurfarm in Waage hält ohne Auflagefläche (1,64±0,07) N und mit montierter Auflagefläche (1,77±0,05) N (Wertetabelle im Anhang D1). Der Gegengewichtskorb wurde daher mit einer Masse von 0,19 kg konzipiert und erwies sich in der Praxis als fähig, den Wurfarm in Waage zu halten. Im Gestell wurde ein Querbalken montiert, auf welchen der Wurfarm kurz über der Aufhängung des Gegengewichtskorbs aufschlägt. Die Rotation des Arms wird demnach von unten und nicht wie bei vielen anderen Katapulten von oben gestoppt. Die Überprüfung des Winkels, unter welchem das Geschoss abgeworfen wird, findet sich in Kapitel 0.

3.1.2. Berechnung der theoretischen Reichweite

Bevor Wurfversuche mit dem Katapult durchgeführt wurden, interessierte die Reichweite, die dieses Katapult unter idealisierten Bedingungen in Abhängigkeit von Geschossmasse und Gegengewichtsbeladung erreichen könnte. Reibungsverluste wurden bei den folgenden Berechnungen vernachlässigt.

Aus der Energiebilanz (9) kann die Winkelgeschwindigkeit ω ermittelt werden mit

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Folgend kann über die Winkelgeschwindigkeit und den Zusammenhang der Bahngeschwindigkeit mit dieser die Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses berechnet werden durch (1). Abschließend kann (10) für die Wurfweite der Wurfbewegung mit gegebener Abwurfhöhe und nicht idealem Winkel , da der Abwurfwinkel bei Abwurfhöhe kleiner als 45° sein sollte, angewandt werden, um die Wurfweite zu berechnen. Als Geschossmassen wurden 0,005 kg, 0,01 kg und 0,02 kg verwendet, die Beladung des Gegengewichtskorbes erfolgte in den Schritten 0,2 kg, 0,5 kg, 0,8 kg, 1 kg, 1,5 kg und 2 kg. Darüber hinaus war noch das Trägheitsmoment des Wurfarms zu ermitteln. Da es sich dabei um einen Quader handelt, wurde die Formel

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verwendet [Dem 2008, S. 149]. Die Abmessungen des Arms betragen a=0,8 m und b=0,03 m (siehe Modellzeichnung im Anhang B), die Masse beträgt 0,182 kg. Es ergibt sich für J=9,7∙10-[3]kg∙m². Trägt man nun die Wurfweite gegen die Masse des Gegengewichtskorbs ab, ergibt sich das in Abbildung 5 gezeigte Diagramm. Die Wertetabellen befinden sich im Anhang C1 bis C3.

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Abbildung 5: Theoretische Wurfweite gegen die Beladung des Gegengewichtskorbes abgetragen.

Es wird deutlich, dass sich die Kurven der unterschiedlichen Geschossmassen mit steigender Gegengewichtsmasse annähern. Bei großen Massen, mit denen das Katapult beladen wird, spielt die Differenz der vergleichsweise geringen Geschossmasse keine relevante Rolle mehr und nimmt damit keinen signifikanten Einfluss mehr auf die Energiebilanz des Systems.

Auffällig am Kurvenverlauf ist zudem, dass offensichtlich ein oberer Grenzwert für die maximale Reichweite existiert, weil die Gegengewichtsmasse, und sei sie auch noch so groß, maximal die Erdbeschleunigung g erfährt. Hierüber gibt eine Grenzwertbetrachtung der Winkelgeschwindigkeit für den Fall mKorb→∞ Aufschluss. Um die Berechnung des Grenzwertes zu vereinfachen, wird zunächst ω² betrachtet.

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Diese Gleichung lässt sich vereinfachen, indem einzelne Ausdrücke wie folgt durch Hilfsvariablen ersetzt werden:

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mit

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Nach der Regel von de l’Hospital

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[Are 2012, S.325] ergibt sich für (16) unter Berücksichtigung von (17)-(20)

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Für ω erhält man demnach

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Setzt man die vorhandenen Werte in (23) ein, so ergibt sich ein theoretischer Grenzwert von ω mit 11,48 . Unter Verwendung von (1) und (10) ergibt sich eine theoretische Wurfweite von 5,42 m.

