Ein wichtiger Faktor in der Zeitreihenanalyse ist die Prognose von zukünftigen Daten. Zukünftige Entwicklungen spielen in der heutigen globalisierten, internationalisierten und stark vom Wettbewerb geprägten Welt eine große Rolle, weil sie Wettbewerbsvorteile verschaffen. In der Ökonometrie gibt es viele verschiedene Verfahren, um zukünftige Beobachtungen von Zeitreihen zu prognostizieren. Ein Bereich ist die nichtparametrische Regressionsschätzung, welche in dieser Arbeit vorgestellt wird.
Sehr interessant ist außerdem der generelle Zusammenhang bzw. die Beziehung zwischen zwei Variablen (Härdle, 1990). Das klassische lineare Regressionsmodell wird gerne angewandt, weil es Zusammenhänge zwischen den verschiedensten Begebenheiten erklären kann. Um dieses Modell anwenden zu können, werden einige Annahmen getroffen. Ein Beispiel und gleichzeitig ein Problem sind die Fehlerterme εi, welche als normalverteilt angenommen werden (Greene, 1993). Stimmen alle Annahmen mit der Realität überein, sind die Ergebnisse dieses Modells sehr gut. Werden allerdings Annahmen verletzt, entsteht eine Verzerrung (ein sogenannter Bias), was zu falschen Ergebnissen führt. Besonders in der Vorhersage von zukünftigen Daten ist das ein großes Problem! Die Nichtparametrik möchte diesen Bias so klein wie möglich halten und trifft deshalb keine strukturellen Formannahmen. Nichtparametrische Modelle lassen sich daher gut für eine Prognose nutzen und außerdem für die Beziehung zwischen Variablen.
Der wichtigste Parameter ist dabei die Bandweite h, von ihr hängt das Schätzergebnis enorm ab. Die Wahl dieses Parameters nimmt also einen wichtigen Part ein, welcher nicht vernachlässigt werden darf. Leider hat die Nichtparametrik auch Grenzen, da aufgrund der Stichprobengröße nur wenige Regressoren in das Modell aufgenommen werden. Hinzu kommt, dass sich ein lineares Modell recht leicht und schnell berechnen lässt, während ein nichtparametrisches Modell numerische Methoden braucht, um berechnet werden zu können. Bei exponentiell wachsenden Zeitreihen können außerdem Probleme bei der Vorhersage auftreten. Die nichtparametrischen Verfahren betreiben das sogenannte Smoothing (Glätten) durch lokale Fits. Dies ist eine bereits alte Idee und hat Wurzeln in der Zeitreihenanalyse . Dabei wird die Dichte in einzelne Kästchen, welche die Größe der Bandweite h haben, aufgeteilt. In diesen Kästen wird dann einzeln eine lokale Berechnung durchgeführt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Kerndichteschätzung
2.1 Warum Nichtparametrik?
2.2 Der univariate Kerndichteschätzer
2.2.1 Konsistenz
2.2.2 Kerne höherer Ordnung
2.2.3 Verfahren zur Bestimmung des Parameters h
2.3 Der multivariate Kerndichteschätzer
3 Kern-Regression
3.1 Der Nadaraya-Watson-Schätzer
3.2 Lokal polynomiale Regression
4 Empirische Untersuchung
4.1 Vorgehen
4.2 Ergebnisse
5 Fazit
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit widmet sich der nichtparametrischen Regressionsschätzung als Alternative zu klassischen parametrischen Modellen, um Prognosen in Zeitreihen zu verbessern, ohne restriktive strukturelle Formannahmen treffen zu müssen.
