In der vorliegenden Arbeit setzen wir uns mit numerischen und damit approximativ bestimmten Lösungen eines AWP auseinander.
Bei Verfahren zur Bestimmung dieser Näherungen unterscheidet man zwischen Ein- und Mehrschrittverfahren. Wir wollen uns nun auf eine spezielle Klasse von Einschrittverfahren, auf die sogenannten Runge-Kutta-Verfahren beschränken.
Um das approximative Verhalten einer numerischen Lösung gegenüber einer genauen Lösung des AWP zu untersuchen, sind die Konsistenzordnung, die Konvergenzordnung, sowie die Stabilität von einschneidender Bedeutung. Weiterhin werden Stabilität, Steifheit, stationäre Punkte und Langzeitverhalten für unsere Modellgleichung untersucht.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Konsistenzordnung
- Stabilität
- Konvergenzordnung
- Implementierung
- Das Package RK
- Das Programm DGLTool
- Die Modellgleichung
- Analytische Betrachtungen
- Stabilität und Steifheit
- Lösung des AWP
- stationäre Punkte und Langzeitverhalten
- Konvergenzordnung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (AWP) der Form y' = f(t,y) mit y(t) = ŷ. Dabei werden insbesondere Runge-Kutta-Verfahren betrachtet, die eine spezielle Klasse von Einschrittverfahren darstellen. Die Arbeit untersucht die Konsistenzordnung, die Stabilität und die Konvergenzordnung dieser Verfahren.
- Numerische Lösung von Anfangswertproblemen
- Runge-Kutta-Verfahren
- Konsistenzordnung
- Stabilität
- Konvergenzordnung
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Dieses Kapitel führt in die Thematik der numerischen Lösung von Anfangswertproblemen ein und stellt die Grundbegriffe und Definitionen vor. Es werden die verschiedenen Arten von Verfahren zur Lösung von AWP erläutert, wobei der Fokus auf Einschrittverfahren und insbesondere auf Runge-Kutta-Verfahren liegt. Außerdem werden die wichtigsten Eigenschaften von numerischen Lösungen wie Konsistenzordnung, Stabilität und Konvergenzordnung definiert.
- Implementierung: In diesem Kapitel werden die Implementierungen des Runge-Kutta-Pakets RK und des Programms DGLTool vorgestellt. Diese dienen als Werkzeuge zur Simulation und Analyse von numerischen Lösungen von AWP.
- Die Modellgleichung: Dieses Kapitel behandelt die Modellgleichung y' = f(t,y) mit y(t) = ŷ. Es werden analytische Betrachtungen der Gleichung durchgeführt, die Stabilität und Steifheit des Problems untersucht und die Lösung des AWP mithilfe von Runge-Kutta-Verfahren berechnet. Außerdem werden die stationären Punkte und das Langzeitverhalten der Lösung analysiert.
- Konvergenzordnung: Dieses Kapitel befasst sich mit der Konvergenzordnung von Runge-Kutta-Verfahren. Es werden Bedingungen für die Konvergenzordnung hergeleitet und die Auswirkungen der Schrittweite auf die Genauigkeit der numerischen Lösung untersucht.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Themenbereiche numerische Mathematik, Anfangswertprobleme, Runge-Kutta-Verfahren, Konsistenzordnung, Stabilität, Konvergenzordnung, Implementierung, Modellgleichung, analytische Betrachtungen, Steifheit, stationäre Punkte, Langzeitverhalten.
- Arbeit zitieren
- Martin Büttner (Autor:in), Alexander Fromm (Autor:in), 2007, Numerische Lösung von Anfangswertproblemen. Anwendung des Runge-Kutta-Verfahrens, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/340331