3.1.3. Messreihen

Experimentell wurden ebenfalls verschiedene Reichweiten ermittelt. Die Versuche fanden in einer Halle statt, um eine Verfälschung der Werte durch Wind auszuschließen. Die unterschiedlichen Geschosse wurden mit farbiger, gemahlener Kreide präpariert, damit ihr Auftreffpunkt gut sichtbar war und der Abstand zwischen Abwurfpunkt und Auftreffpunkt exakt ermittelt werden konnte. Für die gleichen Geschossmassen (0,005 kg, 0,01 kg und 0,02 kg) und Beladungen des Gegengewichtskorbes, die auch bei der theoretischen Reichweite betrachtet wurden, wurden je zehn Messwerte pro Kombination für die Reichweite aufgenommen, der Mittelwert gebildet und die Standardabweichung erstellt (siehe Messwerttabellen D2 bis D4 im Anhang). Die grafische Darstellung ergibt sich wie in Abbildung 6 gezeigt:

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Abbildung 6: Darstellung der erhobenen Messwerte mit Fehlerbalken.

Der Verlauf der theoretischen Kurven stimmt mit denen der ermittelten Werte weitestgehend überein. Auch hier wird die Annäherung der Auftreffpunkte der unterschiedlichen Geschossmassen bei hohen Gegengewichtsmassen ebenso deutlich wie die Annäherung der Kurven an einen oberen Grenzwert.

Weitere Messwerte konnten aus technischen Gründen nicht aufgenommen werden. Bei Beladungen über 1,5 kg rissen Halterungen des Gegengewichtskorbes unterschiedlicher Art. Weder Kabelbinder noch mehrfache Knoten in verschiedenen Seilen und Bändern konnten Abhilfe schaffen.

Die ermittelten Werte liegen teilweise über denen der theoretischen Betrachtung, obwohl Luftreibung oder Reibung an der Drehachse bei dieser vernachlässigt wurden. In dem System ist also mehr Energie vorhanden, als diese Arbeit bisher betrachtet. Eine mögliche Ursache ist die Aufhängung des Gegengewichtskorbes. Zu betrachten wäre, ob z.B. Eigenrotation oder zusätzliche Schwingungen die Energie im System erhöhen oder vermindern. Ein anderer Aspekt wäre die Betrachtung von Stößen im System. Es ist eine Analogie erkennbar zum „Newtonschen Pendel“. Es liegt die Vermutung nahe, dass durch den in Katapulten unüblichen Stoß der Stoppvorrichtung von unten der so entstandene Impuls des Gegengewichtskorbes über den Wurfarm auf das Geschoss übertragen wird, wodurch das Geschoss eine höhere Abwurfgeschwindigkeit erhält als anhand der betrachteten Energiebilanz ermittelt. Vergleichbar ist dies mit dem Kugelstoßpendel: Mehrere gleichgroße Kugeln hängen nebeneinander. Eine Kugel außen wird ausgelenkt und losgelassen. Sie stößt die ruhenden Kugeln an, welche den Impuls übertragen, bis die letzte außen hängende Kugel die Bewegung fortführt. Die Beantwortung dieser Fragestellung bietet sich als Gegenstand für weitere Forschungen an.

Eine denkbare Fehlerquelle für die Berechnung sind zusätzlich die Abmessungen des Katapults, insbesondere der Hebellängen und Höhenänderungen, die ggf. nicht ganz exakt sind.

3.1.4. Bild- und Videoanalysen

Mittels unterlegtem Foto wurde im Zeichenprogramm AutoCAD der Abwurfwinkel des Geschosses bestimmt. Er beträgt annähernd 45°:

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Abbildung 7: Abwurfwinkelbestimmung am funktionstüchtigen Eigenbaumodell mit AutoCAD. Durch die Drehachse wurde eine orthogonale Hilfslinie gezogen, der Wurfarm mit einer weiteren Hilfslinie markiert und der Winkel zwischen diesen beiden Linien gemessen.

Der Abwurfwinkel des Eigenbaus ist damit nicht ideal für die Reichweite, jedoch ist dieser konstruktionsbedingt der am einfachsten zu erzielende Winkel, da die Stoppvorrichtung der Drehbewegung materialeffizient in das Ständerwerk eingebaut werden konnte.

Nach dem gleichen Verfahren wurde der Startwinkel ermittelt, welcher für die Berechnung der Winkelgeschwindigkeit benötigt wurde. Er beträgt 40° oder vom Lot aus 130°.

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Abbildung 8: Startwinkelbestimmung am Eigenbaumodell mit AutoCAD. Durch die Drehachse wurde eine orthogonale Hilfslinie gezogen, der Wurfarm mit einer weiteren Hilfslinie markiert und der Winkel zwischen diesen beiden Linien gemessen.

