"Wir schmücken den Weihnachtsbaum". Kombinatorische Aufgaben zur Weihnachtszeit (Mathematik 3. Klasse Grundschule)

Inhalt

1. Einbettung der Einheit in die Unterrichtsreihe

2. Zentrale Absicht der Einheit und Lernchancen

3. Sachinformationen zur Einheit

4. Fachdidaktische Analyse

5. Analyse der Lernaufgabe

6. Lernvoraussetzungen der Kinder bezogen auf die Lernaufgabe der Einheit

7. Darstellung des Unterrichtsverlaufs

8. Lernkomponenten

9. Literaturverzeichnis

10. Anhang

1. Einbettung der Einheit in die Unterrichtsreihe

Die zentrale Absicht der Unterrichtsreihe:

Erarbeitung von Darstellungsformen anhand kombinatorischer Aufgaben in der Weihnachtszeit. - Die SuS haben die Möglichkeit kombinatorische Aufgaben mithilfe verschiedener Darstellungsformen (Liste, Tabelle, Baumdiagramm) zu lösen, indem sie die Vor- und Nachteile der verschiedenen Formen aufgabenbezogen kennen lernen.

Darstellung der einzelnen Themen der Unterrichtseinheiten und deren zentrale Absicht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Zentrale Absicht der Einheit und Lernchancen

Die SuS haben die Möglichkeit selbstständig eine kombinatorische Aufgabe mit Hilfe einer der drei Darstellungsformen (Liste, Tabelle, Baumdiagramm) zu lösen. Anschließend können sie die Vor- und Nachteile der Formen herausarbeiten, indem sie die Wahl ihrer Darstellungsform präsentieren und im Austausch miteinander reflektieren.

Im Sinne meiner formulierten Absicht eröffne ich folgende Lernchancen:

Auf derEbene der Sacherfahrungenhaben die SuS die Möglichkeit,

- durch den handelnden Umgang mit der Aufgabe Kombinationsmöglichkeiten zu finden.
- durch die Anwendung einer strukturierten und systematischen Darstellungsform die Aufgabe zu lösen.
- ihre visuelle Wahrnehmungs- und Denkfähigkeit durch vorausschauendes Durchdenken zu verbessern.
- die Wahl ihrer Darstellung zu präsentieren und zu begründen.
- die Vor- und Nachteile der drei Darstellungsformen herauszuarbeiten und zu reflektieren.
- mathematische Probleme zu verbalisieren.

Auf derEbene der Sozialerfahrungenhaben die SuS die Möglichkeit,

- ihre Lösung untereinander zu vergleichen.
- ihre Wahl der Darstellungsform zu präsentieren und zu begründen.
- sich mit anderen kooperativ auszutauschen, zu einigen und zu helfen.
- ihre Lösungswege gemeinsam zu reflektieren.
- die Vor- und Nachteile der Formen gemeinsam zu erarbeiten.

Auf derEbene der Individualerfahrungenhaben die SuS die Möglichkeit,

- sich selbst einzuschätzen und eigenständig zu arbeiten.
- durch das Arbeiten mit Hilfe einer strukturierten und systematischen Darstellungsform die Aufgabe zu lösen.
- Sicherheit für das eigene Handeln, Denken, Arbeiten und Lösen zu gewinnen.
- mathematische Probleme zu verbalisieren.
- Arbeitsprozesse und -ergebnisse darzustellen, zu präsentieren und zu reflektieren.
- den Umgang mit strukturierten und systematischen Darstellungsformen zu festigen.

3. Sachinformationen zur Einheit

Die Einheit „Wir schmücken den Weihnachtsbaum“ zielt auf die Verwendung verschiedener Darstellungen in der Mathematik ab, mit deren Hilfe man Sachprobleme veranschaulichen und strukturiert sowie systematisch zur Problemlösung gelangen kann. Nach Dedekind (2012, S. 3 ff.) unterscheidet man 4 verschiedene Bereiche, die in der Grundschule Anwendung finden. Dabei handelt es sich um Sprache, Material, Graphen und Symbole. In dieser Unterrichtseinheit werden vorwiegend nur die ersten 3 Bereiche berücksichtigt und im Folgenden beschrieben.

Die Mathematik kommt ohne Sprache, ob gesprochen oder geschrieben, nicht aus und verwendet zudem eine eigene Fachsprache, die es sich anzueignen gilt. Sie ist die Grundlage zur Beschreibung und Reflexion von Vorgehensweisen, wenn man sich über Mathematik austauscht. Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass Sprache nicht nur ein Mittel zur Bildung ist, sondern auch der Darstellung eigener Vorstellungen dient.^[1]

Konkrete Materialien können für mathematische Darstellungen eine große Hilfe sein, denn mit ihnen lassen sich z.B. innermathematische Zusammenhänge darstellen. Desweiteren können dabei Teilschritte gedanklich vorweggenommen, bereits getätigte Handlungen reflektiert und verbalisiert werden.^[2]

Graphische Darstellungsformen, wie z.B. Baumdiagramme, Tabellen und Listen, wie sie in dieser Einheit behandelt werden, stellen veranschaulichte Darstellungen von gesprochener oder geschriebener Sprache dar. Dabei ist darauf zu achten, dass die Übersetzung in beide Richtungen gewährleistet ist. Das Baumdiagramm soll in dieser Unterrichtseinheit als Hilfe für das Bestimmen einer gesuchten Anzahl von Kombinationsmöglichkeiten genutzt werden und stellt solche kombinatorischen Problemstellungen in Pfaden dar. Als weiteres Hilfsmittel für solche kombinatorischen Aufgaben kann man die Tabelle einsetzen, welche sich in Zeilen (horizontal) und Spalten (vertikal) gliedert und eine geordnete Zusammenstellung von Informationen zeigt. In der Liste können kombinatorische Problemstellungen systematisch angeordnet werden, so dass die Möglichkeiten Zeile für Zeile aufgelistet sind.