- Grundlagen und Vorteile der nichtparametrischen Schätzung
- Mathematische Herleitung von Kerndichteschätzern
- Vergleich von Regressionsverfahren (Nadaraya-Watson vs. lokal polynomiale Regression)
- Empirische Anwendung an DAX-Zeitreihen
- Analyse des Varianz-Bias-Tradeoffs und des Einflusses der Bandweite
Auszug aus dem Buch
2.2 Der univariate Kerndichteschätzer
Der Übersicht halber wird erst der univariate Fall erläutert und danach kurz erklärt, welche Veränderungen im multivariaten Fall vorliegen. Parzen (1962) und Rosenblatt (1956) haben zum Smoothing durch lokale Regression die Kerndichteschätzung eingeführt. Die Idee hinter der Kerndichteschätzung ist, die Beobachtungen in einem Histogramm zu organisieren. Die einzelnen Kästchen des Histogramms lassen die Verteilung erahnen. Histogramme unterstellen allerdings keine Dichte, weil die Kästchen verschieden hoch sind und deshalb Sprünge existieren. Um eine Dichte zu erhalten, muss abgeleitet werden, was bis jetzt noch nicht möglich ist. Um nun also f aus den Beobachtungen zu schätzen, wird als Ausgangspunkt die empirische Verteilungsfunktion F^(x) benötigt:
Voraussetzung ist, dass die Beobachtungspunkte unabhängig identisch verteilt (iid) sind. Durch das Gesetz der großen Zahlen ist F^(x) ein konsistenter Schätzer für die Verteilungsfunktion F(X). Auch die Fehlerterme sind durch den Zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Um eine stetige Dichte erzeugen zu können, muss die Funktion ableitbar sein. Dafür wird für die Kästchenbreite ein kleines fixes h (> 0) festgelegt, was als Bandweite bezeichnet wird. Wenn die Kernfunktion nun über den Support von [-1, 1] läuft, nutzt sie nur Beobachtungen im Intervall von (x-h/2, x+h/2).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die Bedeutung der Zeitreihenanalyse sowie die Abgrenzung der nichtparametrischen Regressionsschätzung gegenüber klassischen linearen Modellen.
2 Kerndichteschätzung: Detaillierte mathematische Erläuterung der univariaten und multivariaten Kerndichteschätzung sowie Diskussion der Konsistenz und Bandweitenwahl.
3 Kern-Regression: Vorstellung von Schätzverfahren für die bedingte Erwartung, insbesondere des Nadaraya-Watson-Schätzers und der lokal polynomialen Regression.
4 Empirische Untersuchung: Praktische Anwendung der untersuchten Verfahren zur Prognose von DAX-Aktienkursen unter Verwendung des Statistik-Programms R.
5 Fazit: Zusammenfassende Bewertung der Stärken und Schwächen der Nichtparametrik unter Berücksichtigung des Bias-Varianz-Tradeoffs und der Dimensionalitätsproblematik.
Schlüsselwörter
Nichtparametrik, Kerndichteschätzung, Regression, Bandweite, Smoothing, Zeitreihenanalyse, Nadaraya-Watson, Bias-Varianz-Tradeoff, Kreuzvalidierung, Prognose, Glättung, Schätzer, Lokale Regression, DAX, Kernfunktionen
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht nichtparametrische statistische Verfahren zur Schätzung von Regressionskurven und Dichten, um eine flexiblere Datenanalyse ohne starre Modellannahmen zu ermöglichen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind Kerndichteschätzung, die Glättung von Daten mittels unterschiedlicher Kernfunktionen sowie verschiedene Regressionsschätzer.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, die Eignung nichtparametrischer Methoden für die Prognose von Zeitreihendaten aufzuzeigen und dabei insbesondere den Einfluss des Glättungsparameters h zu analysieren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Ableitungen zur Schätztheorie genutzt und diese durch eine empirische Untersuchung anhand von Finanzmarktdaten (DAX und Commerzbank-Aktien) in der Statistik-Software R validiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung der Kerndichteschätzung, die Darstellung der Kern-Regression und eine empirische Fallstudie zur Vorhersagekraft der Schätzer.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Nichtparametrik, Bandweite, Kern-Regression, Smoothing und der Bias-Varianz-Tradeoff.
Warum spielt die Wahl der Bandweite h eine so große Rolle?
Die Bandweite steuert den Glättungsgrad. Ein zu großes h führt zu Oversmoothing (Informationsverlust), ein zu kleines h zu Undersmoothing (hohe Varianz bzw. Rauschen).
Was besagt der "Fluch der Dimensionalität" im Kontext dieser Arbeit?
Der Fluch beschreibt das Problem, dass die benötigte Stichprobengröße bei nichtparametrischen Modellen exponentiell mit der Anzahl der Regressoren wächst, was bei begrenzten Daten die Anwendung erschwert.
Wie unterscheidet sich der lokal lineare Schätzer vom Nadaraya-Watson-Schätzer?
Der Nadaraya-Watson-Schätzer bildet lediglich ein lokal gewichtetes Mittel, während der lokal lineare Schätzer zusätzlich die Steigung (Auf- oder Abwärtsbewegungen) der Daten in die Schätzung einbezieht.
- Quote paper
- Laura Haake (Author), 2014, Nichtparametrische Regressionsmodelle und deren Schätzung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/340399