3.2. Das Gegengewichtskatapult mit variablem Drehmoment

Bei dem für diese Versuchsreihe verwendeten Katapult handelt es sich um ein Spielzeug aus Holz für Kinder [vgl. Win]. Der Wurfarm besitzt mehrere Bohrlöcher, sodass die Drehachse variabel ist und somit die Geschossarmlänge und entsprechend das Drehmoment variiert werden können. Ausgelöst wird das Katapult durch Druck mit dem Finger, der Hand oder der Faust.

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Abbildung 9: Konstruktionszeichnung des Katapults mit variablem Drehmoment zur Verdeutlichung des Aufbaus [vgl. Win].

3.2.1. Messreihen

In den Versuchsreihen wurde Druck mit dem Finger ausgeübt, möglichst in unveränderlichem Maß. Es wurde für die Geschossmasse von 0,005 kg Werte erhoben und jeweils die Geschossarmlängen verändert. Wie in der Versuchsreihe zuvor wurden die Geschosse mit farbiger Kreide präpariert, damit die Auftreffpunkte der Geschosse gut sichtbar wurden und die Wurfweiten entsprechend gut messbar waren. Weiterhin wurde auch hier Windbewegung ausgeschlossen. Die Messwerttabelle befindet sich im Anhang D5 .

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Abbildung 10: Darstellung der Ergebnisse des Versuchs mit variabler Hebellänge.

Es ist erkennbar, dass mit steigender Geschossarmlänge auch größere Reichweiten erreicht werden. Beträgt die Geschossarmlänge 0,12 m oder mehr, dann steigt die Wurfweite nicht mehr so stark mit der Armlänge an wie bei Armlängen unterhalb 0,12 m. Der Grund dafür findet sich im folgenden Kapitel.

3.2.2. Bild- und Videoanalysen

Während der Versuchsdurchführung zeigte sich, dass sich nicht nur die Geschossarmlänge veränderte, sondern auch der Abwurfwinkel. Um dies zu überprüfen, wurden Fotos von den verschiedenen Abwurfpositionen gemacht und die Winkel mit AutoCAD bestimmt. Es ergab sich Folgendes:

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Abbildung 11: Winkelanalyse des Modells der einfachen Wurfschleuder mit AutoCAD an vier Hebellängeneinstellungen.

Es zeigt sich, dass mit lediglich einer Einstellung der ideale Winkel von knapp unter 45° erreicht wird. Die Einstellung des Geschossarms mit einer Länge von 0,09 m (in Abbildung 11 oben rechts) liegt annähernd in diesem Bereich, die anderen liegen über dem idealen Abwurfwinkel oder weit darunter. Da mit den unterschiedlichen Einstellungen des Drehmoments nicht nur diese Variable verändert wird, sondern auch der Abwurfwinkel, wird auf weitere Betrachtungen bezüglich der Wurfweite verzichtet.

Die Kompaktheit des Modells und die vergleichsweise große Auflagefläche boten sich an für eine Videoanalyse des Impulses mit EVA. Es wurden drei Geschosse der gleichen Masse auf die Auflagefläche gelegt, das Katapult ausgelöst und mit dem Programm wurden die Objektspuren verfolgt sowie die Geschwindigkeit beim Auftreffen ermittelt (Wertetabelle siehe Anhang D6 bis D8).

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Abbildung 12: Screenshot der Objektspurverfolgung mittels EVA an einem Wurf mit drei Geschossen gleichzeitig.

Aus der Geschwindigkeit kurz vorm Einschlag auf dem Boden lässt sich der Impuls des Geschosses berechnen gemäß

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Tip 2000, S. 185]. Dadurch ergibt sich für das rote Geschoss prot=0,005 kg ∙ 2,92 = 0,015 , für das blaue Geschoss pblau=0,005 kg ∙1,97 = 0,0099 und für das gelbe Geschoss (grüne Objektkurve) pgelb=0,005 kg ∙ 1,8 = 0,009 . Beim direkten Vergleich wird demnach deutlich, dass die Geschosse mit einer Wurfbewegung mit hohem Scheitelpunkt einen höheren Impuls übertragen als solche gleicher Masse, aber mit niedriger gelegenen Scheitelpunkt in der Bahnkurve. Dies lässt sich mit dem Gesetzt des freien Falls erklären: aufgrund der größeren Scheitelhöhe ist die Fallstrecke länger, woraus eine größere Fallzeit resultiert. Dadurch wird die Geschwindigkeit größer, denn es gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Mes 2004, S. 15]. Somit wirkt die Gravitation länger auf das Geschoss.