Die Aufgabe „Wie viele verschiedene Möglichkeiten findest du den Weihnachtsbaum zu schmücken?“ lässt sich dem Bereich der Kombinatorik, dem Teilbereich der Stochastik, zuordnen. In der Kombinatorik geht es im Wesentlichen darum, auf wie viele und welche Arten Elemente aus einer Menge ausgewählt und angeordnet werden können. Bei kombinatorischen Fragestellungen lassen sich Permutation, Variation und Kombination unterscheiden, je nachdem ob es sich um ein Anordnungs- oder Auswahlproblem handelt und ob die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt. Die vier kombinatorischen Grundaufgaben lassen sich anhand der Merkmale „mit / ohne Berücksichtigung der Anordnung“ kombiniert mit dem Merkmal „mit / ohne Wiederholung einordnen.

Die Kombinatorik wird auch häufig „als die Kunst des Zählens oder geschickten Zählens bezeichnet“^[3], also ein Bestimmen der Anzahl aller möglichen Fälle, ohne dabei jeden einzelnen Fall nennen zu müssen. Die wichtigsten Zählstrategien sind hierbei das Additions- und Multiplikationsprinzip, die in unterschiedlichen Formen strukturiert und systematisch dargestellt werden können, wie beispielsweise mit Hilfe einer Liste, einer Tabelle oder einem Baumdiagramm.^[4]

4. Fachdidaktische Analyse

Verschiedene Darstellungen im Mathematikunterricht zu verwenden, fördert in einem hohen Maße die Begriffsbildung und -entwicklung. Kinder sollen im Laufe ihrer Schulzeit lernen, Darstellungen eigenständig zu erzeugen und sich in einem verständigen Umgang damit zu üben. Sie helfen bei der Informationsaufnahme, -speicherung und dem Austausch untereinander, da sie verschiedene Anwendungsebenen, wie Sprache und Zeichen, bereitstellen.

Da der Mathematikunterricht auf sprachlicher Ebene vielfältige Anforderungen an die Lernenden stellt, hat es sich bewährt einen sogenannten Wortspeicher anzulegen, den die SuS zunehmend nutzen können, um von ihrem Sprachgebrauch zur Verwendung mathematischer Fachsprache zu gelangen.

Mit Hilfe von konkretem Material lassen sich Problemstellungen, Lösungswege und Ergebnisse darstellen, worauf im Mathematikunterricht nicht verzichtet werden sollte. Zudem führt es im Lösungsprozess dazu, dass die SuS ihre Handlungen zunächst vordenken müssen und dadurch in der Lage sind sich diese Handlungen in ihre Vorstellung zurückzuholen.

Innerhalb der Unterrichtsreihe wird sich auf die bereits bekannten Darstellungsformen des Baumdiagrammes, der Tabelle und der Liste beschränkt, um die Vorerfahrungen der Kinder, wie es nach dem Spiralprinzip gefordert wird, zu festigen und auszubauen. Alle drei Darstellungsformen eignen sich für das Lösen kombinatorischer Aufgabenstellungen und unterscheiden sich dennoch in wichtigen Eigenschaften, die anhand solcher Problemstellungen erarbeitet werden können.^[5]

Die Kombinatorik ist als eine wichtige Voraussetzung für die Wahrscheinlichkeitsrechnung anzusehen, denn Grundlage für die Beurteilung und Berechnung von Zufallssituationen, wie sie im Alltag vorkommen, ist die Ermittlung der Anzahl der Möglichkeiten. Zudem finden sich auch direkte kombinatorische Fragestellungen in der Lebenswelt der SuS wieder, beispielsweise wenn es um die Auswahl der Kleidung geht oder um die Zusammenstellung eines Mittagsmenüs. Die Thematisierung einfacher kombinatorischer Aufgaben soll den Grundstein für weiterführende Problematiken innerhalb der Stochastik legen und das kombinatorische Denken der SuS spielerisch schulen. Hierbei kann man sich den Umstand, dass kombinatorische Fragestellungen von SuS oft als Rätsel oder Knobelaufgabe gesehen werden, zunutze machen und mit realen Gegenständen handelnd kombinieren lassen.^[6]

In den Richtlinien und Lehrplänen lässt sich die Einheit „Wir schmücken den Weihnachtsbaum.“ im Inhaltsbereich „Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten“ mit dem Schwerpunkt „Wahrscheinlichkeiten“ wiederfinden. Die Kompetenzerwartungen sind beschrieben mit dem Lösen einfacher kombinatorischer Aufgaben. Im prozessbezogenen Bereich spricht die Einheit das Problemlösen / kreativ sein sowie das Darstellen / Kommunizieren an. Im Folgenden wird stichpunktartig dargestellt, welche Aspekte der beiden prozessbezogenen Bereiche innerhalb der Einheit besonders berücksichtigt werden.

[...]

^[1]Dedekind, 2012, S.10.

^[2]Dedekind, 2012, S.14.

^[3]Selter & Spiegel, 2004, S.295.

^[4]Selter & Spiegel, 2004, S.291ff.

^[5]Dedekind , 2012, S. 3 ff.

^[6]Ulm, V., 2009.