3.3. Das Federkatapult

Federkatapulte beziehen ihre Energie aus der Spannung von Federn. Dies können Blattfedern, aber auch verdrillte Seile sein, die bei der Mangonel das Federsystem bilden [vgl. URL Nor].

Bei dem hier verwendeten Federkatapult handelt es sich um ein funktionstüchtiges Holzmodell, welches nach den Zeichnungen Leonardo Da Vincis konstruiert wurde [vgl. Thu]. Es besteht aus einem Ständerwerk, in welchem seitlich zwei Blattfedern senkrecht eingespannt sind. Mittig ist drehbar eine Achse mit Zahnrad befestigt, an welchem sich auch der Wurfarm mit Auflagelöffel befindet. Der Wurfarm besteht ausschließlich aus dem Geschossarm, denn ein Gegengewicht ist hier nicht notwendig. Die Blattfedern sind durch Zugseile mit der Achse verbunden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 13: Konstruktionszeichnung des Federkatapultmodells zur Verdeutlichung des Aufbaus des Katapults [vgl. Thu].

Wird nun der Wurfarm zur Beladung mit dem Geschoss ausgerichtet, sprich inklusive Achse in Rotation versetzt, werden die Seile um die Achse gewickelt und die Blattfedern gespannt. Auf diesem Wege wird Spannenergie in das System gebracht. Am Gestell ist ein kurzer Holzstab beweglich angebracht. Dieser ermöglicht es, das Zahnrad zu arretieren, so dass die Spannung aufrechterhalten wird. Ausgelöst wird das Katapult, indem der bewegliche Stab zurückgezogen wird und so das Zahnrad freigibt. Die Achse ist in der Lage, sich frei zu drehen, sodass die Blattfedern sich wieder zurückstellen können. Durch diesen Vorgang, sprich die Drehung der Achse, wird der Geschossarm in eine beschleunigte Drehbewegung versetzt. Auf das im Auflagelöffel liegende Geschoss wirkt die Schubkraft des Löffels und eine aus der Drehbewegung resultierende Zentrifugalkraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[vgl. Dem 2008, S. 91], die vom Zentrum der Drehbewegung weg gerichtet ist. Die Winkelgeschwindigkeit ω des Wurfarms nimmt zu, bis die Blattfedern ihre Gleichgewichtslage erreicht haben. Zu diesem Zeitpunkt hat der Wurfarm seine höchste Winkelgeschwindigkeit. Ab einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit ist die Zentrifugalkraft groß genug, um das Geschoss aus dem Löffel zu befördern. Nachdem das Geschoss den Löffel verlassen hat, setzt es seine Bewegung auf einer Wurfparabel fort (siehe Kapitel 2.4).

[...]

Ende der Leseprobe aus 72 Seiten

Details

Titel
Physik der Katapulte
Untertitel
Ein Beispiel für kontextorientierten und mediengestützten Physikunterricht
Hochschule
Technische Universität Dortmund  (Physik Didaktik)
Note
1,3
Autor
Jahr
2015
Seiten
72
Katalognummer
V338826
ISBN (eBook)
9783668336049
ISBN (Buch)
9783668336056
Dateigröße
4644 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Medien im Physikunterricht, Mechanik, Wurfparabel, Katapulte, Herr der Ringe, Merida, Wickie und die starken Männer, Physikunterricht, kontextorientiert, kooperatives Lernen, Fake-Check, Drehmoment, Trägheit, Videoanalyse, schiefer Wurf, Rotation, Eggrace, Katapult, Trebuchet, Hebelgesetz, Hebel, Winkelgeschwindigkeit, Energie, Energiebilanz, kinetische Energie, potentielle Energie, Rotationsenergie, Schwerpunkt, Feder, Gegengewichtskatapult, Federkatapult, Leonardo Da Vinci Katapult, Reichweite, Blattfeder, Impuls, Arbeit, mechanische Gesetze, freier Fall, Bewegungen und ihre Ursachen, Kräfte und Maschinen, Parabel, Winkel, Tabellenkalkulation, Deutung filmischer Mittel, Medieneinsatz, Medienkompetenz
Arbeit zitieren
Stefanie Rahder (Autor), 2015, Physik der Katapulte, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/338826

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